【免费下载】控制中的矩阵理论习题
矩阵考试题及答案详解
矩阵考试题及答案详解一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 矩阵A与矩阵B相乘，结果为零矩阵，下列哪项说法是正确的？A. A和B中至少有一个是零矩阵。
B. A和B都是零矩阵。
C. A和B的行列式都为0。
D. A和B的秩之和小于它们各自维度的乘积。
答案：D2. 矩阵的转置操作，下列哪项说法是错误的？A. 矩阵的转置是将矩阵的行变为列。
B. 矩阵的转置不会改变矩阵的行列式。
C. 矩阵的转置不会改变矩阵的秩。
D. 矩阵的转置会改变矩阵的特征值。
答案：D3. 对于一个3x3矩阵，下列哪项说法是正确的？A. 它有9个元素。
B. 它有3个行向量。
C. 它有3个列向量。
D. 以上说法都正确。
答案：D4. 矩阵的逆矩阵，下列哪项说法是错误的？A. 只有方阵才有逆矩阵。
B. 矩阵的逆矩阵的逆矩阵是原矩阵。
C. 矩阵的逆矩阵与原矩阵相乘结果为单位矩阵。
D. 矩阵的逆矩阵一定存在。
答案：D5. 矩阵的秩，下列哪项说法是正确的？A. 矩阵的秩等于矩阵中非零行（或列）的最大数量。
B. 矩阵的秩不会超过矩阵的行数。
C. 矩阵的秩不会超过矩阵的列数。
D. 以上说法都正确。
答案：D6. 矩阵的特征值，下列哪项说法是错误的？A. 特征值是矩阵的特征多项式的根。
B. 矩阵的特征值可以是复数。
C. 矩阵的特征值一定是实数。
D. 矩阵的特征值与矩阵的迹有关。
答案：C7. 矩阵的行列式，下列哪项说法是正确的？A. 行列式为0的矩阵是可逆的。
B. 行列式为0的矩阵是奇异矩阵。
C. 行列式为1的矩阵是单位矩阵。
D. 行列式为-1的矩阵是正交矩阵。
答案：B8. 矩阵的相似性，下列哪项说法是错误的？A. 相似矩阵有相同的特征值。
B. 相似矩阵有相同的行列式。
C. 相似矩阵有相同的秩。
D. 相似矩阵有相同的迹。
答案：D9. 矩阵的正交性，下列哪项说法是正确的？A. 正交矩阵的行列式为1或-1。
B. 正交矩阵的转置是其逆矩阵。
C. 正交矩阵的元素都是实数。
矩阵理论习题与答案
矩阵理论习题与答案矩阵理论习题与答案矩阵理论是线性代数中的重要内容之一，它在数学、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
为了帮助读者更好地理解和掌握矩阵理论，本文将介绍一些常见的矩阵理论习题，并提供详细的答案解析。
一、基础习题1. 已知矩阵A = [[2, 3], [4, 5]]，求A的转置矩阵。
答案：矩阵的转置是将其行和列互换得到的新矩阵。
所以A的转置矩阵为A^T = [[2, 4], [3, 5]]。
2. 已知矩阵B = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]，求B的逆矩阵。
答案：逆矩阵是指与原矩阵相乘得到单位矩阵的矩阵。
由于B是一个2×3的矩阵，不是方阵，所以不存在逆矩阵。
3. 已知矩阵C = [[1, 2], [3, 4]]，求C的特征值和特征向量。
答案：特征值是矩阵C的特征多项式的根，特征向量是对应于每个特征值的线性方程组的解。
计算特征值和特征向量的步骤如下：首先，计算特征多项式：det(C - λI) = 0，其中I是单位矩阵，λ是特征值。
解特征多项式得到特征值λ1 = 5，λ2 = -1。
然后，将特征值代入线性方程组 (C - λI)x = 0，求解得到特征向量：对于λ1 = 5，解得特征向量v1 = [1, -2]。
对于λ2 = -1，解得特征向量v2 = [1, -1]。
所以C的特征值为λ1 = 5，λ2 = -1，对应的特征向量为v1 = [1, -2]，v2 = [1, -1]。
二、进阶习题1. 已知矩阵D = [[1, 2], [3, 4]]，求D的奇异值分解。
答案：奇异值分解是将矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个是正交矩阵，一个是对角矩阵。
计算奇异值分解的步骤如下：首先，计算D的转置矩阵D^T。
然后，计算D和D^T的乘积DD^T，得到一个对称矩阵。
接下来，求解对称矩阵的特征值和特征向量。
将特征值构成对角矩阵Σ，特征向量构成正交矩阵U。
最后，计算D^T和U的乘积D^TU，得到正交矩阵V。
现代控制理论习题答案（2）
第二章2-3 已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=452100010A ,试用拉氏反变换求e At 解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-4521001s s s A sI ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+--+-----+--+--+---+--+-----+--+--+---+-------+--+--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+---=--2413)1(12818)1(32414)1(22212)1(12415)1(32212)1(22212)1(12212)1(321)1(2522)4(21454)2()1(1)(2222222222221s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s A sI ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+--+-----+--+--+---+--+-----+--+--+---+-------+--+--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+---=--2413)1(12818)1(32414)1(22212)1(12415)1(32212)1(22212)1(12212)1(321)1(2522)4(21454)2()1(1)(2222222222221s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s A sI[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---++--+---+--+---++-=-=--t t t tt t t t t t t t t t t t t t t t t t t t tt At e e te e e te e e te e e te e e te e te e e e te e e te e te A sI L e 2222222221143883442224532222232)(2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数e At , （1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0410A 解：（1）化为约旦标准型04412=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-λλλλA I j j 2,221-==λλ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=j j T 2211 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-j j T 412141211⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Λ=------t t t t e e e e j e e j e e j j e e j j T T e jt jt jtjt jt jt jt jt jt jtAt 2cos 2sin 22sin 212cos )(21))()(41)(21412141210221122222222221（2）拉普拉斯变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-s s A sI 41 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=--4444144141)(222221s s s s s s s s s A sI[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-=--t t t t A sI L e At 2cos 2sin 22sin 212cos )(11（3）凯莱-哈密顿定理⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---t t e e j j e e j j jt jt jt jt 2sin 212cos 4141212121212222110αα⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=t t t t t t A I e At 2cos 2sin 22sin 212cos 04102sin 2110012cos 10αα(2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1411A解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-+-+=Φ----)(21)()(41)(21)(3333tt