对数函数讲义
对数与对数函数教师讲义
名思教育辅导讲义所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是(－，＋∞)．5．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f ＝0，则不等式f (18logx )>0的解集为________________．答案 ∪(2，＋∞)解析 ∵f (x )是R 上的偶函数， ∴它的图象关于y 轴对称． ∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞，0]上为减函数， 由f ＝0，得f ＝0. ∴f (18logx )>0?18log x <－或18log x >x >2或0<x <， ∴x ∈∪(2，＋∞)． 题型一 对数式的运算例1 (1)若x ＝log 43，则(2x －2－x )2等于( )A.B.C.D.(2)已知函数f (x )＝则f (f (1))＋f (log 3)的值是 ( )A ．5B ．3C ．－1D.思维启迪 (1)利用对数的定义将x ＝log 43化成4x ＝3； (2)利用分段函数的意义先求f (1)，再求f (f (1))； f (log 3)可利用对数恒等式进行计算． 答案 (1)D (2)A解析 (1)由x ＝log 43，得4x ＝3，即2x ＝， 2－x ＝，所以(2x －2－x )2＝()2＝.(2)因为f (1)＝log 21＝0，所以f (f (1))＝f (0)＝2. 因为log 3<0，所以f (log 3)＝31log 231-+＝3log 23＋1＝2＋1＝3.所以f (f (1))＋f (log 3)＝2＋3＝5.思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．已知函数f (x )＝则f (2＋log 23)的值为________．答案解析 因为2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)，而3＋log 23>4，所以f (3＋log 23)＝()323log +＝×()32log ＝×＝.题型二 对数函数的图象和性质例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )(2)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (12log 3)，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <b <c思维启迪 (1)结合函数的定义域、单调性、特殊点可判断函数图象； (2)比较函数值的大小可先看几个对数值的大小，利用函数的单调性或中间值可达到目的．答案 (1)C (2)B解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ； 又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.选C.(2)log3＝－log23＝－log49，12b＝f(log3)＝f(－log49)＝f(log49)，12log47<log49,0.2－0.6＝35 ＝>＝2>log49，又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f(x)在[0，＋∞)上是单调递减的，∴f(0.2－0.6)<f(log3)<f(log47)，即c<b<a.12思维升华(1)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小，解不等式等；(2)函数图象可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图象解题也体现了数形结合的思想．(1)已知a＝21.2，b＝－0.8，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为() A．c<b<a B．c<a<bC．b<a<c D．b<c<a(2)已知函数f(x)＝log a(x＋b)(a>0且a≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则a ＝________，b＝________.答案(1)A(2)2 2解析(1)b＝－0.8＝20.8<21.2＝a，c＝2log52＝log522<log55＝1<20.8＝b，故c<b<a.(2)f(x)的图象过两点(－1,0)和(0,1)．则f(－1)＝log a(－1＋b)＝0且f(0)＝log a(0＋b)＝1，∴，即.题型三对数函数的应用例3已知函数f(x)＝log a(3－ax)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．思维启迪f(x)恒有意义转化为“恒成立”问题，分离参数a来解决；探究a 是否存在，可从单调性入手．解(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，x∈[0,2]时，t(x)最小值为3－2a，当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立．∴3－2a>0.∴a<.又a>0且a≠1，∴a∈(0,1)∪.(2)t(x)＝3－ax，∵a>0，∴函数t(x)为减函数，∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴y＝log a t为增函数，∴a>1，x∈[1,2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝log a(3－a)，∴，即，故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.思维升华解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质(1)要分清函数的底数是a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．已知f(x)＝log4(4x－1)．(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；(3)求f(x)在区间[，2]上的值域．解(1)由4x－1>0，解得x>0，因此f(x)的定义域为(0，＋∞)．(2)设0<x1<x2，则0<4x1－1<4x2－1，因此log4(4x1－1)<log4(4x2－1)，即f(x1)<f(x2)，故f(x)在(0，＋∞)上递增．(3)f(x)在区间[，2]上递增，又f()＝0，f(2)＝log415，因此f(x)在[，2]上的值域为[0，log415]．利用函数性质比较幂、对数的大小典例：(15分)(1)设a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是() A．a>b>c B．a<b<cC．b<a<c D．a<c<b(2)已知a＝2log 3.45，c＝()3log0.3，则()5，b＝2log 3.6A．a>b>c B．b>a>cC．a>c>b D．c>a>b(3)已知函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0成立，a＝(20.2)·f(20.2)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，c＝(log39)·f(log39)，则a，b，c的大小关系是()A ．b >a >cB ．c >a >bC ．c >b >aD ．a >c >b思维启迪 (1)利用幂函数y ＝x 0.5和对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，结合中间值比较a ，b ，c 的大小；(2)化成同底的指数式，只需比较log 23.4、log 43.6、－log 30.3＝log 3的大小即可，可以利用中间值或数形结合进行比较；(3)先判断函数φ(x )＝xf (x )的单调性，再根据20.2，log π3，log 39的大小关系求解．解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1； 根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1. 所以b <a <c . (2)c ＝()3log 0.3＝53log 0.3＝5310log 3.方法一 在同一坐标系中分别作出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示． 由图象知： log 23.4>log 3>log 43.6.方法二 ∵log 3>log 33＝1，且<3.4， ∴log 3<log 33.4<log 23.4. ∵log 43.6<log 44＝1，log 3>1， ∴log 43.6<log 3. ∴log 23.4>log 3>log 43.6. 由于y ＝5x为增函数，∴2log 3.45>5310log 3>5log 43.6.即2log 3.45>()3log 0.3>2log 3.65，故a >c >b .教研主任签字：________。
6对数函数 - 中等 - 讲义
对数函数知识讲解一、对数1.定义：一般地，对于指数式b a N =，我们把“以a 为底N 的对数b ”记作，即log a b N=（0a >且1a ¹），其中，数a 叫做对数底数，N 叫做真数．2.对数运算1）对数的运算性质：如果0a >，且1,0,0a M N ≠>>，那么：i. log log log ()a a a M N M N +=⋅；（对数的和等于积的对数） ii. 推广1212log (...)log log ...log a k a a a k N N N N N N ⋅=+++ iii. log log log a a aMM N N-=；（商的对数等于对数的差） iv. log log (R)a a M M ααα=∈ v. 1log log naa N N n=2）换底公式：log log log a b a NN b=（,0,,1,0a b a b N >≠>） 3）关于对数的恒等式log a NaN =log n a a n = 1log log a b b a=log log n m a a mM M n= log log log log a b a b M MN N=二、对数函数1.定义：函数log a y x =（0a >且1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0,)+∞，值域为实数集R ．2.对数函数log (0a y x a =>且1a ≠）的图象和性质：3.根据图像比较对数函数底数的大小曲线1234C C C C ，，，分别是指函log log log log a b c d y x y x y x y x ====，，，的图像． 1）由图像得01a b d c <<<<<．2）当底数大于1时，底数越大图像越靠近x 轴，当底数小于1时，底数越小于靠近x 轴． 3）指数函数log a y x =与1log ay x =（0a >且1a ≠）的图像关于x 轴对称．4）函数值的大小比较①底数相同真数不同：当底数大于1数小于1时真数越大函数值越小．②指数相同真数不同：可采用函数图像法，底数大于1同底数越大函数值越小，底数小于1时，真数相同底数越小函数值越小．③底数不同真数不同：找中间值（一般为1值比较．经典例题一．选择题（共12小题）1．（2016秋•马山县期中）对数式log （a ﹣2）（5﹣a ）中实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，5） B ．（2，5）C ．