单摆教学中的几个等效问题

单摆教学中的几个等效问题

魏自成

在物理问题中， 一个过程或一个状态的确定，往往由多个因素所决定，在这些因素中，有些或某一个因素是等效的，他们可以互相代替，而对过程中发展规律和状态的确定及最后结果无影响，这种研究问题的方法就是等效法。尤其是一些问题，从正面分析求解时，演算冗长，计算复杂或超出中学数学知识范畴。若用等效替代法，则能独辟路径，化繁为简，收到事半功倍的效果，本文以单摆为例，阐明存在的几个等效问题。

一、l 为等效摆长

例1、如图1、三根等长的绳L 1、L2、L 3匀的小球m ，球的直径为d ，L 1、L2、与天花板的夹角α＜30若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，则振动周期T 1=

；若摆球在垂直于纸面的平面内小角度摆动，则振动的周

期T 2=

！

解析： 摆球在纸面内做简谐运动，O 1为L 1+d/2，周期T 1=

摆球做垂直于纸面的简谐振运动，摆动圆弧的圆心在O 点，所以等效摆长为L 1+L 2sin α+d/2,周期T 2=

例2、如图2、一双线摆两摆线长都是L 与水平天花板 夹角为α了，当摆球在垂直纸面内做简谐运动时，此摆周期T= 解析： 此悬点等效在O 点，摆长为l ,=α.从而T=

二、g 理解为等效加速度

例如单摆置于加速度为a 且匀加速上升的升降机中，处于超重状态，加速度g ’=

g

d L 2/21+π

g

d L L 2

/221++πg L /sin 2απA

B

M

L αo 图一

!

图二

(g+a),此时回复力切向分力视重为m(g+a),不论摆处于什么情况下，在其平衡位置 “产生”加速度可等 效为单摆的“重力”加速度，

例3、如图3 ，在倾角为α的光滑斜面上，有一摆长为l 的单摆，球的质量为m ，

当单摆运动时，求其周期。

解析： 小球在振动时，静止在o 点，所以其平衡位置是o 点，等效重力是（mg ）’=

Mgsina,等效加速度g ’=gsina,则单摆周期T=2π

例4 如图4 所示，光滑斜面倾角为θ了，斜面上有一挂有单摆的小车，在小车下滑过程中，单摆同时振动，已知摆长为l ，求单摆的振动周期。

解析： 小球若不摆动，随小车一起加速下滑，其平衡位置如图所示，悬线拉力

即视重T=mgscos θ,单摆做简谐运动时，等效重力加速度g ’= =gcos θ则小球周期

T=2π

三、模型的等效

￥

很多振子的振动，虽然不是单摆的真实振动，但有一些振动可以等效成单摆振动，振动规律与单摆振动规律是相同的。

例5 如图5 ，一个半径为R 的光滑圆形槽，O 点是弧形槽中最低点，半径R BOA

的弧长，一个球由静止从A 点开始释放，小球就在弧形槽内来回运动，求质点A 第一次到达O 点经历的时间。

解析：质点从A 点开始释放后，振子将左右来回振动，

由于AOB ＜R ，这样，满足单摆的条件θ＜5° 图五

支持力N 等效成绳的拉力T ，O ‘

点等效成单摆的悬点，半径R 等月效成单摆的摆长L 从而等效成单摆振动，则振动周期T=2π

a

g l sin /m

T

cos /g l o 'o

α

g

R /O P A

R B

O '

^

图三

图四

这样从A 点到O 点经历1/4周期，所以t=T/4= 2π =

作为一名教学工作者，在课堂教学中，要引导学生拓宽和深化知识，适时教出一些拓宽知识的专题和一些物理方法，逐步培养提高学生们的应变能力和思维发散的能力，这是素质教育赋予我们每一位物理教师一个责无旁贷的历史使命，虽然老师辛苦了一点，但学生们将受益匪浅，逐步提高学生应变能力，为物理教学由“应试教育”转变为“素质教育”做出贡献。

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