离散数学N元集合关系个数计算
离散数学第二章关系
例9 .设A={1,2,3,4} ，B={2,4,6,8,10} 。 R={(1,2),(2,4),(3,6)}。
则 (R) = {1,2,3}A ， (R) = {2,4,6}B 。
二.关系的一些关联性质 17
离散数学
定理1. 设R1,R2 A×B是两个关系。若 R1 R2 ，则
(1)保序性： (R1) (R2) ； (2)保序性： (R1) (R2) ；
注：笛卡尔(1596-1650 )，法国数学家， 1637年发表《方法论》之 一《几何学》，首次提出坐标及变量概念。这里是其概念的推广。
定义2. • 二个集合A，B的(二维或二重)叉积定义为 A×B ={(a, b): a A bB} ； •其元素——二元组(a, b)通常称为序偶或偶对(ordered
故 (R1)∩ (R2) = {1,2 }
21
离散数学
所以 (R1)∩ (R2) (R1 ∩ R2) 。
元素aA和集合A1A在关系R A×B下的关联集 (1)a的R-关联集(R-relative set of a)：
R(a)={b : bBaRb }B ；
(2) A1的R-关联集(R-relative set of A1)： R(A1)={b : bB (aA1)(aRb) }B 。
•当A=B时，即RA×A，则称R是A上的一个二元关 系。
例1 . 设A是西安交通大学全体同学组成的集合。 11
离散数学
R={(a,b) : aAbAa与b是同乡}A×A 于是，R是西安交通大学同学之间的同乡关系。
例2 . 设A是某一大家庭。
R1 = {(a,b) : aAbAa是b的父亲或母亲}A×A R2 = {(a,b) : aAbAa是b的哥哥或姐姐}A×A R3 = {(a,b) : aAbAa是b的丈夫或妻子}A×A 于是，
《离散数学》第六章 集合代数
例3: 4个x ，3个y，2个z的全排列中，求不出现xxxx，yyy ，zz图象的排列。
设x不具有性质P1,P2,…,Pm ，那么x∉Ai，i＝ 1，2，…m。则它对等式左边计数的贡献为1，对 等式右边的计数的贡献也是1。
根据牛顿二项式定理不难得到上面式子的结果是0．而 由于x具有n个性质，它对等式左边的贡献也为0。
4.3 几个例子
例1:求1-1000之间(包括1和1000)不能被5,也不能被6, 还不能被8整除的整数有多少个?
总体上还是多采用命题逻辑中的等值式，但在叙述
上采用半形式化的方法。
例6.6 证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C).
证明: 对于∀x
x ∈ A-(B∪C) Ù x ∈ A ∧ x ∉(B∪C) Ù x ∈ A ∧ ⎤ (x∈B ∨ x∈C) Ù x ∈ A ∧ (⎤x∈B ∧ ⎤x∈C) Ù x ∈ A ∧ (x ∉ B ∧ x ∉ C) Ù x∈A∧x∉B∧x∉C Ù (x ∈ A ∧ x ∉ B) ∧ (x ∈ A ∧ x ∉ C) Ù x ∈ A- B ∧ x ∈ A- C Ù x ∈( A- B) ∩(A- C)
全排列的个数为：9！/（4！3！2！）=1260； 所以要求的排列数为
1260－(60+105+280)+(12+20+30)－6 =871.