（2，3）∪（3，5）D ．（2，+∞）【解答】解：要使对数式b=log （a ﹣2）（5﹣a ）有意义，则{a −2＞05−a ＞0a −2≠1，解得a ∈（2，3）∪（3，5），故选：C ．2．在M=log （x ﹣3）（x +1）中，要使式子有意义，x 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，3] B ．（3，4）∪（4，+∞）C ．（4，+∞）D ．（3，4）【解答】解：由函数的解析式可得 {x +1＞0x −3＞0x −3≠1，解得3＜x ＜4，或x ＞4．故选：B ．3．（2017春•杭州期末）若a 2017=b （a ＞0，且a ≠1），则（ ） A ．log a b=2017 B ．log b a=2017C ．log 2017a=bD ．log 2017b=a【解答】解：若a 2017=b （a ＞0，且a ≠1），则2017=log a b ，故选：A．4．（2015秋•高密市期中）若0＜a＜1，实数x，y满足|x|=log a 1y，则该函数的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由|x|=log a1y，得，∴y=1a|x|={a x，x≤0a−x，x＞0，又0＜a＜1，∴函数在（﹣∞，0]上递j减，在（0，+∞）上递增，且y≥1，故选：A．5．（2018•安庆二模）设x，y，z均大于一，且log√2x=log√3y=log√5z，令a=x12，b=y13，c=z14则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：法一：令log√2x=log√3y=log√5z=k，则x12=(214)k，y13=(316)k，z14=(518)k将它们分别24次方，得a 24=(x 12)24，b 24=(y 13)24=81k ，c 24=(z 14)24=125k ，法二：取特殊值法：取x=√2，y=√3，z=√5，符合题意， 易验证c ＞a ＞b ， 故选：D ．6．（2018•潮南区模拟）若log 2（log 3a ）=log 3（log 4b ）=log 4（log 2c ）=1，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．b ＞c ＞a【解答】解：由log 2（log 3a ）=1，可得log 3a=2，lga=2lg3，故a=32=9， 由log 3（log 4b ）=1，可得log 4b=3，lgb=3lg4，故b=43=64， 由log 4（log 2c ）=1，可得log 2c=4，lgc=4lg2，故c=24=16， ∴b ＞c ＞a ． 故选：D ．7．（2014•苏州校级学业考试）化简log 38log 32可得（ ） A ．log 34 B ．32C ．3D ．4【解答】解：log 38log 32=log 28=log 223=3．故选：C ．8．（2014秋•喀什地区月考）log29×log34=（）A ．14B ．12C ．2D ．4【解答】解：原式=2lg3lg2×2lg2lg3=4．故选：D ．9．（2016秋•南岗区校级期末）函数y =√x−1x−2+log 2(−x 2+2x +3)的定义域为（ ） A ．{x |1≤x ＜3}B ．{x |1＜x ＜2}C ．{x |1≤x ＜2或2＜x ＜3}D ．{x |1≤x ＜2}【解答】解：要使函数有意义，则{x −1≥0x −2≠0−x 2+2x +3＞0，即{x ≥1x ≠2x 2−2x −3＜0，∴{x ≥1x ≠2−1＜x ＜3解得1≤x ＜3且x ≠2，即1≤x ＜2或2＜x ＜3． ∴函数的定义域为{x |1≤x ＜2或2＜x ＜3}． 故选：C ．10．（2016秋•东莞市校级期末）函数y=log 5x 的定义域（ ） A ．（﹣∞，0） B ．（﹣∞，0]C ．（0，+∞）D ．[0，+∞）【解答】解：根据题意，函数y=log 5x 的是对数函数， 则有x ＞0，即其定义域为（0，+∞）；故选：C ．11．（2017秋•南涧县校级月考）函数f （x ）对于任意实数x 满足条件f(x +4)=1f(x)，且当x ∈[2，10）时，f （x ）=log 2（x ﹣1），则f （2010）+f （2011）的值为（ ） A ．﹣2 B ．﹣1C ．1D ．2【解答】解：由f （x +4）=1f(x)得f [（x +8）]=1f(x+4)=f （x ），T=8 ∵x ∈[2，10），f （x ）=log 2（x ﹣1） ∴f （2010）+f （2011）=f （2）+f （3） =log 21+log 2（3﹣1）=1． 故选：C ．12．（2014•陕西二模）函数g （x ）=log 22x x+1（x ＞0），关于方程|g （x ）|2+m |g（x ）|+2m +3=0有三个不同实数解，则实数m 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，4﹣2√7）∪（4+2√7，+∞）B ．（4﹣2√7，4+2√7）C ．（﹣34，﹣23）D ．（﹣32，﹣43]【解答】解：∵2x x+1=2(x+1)−2x+1=2﹣2x+1，∴当x ＞0时，0＜2﹣2x+1＜2，即g （x ）＜1，则y=|g （x ）|大致图象如图所示，设|g （x ）|=t ，则|g （x ）|2+m |g （x ）|+2m +3=0有三个不同的实数解， 即为t 2+mt +2m +3=0有两个根，且一个在（0，1）上，一个在[1，+∞）上，当t=0时，2m +3=0，得m=﹣32，此时方程为t 2﹣32t=0，解得t=0或t=32，当t=0时，g （x ）=0有一个根x=1，当t=32时，由|g （x ）|=32，此时也只有一个根，此时方程共有2个根，不满足条件．设h （t ）=t 2+mt +2m +3， ①当有一个根为1时，h （1）=12+m +2m +3=0，解得m=﹣43，此时另一根为13，满足条件．②根不是1时，则满足{ℎ(0)＞0ℎ(1)＜0，∴{2m +3＞01+m +2m +3＜0，即{m ＞−32m ＜−43，∴﹣32＜m ＜−43．综上﹣32＜m ≤﹣43，即实数m 的取值范围为（﹣32，﹣43]，故选：D ．二．填空题（共4小题）13．（2016秋•曲阜市校级期末）若4x =9y =6，则1x+1y= 2 ．【解答】解：∵4x =9y =6，∴x=lg6lg4，y=lg6lg9．则1x +1y =lg4lg6+lg9lg6=lg62lg6=2． 故答案为：2．14．（2018•黑龙江模拟）设2x =5y =m ，且1x+1y=2，则m 的值是 √10 ．【解答】解：由2x =5y =m ， 得x=log 2m ，y=log 5m ，由1x +1y =2，得1log 2m +1log 5m =2， 即log m 2+log m 5=2， ∴log m 10=2， ∴m=√10． 故答案为：√10．15．（2015秋•汉阳区校级期末）已知log 23=t ，则log 4854=1+3t 4+t（用t 表示）【解答】解：log 23=t ，则log 4854=log 254log 248=1+3log 234+log 23=1+3t4+t．故答案为：1+3t4+t．16．（2013秋•缙云县校级期末）已知函数f （x ）=log a [mx 2+（m ﹣1）x +14]的值域为R ，则实数m 的取值范围是 [0，3−√52]∪[3+√52，+∞） ．【解答】解：令g （x ）=mx 2+(m −1)x +14的值域为A ，∵函数f(x)=log a [mx 2+(m −1)x +14]的值域为R ，∴（0，+∞）⊂A ，当m=0时，g （x ）=−x +14值域为R ，满足条件；当m ≠0时，{m ＞0(m −1)2−m ≥0，解得：m ∈（0，3−√52]∪[3+√52，+∞），故实数m 的取值范围是[0，3−√52]∪[3+√52，+∞），故答案为：[0，3−√52]∪[3+√52，+∞）．三．解答题（共2小题）17．已知函数f （x ）=lg [（m 2﹣3m +2）x 2+2（m ﹣1）x +5]， （1）若函数f （x ）的定义域为R ，求实数m 的取值范围； （2）若函数f （x ）的值域为R ，求实数m 的取值范围．【解答】解：函数f （x ）=lg [（m 2﹣3m +2）x 2+2（m ﹣1）x +5]， （1）∵f （x ）的定义域为R ，∴g （x ）=（m 2﹣3m +2）x 2+2（m ﹣1）x +5的图象恒在x 轴上方， （m 2﹣3m +2）x 2+2（m ﹣1）x +5＞0恒成立， 当m=1时，5＞0恒成立， 当m=2时2x +5＞0不恒成立，当{m 2−3m +2＞0△＜0时，不等式恒成立．即m ＞94或m ＜1，所以实数m 的取值范围为：m ＞94或m ≤1，（2）∵f （x ）的值域为R ，∴g （x ）=（m 2﹣3m +2）x 2+2（m ﹣1）x +5图象不能在x 轴下方， 当m=2时g （x ）=2x +5，符合题意，当{m 2−3m +2＞0△≥0时，即2＜m ≤94 实数m 的取值范围：2≤m ≤9418．（2015•湘西州校级一模）已知函数f （x ）=log a （1﹣x ）+log a （x +3）（0＜a ＜1）（1）求函数f （x ）的定义域；（2）求函数f （x ）的零点；（3）若函数f （x ）的最小值为﹣4，求a 的值．【解答】解：（1）要使函数有意义：则有{1−x ＞0x +3＞0，解之得：﹣3＜x ＜1， 则函数的定义域为：（﹣3，1）（2）函数可化为f （x ）=log a （1﹣x ）（x +3）=log a （﹣x 2﹣2x +3） 由f （x ）=0，得﹣x 2﹣2x +3=1，即x 2+2x ﹣2=0，x =−1±√3∵−1±√3∈(−3，1)，∴函数f （x ）的零点是−1±√3（3）函数可化为：f （x ）=log a （1﹣x ）（x +3）=log a （﹣x 2﹣2x +3）=log a [﹣（x +1）2+4] ∵﹣3＜x ＜1，∴0＜﹣（x +1）2+4≤4，∵0＜a＜1，∴log a[﹣（x+1）2+4]≥log a4，即f（x）min=log a4，由log a4=﹣4，得a﹣4=4，∴a=4−14=√22。
对数函数(汇报课)课件
请计算log(5) (125)。
挑战练习题2
请计算log(3) (27)。
挑战练习题4
请计算log(6) (729)。
感谢观看
THANKS
总结词
对数函数图像与指数函数图像的关系
详细描述
对数函数和指数函数互为反函数，它们的图像关于直线 y=x对称。因此，可以通过指数函数的图像得到对数函数 的图像。
对数函数的单调性
总结词
对数函数的单调性判定
详细描述
对于底数大于1的对数函数，它在定义域内是单调递增的 ；对于底数在(0,1)之间的对数函数，它在定义域内是单调 递减的。
总结词
对数函数单调性的应用
详细描述
单调性在对数函数的应用中非常重要，例如在解决不等式 问题、求最值问题以及解决一些实际问题中都有广泛的应 用。
总结词
如何利用对数函数的单调性解题
详细描述
利用对数函数的单调性可以简化不等式的解法，也可以通 过求导等方式来求解最值问题。同时，在解决一些实际问 题时，也可以利用对数函数的单调性来简化问题的求解过 程。
基础练习题3
请计算以5为底7的对数。
基础练习题4
请计算以6为底8的对数。
进阶练习题
进阶练习题1
请计算log(2) (32)。
进阶练习题2
请计算log(3) (9)。
进阶练习题3
请计算log(5) (25)。
进阶练习题4
请计算log(6) (36)。
挑战练习题
挑战练习题1
请计算log(2) (8)。
对数函数的奇偶性
总结词
对数函数的奇偶性判定
详细描述
对于底数为正数的对数函数，它是非奇非偶函数；对于 底数为负数的对数函数，它是奇函数。
对数函数及其性质知识点总结讲义
对数函数及其性质知识点总结讲义一、对数基本概念1.对数的定义：对数是数学中的一种运算，用一个数的指数表示另一个数。
