上海交通大学2014-2中高数试卷(A类)
2014年高考全国2卷理科数学试题(含解析)
绝密★启用前2014年高考全国2卷理科数学试题（含解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题（题型注释）1．设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i=+，则12z z =（ ）A.- 5B.5C.- 4+ iD.- 4 - i 2．设向量a,b 满足|a+b|=10，|a-b|=6，则a ⋅b = ( ) A.1 B.2 C.3 D.53．钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，BC=2 ，则AC=( )A.5B.5C.2D.14．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.455．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A.1727B.59C.1027D.136．执行右图程序框图，如果输入的x,t 均为2，则输出的S= （ ） A.4 B.5 C.6 D.77．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a= （ ） A.0 B.1 C.2 D.38．设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A.33B.93C.6332D.949．直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1， 则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A.110B.25 C.30 D.210．设函数()3x f x m π=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ） A.()(),66,-∞-⋃∞ B.()(),44,-∞-⋃∞ C.()(),22,-∞-⋃∞ D.()(),11,-∞-⋃∞第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题（题型注释）11．()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)12． 函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.13．已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________. 14．设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x的取值范围是________. 评卷人得分三、解答题（题型注释）15．已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（1）证明{}12na +是等比数列，并求{}na 的通项公式； （2）证明：1231112n a a a ++<…+. 16．如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）证明：PB ∥平面AEC ；（2）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD 的体积.17．某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：年份 2 2 2013年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121niii ni i t t y y b t t ∧==--=-∑∑，ˆˆa y bt =-18．设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b +=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N.（1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N=，求a,b.19．已知函数()f x =2x x e e x---.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值；（3）已知1.41422 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001）20．如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E 。
上海交通大学2014秋季数分I期中考试
数分 C1 共 3 张 6 页 第 4 页
∀t ∈ U ( x, δ ) ∩ [a, b] ， 均 有 f (t ) ≠ 0 ； 若 f ( x) ≠ 0 ， 则 由 保 号 性 ， ∃δ > 0 ，
o
∀t ∈U ( x, δ ) ∩ [a, b]: f (t ) ≠ 0 .所以， ∀x ∈ [a, b] ， ∃δ x > 0 ，在 U ( x, δ x ) 中，至多只
---------------------------（8）
数分 C1 共 3 张 6 页 第 3 页
五、证明题(本题共 8 分) 16. 设 f ∈ C[0,1] I D(0,1) ，且 f (1) = 0 . 证明：存在 ξ ∈ (0,1) ，使得
ξ f ʹ′(ξ ) + 2 f (ξ ) = 0 .
f ʹ′( x0 ) = lim
k →∞
f ( xnk ) − f ( x0 ) xnk − x0
= 0 ，故 ∃x0 ∈[a, b] 使 f ( x0 ) = f ʹ′( x0 ) = 0 ，这与
{x
f ( x) = f ʹ′( x) = 0, x ∈[a, b]} = ∅ 矛盾.
证二： 由条件， 对 ∀x ∈ [a, b] ， 若 f ( x) = 0 ， 则 f ʹ′( x) ≠ 0 ， 由导数定义知， 存在 δ > 0 ，
证：构造函数 F ( x) = x 2 f ( x) ---------------------------（2）
则 F ( x) ∈ C[0,1] , F ( x) ∈ D(0,1) , F (0) = F (1) ，所以由 Rolle 定理，
∃ξ ∈ (0,1) ，使 F ʹ′(ξ ) = 0 即
(完整word版)2014年(全国卷II)(含答案)高考文科数学,推荐文档