tt t t tt e e e e e e e e t2-5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求出与子对应的A 阵（2）⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=Φ--t t e e t 220)1(211)( （4）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-+-+=Φ----)(21)()(41)(21)(3333tt tt t t tt e e e e e e e e t 状态转移矩阵的条件()()(0)()()()t A t It t ττΦ=ΦΦ=ΦΦ=Φ+ 求取A 的方法：1(())()()()()()t L t sI A t A t t A A t -=Φ=-Φ=Φ=Φ=Φ解（2）此矩阵是状态转移矩阵1)(210)211(211))((--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-=ΦA sI s s s s t L⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+++=-20110)121(2121)2()(s s s ss s s s A sI ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2010A（4）此矩阵是状态转移矩阵1)(14113)(1(1)3111(21)3111)3111(41)3111(21))((--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++-++--++--++=ΦA sI s s s s s s s s s s s s t L ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=-1411s s A sI ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1411A2-6 求下列状态空间表达式的解[]xy u x x 01100010=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0010A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-s s A sI 01 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--s s s s s s A sI 1011011)(221[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=--101)(11t A sI L e At ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-Φ+=⎰⎰⎰t t t t t t d t t d t t d Bu t x e t x t t tAt 1212111111010111101)()()(220000ττττττ2-7 试证本章2-3，在特定控制作用下，状态方程式（2-25）的解，式（2-30），式（2-31）和式（2-32）成立（2）0)0(),()(x x t k t u ==δBKe x e d BK e x e d BK e x e t x At At t A Attt A At +=+=+=⎰⎰+---000)(00)(0)()()(ττδττδττ（3）0)0(),(1)(x x t K t u =⨯=（4）0)0(),(1)(x x t Kt t u =⨯=2-9根据系统的方框图可得212121112x x y u x xku x x+=-=+-=[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡212121121000101x x y u k x x x x[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-=--------1101111011)1(1110)1(1101)(111111t t At e e s s s s s s L s s s s L s s L A sI L e⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==--110)(T T ATe e eT G⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=100k B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==------⎰⎰T e T k e k k T eT e k dt e e B dt e H T TT TTT T TAT)1(0)1(1001011001100当T=0.1时⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==--110)1.0()(1.01.0ee G T G ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--==--1.0)9.0(0)1()1.0()(1.01.0e k e k H T H当T=1时⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==--110)1()(11e e G T G ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==--10)1()1.0()(11kee k H T H 2-11根据上面的模拟结构图，求去连续的状态方程，进而化成离散状态方程。
现代控制理论基础(习题)
现代控制理论基础（习题）1-4. 两输入1u 、2u ，两输出1y 、2y 的系统，其模拟结构图如下所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
解：状态方程111220312135133442423x a x a x a x b u x x x a x a x a x b u xx x =---+⎧⎪=⎨=---+⎪=+⎩输出方程为{1224y xy x ==整理有1261125342001000000001100001000001a a a b u x x u a a a b y x ⎧---⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎪⎝⎭⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩求传函：1121126153420010000()()00010000001001000000010001100b G s sI A b s a a a b s a s a a b s --⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪=-⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭125342616122234534213415622346242260100det()det 001100(1)(1)det 0(1)det 1101()()()()s a a a s sI A a s a a s a a s a a s a a s a s a a s s a s s a a a a a s s a s a a s a s a a sa s a +++⎛⎫ ⎪- ⎪-= ⎪+ ⎪--⎝⎭+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-⋅-⋅++-⋅⋅+ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭=+-++++++-=+432222346241313441564221313562414232446()()()()a s a a a a s a a s a a s a s a a s a a s s a a s a a a a a a s a a a a s a a a a -+++++++-=+++-+++++-121223141243()b a b a G s b a b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭322134a s a s a s =++ 4153(1)a a s a=-+ 236a a s =- 243126a s a s a a =++- 213141622511321222621()det()(1)b s a b s a b a b s G s sI A a b s b a b s a b s a b a b ⎛⎫++-= ⎪--+++-⎝⎭1-5. 系统的动态特性由下列微分方程描述（1）5732y y y y u u +++=+（2）57332y y y y u u u +++=++列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。
矩阵理论试题答案最终版
阵
G
为