2. 对数的表示方法：如果a^x = b，则记作x = loga(b)。
3.对数函数：对数函数是指以对数的形式来表示函数的函数。
二、对数函数的性质1.定义域和值域：-对数函数的定义域为正实数集，即x>0。
-对数函数的值域为实数集，即y∈R。
2.对称性：- 设a > 1，则loga(x) = y当且仅当a^y = x。
- 设0 < a < 1，则loga(x) = y当且仅当a^y = x。
3.基本性质：- loga(1) = 0，其中a ≠ 0。
- loga(a) = 1，其中a ≠ 1- loga(x · y) = loga(x) + loga(y)，其中x > 0，y > 0。
- loga(x / y) = loga(x) - loga(y)，其中x > 0，y > 0。
- loga(x^p) = p · loga(x)，其中x > 0，p ∈ R。
- loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中a，b > 0，且a ≠ 1，c ≠14.基本图像：- 对数函数y = loga(x)的图像为一条曲线，也称为对数曲线。
-当0<a<1时，对数曲线在第一象限上严格递减。
-当a>1时，对数曲线在第一象限上严格递增。
5.特殊对数函数：- 以2为底的对数函数y = log2(x)常用于衡量信息的位数及计算机科学中。
- 自然对数函数y = ln(x)常用于微积分和其它分支的数学中。
三、对数函数的应用1.指数增长与对数函数：对数函数的性质使得它在描述指数增长的问题中非常有用。
-对数函数可以用来模拟人口增长、投资收益、疾病传播等指数增长的过程。
2.对数函数在数据处理中的应用：-对数函数可以用来处理大量数据、极大值、极小值等情形。
人教版高一数学对数函数讲义
第五节、对数函数 幂函数
一、基本概念
1．对数的概念 一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以a 为底N 的
对数，记作：
N
x a log =
a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式
说明： 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；
x N N a a x
=⇔=log ；
思考： 为什么对数的定义中要求底数0>a ，且1≠a ；
是否是所有的实数都有对数呢？ 两个重要对数：
常用对数：以10为底的对N lg 数；
自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 2．
对数式与指数式的互化 x N a =log ⇔N a x = 对数式
⇔
指数式
对数底数 ← a → 幂底数 对数 ← x → 指数 真数 ← N → 幂
3．
对数的性质
对数的性质
在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；
A. Q<T<P
B. T<Q<P
C. P<Q<T
D. P<T<Q X k
的定义域为
定义域为（
A. 2
B.
C.。
对数函数及其性质知识点总结经典讲义
对数函数及其性质知识点总结经典讲义对数函数是指以一些正数b为底的函数，表示为logb(x)，其中x为自变量，b为底数。
对数函数是指数函数的逆运算，可以用于解决指数方程和指数不等式问题。
对数函数的一些重要性质如下：1.对数函数的定义域是正实数集R+。
2.对数函数的值域是实数集R。
3.对数函数的自变量必须大于0，即x>0。
4.底数b必须大于0且不等于1，即b>0，b≠15.对数函数的图像在直线y=x左侧，与x轴交于点(1,0)。
6. 对数函数是单调递增函数，即当自变量x1 > x2时，有logb(x1) > logb(x2)。
7. 对数函数的特殊值：logb(1) = 0，logb(b) = 18. 对数函数的运算规则：logb(x·y) = logb(x) + logb(y)，logb(x/y) = logb(x) - logb(y)，logb(x^n) = n·logb(x)，其中x、y 为正实数，n为任意实数。
9. 对数函数的函数性质：logb(1/x) = -logb(x)，logb√x =(1/2)·logb(x)。
10. 对数函数的性质：logb(m/n) = logb(m) - logb(n)，logb(m^n) = n·logb(m)，logb(m) = (logc(m))/(logc(b))，其中b、c为正实数，m、n为正实数。
11. 对数函数的解析式：logb(x) = logc(x)/logc(b)，其中c为任意正实数，c ≠ 112. 对数函数的性质：logb(x) = 1/(logx(b))。
13. 对数函数与指数函数的关系：y = logb(x)是函数y = b^x的反函数，两者互为反函数。
对数函数在数学、科学和工程等领域中具有广泛的应用。
它可以用于求解指数方程和指数不等式，简化复杂的计算和求解过程。
在数学中，对数函数是指数函数的重要补充，它们互为反函数，可以相互转化，应用更加灵活。
对数函数讲义
对数函数教学设计一、 问题情境1、情境：我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题.某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y 是分裂次数x 的函数，这个函数可以用指数函数y =2x表示.2、问题：现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞？这个问题就相当于已知y =2x 中的y 求x ，我们将y =2x改写成对数式为y =log 2x ，对于每一个给定的y 值，都有唯一的x 值与之相对应。
把y 看作自变量，分裂次数x 就是细胞个数y 的函数。
这样就得到了一个新的函数。
习惯上，仍用x 表示自变量，用y 表示它的函数。
上面的这个函数就写成y =log 2x 。
二、 新授：1、对数函数概念： 一般地，函数x y alog =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数.思考1：函数x y alog=（a ＞0且a ≠1）与函数xa y =（a ＞0且a ≠1）的定义域、值域之间有什么关系？ （函数x y alog=（a ＞0且a ≠1）的定义域、值域分别是函数xa y =（a＞0且a ≠1）的值域和定义域）2、对数函数的图像与性质： ①学生自主活动探究 在同一坐标轴下画出对数函数x y 2log=与指数函数xy 2=的图像观察图像有什么特征？思考2：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数x y alog =与函数xa y =的图像有什么关系？（函数x y alog=与函数xa y =的图像关于直线y=x 对称）总结：我们发现函数x y alog=（a ＞0且a ≠1）的定义域、值域分别是函数xa y =（a ＞0且a ≠1）的值域和定义域，它们的图像关于直线y=x 对称。
这样我们把xa y =称为x yalog=的反函数，同样x y alog=称为xa y =的反函数。
一般地，如果函数)(x f y =存在反函数，那么它的反函数记作)(1x fy -=在同一坐标轴下画出对数函数x y 3log =与x y 31log=的图像，并观察函数图像，说说图像的特征。
对数函数PPT课件
04 对数函数与其他函数的比 较
与指数函数的比较
指数函数和对数函数是互为反函数， 它们的图像关于直线y=x对称。
当a>1时，指数函数和对数函数都是 增函数，但它们的增长速度不同，对 数函数的增长速度更慢。
指数函数y=a^x（a>0且a≠1）的图 像总是经过点(0,1)，而对数函数 y=log_a x（a>0且a≠1）的图像则 总是经过点(1,0)。
对数函数和三角函数的应用领域也不同。对数函数主要用于解决与对数运算相关的问题，如 对数的换底公式、对数的运算性质等；而三角函数则主要用于解决与三角形的边角关系、周 期性等问题相关的问题。
05 对数函数的学习方法与技 巧
学习方法
1 2 3
理解对数函数的定义
首先需要理解对数函数的基本定义，包括对数函 数的定义域、值域以及其变化规律。
对数函数ppt课件
目录
• 对数函数的定义与性质 • 对数函数的运算性质 • 对数函数的应用 • 对数函数与其他函数的比较 • 对数函数的学习方法与技巧
01 对数函数的定义与性质
定义
自然对数
以e为底的对数，记作lnx，其中e是自然对数的底数，约等于 2.71828。
常用对数
以10为底的对数，记作lgx。
当0<a<1时，指数函数和对数函数都 是减函数，但它们的下降速度也不同， 对数函数的下降速度更快。
与幂函数的比较
幂函数y=x^n（n为实数）的图像在 第一象限和第三象限都存在，而对数 函数y=log_a x（a>0且a≠1）的图像 只存在于第一象限。
幂函数的增长速度与指数和对数函数 不同，当n>0时，幂函数的增长速度 比对数函数更快；当n<0时，幂函数 的增长速度比对数函数更慢。
对数函数讲义
一、教学目标：1．理解对数的概念，掌握对数的运算性质；2．掌握对数函数的概念、图象和性质；能利用对数函数的性质解题．二、教学重、难点：运用对数运算性质进行求值、化简、证明、运用对数函数的定义域、单调性解题三、命题规律：主要考察指数式ba N =与对数式log a Nb =的互化，对数函数的图像和性质或由对数函数复合成的函数，主要涉及比较大小、奇偶性、过定点、单调区间以及运用单调性求最值等，主要以填空为主。
四、教学内容：【知识回顾】 1.对数的概念如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。
即指数式与对数式的互化：log ba aN b N =⇔=2.常用对数：通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数，记作lg N 。
自然对数：通常将以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数叫做自然对数，记作ln N 。
3.对数的性质及对数恒等式、换底公式（1）对数恒等式：①log Na a = (01,0a a N >≠>且②log N a a =(01,0)a a N >≠>且（2）换底公式：log a N =log log b b Na（3）对数的性质：①负数和零没有对数 ② 1的对数是零，即log 10a =③底的对数等于1，即log 1a a = ④log log log a b c b c d ⋅⋅=log a d4.对数的运算性质如果01,0,0a a M N >≠>>且，那么（1）log ()a MN = ； （2）log aMN= ； （3）log n a M = ； （4）log na m M = 。
（5）log log a b b a ⋅= ； （6）log a b =1log b a5.对数函数函数log (01)a y x a a =>≠且做对数函数，其定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).、 6.对数函数图像与性质注：对数函数1log log (01)a ay x y x a a ==>≠与且的图像关于x 轴对称。
对数函数及其性质(讲义)