2014年普通高等学校招生全国统一考试(2新课标H 卷)数学(文)试题一、选择题( 本大题共12题, 共计60分)1.已知集合A { 2,0,2}, B {x|x 2 x 20},则 A n B=()A. B. 2 C. {0}D. { 2}2.1 3i (1 i)A.1 2iB. 1 2iC. 1 2iD. 1 2i3.函数f (x)在x X o 处导数存在，若p: f(X o ) 0 : q:x X o 是f (x)的极值点，贝U( )A • p 是q 的充分必要条件B. p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C. p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D. p 既不是q 的充分条件，学科 网也不是q 的必要条件 4. 设向量 a,b 满足 a b J T0 , a b 76，则 a b=() A. 1 B. 2 C. 3 D. 55.等差数列｛a n ｝的公差是2,若a 2,a 4,a 8成等比数列，贝U ｛a n ｝的前n 项和S n()1 (表示1cm )，图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，贝U 切削的部分的体积A. n(n 1)B. n(n 1)C.咛D n(n 1)26.如图，网格纸上正方形小格的边长为27 D.1与原来毛坯体积的比值为( )7•正三棱柱ABC ABQ i 的底面边长为2，侧棱长为.3 , D 为BC 中点，则三棱锥A BQ® 的体积为A.3B.32C.128•执行右面的程序框图，如果输入的 x ，t 均为2， 则输出的S （A.4B.5C.6D. 7x 3y 3 0,10•设F 为抛物线C:y 2+3x 的焦点，过F 且倾斜角为是（ ）A 迈3B.6C.12D.7,311若函数f xkx Inx 在区间1,单调递增， 则k 的取值范围是（）A., 2B., 1C. 2,D. 1,AB （）12.设点 M x o ,1，若在圆 O:x 2+y 2 1上存在点N ，使得 OMNx y 19.设x , y 满足约束条件x y 10,0,则z x 2y 的最大值为（A.8B.7C.2D.130的直线交C 于A, B 两点，则 45，则x o 的取值范围二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13•甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3种颜色的运动服中选择1种，则他们 选择相同颜色运动服的概率为 ________ .14.函数 f(x) sin(x ) 2sin cosx 的最大值为 __________________ . 15•偶函数y f(x)的图像关于直线x 2对称，f(3)3，则f( 1)= __________ .116. ----------------------------------数列｛a n ｝满足 a n 1 __________ ,a 8 2，则 &1 a n三、解答题：17. (本小题满分12分)四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB 1, BC 3, CD DA 2 . (1) 求 C 和 BD ； (2) 求四边形ABCD 的面积.A.[ -1,1]B. c.D. T-718. (本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PA 平面ABCD，E是PD的中点.(1)证明：PB〃平面AEC ；(2)设AP 1,AD 3，三棱锥P ABD的体积V求A到平面PBC的距离.19. (本小题满分12分)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下:甲輻门1-乙邯门3594404 4S97J1224566777X9976653321)0i 6«1 f 23 4 6昌E98K77766555554443J321007001134496655200S12334563222090 H 45610000(1) 分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；(2) 分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率;(3) 根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.2 2设F I,F2分别是椭圆C:冷每1(a b 0)的左右焦点，M是C上一点且MF2与x轴a b垂直，直线MF i与C的另一个交点为N.3(1) 若直线MN的斜率为上，求C的离心率；4(2) 若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN | 5| F i N |，求a,b.21.(本小题满分12分)已知函数f (x) x3 3X2 ax 2，曲线y f (x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(1)求 a ；(2)证明：当k 1时，曲线y f (x)与直线y kx 2只有一个交点.20.(本小题满分12分)如图，P是eO外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与eO相交于B,C , PC 2PA , D为PC的中点，AD的延长线交eO于点E.证明：(1)BE EC ；2(2) AD DE 2PB2在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos , [0,].2（1）求C得参数方程；（2）设点D在C 上, C在D处的切线与直线l : y ,3x 2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D的坐标•23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程24.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲1设函数 f （x） |x | | x a | （a 0）a（1）证明：f（x） 2 ；（2）若f （3）5,求a的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试（2新课标U卷）1. B【解析】试题分析：由已知得，B 2, -1 ,故AI B 2，选B. 考点：集合的运算. 2. B【解析】试题分析：由已知得， S (1 3i)(1D1 2i ，选B.1 i (1 i)(1 i) 2考点：复数的运算. 3. C【解析】试题分析：若x X o 是函数f(x)的极值点，则f (X o ) 0 ；若f (X o ) 0，则X X o 不一定是 极值点，例如f (X ) X 3，当X 0时，f (0)0，但X 0不是极值点，故p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件，选C .考点：1、函数的极值点；2、充分必要条件. 4. A【解析】r 2 r r r 2r 2 r r r 2r r试题分析：由已知得， a 2a b b10， a 2a b b 6，两式相减得，4a b4，r r 故 a b 1.考点：向量的数量积运算. 5. A【解析】试题分析：由已知得，a 42 a 2 a 8，又因为｛a n ｝是公差为2的等差数列，故(a 22d)2 a ? (a ? 6d)，@ 4)2a ? (a ?12)，解得 a ? 4，所以务 a ? (n 2)d 2n ，故 S n n(a1 an) n(n 1).2【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n 项和. 6. C【解析】试题分析：由三视图还原几何体为一个小圆柱和大圆柱组成的简单组合体. 