4.4 三个练习
练习1：求由a,b,c,d构成的n位符号串中，a,b,c,d都至 少出现一次的符号串的数目。
《离散数学》集合的基本概念和运算
（2）若AB,BC,则AC
解 错误。举反例如下：设A={a}，
B={{a},b}，C={{a},b,{c}}，显然AB， BC，但A不是C的子集。因为aA，但aC。
定义3.7 A、B是任意集合，由属于A或属于B的
所有元素组成的集合称为A与B的并集，记
3.2 作 A B 。即
集
A B u | u A或u B
推论 空集是惟一的. 证 假设存在1和2，则12 且12，因此
1=2 全集 在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个
集合的子集，则称这个集合为全集，记作E
全集具有相对性
在给定问题中，全集包含任何集合，即A (AE )
三、幂集（PowerSet）
定义1.2.2 给定集合A，以A的所有子集为元素
- 命题演算法 - 包含传递法
的
- 等价条件法
基
- 反证法
(A B) A B
算 对偶原理：把一个等式中的中的∪，∩，E和
的分别代以∩，∪，和E后得到另一等式
二、对称差运算的性质：
① AA= ②A =A ③ A E= A
3.2 ④A B＝B A
集 ⑤(A B) C A (B C)
合 ⑥A I (B C) (A I B) (A I C)
一、集合运算的十条定律
3.2
对于全集合E的任意子集A、B、C，有：
集 交换律 AB B A AB B A
合 的 结合律 A(B C) (A B) C
基
A(B C) (A B) C
本 分配律 A(B C) (A B) (AC)
运 算
A(B C) (A B) (AC)
概 念
(5)A ( )
离散数学关系的运算
二、关系基本运算的性质
定理1 设F是任意的关系, 则 (1) (F1)1=F (2) domF1=ranF, ranF1=domF 定理2 设F, G, H是任意的关系, 则 (1) (F∘G)∘H=F∘(G∘H) (2) (F∘G)1= G1, T均为A上二元关系， 那么
1 rij 0
当且仅当aiRbj 当且仅当 ai Rb j
10
某关系R的关系图为：
1 2 3 5 4 6 a b c d
则R的关系矩阵为：
0 1 0 MR 0 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
注意： 对于A上的任何关系R1和R2都有 R10 = R20 = IA 对于A上的任何关系 R 都有 R1 = R
7
例：
X {a, b, c} R { a, b , b, c , c, a }
R { a, c , b, a , c, b }
2
R R R { a, a , b, b , c, c } Ix
R0, R1, R2, R3,…的关系图如下图所示
14
幂的求法（续）
对于集合表示的关系R，计算 Rn 就是n个R右复合 . 矩阵表示就是n个矩阵相乘, 其中相加采用逻辑加. 例3 设A={a,b,c,d}, R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}, 求R的各次幂, 分别用矩阵和关系图表示. 解 R与R2的关系矩阵分别为
3
3、限制与像
定义 F 在A上的限制 F↾A = {<x,y> | xFy xA} A 在F下的像 F[A] = ran(F↾A)
离散数学(chapter3集合的基本概念和运算)
以上运算律的证明思路：欲证P=Q，即证 x P x Q。
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20
Байду номын сангаас
三、集合算律
证明分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) 对x， x A∪(B ∩C) (x A ) (x B∩C )
(x A) (x B x C )
Z: 整数集合
Q: 有理数集合
R: 实数集合 C: 复数集合