对数函数及其性质（讲义）➢ 知识点睛一、对数函数的定义一般地，函数__________（ ）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，+∞)． 二、对数函数的图象和性质1. 对数函数log a y x =（a >0，且a ≠1）的图象和性质：①log a y x =，②log b y x =，③log c y x =，④log d y x =， 则有0<b <a <1<d <c ，即：x ∈(1，+∞)时，log log log log a b c d x x x x <<<； x ∈(0，1)时，log log log log a b c d x x x x >>>． 3. 反函数log a y x =与x y a =互为反函数，其中a >0，且a ≠1；互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称．➢ 精讲精练1. 直接写出下列函数的定义域：（1）3log (2)y x =- __________________； （2）y =__________________； （3）y __________________；（4）1ln(1)y x =+__________________．2. （1）已知()f x 的定义域为[0，1]，则函数12(log (3))y f x =-的定义域是_____________；（2）已知函数122()log (2log )f x x =-的值域是(-∞，0)，则它的定义域是_____________；（3）函数212()log (613)f x x x =++的值域是_____________．3. 已知a >0，且a ≠1，则函数x y a =与log ()a y x =-的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4. 函数f (x )=1+2log x 与g (x )=12x -在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5. 若点(a ，b )在函数y =lg x 的图象上，则下列点也在此图象上的是（ ）A ．1()b a ， B ．(10a ，1-b )C ．10(1)b a+， D ．(a 2，2b )6. 若log 21a <，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1，2)B ．(0，1)∪(2，+∞)C ．(0，1)∪(1，2)D ．(0，12)7. 若函数log a y x =在区间[2，π]上的最大值比最小值大1，则a =__________．8. 已知函数2log 0()20x x x f x x >⎧=⎨⎩≤，，，若1()2f a =，则a =________．9. （1）已知函数x y a )1(log -=在(0，+∞)上为增函数，则a 的取值范围是_____________；（2）已知函数log (2)a y ax =-在(-1，1)上是x 的减函数，则a 的取值范围是_____________；（3）若函数22log ()y x ax a =---在区间(1-∞，上是增函数，则a 的取值范围是_____________．10. （1）函数()|log |01a f x x a a =>≠（）且的单调递增区间是_____________；（2）函数212()log (2)f x x x =+的单调递增区间是__________，单调递减区间是_____________；（3）已知2()2f x x x =+，12()log g x x =，则函数(())y f g x =的单调递增区间是___________，单调递减区间是_________．11. 比较下列各组数的大小：（1）112246log log 57，；（2）35log 2log 2，；（3）0.32log 2log 3，；（4）0.450.450.4log 5，，．12.设32log πlog log a b c ===， ）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a13. 设a ，b ，c 均为正数，且112212log ()log 2a b a b ==，，21()log 2c c =，则（ ） A ．a <b <c B ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c【参考答案】➢ 知识点睛一、对数函数的定义log 01a y x a a =>≠（，且） ➢ 精讲精练1. （1）(2)+∞，；（2）(0)+∞，；（3）2(1]3，；（4）(10)(02]-，， 2. （1）5[2]2，；（2）(02)，；（3）(2]-∞-，3. B4. C5. D6. B7.22ππ或 8.或-19. （1）(2)+∞，；（2）(1，2)；（3）[22]- 10. （1）(1)+∞，（2）(2)(0)-∞-+∞，，， （3）(2)(02)+∞，，，13. A对数函数及其性质（随堂测试）1. 已知函数()f x =的定义域为M ，()ln(1)g x x =+的定义域为N ，则M ∩N =（ ） A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x <C ．{|11}x x -<<D ．∅2. 若函数loga y x =（01a <<）在区间[a ，2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为（ ） A ．2B ．4C ．12D ．143. 若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >>D ．b c a >>【参考答案】1. C2. B3. A。
对数函数及其性质知识点总结经典讲义
对数函数及其性质相关知识点总结：1.对数的概念一般地;如果a x＝Na＞0;且a≠1;那么数x叫做以a为底N的对数;记作x＝log a N．a叫做对数的底数;N叫做真数．2. 对数与指数间的关系3.对数的基本性质1负数和零没有对数． 2log a1＝0a＞0;a≠1． 3log a a＝1a＞0;a≠1．10.对数的基本运算性质1log a M·N＝log a M＋log a N． 2log a错误!＝log a M－log a N． 3log a M n＝n log a Mn∈R．4.换底公式1log a b＝错误!a＞0;且a≠1；c＞0;且c≠1;b＞0．2logb a=1log aa5.对数函数的定义一般地;我们把函数y＝log a xa＞0;且a≠1叫做对数函数;其中x是自变量;函数的定义域是0;＋∞．6.对数函数的图象和性质7.对数函数y＝log a xa＞0且a≠1和指数函数y＝a x a＞0且a≠1互为反函数．基础练习：1.将下列指数式与对数式互化：12－2＝错误!； 2102＝100； 3e a＝16； 464－错误!＝错误!；2. 若log3x＝3;则x＝_________3.计算：1log 216=_________; 2 log 381=_________; 32log 62+log 69=__________4.1 错误!＝________． 2log 23log 34log 48=________________5. 设a ＝log 310;b ＝log 37;则3a －b＝_________.6.若某对数函数的图象过点4;2;则该对数函数的解析式为______________.7.1如图2－2－1是对数函数y ＝log a x 的图象;已知a 值取错误!;错误!;错误!;错误!;则图象C 1;C 2;C 3;C 4相应的a 值依次是______________2函数y ＝lg x ＋1的图象大致是 4. 求下列各式中的x 的值： 1log 8x ＝－错误!；2log x 27＝错误!；8.已知函数fx ＝1＋log 2x ;则f 错误!的值为__________.9. 在同一坐标系中;函数y ＝log 3x 与y ＝log 错误!x 的图象之间的关系是_______________10. 已知函数fx ＝错误!那么ff 错误!的值为___________.例题精析：例1.求下列各式中的x 值：1log 3x ＝3； 2log x 4＝2； 3log 28＝x ； 4lgln x ＝0. 变式突破：求下列各式中的x 的值：1log 8x ＝－错误!； 2log x 27＝错误!； 3log 2log 5x ＝0； 4log 3lg x ＝1.例2.计算下列各式的值：12log 510＋log 50.25; 2错误!lg 错误!－错误!lg 错误!＋lg 错误! 3lg 25＋错误!lg 8＋lg 5×lg 20＋lg 22.变式突破：计算下列各式的值：13错误!log 错误!4； 232＋log 35； 371－log 75； 44错误!log 29－log 25．例3.求下列函数的定义域：1y ＝错误!； 2y ＝错误!； 3y ＝log 2x －1－4x ＋8． 变式突破：求下列函数的定义域：1y ＝错误!; 2y ＝1log 2（x +2）; 3√1−log 2x .例4.比较下列各组中两个值的大小：1ln 0.3;ln 2； 2log a 3.1;log a 5.2a >0;且a ≠1；3log 30.2;log 40.2； 4log 3π;log π3.变式突破：若a ＝log 0.20.3;b ＝log 26;c ＝log 0.24;则a ;b ;c 的大小关系为________． 例5.解对数不等式1解不等式log 2x ＋1＞log 21－x ；2若log a 错误!＜1;求实数a 的取值范围． 变式突破：解不等式：1log 32x ＋1>log 33－x ．2若log a 2>1;求实数a 的取值范围． 课后作业：1. 已知log x 16＝2;则x 等于___________.2. 方程2log 3x ＝错误!的解是__________.3. 有以下四个结论：①lglg 10＝0；②lnln e ＝0；③若10＝lg x ;则x ＝10；④若e ＝ln x ;则x ＝e 2.其中正确的是_____________.4.函数y ＝log a x ＋2＋1的图象过定点___________.5. 设a ＝log 310;b ＝log 37;则3a －b ＝6. 若log 错误!a ＝－2;log b 9＝2;c ＝log 327;则a ＋b ＋c 等于___________.7.. 设3x ＝4y ＝36;则错误!＋错误!=___________.。
第09讲-对数与对数函数(讲义版)
第09讲-对数与对数函数一、考情分析1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；2.通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3.知道对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数(a>0，且a≠1)．二、知识梳理1.对数的概念一般地，对于指数式a b＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作log a N，即b＝log a N(a>0，且a≠1).其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)；④log a m M n＝nm log a M(m，n∈R，且m≠0).(3)换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R4.反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称. [微点提醒]1.换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log ba ；(2)log a mb n ＝n m log a b . 其中a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1，m ，n ∈R .2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限.三、 经典例题考点一 对数的运算【例1-1】 (1)计算：⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________. (2)计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝________.