(2, 2) (2, t + 1) (2, t 2 − 1) 2 (t + 1, 2) (t + 1, t + 1) (t + 1, t − 1) (t 2 − 1, 2) (t 2 − 1, t + 1) (t 2 − 1, t 2 − 1)
1 ∫−1 4dt 1 = ∫ 2*(t + 1)dt −1 1 ∫ 2*(t 2 − 1)dt −1 −8 4 8 3 10 −4 = 4 3 3 −8 −4 16 3 15 3
2
x ' −1 0 x 1 = + y ' 0 2 y −1 求多项式 P(x)经此仿射变换所得到的曲线，变换后的曲线是什么曲线？ 解：(1)由平面的四个点我们可得如下方程。
a0 + a1 *1 + a2 *12 = 0 2 −1 a0 + a1 *(−1) + a2 *(−1) = 2 1 a0 + a1 * 2 + a2 * 2 = a + a *(−3) + a *(−3) 2 = 2 2 0 1
∫ ∫ ∫
1 −1 1
1
−1
2*(t + 1)dt
−1
(t 2 + 2t + 1)dt
(t + 1) *(t 2 − 1)dt
1 2 ∫−1 (t + 1) *(t − 1)dt 1 2 2 t dt t ( 1) *( 1) − − ∫−1
∫
1
−1
2*(t 2 − 1)dt
中大控制工程矩阵论习题总结
矩阵论简明教程---徐仲（共计10道题）1、 求矩阵的Jordan 标准形和相应的相似变换矩阵。
1115211762621⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭解答：A I -λ=)1(2+λλ=D 3(λ), λI －A 有2阶子式172111----λ=λ－4λ－4不是D 3(λ)的因子, 所以D 2(λ)=D 1(λ)=1, A 的初等因子为λ－1,2λ. A 的Jordan 标准形为J =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000100001 设A 的相似变换矩阵为P=(p 1,p 2,p 3), 则由AP=PJ 得⎪⎩⎪⎨⎧==-=23211pAp Ap p Ap 0解出P=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----2412311112.试将计算:8542234A A A A I -++-，其中A=102011010⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭解答:设f (λ)=4322458-++-λλλλ. A 的最小多项式为12)(3+-=λλλA m ,作带余除法，得f (λ)=(149542235-+-+λλλλ),)(λA m =1037242+-λλ, 于是f (A)=I A A 1037242+-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----3461061950264833.求矩阵的最小多项式126103114⎛⎫-- ⎪⎪⎪--⎝⎭解答：λI －A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+41131621λλλ，标准形⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2)1(00010001λλ, A 的最小多项式为2)1(-λ;4.下列矩阵A 是否正规矩阵？若是，试求出酉矩阵U ，使得1U AU -为对角矩阵：A=222254245⎛⎫- ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭解答：A 是实对称矩阵. A I -λ=2)1)(10(--λλ,A 有特征值 10, 1, 1. 当λ=10时. 对应的齐次线性方程组 (10I －A)x=0的系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--542452228～⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000110102 由此求出特征向量p 1=(－1, －2, 2)T , 单位化后得e 1= (32,32,31--)T. 当λ=1时, 对应的齐次线性方程组 (I －A)x=0的系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----442442221～⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000221 由此求出特征向量 p 2=(－2, 1, 0)T, p 3=(2, 0, 1)T. 单位化后得e2=(0,51,52-)T , e 3=(535,534,532)T . 令U=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---53503253451325325231, 则U 1-AU=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛11105.设A ∈C 是Hermite 矩阵，证明A 是Hermite 正定矩形阵的充分必要条件是，存在Hermite 正定矩阵B ，使得2A B -证明：若A 是Hermit 正定矩阵,则由定理1.24可知存在n 阶酉矩阵U, 使得U H AU=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ21, i λ﹥0, I=1, 2, , n. 于是A=U⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ21UH= U⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ21UHU⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ21U H ，令B=U ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21U H ，则A=B 2.6.证明：对nxn C 上的任一矩阵范数∙ 均有n I ≥1证明：因为I n ≠O, 所以n I ＞0.从而利用矩阵范数的相容性得:n n n I I I =≦nI n I ,即n I ≧17.设U 是n 阶酉矩阵，证明2U =1 利用定理2.12得122H 2===nI UU U8．设∙为nxn C 上的矩阵范数，λ为A ∈nxn C 的特征值，证明λ≤m m A 解答：设x 是对应于λ的特征向量, 则A x x m m λ=.又设v ⋅是C n 上与矩阵范数⋅相容的向量范数,那么vm vm v mx A x x ==λλ≦v m x A因v x ＞0, 故由上式可得mλ≦m A ⇒λ≦m m A .9.求矩阵130230206A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的Doolittle 分解与Crout 分解。
(完整word版)《现代控制理论》第3版课后习题答案
《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：图1-30双输入--双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===••••••令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp npb1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
U图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。
矩阵论复习题综合
1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ⋅=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为k x x k =⊗问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为),(112211y x y x y x y x +++=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为)2)1(,(2121x k k kx kx x k -+=⊗ 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S 的一组基和S dim .4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间,)}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='=证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有j i i T +=)( j i j T -=2)(1)确定T 在基},{j i 下的矩阵;2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵. 6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵; 2)求T 的零空间和像空间的维数.7.