离散数学N元集合关系个数计算

Author ：ssjs

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看了离散数学中的关系整理了一点关于n 元集合中各种关系的计算，现写下这个方便大家学习交流理解。对文章所致一切后果不负任何责任，请谨慎使用。

如有错误之处请指正。

定义：

1，对称：对于a,b R a b ∈∈∈),b (),a (,A 有如果只要

2，反对称：如果R a b R b a b b ∈∈=∈),(),(a ,A ,a 和时仅当

3，自反：如果对每个元素R ),(A a ∈∈a a 有

4，反自反：如果对于每个R ),(A a ∉∈a a 有

5，传递：如果对R ),(,R ),(R ),(,A ,,∈∈∈∈c a c b b a c b a 则且

6，非对称：如果R ),(R ),(∉∈a b b a 推出【注】其中是含（a,a)这样的有序对的。

【重要】集合A 的关系是从A 到A 的关系 （也就是说集合A 的关系是A A ⨯的子集）。

如下结论：

N 元集合上的自反关系数为：)1(2

-n n N 元集合上的对称关系数为：2/)1(2+n n

N 元集合上的反对称关系数为：2/)1(n 3

2-n n N 元集合上的非对称关系数为：2/)1(3-n n

N 元集合上的反自反关系数为：)1(n 2-n

N 元集合上的自反和对称关系数为：2/)1(n 2-n

N 元集合上的不自反也不反自反关系数为：)1(n n 222

2-⋅-n

下面是上面结论的计算

1，自反 2A A ,A n n =⨯=因为也就是说集合A 有n 平方个有序对，由自反定义可知，对R ),(A a ∈∈∀a a 有所以n 个有序对()).....3,2,1i X ,X (n i i =其中一定在所求关系中，否则的话此关系就不是自反的了，那么还有n n -2个有序对，所以由集合子集对应二进制串可得自反关系数为)1(n 222--=n n n

下图有助于理解。

（1,1) (2,2).......(n,n) | (1,2) (1,3).........(n-1,n)

N n n -2

个有序对

2，对称 2A A ,A n n =⨯=因为也就是说集合A 有n 平方个有序对，由对称定义可知，对于R a b b ∈∈∈),b (),a (,A ,a 有只要。另外知道在n 平方个有序对中有n 个有序对()).....3,2,1i X ,X (n i i =其中，相应的就有n n -2

个有序对（X,Y)且X Y ≠，定义可知后面的n n -2个有序对只能成对出现，所以有2/)(n 2n -对。前面的那n 对可以出现任意多对。图片如下。 （1,1) (2,2).......(n,n) (1,2) (1,3).........(n-1,n)

n (2,1) (3,1).........(n,n-1)

(n n -2)/2个有序对对

共有n+ (n n -2)/2 个元素

即 (n n +2)/2个

所以得到对称关系数为：2/)1(2+n n

3，反自反

2A A ,A n n =⨯=因为也就是说集合A 有n 平方个有序对，由对称定义可知，如果对于每个R ),(A a ∉∈a a 有，构成该关系的元素个数为n n -2个，所以得出结论)1(n 2-n ，这个简单，不多说。

4，自反和对称

即是求自反的又对称的，由1知要是自反的就只能在n n -2个有序对中生成子集，又由对称定义可知，将n n -2个有序对分成形如(a,b)与(b,a)的(n n -2)/2个有序对对。所以有自反和对称关系数为：2/)1(n 2-n 。如下图

（1,1) (2,2).......(n,n) (1,2) (1,3).........(n-1,n)

n 个有序对 (2,1) (3,1).........(n,n-1)

要自反这n 个必在所求关系中

(n n -2)/2个有序对对

N 个有序对只有1种可能· 有2/)1(n 2-n 种可能 = 2/)1(n 21-⨯n

5，不自反也不反自反

不自反也不反自反 = 不自反I 不反自反

= ）不反自反不自反（Y -2n 2

= 反自反）（自反Y -2n 2

= )22(2)1()1(n 2--+-n n n n

= )1(n 2222-⋅-n n

6，非对称

由定义：如果R ),(R ),(∉∈a b b a 推出，很清楚形如(a,a)的有序对不在所求关系中。所以所求关系只能中剩下的n n -2个有序对中来生成。如下图。 （1,1) (2,2).......(n,n) (1,2) (1,3)...................................(n-1,n)

n (2,1) (3,1)....................................(n,n-1)

这n 个一定不在所求关系中 (n n -2 )/2个有序对对

由定义上图的同色对中只能取一个或是一个也不取，就有三种状态1）选上面的 2）选下面的 3）两个都不选

选取同色对？

0 1

不选 选上还是选下？

0 1

选上 选下

由题知，不选，选上，选下是三种互斥结果。同集合二进制求集合个数原理，可得集合子集个为：2/)1(3-n n

7，反对称

由定义：如果R a b R b a b b ∈∈=∈),(),(a ,A ,a 和时仅当 如下图。

（1,1) (2,2)......................(n,n) (1,2) (1,3)...................................(n-1,n)

n (2,1) (3,1)...................................(n,n-1)

这n 个有序对可以出现任意多次 (n n -2 )/2个有序对对

n 2 ⨯ 2/)1(3-n n (由6可知）

所以得结果 ：n 2⨯2/)1(3-n n 即2/)1(n 32-n n

【注】其它组合或是要求可由定义同理推出。不要怕麻烦，其实不那么难，也还有许多方法可以导出结果，如矩阵之类的。强烈推荐看下Discrete Mathematics and Its Applications Seventh Edition 更新版的更好哈，讲得真的很不错。

参考资料：Discrete Mathematics and Its Applications SeventhEdition