【解析】 (1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝⎛⎭⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 6 63·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.规律方法 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 考点二 对数函数的图象及应用【例2-1】 (1)若函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以是( )(2)当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(1，2]D.⎝⎛⎭⎫0，12 【解析】 (1)由f (x )在R 上是减函数，知0<a <1.又y ＝log a (|x |－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).∴当x >1时，y ＝log a (x －1)的图象由y ＝log a x 向右平移一个单位得到.因此选项D 正确. (2)由题意，易知a >1.在同一坐标系内作出y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)及y ＝log a x 的图象.若y ＝log a x 过点(2，1)，得log a 2＝1，所以a ＝2.根据题意，函数y ＝log a x ，x ∈(1，2)的图象恒在y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)的上方. 结合图象，a 的取值范围是(1，2].规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 考点三 对数函数的性质及应用【例3－1】 已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A.f (x )在(0，2)上单调递增 B.f (x )在(0，2)上单调递减C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解析 由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误. 答案 C【例3－2】 (1)(一题多解)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b(2)若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，1D.(0，1)∪(1，＋∞)【解析】 (1)法一 因为a ＝log 2e>1，b ＝ln 2∈(0，1)，c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a >1，所以c >a >b .法二 log 1213＝log 23，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝log 2x ，y ＝ln x 的图象，由图知c >a >b .(2)由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ， 又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1， 同时2a >1，∴a >12.综上，a ∈⎝⎛⎭⎫12，1. 【例3－3】 已知函数f (x )＝log a (3－ax ).(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.【解析】 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ， 当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立.∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a 的取值范围是(0，1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t (x )为减函数.∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a（3－a ）＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1. 规律方法 1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行. 2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件. [方法技巧]1.对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0； 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时，log a b <0.2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定.5.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a 与1的大小关系，当底数a 与1的大小关系不确定时，要分0<a <1与a >1两种情况讨论.6.在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N +，且α为偶数).7.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.四、 课时作业1．（2020·土默特左旗金山学校高一开学考试（文））设82log 9log 3a=，则实数a 的值为（ ）A ．32B ．23C ．1D ．22．（2020·长春市第二十九中学高三期末（理））函数y ＝ln |x |＋1的图象大致为 （ ）A ．B ．C ．D ．3．（2020·陕西省高三开学考试（文））若24log log 1x y +=，则（ ）A ．22x y =B ．24x y =C ．22xy =D ．24xy =4．（2020·九台市第四中学高一期末）函数0.5log (43)y x =-的定义域为（ ）A ．（34，1） B ．（34，∞） C ．（1，+∞） D ．（34，1）∪（1，+∞） 5．（2020·海南省海南中学高三月考）已知实数ln22a =，22ln2b =+，2(ln2)c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c a b << B ．c b a << C ．b a c <<D ．a c b <<6．（2020·肥东县综合高中高三二模（理））已知函数()log 1(0,1)a f x x a a =->≠，若1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则12341111x x x x +++=（ ）A ．2B ．4C ．8D ．随a 值变化7．（2020·榆林市第二中学高三零模（理））等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=（ ）A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+8．（2020·甘肃省甘谷第一中学高二开学考试（理））已知0,0a b >>，且1ab =，则函数()x f x a =与函数()log b g x x =-的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（2020·湖南省宁乡一中高一期末）设函数()1232,2()log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()()2f f 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．310．（2020·甘肃省甘谷第一中学高一开学考试）已知函数2()log (23)a f x x x =+-，若(2)0f >，则此函数的单调递增区间是（ ）A ．(1,)(,3)+∞-∞- B ．(,3)-∞-B ．C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞11．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文））已知定义在R 上的函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞12．（2020·甘肃省高三一模（文））若函数()20202020log 1010f x a x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭为奇函数（其中a 为常数），则不等式()0f x ≥的整数解的个数是（ ） A ．1011B ．1010C ．2020D ．202113．（2020·湖南省宁乡一中高一期末）计算：02lg 2lg53⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值是________． 14．（2020·江苏省盐城中学高三月考）已知函数221()log (1)1x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是_______．15．（2020·海南枫叶国际学校高一期末）不用计算器求下列各式的值 （1）()11230988.6427-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）7log 23lg25lg472log +++16．（2020·甘肃省甘谷第一中学高一开学考试）设函数33()log (9)log (3)f x x x =⋅，且199x ≤≤． （1）求(3)f 的值；（2）令3log t x =，将()f x 表示成以t 为自变量的函数；并由此，求函数()f x 的最大值与最小值及与之对应的x 的值．17．（2020·四川省乐山沫若中学高一月考）已知函数()()()3 01a f x log ax a a -≠＝＞且 ．（1）当[]02x ∈，时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围； （2）是否存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．18．（2020·天水市第一中学高一月考）已知函数()()lg 2(01)x xf x m m =-<<．（1）当12m =时，求()f x 的定义域； （2）试判断函数()f x 在区间(,0)-∞上的单调性，并给出证明； （3）若()f x 在区间(,1]-∞-上恒取正值，求实数m 的取值范围．19．（2020·甘肃省甘谷第一中学高二开学考试（文））已知函数()log (2)(0,1)a f x x a a =+>≠． （1）求函数()f x 定义域；（2）若(2)2f =，判断函数()f x 单调性，并用单调性定义证明； （3）解关于x 的不等式()0f x >．20．（2020·山西省大同一中高二月考（理））已知函数()()2232log ,log f x x g x x =-=. (1)当[]1,4x ∈时，求函数()()()1h x f x g x ⎡⎤=+⋅⎣⎦的值域；(2)如果对任意的[]1,4x ∈，不等式()()2f x fk g x ⋅>⋅恒成立，求实数k 的取值范围．。
