2018人大附中高二(文)(解析版)

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北京市海淀区人大附中2018-2019学年高二下学期期末考试语文试卷

【题文】从下面两个题目中任选一题,按要求作答。

不少于700字。

将题目抄在答题卡上。

①“喧嚣”是现代社会的一大特征,汽笛吼,施工吵,生活中到处人声鼎沸,网络上也是众声喧哗……周国平说:“我发现,世界越来越喧闹,而我的日子越来越安静了。

我喜欢过安静的日子。

”莫言说:“我想社会生活本来就是喧嚣的,或者说喧嚣是社会生活的一个方面。

喧嚣这种现象,也不完全是负面的。

”请以“喧嚣”为话题,写一篇文章,要求:观点明确,有理有据②请以“门其实开着”为题,写一篇文章,要求:想象合理,故事完整,描写具体生动。

【答案】安静与喧嚣周国平渴望过安静的日子，莫言却认为生活本应是喧闹的。

而我以为，作为个体应沉静下来，社会则应在喧闹中发展。

每个人，只有静下心来才有可能作出一番成就。

梅贻琦曾说：“人生不能离群，而自修不能无独。

”只有摒弃浮躁的心灵，才能深刻地剖析自己的内心，专注于学术上的思考，从而有所作为。

余秋雨在文革期间躲进僻静无人的藏书阁中，苦心经营文化典籍，最终著称了《文化苦旅》一书；季羡林请求摘掉“三顶桂冠”，潜心钻研国学，而成为一代大家。

在安静的日子中，他们与文学进行着心贴心的交流，由此才能领悟其中的真谛，而非停留在表面。

无视外界的喧闹，无论是褒是贬，静下心来，成就自己。

然而社会往往是在一片喧闹声中发展的。

春秋战国时期百家争鸣，在人才荟萃的稷下学宫中总能传来激烈的辩论声，在这种热闹的氛围中，最终推动了文化的大繁荣；19世纪的欧洲，工业革命正如火如荼地进行着，机器的轰鸣声响彻云霄，人类科技的发展迈上了一个新的台阶。

真正安静如桃花源般的世界虽宁静和谐，但“乃不知有汉，无论魏晋”，只有在思想的交锋与碰撞中，在技术的革新与相互促进中，社会才能向前发展。

但如何在喧闹的社会中寻求安静的自我呢？陶渊明告诉我们：“心远地自偏。

”我们每个人生活的社会本无不同，只是心态上的差异罢了。

有人有了一些小小的发现，便迫不及待的到处炫耀；有人对问题刨根问底，只求探寻其本质的原因。

2018北京市中国人民大学附属中学高二(上)期末仿真测试卷物理A含答案

2018北京市中国人民大学附属中学高二（上）期末仿真测试卷物理（A ）第一部分选择题（共88分）一、选择题:认真审题，仔细想一想，然后选出正确答案。

（本题共10小题，每小题4分，共40分．） 1．首先发现通电导线周围存在磁场的物理学家是（） A ．安培 B ．法拉第 C ．奥斯特 D ．特斯拉 2．电场强度qFE =是用比值定义法定义的物理量，下列哪个物理量的表达式是不相同的物理方法（） A ．电流r R E I +=B ．磁感应强度IL FB =C ．电容U Q C =D ．电阻IUR =3．电场中有a 、b 两点，a 点电势为4V ，带电量为8102－　⨯C 的负离子仅在电场力作用下从a 运动到b 的过程中，电场力做正功8104－　⨯J ，则（）A ．b 点电势是2VB ．a 、b 两点中，b 点电势较高C ．此电荷的电势能增加D ．该电荷速度一定减小4．两只电阻的伏安特性曲线如图所示，则下列说法中正确的是（） A ．两电阻的阻值为R 1大于R 2B ．两电阻串联在电路中时，R 1两端电压大于R 2两端电压C ．两电阻串联在电路中时，R 1消耗的功率小于R 2消耗的功率D ．两电阻并联在电路中时，R 1的电流小于R 2的电流5．如图所示，长为2L 的直导线折成边长相等、夹角为60°的V 形，并置于与其所在平面相垂直的匀强磁场中，磁感应强度为B ，当在该导线中通以电流强度为I 的电流时，该V 形通电导线受到的安培力大小为 ( )A ．0B ．0.5BILC ．BILD ．2BIL6．两个分别带有电荷量Q - 和3Q +的相同金属小球（均可视为点电荷），固定在相距为r 的两处，它们间库仑力的大小为F 。

两小球相互接触后将其固定距离变为2r，则两球间库仑力的大小为（） A ．12F B ． 43F C ．34F D ．12F7．如图所示，有一根直导线上通以恒定电流I ，方向垂直指向纸内，且和匀强磁场B 垂直，则在图中圆周上，磁感应强度数值最大的点是 ( )A ．a 点B ．b 点C ．c 点D ．d 点8．如图所示是一火警报警电路的示意图．其中R 3为用某种材料制成的传感器，这种材料的电阻率随温度的升高而增大．值班室的显示器为电路中的电流表，电源两极之间接一报警器．当传感器R 3所在处出现火情时，显示器的电流I 、报警器两端的电压U 的变化情况是 ( )A ．I 变大，U 变小B ．I 变小，U 变大C ．I 变小，U 变小D ．I 变大，U 变大9．如图，光滑半圆形轨道与光滑曲面轨道在B 处平滑连接，前者置于水平向里的匀强磁场中，有一带正电小球从A 静止释放，且能沿轨道前进，并恰能通过半圆形轨道最高点C.现若撤去磁场，使球从静止释放仍能恰好通过半圆形轨道最高点，则释放高度H ′与原释放高度H 的关系是 ( )A ．H ′<HB ．H ′＝HC ．H ′>HD ．无法确定10．美国物理学家密立根通过研究平行板间悬浮不动的带电油滴，比较准确地测定了电子的电荷量．如图所示，平行板电容器两极板M 、N 相距d ，两极板分别与电压为U 的恒定电源两极连接，极板M 带正电．现有一质量为m 的带电油滴在极板中央处于静止状态，且此时极板带电荷量与油滴带电荷量的比值为k ，则 ( )A ．油滴带正电B ．油滴带电荷量为mgUdC ．电容器的电容为kmgdU 2D ．将极板N 向下缓慢移动一小段距离，油滴将向上运动 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项二、多项选择题（本题共8小题，每小题6分，共48分．有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．）11．质量和电荷量都相等的带电粒子M 和N ，以不同的速率经小孔S 垂直进入匀强磁场，带电粒子仅受洛伦兹力的作用，运行的半圆轨迹如图中虚线所示，下列表述正确的是 ( )A ．M 带负电，N 带正电B ．M 的速率小于N 的速率C．洛伦兹力对M、N不做功D．M的运行时间大于N的运行时间12．一充电后与电源断开的平行板电容器，保持两极板的正对面积、间距不变，在两极板间插入一电介质，则( )A．电容器的电容C增大 B．电容器的电容C减小C．两极板间的电势差U增大 D．两极板间的电势差U减小13．一台直流电动机的电阻为R，额定电压为U，额定电流为I，当其正常工作时下述正确的是 ( ) A．电动机所消耗的电功率为IU B．t秒内所产生的电热为IUtC．t秒内所产生的电热为I2Rt D．t秒内所产生的机械能为IUt－I2Rt14．如图，正点电荷放在O点，图中画出它产生的电场的六条对称分布的电场线。