设线性空间3R 的两个基为(I):321,,x x x , (II):321,,y y y , 由基(I)到基(II)的过度矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=101010101C , 3R 上的线性变换T 满足21321)32(y y x x x T +=++ 12323(24)T x x x y y ++=+31321)43(y y x x x T +=++ 1)求T 在基(II)下的矩阵; 2)求)(1y T 在基(I)下的坐标. 8.在线性空间)(3R P 中321)(x x x a x f +++= 3221)(x x ax x f +++= 32321)(x x x x f +++=讨论)(),(),(321x f x f x f 的线性相关性.9.在22R ⨯中求由基(I) 12101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 20122A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 32112A -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 41312A ⎛⎫= ⎪⎝⎭到基(II) 11210B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 21111B -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 32211B -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 41101B --⎛⎫= ⎪⎝⎭的过渡矩阵.10.已知 1(1,2,1,0)α= 2(2,1,0,1)α=- 1(1,1,1,1)β=- 2(1,1,3,7)β=- 设1212(,)(,)V L L ααββ=⋂, 求线性空间V 的维数和基. 11.在)(2R P 中, 对任意的)()(),(2R P x g x f ∈定义内积为⎰=1)()())(),((dx x g x f x g x f若取)(2R P 的一组基},,1{2x x ,试用Schmidt Gram -正交化方法,求)(2R P 的一组正交基.12.（1） 设x 和y 是Eucild 空间V 的非零元,它们的夹角是θ,试证明θcos ||||||||2||||||||||||222y x y x y x ⋅-+=-12.（2） 求矩阵10002i A i +⎛⎫= ⎪⎝⎭的奇异值分解.13.设A 为n 阶实矩阵,证明A 可表示为一对称矩阵和一反对称矩阵之和. (提示:若A A T =,称A 为对称矩阵。
现代控制理论习题集
定义状态变量为
利用状态反馈控制律 ，要求闭环极点为 (i=1,2,3)，其中
试确定必需的状态反馈增益矩阵K。
5.5试用MATLAB求解习题4.6。
5.6给定线性定常系统
式中
试设计一个全维状态观测器。该观测器的期望特征值为 。
5.7考虑习题4.8定义的系统。假设输出y是可以准确量测的。试设计一个最小阶观测器，该观测器矩阵所期望的特征值为 ，即最小阶观测器所期望的特征方程为 。
11122100021x?xux?x??????????????????????????21122100011x?xux?x????????????????????????31122010011x?xux?x????????????????????????试分别研究有无最优控制使下列性能指标21222012jxxudt?取极小值
3.5给定线性定常系统
式中
试将该状态方程化为能观测标准形。
第四章
4.1试确定下列二次型是否为正定的。
4.2试确定下列二次型是否为负定的。
4.3试确定下列非线性系统的原点稳定性。
考虑下列二次型函数是否可以作为一个可能的Lyapunov函数：
4.4试写出下列系统的几个Lyapunov函数
并确定该系统原点的稳定性。
试求最优控制 ，使下列性能指标
取最小值。
6.2求从 到直线 之间距离最短的曲线及最优终端时间。
6.3系统状态方程及边界条件为：
试求最优控制使下列指标取极值并求最优轨线。
6.4设系统状态方程及初始条件为
未给定，试求最有控制及 使下列指标取极值，并求出最优轨线。
6.5设系统状态方程及初始条件为：
(完整版)现代控制理论测试题及答案
现代控制理论测试题 3W(s) 10竺 卫 试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图。
s(s 1)(s 3) 2.给定下列状态空间表达式 x 10 1 0 x 1 0 x 1 x 2 23 0 . X 2 1 u ； y 0 0 1 X 2 *31 1 3 X 3 2X 3 (1)画出其模拟结构图。
(2) 求系统的传递函数。
(1)试确定a 的取值，使系统不能控或不能观。
(2) 在上述a 的取值下，求使系统为能控的状态空间表达式。
s2 6s 8，试求其能控标准型和能观标准型。
s2 4s 37.判断下列二次型函数的符号性质2 2 2 x 1 3x 21 1x 3 2x 1x2 x 2x3 2x 1x 3 6.求传递函数阵的最小实现1 1 W(s) s 1 s 1 1 1s 1 s 1 (2) Q(x) 2X 1 4x ； 2X 3 2x-|X 26x 2x 3 2x 1X 3 1.已知系统传递函数 01 0 At3.用拉氏变换法求e ，其中A 00 1 ° 25 44.线性系统的传递函数为 疸 0 s au(s) s 10s27s 18 5.已知系统的传递函数为 W(s)(1) Q(x)1.化成部分分式,- 2teL[(s』一/)」]=一滋'一2J+2舁-2/g' - 4w‘ + Ae "3te 4- 2/ —2^ -I Q -e3te + 5e - 4&2t -Le — 2e 4- 2^2?+ — 8,' - td - 3/ + 4g", fO (S-f) 3.解^首先Sl)2(s-2) 22ss-4s(s - 4)-5^ + 2(s-l)2 S-2一2 -2 2 ——4 - ------ +一(S_l)2 £_1 S_2 一2 — 4 4------- + -------- + ------- (S_l)2 s_l s_2 (S-1)2 s-l3 5------- + -------- +(—I)? —13 8(s-1)25-1—1 + —(s-堺一1------------------------ --------------------(s"—+ -------1 s —2 41十三4.-1 三寥m 成心-3貞2十,释祐、他"如碱5- 能空松旌型;A T 。
矩阵理论试题参考答案
矩阵理论2007年考试参考答案一、判断题（40分）（对者打∨，错者打⨯）1、设,n nA B C⨯∈的奇异值分别为120n σσσ≥≥≥>，'''120n σσσ≥≥≥>，如果'(1,2,,)i i i n σσ>=，则22||||||||A B ++>. ( ⨯ )2、设n nA C ⨯∈为正规矩阵，则矩阵的谱半径2()||||r A A =. ( ∨ )3、设nn CA ⨯∈可逆，nn C B ⨯∈，若对算子范数有1||||||||1A B -⋅<，则B A +可逆.( ∨ )4、设323121000a a A a a a a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭为一非零实矩阵，则2221123()a a a A --++为A 的一个广义逆矩阵 ( ∨ )5、设A 为m n ⨯矩阵，P 为m 阶酉矩阵, 则P A 与A 有相同的奇异值. ( ∨ )6、设n nA C⨯∈，且A 的所有列和都相等，则()r A A ∞=. ( ⨯ )7、如果12(,,,)T n n x x x x C =∈，则1||||min i i nx x ≤≤=是向量范数. ( ⨯ )8、0010140110620118A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦至少有2个实特征值. ( ∨ ) 9、设,n nA C⨯∈则矩阵范数m A∞与向量的1-范数相容. ( ∨ )10、设n nA C⨯∈是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数有1I A -≥, 其中I 为单位矩阵. ( ∨ )二、计算与证明（60分）1. (10分)设矩阵n nA C ⨯∈可逆, 矩阵范数||||⋅是nC 上的向量范数||||v ⋅诱导出的算子范数,令()L x Ax =, 证明:||||11||||1max ||()||||||||||min ||()||v v vx vy L x A A L y =-==⋅.证明: 根据算子范数的定义, 有||||1max ||()||||||x L x A ==,11100||||1||||10||||||||111||||max max ||||||||||||min ||||min ||()||min ||||y A x x y y y y A x y A Ay x Ay Ay L y y --=-≠≠==≠=====,结论成立.2.(10分) 已知矩阵110130110,112114A b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,(1) 求矩阵A 的最大秩分解; (2) 求A +;(3) 用广义逆矩阵方法判断方程组Ax b =是否有解?(4) 求方程组Ax b =的最小范数解或最佳逼近解?