其中小圆柱底面半径为2、高为4,大圆柱底面半径为3、高为2,则其体积和为 224 32 2 34而圆柱形毛坯体积为 32 6参考答案:数学(文)试题参考答案102754 ，故切削部分体积为20 ，从而切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为54 考点：三视图.7. C【解析】试题分析：如下图所示，连接AD，因为ABC是正三角形，且D为BC中点，则AD BC，又因为BB i 面ABC ，故BB i AD ，且BB i I BC B ，所以AD 面BCC i B i ，所以AD 是 三棱锥 A B 1DC 1 的高，所以 V A ^DS -S B ^DC . AD - ,3 -、3 1 .33考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积. 8. D【解析】试题分析：输入x 2,t 2，在程序执行过程中，M,S,k 的值依次为M 1,S 3,k 1 ；M 2,S 5,k2 ;M 2,S 7,k3，程序结束，输出S 7 .考点：程序框图. 9. B【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数 z x 2y 变形为y lx -，当Z 取到2 2最大值时，直线y lx Z 的纵截距最大，故只需将直线 ylx 经过可行域，尽可能2 2 2平移到过A 点时，Z 取到最大值.10. C【解析】试题分析：由题意，得F (― ,0).又因为k tan300 -—，故直线AB 的方程为y —3 (x ―)，43 3 4与抛物线y 2=3x 联立，得16x 2 168x 90，设A(x 1, y 1), B(x 2,y 2)，由抛物线定义得，x 1 x 2 p3—12，选 C.21、抛物线的标准方程; 11. D【解析】x y 1 0x 3y 3 0，得A(3,2)，所以ZmaxAB168 16 考点: 2、抛物线1 1 试题分析：f '（x ） k —,由已知得f '（x ） 0在x 1, 恒成立，故k —,因为x 1 ,xx所以0 1 1，故k 的取值范围是1,•x【考点】利用导数判断函数的单调性. 12. A【解析】试题分析：依题意，直线 MN 与圆0有公共点即可，即圆心0到直线MN 的距离小于等于1 即可，过0作OA MN,垂足为 A ，在Rt OMA 中，因为 OMA 45°，故 0A| OM|sin45° 亍|0M | 1，所以 0M 迈，则 J x °2 1 V2，解得 1 x 0 1 .【解析】试题分析：甲，乙两名运动员各自等可能地从红、 白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有 9种不同的结果，分别为（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白， 蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）.他们选择相同颜色运动服有 3种不同的结果，即 （红，红），（白，白），（蓝，蓝），故他们选择相同颜色运动服的概率为 P --.9 3考点：古典概型的概率计算公式. 14. 1 【解析】 试 题分 析： 由 已 知 得13.13sin( x)f （x） sin xcos cosxs in 2cos xs in sin xcos cosxs in1，故函数f（x） sin（x ） 2sin cosx的最大值为1.考点：1、两角和与差的正弦公式；2、三角函数的性质.15. 3【解析】试题分析：因为y f （x）的图像关于直线x 2对称，故f （3） f （1） 3，又因为y f（x）是偶函数，故f（ 1）f（1） 3.考点：1、函数图象的对称性；2、函数的奇偶性.三、解答题(17) 解：(I )由题设及余弦定理得B D 2BC 2 CD 22BC CD cosC=13 12cosC①B D 22 2AB DA2AB DA cos A5 4cosC .②1._由①，②得 cosC —，故 C 600， BD 。
上海交大附中高考数学二轮复习 数列的综合应用训练题 理
上海交通大学附属中学2014届高三数学（理科班）第二次总复习数列的综合应用本试卷 (选择题)和 (非选择题)两部分．考试时间45分钟．答案详细附试卷后1．(2013·郑州质检)设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．242．(2013·浙江省名校联考)已知每项均大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1且前n 项和S n 满足S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1(n ∈N *且n≥2)，则a 81＝( )A ．638B ．639C ．640D ．6413．(2013·济南模拟)数列{a n }中，a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则数列{a n }的前12项和等于( )A ．76B ．78C ．80D ．824．已知曲线C ：y ＝1x (x>0)及两点A 1(x 1,0)和A 2(x 2,0)，其中x 2>x 1>0.过A 1，A 2分别作x轴的垂线，交曲线C 于B 1，B 2两点，直线B 1B 2与x 轴交于点A 3(x 3,0)，那么( )A ．x 1，x 32，x 2成等差数列B ．x 1，x 32，x 2成等比数列C ．x 1，x 3，x 2成等差数列D ．x 1，x 3，x 2成等比数列5．(2013·江西宜春模拟)如图所示，当n≥2时，将若干点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n 个点，若第n 个图案中总的点数记为a n ，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝( )A ．126B ．135C ．136D ．1406．(2013·辽宁省五校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 013(a 4－1)＝1，(a 2 010－1)3＋2 013(a 2 010－1)＝－1，则下列结论中正确的是( )A ．S 2 013＝2 013，a 2 010<a 4B ．S 2 013＝2 013，a 2 010>a 4C ．S 2 013＝2 012，a 2 010≤a 4D．S2 013＝2 012，a2 010≥a47．函数y＝x2(x>0)的图像在点(a k，a2k)处的切线与x轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k ∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5＝________.8．(2013·江西高考)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．9．对于数列{a n}，定义数列{a n＋1－a n}为数列{a n}的“差数列”，若a1＝2，{a n}的“差数列”的通项为2n，则数列{a n}的前n项和S n＝________.10．