北京市人大附中2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(文科)_Word版含解析

2017-2018学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．命题“∃x0∈R，≤0”的否定是（）A．∃x0∈R，＞0 B．∃x0∉R，≤0C．∀x∈R，2x＞0 D．∀x∈R，2x≤02．下列求导运算正确的是（）A．（x3）'=x2 B．C．（e x）'=xe x﹣1D．（cosx）'=sinx3．如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，+∞）4．“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A（﹣1，0），右焦点为F2（，0），则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x6．如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f′（4）=（）A．B．3 C．4 D．57．函数f（x）=2x3﹣3x2+a的极大值为6，那么a的值是（）A．5 B．0 C．6 D．18．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x 轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．若椭圆的中心在坐标原点，焦点为（1，0），且过（2，0）点，则椭圆的标准方程为______．10．已知函数f（x）=sinx，则f′（）=______．11．已知椭圆+=1的焦点F1、F2在x轴上，离心率为，若弦AB经过焦点F1，则△ABF2的周长为______．12．函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是______．13．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，则|AB|=______．14．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，给出下列命题：①﹣2是函数y=f（x）的极值点；②1是函数y=f（x）的最小值点；③y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零；④y=f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增．则正确命题的序号是______．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知点M（3，﹣6）在以原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线C上，直线l：y=2x+1与抛物线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．（1）求抛物线C的方程；（2）求线段AB的长．16．已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2（Ⅰ）求f（x）的单调减区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣2，2]上的最值．17．已知椭圆D： +=1的半焦距c=1，且a=b．（1）求椭圆D的标准方程；（2）过点M（0，m）且斜率为的直线l与椭圆D有两个不同的交点P和Q，若以PQ为直径的圆经过原点O，求实数m的值．一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，点A 在曲线C上，∠F1AF2的平分线交x轴于点M（I）若点M的坐标为（2，0），则|AF2|=______；（II）若|AF1|+|AF2|=24，则△F1AF2的面积为______．19．（I）设函数f（x）=x（x+1）（x+2），则f′（0）=______；（II）设函数f（x）=x（x+1）（x+2）…（x+100），则f′（0）=______．（只需列出式子即可）二、解答题（本大题共2小题，满分20分.请把解答过程写在答题纸上.）20．已知椭圆G： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，右顶点为（，0）．（1）求G的方程；（2）直线y=kx+1与曲线G交于不同的两点A，B，若在x轴上存在一点M，使得|AM|=|BM|，求点M的横坐标的取值范围．21．设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明：切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．2017-2018学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．命题“∃x0∈R，≤0”的否定是（）A．∃x0∈R，＞0 B．∃x0∉R，≤0C．∀x∈R，2x＞0 D．∀x∈R，2x≤0【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得到结论．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是∀x∈R，2x＞0，故选：C2．下列求导运算正确的是（）A．（x3）'=x2 B．C．（e x）'=xe x﹣1D．（cosx）'=sinx【考点】导数的运算．【分析】直接利用求导公式判断选项的正误．【解答】解：A．（x3）'=3x2故A错误；B．（lgx）'=故B正确；C．（e x）'=e x故C错误；D．（cosx）'=﹣sinx 故D错误；故选B3．如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，+∞）【考点】椭圆的标准方程．【分析】利用椭圆的定义求解．【解答】解：∵x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，把x2+ky2=2转化为椭圆的标准方程，得，∴，解得0＜k＜1．∴实数k的取值范围是（0，1）．故选：A．4．“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据同向不等式两边可相加，由a＞b，c＞d能得到a+c＞b+d，而a+c＞b+d得不到a＞b，c＞d，比如a=b，c＞d的情况，所以a＞b，c＞d是a+c＞b+d的充分不必要条件．【解答】解：由a＞b，c＞d便得到a+c＞b+d，即a＞b，c＞d是a+c＞b+d的充分条件；而由a+c＞b+d得不到a＞b，c＞d，比如a=b，c＞d，满足a+c＞b+d，但不满足a＞b，即a ＞b，c＞d不是a+c＞b+d的充分条件；∴a＞b，c＞d是a+c＞b+d的充分不必要条件．故选B．5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A（﹣1，0），右焦点为F2（，0），则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的几何量，即可求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A（﹣1，0），右焦点为F2（，0），可得a=1，c=，所以b=．双曲线的渐近线方程为：y=．故选：A．6．如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f′（4）=（）A．B．3 C．4 D．5【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由图得到f（4）=5，进一步得到直线l所经过的两点，由两点求斜率得到l的斜率，即曲线y=f（x）在x=4处的导数值．【解答】解：由图可知，f（4）=5，又直线过（0，3），（4，5），∴，即f′（4）=．故选：A．7．函数f（x）=2x3﹣3x2+a的极大值为6，那么a的值是（）A．5 B．0 C．6 D．1【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】令f′（x）=0，可得x=0 或x=6，根据导数在x=0和x=6两侧的符号，判断故f （0）为极大值，从而得到f（0）=a=6．【解答】解：∵函数f（x）=2x3﹣3x2+a，导数f′（x）=6x2﹣6x，令f′（x）=0，可得x=0 或x=1，导数在x=0 的左侧大于0，右侧小于0，故f（0）为极大值．f（0）=a=6．导数在x=1 的左侧小于0，右侧大于0，故f（1）为极小值．故选：C．8．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x 轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先求出点B的坐标，设出点P的坐标，利用=2，得到a与c的关系，从而求出离心率．【解答】解：如图，由于BF⊥x轴，故x B=﹣c，y B =，设P（0，t），∵=2，∴（﹣a，t）=2（﹣c，﹣t）．∴a=2c，∴e==，故选D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．若椭圆的中心在坐标原点，焦点为（1，0），且过（2，0）点，则椭圆的标准方程为．【考点】椭圆的标准方程．【分析】根据题意椭圆的焦点在x轴上，a=2且c=1，进而求得b=，由此能求出椭圆的标准方程．【解答】解：由题意知椭圆的焦点在x轴上，∵椭圆经过点（2，0），焦点为（1，0），∴a=2，c=1，可得b=．因此，椭圆的标准方程为．故答案为：．10．已知函数f（x）=sinx，则f′（）=．【考点】导数的运算．【分析】根据导数的运算法则计算即可．【解答】解：f（x）=sinx，则f′（x）=cosx，则f′（）=cos=，故答案为：11．已知椭圆+=1的焦点F1、F2在x轴上，离心率为，若弦AB经过焦点F1，则△ABF2的周长为12．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的方程为+=1的焦点F1、F2在x轴上，离心率为，知长半轴a=3，利用椭圆的定义知，△ABF2的周长为4a，从而可得答案．【解答】解：∵椭圆的方程为+=1的焦点F1、F2在x轴上，离心率为，∴=∴a=3，又过焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，A，B与椭圆的另一个焦点F2构成△ABF2，则△ABF2的周长l=|AB|+|AF2|+|BF2|=（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a=4a=12．故答案为：1212．函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是（2，+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】首先对f（x）=（x﹣3）e x求导，可得f′（x）=（x﹣2）e x，令f′（x）＞0，解可得答案．【解答】解：f′（x）=（x﹣3）′e x+（x﹣3）（e x）′=（x﹣2）e x，令f′（x）＞0，解得x＞2．故答案为：（2，+∞）．13．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，则|AB|=8．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，故|AB|=x1+x2+2，由此易得弦长值．【解答】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=﹣1，∵抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点∴|AB|=x1+x2+2，又x1+x2=6∴∴|AB|=x1+x2+2=8故答案为8．14．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，给出下列命题：①﹣2是函数y=f（x）的极值点；②1是函数y=f（x）的最小值点；③y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零；④y=f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增．则正确命题的序号是①④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．【解答】解：根据导函数图象可知当x∈（﹣∞，﹣2）时，f'（x）＜0，在x∈（﹣2，+∞）时，f'（x）≥0则函数y=f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增，故y=f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增正确，即④正确而在x=﹣2处左侧单调递减，右侧单调递增，则﹣2是函数y=f（x）的极小值点，故①正确∵函数y=f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增∴当x=﹣2处函数取最小值，1不是函数y=f（x）的最小值点，故②不正确；∵函数y=f（x）在x=0处的导数大于0∴y=f（x）在x=0处切线的斜率大于零，故③不正确故答案为：①④三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知点M（3，﹣6）在以原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线C上，直线l：y=2x+1与抛物线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．（1）求抛物线C的方程；（2）求线段AB的长．【考点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线C的方程；（2）将直线l：y=2x+1与抛物线C的方程y2=12x联立化简整理可得：4x2﹣8x+1=0，即可求线段AB的长．【解答】解：（1）依题意可设：抛物线C的方程为y2=2px（p＞0）由点M（3，﹣6）在抛物线C上可得：（﹣6）2=2p×3=6p，∴p=6．故所求抛物线C的方程为y2=12x；（2）将直线l：y=2x+1与抛物线C的方程y2=12x联立化简整理可得：4x2﹣8x+1=0∴x=1±由弦长公式可得：|AB|=•=．16．已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2（Ⅰ）求f（x）的单调减区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣2，2]上的最值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2，通过求导得出f′（x）＜0，解出即可；（Ⅱ）f（x）在[﹣1，2]上单调递增，在[﹣2，﹣1]上单调递减，因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，求出即可．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2∴f′（x）=﹣3x2+6x+9．令f′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞3，∴函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．（Ⅱ）∵f（﹣2）=8+12﹣18﹣2=0，f（2）=﹣8+12+18﹣2=20，∴f（2）＞f（﹣2）．∵x∈（﹣1，3）时，f′（x）＞0，∴f（x）在[﹣1，2]上单调递增，又由于f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递减，因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值．于是有f（x）max=20，f（x）min=﹣7．17．已知椭圆D： +=1的半焦距c=1，且a=b．（1）求椭圆D的标准方程；（2）过点M（0，m）且斜率为的直线l与椭圆D有两个不同的交点P和Q，若以PQ为直径的圆经过原点O，求实数m的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意可知：c=1，且a=b＞0，又a2=b2+c2，联立解出即可得出椭圆D的标准方程．（2）由题意易知：直线l的方程为y=x+m．与椭圆方程联立可得：5x2+4mx+2（m2﹣1）=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由以PQ为直径的圆经过原点O可得：•=0，即x1x2+y1y2=0．利用根与系数的关系代入即可解出．【解答】解：（1）由题意可知：c=1，且a=b＞0，又a2=b2+c2，联立解得c=1，b=1，a=所求椭圆D的标准方程为： +y2=1．（2）由题意易知：直线l的方程为y=x+m．联立，化简整理可得：5x2+4mx+2（m2﹣1）=0，由△=﹣4×5×2（m2﹣1）=40﹣8m2＞0，可得：＜m＜．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．∴x1+x2=，x1x2=．由以PQ为直径的圆经过原点O可得：OP⊥OQ．从而•=0，∴x1x2+y1y2=0．∴x1x2+y1y2=x1x2+=3x1x2+（x1+x2）+m2=3×+m×（﹣）+m2=﹣=0，解得：m=，满足△＞0．故所求实数m的值为．一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，点A 在曲线C上，∠F1AF2的平分线交x轴于点M（I）若点M的坐标为（2，0），则|AF2|=6；（II）若|AF1|+|AF2|=24，则△F1AF2的面积为54．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（I）求得双曲线的a，b，c，可得焦点坐标，运用角平分线性质定理可得==，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=6，进而可得所求；（II）由双曲线的对称性，可设A在右支上，运用双曲线的定义和直角三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（I）双曲线C：﹣=1的a=3，b=3，c==6，则F1（﹣6，0），F2（6，0），∠F1AF2的平分线交x轴于点M，可得===，可得A在右支上，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a=6，解得|AF2|=6；（II）由双曲线的对称性，可设A在右支上，可得|AF1|﹣|AF2|=6，且|AF1|+|AF2|=24，解得|AF1|=15，|AF2|=9，又|F1F2|=12，由92+122=152，可得AF2⊥F1F2，则△F1AF2的面积为×9×12=54．故答案为：6，54．19．（I）设函数f（x）=x（x+1）（x+2），则f′（0）=2；（II）设函数f（x）=x（x+1）（x+2）...（x+100），则f′（0）=1×2×3× (100)（只需列出式子即可）【考点】导数的运算．【分析】（Ⅰ）构造函数g（x）=（x+1）（x+2），则f（x）=xg（x），再根据导数的运算法则计算即可；（Ⅱ）构造函数g（x）=（x+1）（x+2）…（x+100），则f（x）=xg（x），再根据导数的运算法则计算即可．【解答】解：（Ⅰ）设g（x）=（x+1）（x+2），则f（x）=xg（x），则f′（x）=g（x）+xg′（x），∴f′（0）=g（0）+0×g′（0）=（0+1）（0+2）=2，（Ⅱ）g（x）=（x+1）（x+2）…（x+100），则f（x）=xg（x），则f′（x）=g（x）+xg′（x），∴f′（0）=g（0）+0×g′（0）=（0+1）×（0+2）×...×（0+100）=1×2×3× (100)二、解答题（本大题共2小题，满分20分.请把解答过程写在答题纸上.）20．已知椭圆G： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，右顶点为（，0）．（1）求G的方程；（2）直线y=kx+1与曲线G交于不同的两点A，B，若在x轴上存在一点M，使得|AM|=|BM|，求点M的横坐标的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意可知：e==，a=，b2=a2+c2，联立解出即可得出椭圆G的方程．（2）将直线l的方程y=kx+1与椭圆G的方程联立化简整理可得：（3k2+2）x2+6kx﹣3=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得线段AB中点N的坐标，再利用线段垂直平分线的性质、斜率计算公式即可得出．【解答】解：（1）由题意可知：e==，a=，b2=a2+c2，联立解得a=，c=1，b2=2．所求椭圆G的方程为：=1．（2）将直线l的方程y=kx+1与椭圆G的方程联立：，化简整理可得：（3k2+2）x2+6kx﹣3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．则x1+x2=，x1•x2=．设线段AB中点N的坐标为（x0，y0）．则x0==，y0=kx0+1=．设x轴上M点坐标为（m，0），使得|AM|=|BM|，依题意可得：AB⊥MN．①当k=0时，直线l平行于x轴，易知：此时M点与坐标原点重合，其坐标为（0，0）；②当k≠0时，有k MN=﹣，∴===﹣，从而m=﹣=﹣，而≥2（k＞0），或≤﹣2（0＞k），故≤m＜0或0＜m≤．综上所述：实数m的取值范围是．即点M的横坐标的横坐标的取值范围是．21．设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明：切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）a=1时，f（x）=x2+ax﹣lnx（x＞0），，根据函数的定义域，确定f′（x）＞0和f′（x）＞0的范围，进而得到函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，则f'（x）≤0对任意x∈（0，1]恒成立，进而对任意x∈（0，1]恒成立，进而将问题转化为函数的最值问题后，可得实数a的取值范围；（Ⅲ）设出切点坐标，利用导数法求出切线斜率（切点处的导函数值），进而利用点斜式方程结合切线过原点求出切线方程，通过证明t=1是方程t2+lnt﹣1=0的唯一的解，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=x2+ax﹣lnx（x＞0），∴，又∵，f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．（Ⅱ）∵又∵f（x）在区间（0，1]上是减函数，∴f′（x）≤0对任意x∈（0，1]恒成立，即对任意x∈（0，1]恒成立，∴对任意x∈（0，1]恒成立，令，∴a≤g（x）min，易知g（x）在（0，1]单调递减，∴g（x）min=g（1）=﹣1．∴a≤﹣1．（Ⅲ）设切点为M（t，f（t）），，∴过M点的切线方程为：y﹣f（t）=f′（t）（x﹣t），即又切线过原点，所以，，即t2+lnt﹣1=0，显然t=1是方程t2+lnt﹣1=0的解，设φ（t）=t2+lnt﹣1，则φ′（t）=2t+＞0恒成立，φ（t）在（0，+∞）单调递增，且φ（1）=0，∴方程t2+lnt﹣1=0有唯一解1．∴过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．2018年9月28日。

2017-2018学年北京市中国人民大学附属中学高二下学期第一次月考数学(文)试题(解析版)