: 空集(不含任何元素) E: 全集 （在某一问题中，含有所涉及的全部集合的集合。）
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三、集合的表示方法
列出集合的所有元素，元素之间用逗号 1、列举法： 隔开。如A = { a, b, c } ， B = { 1,2,4,6,7,9 } 用谓词概括该集合中元素的属性。 2、描述法： 如：A = { x | xZ 3 < x 6 } A = { x | P (x) }，其中P (x)表示x满足的性质。 即A是由所有使P (x)为真的全体x构成。
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§3.1 集合的基本概念
内容：集合，元素，子集，幂集等。 重点：(1) 掌握集合的概念及两种表示法， (2) 常见的集合N , Z, Q, R, C 和特殊集合 ,E， (3) 掌握子集及两集合相等的概念， (4) 掌握幂集的概念及求法。
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离散数学
8
四、集合之间的关系
3、真子集： B A。
B A B A B A
BABA B=A
4、幂 集：集合A的全体子集构成的集合，记作P (A)。 符号化为 P (A) = { x | x A} n 元集A的幂集P (A)含有2n个元素。
离散数学排列组合公式简介
离散数学排列组合公式简介离散数学是一门研究离散对象的数学学科，其中排列组合是其重要的一部分。
排列组合是指在给定的元素集合中，通过选择和安排元素，得到不同的结果。
在离散数学中，排列和组合是两个基本概念，并且有相应的计算公式来帮助解决问题。
一、排列公式排列是指从给定的元素集合中，按照一定的顺序，选取若干元素进行排列。
在离散数学中，排列的计算方法有两种：允许重复和不允许重复。
下面分别介绍这两种排列的计算公式。
1. 允许重复的排列当元素集合中的元素可以重复出现在排列中时，就称为允许重复的排列。
对于含有n个元素的集合，要求选择r个元素进行排列，公式如下：P(n, r) = n^r其中，P表示排列的个数，n表示元素集合中的元素个数，r表示选择的元素个数。
举个例子，假设有一个字母集合{a, b, c}，要选择两个字母进行排列，那么根据公式，可以计算出排列的个数为：P(3, 2) = 3^2 = 9因此，共有9种不同的排列方式：aa、ab、ac、ba、bb、bc、ca、cb、cc。
2. 不允许重复的排列当元素集合中的元素不允许重复出现在排列中时，就称为不允许重复的排列。
对于含有n个元素的集合，要求选择r个元素进行排列，公式如下：P(n, r) = n! / (n - r)!其中，"!"表示阶乘，n!表示n的阶乘，即n × (n-1) × ... × 1。
举个例子，假设有一个字母集合{a, b, c}，要选择两个字母进行排列，那么根据公式，可以计算出排列的个数为：P(3, 2) = 3! / (3 - 2)! = 3! / 1! = 6因此，共有6种不同的排列方式：ab、ac、ba、bc、ca、cb。
二、组合公式组合是指从给定的元素集合中，不考虑顺序，选择若干元素进行组合。
在离散数学中，组合的计算方法也有两种：允许重复和不允许重复。
下面分别介绍这两种组合的计算公式。
离散数学_集合与关系_关系
13
例如 例3中的 A {1,2,3,4} ，
{(1,1), (1,2 ), (1,3 ), (1,4 ), ( 2,2 ), ( 2,4 ), ( 3,3 ), ( 4,4 )}
的关系图如下：
14
练习3-6
1. 设A
{0,1,2}，B {0,2,4} ，A到B的关系
B {1,2}
。 }
A B {
(0,1), (0,2), (1,1), (1,2) (1,1), (1,2 ), ( 2,1), ( 2, 2)
B B {
}
8
关系的表示
一、集合表示法
用表示集合的列举法或描述法来表示关系。
