高中数学精讲教案-对数与对数函数

b>0，ab = 8,则当a 的值为 时，Iog 2a log 2(2b)取得最大值.

f(x) = 2ln x 与函数 g(x) = x 2 — 4x + 5= (x — 2)2 + 1 的

C . 1

16 ⑵81 + log 35 + log 34 =

2

⑵原式=3 4

•/ f(2) = 2ln 2>g(2) = 1 ,

3

4

+ log 3 5 4 2 -x 一 = 一 4 5 3

⑶当log 2a 与log 2(2b)有一个为负数时， 当log 2a 与log 2(2b)都大于零时， log 2a + log 2 2b 2 log 2 2ab

log 2a log 2(2b) < —

成立.

27

［答案］(1)B

(2)— (3)4

3 + log 31 = 27.

log 2a Iog 2(2b)<0显然不是最大值.

2 2

= 4,当且仅当 a = 2b,即 a = 4,b = 2 时“=”

【解题法】 对数运算及对数函数问题解题策略

(1)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底 对数真数的积、商、幕的运算.

(2) 对一些可通过平移、对称变换作岀其图象的对数型函数，在求解其单调性 域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解.

(3) 一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

(单调区间)、值 »对点题必刷题

1.设 f(x)= ln x,0

r = 2(f(a) + f(b))，则下列关系式中正确

的是(

)

A . q = r

C . q = r>p 答案 B

P = rq

(3)已知 ［解析］ 图象，如图所

a>0，

(1)在同一直角坐标系下画岀函数

0<

5

<1

5

>0,

答案 C

解析 函数y = 2log 4（1 -X ）的定义域为（—g, 1），排除A 、B ；又函数y = 2log 4（1 - x ）在定义 域内

单调递减，排除 D.选C.

6.若 a = log 43,则 2a + 2 a = ___________ . 答案433

学霸错题警示不考虑定义域导致错误

孔函数y = log i （x 2- 2x ）的单调递减区间是 ___________

2 ［错解］

令RW* 则乡二00龌伉,

T 仏二恵（1如，/）上卑洞递减（ A （z,十e ）上孚

澜递噌.

卸 y 二00& 丄宀 0< < / , /. J/二00他U 卑碉递

城，

旦。輕（kN ）的卑澜递_廉区闾％（Y 十8 ）.

ite*-

［错因分析］易岀现两种错误：一是不考虑定义域，二是应用复合函数的单调性法则时岀错.

解析

•' a = log 43 = Iog 2』3,

=^£3 =3

［正解］ 由X 2 — 2x>o ，得函数y = log 1 (x 2— 2x)的定义域为(一鸡，0) U (2，+

).

2

令u = x 2 — 2x ,则u 在(—a, 0) 上是减函数，在(2 ,+^)上是增函数， 又y = log ］ u 在(0,+g )上是减函数，

2 所以函数y = log 1 (x 2— 2x)在 (—a , 0)上是增函数，在(2 ,+^)上是减函数.

2

$来&源：故函数y = log 1 (x 2 — 2x)的单调递减区间是(2，+a ).故填(2，+a ).

2

［心得体会］

対皱轟皱的定义瑚走解夏今藹数牟阀帕问

殛对扱易忽魂韵条件，另彳卜缪字捱复參轟数的 牟凋啊的刘瀚方

课时撬分练

基础组

—1

—2

1.[衡水中学模拟]已知log 7[log 3(log 2x)] = 0,那么x 等于(

)

B 心 B. 6

1

A ・3

C

並

C.

3

答案

解析

由 lo g 7[log 3(log 2x)] = 0，得 log 3(log 2x) = 1,即 log 2x = 3,解得 x = 8,所以 宁故选D.

2

2 l g 5 1000 — 8

3 =( )

23 A.23 17 5

C . 18 5

答案

解析

lg 5 1000 — 8 = lg — 8 = lg 10

—(23)

3已知 x = log 2占,y = log 4 n z = 0.7 1.2,则( A . xvyvz

B . z

C . y

D . y

1

10.若直角坐标平面内的两个不同点 M , N 满足条件：

① M , N 都在函数y = f(x)的图象上；

② M , N 关于原点对称. 则称点对［M , N ］为函数y = f(x)的一对“友好点对”.(注：点对［M , N ］与［N , M ］为同一“友 好点对”)

log 3x x>0 , —x 2—4xx < 0,此函数的“友好点对”有( 已知函数 f(x)

A . 0对

C . 2对

答案 解析 的图象与 故选C. C

由题意， x < 0 时 f(x)=— 当x>0时，将f(x) = log 3x 的图象关于原点对称后可知,

x 2— 4x 的图象存在两个交点，如图所示，故 g(x) = — log 3(— x)(x<0) “友好点对”的个数11已知

为 _______

答案 (2,3) 解析 因为x 2— 2x + 3 = (x — 1)2+ 2> 2有最小值2，所以lg (x 2— 2x + 3) >lg 2,所以要使函 数f(x)有最大值，则函数 f(x)必须单调递减，所以 00得0

0

即。 解得2

(2,3).

x 2 — 5x + 7<1 ,

12 已知函数 f(x)= log ］ (x 2— 2ax + 3).

2 (1)若函数 ⑵若函数 ⑶若函数 解(1)由题意可知, f(x)的定义域为(一

3 1) U (3 ,+^),求实数a 的值； f(x)的定义

域为R ，值域为( — 3 — 1］，求实数a 的值;

f(x)在( — 3, 1］上为增函数，求实数 a 的取值范围.

x 2— 2ax + 3 = 0 的两根为 X 1= 1,

x 2= 3，二 x 1+ x 2= 2a ,— a = 2.

⑵因为函数f(X )的值域为(一3,— 1］，贝U f(x)max =— 1, 所以y = x 2— 2ax + 3的最小值为y min = 2 ,

由 y = x 2— 2ax + 3 = (x — a)2 + 3— a 2，得 3 — a 2= 2, 所以a 2 = 1,所以a = ±.

(3)f(x)在(—3, 1］上为增函数，则 y = x 2— 2ax + 3在(—3, 1］上为减函数，有 y>0, log a (x 2 - 5x + 7)>0 的解集