1人大附中2017-2018学年下学期高二年级第一次月考卷文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·辽宁期末]已知复数z 满足()i 1i z =-，（i 为虚数单位）） ABC ．2D ．32．[2018·大庆十中]已知x ，y 的取值如下表所示：若y 与x 线性相关，且095y x a =+．，则a =（）A ．2.2B ．2.9C ．2.8D ．2.63．[2018·南昌二中]在复平面内，复数20181i 2iz =++对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．[2018·石嘴山三中]下列命题中：①线性回归方程ˆˆˆybx a =+必过点(),x y ； ②在回归方程ˆ35yx =-中，当变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位； ③在回归分析中，相关指数2R 为0.80的模型比相关指数2R 为0.98的模型拟合的效果要好；④在回归直线0.58ˆyx =-中，变量2x =时，变量y 的值一定是7-．其中假命题的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．45．[2018·长郡中学]某中学学生会为了调查爱好游泳运动与性别是否有关，通过随机询问110名性别不同的高中生是否爱好游泳运动得到如下的列联表：由()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++并参照附表，得到的正确结论是（）A ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别无关”C ．有99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别有关”D ．有99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别无关”6．[2018·钦州期末]执行如图所示的程序框图，若输出的结果为105S =，则判断框中应填入（）A ．6?i <B ．7?i <C ．9?i <D ．10?i <7．[2018·赣州外国语]甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则以此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号2下选项不正确的是（） A ．乙可以知道两人的成绩 B ．丁可以知道两人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩8．[2018·山东师范附中]b =c =a ，b ，c 间的大小关系是（） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b >>9．[2018·寻乌中学]对于两个复数12α=-，12β=-，有下列四个结论：①1αβ=；②1αβ=；③1αβ=；④332αβ+=，其中正确的结论的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．410．[2018·淮北二中]将正整数排成下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 ……………则在表中数字2017出现在（） A ．第44行第80列 B ．第45行第80列 C ．第44行第81列D ．第45行第81列11．[2018·宝安中学]设a ，b ，c 大于0，则3b c ，ca的值（） A ．至多有一个不大于1 B ．都大于1 C ．至少有一个不大于1D ．都小于112．[2018·中山一中]ABC △的三边长分别为a ，b ，c ，ABC △的面积为S ，内切圆半径为r ，则:四面体P ABC -的四个面的面积分别为1234S S S S 、、、，内切球的半径为R ，四面体P ABC -的体积为V ，R =（）ABCD第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·南昌二中]已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若2i 1i a b +=-，则复数i z a b =+的模z =__________；14．[2018·遂宁期末]执行如图所示的程序框图，若输入3x =，则输出y 的值为____．15．[2018·凌源期末]观察下面的数阵，则第40行最左边的数是__________．16．[2018·太原五中]已知表中的对数值有且只有两个是错误的：请你指出这两个错误______________．（答案写成如lg 20a b c ≠+-的形式）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．[2018·东莞期末]已知复数12i z a =+，234i z =-（a ∈R ，i 为虚数单位）（1）若12•z z 是纯虚数，求实数a 的值；（2）若复数12•z z a 的取值范围．318．[2018·天水一中]如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（x 吨）与相应的生产能耗y （吨）标准煤的几组对照数据：（1）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+；（2）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？（参考：用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ˆni i i ni i x y nxyb x nx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-）19．[2018·孝感期末]某工厂有工人1000名，为了提高工人的生产技能，特组织工人参加培训．其中250名工人参加过短期培训（称为A 类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B 类工人）．现从该工厂的工人中共抽查了100名工人作为样本，调查他们的生产能力（生产能力是指工人一天加工的零件数），得到A 类工人生产能力的茎叶图（图1），B 类工人生产能力的频率分布直方图（图2）．（1）在样本中求A 类工人生产能力的中位数，并估计B 类工人生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若规定生产能力在[]130,150内为能力优秀，现以样本中频率作为概率，从1000名工人中按分层抽样共抽取n 名工人进行调查，请估计这n 名工人中的各类人数，完成下面的22⨯列联表．若研究得到在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为生产能力与培训时间长短有关，则n 的最小值为多少？参考数据：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．420．[2018·屯溪一中]某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图（1），（2），（3），（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n 个图形包含()f n 个小正方形．（1）求出()5f ；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出()1f n +与()f n 的关系式，并根据你得到的关系式求()f n 的表达式21．[2018·孝感八校]证明下列不等式：（1）当2a >时，求证：0>；（2）设0a >，0b >，若0a b ab +-=，求证：4a b +≥．22．[2018·射阳调研]对任意函数()f x ，x ∈D ，可按如图构造一个数列发生器，记由数列发生器产生数列{x n }．开始i =0输入x i结束i=i+1是否()1i i x f x +=1i x D+∈（1）若定义函数()421x f x x -=+，且输入04965x =，请写出数列{x n }的所有项；（2）若定义函数sin 02f x x x x =π（）（≤≤），且要产生一个无穷的常数列{x n }，试求输入的初始数据x 0的值及相应数列{x n }的通项公式x n ；（3）若定义函数()23f x x =+，且输入x 0=－1，求数列{x n }的通项公式x n ．文科数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】()i 1i 1i z =-=+，故z =，故选A ． 2．【答案】D【解析】由表格得()1013424x =+++=，()122434867454y =+++=．．．．．，线性回归直线过样本中点()245，．，450952a ∴=⨯+．．，26a ∴=．，故答案选D ． 3．【答案】C 【解析】()()22i 2i 31i 1i 2i 2i 555--+=-=--+-应的点的坐标为31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．4．【答案】C【解析】对于①，线性回归方程ˆˆˆybx a =+必过点)x y （，，满足回归直线的性质，所以①正确；对于②，在回归方程ˆ35yx =-中，当变量x 增加一个单位时，y 平均减少5个单位，不是增加5个单位；所以②不正确；对于③，在回归分析中，相关指数2R 为0.80的模型比相关指数2R 为0.98的模型拟合的效果要好，该判断恰好相反；所以③不正确；对于④，在回归直线0.58ˆy x =-中，变量2x =时，变量y 的值一定是7-．不是一定为7-，而是可能是7-，也可能在7-附近，所以④不正确；故选C ． 5．【答案】A【解析】()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()211012004007.82 6.63560506050-=≈>⨯⨯⨯．所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关”，选A ． 6．【答案】C【解析】执行完第一次循环后1S =，3i =；执行完第二次循环后3S =，5i =；执行完第三次循环后15S =，7i =；执行完第四次循环后105S =，9i =；再返回，由于此时105S =，循环应该结束，故9i =不满足判断条件，判断框中应填入9?i <，故选C ． 7．【答案】C【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知道自己的成绩→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若为两良，甲也会知道自己的成绩）；乙看到了丙的成绩，也就知道自己的成绩，所以乙知道了自己和丙的成绩，所以A 正确；丁看到甲的成绩，甲、丁也为一优一良，所以丁知道自己的成绩，所以丁知道自己和甲的成绩，故B 、D 正确，故选C ． 8．【答案】D【解析】∵a ===b===，c ===<， ∴a cb >>，故选D ． 9．【答案】C【解析】11131222244αβ⎛⎫⎛⎫=-+--=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1αβ≠，111αβ==，33αβ+3，选C ．10．【答案】D【解析】因为每行的最后一个数分别为1，4，9，16，…，所以由此归纳出第n 行的最后一个数为n 2．因为442=1936，452=2025，所以2017出现在第45行上．又由2017－1936=81，故2017出现在第81列，故选：D ． 11．【答案】C【解析】由题意，若3b c ，ca的值均大于1，则a b >，b c >，c a >，显然矛盾，若3，b c ，c a 的值均小于1，则a b <，b c <，c a >，显然矛盾，∴3b c ，ca的值至少有一个不大于1，故选C ． 12．【答案】C【解析】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的四个三棱锥体积的和，则四面体的体C．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【解析】因为2i1ia b+=-，所以1a=且2b-=，2b=-，所以复数i12iz a b=+=-，z==14．【答案】15【解析】输入3x=，可得7y=7x=，15y=，则71587x y-=-=>，结束循环，输出15y=，故答案为15．15．【答案】1522【解析】由题意得，每一行数字个数分别为11a=，23a=，35a=，，21na n=-，它们成等差数列，则前39行总共有40行最左的数字为1522．16．【答案】lg1.53a b c≠-+，lg1212a b≠-+【解析】因为()lg51lg2lg83lg231a c a c=-=+⇒==--，()lg32lg92lg322a b a b=-⇒==-，则lg21a c=--，lg32lg61a b a b c=-⇒=+--，所以lg1.5lg3lg22131a b a c a c b=-=--++=++-，lg12lg32lg2222222a b a c c b=+=-+--=--，故lg1.53a b c≠-+，lg1212a b≠-+，应填答案lg1.53a b c≠-+，lg1212a b≠-+．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）8=3a-；（2【解析】（1）依据()()()()12=2i34i3846iz z a a a⋅+⋅-=++-+········2分根据题意12z z⋅是纯虚数，故3+8=0a，且()460a-+≠···········5分（2······7分根据题意12z z⋅在复平面上对应的点在第二象限，可得综上，实数a···········10分18．【答案】（1）0.70.35y x=+（2）预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低19.65吨．【解析】（1）4166.5i iiX Y==∑，4222221345686iiX==+++=∑， 3.5Y=，····2分()2ˆ66.54 4.5 3.566.5630.78681864 4.5b-⨯⨯-===--⨯；···········5分3.5ˆˆ0.7 4.50.35a Y bX=-=-⨯=，···········7分∴所求的回归方程为0.70.35y x=+．···········9分（2）100x=时，70.35y=（吨），预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低9070.3519.65-=（吨）．···········12分19．【答案】（1）123 132.6；（2）360【解析】（1）由茎叶图知A类工人生产能力的中位数为123，···········3分由频率分布直方图，估计B类工人生产能力的平均数为1150.041250.36Dx=⨯+⨯1350.41450.2+⨯+⨯=4.6455429132.6+++=；···········6分（2）由（1）及所给数据得能力与培训的22⨯列联表如下：···········8分由上表得22424339151010202040010.8283119311933442020442020n n n n n n n n k n n n n n ⎛⎫⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭===>⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，···········10分解得357.324n >，又人数必须取整， ∴n 的最小值为360． ···········12分 20．【答案】（1）41 （2）f (n )=2n 2－2n +1．【解析】（1）∵f (1)=1，f (2)=5，f (3)=13，f (4)=25，∴f (2)－f (1)=4=4×1．f (3)－f (2)=8=4×2，f (4)－f (3)=12=4×3，f (5)－f (4)=16=4×4 ∴f (5)=25+4×4=41．···········3分（2）由上式规律得出f (n +1)－f (n )=4n ．···········6分 ∴f (2)－f (1)=4×1， f (3)－f (2)=4×2， f (4)－f (3)=4×3， …f (n －1)－f (n －2)=4•(n －2)， f (n )－f (n －1)=4•(n －1)∴f (n )－f (1)=4[1+2+…+(n －2)+(n －1)]=2(n －1)•n ， ∴f (n )=2n 2－2n +1．···········12分 21．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）要证0><只要证(22<，只要证24a a +，a <，由于2a >，只要证224a a -<，<··········6分（2）因为0a b ab +-=，0a >，0b >，所以111a b+=， ()11a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭11ba =+++当且仅当ba ab=，即a b =时，等号成立，所以4a b +≥···········12分 22．【答案】（1）11119x =，215x =，31x =-；（2）故当00x =，0n x =；2n x π=；（3）123n n x +=-．【解析】（1）函数()421x f x x -=+的定义域()()11D =∞+∞－，－－，，把04965x =代入可得11119x =，把11119x =代入可得215x =，把215x =代入可得31x =-．所以数列{x n }只有三项：11119x =，215x =，31x =-．···········3分（2）若要产生一个无穷的常数列，则()sin f x x x x ==在[0，2π]上有解，即()sin 10x x =－在[0，2π]上有解，则x =0或sin x =1，所以x =0即当00x =或02x π=，1sin n n n n x x x x +==，故当00x =，0n x =2n x π=．···········7分（3）()23f x x =+的定义域为R ，若01x =-，则11x =，则()123n n n x f x x +==+，所以()1323n n x x ++=+，所以数列{x n +3}是首项为4，公比为2的等比数列，所以113422n n n x -++=⋅=，123n n x +∴=-，即数列{x n }的通项公式123n n x +=-．···········12分。

人大附2017-2018学年高二上学期期末考试数学(文)试题

人大附中高二上学期期末数学（文）附加题四、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把结果填在答题纸上相应位置．）19．已知p ，q 是简单命题，那么“p q ∧是真命题”是“p q ∨是真命题”的（）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】p q ∧为真，即p ，q 都为真命题，p q ∨为真命题即p ，q 至少有一个为真．20．已知函数()f x 是R 上的可导函数，()f x 的导函数()f x '的图像如图，则下列结论正确的是（）．cba O xyA ．a ，c 分别是极大值点和极小值点B ．b ，c 分别是极大值点和极小值点C ．()f x 在区间(,)a c 上是增函数D ．()f x 在区间(,)b c 上是减函数【答案】C【解析】图为()f x '的图象，()0f x '>，()f x ↑；()0f x '<，()f x ↓．21．设函数()e (21)x f x x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数t ，使得()0f t <，则a 的取值范围是（）．A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】()e (21)(1)x f x x a x =---，(1)e 0f =>，(0)10f a =-+<，()2e e x x f x x a '=+-． ①当0x ≥时，0()e 10f x a a '-=->≥，()f x ↑， ∵(1)0f >，∴0x >时；不存在整数t ，使()0f t <．②当1x -≤时，()0f x ≥，即e (21)(1)0x x a x ---≥，(1)e (21)x a x x --≤，10x -<， ∴e (21)1x x a x --≥，令e (21)()1x x g x x -=-，2e (23)()0(1)x x x g x x -'=>-， ∴max 3()(1)2eg x g =-=， ∴32ea ≥， ∴3,12e a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．五、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．请把结果填在答题纸上．）22．椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则该椭圆的离心率为__________．【答案】1010【解析】短轴两个三等分点与两个焦点构成正方形，即OM OF =，2133OM b b b c =-==，3b c =，229b c =，2229a c c -=，2210a c =， 1010e =． FM yxO23．已知函数π()cos sin 4f x f x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，则π4f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为__________．【答案】1【解析】π()cos sin 4f x f x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，π()sin cos 4f x f x x ⎛⎫''=-+ ⎪⎝⎭，ππππsin cos 4444f f ⎛⎫⎛⎫''=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即：2π21242f ⎛⎫⎛⎫'+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π22(22)214222f -⎛⎫'===- ⎪+⎝⎭， ()(21)cos sin f x x x =-+，π22ππ(21)1142222f ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭．24．已知某种圆柱形油料罐（有盖）的表面积为6π，则该圆柱形油料罐的容积最大时，底面圆的半径等于__________．（注：圆柱的体积公式和侧面积公式分别为2πV r h =，2πS rh =，r ，h 分别为圆柱底面圆的半径和高．）【答案】1【解析】设高为h ，半径r ，则22π2π6πr rh +=，23r rh +=，3h r r=-，2233ππ3ππV r h r r r r r ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，23π3πV r '=-，令0V '=，21r =，1r =，当(0,1)r ∈↑ ，(,)t +∞∀↓， ∴当1r =时，max V ．六、解答题（本大题共1小题，满分14分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤，请把结果写在答题纸上．）25．已知函数1()(1)ln f x ax a x x=--+，a ∈R ．（1）若0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．（2）若2a =-，求函数()f x 的单调区间．（3）若1a ≥，且()1f x >在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）1y =-．（2）()f x 单调递增区间(0,1)；()f x 单调递减区间(1,)+∞．（3）{}1(2,)+∞ ．【解析】（1）0a =，1()ln (0)f x x x x =-->，211()f x x x'=-，(1)0k f '==，(1)1f =-，∴切线方程为1y =-．（2）2a =-，1()2ln (0)f x x x x x=--+>， 22221121(21)(1)()2x x x x f x x x x x-+++-+'=-++==，令()0f x '>，则01x <<，∴()f x 单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞．（2）1a ≥时，()1f x >在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，即min ()1f x >，222211(1)1(1)(1)()a ax a x ax x f x a x x x x+-++--'=+-==，令()0f x '=则11x a=，21x =．①11a =即1a =时，()0f x '>，()f x 在1,e e ⎡⎤↑⎢⎥⎣⎦， min 11()21e ef x f ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭恒成立．②11ea ≤时，即e a ≥， ()f x 在1,1e ⎛⎫↓ ⎪⎝⎭，(1,e)↑，min ()(1)11f x f a ==->，即2a >， ∴e a ≥．③1e a <<时，即111e a<<，x1e 11,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1a 1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1 (1,e)e()f x ' + -+()f x↓∴min 1()min ,(1)1e f x ff ⎧⎫⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，即(1)11f a =->，2a >，1e 11e e a f a ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭，即11e e a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，2e e 1a >+，∵2e 3e 1<+， ∴2a >．④11e a <<，即11e a<<， min 11(),1e f x f f a ⎧⎫⎛⎫⎛⎫=>⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭，∴11e f ⎛⎫> ⎪⎝⎭即2e e 1a >+不符合．⑤1e a ≤，即1e a≥，min 1()min ,(e)e f x f f ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，11e f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即2e e 1a >+不符合，综上：{}1(2,)a ∈+∞ ．。

2018北京人大附中高二(下)期末数学(理)

① 当 i , j An , i j 时， f (i ) f ( j ) ；
② 任取 m An ，若 m 2 ，则有 m { f (1), f (2), , f (m)} ．
则称映射 f 为 An An 是一个“优映射”．例如：用表 1 表示的映射
表1
表2
f : A
3
f (i ) 2
甲、乙两人进行射击比赛，各射击 4 局，每局射击 10 次，射击命中目标得 1 分，未命中目标得局的得分情况如下：
0 分．两人 4
甲
6
6
9
9
乙
7
9
x
y
（Ⅰ）若从甲的 4 局比赛中，随机选取 2 局，求这 2 局的得分恰好相等的概率；
（Ⅱ）如果 x y 7 ，从甲、乙两人的 4 局比赛中随机各选取 1 局，记这 2 局的得分和为 X , 求 X 的分布列和数学
分别是（）
（ A） 16， 120
（ B） 8， 120
（C） 16， 60
（ D） 8， 60
8．设函数 y
x3 x2 , x e,
的图象上存在两点 P, Q , 使得 △ POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形 ( 其中 O 为坐标
a ln x, x e
原点 ), 且斜边的中点恰好在 y 轴上 , 则实数 a 的取值范围是（
17．（本小题 13 分）已知函数 f ( x) ax3 bx2 4x 的极小值为
（Ⅰ）求 f ( x) 的解析式；
8 ，其导函数 y
（Ⅱ）若函数 y f (x) k 在区间 [ 3, 2] 上有两个不同的零点，
求实数 k 的取值范围．
f (x) 的图象经过点 ( 2, 0) ，如图所示．