(要求指出所求的是哪种解)解: (1)10110101011011A BD ⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭,(2)12111()1213T TB B B B +--⎛⎫== ⎪-⎝⎭, 121121()13521T T D D DD +--⎛⎫⎪ ⎪== ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭,541033157215541A D B +++-⎛⎫ ⎪ ⎪==⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭, (3) 314AA b b +⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭, 方程组Ax b =有解;(5) 最小范数解:()01101Tx A b +==.3. (10分) 设矩阵n nA C ⨯∈为单纯矩阵, 证明: A 的特征值都是实数的充分必要条件是存在正定矩阵n nH C⨯∈, 使得HA 为Hermite 矩阵.证明: (充分性) (0)Ax x x λ=≠, ,(0,)HHHHx HAx x Hx R x Hx x HAx R λ=∈>∈,R λ∈.(必要性) A 为单纯矩阵, 所以11, (,,),n i A P DP D diag R λλλ-==∈,令H H P P =, 则1H HHA P PP DP P DP -==为Hermite 矩阵. 4. (10分) 设矩阵n nA C⨯∈为行严格对角占优矩阵, 用Gerschgorin 圆盘定理证明:(1) 矩阵A 为可逆矩阵;(2) 如果矩阵A 的所有主对角元均为负数, 证明A 的所有特征值都有负实部. 证明：(1)A 行严格对角占优||||i ij ii j iR a a ≠⇒=<∑1({:||||})ni i i ii ii i S S z C z a a λ=⇒∈=∈-<100ni ii S S =⇒∉⇒∉(2)0,||||ii ii ii a a a λ<-<⇒A 的特征值都有负实部5. (10分) (1) 设矩阵()m nA Cm n ⨯∈<, 且H m AA I =, 其中m I 为单位矩阵, 证明H A A 酉相似于对角矩阵, 并求此对角矩阵.证明: 由于矩阵H A A 和H m AA I =的非零特征值相同, 所以矩阵HA A 的特征值为1(m个)和 0(n m -个), 同时由于矩阵H A A 为Hermite 矩阵, 所以矩阵HA A 酉相似于对角矩阵000m n nI D ⨯⎛⎫=⎪⎝⎭ (2) 设矩阵m nnA C ⨯∈, 证明: 2||||1AA +=.证明: 令2B AA B B +=⇒=. 设B 的特征值为λ, 则2λλ=, 即0,1λ=.设,00n x C x Ax ∈≠⇒≠, 所以有()1()B Ax AA Ax Ax +==⋅, 即1是矩阵B 的特征值, 故()1r B =, 1/22||||[()]()1H B r B B r B ⇒===.6. (10分) (1) 设矩阵()ij n n A a ⨯=, 则,||||max ||a ij i jA n a =⋅是矩阵范数.(2) 设,,,n x y p q C ∈为非零列向量, 矩阵H H A xp yq ,x y,p q =+⊥⊥其中，求2||m A .解：(1) 0A ≠⇒ij a ⇒不全为零,||||max ||0;a ij i jA n a =⋅>,,||||max ||||max ||||||||a ij ij a i ji jkA n ka k n a k A =⋅=⋅=;,,,||||max ||max ||max ||||||||||a ij ij ij ij a a i ji ji jA B n a b n a n b A B +=⋅+≤⋅+⋅=+(2)H H A xp yq ,x y,p q =+⊥⊥⇒其中2222()()||||||||H H H H H H H HA A xp yq xp yq x pp y qq=++=+⇒22222222||||||||||||||||x p x q +p,q 为矩阵HA A 对应于2222||||||||,x p 2222||||||||x q 的特征向量.又因为()()2H rank A A rank A =≤⇒()()2H rank A A rank A ==⇒2222||||||||,x p 2222||||||||x q 为H A A 全部非零特征值所以22222222221||||()||||||||||||||||nHm i i A AA x p x q λ===+⇒∑2||||m A =。
矩阵理论试卷(整理版)
山东科技大学2010研究生矩阵理论试卷 1、 在矩阵的四个空间中，行空间、列空间、零空间和左零空间中，维数与矩阵的秩相等的子空间是行空间和列空间.2、 在矩阵的四个基本子空间中，和列空间构成正交补的是 左零空间。
3、 利用QR 分解可以讲矩阵分解为正交阵和上三角形矩阵乘积。
4、 通过矩阵 svd 分解，可以获得矩阵四个基本子空间的标准正交基。
5、 将3×3矩阵的第一行加到第三行是初等变换，对应的初等矩阵式 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1010100016、 当矩阵的零空间中有非零向量的时候，线性方程组Ax=b 有无穷多解。
7、 所有的2×2实矩阵组成一个向量空间，这个空间的标准基是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000010000100001 8、 通过施密特正交化可以获得矩阵的QR 分解。
9、 在选定一个基后，任何维数为n 的欧式空间与n R 同构。
10 如果将矩阵视为线性处理系统，矩阵有m 行，n 列，则输入空间的维数是n 。
二、判断题1、给定一个线性空间，他的基不是唯一的，但是各个基中的基向量个数是相等的。
（R ）2、两个子空间的并集是一个子空间。
（F ）3、在线性方程组Ax=b ，当矩阵A 式列满秩的时候，无论向量b 是什么，方程组都有解。
（F ）4、线性变换在不同的基下的矩阵一般不同，同一线性变换的不同矩阵表示所对应的特征值都相同。
（R ）5、线性变换在不同基下的矩阵一般不同，但是对应同一线性变换的各个矩阵的特征向量都相同。
（F ）6、矩阵特征值的代数重数是该特征值对应的特征子空间的维数。
（F ）7、任何N ×N 的实矩阵都可以对角化。
（F ）8、矩阵的左逆就是矩阵的最小范数广义逆。
（F ）9、任何M ×N 实矩阵都有奇异值分解。
（R ）10、正交投影矩阵都是幂等矩阵。
（R ）三、（矩阵的四个基本子空间和投影矩阵）设矩阵A 为 A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4242 1、求矩阵A 的四个基本子空间的基和维数初等变换 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0042 dim R （A ）=dim R （T A ）=1 dim N （A ）=dim N （T A ）=1 R(A)的基 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22 R(T A )的基 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛42 N(A)的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12 N(T A )的基 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11 2、画出矩阵A 的四个基本子空间的示意图。
矩阵理论历年试题汇总及答案
矩阵理论历年试题汇总及答案矩阵理论是线性代数中的一个重要分支，它涉及到矩阵的运算、性质以及矩阵在不同领域中的应用。
历年来的矩阵理论试题通常包括矩阵的基本运算、矩阵的特征值和特征向量、矩阵的分解等重要概念。
以下是对矩阵理论历年试题的汇总及答案解析。
矩阵的基本运算试题1：给定两个矩阵 \( A \) 和 \( B \)，其中 \( A =\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，\( B =\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \)，求 \( A + B \) 和 \( AB \)。
答案：首先计算矩阵的加法 \( A + B \)，根据矩阵加法的定义，对应元素相加，得到 \( A + B = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} \)。
接着计算矩阵乘法 \( AB \)，根据矩阵乘法的定义，得到 \( AB = \begin{bmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \\ 3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix} \)。
特征值和特征向量试题2：已知矩阵 \( C = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & -1\end{bmatrix} \)，求 \( C \) 的特征值和对应的特征向量。
答案：首先求特征值，我们需要解方程 \( \det(C - \lambda I) = 0 \)，其中 \( I \) 是单位矩阵。