(2013·惠州市调研)已知向量p＝(a n,2n)，向量q＝(2n＋1，－a n＋1)，n∈N*，向量p 与q垂直，且a1＝1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n＝log2a n＋1，求数列{a n·b n}的前n项和S n.11．(2013·南昌市模拟)设正项数列{a n}的前n项和为S n，若{a n}和{S n}都是等差数列，且公差相等．(1)求{a n}的通项公式；(2)若a1，a2，a5恰为等比数列{b n}的前三项，记数列c n＝24b nn－2，数列{c n}的前n项和为T n.求证：对任意n∈N*，都有T n<2.12．(2013·湖北襄阳调研)已知数列{a n}，如果数列{b n}满足b1＝a1，b n＝a n＋a n－1，n≥2，n∈N*，则称数列{b n}是数列{a n}的“生成数列”．(1)若数列{a n}的通项为a n＝n，写出数列{a n}的“生成数列”{b n}的通项公式;(2)若数列{c n}的通项为c n＝2n＋b(其中b是常数)，试问数列{c n}的“生成数列”{q n}是否是等差数列，请说明理由；(3)已知数列{d n}的通项为d n＝2n＋n，求数列{d n}的“生成数列”{p n}的前n项和T n.1．选B 由S 10＝S 11，得a 11＝S 11－S 10＝0.由于a 11＝a 1＋(11－1)×d，所以a 1＝a 11＋(1－11)×d＝0＋(－10)×(－2)＝20.2．选C 由已知S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1，可得S n －S n －1＝2，∴{S n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故S n ＝2n －1，S n ＝(2n －1)2，∴a 81＝S 81－S 80＝1612－1592＝640.3．选B 由已知a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，得a n ＋2＋(－1)n ＋1a n ＋1＝2n ＋1，得a n ＋2＋a n ＝(－1)n(2n －1)＋(2n ＋1)．取n ＝1,5,9及n ＝2,6,10，结果相加可得S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 11＋a 12＝78.4．选A 由题意，B 1，B 2两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，1x 1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1x 2，所以直线B 1B 2的方程为 y ＝－1x 1x 2(x －x 1)＋1x 1，令y ＝0，得x ＝x 1＋x 2，∴x 3＝x 1＋x 2，因此，x 1，x 32，x 2成等差数列．5．选C 由已知图形可知，当n≥2时，a n ＝3(n －1)，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1＋3＋6＋…＋27＝1＋＋2＝136. 6．选A 设f(x)＝x 3＋2 013x ，显然f(x)为奇函数和增函数，由已知得f(a 4－1)＝－f(a 2 010－1)，所以f(a 4－1)＝f(－a 2 010＋1)，a 4－1＝－a 2 010＋1，a 4＋a 2 010＝2，S 2 013＝1＋a 2 0132＝2 013；显然1>－1，即f(a 4－1)>f(a 2 010－1)，又f(x)为增函数，故a 4－1>a 2 010－1，即a 4>a 2 010.7．解析：∵y′＝2x ，∴k ＝y′|x＝a k ＝2a k ， 故切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )， 令y ＝0得x ＝12a k ，即a k ＋1＝12a k .∴{a n }是以16为首项，12为公比的等比数列，即a n ＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.∴a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21. 答案：218．解析：设每天植树的棵数组成的数列为{a n }，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以由题意可得－2n1－2≥100，即2n ≥51，而25＝32,26＝64，n ∈N *，所以n≥6.答案：69．解析：∵a n ＋1－a n ＝2n， ∴当n≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n.当n ＝1时，a 1＝2也适合上式， ∴a n ＝2n(n ∈N *)． ∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－210．解：(1)∵向量p 与q 垂直， ∴2na n ＋1－2n ＋1a n ＝0，即2n a n ＋1＝2n ＋1a n ，∴a n ＋1a n＝2，∴{a n }是以1为首项， 2为公比的等比数列，∴a n ＝2n －1. (2)∵b n ＝log 2a n ＋1，∴b n ＝n ， ∴a n ·b n ＝n·2n －1，∴S n ＝1＋2·2＋3·22＋4·23＋…＋n·2n －1，①∴2S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n·2n，② ①－②得，－S n ＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋2n －1－n·2n＝1－2n1－2－n·2n ＝(1－n)2n －1， ∴S n ＝1＋(n －1)2n.11．解：(1)设{a n }的公差为d ， 则S n ＝ d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝d 2·n，且a 1－d2＝0. 又d ＝d 2，所以d ＝12， a 1＝d 2＝14，a n ＝2n －14.(2)证明：易知b n ＝14×3n －1，∴c n ＝2×3nn －2.当n≥2时，2×3nn －2<2×3n n－n－＝2×3n －1n－n －1－＝13n －1－1－13n －1， ∴当n≥2时，T n ＝32＋2×322－2＋…＋2×3nn －2<32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－132－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1－133－1＋…＋13n －1－1－13n －1＝2－13n －1<2，且T 1＝32<2，故对任意n ∈N *，都有T n <2.12．解：(1)当n≥2时，b n ＝a n ＋a n －1＝2n －1， 当n ＝1时，b 1＝a 1＝1适合上式， ∴b n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)q n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋b ，n ＝1，4n ＋2b －2，n≥2，当b ＝0时，q n ＝4n －2，由于q n ＋1－q n ＝4，所以此时数列{c n }的“生成数列”{q n }是等差数列．当b≠0时，由于q 1＝c 1＝2＋b ，q 2＝6＋2b ，q 3＝10＋2b ，此时q 2－q 1≠q 3－q 2，所以数列{c n }的“生成数列”{q n }不是等差数列．综上，当b ＝0时，{q n }是等差数列； 当b≠0时，{q n }不是等差数列．(3)p n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3·2n －1＋2n －1，n≥2，当n>1时，T n ＝3＋(3·2＋3)＋ (3·22＋5)＋…＋(3·2n －1＋2n －1)，∴T n ＝3＋3(2＋22＋23＋…＋2n －1)＋(3＋5＋7＋…＋2n －1)＝3·2n＋n 2－4.又n ＝1时，T 1＝3，适合上式， ∴T n ＝3·2n＋n 2－4.。