2017-2018北京海淀区人大附中高二下期中语文考试试卷（含附加题）

2017-2018北京海淀区人大附中高二下期中语文试卷（含附加题）语文2018．4学校_______班级________姓名_______成绩_______一、本大题共8小题，共25分。

阅读下面的材料，完成1—8题。

材料一有个做生意的朋友，偶然见我读福克纳的《八月之光》，不禁皱眉问道：“读这种书有什么用？费时费眼。

”当我告诉他每年夏天都要重读一遍《八月之光》时，他看我的目光就不单单是匪．夷所思的了。

当然我也没好意思告诉他，像他这样不读小说不读诗歌的人，只能永远生活在一个单向度的封闭空间里。

他们的灵魂有多饱满，就有多干瘪．。

我们为何读那些几十年前、几百年前甚至是几千年前的文学经典？这是个多么庞大的伪命题。

前几天读学者王晓明的文章《这样的人多了，社会坏不到哪里去》，感慨良多。

作者在文中憧憬，爱读书的学生“即便毕业了，跨出校门了，他依然会逛书店，会在床头留一个放书的小空间……他会在好书的陪伴下，继续努力做一个在人格和精神上都自主的人。

我还是相信那句老话，这样的人多了，社会坏不到哪里去”。

读到这里时，我的眼睛有些湿润，同时也感到微微的悲凉。

在当代中国，为什么阅读文学经典的人越来越少？原因简单又粗暴：阅读文学经典不可能在短时期内得到回报。

这是个大部分人以功利主义为人生准则的国度，阅读文学经典既不能帮他们取得更高学位，也不能帮他们得到更高职位或更多金钱，所以说，懒得读经典，毋宁．说是实用主义哲学的胜利。

我们全然忘记，文学经典潜移默化的影响力，从功利主义角度来讲，何尝不是对人生最宝贵最诗意的长远投资？作为一个业余作家和资深美剧迷，我发现了一个颇为值得玩味的现象：在诸多拥有高收视率的美剧中，主人公们都会在不经意问滔滔不绝地谈到经典文学。

《末日孤舰）里，科学家吃饭闲聊时的话题是马克·吐温；《绝命毒师》里老白在另外一个制毒师的推荐下，在躺椅上读惠特曼的《草叶集》……相反，我们在国产电视剧或商业电影里，则很少看到类似的生活场景。

2017-2018年北京市人大附中高二(下)期中数学试卷(文科)和答案

2017-2018学年北京市人大附中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸相应的位置上）1．（5分）复数3+4i的共轭复数是（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3+4i D．﹣3﹣4i 2．（5分）如图是《集合》的知识结构图，如果要加入“列举法”，则应该接在（）A．“集合的概念”的后面B．“集合的表示”的后面C．“基本关系”的后面D．“基本运算”的后面3．（5分）用反证法证明命题：“如果a＞b＞0，那么|a|＞|b|”时，假设的内容应是（）A．|a|=|b|B．|a|＜|b|C．|a|≤|b|D．|a|＞|b|且|a|=|b|4．（5分）下列结论正确的个数是（）①回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；②为了研究吸烟与患肺病是否有关，在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，x2的观测值为x2=7.469大于6.635，故我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；③在线性回归分析中，相关系数为r，|r|≤1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强．A．0B．1C．2D．35．（5分）函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（5分）类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB，AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB2+AC2=BC2，若三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB所在平面两两互相垂直，其三个侧面面积分别为S1，S2，S3，则三棱锥的三个侧面积与底面BCD的面积S之间满足的关系为（）A．B．C．D．7．（5分）为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路，现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里）则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（）A．19.5B．20.5C．21.5D．25.58．（5分）设函数f（x）定义如表，数列{x n}满足x1=5，，则x2017的值为（）A．1B．3C．5D．6二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸相应的位置）9．（5分）复数z=1﹣i（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于第象限．10．（5分）经调查某地若干户家庭的年收入x（万元）和年饮食支出y（万元）具有线性相关关系，并得到y关于x的线性回归直线方和：，由回归直线方程预测，家庭年收入为2万元时，年饮食支出大约为万元．11．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否正确的回答对A，B，C三个问题，甲说：我回答对的问题比乙多，但没有回答对B；乙说：我没回答对C；丙说：我们三人都同时答对一个题；由此可判断乙答对的题为．12．（5分）阅读图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是．13．（5分）a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…则a9+b9=．14．（5分）若集合M满足：∀x，y∈M，都有x+y∈M，xy∈M，则称集合M是封闭的．显然，整数集Z，有理数集Q，都是封闭的．在上述定义下，（1）复数集C封闭的（填“是”或“否”）；（2）若Q⊊F⊆C，集合F是封闭，则满足条件的一个F可以是（只写一个）．三、解答题（本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸相应的位置上）15．（8分）已知复数z1=2+4i，z2=a+i（a∈R），z1=z2•（1+i），求|z2|．16．（12分）设函数，且曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为0．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求函数f（x）在区间上的最小值．17．（10分）对于无穷数列{a n}与{b n}，记集合，集合，若同时满足条件：①数列{a n}，{b n}均单调递增；②A ∩B=∅且A∪B=N*，则称数列{a n}与{b n}是“好友数列”．（1）若a n=2n，，判断数列{a n}与{b n}是否为“好友数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}与{b n}是“好友数列”，{a n}为等差数列且a16=36，求数列{a n}与{b n}的通项公式．一、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．请把答案填在答题纸相应的位置上）18．（6分）=（）A．﹣1B．1C．i D．﹣i19．（6分）类比等比数列的定义，定义等积数列为：若数列从第二项起，每一项与前一项的乘积为一个不变的非零常数，则称数列为等积数列，这个常数叫做该数列的公积．若一个等积数列的首项为2，公积为6，则数列的通项公式为（）A．B．C．D．20．（6分）已知函数f（x）=sinx+e x，今f1（x）=f′（x），f2（x）=f′1（x），f3（x）=f′2（x），…，f n+1（x）=f′n（x），（n∈N*）则f2017（x）=（）A．sinx+e x B．cosx+e x C．﹣sinx+e x D．﹣cosx+e x二、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．请把答案填在答题纸相应的位置上）21．（6分）设z∈C，|z|=1，则|z﹣（1+i）|的最大值是．22．（6分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数y=（1﹣x）f'（x）的图象如下图所示，则函数f（x）的极大值点为x=．23．（6分）等差数列中，a3+a4=4，a5+a7=6．（1）数列的通项公式为a n=．（2）设，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．则数列{b n}的前8项和为．三、解答题（本题共1小题，满分14分．请把解答过程写在答题纸相应的位置上）24．（14分）已知函数，且f′（﹣1）=0．（1）试用含a的代数式表示b；（2）a≤1时，求函数f（x）的单调区间；（3）令a=﹣1，并且设方程f（x）=m有三个不等的实数根，求实数m的取值范围．2017-2018学年北京市人大附中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸相应的位置上）1．（5分）复数3+4i的共轭复数是（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3+4i D．﹣3﹣4i【解答】解：根据题意可得：复数为3+4i，所以结合共轭复数的定义可得：复数3+4i的共轭复数是3﹣4i．故选：A．2．（5分）如图是《集合》的知识结构图，如果要加入“列举法”，则应该接在（）A．“集合的概念”的后面B．“集合的表示”的后面C．“基本关系”的后面D．“基本运算”的后面【解答】解：列举法是集合表示法的一种，在知识结构图中，列举法应该放在集合的表示后面，即它的下位，由此知应选B．故选：B．3．（5分）用反证法证明命题：“如果a＞b＞0，那么|a|＞|b|”时，假设的内容应是（）A．|a|=|b|B．|a|＜|b|C．|a|≤|b|D．|a|＞|b|且|a|=|b|【解答】解：由于结论|a|＞|b|的否定为：|a|≤|b|，用反证法证明命题时，要首先假设结论的否定成立，故应假设：|a|≤|b|，由此推出矛盾．故选：C．4．（5分）下列结论正确的个数是（）①回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；②为了研究吸烟与患肺病是否有关，在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，x2的观测值为x2=7.469大于6.635，故我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；③在线性回归分析中，相关系数为r，|r|≤1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强．A．0B．1C．2D．3【解答】解：①，回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法，不是对具有函数关系的变量进行分析，故①正确；②，x2的观测值为x2=7.469大于6.635，故我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，但不表示在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，故②不正确；③，在线性回归分析中，相关系数为r满足|r|越接近1，线性相关程度越强，正确．∴正确结论的个数是2个．故选：C．5．（5分）函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知，导函数在某点处值为0，左右两侧异号的点为极值点，由图可知，在（a，b）内只有3个极值点．故选：C．6．（5分）类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB，AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：AB2+AC2=BC2，若三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB所在平面两两互相垂直，其三个侧面面积分别为S1，S2，S3，则三棱锥的三个侧面积与底面BCD的面积S之间满足的关系为（）A．B．C．D．【解答】解：由边对应着面，边长对应着面积，由类比可得．故选：A．7．（5分）为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路，现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里）则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（）A．19.5B．20.5C．21.5D．25.5【解答】解：如图，最短总长度应该是：电厂到A，再从A到B、D，然后从D 到C，所以能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是5+4+6+5.5=20.5km．故选：B．8．（5分）设函数f（x）定义如表，数列{x n}满足x1=5，，则x2017的值为（）A．1B．3C．5D．6【解答】解：∵数列{x n}满足x1=5，，∴由表得：x2=f（5）=6，x3=f（6）=3，x4=f（3）=1，x5=f（1）=4，x6=f（4）=2，x7=f（2）=5，x8=f（5）=6，∴数列{x n}是以6为周期的周期数列，∵2017=336×6+1，∴x2017=x1=5．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸相应的位置）9．（5分）复数z=1﹣i（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限．【解答】解：∵复数z=1﹣i在复平面上对应的点的坐标为（1，﹣1），∴复数z=1﹣i（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限．故答案为：四．10．（5分）经调查某地若干户家庭的年收入x（万元）和年饮食支出y（万元）具有线性相关关系，并得到y关于x的线性回归直线方和：，由回归直线方程预测，家庭年收入为2万元时，年饮食支出大约为0.7万元．【解答】解：根据线性回归直线方程，计算x=2时，=0.2×2+0.3=0.7，即预测家庭年收入为2万元时，年饮食支出大约为0.7万元．故答案为：0.7．11．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否正确的回答对A，B，C三个问题，甲说：我回答对的问题比乙多，但没有回答对B；乙说：我没回答对C；丙说：我们三人都同时答对一个题；由此可判断乙答对的题为A．【解答】解：由乙说：我没回答对C，则乙可能答对A或B，但甲说：我回答对的问题比乙多，但没有回答对B，则乙只能是答对A，B中的任一个，再由丙说：我们三人都同时答对一个题，则由此可判断乙答对的题为A．故答案为：A．12．（5分）阅读图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是4．【解答】解：程序在运行过程中各变量变化的如下表示：S n 是否继续循环循环前 2 1/第一圈﹣1 2 是第二圈 3 是第三圈 2 4 否故最后输出的n值为4故答案为：413．（5分）a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…则a9+b9=76．【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第9项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第9项为76，即a9+b9=76，．故答案为：76；14．（5分）若集合M满足：∀x，y∈M，都有x+y∈M，xy∈M，则称集合M是封闭的．显然，整数集Z，有理数集Q，都是封闭的．在上述定义下，（1）复数集C是封闭的（填“是”或“否”）；（2）若Q⊊F⊆C，集合F是封闭，则满足条件的一个F可以是R（只写一个）．【解答】解：（1）根据题意，对于复数集，由复数的运算法则，若x，y∈C，则x+y∈C，xy∈C，则复数C是封闭的，（2）若Q⊊F⊆C，集合F是封闭，则实数集R符合，则满足条件的一个F可以是R；故答案为：（1）是，（2）R．三、解答题（本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸相应的位置上）15．（8分）已知复数z1=2+4i，z2=a+i（a∈R），z1=z2•（1+i），求|z2|．【解答】解：∵z1=2+4i，z2=a+i（a∈R），由z1=z2•（1+i），得2+4i=（a+i）（1+i）=（a﹣1）+（a+1）i．∴，即a=3．∴|z2|=|3+i|=．16．（12分）设函数，且曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为0．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求函数f（x）在区间上的最小值．【解答】解：（1）函数的导数为：f′（x）=3x﹣，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为0．可得6﹣=0，解得a=4；（2）f（x）=x2﹣12lnx，导数为f′（x）=3x﹣=，由f′（x）＞0，可得x＞2；由f′（x）＜0，可得0＜x＜2；即f（x）的增区间为（2，+∞）．减区间为（0，2）；（3）由（2）可得函数f（x）的极小值为f（2）=6﹣12ln2，且2∈[，e]，可得f（x）的最小值为6﹣12ln2．17．（10分）对于无穷数列{a n}与{b n}，记集合，集合，若同时满足条件：①数列{a n}，{b n}均单调递增；②A ∩B=∅且A∪B=N*，则称数列{a n}与{b n}是“好友数列”．（1）若a n=2n，，判断数列{a n}与{b n}是否为“好友数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}与{b n}是“好友数列”，{a n}为等差数列且a16=36，求数列{a n}与{b n}的通项公式．【解答】解：（1）数列{a n}与{b n}不为“好友数列”．由a n=2n，，可得集合A为正偶数集，集合B中不含1，3，虽然满足①数列{a n}，{b n}均单调递增；②A∩B=∅但A∪B≠N*，则数列{a n}与{b n}不为“好友数列”；（2）设数列{a n}的公差为d的等差数列，由a16=36，即有a1+15d=36，由题意可得36﹣15d≥1，解得d=1或2，若d=1，则a1=21，a n=n+20，b n=n（1≤n≤20），与无穷数列{a n}与{b n}矛盾，舍去；若d=2，则a1=6，a n=2n+4，b n=，综上可得a n=2n+4，b n=，n∈N*．一、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．请把答案填在答题纸相应的位置上）18．（6分）=（）A．﹣1B．1C．i D．﹣i【解答】解：∵，∴=i8=（i4）2=1．故选：B．19．（6分）类比等比数列的定义，定义等积数列为：若数列从第二项起，每一项与前一项的乘积为一个不变的非零常数，则称数列为等积数列，这个常数叫做该数列的公积．若一个等积数列的首项为2，公积为6，则数列的通项公式为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得，a n a n+1=6，∵a1=2∴a2=3，a3=2，a4=3，…，∴a n=，（k∈N*）．故选：A．20．（6分）已知函数f（x）=sinx+e x，今f1（x）=f′（x），f2（x）=f′1（x），f3（x）=f′2（x），…，f n+1（x）=f′n（x），（n∈N*）则f2017（x）=（）A．sinx+e x B．cosx+e x C．﹣sinx+e x D．﹣cosx+e x【解答】∵f（x）=sinx+e x，∴，，，，∴f n（x）=f n（x），+4，故选：B．二、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．请把答案填在答题纸相应的位置上）21．（6分）设z∈C，|z|=1，则|z﹣（1+i）|的最大值是1+．【解答】解：由题意可知，复数z的轨迹为单位圆，如图，|z﹣（1+i）|的几何意义为单位圆上的动点到定点P的距离，由图可知，|z﹣（1+i）|的最大值为|AP|=1+．故答案为：1+．22．（6分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数y=（1﹣x）f'（x）的图象如下图所示，则函数f（x）的极大值点为x=﹣2．【解答】解：由函数的图象可知，f′（﹣2）=0，f′（1）=0，f′（2）=0，并且当x＜﹣2时，f′（x）＞0；当﹣2＜x＜1，f′（x）＜0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；x＞2时，f′（x）＞0，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，1）上单调递减，在（1，2）递减，在（2，+∞）递增，所以f（x）在x=﹣2处取得极大值，在x=2处取得极小值，x=1不为极值点，故答案为：﹣2．23．（6分）等差数列中，a3+a4=4，a5+a7=6．（1）数列的通项公式为a n=+．（2）设，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．则数列{b n}的前8项和为16．【解答】解：（1）∵等差数列中，a3+a4=4，a5+a7=6．∴，解得a1=1，d=，∴a n=1+（n﹣1）×=+．故答案为：+．（2）∵，∴数列{b n}的前8项和为：S8=[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]=1+1+1+2+2+3+3+3=16．故答案为：16．三、解答题（本题共1小题，满分14分．请把解答过程写在答题纸相应的位置上）24．（14分）已知函数，且f′（﹣1）=0．（1）试用含a的代数式表示b；（2）a≤1时，求函数f（x）的单调区间；（3）令a=﹣1，并且设方程f（x）=m有三个不等的实数根，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）函数，导数为f′（x）=x2+2ax+b，f′（﹣1）=0，即为1﹣2a+b=0，可得b=2a﹣1；（2）a≤1时，f（x）=x3+ax2+（2a﹣1）x导数为f′（x）=x2+2ax+2a﹣1=（x+1）（x+2a﹣1），当a=1时，f′（x）=（x+1）2≥0，f（x）在R上递增；当a＜1时，1﹣2a＞﹣1，可得f（x）在（﹣1，1﹣2a）递减；在（﹣∞，﹣1），（1﹣2a，+∞）递增；（3）a=﹣1，f（x）=x3﹣x2﹣3x，导数为f′（x）=x2﹣2x﹣3=（x﹣3）（x+1），f（x）在（﹣1，3）递减，在（﹣∞，﹣1），（3，+∞）递增；可得f（x）的极小值为f（3）=﹣27，极大值为f（﹣1）=，方程f（x）=m有三个不等的实数根，可得﹣27＜m＜，即m的取值范围是（﹣27，）．。