对数函数专题讲义
对数函数专题讲义一．对数的概念 (1)对数的定义①一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b＝N ，那么称b 是以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数．②底数的对数是1，即log a a ＝1,1的对数是0，即log a 1＝0. (2)几种常见对数4.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①log a Na＝N (a >0且a ≠1，N >0)；②log a a N＝N (a >0且a ≠1)．(2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1，N >0)；②log a b ＝1log b a (a ，b 均大于零且不等于1)．(3)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a MN＝log a M －loga N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log m na M ＝n mlog a M .二．对数函数的定义1.形如y ＝log a x (a >0，a ≠1)的函数叫作对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象与性质定义域：(0，＋∞)3.反函数指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．考向一 对数运算 例1 计算下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.(3)353log 1+－232log 4+＋103lg3＋⎪⎭⎫ ⎝⎛2152log .例2 已知log 189＝a,18b ＝5，用a 、b 表示log 3645. [玩转跟踪]1.计算下列各式的值： (1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (2)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27(3)943log 21+525log 1+.2.(1)(log 29)·(log 34)等于( )A.14B.12 C.2 D.4 (2)log 2125·log 318·log 519＝________.考向二 对数函数的图像【例3】函数log ()a y x =-（0a >且1a ≠）与函数xy a =（0a >且1a ≠）在同一直角坐标系内的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【例4】函数log (32)2a y x =-+的图象必过定点（ ） A ．(1,2)B ．(2,2)C ．(2,3)D ．2,23⎛⎫⎪⎝⎭【玩转跟踪】1．函数()ln 1f x x =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．2．函数y ＝2log 4(1－x)的图象大致是A ．B ．C ．D ．函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的底数变化对图象位置的影响．观察图象，注意变化规律：(1)上下比较：在直线x ＝1的右侧，a ＞1时，a 越大，图象向右越靠近x 轴，0＜a ＜1时a 越小，图象向右越靠近x 轴．(2)左右比较：比较图象与y ＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．2.函数()log (1)1a f x x =-+（0a >，且1a ≠）的图象恒过点（ ） A ．(1,1)B ．(2,1)C ．(1,2)D ．(2,2)考向三 对数函数性质 1.单调性（区间）【例5】（1）函数()()2223f x log x x =-++的单调减区间是（ ）A ．()3,1-B ．1,C ．(]1,1-D ．()1,3（2）（2019·四川省新津中学高一月考）已知()log (32)a f x ax =-在[]1,2上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．33,42⎛⎫⎪⎝⎭【玩转跟踪】1．函数213log (32)y x x =-+的单调递减区间为（ ） A ．()2,+∞B ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(),1-∞D ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭2．已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞ B ．[2,)+∞C ．(5,)+∞D ．[5,)+∞2.定义域和值域 【例6】（1）函数()ln(-1)f x x =+的定义域为（ ） A ．()1,2B ．()1,+∞C ．()2,+∞D ．()()1,22,⋃+∞（2）函数()212log 617y x x =-+的值域是（ ）.A ．RB ．(],3-∞-C ．[)8,+∞D ．[)3,+∞【一隅三反】 1．函数()2log f x x=-的定义域为（ ） A ．()0,2B ．(]0,2C ．()2,+∞D ．[)2,+∞2．已知函数()f x 的定义域是[1,1]-，则函数(21)()ln(1)f xg x x -=-的定义域是________.3．若函数22,1,()log ,1,x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩ 则函数()f x 的值域是（ ）A ．(,2)-∞B ．(,2]-∞C ．[0,)+∞D ．(,0)(0,2)-∞3.比较大小【例7】比较下列各组数中两个值的大小． （1）log 23.4，log 28.5； （2）log 0.31.8，log 0.32.7；（3）log a 5.1，log a 5.9(a >0，且a ≠1)．【玩转跟踪】1．已知2log 0.3a =， 1.30.3b =， 1.32c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c <<2．已知0.2log 2a =，20.2b =，0.23c =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a << 3．若30.6a =，3log 0.2b =，0.63c =，则（ ）A ．c a b >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b c a >> 4. 解不等式【例8】不等式0.25log (1)1x ->的解集是________. 【玩转跟踪】1．已知函数(2)f x +是定义域为R 的偶函数，()f x 在(2,)+∞上单调递减，则不等式(ln )(1)0f x f -<的解集是（ ） A ．(0,1)(3,)+∞B ．（1，3）C ．3(0,)(,)e e ⋃+∞D ．3(,)e e2．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(],0x ∈-∞时，()22f x x x =-+，若实数m 满足()2log 3f m ≤，则m 的取值范围是（ ）A ．(]0,2B ．1[,2]2C ．(]0,8D ．1[,8]8考向四 对数函数综合应用 例8 已知函数121()log 21axf x x -=-，a 常数. （1）若2a =-，求证()f x 为奇函数，并指出()f x 的单调区间；（2）若对于35,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式1221log (21)log (21)4xx m x ⎛⎫+->-- ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围. [玩转跟踪]1.已知函数f(x)=log 2(2x +k)(k ∈R)的图象过点P(0,1)． （1）求k 的值并求函数f(x)的值域；（2）若关于x 的方程f(x)=x +m,x ∈[0,1]有实根，求实数m 的取值范围；（3）若g(x)=f(x)+ax 为偶函数，求实数a 的值． 反馈练习1．若a =log 225,b =0.43,c =ln3，则a 、b 、c 的大小关系是 。
2.2 对数函数讲义
2.2 对数函数一、对数的概念：如果x a ＝N(a ＞0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝N a log ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
（1）常用对数：把以10为底数的对数叫做常用对数log 10N 简记为lgN ，如：log 105记为lg5 （2）自然对数：把以无理数（e ＝2.71828……）为底的对数称为自然对数，log e N 简记为lnN ，如：log e 5记为ln5。
性质：（1）0和负数没有对数；（2）1的对数是0，即log a 1＝0；（3）底数的对数等于1，即log a a ＝1例1：求下列各式中的x （1）log x 27＝23 （2）x ＝log 2791（3）log 5(log 2x)＝0 【解析】：（1）∵ log x 27＝23 ∴ 23x ＝321)(x ＝27＝33 ∴21x ＝3 ∴x ＝9（2）∵x ＝log 2791 ∴ x 27＝91 ∴x 33＝91＝23- ∴3x ＝－2 ∴x ＝－32 （3）∵log 5(log 2x)＝0 ∴log 2x ＝1 ∴x ＝2变式练习：解下列方程 （1）log 64x ＝－32（2）log x 4＝2 （3）lg 2x －lgx －2＝0【解析】：（1）161 （2）2 （3）101或1000二、对数运算性质 【如果a ＞0且a ≠1；M ＞0，N ＞0，m 、n ∈R 】（1）log a (MN)＝log a M ＋log a N （2）log a NM＝log a M －log a N （3）log a M n ＝nlog a M [ma b n log ＝nmlog a b] （4）N a N a =log 对数恒等式（5）log a b ＝a b c c log log ＝a b lg lg ＝a b ln ln (c ＞0且c ≠1) 换底公式 （6）log a b ＝ab log 1例2：计算（1）lg12.5－lg85＋lg 21 （2）lg5＋31lg8＋lg5×lg20＋lg 22 （3）20log 77×7.0log 77 【解析】：（1）原式＝lg(12.5×21×58)＝lg10＝1（2）原式＝lg5＋31lg23＋lg5×(lg4＋lg5)＋lg 22＝lg5＋lg2＋2lg5×lg2＋lg 25＋lg 22＝lg5＋lg2＋(lg5＋lg2)2＝1＋1＝2 （3）原式＝7.0log 20log 777+＝14log 77＝14【lg5＋lg2＝lg10＝1，lg2≈0.301， lg5≈0.699】变式练习1：计算下列代数式的值。
《对数函数 y=log2 x 的图象和性质》 讲义
《对数函数 y=log2 x 的图象和性质》讲义《对数函数 y=log₂ x 的图象和性质》讲义一、对数函数的定义在数学中，如果 a 的 x 次幂等于 N（a＞0，且a≠1），那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x ＝logₐN。
当底数 a 为 2 时，我们就得到了对数函数 y ＝ log₂ x。