计算得到 \( \det(\begin{bmatrix}4-\lambda & -2 \\ 1 & -1-\lambda \end{bmatrix}) = (4-\lambda)(-1-\lambda) - (-2)(1) = \lambda^2 - 3\lambda - 2 \)。
(完整word版)现代控制理论复习题库
D.—个非零初值条件的系统.一定不能用零初始条件系统替代说明问题。
47.下面关于状态变量及其选取说法错误的是（）。
A.状态变最的选取一定要有物理意义才可以。B.状态变量一定要相互独立。
C.状态变量组成的欠量足以表征系统。D.状态变量选取时要求不冗余。
30.卜面关于线性时不变系统的系统矩阵说法错i吴的是（）。
A.由系统矩阵可以得到系统的运动模态。
B.系统矩阵的形式决定着系统的稳定性质。
C.具有相同特征值的系统矩阵.鲁棒稳定性是一样的。
D.系统矩阵不同，系统特征值可能相同。
31.下面关于离散系统状态空间描述方程的解说法错误的是（）o
A・递推迭代法适用于所有定常、时变和非线性情况.但并不一定能得到解析解。
A.凡是输入和状态关系满足叠加性的系统就是线性系统。
B.非线性方程一定表示非线性系统。
C.系统中含有非线性元件的系统一定是非线性系统。
D.［人I为初始条件与冲激输入的效果是完全等效，所以将Z = （A,B,CD）在任何帖况卜部看成线性系统。
25.线性定常系统的状态转移矩阵亡如的性质错误的是（D ）o
、°0-3,
数为（C）・
A.1B.2C.3D・ 4
41.已知4-2・丫+4“,』=4兀/20,若输入信号是sin（4/+刃2）,则该系统的输出信号频率是（B ）Hz°
A.2/ttB・ 4//r C. 1/2-7 D・2n
a
42.己知线性时不变系统的系统矩阵为A经变换x = 7x后，变成云=0
几何重数为（）。
选择题
1.下面关于建模和模型说法错误的是（C）0
【免费下载】MATLAB习题精选
初探MATLAB1、请在MATLAB 下直接输入下列常数，看它们的值是多少：I j eps inf nan pi realmax realmin2、使用lookfor 命令，找出具有下列功能的MATLAB 命令（每一项只需找出一条MATLAB 命令）（1）找出矩阵的大小（即行维数和列维数）（2）改变矩阵的大小（例如将4X6的矩阵改成12X2）（3）将矩阵左右翻转（4）将矩阵上下翻转（5）找出矩阵每一直列的最大值（6）对矩阵的每一直列进行排序（7）矩阵的旋转（8）逆矩阵的计算（9）求矩阵的秩（10）计算矩阵的reduced row echelon form （11）计算矩阵的null space（12）计算矩阵的特征值和特征向量（13）计算矩阵的QR 分解（14）计算矩阵的LU 分解（15）计算矩阵的奇异值分解（16）对向量进行快速傅立叶变换（17）直角坐标转成极坐标（18）极坐标转成直角坐标3、写一个MATLAB 小程序，求出最小的n 值，使得n!<realmax4、写一个MATLAB 函数myfun.m 来计算下列方程式：y=0.5*exp(x/3)-x*x*sin(x)其中x 是函数的输入，y 是函数的输出。
你的函数必须能处理当x 是标量或向量的两种情况。
5、写一个MATLAB 的递归函数fibo.m 来计算Fibonacci 数列，其定义如下：fibo(n+2)=fibo(n+1)+fibo(n)此数列的初始条件如下：fibo(1)=0,fibo(2)=16、MATLAB 的sqrt 命令可对任一数值进行开平方的运算。
用此命令求出下列各数的平方根，并验算：（1） （2）2i (3)7+24iπ二维平面绘图1、一个平面上的椭圆可以表示成下列方程式：1)/()/(22=+b y a x 我们也可以用参数将椭圆表示成：x=a*cos() y=b*sin()θθ请利用上述参数式，画出一个椭圆，其中a=5,b=3，而且椭圆上共有100个点。
矩阵论试题(整理)(完整版)实用资料
矩阵论试题(整理)（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）矩阵论试题（06，12）一.(18分填空：设1.A-B的Jordan标准形为J=2.是否可将A看作线性空间V2中某两个基之间的过渡矩阵（）。
3.是否可将B看作欧式空间V2中某个基的度量矩阵。
（）4.（），其中。
5.若常数k使得kA为收敛矩阵，则k应满足的条件是（）。
6.AB的全体特征值是（）。
7.（）。
8.B的两个不同秩的{1}-逆为。
二.(10分设,对于矩阵的2-范数和F-范数，定义实数，（任意）验证是中的矩阵范数，且与向量的2-范数相容。
三.(15分已知。
1.求；2.用矩阵函数方法求微分方程满足初始条件x(0的解。
四.(10分用Householder变换求矩阵的QR分解。
五.（10分）用Gerschgorin定理隔离矩阵的特征值。
（要求画图表示）六.(15分已知。
1.求A的满秩分解；2.求A+；3.用广义逆矩阵方法判断线性方程组Ax=b是否有解；4.求线性方程组Ax=b的极小范数解，或者极小范数最小二乘解x0。
（要求指出所求的是哪种解）七.(15分已知欧式空间R22的子空间R22中的内积为V中的线性变换为T(X=XP+XT, 任意XV，1.给出子空间V的一个标准正交基；2.验证T是V中的对称变换；3.求V的一个标准正交基，使T在该基下的矩阵为对角矩阵.八.(7分设线性空间V n的线性变换T在基下的矩阵为A，T e表示V n的单位变换，证明：存在x00，使得T(x0=(T e-T(x0的充要条件是为A的特征值.矩阵论试题（07，12）一.(18分填空：1.矩阵的Jordan标准形为J=2.设则3.若A是正交矩阵，则cos(A=4.设，A+是A的Moore-Penrose逆，则(-2A, A+=5.设，则AB+I2I3的全体特征值是（）。
6.设向量空间R2按照某种内积构成欧式空间，它的两组基为和且与的内积为则基的度量矩阵为（）。
（完整word版）现代控制理论习题解答
（完整word版）现代控制理论习题解答《现代控制理论》第1章习题解答1.1 线性定常系统和线性时变系统的区别何在？答：线性系统的状态空间模型为：xAx Bu y Cx Du=+=+&线性定常系统和线性时变系统的区别在于：对于线性定常系统，上述状态空间模型中的系数矩阵A ，B ，C 和D 中的各分量均为常数，⽽对线性时变系统，其系数矩阵A ，B ，C 和D 中有时变的元素。
线性定常系统在物理上代表结构和参数都不随时间变化的⼀类系统，⽽线性时变系统的参数则随时间的变化⽽变化。
1.2 现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有什么区别？答: 传递函数模型与状态空间模型的主要区别如下:1.3 线性系统的状态空间模型有哪⼏种标准形式？它们分别具有什么特点？答: 线性系统的状态空间模型标准形式有能控标准型、能观标准型和对⾓线标准型。
对于n 阶传递函数1212101110()n n n n n n n b s b s b s b G s d s a s a s a ------++++=+++++L L ，分别有⑴能控标准型： []012101210100000100000101n n n xx u a a a a y b b b b x du---=+??----????=+LL &M M M O M M L LLb a b y xdu ---?--=-+?????-????=+??L L &%%L M M M M M M L %L ⑶对⾓线标准型： []1212001001001n n p p x x u p y c c c x du=+??????=+?L L &M M O M M L L 式中的12,,,n p p p L 和12,,,n c c c L 可由下式给出，12121012111012()n n n n n n n n nb s b s b s bc c c G sd d s a s a s a s p s p s p ------++++=+=++++++++---L L L 能控标准型的特点：状态矩阵的最后⼀⾏由传递函数的分母多项式系数确定，其余部分具有特定结构，输出矩阵依赖于分⼦多项式系数，输⼊矩阵中的元素除了最后⼀个元素是1外，其余全为0。
自动控制原理第11章 习题及解析