2017-2018学年北京市人大附中高二(下)期中数学试卷(文科)

2017-2018学年北京市人大附中高二（下）期中数学试卷（文科）试题数：24.满分：1501.（单选题.5分）复数3+4i的共轭复数是（）A.3-4iB.3+4iC.-3+4iD.-3-4i2.（单选题.5分）如图是《集合》的知识结构图.如果要加入“列举法”.则应该接在（）A.“集合的概念”的后面B.“集合的表示”的后面C.“基本关系”的后面D.“基本运算”的后面3.（单选题.5分）用反证法证明命题：“如果a＞b＞0.那么|a|＞|b|”时.假设的内容应是（）A.|a|=|b|B.|a|＜|b|C.|a|≤|b|D.|a|＞|b|且|a|=|b|4.（单选题.5分）下列结论正确的个数是（）① 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；② 为了研究吸烟与患肺病是否有关.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中.x2的观测值为x2=7.469大于6.635.故我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系.那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；③ 在线性回归分析中.相关系数为r.|r|≤1.并且|r|越接近1.线性相关程度越强．A.0B.1C.2D.35.（单选题.5分）函数f（x）的定义域为开区间（a.b）.导函数f′（x）在（a.b）内的图象如图所示.则函数f（x）在开区间（a.b）内极值点（包括极大值点和极小值点）有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6.（单选题.5分）类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB.AC互相垂直.则三角形三边长之间满足关系：AB2+AC2=BC2.若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB 所在平面两两互相垂直.其三个侧面面积分别为S1.S2.S3.则三棱锥的三个侧面积与底面BCD的面积S之间满足的关系为（）A. S2=S12+S22+S32B. S22=S12+S32+S2C. S12=S2+S22+S32D. S32=S12+S22+S27.（单选题.5分）为解决四个村庄用电问题.政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路.现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里）则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（）A.19.5B.20.5C.21.5D.25.58.（单选题.5分）设函数f（x）定义如表.数列{x n}满足x1=5. x n+1=f(x n)(n∈N∗) .则x2017的值为（）x 1 2 3 4 5 6 f（x） 4 5 1 2 6 3A.1B.3C.5D.69.（填空题.5分）复数z=1-i（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于第___ 象限．10.（填空题.5分）经调查某地若干户家庭的年收入x（万元）和年饮食支出y（万元）具有线性相关关系.并得到y关于x的线性回归直线方程：ŷ=0.2x+0.3 .由回归直线方程预测.家庭年收入为2万元时.年饮食支出大约为___ 万元．11.（填空题.5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否正确的回答对A.B.C三个问题.甲说：我回答对的问题比乙多.但没有回答对B；乙说：我没回答对C；丙说：我们三人都同时答对一个题；由此可判断乙答对的题为___ ．12.（填空题.5分）阅读图所示的程序框图.运行相应的程序.输出的结果是___ ．13.（填空题.5分）a+b=1.a2+b2=3.a3+b3=4.a4+b4=7.a5+b5=11.…则a9+b9=___ ．14.（填空题.5分）若集合M满足：∀x.y∈M.都有x+y∈M.xy∈M.则称集合M是封闭的．显然.整数集Z.有理数集Q.都是封闭的．在上述定义下.（1）复数集C___ 封闭的（填“是”或“否”）；（2）若Q⊊F⊆C.集合F是封闭.则满足条件的一个F可以是___ （只写一个）．15.（问答题.8分）已知复数z1=2+4i.z2=a+i（a∈R）.z1=z2•（1+i）.求|z2|．x2−3alnx(a∈R) .且曲线y=f（x）在点（2.f（2））处16.（问答题.12分）设函数f(x)=32的切线的斜率为0．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求函数f（x）在区间[1，e](e=2.718…)上的最小值．e17.（问答题.10分）对于无穷数列{a n }与{b n }.记集合 A ={x|x =a n ，n ∈N ∗} .集合 B ={x|x =b n ，n ∈N ∗} .若同时满足条件： ① 数列{a n }.{b n }均单调递增； ② A∩B=∅且A∪B=N *.则称数列{a n }与{b n }是“好友数列”．（1）若a n =2n. b n =4n +1(n ∈N ∗) .判断数列{a n }与{b n }是否为“好友数列”.并说明理由；（2）若数列{a n }与{b n }是“好友数列”.{a n }为等差数列且a 16=36.求数列{a n }与{b n }的通项公式．18.（单选题.6分） (1+i 1−i )8 =（） A.-1B.1C.iD.-i19.（单选题.6分）类比等比数列的定义.定义等积数列为：若数列 {a n }(n ∈N ∗) 从第二项起.每一项与前一项的乘积为一个不变的非零常数.则称数列 {a n }(n ∈N ∗) 为等积数列.这个常数叫做该数列的公积．若一个等积数列的首项为2.公积为6.则数列的通项公式为（）A. a n ={2(n =2k −1)3(n =2k )(k ∈N ∗) B. a n ={3(n =2k −1)2(n =2k )(k ∈N ∗) C. a n ={6(n =2k −1)3(n =2k )(k ∈N ∗) D. a n ={6(n =2k −1)2(n =2k )(k ∈N ∗) 20.（单选题.6分）已知函数f （x ）=sinx+e x .今f 1（x ）=f′（x ）.f 2（x ）=f′1（x ）.f 3（x ）=f′2（x ）.….f n+1（x ）=f′n （x ）.（n∈N *）则f 2017（x ）=（）A.sinx+e xB.cosx+e xC.-sinx+e xD.-cosx+e x21.（填空题.6分）设z∈C .|z|=1.则|z-（1+i ）|的最大值是___ ．22.（填空题.6分）设函数f （x ）在R 上可导.其导函数为f'（x ）.且函数y=（1-x ）f'（x ）的图象如图所示.则函数f （x ）的极大值点为x=___ ．23.（填空题.6分）等差数列{a n}(n∈N∗)中.a3+a4=4.a5+a7=6．（1）数列{a n}(n∈N∗)的通项公式为a n=___ ．（2）设b n=[a n](n∈N∗) .其中[x]表示不超过x的最大整数.如[0.9]=0.[2.6]=2．则数列{b n}的前8项和为___ ．x3+ax2+bx .且f′（-1）=0．24.（问答题.14分）已知函数f(x)=13（1）试用含a的代数式表示b；（2）a≤1时.求函数f（x）的单调区间；（3）令a=-1.并且设方程f（x）=m有三个不等的实数根.求实数m的取值范围．2017-2018学年北京市人大附中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析试题数：24.满分：1501.（单选题.5分）复数3+4i的共轭复数是（）A.3-4iB.3+4iC.-3+4iD.-3-4i【正确答案】：A【解析】：共轭复数的定义为：若复数为a+bi.则其共轭复数为a-bi．所以根据可得答案．【解答】：解：根据题意可得：复数为3+4i.所以结合共轭复数的定义可得：复数3+4i的共轭复数是3-4i．故选：A．【点评】：解决此类问题的关键是熟练掌握有关定义即共轭副数的定义．2.（单选题.5分）如图是《集合》的知识结构图.如果要加入“列举法”.则应该接在（）A.“集合的概念”的后面B.“集合的表示”的后面C.“基本关系”的后面D.“基本运算”的后面【正确答案】：B【解析】：知识结构图的作用是用图形直观地再现出知识之间的关联.由列举法是集合表示法的一种.由此知正确的选项．【解答】：解：列举法是集合表示法的一种.在知识结构图中.列举法应该放在集合的表示后面.即它的下位.由此知应选B．故选：B．【点评】：本题考查了知识结构图的应用问题.是基础题．3.（单选题.5分）用反证法证明命题：“如果a＞b＞0.那么|a|＞|b|”时.假设的内容应是（）A.|a|=|b|B.|a|＜|b|C.|a|≤|b|D.|a|＞|b|且|a|=|b|【正确答案】：C【解析】：结论|a|＞|b|的否定为：|a|≤|b|.由此得出结论．【解答】：解：由于结论|a|＞|b|的否定为：|a|≤|b|.用反证法证明命题时.要首先假设结论的否定成立.故应假设：|a|≤|b|.由此推出矛盾．故选：C．【点评】：本题主要考查用反证法证明数学命题.把要证的结论进行否定.得到要证的结论的反面.从而得到所求.属于基础题．4.（单选题.5分）下列结论正确的个数是（）① 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；② 为了研究吸烟与患肺病是否有关.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中.x2的观测值为x2=7.469大于6.635.故我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系.那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；③ 在线性回归分析中.相关系数为r.|r|≤1.并且|r|越接近1.线性相关程度越强．A.0B.1C.2D.3【正确答案】：C【解析】：① 根据回归分析的定义去判断；② 由独立性检验的概率意义判断；③ 由相关系数的大小与线性相关程度的关系判断．【解答】：解：① .回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法.不是对具有函数关系的变量进行分析.故① 正确；② .x2的观测值为x2=7.469大于6.635.故我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系.但不表示在100个吸烟的人中必有99人患有肺病.故② 不正确；③ .在线性回归分析中.相关系数为r满足|r|越接近1.线性相关程度越强.正确．∴正确结论的个数是2个．故选：C．【点评】：本题考查命题的真假判断与应用.考查独立性检验及线性相关关系的基本概念.是基础题．5.（单选题.5分）函数f（x）的定义域为开区间（a.b）.导函数f′（x）在（a.b）内的图象如图所示.则函数f（x）在开区间（a.b）内极值点（包括极大值点和极小值点）有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【正确答案】：C【解析】：根据当f'（x）＞0时函数f（x）单调递增.f'（x）＜0时f（x）单调递减.可从f′（x）的图象可知f（x）在（a.b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减.然后得到答案．【解答】：解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a.b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减.根据极值点的定义可知.导函数在某点处值为0.左右两侧异号的点为极值点.由图可知.在（a.b）内只有3个极值点．故选：C．【点评】：本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系．属基础题．6.（单选题.5分）类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB.AC互相垂直.则三角形三边长之间满足关系：AB2+AC2=BC2.若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB所在平面两两互相垂直.其三个侧面面积分别为S1.S2.S3.则三棱锥的三个侧面积与底面BCD的面积S之间满足的关系为（）A. S2=S12+S22+S32B. S22=S12+S32+S2C. S12=S2+S22+S32D. S32=S12+S22+S2【正确答案】：A【解析】：斜边的平方等于两个直角边的平方和.可类比到空间就是斜面面积的平方等于三个直角面的面积的平方和.边对应着面．【解答】：解：由边对应着面.边长对应着面积.由类比可得S2=S12+S22+S32．故选：A．【点评】：本题考查从平面类比到空间.属于基本类比推理.考查推理论证能力、分析判断能力、归纳总结能力.是基础题．7.（单选题.5分）为解决四个村庄用电问题.政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路.现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里）则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（）A.19.5B.20.5C.21.5D.25.5【正确答案】：B【解析】：选择数据较小的路线.确定到达4个村庄的最短路线即可【解答】：解：如图.最短总长度应该是：电厂到A.再从A到B、D.然后从D到C.所以能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是5+4+6+5.5=20.5km．故选：B．【点评】：本题考查合情推理.考查学生的计算能力.找到最短路线是解决本题的关键．8.（单选题.5分）设函数f（x）定义如表.数列{x n}满足x1=5. x n+1=f(x n)(n∈N∗) .则x2017的值为（）x 1 2 3 4 5 6 f（x） 4 5 1 2 6 3A.1B.3C.5D.6【正确答案】：C【解析】：推导出数列{x n}是以6为周期的周期数列.从而x2017=x1=5．【解答】：解：∵数列{x n}满足x1=5. x n+1=f(x n)(n∈N∗) .∴由表得：x2=f（5）=6.x3=f（6）=3.x4=f（3）=1.x5=f（1）=4.x6=f（4）=2.x7=f（2）=5.x8=f（5）=6.∴数列{x n}是以6为周期的周期数列.∵2017=336×6+1.∴x2017=x1=5．故选：C．【点评】：本题考查函数值的求法.考查函数性质等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．9.（填空题.5分）复数z=1-i（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于第___ 象限．【正确答案】：[1]四【解析】：直接由复数得到复数z=1-i在复平面上对应的点的坐标.则答案可求．【解答】：解：∵复数z=1-i在复平面上对应的点的坐标为（1.-1）.∴复数z=1-i（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限．故答案为：四．【点评】：本题考查复数的代数表示法及其几何意义.是基础题．10.（填空题.5分）经调查某地若干户家庭的年收入x（万元）和年饮食支出y（万元）具有线性相关关系.