二、对数函数 y ＝ log₂ x 的图象要绘制对数函数 y ＝ log₂ x 的图象，我们可以通过列表、描点、连线的方法来完成。
选取一些特殊的 x 值，计算出对应的 y 值：当 x ＝ 1 时，y ＝ log₂ 1 ＝ 0当 x ＝ 2 时，y ＝ log₂ 2 ＝ 1当 x ＝ 4 时，y ＝ log₂ 4 ＝ 2当 x ＝ 8 时，y ＝ log₂ 8 ＝ 3当 x ＝ 1/2 时，y ＝ log₂ 1/2 ＝－1当 x ＝ 1/4 时，y ＝ log₂ 1/4 ＝－2当 x ＝ 1/8 时，y ＝ log₂ 1/8 ＝－3根据这些点（1, 0)、（2, 1)、（4, 2)、（8, 3)、（1/2, －1)、（1/4,－2)、（1/8, －3) 等等，我们可以描绘出对数函数 y ＝log₂ x 的图象。
对数函数 y ＝ log₂ x 的图象是一条曲线，它经过点（1, 0) ，并且位于 y 轴的右侧。
三、对数函数 y ＝ log₂ x 的性质1、定义域对数函数 y ＝ log₂ x 的定义域为 x ＞ 0 ，因为对数中的真数必须是正数。
2、值域对数函数 y ＝ log₂ x 的值域为全体实数 R 。
3、单调性对数函数 y ＝ log₂ x 在其定义域上是单调递增的。
这意味着当 x₁＜ x₂时，log₂ x₁＜ log₂ x₂。
例如，log₂ 2 ＜ log₂ 4 ，即 1 ＜ 2 。
4、奇偶性对数函数 y ＝ log₂ x 是非奇非偶函数。
因为它既不关于原点对称，也不关于 y 轴对称。
5、特殊点对数函数 y ＝ log₂ x 经过点（1, 0) ，这是因为 log₂ 1 ＝ 0 。
对数函数讲义
2.2.2 对数函数的图象与性质(1)一、知识要点1、 对数函数：函数 （ ）叫做对数函数，定义域为2、 对数函数的图象和性质且)10(log ≠>=a a x y a3、函数的图象且和)1(log log 1≠>==a o a x y x y aa 关于 对称。
二、基础过关：1、画函数图像：（1）213123log ,log ,log ,log y x y x y x y x ====2、求下列函数的定义域 x y x y 25l o g1)2()1(l o g )1(=-=(3)y =3、比较下列各组中两个值的大小220.20.2(1)log 1.5___log 1.3(2)log 3___log 3.4(3)1________3log 21 (4)log 5.1_____log 5.9(0,1)a a a a >≠三、典型例题例1、求下列函数的定义域：（1）；)91(l og x y a -= （2）2log (45)a y x x =--； （3）)2lg(2+-=x x y例2、求下列函数的定义域：)32(log 3.0-=x y 33.0)32(log -=x y 变式：例3、比较下列各组数中两个值的大小： （1） 7.2log 8.1log 3.03.0 （2） 5.8lg 4.3lg （3） 05.0log 5 (4) 15log 31(5)若n m 33log log <，则m,n 的大小关系为_____________ （6）若12log <a，则a 的取值范围为(7)已知)1(log )2(log 45.045.0x x ->+，则实数x 的取值范围是例4、已知函数=-=+-=)(21)(,11lg)(a f a f x x x f ，则若 （ ） 222121、、、、D C B A --四、课后作业：1、函数 x y 2log = 中，当x _时，y>0；当x __ _ 时，y=0当 _________ 时，y<0.2、已知函数x y 31log =，则当10<<x 时，∈y ；当1>x 时，∈y ；当2>y 时，∈x ．3、若x y 3log =，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈27,31x ，则y ∈_________________4、若132log >a，则a 的取值范围为 5、不等式1122log (21)log (3)x x +>-的解集为_________________6、已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x)在[0,+∞]上为增函数，f(2)=0,则不等式的解集为________________________________?7、比较正数m,n 的大小：log log (0,1)a a m n a a >>≠8、71(1)log (2)13y y y x ===-求下列函数定义定义9、已知)2(log )12(log 4.04.0x x ->+，求实数x 的取值范围。
4对数函数 - 中档 - 讲义
对数函数知识讲解一、对数函数的图像与性质①函数log a y x =（0a >，1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，图像如下1a > 01a <<图 象性 质定义域：（0，+∞） 值域：R过点（1，0），即当时，时 时时 时在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数1oyx 1oyx1=x 0=y )1,0(∈x 0<y ),1(+∞∈x 0>y )1,0(∈x 0>y ),1(+∞∈x 0<y②对数函数的性质：定义域：(0,)+∞；值域：R ；过点(1,0)，即当1x =时，0y =． 当0a >时，在（0，+∞）上是增函数；当01a <<时，在（0，+∞）上是减函数．二、对数函数与指数函数的关系关系：对数函数log a y x =与指数函数x y a =图像关于直线y x =对称． 类型：指数方程和对数方程主要有以下几种类型：()()log ,log ()()f x b a a a b f x b f x b f x a =⇔==⇔=（定义法）()()()(),log ()log ()()()0f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =⇔==⇔=>（转化法） ()()()log ()log f x g x m m a b f x a g x b =⇔= （取对数法）三、对数函数有关的性质（1）xy a =与log a y x =；2x x a a y --=与(l g ()ay o x x R =+∈；11x x a y a -=+与1log 1a xy x+=- 关于y x =对称，（2）已知1()lg 1x f x x +=-,,(1,1)a b ∈-则()()1a b f a f b f ab +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭（3）指数函数与对数函数可以有两个或一个交点．典型例题一．选择题（共6小题）1．（2016秋•荆门期末）函数f （x ）=（a 2+a ﹣5）loga x 为对数函数，则f （18）等于（ ） A ．3B ．﹣3C ．﹣log 36D ．﹣log 38【解答】解：∵函数f （x ）=（a 2+a ﹣5）log a x 为对数函数， ∴{a 2+a −5=1a ＞0a ≠1，解得a=2，∴f （x ）=log 2x ，∴f （18）=log 218=﹣3．故选：B ．2．（2014秋•大兴区期中）已知对数函数的图象过点M （9，2），则此对数函数的解析式为（ ）A ．y=log 2xB ．y=log 3xC ．y=log13xD ．y=log12x 【解答】解：设函数f （x ）=log a x （x ＞0，a ＞0且a ≠1）， ∵对数函数的图象过点M （9，2）， ∴2=log a 9，∴a 2=9，a ＞0， 解得a=3．∴此对数函数的解析式为y=log 3x ． 故选：B ．3．（2018•通州区一模）设a=log1316，b=log312，c=3−12，那么（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．a＞c＞b【解答】解：∵a=log1316，b=log312，c=3−12，∴a=log1316＞log1313=1，b=log312＜log31=0，0＜c=3−12＜30=1，∴a＞c＞b．故选：D．4．（2017秋•林芝县校级期末）函数y=3+log a（2x+3）的图象必经过定点P的坐标为（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，4）C．（0，1）D．（2，2）【解答】解：令2x+3=1，求得x=﹣1，y=3，故函数y=3+log a（2x+3）的图象必经过定点P的坐标（﹣1，3），故选：A．5．（2016秋•准格尔旗校级期末）函数f（x）=log a（ax﹣3）在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，1）C．（0，13）D．（3，+∞）【解答】解：∵函数f（x）=log a（ax﹣3）在[1，3]上单调递增，而函数t=ax﹣3在[1，3]上单调递增，根据复合函数的单调性可得a＞1，且a﹣3＞0，求得a＞3，故选：D ．6．（2016春•资阳区校级期末）函数f （x ）=log a （4x ﹣3）过定点（ ） A ．（1，0） B ．（34，0）C ．（1，1）D ．（34，1）【解答】解：对数函数恒过（1，0）点，则函数f （x ）=log a （4x ﹣3），4x ﹣3=1，x=1可知函数过的定点（1，0） 故选：A ．二．填空题（共4小题）7．（2014秋•镇沅县校级期中）对数函数f （x ）的图象经过点（14，2），则f （x ）= log 12x．【解答】解：设数函数f （x ）=log a x ，（a ＞0且a ≠1）∵图象经过点（14，2），∴log a14=2得a=12∴f （x ）=log 12x故答案为：log 12x8．（2012秋•麻栗坡县校级期末）对数函数y=log （a +1）x 中实数a 的取值范围是 {a |a ＞﹣1且a ≠0} ．【解答】解：由a +1＞0且a +1≠1，得a ＞﹣1且a ≠0．所以对数函数y=log （a +1）x 中实数a 的取值范围是{a |a ＞﹣1且a ≠0}．故答案为{a|a＞﹣1且a≠0}．9．（2009春•金山区校级月考）方程log2（log5x）=1的解为25．【解答】解：∵log2（log5x）=1=log22，∴log5x=2，∴x=25，故答案为：2510．（2017•金华模拟）比较lg2，（lg2）2，lg（lg2）的大小，其中最大的是lg2，最小的是lg（lg2）．【解答】解：∵lg2∈（0，1），0＜（lg2）2＜lg2，lg（lg2）＜0，∴最大的是lg2，最小的是lg（lg2）．故答案分别为：lg2，lg（lg2）．三．解答题（共2小题）11．（2016春•石家庄校级期末）已知函数f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若不等式f（x）＞m有解，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）要使函数的解析式有意义，自变量x须满足：{2+x＞02−x＞0，可得﹣2＜x＜2．故函数f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）的定义域为（﹣2，2）．（2）∵不等式f（x）＞m有解，∴m＜f（x）max，令t=4﹣x2，∵﹣2＜x＜2，∴0＜t≤4，∵y=lgx，为增函数，∴f（x）的最大值为lg4，∴m的取值范围为m＜lg4．12．（2013秋•荔湾区校级期末）设全集为U=R，集合A={x|（x+3）（x﹣6）≤0}，B={x|log2（x+2）＜4}．（1）求如图阴影部分表示的集合；（2）已知C={x|x＞2a且x＜a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由（x+3）（x﹣6）≤0，得﹣3≤x≤6，即A=[﹣3，6]，由0＜x+2＜16，解得﹣2＜x＜14，即B=（﹣2，14），∵阴影部分为A∩C R B，∴A∩C R B=[﹣3，﹣2]．（2）∵C={x|x＞2a且x＜a+1}，∴①2a≥a+1，即a≥1时，C=∅，成立；②2a＜a+1，即a＜1时，C=（2a，a+1）⊆（﹣2，14），则{a+1≤14，2a≥−2解得﹣1≤a＜1．综上所述，a的取值范围为[﹣1，+∞）．。