13-14(二)高数(工)2期末考试(A)卷 解答
上海应用技术学院2013—2014学年第二学期 《高等数学（工）2》期末试卷A 解答一．单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分），在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内．错选、多选或未选均无分． 1、C ； 2、A ； 3、C ； 4、D ； 5、C ； 6、A ； 7、B ； 8、C ； 9、D ； 10、C 。
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分），请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分． 11．2； 12．3yx x y e x +-； 13．6(1)8(2)2(1)0x y z ---+-=或者68280x y z -++=； 14．； 15．12e -； 16． 1913。
三．计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）． 17．求点(1,2,2)M 在平面:234250x y z π-++=上的投影． 解: 过M 垂直于平面π的直线为122234x y z ---==-……………………………… (3分) 参数方程为213242x t y t z t =+⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩,代入平面π,得到 1t =-………………………………(2分)投影为 (1,5,2)-- ………………………………………………………………(1分)18．设2(,)yx z x f xy xe y=+，其中f 可微，求z x ∂∂，z y∂∂． 解:21212(,)(,)(,)y z x x x xf xy x y f xy f xy e x y y y y ⎛⎫∂=+++ ⎪∂⎝⎭ ………………………(3分) 2122(,)(,)y z x x x x x f xy f xy xe y y y y ⎛⎫∂=-+ ⎪∂⎝⎭ ………………………………………(3分) 19．求二元函数22(,)(2)x f x y e x y =-的极值．解：22(24)0(2)0x x f e x y x x fe y y ∂⎧=-+=⎪∂⎪⎨⎪∂=-=⎪∂⎩………………………（2分）可得 2(2)00x x y +=⎧⎨=⎩，则驻点为(0,0) 与 (2,0)- ………………………(1分）又2222(284)x f A e x y x x ∂==-++∂, 2(2)x f B e y x y ∂==-∂∂, 22(2)xf C e y∂==-∂…(1分) 对驻点(0,0)，280H AC B =-=-<，因此(0,0)f 不是极值 ……………… （1分） 对驻点(2,0)-，2280H AC B e-=-=>，又240A e -=-<，因此2(2,0)8f e --=是极大值………………………………………………………………………………（1分）20．计算二重积分D，其中D 是由曲线224x y +=所围成的有界闭区域． 解：设 θρcos =x ,θρsin =y222001Dd d πρθρρρ=+⎰⎰……………………………………(3分) 2201211d πρρ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭⎰……………………………………(1分) 202(arctan )πρρ=- ……………………………………(1分)2(2arctan 2)π=- ……………………………………(1分)21．(,)z z x y =是由方程22xze x z xy =+所确定的隐函数，求z x ∂∂与zy∂∂． 解：设22(,,)xz F x y z e x z xy =-- ……………………………………………（1分） 则 22zxx F e z xz y =-- ；……………………………………………………（1分）2y F xy =-； …………………………………………………………………………（1分）2zx z F e x x =-。
(完整word版)2014年(全国卷II)(含答案)高考文科数学,推荐文档
2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1.已知集合2{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A ∩B=（ ）A. ∅B. {}2C. {0}D. {2}- 2.131i i +=-（ ） A.12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i --3.函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =：0:q x x =是()f x 的极值点，则（ ）A ．p 是q 的充分必要条件B. p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C. p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D. p 既不是q 的充分条件，学科 网也不是q 的必要条件4.设向量,a b 满足10a b +=，6a b -=，则a b ⋅=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 55.等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）A. (1)n n +B. (1)n n -C. (1)2n n +D. (1)2n n - 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A.2717B.95C.2710D.317.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.2 8.执行右面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =（ ）A.4B.5C.6D.79.设x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A.8B.7C.2D.110.设F 为抛物线2:+3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则 AB =（ ）A. B.6 C.12D.11.