2008年9月《有理数》教材分析

第一章《有理数》教材分析
1．教材地位 2．知识概览 3．课时建议
4．教法建议
5．资源共享
1．教材地位
初中教学的第一章
习惯培养 初小衔接 为后续基本计算、数学思想打下基础
数轴——数形结合
绝对值——分类讨论
法则的概括——数学符号化
2．知识概览
教学节点:
第一课
1．正数和负数
2．数轴 3.绝对值
知识发展的 线索
利用数轴建立概念、法则
加强三种语言的转化
培养主动数形互助的意识
４．循序渐进把握教学要求；
计算——本章教学成败的首要指标
• • • • • 变式教学； 落实口算； 错题常谈； 题组训练； 当堂消化。
16－25＋24－32．
1 1 17 28 2 4
2 1 1 1 2 3 3 2 9 1 1 1 6 2 3 12
学生现状:重应用、轻概念； 有结论、无过程； 贪难题、错基础．
让概念课帮助我们点燃火炬
学生未来:擅用数学语言；
钟情推理演绎；
攻难全当乐趣．
弗雷登特尔“数学化”思想 介绍
• （一）数学化 • 数学地组织现实世界的过程。 • “数学化，我自己则坚持这一术语应该包括数学 家的全部组织活动。” • “与其说学习数学，不如说学习数学化”
• 3.掌握有理数的加、减、乘、除运算，理解有 理数的运算律，并能运用运算律简化运算。会 合并含有相同字母因数的式子，会去括号。能 运用有理数的运算解决简单的问题。 • 4.理解乘方的意义，会进行乘方的运算及简单 的混合运算（以三步为主）。通过实例进一步 感受大数，并能用科学计数法表示。了解近似 数与有效数字的概念。
知识生长的框图
1．为什么要引入负数？ 2．相反意义的量与相反意义一样？ 3．相反意义的量一定表示为一对相反数。 4．数 0 到底是一个什么样的数？正数？自然数？整数？非负数？非负整 数？ 5．有理数包括： “正数、0、负数” ，对吗？ 6． “带正号的数就是正数，带负号的数就是负数”对吗？ 7．哪些数的相反数和绝对值都是它本身？为什么？ 8．如果两个数的和为负数，那么这两个数都是负数。 9．任何一个有理数都有相反数和倒数？ 10．任何一个有理数的绝对值都是正数，对吗？ 11．任何一个有理数都有相反数和倒数，对吗？ 12．一个数的倒数是它本身，这个数是 1，对吗？ 13．一个数的平方一定大于这个数。 14．1 是最小的正数？ 15．最小的有理数是 0？ 16．如何有理数大于它的相反数? 17．一个数不是正数，就是负数。 18．整数就是正数。 19．如果两个数的和为负数，那么这两个数都是负数。 20．数轴上是点还是数？
1 1 5 5 5 10 10
16 15 17 1 27 15 5 99
2 4 1 2 2 3 22 2 2 2 3 5 3 3 3
2 4 3 8 3 9 4 9
弗雷登特尔“数学化”思想 介绍
• （二）数学化的分类 • “横向数学化包括从真实生活走进符号世界, 而纵向数学化是指在符号世界中进行移动”。
横向数学化的手段是 抽象概括 ，如何提高学生 的抽象概括能力？示例？ 训练 ？
弗雷登特尔“数学化”思想 介绍
• 横向数学化的表现形式：
• • • • • • • • 图式化； 以不同的方式将一个问题公式化或形象化； 从一般背景中辨认出特殊的数学； 发现关系； 发现规律； 在不同的问题中识别其同构的本质； 将现实世界的问题转化为数学问题； 将现实世界的问题转化为数学模型；
4.异号两数加法
有理数运算的 第一关 数感、符 号感
5.减法法则
6.乘法
7.乘方
难以导入
明确转化 思想
3．课时建议
• 1.1正数和负数 • 1.2有理数 • 1.3有理数的加减法 • 1.4有理数的乘除法 • 1.5有理数的乘方 数学活动 小结 2 4 4 4 3 2
4．教法建议
１．特别重视概念课的讲授，教好小升初的衔接课；
…… ， 若
5．资源共享
非负数 正 零 负 整 分 π不是有理数 关系 负数
数的扩充史 意义相反的量 数轴 绝对值 性质符号 运算 比大小 非负性 两点间的距离 加
转 化 同号相加 异号相加 省略加号
定 义
有理数
分类
表示 结构
数形结合 不定方程 最值问题 运算律 巧
减
科学记数 有效数字 近似数 精确度
1.已知数轴上有 A、B 两点，A、B 之间的距离为 1，点 A 与原点的距离为 3，那么点 B 对 应的数是（ ）
2．若 a 的绝对值是 b 的绝对值的 3 倍，则数轴的原点在（ （填 A、B、C、D）
）或（
）点。
a
A B C
b
D
3．如图在数轴上有六个点，且 AB=BC=CD=DE=EF，则点 C 所表示的点最接近的整数的是 （ ）
学生的疑惑
负数——本章的灵魂人物
从讲清楚一个负号做起
+2 -3
+(-2) -(-3)
-3+-2 -3-+2
-3+(-2)-(+5)+(-1)
在字母表示数中落实考虑负数的意识
２．让学生通过思考、探究、归纳，主动的学习；
定义、法则、技巧
３．充分利用数轴进行进行数形结合的教学；
数轴——有理数演绎的舞台
2003
的值.
有理数 abc 均不为 0,且 a+b+c=0,设 x= 值.
a bc