习 题11-1 计算下列系统矩阵的矩阵指数函数 t e A(1) 0102⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A (2) 1141⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A(3) 100021002-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A (4) 010001254⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A （1）解：利用拉氏反变换法求状态转移矩阵: ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=--210)2(11)(,2011S S S S A SI S S A SI再进行拉氏反变换⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-=----tt Ate e A SI L e 22110)1(211])[( (2) 解：利用拉氏反变换法求状态转移矩阵:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++-+-+-++=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=--)3111(21)3)(1(4)3)(1(1)3111(21)(,14111S S S S S S S S A SI S S A SI 再进行拉氏反变换 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+=-=------)(21)(41)(41)(21])[(333311t t t t t t tt At e e e e e e e e A SI L e（3）解：利用拉氏反变换法求状态转移矩阵:⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++=-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-++=--2100)2(12100011)(,20012000121S S S S A SI S S S A SI ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-=------t t t t At e te e e A SI L e 2221100000])[((4)解：用化有限项法求状态转移矩阵矩阵A 特征值为：452101----=-λλλλA E =0，解的λ1=λ2=1，λ3=2。
对于λ1=λ2=1，有方程)(2)()()()(21210t a t a te t a t a t a e tt +=++=和对于λ3=2，有方程)(4)(2)(2102t a t a t a et++=则此时⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---++-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-t t t t t t tt t t t e te e e te e ete e e te t a t a t a 222212102322421111210)()()(此时⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---++--+---++------++-=++=t t t tt t t t t t t t t t t tt t t t t t t t tt At e te e e te e e te e e te e e te e e te e e te e e te e e te A t a A t a I t a e 222222222221043838424229354442322)()()( 11-2 判断下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求对应的系统矩阵A 。
系统与控制理论中的线性代数模拟题
2012系统与控制理论中的线性代数模拟题第一大题证明（1）{|,det()1}n n G A A R A ⨯=∈=按矩阵乘法构成群,但不是交换群；（2）{|,}n n T T G A A R A A AA I ⨯=∈==按矩阵乘法构成群,但不是交换群； (3) {|,1}n n U z z C z =∈=22{cos sin |0,1,,1}k k k i k n n nππε==+=- 按矩阵乘法构成群,是交换群.（4）这三个集合按加法都不是群。
证明 （1）的证明 （i ）因为det()1n I =,所以n I G ∈，即G ≠∅； （ii ）任取,A B G ∈,则,1,1n nAB RA B ⨯∈==，因此1AB =，即知AB G ∈；（iii ）因为n nR⨯上乘法满足结合律且n nG R ⨯⊂，所以G 上乘法满足结合律，即,,A B C G ∀∈有()()AB C A BC =；（iv ）因为A G ∀∈，有n n I A AI A ==，所以n I 是G 中的单位元； （v ）A G ∀∈，有1A =，所以A 的逆矩阵1A -存在且1n nA R-⨯∈。
又因为1n AA I -=，所以111,A A AA --==因此。
由G 的定义可知1A G -∈，即A 在G 中有逆元1A -。
综上所述可知G 是一个群 ； （vi ）因为n nR⨯上乘法不满足交换律且n nG R⨯⊂，所以G 上的乘法也不满足交换律，所以G 不是交换群。
（2）的证明 （i ）因为T Tn n n n n I I I I I ==,所以n I G ∈，即G ≠∅；（ii ）因为n nR⨯上乘法满足结合律且n nG R⨯⊂，所以G 上乘法满足结合律，即,,A B C G ∀∈有()()AB C A BC =；（iii ）任取,A B G ∈,则,,n nT T T T AB RA A AA IB B BB I ⨯∈====，因此()()()(),()()T T T T T T AB AB B A A B I AB AB A BB A I ====，即知()()()()T TAB AB AB AB I ==，因此AB G ∈；（iii ）因为n nR⨯上乘法满足结合律且n nG R⨯⊂，所以G 上乘法满足结合律，即,,A B C G ∀∈有()()AB C A BC =；（iv ）因为A G ∀∈，有n n I A AI A ==，所以n I 是G 中的单位元； （v ）A G ∀∈，有TTA A AA I ==，所以A 的逆矩阵1A -存在且1T n n A A R -⨯=∈。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
练习一：1．设A 、是Hermite 矩阵，证明：AB 是Hermite 矩阵的充分必要条件是nn CB ⨯∈AB=BA 。
2．设，若，则A 为反Hermite 矩阵。
试证明：任意一个都nn CA ⨯∈A AH-=n n C B ⨯∈可以唯一地表示为一个Hermitet 矩阵与一个反Hermite 矩阵的和。
3．证明反Hermite 矩阵的主对角线上的元素或为零，或为纯虚数。
4．设是Hermite 矩阵，rank(A)=1，证明：矩阵A 的主对角线上凡不是零的元素nn CA ⨯∈都是具有同符号的实数；又设是反Hermite 矩阵，rank(B)=1，证明：矩阵Bn n CB ⨯∈的主对角线上凡不是零的元素都是具有同符号的虚部之纯虚数。
5．试求一酉矩阵P ，使为对角矩阵，这里AP P AP P H =-1（1）A=； （2）A=。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----10001i i i i ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-0010010i i 6.设是Hermite 矩阵。
证明A 是Hernite 正定矩阵的充分必要条件是，存在n n CA ⨯∈Hermite 正定矩阵B ，使得。
2B A =7．设是Hermite 矩阵,则下列条件等价：n n CA ⨯∈ （1）A 是Hernite 半正定矩阵； （2）A 的特征值全为非负实数；（3）存在矩阵，使得。
nn CP ⨯∈P P A H=练习二：1．用初等变换化下列多项式矩阵为Smith 标准形：（1） ； （2）；()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=λλλλλλλ352223A ()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--=222211λλλλλλλλλλB （3）；（4）()()220000001C λλλλλ⎡⎤+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦。
()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=0000100000002222λλλλλλλD 2．求下多项式矩阵的不变因子：（1）；（2）；()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=200120012λλλλA ()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+---=2345100010001λλλλλB （3）。
()0012012012002000C λλλλλ+⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦3．证明：对任何多项式矩阵，恒有()[]2λi D ()λ1-i D ()λ1+∙i D 其中、、表示多项式矩阵的行列式因子。
()λi D ()λ1-i D ()λ1+i D 4．设，证明：∽。
nn CA ⨯∈A TA 5．说明下列三个矩阵不能相似。
33⨯ ； ； 。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a a a A 000000⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a a a B 001000⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a a a C 0010016．设，试计算。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=010110201A E A A A A 2322458-++-7．试证明：任何可逆矩阵A 的逆矩阵都可表示为A 的多项式。