并得到y关于x的线性回归直线方程：ŷ=0.2x+0.3 .由回归直线方程预测.家庭年收入为2万元时.年饮食支出大约为___ 万元．【正确答案】：[1]0.7【解析】：利用线性回归直线方程计算x=2时ŷ的值即可．【解答】：解：根据线性回归直线方程ŷ=0.2x+0.3 .计算x=2时. ŷ =0.2×2+0.3=0.7.即预测家庭年收入为2万元时.年饮食支出大约为0.7万元．故答案为：0.7．【点评】：本题考查了线性回归方程的应用问题.是基础题．11.（填空题.5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否正确的回答对A.B.C三个问题.甲说：我回答对的问题比乙多.但没有回答对B；乙说：我没回答对C；丙说：我们三人都同时答对一个题；由此可判断乙答对的题为___ ．【正确答案】：[1]A【解析】：可先由乙推出.可能答案对A或B.再由甲推出只能是A.B中的一个.再由丙即可推出结论．【解答】：解：由乙说：我没回答对C.则乙可能答对A或B.但甲说：我回答对的问题比乙多.但没有回答对B.则乙只能是答对A.B中的任一个.再由丙说：我们三人都同时答对一个题.则由此可判断乙答对的题为A．故答案为：A．【点评】：本题考查乙答对的题的判断.考查简单的合情推等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．12.（填空题.5分）阅读图所示的程序框图.运行相应的程序.输出的结果是___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：分析程序中各变量、各语句的作用.再根据流程图所示的顺序.可知：该程序的作用的周期.我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况.不难是利用循环求函数S= 11−S给出答案．【解答】：解：程序在运行过程中各变量变化的如下表示：S n 是否继续循环循环前 2 1/第一圈-1 2 是3 是第二圈12第三圈 2 4 否故最后输出的n值为4故答案为：4【点评】：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果.是算法这一模块最重要的题型.其处理方法是：① 分析流程图（或伪代码）.从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型.又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多.也可使用表格对数据进行分析管理）⇒② 建立数学模型.根据第一步分析的结果.选择恰当的数学模型③ 解模．13.（填空题.5分）a+b=1.a2+b2=3.a3+b3=4.a4+b4=7.a5+b5=11.…则a9+b9=___ ．【正确答案】：[1]76【解析】：观察可得各式的值构成数列1.3.4.7.11.….然后根据归纳推理即可得到结论．【解答】：解：观察可得各式的值构成数列1.3.4.7.11.….其规律为从第三项起.每项等于其前相邻两项的和.所求值为数列中的第9项．继续写出此数列为1.3.4.7.11.18.29.47.76.123.….第9项为76.即a9+b9=76.．故答案为：76；【点评】：本题主要考查归纳推理的应用.根据已知条件得到数列取值的规律性是解决本题的关键．考查学生的观察能力．14.（填空题.5分）若集合M满足：∀x.y∈M.都有x+y∈M.xy∈M.则称集合M是封闭的．显然.整数集Z.有理数集Q.都是封闭的．在上述定义下.（1）复数集C___ 封闭的（填“是”或“否”）；（2）若Q⊊F⊆C.集合F是封闭.则满足条件的一个F可以是___ （只写一个）．【正确答案】：[1]是; [2]R【解析】：（1）根据题意.由复数的运算法则.分析可得其符合集合封闭的定义.即可得答案；（2）根据题意.分析可得R符合题意的要求.即可得答案．【解答】：解：（1）根据题意.对于复数集.由复数的运算法则.若x.y∈C.则x+y∈C.xy∈C.则复数C是封闭的.（2）若Q⊊F⊆C.集合F是封闭.则实数集R符合.则满足条件的一个F可以是R；故答案为：（1）是.（2）R．【点评】：本题考查集合的关系.关键是掌握集合封闭的定义.属于基础题．15.（问答题.8分）已知复数z1=2+4i.z2=a+i（a∈R）.z1=z2•（1+i）.求|z2|．【正确答案】：【解析】：把z1=2+4i.z2=a+i（a∈R）代入z1=z2•（1+i）.整理后利用复数相等的条件列式求得a.再由复数模的计算公式求解．【解答】：解：∵z1=2+4i.z2=a+i（a∈R）.由z1=z2•（1+i）.得2+4i=（a+i）（1+i）=（a-1）+（a+1）i．.即a=3．∴ {a−1=2a+1=4∴|z2|=|3+i|= √10．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数相等的条件.训练了复数模的求法.是基础题．x2−3alnx(a∈R) .且曲线y=f（x）在点（2.f（2））处16.（问答题.12分）设函数f(x)=32的切线的斜率为0．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；，e](e=2.718…)上的最小值．（3）求函数f（x）在区间[1e【正确答案】：【解析】：（1）求得f （x ）的导数.可得切线的斜率.解方程可得a 的值；（2）由导数大于0.可得增区间；导数小于0.可得减区间；（3）由（2）可得f （x ）的极小值.且为最小值．【解答】：解：（1）函数 f (x )=32x 2−3alnx (a ∈R ) 的导数为： f′（x ）=3x- 3a x.曲线y=f （x ）在点（2.f （2））处的切线的斜率为0．可得6- 3a 2=0.解得a=4；（2）f （x ）= 32x 2-12lnx. 导数为f′（x ）=3x- 12x =3(x−2)(x+2)x. 由f′（x ）＞0.可得x ＞2；由f′（x ）＜0.可得0＜x ＜2；即f （x ）的增区间为（2.+∞）．减区间为（0.2）；（3）由（2）可得函数f （x ）的极小值为f （2）=6-12ln2. 且2∈[ 1e .e].可得f （x ）的最小值为6-12ln2．【点评】：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值.同时考查不等式的解法.属于基础题．17.（问答题.10分）对于无穷数列{a n }与{b n }.记集合 A ={x|x =a n ，n ∈N ∗} .集合 B ={x|x =b n ，n ∈N ∗} .若同时满足条件： ① 数列{a n }.{b n }均单调递增； ② A∩B=∅且A∪B=N *.则称数列{a n }与{b n }是“好友数列”．（1）若a n =2n. b n =4n +1(n ∈N ∗) .判断数列{a n }与{b n }是否为“好友数列”.并说明理由；（2）若数列{a n }与{b n }是“好友数列”.{a n }为等差数列且a 16=36.求数列{a n }与{b n }的通项公式．【正确答案】：【解析】：（1）由于集合B 中不含1.3等元素.不满足新定义.即可判断；（2）设数列{a n }的公差为d 的等差数列.运用等差数列的通项公式.结合条件和新定义.求得d=1.2.分别讨论可得所求数列的通项公式．【解答】：解：（1）数列{a n }与{b n }不为“好友数列”．由a n =2n. b n =4n +1(n ∈N ∗) .可得集合A 为正偶数集.集合B 中不含1.3. 虽然满足 ① 数列{a n }.{b n }均单调递增； ② A∩B=∅但A∪B≠N *.则数列{a n }与{b n }不为“好友数列”；（2）设数列{a n }的公差为d 的等差数列. 由a 16=36.即有a 1+15d=36.由题意可得36-15d≥1.解得d=1或2. 若d=1.则a 1=21.a n =n+20.b n =n （1≤n≤20）. 与无穷数列{a n }与{b n }矛盾.舍去；若d=2.则a 1=6.a n =2n+4.b n = {n (1≤n ≤5)2n −5(n ≥6).综上可得a n =2n+4.b n = {n (1≤n ≤5)2n −5(n ≥6) .n∈N*．【点评】：本题考查新定义的理解和运用.考查等差数列的通项公式的运用和方程思想、分类讨论思想方法.考查运算能力.属于中档题． 18.（单选题.6分） (1+i 1−i )8=（）A.-1B.1C.iD.-i【正确答案】：B【解析】：利用复数代数形式的乘除运算化简 1+i1−i .再由虚数单位i 的性质得答案．【解答】：解：∵1+i1−i=(1+i )2(1−i )(1+i )=i .∴ (1+i 1−i )8=i 8=（i 4）2=1．故选：B ．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查虚数单位i 的性质.是基础题．19.（单选题.6分）类比等比数列的定义.定义等积数列为：若数列 {a n }(n ∈N ∗) 从第二项起.每一项与前一项的乘积为一个不变的非零常数.则称数列 {a n }(n ∈N ∗) 为等积数列.这个常数叫做该数列的公积．若一个等积数列的首项为2.公积为6.则数列的通项公式为（） A. a n ={2(n =2k −1)3(n =2k )(k ∈N ∗) B. a n ={3(n =2k −1)2(n =2k )(k ∈N ∗) C. a n ={6(n =2k −1)3(n =2k )(k ∈N ∗)D. a n ={6(n =2k −1)2(n =2k )(k ∈N ∗)【正确答案】：A【解析】：由题意可得.a n a n+1=6.由递推公式可求解数列的通项公式．【解答】：解：由题意可得.a n a n+1=6. ∵a 1=2∴a 2=3.a 3=2.a 4=3.….∴a n = {2，(n =2k −1)3，(n =2k ) .（k∈N *）．故选：A ．【点评】：此题的思想方法要抓住给出的信息.观察数列的规律.总结出项数与项之间的关系.求出通项公式时需要分类讨论.一定清楚奇数项数与偶数项数.否则容易出错．20.（单选题.6分）已知函数f （x ）=sinx+e x .今f 1（x ）=f′（x ）.f 2（x ）=f′1（x ）.f 3（x ）=f′2（x ）.….f n+1（x ）=f′n （x ）.（n∈N *）则f 2017（x ）=（） A.sinx+e x B.cosx+e x C.-sinx+e x D.-cosx+e x 【正确答案】：B【解析】：分别求出f 1（x ）、f 2（x ）、f 3（x ）、f 4（x ）.结合f （x ）.可得到f n+4（x ）=f n （x ）.于是可得到f 2017（x ）=f 1（x ）.从而可得出答案．【解答】：∵f （x ）=sinx+e x .∴ f 1(x )=f′(x )=cosx +e x . f 2(x )=f 1′(x )=−sinx +e x . f 3(x )=f 2′(x )=−cosx +e x . f 4(x )=f 3′(x )=sinx +e x .∴f n+4（x ）=f n （x ）.f2017(x)=f4×504+1(x)=f1(x)=cosx+e x .故选：B．【点评】：本题考查导数的运算.找出导数的周期性是解本题的关键.属于基础题．21.（填空题.6分）设z∈C.|z|=1.则|z-（1+i）|的最大值是___ ．【正确答案】：[1]1+ √2【解析】：由复数模的几何意义.数形结合即可求得|z-（1+i）|的最大值．【解答】：解：由题意可知.复数z的轨迹为单位圆.如图.|z-（1+i）|的几何意义为单位圆上的动点到定点P的距离.由图可知.|z-（1+i）|的最大值为|AP|=1+ √2．故答案为：1+ √2．【点评】：本题考查复数模的求法.考查复数模的几何意义.是基础题．22.（填空题.6分）设函数f（x）在R上可导.其导函数为f'（x）.且函数y=（1-x）f'（x）的图象如图所示.则函数f（x）的极大值点为x=___ ．【正确答案】：[1]-2【解析】：利用函数的图象.判断导函数值为0时.左右两侧的导数的符号.即可判断极值．【解答】：解：由函数的图象可知.f′（-2）=0.f′（1）=0.f′（2）=0. 并且当x ＜-2时.f′（x ）＞0；当-2＜x ＜1.f′（x ）＜0；当1＜x ＜2时.f′（x ）＜0；x ＞2时.f′（x ）＞0.即f （x ）在（-∞.-2）上单调递增.在（-2.1）上单调递减. 在（1.2）递减.在（2.+∞）递增.所以f （x ）在x=-2处取得极大值.在x=2处取得极小值.x=1不为极值点. 故答案为：-2．【点评】：本题考查函数与导数的应用.考查分析问题解决问题的能力.函数的图象的应用． 23.（填空题.6分）等差数列 {a n }(n ∈N ∗) 中.a 3+a 4=4.a 5+a 7=6．（1）数列 {a n }(n ∈N ∗) 的通项公式为a n =___ ．（2）设 b n =[a n ](n ∈N ∗) .其中[x]表示不超过x 的最大整数.如[0.9]=0.[2.6]=2．则数列{b n }的前8项和为___ ．【正确答案】：[1] 25n + 35 ; [2]16【解析】：（1）利用等差数列通项公式列出方程组.由此能求出a 1=1.d= 25.从而能求出数列 {a n }(n ∈N ∗) 的通项公式．（2）由 b n =[a n ](n ∈N ∗) .能求出数列{b n }的前8项和．【解答】：解：（1）∵等差数列 {a n }(n ∈N ∗) 中.a 3+a 4=4.a 5+a 7=6． ∴ {a 1+2d +a 1+3d =4a 1+4d +a 1+6d =6 . 解得a 1=1.d= 25 .∴a n =1+（n-1）× 25= 25n + 35．故答案为： 25n + 35 ．（2）∵ b n =[a n ](n ∈N ∗) . ∴数列{b n }的前8项和为：S 8=[ 25+35]+[ 45+35]+[ 65+35]+[ 85+35]+[ 105+35]+[ 125+35]+[ 145+35]+[ 165+35]=1+1+1+2+2+3+3+3=16．故答案为：16．【点评】：本题考查等差数列的通项公式的求法.考查数列的前8项和的求法.考查等差数列的性质等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是中档题．24.（问答题.14分）已知函数f(x)=1x3+ax2+bx .且f′（-1）=0．3（1）试用含a的代数式表示b；（2）a≤1时.求函数f（x）的单调区间；（3）令a=-1.并且设方程f（x）=m有三个不等的实数根.求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求得f（x）的导数.由f′（-1）=0.可得所求关系式；（2）求得f（x）的导数.讨论a=1.a＜1.结合二次不等式的解法.可得所求单调区间；（3）由（2）可得f（x）的单调性.求得极值.由题意可得m介于极小值和极大值之间．x3+ax2+bx .【解答】：解：（1）函数f(x)=13导数为f′（x）=x2+2ax+b.f′（-1）=0.即为1-2a+b=0.可得b=2a-1；x3+ax2+（2a-1）x（2）a≤1时.f（x）= 13导数为f′（x）=x2+2ax+2a-1=（x+1）（x+2a-1）.当a=1时.f′（x）=（x+1）2≥0.f（x）在R上递增；当a＜1时.1-2a＞-1.可得f（x）在（-1.1-2a）递减；在（-∞.-1）.（1-2a.+∞）递增；x3-x2-3x.（3）a=-1.f（x）= 13导数为f′（x）=x2-2x-3=（x-3）（x+1）.f（x）在（-1.3）递减.在（-∞.-1）.（3.+∞）递增；.可得f（x）的极小值为f（3）=-9.极大值为f（-1）= 53方程f（x）=m有三个不等的实数根..可得-9＜m＜53）．即m的取值范围是（-9. 53【点评】：本题考查导数的运用：求单调性和极值.考查方程思想和运算能力.属于基础题．。

