上海交通大学2014-2中高数试卷(A类)

2014级第二学期《高等数学》期中考试试卷(A 类)

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．设24

222(,)x y f x y x y -=+，则00

lim (,)x y f x y →→= ( ) （A ）等于0； （B ）等于1； （C ）等于2； （D ）不存在。

2．函数e ,0(,)1,

0x y xy f x y xy +⎧≠=⎨=⎩在点)0,0(处指向点(1,1)的方向导数为 ( ) （A ）0； （B ）1； （C

； （D ）2。

3．设有二元方程2sin()0x y xy ++=，则在(0,0)点的某邻域内，此方程 ( )

（A ）仅可确定一个具有连续导数的隐函数()x x y =；

（B ）仅可确定一个具有连续导数的隐函数()y y x =；

（C ）可确定两个具有连续导数的隐函数()y y x =和()x x y =；

（D ）以上（A ）、（B ）、（C ）都不正确。

4

．设()d t F t f

V Ω=⎰⎰⎰，其中t Ω

：0z ≤≤0t >)，()f u 为连续函数，则()F t '= ( )

（A ）22π()tf t ； （B ）22π()t f t ； （C ）24π()t f t ； （D ）24π()tf t 。

5．考虑以下命题，其中正确命题的个数为 ( )

① 若可微函数(,)f x y 在区域D 内满足(,)0x f x y ≡，则有)(),(y y x f ϕ=； ② 若00(,)f x y 是函数),(y x f 在区域D 内的唯一极值，且为极大值，则),(00y x f 必为),(y x f 在D 内的最大值；

③ 若函数),(y x f 在00((,),)U x y δ内可偏导，且),(y x f 在点),(00y x 间断，则),(y x f x 与),(y x f y 中至少有一个在00((,),)U x y δ内无界。(其中0δ>。)

（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3。

二、填空题（每小题3分，共15分）

6．设y z x =，则(e,1)d |z = 。

7．设{}22(,)1E x y x y =+<\0E ，其中{}0(,)0(11)E x y y x ==-<<，则E 的边

界E ∂= 。

8．交换二次积分的次序：

0111000d (,)d d (,)d x x f x y y x f x y y --+=⎰⎰⎰⎰ 。

9．设,0x y ≥，且满足条件2248x y +=，则u xy =的最大值为： 。

10．设{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥

，则22ln(1e )d d x

y D

y x y +⎤+=⎦

⎰⎰ 。

三、（本题共8分）

11．求极限()102lim e sin x

xy

x y y x →→+。 四、（每小题8分，共16分）

12．设函数(,)f u v 具有一阶连续偏导数，0(,e )d xy t z f t t =⎰，求z x ∂∂，2z x y ∂∂∂。 13．设函数(,)z f x y =具有二阶连续偏导数。令,u x y v x y =+=-，并取,u v 为新自变量，试变换方程22220z z x y ∂∂-=∂∂。 五、计算下列积分（每小题10分，共20分）

14

．2222316

min )d d x y x y x y +≤⎫⎪+⎬⎪⎭⎰⎰。 15．2

()d x y z V Ω+-⎰⎰⎰，其中Ω

：z ≥222(2)4x y z ++-≤。 六、应用题（第16小题8分，第17小题10分，共18分）

16．求锥面222(1)z x y =-+被柱面221x z +=所截下部分曲面的面积。

17．过直线l ：1022270

x y z x y z +-=⎧⎨+-=⎩作曲面222327x y z +-=的切平面，求此切平面的方程。

七、证明题（本题共8分）

18．已知二元函数的拉格朗日中值定理是：设函数(,)f x y 在000(,)P x y 的邻域0()U P 有一阶连续偏导函数(,)x f x y 和(,)y f x y ，则对任意0(,)()P x y U P ∈，存在0(,)()U P ξη∈，使得

0000(,)(,)(,)()(,)()x y f x y f x y f x x f y y ξηξη-=-+-。 设函数(,)f x y 在R 2上具有一阶连续偏导数，且(,)f x y 在

{}222(,)|D x y x y R =+≤的边界{}222(,)|x y x y R +=上取值为零，其中常数0R >。

（1）证明：对任意的(),P x y D ∈，存在(),D ξη∈，使得

(

))(,),f f x y R ξη∂=

∂l , 其中OP l =,而O 为坐标原点；

（2）证明：

()(

)3,π,d d max 3x y D R f x y x y ∈≤⋅⎰⎰