例1 设A { 2,3,4,8},B {1,5,7 } , 用描述 } 法定义由A到B的关系 {( a, b ) | a b，试
用列举法将
表示出来。
解
{( 2,5 ), ( 2,7 ),( 3,5 ), ( 3,7 ) ( 4,5 ), ( 4,7 )}
9
例2 有王、张、李、何是某校的老师，该校有
三门课程：语文、数学和英语，已知王可以教语文 和数学，张可以教语文和英语，李可以教数学，何 可以教英语，若记A={王，张，李，何}，B={语文， 数学，英语}。那么这些老师与课程之间的对应关系 就可以用由A到B的一个关系
3利用关系图求复合关系是有限集a上的关系则复合关系也是a上的关系由复合关系的定义对于任意的反映在关系图上这意味着当且仅当在的关系图中有某一结点存在使得有边由指向且有边由指向的关系图中有边从指向理同志关系上搞庸俗关系学热衷于迎来送往
1Байду номын сангаас
《离散数学》课件-第3章集合的基本概念
例题
计算以下幂集：
，{}；{，{}}
解：
P()={} P({})={，{}} P({，{}})= {, {}，{{}},{，{}}}
18
3.3 集合的运算
集合的运算 并，交，补（绝对补），差（相对补－），和对称差等。
19
集合的并运算
• 定义3.3.1 设A，B为集合，由A和B的所有元素组成的集 合称为A与B的并集， 可表示为： AB={x|xAxB} 其文氏图：
其文氏图如下：
~E = ， ~ = E， ~（~A）= A A ~A = ， A ~A = E
27
德.摩根定律
• 定理3.3.5 设A，B为任意二个集合，则有： • （1） （AB）= A B • （2） （A B）= A B • 证明 设E为全集，显然有AE=A，AE=E成立。 • （1） （AB）= {x | xEx（AB）}= {x |
据的增加、删除、修改、排序，以及数据间关系的描述。
集合论在计算机语言、数据结构、编译原理、数据库与
知识库、形式语言及人工智能等许多领域得到广泛的应
用。
2
3.1 集合及其表示
• 集合是由一些对象聚集在一起构成的。 例如，全体整数 全体中国人 26个英文字母
• 构成集合的对象可以是各种类型的事物。 • 定义3.1.1 集合中的对象叫集合的元素，或成员。
• 集合中的元素可以具有共同性质，也可以表面上看起来不相干。
• 如{2，Tom，计算机，广州}
• 在集合论中，规定元素之间是彼此相异的，并且是没有次序关 系的。
例如，{3,4,5},{3,4,4,5,5},{5,3,4}都是同一个集合。
• 例如，A={3,4,5},
离散数学集合与关系
离散数学集合与关系离散数学是数学中一门独立的分支，它主要研究离散的数学结构和被限制在有限范围的对象。
集合论和关系理论是离散数学的重要组成部分，它们在计算机科学、信息科学等领域具有广泛的应用。
一、集合的概念与基本运算集合是离散数学中最基本的概念之一，它是由确定的元素所组成的整体。
集合的表示通常使用大写字母，元素用小写字母表示，并用花括号{}括起来。
例如，集合A={1,2,3,4}表示由元素1,2,3,4组成的集合A。
在集合论中，集合之间的关系可以通过特定的运算来描述。
常见的集合运算包括并集、交集、差集和补集。
并集是指所有属于被操作的集合的元素的集合。
交集是指同时属于所有被操作的集合的元素的集合。
差集是指属于一个集合而不属于另一个集合的元素的集合。
补集是指在全集中属于一个集合而不属于另一个集合的元素的集合。
二、关系的定义与性质关系是描述集合之间元素之间的某种联系或者规律的数学概念。
在离散数学中，关系可以用二元组的形式表示。
关系的性质包括自反性、对称性和传递性。
自反性是指元素与自身之间存在关系。
对称性是指如果两个元素之间存在关系，那么它们之间的关系是互逆的。
传递性是指如果两个元素之间存在关系，并且与另一元素之间也存在关系，那么这两个元素之间也存在关系。
三、集合的基数与幂集集合的基数是指集合中的元素个数。
若集合A中的元素个数为n，则记作|A|=n。
基数为有限值的集合称为有限集，基数为无限值的集合称为无限集。
幂集是指一个集合的所有子集所组成的集合。