b ca

c ab
,试求代数式 x
19
99x 2002的
感受数轴
• • • • • • • • • • • • 有没有最大的数? 有没有最小的数? 有没有最大的正数? 有没有最小的正数? 有没有最小的负数? 有没有最大的负数? 有没有最小的正整数? 有没有最大的负整数? 有没有绝对值最大的数? 有没有绝对值最小的数? 什么数的相反数比它大? 什么数的相反数比它小? • • • • • • 什么数的相反数不比它大? 什么数的绝对值比它大? 什么数的相反数是它本身? 什么数的绝对值是它本身? 什么数的倒数是它本身? 有没有比1更小的负数?有没有比－1 更大的正数?在0—-1之间有没有数? 有多少个? • 找出一个比-100更小的负数. • 到原点距离为5的数有几个?求到原 点距离小于2000的整数之和. • 用一根2008厘米的线段盖住一个单 位长为1厘米的数轴,则被盖住的整数 点有（ ）个?
-3
A B C D E
5
F
4．如图，数轴上标出若干个点，每相邻的两点相距 1 个单位，点 A、B、C、D 对应的数分 别是整数 a、b、c、d，且 d 2a 10 ，那么数轴的原点应是（ ）
A
B C
D
绝对值相关拓展
1． 化简 x 1 x 3 2． x 3 x 2 的最小值是 a， x 3 x 2 的最大值为 b，求 a+b 的值. 3． a 5 , b 3 ,且 a b b a ,求 a+b 的值. 4． a 1, b 2, c 3, a b c, 那么a b c （ 5． 已知 a a ,化简 a 1 a 2 所得的结果是（ ） ）
1 7
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 第 12 题图 则排在第 10 行从左边数第 3 个位置上的数是（ A． ）
1 132
B．
1 360
C．
1 495
D．
1 660
意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8， 13，„， 其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和。现以这组数中的各个数作为 正方形的长度构造如下正方形：
序号 ... 周长
① 6
② 10
③ 16
④ 26
1
1
2
3
5
再分别依次从左到 右取 2 个、3 个、4 个、5 个,正方形拼成如下矩形 并记为①、②、③、④. 相应矩形的周长如下表 所示：
若按此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形周长是＿＿＿＿＿＿＿。
B
, 符合前面式子的规律， 则 a + b = ___ ____．
（－12）÷ 2 6
2
2
6 72 3 11 4 9 36÷ 9 2
1 5 2 ）× （－1 ）÷（ 4 5 2 1 4 (－81)÷2 × ÷(－16) 4 9
５．利用好计算器；
６．利用拓展资源开拓视野．
统计
字母表示数 分类讨论
乘 符号法则 除 乘方
运算律 运算律
正逆应用
翻牌问题 设计最大数
有理数之间的关系
1． 已 知 m 、 n 互 为 相 反 数 ， a 、 b 互 为 负 倒 数 ， x 的 绝 对 值 为 3 ， 求
x 3 1 m n abx 2 m nx 2001 ab
算筹、幻方、数列……
世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示：
1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 42 1 30 1 105 1 20 1 60 1 12 1 30 1 60 1 140 1 6 1 12 1 20 1 2 1 3 1 4 1 5
wenku.baidu.com
1 1 30 6 1 1 105 42
关于对《有理数》一章的教学建议
北京理工大学附中
周素裹
课程学习目标：
• 1.通过实际例子，感受引入负数的必要性。会 用正负数表示实际问题的数量。 • 2.理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有 理数。借助数轴理解相反数和绝对值的意义。 会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内 不含字母）。会比较有理数的大小。通过上述 内容的学习，体会从数与形两个方面考虑问题 的方法。
5 2 31 9 5 31 2 9 1 1 ( ) ( ) 1 ． 解 原式= 31 9 15 2 31 15 9 2 3 3
二. 倒序相加
例 4. 计算： 2 2 2 „ 2
2 3 18
6． 已知 x 2 1 x 9 y 5 1 y , 求 x+y 的最大值和最小值.
绝对值相关拓展
1． 已 知 m 、 n 互 为 相 反 数 ， a 、 b 互 为 负 倒 数 ， x 的 绝 对 值 为 3 ， 求
x 3 1 m n abx 2 m nx 2001 ab
用三个３设计一个最大的数
3
3
3
3
33
33
3
用四个１设计一个最小的数和最大的数
1
111
11
11
用４、５、６设计一个最大数
4
6
5
4
5
6
5
4
6
5
6
4
6 6
4
5
5
4
一. 灵活运用运算律
1 2 1 3 5 (36 ) (16 ) (45 ) (10 ) ． 2 7 2 7 7 1 1 2 3 5 ( 16 )] [( 36 ) ( 45 ) ( 10 )] 2 2 7 7 7 = 5 ( 71) 66 ．
弗雷登特尔“数学化”思想 介绍
• 纵向数学化的表现形式：
• • • • • • • 使用不同模型； 证明一些规则; 调整、完善模型； 将一些模型汇集并综合在一起； 形成新的数学概念； 将某个关系表示成公式； 推广并建立起一般化的理论
弗雷登特尔“数学化”思想 介绍
• （三）数学化的教学: 有指导的再创造
2． 若 m 是有理数,则 m m 一定是（
2003
的值.
）数.
3． a 1 a 2 a 3 a 4 是否存在最小值? 10.若 a、b、c 为整数，且 a b
19
ca
99
1, 求 c a a b b c 的值.
3 7 5 3 ( － － )÷(－ ). 14 14 14 14
例 1. 计算： 21
分析：利用加法的交换律、结合律把同分母的数结合在一起，可以减少运算量． 原式= [ 21
解
5 2 1 1 ( ) ( 2 ) ( 4 ) ． 例 2. 计算： 31 9 15 2
分析：多个因数相乘时，积的符号的确定是关键，利用乘法的交换律与结合律，把易于约分的 先相乘，提高解题的速度．