若函数()f x kx Inx =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ）A.(],2-∞-B.(],1-∞-C.[)2,+∞D.[)1,+∞12.设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）A.[－1,1]B.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.⎡⎣D.22⎡-⎢⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.14. 函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为________.15. 偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________.16.数列}{n a 满足2,1181=-=+a a a n n ，则=1a ________. 三、解答题：17.（本小题满分12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，2,3,1====DA CD BC AB .（1）求C 和BD ；（2）求四边形ABCD 的面积.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点.（1）证明：PB //平面AEC ；（2）设1,3AP AD ==，三棱锥P ABD -的体积34V =，求A 到平面PBC 的距离.19.（本小题满分12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.20.（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N .（1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求,a b .21.（本小题满分12分）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-.（1）求a ；（2）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，P 是O e 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O e 相交于,B C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O e 于点E .证明：（1）BE EC =；（2）22AD DE PB ⋅=23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈. （1）求C 得参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数1()||||(0)f x x x a a a =++-> （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题参考答案：参考答案1．B【解析】试题分析：由已知得，{}21B =，-，故{}2A B =I ，选B ．考点：集合的运算．2．B【解析】 试题分析：由已知得，131i i+-(13)(1i)2412(1i)(1i)2i i i ++-+===-+-+，选B ． 考点：复数的运算．3．C【解析】试题分析：若0x x =是函数()f x 的极值点，则'0()0f x =；若'0()0f x =，则0x x =不一定是极值点，例如3()f x x =，当0x =时，'(0)0f =，但0x =不是极值点，故p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件，选C ．考点：1、函数的极值点；2、充分必要条件．4．A【解析】 试题分析：由已知得，22210a a b b +⋅+=r r r r ，2226a a b b -⋅+=r r r r ，两式相减得，44a b ⋅=r r ，故1a b ⋅=r r ．考点：向量的数量积运算．5．A【解析】试题分析：由已知得，2428a a a =⋅，又因为{}n a 是公差为2的等差数列，故2222(2)(6)a d a a d +=⋅+，22(4)a +22(12)a a =⋅+，解得24a =，所以2(2)n a a n d =+-2n =，故1()(n 1)2n n n a a S n +==+． 【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n 项和．6．C【解析】试题分析：由三视图还原几何体为一个小圆柱和大圆柱组成的简单组合体．其中小圆柱底面半径为2、高为4，大圆柱底面半径为3、高为2，则其体积和为22243234πππ⨯⨯+⨯⨯=，而圆柱形毛坯体积为23654ππ⨯⨯=，故切削部分体积为20π，从而切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为20105427ππ=． 考点：三视图．7．C【解析】试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B =I ，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以111111133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==． 考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．8．D【解析】试题分析：输入2,2x t ==，在程序执行过程中，,,M S k 的值依次为1,3,1M S k ===；2,5,2M S k ===；2,7,3M S k ===，程序结束，输出7S =．考点：程序框图．9．B【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数2z x y =+变形为122z y x =-+，当z 取到最大值时，直线122z y x =-+的纵截距最大，故只需将直线12y x =-经过可行域，尽可能平移到过A 点时，z 取到最大值．10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，得(3,2)A ，所以max z 3227=+⨯=．考点：线性规划．10．C【解析】 试题分析：由题意，得3(,0)4F ．又因为0k tan 30==故直线AB 的方程为3y )4=-，与抛物线2=3y x 联立，得21616890x x -+=，设1122(x ,y ),(x ,y )A B ，由抛物线定义得，12x x AB p =++=168312162+=，选C ． 考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义．11．D【解析】试题分析：'1()f x k x =-，由已知得'()0f x ≥在()1,x ∈+∞恒成立，故1k x≥，因为1x >，所以101x<<，故k 的取值范围是[)1,+∞． 【考点】利用导数判断函数的单调性．