例如，对于集合A={1,2}，它的幂集为{{},{1},{2},{1,2}}。
幂集的基数等于原集合的基数的2的幂次方。
四、关系的类型与性质在离散数学中，关系可以分为几种不同的类型。
常见的关系类型包括等价关系、序关系和函数关系。
等价关系是指满足自反性、对称性和传递性的关系。
序关系是指满足自反性、反对称性和传递性的关系。
函数关系是指每个定义域中的元素都有唯一对应的值域中的元素的关系。
离散数学第3章-集合与关系
员，或A包含a，a在A之中，a属于A。即 a A a A
（2）集合中元素具有互异性和无序性。如{a,b,c,d}={a,b,b,c,d}
3-1 集合的概念和表示法
(3) 集合的元素个数可以是有限个也可以是无限个，具有有限个元素的集 合的为有限集，否则称为无限集。 (4) 集合中的元素也可以是集合，如
称为A和B的笛卡尔积，记作：A B
例：A {、、 、、
则：
3-4 序偶和笛卡尔积
5、多重直积：
A1 A2 A3是集合，A1 A2是笛卡尔集，也是集合仍可再作笛卡尔积
A A A A A A ( ) { , , | , , }
1
2
3
1
2
3
1
1
2
2
3
3
A A A { , , | , , }
E AB
S={x∣(x∈A)∧（xB）}
={x∣（x∈A）∧ （x∈B）}
3-2 集合的运算
b）集合A关于全集E的补。 E-A称为A的绝对补，记作~A。
E A
~A={x∣(x∈E）∧（x A）}
~ A有下列性质： ⑴ ~（ ~A）=A
⑵ ~E=
⑶~ =E
⑷A∪~A=E
⑸A∩~A=
3-2 集合的运算
* 以后判断两集合相等就主要用这一重要定理。
定理：对任一Set A， A
3-1 集合的概念和表示法
例：若A={a,b,c},写出其所有子集。 解：Ø 、{a}、{b}、{c}、{a，b}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}均是A的子 集
离散数学第四章课件
无对称的偶对。
表示关系矩阵的主对角线两侧各有一个1且 对称，即有一个对称的偶对。
C1
n(n＋1) 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
表示关系矩阵的主对角线两侧全为1，
C1 ＋ n(n＋ ＋…＋ 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
于是
C0 n(n＋1) 2 ＝
2
n(n＋1) 2
四、反对称性 ⒈ 定义： 若xy(x∈A∧y∈A∧xRy∧yRx→x=y)， 称R是反对称的。 例：设A={ a , b , c , d } R={ < a , b > , < a , c > , < b , b > , <b,d>,<c,c>,<c,d>, < d , d >}
⒉自反关系的关系矩阵的特征
R的关系矩阵的主对角线上的元素均为
1 ，则该关系就不具有自反性；
主对角线上有一个元素不为1，则该关
系就不具有自反性。
⒊ 自反关系的图的特征 自反关系的关系图中，每个顶点都有 自回路，则该关系具有自反性。
二、反自反性 ⒈ 定义：若x（x∈A xRx）则该关系是 反自反的。 ⒉ 具有反自反性的关系的关系矩阵的主对角
2 t1× t2 × … ×tn
五、关系的表示法-----通常有三种表示方法
⒈ 集合表示法： 因为关系也是集合，所以也可以用集合 的表示方法
例：A={ 2, 3,4,6 ,9,12 }上的整除关系
用特征描述法表示为
R＝{ < x , y > | x∈A ∧ y∈A ∧ x|y }
用穷举法表示为
R={ < 2 , 2 > , < 2 , 4 > , < 2 , 6 > ,
离散数学关系的运算
离散数学关系的运算离散数学是研究离散结构和离散对象的数学分支。
其中，关系是离散数学中一个重要的概念。
关系的运算是指对不同关系进行操作，从而得到新的关系。
在离散数学中，常见的关系运算包括并集、交集、差集、补集和复合运算。
1. 并集：对于两个关系R和S，它们的并集R∪S是包含了两个关系的所有元素的集合。