1-A 8．设，证明：可逆，并将其逆矩阵表示⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=5211A E A A A A 372919122234+-+-为A 的多项式。
9．求下列矩阵的有理标准型：； 。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=011101110A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=a b b a a b b a B 0000100110．求下列矩阵的Jordan 标准型：；；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=112020021A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=3104252373B；。
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=0167121700140013C ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=121122112,011101110diag D 11．设，求A 的Jordan 标准型J ，并求相似变换矩阵T ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=211212112A 使 。
J AT T=-112．设，利用A 的Jordan 标准型J ，求。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=340430241A 5A 13．求下列矩阵的最小多项式：； 。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=814184447A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=012310322301321a a a a a a a a a a a aa a a a B 14．证明：幂等矩阵A （即A=）与对角矩阵相似，且A ∽，2A ()0,r E diag 其中rank(A)=r 。
15．若，满足，问：A 能否与对角矩阵相似？并证明你的结nn CA ⨯∈E A A 22=+论。
16．设满足（m 为正整数），证明：A 与对角矩阵相似。
nn C A ⨯∈E Am=17．设，试证明：A 与对角矩阵相似的充分必要条件是存在一个无重零点的nn C A ⨯∈多项式，使。
()λϕ()O A =ϕ练习三1．设是上的一个方阵范数，D 是n 阶可逆矩阵，证明：对任何，a ∙nn C⨯nn CA ⨯∈ab ADD A 1-=是上的一个方阵范数。
nn C ⨯2．设是上的一个方阵范数，B 、C 都是n 阶可逆矩阵，且及都是a ∙nn C⨯aB1-aC1-小于或等于1。
证明：对任何，nn CA ⨯∈ab BACA = 定义了上的一个方阵范数。
nn C⨯3．证明：。
{}22,min BAB A ABFF F⋅⋅≤4．对任何算子范数，证明：∙（1），E 为n 阶单位矩阵；（2）若A 可逆，则。
1=E 11--≥AA5．证明：。
F FA A nA ≤≤26．设，是A 的特征值。
当A 可逆时，证明。
nn CA ⨯∈λ2211A A ≤≤-λ7．证明下列命题：（1）若矩阵序列，则，；{}A A m →{}TTm A A →{}A A m →（2）若方阵函数收敛，则。
∑∞=0m m m A c ()∑∑∞=∞==⎭⎬⎫⎩⎨⎧00m mTm Tm m m Ac A c 8．已知方阵序列且及都存在，证明：{}A A m →1-m A 1-A （1）；（2）；（3）。
()()A A mm det det lim =∞→()()A adj A adj mm =∞→lim 11lim --∞→=A Amm 9．说明关系式一般不成立。
问：该式在何条件下能成立？()()()()()t A dtd t A m t A dt dm m 1-=10．设函数矩阵。
()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=t t t t t A cos sin sin cos 求；；；。
()t A dt d ())][det(t A dt d ()]det[t A dt d ()t A dt d1-11．设，A 为n 阶实对称常数矩阵，而。
()()()[]T n t x t x t x x ,,,21 =x A x f T =试证明：（1）； （2）。
dt xd A x dt df T2=dtx d x x dtd T222=12．设函数矩阵，求；。
()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t tt tt A sin cos cos sin ()⎰t d A 0ττ()⎰20t d A dtd ττ13．设函数矩阵，求，。
()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-00302122t e ete e t A t ttt()⎰dt t A ()⎰td A 0ττ14．证明：（1）若A 是反Hermite 矩阵。
则是酉矩阵；Ae（2）若A 是Hermite 矩阵。
则是酉矩阵。
iAe 15．证明：对于任何方阵A 都有（1）；A A A A sin cos cos sin =（2）；（3）；（4）E A A =+22cos sin A Ei A e e=±π2。
()A E A sin 2sin =+π16．试证公式。
⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ααααααcos sin sin cos 00e17．设，利用上题结果，求。
⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=σωωσA Ae 18．对下列方阵A ，求：Ate （1）；（2）；（3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6116100010A ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=200120012,3diag A 。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3210A 19．求线性常系数齐次微分方程组，满足初始条件，，()301=x ()202-=x的解。
()103=x。
()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=---=+--=t x dtt dx t x t x t x dt t dx t x t x t x dt t dx 23321232115588577习题四1．应用盖尔圆定理证明至少有两个实特征值。
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=101040111801219A2．证明：相似于对角矩阵，且特征值都是非零实数。
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=42712712712713919191912313131311A 3．设，满足，试证明：矩阵A 是非奇异的，而且nn CA ⨯∈()n i aa nij j ijii ,,1,1=>∑≠=，其中。
()n d d d A 21det ≥()n i a a d nij j ij ii i ,,1,1=-=∑≠=（提示：注意到，令，作矩阵，求0>i d ()n j i d a b iijij ,,1,,==()ij b B =与()A det 的关系。
说明B 的特征值的模大于或等于1，从而有，最后推出()B det ()1det ≥B 。
）()n d d d A 21det ≥4．用圆盘定理估计矩阵的特征值的分布范围，并在复平面⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=41.03.02.05.013.012.01.035.03.02.01.01A 上作出示意图。
5．应用盖尔圆定理隔离矩阵的特征值。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=205.0001.01002.04.003.0iA 6．应用盖尔圆定理隔离矩阵的特征值，并根据实矩阵特征值的性质改⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=20281101122A 进所得结果。
7．证明：的谱半径。
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=73717171616361615151525141414141A ()1<A ρ8．证明：的谱半径。
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=74615141712151417161524171615141A ()1=A ρ。