北京市海淀区人大附中2018_2019学年高二语文下学期期末考试试题(含解析)

北京市海淀区人大附中2018-2019学年高二下学期期末语文试题说明:本试卷共八道大题30道小题,共8页,满分150分。

其中第1卷为《中国文化经典研读》基础考核,第Ⅱ卷为附加考核。

考试时长150分钟；请将全部答案作答在答题卡第1卷（100分）一、本大题共11小题,共33分1.下列各项中加点字的读音完全正确的一项是（）A. 砧．声(zhēn) 叨．扰(dāo) 勾．当(gōu）封妻荫．子（yìn）B. 烟囱．（tǒng）脊髓．(suǐ) 勒．马（lè）怦．然(pīng)C. 荒谬．（miù）潜．伏（qián）巢．穴（xué）作．奸犯科（zuò）D. 蝙．蝠（biān）庇．护(bì）街衢．（qú）断壁残垣．（huán）【答案】C【解析】【详解】试题分析：本题考查考生识记现代汉语字音的能力。

此类试题解答时，字音重点考核多音字、形声字、形似字、音近字、方言、生僻字等，多音字注意据义定音，要找规律，结合词义、词性、运用场合等记忆。

A项，叨扰(dāo)——tāo，勾当(gōu）——gòu；B项，烟囱（tǒng）——cōng，怦然(pīng)——pēng；D项，断壁残垣（huán）——yuán。

故选C。

2.下列各项中的词语书写完全正确的一项是（）A. 遐思庶民嬉戏乌蓬船B. 和协濡养遨游都江堰C. 蛊惑发纫制裁茵陈蒿D. 针炙惊悸鬼崇什刹海【答案】B【解析】【详解】试题分析：本题主要考查字形辨析的能力。

此类试题解答时，辨析字形当然要从字音和字义上下功夫。

形近字虽然字形相近，但却有细微的区别，这细微处就是辨析的关键。

有些形近但读音不同的字，可以通过读音的不同加以辨析。

相连字形的考核主要考核形近字和音近字，试题的内容有两字词语，三字熟语和成语。

A项，乌蓬船——乌篷船；C项，发纫——发轫；D项，针炙——针灸，鬼崇——鬼祟；故选A。

2017-2018学年北京海淀区中国人民大学附属中学高二上学期期末语文试卷

的感情色彩去讽刺、暴露和写实。
《四世同堂》写的是我们民族的深重灾难和深沉悲剧，小说处处呈现出一种因黍离之悲而产生的愤懑与激
烈的感情色彩。作家或塑造悲剧形象，或描述悲剧事件，都依据着现实主义的原则，忠实地反映着生活中真、
善、美的毁灭。
老舍对北平中、下层人民是极为熟悉的。他将普通北平百姓的性格中许多美好的素质赋予了小说中一些内
闷时要从传统文化中去寻找忘却现实的避风港？为什么北平人会从过中秋节不能点缀以北平传统的“兔儿
爷”的事实中去体会“亡国惨”？……原因之一就是我们的固有文化中致命的弱点，它使人民很容易受暴徒的蹂
躏，以至于灭亡，它是太古雅、太和平了！
我们感谢作家带着感情色彩的深沉的思索，它【丙】。它不但给这部皇皇巨著增色不少，而且在今天，它
2017~2018学年北京海淀区中国人民大学附属中学高二上学期期末语文试卷
实用类阅读（22分）
1. 阅读下面的材料，完成下题。
（1）
材料一
老舍及其代表的京味文学，既是对北京文化的集中表现，也是对民族特性的深刻揭示。前者包括对北京市
民社会的多方位描写，对市民群像的生动刻画，对北京特有的风俗民情的多层面展示，以及地道纯正的北京方
D. 随时代风云以更强烈的感情去讽刺、暴露和写实
康 2 下列对“材料二”中出现的词语，解说不正确的一项是爱智 A. 创作伊始：“伊始”的意思是“开始”，“伊”是助词，无实义。
B. 黍离之悲：“黍离”的意思是“国家残破”，该词出自《诗经》。
C. 蹂躏：读作róulìn，意思是“践踏，比喻用暴力欺压、侵凌”。
人的脸就是一下子。他忽然觉得非常痛快，得
意。他没作声，把所有的劲儿全用在拳头上了。
③李四爷的丧事办得挺像那么一回事，来的人很