12．A【解析】试题分析：依题意，直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，过O 作OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt OMA ∆中，因为OMA ∠045=，故0sin 45OA OM ==1≤，所以OM ≤≤011x -≤≤．考点：1、解直角三角形；2、直线和圆的位置关系．13．13 【解析】试题分析：甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有9种不同的结果，分别为（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）．他们选择相同颜色运动服有3种不同的结果，即（红，红），（白，白），（蓝，蓝），故他们选择相同颜色运动服的概率为3193P ==． 考点：古典概型的概率计算公式．14．1【解析】试题分析：由已知得，()sin cos cos sin 2cos sin f x x x x ϕϕϕ=+-sin cos cos sin x x ϕϕ=-sin()x ϕ=-1≤，故函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为1．考点：1、两角和与差的正弦公式；2、三角函数的性质．15．3【解析】试题分析：因为)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，故(3)(1)3f f ==，又因为)(x f y =是偶函数，故(1)(1)3f f -==．考点：1、函数图象的对称性；2、函数的奇偶性．16．12． 【解析】试题分析：由已知得，111n n a a +=-，82a =，所以781112a a =-=，67111a a =-=-，56112a a =-=， 451112a a =-=，34111a a =-=-，23112a a =-=，121112a a =-=．三、解答题（17）解：（I ）由题设及余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅=1312cos C - ， ①2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅54cos C =+. ②由①，②得1cos 2C =，故060C =，7BD = （Ⅱ）四边形ABCD 的面积11sin sin 22S AB DA A BC CD C =⋅+⋅ 011(1232)sin 6022=⨯⨯+⨯⨯ 23=（18）解：（I ）设BD 与AC 的交点为O ，连结EO.因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB.EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC,所以PB ∥平面AEC.（Ⅱ）V 166PA AB AD AB =⋅⋅=.由4V =，可得32AB =.作AH PB ⊥交PB 于H 。
评讲-2014高数A2期末试题A
西南科技大学2014-2015学年第2学期 《高等数学A2》本科期末考试试卷（A 卷）（C ）22x y +≤⎰⎰（D ）22x y +≤⎰⎰4．函数333()zx y x y =+--的极值点是（ D ）。
（A ）(1,2) （B ）(1,2)- （C ）(1,2)- （D ）(1,1)--5．设区域D由直线23x y +=与两坐标轴0,0x y ==围成，且1l n ()DI x y d x dy =+⎰⎰，22()DI x y dxdy =+⎰⎰，33()DI x y dxdy =+⎰⎰，则有（ B ）。
（A ）123I I I ≤≤ （B ）132I I I ≤≤ （C ）312I I I ≤≤ （D ）231I I I ≤≤三、解答题（共6个小题，每小题8分，共48分）1．求极限20x y x y →→。
解：200x y →→223001)lim1x yx y x y e→→+=-分2322001)lim 2x y x y x y →→+==--分分2．设221()(3)z f xy x g x y y =++，其中,f g 具有二阶连续导数，求2z x y∂∂∂。
解：2221()(3)(3)z f xy y g x y xg x y x y∂''=++++∂ 4分 2zx y∂∂∂22()3(3)3(3)xyf xy g x y x g x y '''''=++++ 4分3．求内接于半径为R 的球的最大长方体的体积。
解：设球方程：2222x y z R ++= ，长方体在第一卦限的顶点坐标为(,,)x y z ，则体积8V xyz =， 3分令2222()F xyz x y z R =+++-λ，可解得驻点为唯一，3分故：3max 9V R =2分4．计算211y xI dx e dy -=⎰⎰。
解：I 241yy edy dx -=⎰⎰分222111(1)2y yedy e-==-⎰分分5．求[sin 5()](cos )x x LI e y x y dx x e y dy =-+++⎰，其中L 是从点(2,0)A 沿曲线y =O(0,0)的弧段。
2014年上海卷高考数学试题详解
2014年上海卷高考数学试题详解一、填空题【1】（A ，上海，理1）函数212cos (2)y x =-的最小正周期是______. 考点名称：三角恒等变形 【1】（A ，上海，理1）2π解析：因212cos (2)1(1cos4)y x x =-=-+=cos 4x -，所以2T π=.【2】（A ，上海，理2）若复数12z i =+，其中i 是虚数单位，则1z z z ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭=________. 考点名称：复数 【2】（A ，上海，理2）6 解析：11516z z z z z ⎛⎫+⋅=⋅+=+= ⎪⎝⎭.【3】（A ，上海，理3）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_______.考点名称：圆锥曲线及其标准方程 【3】（A ，上海，理3）2x =-解析：因椭圆22195x y +=的2c =，所以22p =，所以抛物线的准线方程为2x =-.【4】（A ，上海，理4）设2,(,),(),[,.x x a f x x x a ∈-∞⎧=⎨∈+∞⎩ 若(2)4f =，则a 的取值范围为_____.考点名称：函数的概念及其性质 【4】（A ，上海，理4）2a ≤解析：因2(2)42f ==，所以2[,)a ∈+∞，即2a ≤.【5】（A ，上海，理5）若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为_____. 考点名称：不等式及其性质【5】（A ，上海，理5）解析：2222122x y y y+=+≥【6】（A ，上海，理6）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面所成的角的大小为_______（结果用反三角函数值表示）. 考点名称：空间几何体【6】（A ，上海，理6）1arccos3解析：设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，母线与底面所成的角为θ，由已知得21232r l r ππ⋅⋅=，1cos 3r l θ==，1arccos 3θ=.