(一) 圆的相关概念及垂径定理

A
O
D
B
C
A
O
（一） 圆的相关概念及垂径定理
一、知识梳理
（一）圆的有关概念
1.圆的基本概念：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。

固定点O 叫做圆心；线段OA 叫做半径；圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长(半径r)；反之，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上（另一定义）； 以O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”
2.圆的对称性及特性：
(1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴; (2)圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.
(3)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性 3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

4．弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距． 5.直径：经过圆心的弦叫直径。

注：圆中有无数条直径
6.圆弧：(1)圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧”以A,B 两点为端点的弧.记作AB ⋂
,读作“弧AB”. (2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。

如弧AD. (3)小于半圆的弧叫做劣弧,如记作AB ⋂
(用两个字母). 7．圆心角：顶点在圆心，两边和圆相交的角叫做圆心角。

说明：
（1）直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦。

（2）半圆是弧，但弧不一定是半圆。

（3）等弧只能是同圆或等圆中的弧，离开“同圆或等圆”这一条件不存在等弧。

（4）等弧的长度必定相等，但长度相等的弧未必是等弧。

（二）弦、弧、弦心距、圆心角的关系定理：
在同圆或等圆中，弦、弧、弦心距、圆心角四组量中只要有一组量相等，则其余三组量也相等。

（三）和圆有关的角：
1、圆周角：顶点在圆上，它的两边和圆还有另一个交点的角叫做圆周角。

2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

推论3：半圆或直径所对的圆周角是直角。

90°的圆周角所对的弦是直径。

3、弧的度数：一段弧的度数等于它所对的圆心角的度数。

4、圆外角的度数等于它所夹的两段弧的度数的差的一半。

5、圆内角的度数等于它所对的两段弧的度数的和的一半。

（四）垂径定理及推论：
如果一条直线具有(1)过圆心，(2)垂直于弦，(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧，这五个性质的任何两个性质，那么这条直线就具有其余三个性质；但“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”其中的弦必须是非直径的弦，假若弦是直径，那么这两条直径不一定互相垂直。

（五） 圆的有关性质：
1．圆的确定：（1）圆心确定圆的位置半径确定圆的大小。

（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆。

（3）三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。

（4）锐角三角形的外心在三角形的内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边中点。

2．圆的对称性： (1).圆是轴对称图形，任何一条经过圆心的直线都是它的对称轴。

(2) 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

说明：一个圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个，一个圆绕圆心旋转任意角度，都能够和原图形重合，即圆还具有旋转不变性。

(六)在解决圆的有关问题时，有以下几种常引用的辅助线：
（1）连弦的端点与圆心的半径； （2）作弦心距； （3）作半圆上的圆周角。

（3）连圆心和弦的中点（遇弦的中点时）； （4）连圆心和弧的中点（遇弧的中点时）；
二、典型例题：
例1.如图，已知在⊙O 中，直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D
，求
BC ，AD 和BD 的长．
点评：利用“直径所对的圆周角是直角”构造直角三角形解题。