2018北京人大附中高二(下)数学(文)期末

2018北京人大附中高二（下）数学（文）期末2018 年 7 月 5 日说明：本练习共 3 道大题 20 道小题，共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟；一、选择题（共 8 道小题，每道小题5 分，共 40 分.请将正确答案填涂在答题卡上.） 1．设集合 A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则 A ∪B ＝( A )A ．{1,2,3,4}B ．{1,2,3}C ．{2,3,4}D ．{1,3,4}2. 设复数 z =i ⋅(1+i)（其中 i 是虚数单位），则复数 z 对应的点位于（ B ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3. 执行如图所示的程序框图，若输入的 a 值为 1，则输出的 k 值为（B ） A.1 B.2 C.3 D.44. 下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(D)A ．y ＝e x ＋e －xB ．y ＝ln(|x |＋1)C ．sin xy x =D ．1y x x =- 5. 命题“若 x ，y 都是偶数，则 x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( C )A ．若 x ＋y 是偶数，则 x 与 y 不都是偶数B ．若 x ＋y 是偶数，则 x 与 y 都不是偶数C ．若 x ＋y 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数D ．若 x ＋y 不是偶数，则 x 与 y 都不是偶数6．已知 l g a ＋lg b ＝0，则 l g(a ＋b )的最小值为( A ) A ． lg 2 B ． 22 C ．－lg 2 D ．27．设 U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合 C ，使得 A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B =∅” 的( C)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. 已知函数22()=(ln )x e f x k x x x -+，若 x ＝2 是函数 f (x )的唯一的一个极值点，则实数 k的取值范围为( A)A ．(－∞，e]B ．[0，e]C ．(－∞，e)D ．[0，e)二、填空题（共6 道小题，每道小题 5 分，共 30 分. 请将正确答案填在答题卡上.） 9. 若函数 f (x )满足f (2x) = log 2 x ，则 f (2) = ． 10. 设定义在 R 上的函数 f (x )满足 f (x )＝f (x ＋2)；且当 0≤x <1 时，f (x )＝2x－1，则5()2f =11.若实数 x ，y 满足约束条件10060x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则 x －2y 的最大值为．12. 若 f (x )＝x sin x ＋cos x ，则 f (－3)，()2f π，f (2)的大小关系为13.已知函数 f (x ) = x 2 ， g ( x ) =1()2xm -，若对任意x 1∈ [0,2] ，存在 x 2∈ [1,2] ，使得f (x 1 ) ≥ g (x 2 ) ，则实数m 的取值范围为14．设函数 f (x )＝a x ＋b x －c x ，其中 c >a >0，c >b >0.若 a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，给出下列命题： ①对于∀x ∈(－∞，1)，都有 f (x )>0；②存在 x >0，使 a x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则存在 x ∈(1,2)，使 f (x )＝0. 则其中所有正确结论的序号是．三、解答题（共 6 道小题，共 80 分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. (本小题满分 12 分)已知集合 A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2x >1}． (Ⅰ)求 A ∩B ，(∁R B )∪A ；(Ⅱ)已知非空集合 C ＝{x |1<x <a }，若 C ⊆A ，求实数 a 的取值范围．16. (本小题满分 12 分)给定实数 t ，已知命题 p ：函数 f (x )＝x 2－2tx ＋1 有零点；命题 q ：∀ x ∈[1，＋∞)1x x-≤4t 2－1. (Ⅰ)当 t ＝1 时，判断命题 q 的真假； (Ⅱ)若 p ∨q 为假命题，求 t 的取值范围．17. (本小题满分 13 分)已知函数 f (x )＝321132a x x ax -+-，x ∈R ，其中 a ＞0.(Ⅰ)求函数 f (x )的单调区间；(Ⅱ)若函数 f (x )（x ∈(－2,0)）的图象与直线 y =a 有两个不同交点，求 a 的取值范围．18. (本小题满分 13 分)某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为 x （单位：元， x > 0 ）时，销售量 q (x ) （单位：百台）与 x 的关系满足：若 x 不超过20，则 1260()1q x x =+若 x 大于或等于180 ，则销售量为零；当 20 ≤ x ≤180 时，()q x a b x =-（a ，b 为实常数）．（Ⅰ）求函数 q (x ) 的表达式；（Ⅱ）当 x 为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．（1）当 0 < x ≤20 时， 126000126000()12600011x f x x x ==-++ f (x ) 在[0，20] 上单调递增，所以当 x = 20 时， f (x ) 有最大值120000 ． (8)（2）当 20 < x ≤180 时， f (x )＝9000x - 3005x x ⋅， f '(x )＝9000 - 4505x ，令 f '(x )＝0 ，得 x = 80 ．当 20 < x < 80 时， f '(x ) > 0 ， f (x ) 单调递增，当 80 < x ≤180 时， f '(x ) < 0 ， f (x ) 单调递减，所以当 x = 80 时， f (x ) 有最大值 240000 ． (11)（3）当180 < x 时， f (x ) = 0 ﹒ (12)答：当 x 等于80 元时，总利润取得最大值 240000 元． (13)19. (本小题满分 15 分)已知函数 f ( x ) = e x - mx （ m 为常数）．（Ⅰ）若曲线 y = f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线斜率为 -1 ，求实数 m 的值．（Ⅱ）求函数f ( x ) 的极值．（Ⅲ）证明：当 x > 0 时， e x > x 2 ．20.(本小题满分 15 分)已知函数 f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]，g (x )=ln x x，其中 e 是自然对数的底数，a ∈R.(Ⅰ)当 a ＝1 时，求 f (x )的单调区间； (Ⅱ)设函数 F ( x ) = x 2 ⋅ g ( x ) - f ( x ) - ln x + a ， ①求函数 F (x )在区间[1, e ] 上的最大值； ②求证：a >1 是函数 F (x )有两个零点的充分条件.数学试题答案一、选择题（共 8 道小题，每道小题 5 分，共 40 分.请将正确答案填涂在答题卡上.） 1．解析：由题意得 A ∪B ＝{1,2,3,4}． 2.解析： z=i(1+i)=-1+ i 3.解析： k=0,b=1，进入循环体，12a =-，否；k=1,a=-2，否；k=2,a=1,此时 a =b=1，输出 k ，k=2. 4.解析：选项 A ，B 显然是偶函数，排除；选项 C 是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项 D 中，1y x x=-是奇函数，且 y ＝x 和 1y x=-在(0，＋∞)上均为增函数，故1y x x=-在(0，＋∞)上为增函数，所以选项 D 正确．5.解析： “都是”的否定是“不都是”，故其逆否命题是：“若 x ＋y 不是偶数，则 x 与 y不都是偶数”． 6解析：由 l g a ＋lg b ＝0，可知 a >0，b >0，则 l g(ab )＝0，即 a b ＝1.所以 a ＋b ≥ 2 ab ＝2，当且仅当 a ＝b ＝1 时取等号，所以 lg(a ＋b )≥lg 2.故 l g(a ＋b )的最小值为 l g 2.7．解析：依题意，若 A ⊆C ，则∁U C ⊆∁U A ，若 B ⊆∁U C ，可得 A ∩B ＝∅；若 A ∩B ＝∅，不妨令 C ＝A ，显然满足 A ⊆C ，B ⊆∁U C ，故满足条件的集合 C 是存在的． 8.解析：函数 f (x )的定义域是(0，＋∞)，所以'2()2()xe k x xf x x--= 因为 x ＝2 是函数 f (x )的唯一一个极值点，所以 x ＝2 是导函数 f ′(x )＝0 的唯一根．所以0xe k x-=在(0，＋∞)上无变号零点．设 g (x )＝x e x ，则 g ′(x )＝2(1)xx e x-当 x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，当 x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，所以 g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以 g (x )min ＝g (1)＝e ，结合 g (x )＝xe x与 y ＝k 的图象知，若 x ＝2 是函数 f (x )的唯一一个极值点，则应需 k ≤e.二、填空题（共6 道小题，每道小题 5 分，共 30 分. 请将正确答案填在答题卡上.） 9. 解析：令 x =1， f (2) = log 2 1=010.解析：5()2f =1()212f =-11. 解析：画出可行域如图中阴影部分所示，令 z ＝x －2y ，可知 z ＝x －2y 在点 A (1,1)处取得最大值－1.12.()(2)(3)2f f f π-f f解析：函数 f (x )为偶函数，因此 f (－3)＝f (3)．又 f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，当[,]2x ππ∈时，f ′(x )≤0. 所以f (x )在区间上是减函数，所以()(2)(3)2f f f π-f f13.14m ≥解析：对任意 x 1 ∈ [0,2] ，存在 x 2 ∈ [1,2]，使得 f (x 1 ) ≥ g (x 2 ) 等价于 g ( x ) =1()2xm -在[1,2]上的最小值14m -不大于 f (x ) = x 2 在 [0,2]上的最小值 0，104m -≤∴14m ≥14．解析： ①因为 a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，所以 a ＋b >c ，因为 c >a >0，c >b >0，所以01a c pp ,01b c p p ，当 x ∈(－∞，1)时，f (x )＝a x ＋b x －c x ＝(()()1)x x x a bc c c +- (1)0x x a b a b c c c c c c+-+-=⋅f f ，故①正确；②令 a ＝2，b ＝3，c ＝4，则 a ，b ，c 可以构成三角形，但 a 2＝4，b 2＝9，c 2＝16 却不能构成三角形，所以②正确； ③已知 c >a >0，c >b >0，若△ABC 为钝角三角形，则 a 2＋b 2－c 2<0，因为 f (1)＝a ＋b － c >0，f (2)＝a 2＋b 2－c 2<0，根据零点的存在性定理可知在区间(1,2)上存在零点，所以存在 x ∈ (1,2)，使 f (x )＝0，故③正确．三、解答题（共 6 道小题，共 80 分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.解：(Ⅰ)∵3≤3x ≤27，即 31≤3x ≤33，∴1≤x ≤3， ∴A ＝{x |1≤x ≤3}．........................2 ∵log 2x >1，即 log 2x >log 22，∴x >2，∴B ＝{x |x >2}． ........................4 ∴A ∩B ＝{x |2<x ≤3}． (6)∵∁R B ＝{x |x ≤2}， ∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤3}． ……………………9 (Ⅱ)由(1)知 A ＝{x |1≤x ≤3}， ∵C ⊆A ，∴1<a ≤3.∴实数 a 的取值范围是 1<a ≤3． ……………………12 16.解：(Ⅰ)当 t ＝1 时，max1()0x x-= (3)1x x-≤3 在[1，＋∞)上恒成立，故命题 q 为真命题． (5)(Ⅱ)若 p ∨q 为假命题，则 p ，q 都是假命题． (6)当 p 为假命题时，Δ＝(－2t )2－4<0，解得－1<t <1； (8)当 q 为真命题时，max 1()x x -≤4t 2－1，即 4t 2－1≥0，解得 t ≤12-或 t ≥12∴当 q 为假命题时，12t -p p 12 ……………………10 ∴t 的取值范围是1(,2-1)2 (12)17.解：(Ⅰ)f ′(x )＝x 2＋(1－a )x －a ＝(x ＋1)(x －a )． ……………………1 由 f ′(x )＝0，得 x 1＝－1，x 2＝a ＞0. (2)当 x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x(－∞，－1) －1 (－1，a )a(a ，＋∞)f ′(x )＋－0 ＋f (x )极大值极小值 (3)故函数 f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(a ，＋∞)；单调递减区间是(－1，a )． ……………………6 (Ⅱ) 令 g (x )=f (x )-a ，x ∈(－2,0)，则函数 g (x )在区间(－2,0)内有两个不同的零点， (8)由(Ⅰ)知 g (x )在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1，0)内单调递减，从而((1(0g g g -⎧⎪-⎨⎪⎩p f p…………… (11)解得 0＜a ＜13.所以 a 的取值范围是(0, 13) (13)18.解：（Ⅰ）当 20 ≤ x ≤180 时，（Ⅱ）设总利润 f (x ) = x ⋅ q (x ) ，（1）当 0 < x ≤20 时， 126000126000()12600011x f x x x ==-++ f (x ) 在[0，20] 上单调递增，所以当 x = 20 时， f (x ) 有最大值120000 ． (8)（2）当 20 < x ≤180 时， f (x )＝9000x - 3005x x ⋅， f '(x )＝9000 - 4505x ，令 f '(x )＝0 ，得 x = 80 ．当 20 < x < 80 时， f '(x ) > 0 ， f (x ) 单调递增，当 80 < x ≤180 时， f '(x ) < 0 ， f (x ) 单调递减，所以当 x = 80 时， f (x ) 有最大值 240000 ． (11)（3）当180 < x 时， f (x ) = 0 ﹒ (12)答：当 x 等于80 元时，总利润取得最大值 240000 元． (13)19.【解】（Ⅰ） f ' ( x ) = e x - m ， (1)由已知，得 f ' (0) = -1，e 0 - m = -1，解得 m = 2 ． (2)（Ⅱ）令 f ' ( x ) =0 ，得 x =ln m . (3)列表如下：x (－∞，ln m )ln m (ln m ，+∞)f (x ) － 0+f (x )↘极小值f (ln m ) ↗∴函数f ( x ) 在 (-∞, l n m ) 上是减函数，在 (ln m , +∞) 上是增函数， (5)∴ f (x ) 的极小值为 f (ln m ) = m - m l n m ，无极大值． (7)（Ⅲ）令 g ( x ) = e x - x 2 ， ……………………8 则 g ' ( x ) = e x - 2x ， ……………………9 由（ 2 ）可知， g ' ( x ) min = 2 - 2 l n 2 = 2 - ln 4 > 0 ， ……………………11 ∴ g ' ( x ) > 0 恒成立，∴g ( x ) 在 (0, +∞) 上单调递增， (13)∴ g ( x ) > g (0) = 1 > 0 ，即 e x - x 2 > 0 ，故当 x > 0 时， e x > x 2 ． (15)20.解：(Ⅰ)∵f (x )＝x －ln x ，f ′(x )＝1－11=x xx - (1)∴当 0＜x ＜1 时，f ′(x )＜0，此时 f (x )单调递减；当 1＜x ＜e 时，f ′(x )＞0，此时 f (x )单调递增．∴f (x )的单调增区间为(1,e)，单调减区间为(0,1). ……………………3 (Ⅱ)F (x )=x ln x －ax +a ，①F ' (x )=ln x +1－a ，令 F ' (x )=0，得 x = ea -1， (5)所以在区间 ( 0, ea -1) 上，F ' (x )<0，F (x )单调递减，在区间 ( e a -1 , + ∞) 上，F ' (x )>0，F (x )单调递增.（ⅰ）当 e a -1≤ 1 ，即 0<a ≤1 时，在区间[1，e]上，F (x )单调递增，所以 F (x )最大值为 F (e)=e+a －a e ； (6)（ⅱ）当 e a -1≥ e ，即 a ≥2 时，在区间[1，e]上，F (x )单调递减，所以 F (x )最大值为F (1)=0. (7)（ⅲ）当1 < e a -1 < e ，即 1<a <2 时，F (x )的最大值为 F (e)和 F (1)中较大者：令 F (e) － F (1)= e+a －a e>0，解得 a <1e e -所以当1 < a <1e e -时，F (x )最大值为 F (e)=e+a －a e ，当1e e -≤ a < 2 时，F (x )最大值为 F (1)=0综上所述，当 0 < a <1ee -时，F (x )最大值为 F (e)=e+a －a e ，当 a ≥1ee -时，F (x )最大值为 F (1)=0. (10)②“函数 F (x )有两个零点”等价于“方程 x ln x －ax +a=0 两个根”，由于 x >0，也等价于 “函数G ( x ) =ln ax a x-+有两个零点”. (11)则 G '( x ) =2x a x -当 > 0时，令 G ' (x )>0 得 > ，令 G ' (x )<0 得 <即函数 G (x )的单调递增区间为( , +∞)，单调递减区间为(0, )，因此，G (x )min = G (a )= ln a -a +1≤0.. (13)又 G (1)=0，当 > 1时，由于 G (a )<0，G (e a ) =aae> 0 ，故函数 G (x )有两个零点所以 a > 1 是函数 F (x )有两个零点的充分条件.。

北京中国人民大学附属中学2018-2019学年高二数学文月考试题含解析

北京中国人民大学附属中学2018-2019学年高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在空间中，下列命题正确的是（）A．如果直线m∥平面α，直线n?α内，那么m∥nB．如果平面α⊥平面β，任取直线m?α，那么必有m丄βC．若直线m∥平面α，直线n∥平面α，则m∥nD．如果平面a外的一条直线m垂直于平面a内的两条相交直线，那么m⊥α参考答案：D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，m与n平行或异面；在B中，m与β相交、平行或m?β；在C中，m与n相交、平行或异面；在D中，由线面垂直的判定定理得m⊥α．【解答】解：在A中，如果直线m∥平面α，直线n?α内，那么m与n平行或异面，故A 错误；在B中，如果平面α⊥平面β，任取直线m?α，那么m与β相交、平行或m?β，故B 错误；在C中，若直线m∥平面α，直线n∥平面α，则m与n相交、平行或异面，故C错误；在D中，如果平面a外的一条直线m垂直于平面a内的两条相交直线，那么由线面垂直的判定定理得m⊥α，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．2. 直线的斜率为（）．A．B．C．D．参考答案：A解：化为斜截式为．故选．3. 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线，则曲线C的方程为( )A．25x2＋9y2＝1 B．9x2＋25y2＝1 C．25x＋9y＝1 D．参考答案：A4. 已知命题，则是（）A．B．C．D．参考答案：C略5. 过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于，则为（）A． B． C． D．参考答案：B6. 设函数f（x）=﹣lnx的导函数为f'（x），则f'（x）最大值为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】导数的运算．【分析】两次求导，根据导数的和函数的最值的关系即可求出．【解答】解：函数f（x）=﹣lnx的导函数为f'（x）=﹣，∴f″（x）=﹣+=，令f″（x）=0，解得x=16，当0＜x＜16时，f″（x）＞0，函数f′（x）单调递增当x＞16时，f″（x）＜0，函数f′（x）单调递减，故f'（x）max=f′（16）=，故选：A【点评】本题考查了导数和函数的最值的关系，关键是求导，属于基础题．7. 下列有关命题的说法正确的是（）命题P：“若，则”，命题q是 p的否命题.A.是真命题 B．q是假命题C．p是真命题 D．是真命题参考答案：D8. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则S1：S2=（）A．1：1 B．2：1 C．3：2 D．4：1参考答案：C【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】根据圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设为球的半径为1，结合圆柱的表面积的公式以及球的表面积即可得到答案．【解答】解：由题意可得：圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，所以等边圆柱的表面积为：S1=6π，球的表面积为：S2=4π．所以圆柱的表面积与球的表面积之比为S1：S2=3：2．故选C．9. 函数f(x)=1+log2x与g(x)=在同一直角坐标系下的图象大致是（）参考答案：C略10. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200=（）A．100 B．101 C．200 D．201参考答案：A【考点】等差数列的前n项和．【分析】由三点共线得a1+a200=1，再由等差数列前n项和公式解得．【解答】解：∵A，B，C三点共线∴a1+a200=1又∵∴s200=100故选A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 不等式的解集是_______________．参考答案：略12. 设(1＋i)sinθ－(1＋i cosθ)对应的点在直线x＋y＋1＝0上，则tanθ的值为________．参考答案：略13. 为鼓励中青年教师参加篮球运动, 校工会组织了100名中青年教师进行投篮活动, 每人投10次, 投中情况绘成频率分布直方图(如图), 则这100 名教师投中6至8个球的人数为 .参考答案：15. 3014. 过点M（1，2）的抛物线的标准方程为．参考答案：y2=4x或x2=y．【考点】抛物线的标准方程．【分析】先根据点的位置确定抛物线焦点的位置，然后分焦点在x轴的正半轴时、焦点在y轴的正半轴时两种情况进行求解．【解答】解：点M（1，2）是第一象限的点当抛物线的焦点在x轴的正半轴时，设抛物线的方程为y2=2px（p＞0）∴4=2p，p=2，即抛物线的方程是y2=4x；当抛物线的焦点在y轴的正半轴时，设抛物线的方程为x2=2py（p＞0）∴1=4p，p=，即抛物线的方程是x2=y．故答案为：y2=4x或x2=y．15. 设变量满足约束条件则目标函数的最小值为。