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平面几何中的最值

江苏省泗阳县李口中学沈正中

在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题。如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率。

在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题, 称为最值问题。

最值问题的解决方法通常有两种：

一、应用几何性质：

1.三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第

三边；

2.两点间线段最短；

3.连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

4.定圆中的所有弦中，直径最长。

二、运用代数证法：

1.运用配方法求二次三项式的最值；

2.运用一元二次方程根的判别式。

下面介绍几例。

【题例1】①图1所示，A、B两点在直线/的同侧，在直线，上取一点P,使PA +

PB最小。②图2

所示，A、B两点

在直线/的两侧，

在直线，上图 1 图 2

P ，A —P ，B ，VAB\ 所

以 即PA-PB 最大。

(A0 - BO)2 『AO 2 + BO 2 AB

22=—

取一点P ，使PA-PB 最大。

【解答】①图1中，在直线I 上任取一点P',再取点A 关于直 线/的对称点 A 、连 AP\ AT\ A ，B 、BP\ 则 AP ，= A ，P\

在△A ，BP ，中,A'P'+BP'>A'B,当P'在A ，B 与直线，的交点处

P 点时,A"+BP ，=AB 即 A ，P+BP=A'B,此时 PA+PB 最小。

②图2中，在直线Z 上任取一点P,再取点B 关于直线/的对 称点

B ，，连AB 、并延长交,于P,连AP ，、BP\ BT\ BP,则PB = P ，B, PB ，= PB,所以 AB 9

= PA-PBo

P ,

A-P ,

B = P ,

A-P ,B\ 在左AB ，P ，中, 唯有P ，在p 点时，才有P ，A —P ，B ，

=AB\

【题例2】如图3所示，已知直角

AAOB 中，直角顶点o 在单位圆心上，斜边

与单 位圆相切，延长AO, B0分别与单位圆交 于C, D.试求四边形ABCD 面积的最小值。

【解答】设。。与AB 相切于E,有 OE=1,从而

AO 2 + B02

AB = 0E • AB = A0 • 0B = ----------- ------

2

即 ABN2。

当AO=BO 时，AB 有最小值2.从而

1 1 1

Sy =Z AC* BD = E (1 + OA)(1 + BO) ==(1+AO + BO + AO ・ BO) 乙 乙 z

〉：(l + 2jAO • BO +A0 . BO) = -(1 + ^A.O * BO)2 = y(l +JOE * AB)2

」 2 2 =!(1 + 庭)2〉!(1 + 构2=；(3 + 2龙)。

所以，当AO=OB 时，四边形ABCD 面积的最小值为;(3 + 2々口 【题例3】如图4所示，已知在正三角形ABC 内(包括边上)有两

圈 3

点P, Qo 求证：PQWAB。

【解答】设过P, Q的直线与AB, AC

分别交于P” Qi，连结PiC,显然,

PQWP I Q I。

因为匕AQ】P]+NP]QiC=180。，

所以ZAQjPi和ZPiQiC中至少有一

个直角或饨角。

若ZAQ]P|N90。，则PQMP]Q|WAP]WAB；

若匕PQCN90。,则PQWPiQiWPiC。

同理，ZAP©和匕BPiC中也至少有一个直角或钝角，不妨设匕BP1CN90。，贝IJP|CWBC=AB。

对于P, Q两点的其他位置也可作类似的讨论，因此，PQWAB。

【题例4】如图5所示，已知P点是半圆上一个动点，试问P在什么位置时，PA+PB最大？ c 【解答】因为P点是半圆上的动点，,

当P近于A或B时，显然PA+PB渐小，在极限状况（P与A重合时）等于AB。因

A R

此，猜想P在半圆弧中点时，PA+PB取图§

最大值。

设P为半圆弧中点，连PB, PA,延长AP到C,使PC=PA,连

CB,则CB是切线。

为了证PA+PB最大，我们在半圆弧上另取一点F,连FA, PB, 延长AP倒以使P'C'=BP‘,连C'B, CC\则

匕P'C'B=NP'BC=Z：PCB=45。，

所以A, B, C, C四点共圆，故有ZCC r A=ZCBA=90°, 所以在△ACC，

中，AOAC,即PA+PB〉P，A+PB。

x 2 一

Q+2& + 2R2 一十 R = 十 R 。 【题例

6】如图7所示，是半圆与矩形结

【题例5】如图6所示，己知AB 是半圆的直径，如果这个半圆是 一块铁皮，ABDC 是内接半圆的梯形, 试问怎样剪这个梯形，才能使梯形

ABDC 的周长最大？

【解答】本例是求半圆AB 的内 接梯形的最大周长，可设半圆半径为 R.由于AB 〃CD,必有AC=BD.若

设CD=2y, AC=x,那么只须求梯形ABDC 的半周长u=x+y+R 的最 大值即可。

作 DE_LAB 于 E,则 X 2=BD 2=AB BE = 2R (R-y) = 2R 2

-2Ry,由此 香 2身-妒

2R 2

-

所以 u = x + y +R =x +―— 一 2R

所以求u 的最大值，只须求-X 2+2R X +2R 2

最大值即可。

-X 2+2R X +2R 2=3R 2- (x-R) 2^3R 2

,

2 _ 2

2 _ p 2 T>

上式只有当X=R 时取等号，这时有y = ^/ =苴/ =与 所以 2y=R=x o

所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C, D,这时，梯形 的底角恰为60。和120。。

合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m), 怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好?

【解答】设x 表示半圆半径，y 表示矩形

边长AD,则必有

2x+2y+)ix=8, y = 8 ° 曲 °「X ................................ ①

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