【免费下载】控制中的矩阵理论习题
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练习一：
1．设A 、是Hermite 矩阵，证明：AB 是Hermite 矩阵的充分必要条件是
n
n C
B ⨯∈AB=BA 。
2．设，若，则A 为反Hermite 矩阵。试证明：任意一个都
n
n C
A ⨯∈A A
H
-=n n C B ⨯∈可以唯一地表示为一个Hermitet 矩阵与一个反Hermite 矩阵的和。
3．证明反Hermite 矩阵的主对角线上的元素或为零，或为纯虚数。
4．设是Hermite 矩阵，rank(A)=1，证明：矩阵A 的主对角线上凡不是零的元素
n
n C
A ⨯∈都是具有同符号的实数；又设是反Hermite 矩阵，rank(B)=1，证明：矩阵B
n n C
B ⨯∈的主对角线上凡不是零的元素都是具有同符号的虚部之纯虚数。
5．试求一酉矩阵P ，使为对角矩阵，这里
AP P AP P H =-1
（1）A=； （2）A=。⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----10001i i i i ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-0010010i i 6.
设是Hermite 矩阵。证明A 是Hernite 正定矩阵的充分必要条件是，存在
n n C
A ⨯∈Hermite 正定矩阵
B ，使得。2
B A =7．设是Hermite 矩阵,则下列条件等价：
n n C
A ⨯∈ （1）A 是Hernite 半正定矩阵； （2）A 的特征值全为非负实数；
（3）存在矩阵，使得。
n
n C
P ⨯∈P P A H
=练习二：
1．用初等变换化下列多项式矩阵为Smith 标准形：
（1） ； （2）；()⎥⎦⎤⎢
⎣⎡+-=λλ
λλλ
λλ3522
2
3A ()⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎣
⎡-+--=22
2
211λλλλλλλλλλB （3）
；（4）()()220
000
001C λλλλ
λ⎡⎤
+⎢
⎥
=⎢⎥⎢
⎥+⎢⎥⎣⎦
。()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡---=00
00
10000
00
022
22λ
λλλ
λλλD 2．求下多项式矩阵的不变因子：
（1）；（2）；()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=200120012λλλλA ()⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+---=234510001000
1λλλλλB （3）。()0
012012012002000C λλλλλ+⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦
3．证明：对任何多项式矩阵，恒有
()[]2
λi D ()λ1-i D ()
λ1+∙i D 其中、、表示多项式矩阵的行列式因子。
()λi D ()λ1-i D ()λ1+i D 4．设，证明：∽。
n
n C
A ⨯∈A T
A 5．说明下列三个矩阵不能相似。
33⨯ ； ； 。⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a a a A 000000⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a a a B 001000⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a a a C 0010016．设，试计算。
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=010110201A E A A A A 2322
458-++-7．试证明：任何可逆矩阵A 的逆矩阵都可表示为A 的多项式。
1
-A 8．设，证明：可逆，并将其逆矩阵表示⎥
⎦
⎤⎢
⎣⎡-=5211A E A A A A 3729191222
34+-+-为A 的多项式。
9．求下列矩阵的有理标准型：
； 。⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=011101110A ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=a b b a a b b a B 0000100110．
求下列矩阵的Jordan 标准型：
；
；
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=112020021
A ⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=3104252373
B
；。⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡-----=01
67121700140013
C ⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=121122112,011101110diag D 11．
设，求A 的Jordan 标准型J ，并求相似变换矩阵T ，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=211212112A 使 。
J AT T
=-1
12．
设，利用A 的Jordan 标准型J ，求。
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=340430241A 5
A 13．
求下列矩阵的最小多项式：
； 。⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=814184447A ⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=01
2
3
1032
230
1
32
1
a a a a a a a a a a a a
a a a a B 14．
证明：幂等矩阵A （即A=）与对角矩阵相似，且A ∽，
2
A ()0,
r E diag 其中rank(A)=r 。
15．
若，满足，问：A 能否与对角矩阵相似？并证明你的结
n
n C
A ⨯∈E A A 22
=+论。
16．
设满足（m 为正整数），证明：A 与对角矩阵相似。
n
n C A ⨯∈E A
m
=17．
设，试证明：A 与对角矩阵相似的充分必要条件是存在一个无重零点的
n
n C A ⨯∈多项式，使。
()λϕ()O A =ϕ练习三
1．设是上的一个方阵范数，D 是n 阶可逆矩阵，证明：对任何，
a ∙n
n C
⨯n
n C
A ⨯∈
a
b AD
D A 1-=是上的一个方阵范数。
n
n C ⨯2．设是上的一个方阵范数，B 、C 都是n 阶可逆矩阵，且及都是
a ∙n
n C
⨯a
B
1
-a
C
1
-小于或等于1。证明：对任何，
n
n C
A ⨯∈