例2. 如图，AD 是∆ABC 的高，AE 是∆ABC 的外接圆的直径．试说明AB ·AC=AE ·AD ．
例3. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，连结AC ，过点C 作直线CD ⊥AB ，垂足为点D(AD<DB)，点E 是
DB 上任意一点(点D 、B 除外)，直线CE 交⊙O 于点F ，连结AF ，与直线CD 交于点G ．
(1)试说明AC 2
=AG ·AF ；
(2)若点E 是AD(点A 、D 除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立?若成立．请画出图形，并给予证明；若不成立，请说明理由．
例4．（易错题）在直径为50cm 的圆中，弦AB 为40cm ，弦CD 为48cm ，且AB ∥CD ，求AB•与CD 之间距离．
解：如图所示，过O 作OM ⊥AB ， ∵AB ∥CD ，∴ON ⊥CD ． 在Rt △BMO 中，BO=25cm ．
由垂径定理得BM=
12AB=1
2
×40=20cm ， ∴OM=22222520OB BM -=-=15cm ． 同理可求ON=22222524OC CN -=-=7cm ，
所以MN=OM-ON=15-7=8cm ．
以上解答有无漏解，漏了什么解，请补上．
三、中考链接与创新探究（名校、名书、名题、中考、培优、竞赛）
1.（2014温州改编）如图，已知
是⊙O 的圆周角，，则圆心角
是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2.（2014重庆改编）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠AB C ＝30°，则∠B AC 的度数为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
3.（2014台州）下列命题中，正确的是（ ）
①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③
的圆周角所对
的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等 A ．①②③
B ．③④⑤
C ．①②⑤
D ．②④⑤
4.（2014昆明）AB 是⊙O 的弦，OC 是⊙O 的半径，OC ⊥AB 于点D ，AB ＝16cm ，OD
＝6cm ，那么⊙O 的半径是__________cm ．
5.（2014枣庄）如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于E ，交
于D ．
(1)请写出五个不同类型的正确结论； (2)若BC =8，ED ＝2，求⊙O 的半径．
四、实战演练：
1.（2014宜宾）已知：如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧⌒CD
上不同于点C 的任意一点，则∠BPC 的度数是（ ）
A ．45°
B ．60°
C ．75°
D ．90°
2.（2014上海）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A ．第①块
B ．第②块
C ．第③块
D ．第④块
3.（2014黄石）如图，
为⊙O 的直径，点
在⊙O 上，
，则
．
4.（2014重庆）已知，如图：AB 为⊙O 的直径，AB ＝AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC
＝450。

给出以下五个结论：①∠EBC ＝22.50
，；②BD ＝DC ；③AE ＝2EC ；④劣弧是劣弧的2
倍；⑤AE ＝BC 。

其中正确结论的序号是 .
5.（2014湘潭），已知⊙O 半径为5，弦
长为8，点
为弦
上一动点，连结
，
则线段的最小长度是 ． 6.（2014枣庄）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC =120°，AB =AC ，BD 为 ⊙O 的直径，AD =6，则BC ＝ 。

7.（2014呼和浩特）已知：如图等边内接于⊙O ，点
是劣弧
上的一点（端点除
外），延长至，使，连结．
（1）若过圆心，如图①，请你判断是什么三角形？并说明理由．
（2）若不过圆心，如图②，
又是什么三角形？为什么？
8.（2014沈阳）如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，
连接CD、AD．
（1）求证：DB平分∠ADC；
（2）若BE＝3，ED＝6，求AB的长．
五、应用探究：
1.（2014烟台）如图，已知ＡＢ是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若∠DPB=
α，那么等于（）A．sinαB．COSαC．tanαD．
2.（2014兰州）如图，已知是⊙O的直径，把为的直角三角板的一条直角边放在直线上，
斜边与⊙O交于点，点与点重合．将三角板沿方向平移，使得点与点重合为止．设
，则的取值范围是（）
A．B． C． D．
5.（2014新疆）如图，圆内接四边形ABCD是由四个全等的等腰梯形组成，AD是⊙O的直
径，则∠BEC的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°
6.
6.（2014白银）高速公路的隧道和桥梁最多．图7是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的
圆的一部分，路面=10米，净高=7米，则此圆的半径=（）
A．5B．7C．D．
7.（2014贵阳）如图，某机械传动装置在静止状态时，连杆与点运动所形成
的⊙O交于点，现测得，．⊙O的半径，此时点
到圆心的距离是 cm．
8.（2014南通）已知：如图，M是的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设⊙O的半
径为4cm，MN＝4cm．
（1）求圆心O到弦MN的距离；
（2）求∠ACM的度数．
家庭作业
第一部分：
1.（2014连云港）如图，将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，
则折痕的长为（）
A．B．C．D．
2.（2014天津）已知，如图与的度数之差为20°，弦AB与CD交于
点E，∠CEB=60°，则∠CAB等于（）
A. 50°
B. 45°
C. 40°
D. 35°
第二部分：
3．（2010牡丹江）在半径为5cm的圆中，两条平行弦的长度分别为6cm和
8cm，则这两条弦之间的距离为。

4.（200龙岩）如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，
则∠1的度数为.
第三部分：
5.（2014镇江）推理运算：如图，为⊙O直径，为弦，且，垂足为．
（1）的平分线交⊙O于，连结．求证：为的中点；
（2）如果⊙O的半径为，，①求到弦的距离；
②填空：此时圆周上存在个点到直线的距离为．。