即R∪S={x | x∈R 或 x∈S}。
并集运算可以合并两个关系中的元素，得到新的关系。
2. 交集：对于两个关系R和S，它们的交集R∩S是同时属于R和S的元素的集合。
即R∩S={x | x∈R 且 x∈S}。
交集运算可以得到两个关系中共同拥有的元素。
3. 差集：对于两个关系R和S，它们的差集R-S是属于R但不属于S的元素的集合。
即R-S={x | x∈R 且 xS}。
差集运算可以得到在R中存在但不在S 中的元素。
4. 补集：对于一个关系R，它的补集R'是所有不属于R的元素的集合。
即R'={x | x不属于R}。
补集运算可以得到关系R的补集。
5. 复合运算：对于两个关系R和S，它们的复合运算RS是通过将R的元素的后继者与S的元素的后继者进行连接得到的新关系。
即RS={(a,c) | 对于某个b∈B, (a,b)∈R 且 (b,c)∈S}。
复合运算可以通过连接两个关系的元素来构建新的关系。
这些关系运算在离散数学中具有重要的应用，常用于描述集合、图、逻辑等离散结构之间的关系。
对于每种关系运算，都有相应的运算规则和性质。
熟练掌握关系运算可以帮助我们更好地理解和分析离散结构中的关系。
离散数学中的集合与关系理论
离散数学中的集合与关系理论离散数学是数学中的一门重要分支，主要研究离散的数值和结构。
在离散数学中，集合与关系理论是两个基础且关键的概念。
本文将对离散数学中的集合与关系理论进行探讨。
一、集合在离散数学中，集合是由元素组成的整体。
集合的表示可以使用不同的方式，如枚举法、描述法和扩展法。
其中，枚举法通过罗列元素的方式来表示集合。
例如，集合A = {1, 2, 3, 4}就是使用了枚举法表示的集合。
集合的运算是集合理论中的重要内容。
常见的集合运算有并集、交集、差集和补集。
并集表示两个集合中的所有元素的组合，交集表示两个集合中共有的元素，差集表示一个集合减去另一个集合中的元素，补集表示一个集合相对于全集中没有的元素。
集合的关系也是集合理论中的重要内容。
常见的集合关系有相等关系、包含关系和子集关系。
相等关系指的是两个集合具有相同的元素，包含关系指的是一个集合包含另一个集合中的所有元素，子集关系指的是一个集合包含于另一个集合。
二、关系关系是研究离散数学中元素之间联系的一种数学工具。
在离散数学中，关系可以用一个有序对的集合表示。
例如，关系R = {(1, 2), (2, 3),(3, 4)}表示了元素1与2之间、元素2与3之间、元素3与4之间的联系。
关系可以是自反的、对称的、传递的等。
自反关系指的是每个元素与自己之间有联系，对称关系指的是如果元素a与元素b之间有联系，则元素b与元素a之间也有联系，传递关系指的是如果元素a与元素b 之间有联系，元素b与元素c之间有联系，则元素a与元素c之间也有联系。
离散数学中的关系还可以进行合成和关系的闭包运算。
关系的合成指的是将两个关系进行组合，得到一个新的关系。
关系的闭包指的是将一个关系进行扩展，使得它满足某些性质。
集合和关系是离散数学中的两个重要概念，它们在离散数学中起着重要的作用。
集合可以用来整理和分类元素，关系可以用来描述元素之间的联系。
它们的研究对于理解和解决实际问题具有重要意义。
离散数学第三章集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念
3.2 集合的基本运算
3.3 集合中元素的计数
3.1 集合的基本概念
1.子集:若 B⊆A⇔∀x(x∈B→x∈A),则称B为A的子集. 2.真子集:若 B⊆A ∧ B≠A,则称B为A的真子集. 3.集合相等: B⊆A ∧ A⊆B⇔A=B,称集合A与B相等. 4.空集:不含任何元素的集合称为空集.记作φ. 空集是一切集合的子集;空集是唯一的. 5.n元集:含有n个元素的集合称为n元集. 6.全集:如果所涉及的集合都是某个集合的子集,则称这个集 合为全集(E). 7.幂集:设A为集合,把A的全体子集构成的集合,称为A的幂集 记作P(A),P(A)={x|x⊆A}. 若A是n元集,则P(A)有2n个元集(n元集有2n个子集).