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一、教学目标：1．理解对数的概念，掌握对数的运算性质；2．掌握对数函数的概念、图象和性质；能利用对数函数的性质解题．二、教学重、难点：运用对数运算性质进行求值、化简、证明、运用对数函数的定义域、单调性解题三、命题规律：主要考察指数式ba N =与对数式log a Nb =的互化，对数函数的图像和性质或由对数函数复合成的函数，主要涉及比较大小、奇偶性、过定点、单调区间以及运用单调性求最值等，主要以填空为主。
四、教学内容：【知识回顾】 1.对数的概念如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。
即指数式与对数式的互化：log ba aN b N =⇔=2.常用对数：通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数，记作lg N 。
自然对数：通常将以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数叫做自然对数，记作ln N 。
3.对数的性质及对数恒等式、换底公式（1）对数恒等式：①log Na a = (01,0)a a N >≠>且②log N a a =(01,0)a a N >≠>且（2）换底公式：log a N =log log b b Na（3）对数的性质：①负数和零没有对数 ② 1的对数是零，即log 10a =③底的对数等于1，即log 1a a = ④log log log a b c b c d ⋅⋅=log a d4.对数的运算性质如果01,0,0a a M N >≠>>且，那么（1）log ()a MN = ； （2）log aMN= ； （3）log na M = ； （4）logn a mM = 。
（5）log log a b b a ⋅= ； （6）log a b =1log b a5.对数函数函数log (01)a y x a a =>≠且做对数函数，其定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).、 6.对数函数图像与性质注：对数函数1log log (01)a ay x y x a a ==>≠与且的图像关于x 轴对称。
7.同真数的对数值大小关系如图在第一象限内，图像从左到右相应的底逐渐增大， 即01c d a b <<<<<8.对数式、对数函数的理解① 应重视指数式与对数式的互化关系，它体现了数学的转化思想，也往往是解决“指数、对数”问题的关键。
② 在理解对数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像2log 2,log 2,3ln x y y x y x ===等函数均不符合形式log (01)a y x a a =>≠且，因此，它们都不是对数函数 ③ 画对数函数log a y x =的图像，应抓住三个关键点1(,1),(1.0),(,1)a a-【例题精讲】考点一：对数式的运算例1.计算（1）(22lg5+（2）()(21lg5lg8lg1000lg lg lg0.066++++【反思归纳】运用对数的运算法则时，要注意各字母的取值范围，只有所得结果中的对数和所给出的数的对数都存在时才成立，同时不要将积商幂的对数与对数的积商幂混淆起来。
【举一反三】1.求值：（1）2221log log12log4212--（2）()2lg2lg2lg50lg25+⋅+（3）()()3948log2log2log3log3+⋅+练习：1=29=3(log3log3)=1248．化简．．计算．．计算＋·．lg lglglglog23939123-+-4log(6+42642)=5log2=1aalog3=32．．．已知，则．---6．若log π(log 3(lnx))=0，则x=________． 7．化简lg 25＋lg2·lg50=________．8log500lg 85lg6450(lg2lg5)2．计算＋＋＋＝．-12考点二：对数值的大小比较比较大小常用的方法有：①做差比较法 ②做商比较法 ③函数单调性法 ④中间值法， 在比较两个幂的大小时，除上述一般方法外，还应注意以下情况：1) 对于底数相同，真数不同的两个对数的大小比较，直接利用对数函数的单调性来判断。
2) 对于底数不同，真数相同的两个对数的大小比较，可利用对数函数的图像来判断。
3) 对于底数和真数均不同的两个对数的大小比较，可以利用中间值来比较4) 对于三个及以上的数进行大小比较，则应先根据值的大小，（特别是0和1）进行分组，再比 较各组的大小。
5) 对于含有参数的两个对数进行大小比较时，要注意对底数进行讨论。
例2.比较大小（1）22log 3.4log 8.5与 （2）23log 3log 3与（3）76log 6log 7与 （4）()()21log 1log 2a ab b b R -+∈与【举一反三】(1)3.0log 7.0log 4.03.0与 (2) 214.36.0317.0log ,8.0log -⎪⎭⎫ ⎝⎛和 (3)1.0log 1.0log 2.03.0和解：（1） ∵13.0log 7.0log 3.03.0=< 14.0log 3.0log 4.04.0=>∴3.0log 7.0log 4.03.0<(2) ∵18.0log 06.0<< 07.0log 4.3< 13121>⎪⎭⎫⎝⎛-∴216.04.3318.0log7.0log -⎪⎭⎫ ⎝⎛<<(3) 解： 03.0log 11.0log 1.03.0>=02.0log 11.0log 1.02.0>=∵2.0log 3.0log 1.01.0< ∴1.0log 1.0log 2.03.0> 考点三：与对数函数有关的定义域问题求与对数函数有关的复合函数的定义域的方法与前面所讲到的求定义域解法一样，但应注意真数大于0且不等于1，若遇到底数含有参数，则应对参数进行讨论。
例3. 求下列函数的定义域()21log a y x =；（2）2log (4)a y x =-；（3）log 4a xy x=-. 解（1）因为20x >，即0x ≠，所以函数2log a y x =的定义域是()(),00,-∞+∞.（2）因为240x ->，即240x -<，所以函数2log (4)a y x =-的定义域是()2,2-.（3）因为04x x >-，即()40x x -<，所以函数log 4axy x=-的定义域是()0,4. 考点四：与对数函数有关的值域问题（1） 型如(log )a y f x =：采用换元法，令log a t x =，根据定义域先求log a t x =值域，再求()y f t =的值域。
（2） 型如log ()a y f x =：由真数()0f x >求出定义域，再求出()y f x =的值域，再根据a 的值确定复合函数的值域.例4.求下列函数的定义域、值域： (1)41212-=--xy (2) )52(log 22++=x x y (3) )54(log 231++-=x x y (4) )(log 2x x y a --=解(1)：要使函数有意义，必须：041212≥---x 即：11212≤≤-⇒-≥--x x 值域：∵11≤≤-x ∴012≤-≤-x 从而 1122-≤--≤-x ∴2124112≤≤--x ∴41412012≤-≤--x ∴210≤≤y (2)∵522++x x 对一切实数都恒有4522≥++x x ∴函数定义域为R从而24log )52(log 222=≥++x x 即函数值域为2≥y (3)函数有意义，必须：5105405422<<-⇒<--⇒>++-x x x x x由51<<-x ∴在此区间内 9)54(max 2=++-x x∴ 95402≤++-≤x x从而 29log )54(log 31231-=≥++-x x 即：值域为2-≥y(4)要使函数有意义，必须： 02>--x x ①0)(log 2≥--x x a ②由①：01<<-x由②：当1>a 时 必须 12≥--x x φ∈x当10<<a 时 必须 12≤--x x R x ∈综合①②得 1001<<<<-a x 且 当01<<-x 时 41)(max 2=--x x ∴4102≤--<x x ∴41log )(log 2aa x x ≥-- 41log a y ≥ )10(<<a考点五：定义域或值域为R 的问题（1） 若[]log ()a y x ϕ=的定义域为R,则对任意实数x ，恒有()0x ϕ>。
特别地，当2()(0)x ax bx c a ϕ=++≠时，要使定义域为R ，则必须00a >∆<且 （2） 若[]log ()a y x ϕ=的值域为R ，则()x ϕ必需取遍()0+∞，内所有的数。
特别地，当2()(0)x ax bx c a ϕ=++≠时，要使值域为R ，则必须00a >∆≥且 例5. 对于函数)32(log )(221+-=ax x x f ，解答下述问题：（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围；（3）若函数在),1[+∞-内有意义，求实数a 的取值范围； （4）若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞ ，求实数a 的值； （5）若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值； （6）若函数在]1,(-∞内为增函数，求实数a 的取值范围.考点六：对数函数的综合问题 例1、设121()log 1axf x x －＝－为奇函数, a 为常数. ⑴求a 的值；⑵求证：()f x 在(1)∞，＋内单调递增；⑶若对于[3,4]上的每一个x 的值，不等式1()()2xf x m >＋恒成立，求实数m 的取值范围。
解：⑴因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x －＝－，112211log log 11ax axx x ∴＋－＝－－－－，1111ax x x ax∴＋－＝－－－，22211a x x ∴－＝－，1a ∴±，经检验1a ＝－⑵121()log 1x f x x +＝－ 定义法：任取121x x >>，所以12110x x >>－－，1222011x x ∴<<－－，12121111x x x x ∴<＋＋－－，1211122211log log 11x x x x ∴>＋＋－－，所以12()()f x f x >，所以()f x 在(1)∞，＋内单调递增.导数法：1211()()log ()11x x f x e x x '⋅⋅'－＋＝＋－()112222121log log 111x e e x x x ⋅⋅⋅－－＝＝－＋－－，因为1x >，所以2101x >，－又12log 0e >－，所以()0f x '>，所以所以()f x 在(1)∞，＋内单调递增.⑶对于[3,4]上的每一个x 的值，不等式1()()2xf x m >＋恒成立，所以1()()2xf x m>－恒成立，令1()()()2xg x f x =－，由知⑵，()g x 在[3,4]上是单调递增函数，所以9(3)8m g <＝－，所以m 的取值范围是9()8∞－，－.例2、已知()log (01,0)ax bf x a a b x b+>≠>＝且－ ⑴求函数()f x 的定义域； ⑵讨论函数()f x 的奇偶性； ⑶讨论函数()f x 的单调性.析：由真数大于0，可求定义域，按奇偶性的定义判断其奇偶性，单调性可按复合函数的单调性的规律判断。