二.集合运算的算律 幂等律：A∪A=A, A∩A=A;
结合律: (A∪B)∪C=A∪(B∪C), (A∩B)∩C=A∩(B∩C); 交换律: A∪B=B∪A , A∩B=B∩A; 分配律: A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C), A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C); 同一律: A∪φ=A, 排中律: A∪～A=E; A∩E=A; 零律: A∪E=E, A∩φ=φ;
| Ai I A j I Ak | +... + ( −1) m | A1 I A2 I ...I Am | ∑
推论： 推论：在S中至少具有一条性质的元素数是
| A1 U A 2 U ... U A m |= +
1≤ i < j < k ≤ m
∑|A
i =1
m
i
|−
1≤ i < j ≤ m
∑|AI
i
二.包含排斥原理 包含排斥原理
离散数学N元集合关系个数计算
Author ：ssjsMail ：看了离散数学中的关系整理了一点关于n 元集合中各类关系的计算，现写下那个方便大伙儿学习交流明白得。
对文章所致一切后果不负任何责任，请谨慎利用。
如有错误的地方请指正。
概念：1，对称：关于a,b R a b ∈∈∈),b (),a (,A 有如果只要2，反对称：若是R a b R b a b b ∈∈=∈),(),(a ,A ,a 和时仅当3，自反：若是对每一个元素R ),(A a ∈∈a a 有4，反自反：若是关于每一个R ),(A a ∉∈a a 有5，传递：若是对R ),(,R ),(R ),(,A ,,∈∈∈∈c a c b b a c b a 则且6，非对称：若是R ),(R ),(∉∈a b b a 推出【注】其中是含（a,a)如此的有序对的。
【重要】集合A 的关系是从A 到A 的关系 （也确实是说集合A 的关系是A A ⨯的子集）。
如下结论：N 元集合上的自反关系数为：)1(2-n nN 元集合上的对称关系数为：2/)1(2+n nN 元集合上的反对称关系数为：2/)1(n 32-n nN 元集合上的非对称关系数为：2/)1(3-n nN 元集合上的反自反关系数为：)1(n 2-nN 元集合上的自反和对称关系数为：2/)1(n 2-nN 元集合上的不自反也不反自反关系数为：)1(n n 2222-⋅-n下面是上面结论的计算1，自反 2A A ,A n n =⨯=因为也确实是说集合A 有n 平方个有序对，由自反概念可知，对R ),(A a ∈∈∀a a 有因此n 个有序对()).....3,2,1i X ,X (n i i =其中必然在所求关系中，不然的话此关系就不是自反的了，那么还有n n -2个有序对，因此由集合子集对应二进制串可得自反关系数为)1(n 222--=n n n下图有助于明白得。
（1,1) (2,2).......(n,n) | (1,2) (1,3).........(n-1,n)N n n -2个有序对2，对称 2A A ,A n n =⨯=因为也确实是说集合A 有n 平方个有序对，由对称概念可知，关于R a b b ∈∈∈),b (),a (,A ,a 有只要。
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Author ：ssjs
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看了离散数学中的关系整理了一点关于n 元集合中各种关系的计算，现写下这个方便大家学习交流理解。
对文章所致一切后果不负任何责任，请谨慎使用。
如有错误之处请指正。
定义：
1，对称：对于a,b R a b ∈∈∈),b (),a (,A 有如果只要
2，反对称：如果R a b R b a b b ∈∈=∈),(),(a ,A ,a 和时仅当
3，自反：如果对每个元素R ),(A a ∈∈a a 有
4，反自反：如果对于每个R ),(A a ∉∈a a 有
5，传递：如果对R ),(,R ),(R ),(,A ,,∈∈∈∈c a c b b a c b a 则且
6，非对称：如果R ),(R ),(∉∈a b b a 推出【注】其中是含（a,a)这样的有序对的。
【重要】集合A 的关系是从A 到A 的关系 （也就是说集合A 的关系是A A ⨯的子集）。
如下结论：
N 元集合上的自反关系数为：)1(2
-n n N 元集合上的对称关系数为：2/)1(2+n n
N 元集合上的反对称关系数为：2/)1(n 3
2-n n N 元集合上的非对称关系数为：2/)1(3-n n
N 元集合上的反自反关系数为：)1(n 2-n
N 元集合上的自反和对称关系数为：2/)1(n 2-n
N 元集合上的不自反也不反自反关系数为：)1(n n 222
2-⋅-n
下面是上面结论的计算
1，自反 2A A ,A n n =⨯=因为也就是说集合A 有n 平方个有序对，由自反定义可知，对R ),(A a ∈∈∀a a 有所以n 个有序对()).....3,2,1i X ,X (n i i =其中一定在所求关系中，否则的话此关系就不是自反的了，那么还有n n -2个有序对，所以由集合子集对应二进制串可得自反关系数为)1(n 222--=n n n
下图有助于理解。
（1,1) (2,2).......(n,n) | (1,2) (1,3).........(n-1,n)
N n n -2
个有序对
2，对称 2A A ,A n n =⨯=因为也就是说集合A 有n 平方个有序对，由对称定义可知，对于R a b b ∈∈∈),b (),a (,A ,a 有只要。
另外知道在n 平方个有序对中有n 个有序对()).....3,2,1i X ,X (n i i =其中，相应的就有n n -2
个有序对（X,Y)且X Y ≠，定义可知后面的n n -2个有序对只能成对出现，所以有2/)(n 2n -对。
前面的那n 对可以出现任意多对。
图片如下。
（1,1) (2,2).......(n,n) (1,2) (1,3).........(n-1,n)
n (2,1) (3,1).........(n,n-1)
(n n -2)/2个有序对对
共有n+ (n n -2)/2 个元素
即 (n n +2)/2个
所以得到对称关系数为：2/)1(2+n n
3，反自反
2A A ,A n n =⨯=因为也就是说集合A 有n 平方个有序对，由对称定义可知，如果对于每个R ),(A a ∉∈a a 有，构成该关系的元素个数为n n -2个，所以得出结论)1(n 2-n ，这个简单，不多说。
4，自反和对称
即是求自反的又对称的，由1知要是自反的就只能在n n -2个有序对中生成子集，又由对称定义可知，将n n -2个有序对分成形如(a,b)与(b,a)的(n n -2)/2个有序对对。
所以有自反和对称关系数为：2/)1(n 2-n 。
如下图
（1,1) (2,2).......(n,n) (1,2) (1,3).........(n-1,n)
n 个有序对 (2,1) (3,1).........(n,n-1)
要自反这n 个必在所求关系中
(n n -2)/2个有序对对
N 个有序对只有1种可能· 有2/)1(n 2-n 种可能 = 2/)1(n 21-⨯n
5，不自反也不反自反
不自反也不反自反 = 不自反I 不反自反
= ）不反自反不自反（Y -2n 2
= 反自反）（自反Y -2n 2
= )22(2)1()1(n 2--+-n n n n
= )1(n 2222-⋅-n n
6，非对称
由定义：如果R ),(R ),(∉∈a b b a 推出，很清楚形如(a,a)的有序对不在所求关系中。
所以所求关系只能中剩下的n n -2个有序对中来生成。
如下图。
（1,1) (2,2).......(n,n) (1,2) (1,3)...................................(n-1,n)
n (2,1) (3,1)....................................(n,n-1)
这n 个一定不在所求关系中 (n n -2 )/2个有序对对
由定义上图的同色对中只能取一个或是一个也不取，就有三种状态1）选上面的 2）选下面的 3）两个都不选
选取同色对？
0 1
不选 选上还是选下？
0 1
选上 选下
由题知，不选，选上，选下是三种互斥结果。
同集合二进制求集合个数原理，可得集合子集个为：2/)1(3-n n
7，反对称
由定义：如果R a b R b a b b ∈∈=∈),(),(a ,A ,a 和时仅当 如下图。
（1,1) (2,2)......................(n,n) (1,2) (1,3)...................................(n-1,n)
n (2,1) (3,1)...................................(n,n-1)
这n 个有序对可以出现任意多次 (n n -2 )/2个有序对对
n 2 ⨯ 2/)1(3-n n (由6可知）
所以得结果 ：n 2⨯2/)1(3-n n 即2/)1(n 32-n n
【注】其它组合或是要求可由定义同理推出。
不要怕麻烦，其实不那么难，也还有许多方法可以导出结果，如矩阵之类的。
强烈推荐看下Discrete Mathematics and Its Applications Seventh Edition 更新版的更好哈，讲得真的很不错。
参考资料：Discrete Mathematics and Its Applications SeventhEdition。