【7】（A ，上海，理6）已知曲线C 的极坐标方程为(3cos ρθ-4sin )1θ=， 则C 与极轴的交点到极点的距离是_____.考点名称：极坐标系与参数方程 【7】（A ，上海，理6）13解析：法1把极坐标方程化成直角坐标方程得341x y -=，令0y =得13x =，所以C 与极轴的交点到极点的距离是13. 法2 令0θ=得13ρ=，所以C 与极轴的交点到极点的距离是13.【8】（B ，上海，理8）设无穷数列{}n a 的公比是q .若134lim()n n a a a a →∞=+++，则q =______.考点名称：数列极限 【8】（B ，上海，理8解析：2334(1)lim()lim 1n n n n a q a a a q -→∞→∞-+++=-221111lim .11n n a q a q a q a q q→∞-===--解得q =.【9】（B ，上海，理9） 缺题【9】（B ，上海，理9）【10】（B ，上海，理10）为强化安全意识，某商场拟在未来连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择3天恰好为连续3天的概率是_______（结果用最简分数表示）. 考点名称：概率【10】（B ，上海，理10）115解析：总的事件数为310C ，发生事件数为1,2,3;2,3,4;;8,9,10公有8种，故所求概率为：3108115C =.【11】（B ，上海，理11）已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合22{,}{,}a b a b =，则a b +=______. 考点名称：复数【11】（B ，上海，理11）-1解析：法1 若22,,a a b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 则0,1,0,1,a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩0,1,1,0,a ab b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩（舍）； 若22,,a b b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩则4a a =，那么0a =（舍）或1a =（舍）或121,22a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩或121,22a b ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩1a b +=-. 综合上述，1a b +=-.法2 4a a =， 321=(1)(1)a a a a --++0=， 因1a ≠，所以21a a +=-，即 1a b +=-.【12】（B ，上海，理12）设常数a使方程sin x x a =在闭区间[0,2]π恰有三个解123,,x x x ，则123x x x ++=_____.考点名称：三角函数及图像 【12】（B ，上海，理12）73π解析：方程sin x x a =， 即2sin()3a x π=+，作图可知在闭区间[0,2]π恰有三个解当且仅当1a =，此时1230,,3x x x π===1237.3x x x π++=【13】（B ，上海，理13）某游戏得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩游戏得分，若() 4.2E ξ=，则小白得5分的概率至少为_____. 考点名称：统计【13】（C ，上海，理13）0.2解析: 各分数对应的概率非负是隐含条件，要充分利用.法1 设得分为1,2,3,4,5的概率分别为12,,p p 3p ，45,p p ，因12p p +3p ++451p p +=且122p p +33p ++4545p p +=4.2，所以54.25p -=122p p +33p ++44p 123454()4(1)p p p p p ≤+++=-，50.2p ≥. 法2 123451p p p p p ++++=， ① 123452345 4.2p p p p p ++++=， ②① ×6- ②1234554326 4.2 1.8p p p p p ++++=-= 12345554322 1.8p p p p p p ++++=+，即1235232 1.8p p p p +++=+，51230.2320p p p p -=++≥，0.2p ≥.二、选择题【14】（C ，上海，理14）已知曲线:C x = 直线:6l x =.若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P和 l 上的点Q ，使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为______. 考点名称：交汇与整合（向量与解析几何） 【14】（C ，上海，理14）[2,3]m ∈ 解析：法1设3(2cos ,2sin ),[,]22P ππθθθ∈，(6,)Q n .则(2cos 62,2sin )0AP AQ m n θθ+=+-+=， 2cos 620,2sin 0.m n θθ+-=⎧⎨+=⎩则cos m θ=3[2,3].+∈ 法 2 由0AP AQ +=得AP AQ =-，表明点,P Q 关于点A 对称，设(6,)Q n ，则(26,)P m n --在半圆上，则260m -=≤，3m ≤.又当,P Q 在x 轴上时，2m =，所以[2,3].m ∈二、选择题【15】（A ，上海，理15若,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的 （ ） A ．充分非必要条件 B.必要非充分条件 C ．充要条件 D.既非充分也非必要条件 考点名称：常用逻辑关系 【15】（A ，上海，理15）B解析：由同向不等式可以相加的性质知：由2a >且2b >可得4a b +>，但反之不真，故选B.【16】（B ，上海，理16）如图，四个棱长为1的正方体拼成一个正四棱柱，(1,2,,8)i P i =是上底面上的八个点，则i AB AP ⋅(1,2,,8)i =不同值的个数为 （ ）A.1B. 2C. 4D. 8考点名称：交汇与整合（向量与立体几何） 【16】（B ，上海，理16）A解析：因||1AB =，所以要求||i AP 以及AB 与i AP (1,2,,8)i =的夹角.由图可知13||||2AP AP ==，1cos BAP∠=3cos BAP ∠=13|1AB AP AB AP ⋅=⋅=. 同理可得其余|||1i AB AP ⋅=，故选A. 法2 因i AB BP ⊥，所以0i AB BP ⋅=.又i i AP AB BP =+，从而()i i AB AP AB AB BP ⋅=⋅+221i AB AB BP AB =+⋅==.法3 以A 为原点，AB 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,1),(,,1)i AB AP x y ==，其中,x y 为0，1，2中的某数，则 1i AB AP ⋅=.【17】（C ，上海，理17）已知11(,)P a b 与22(,)P a b 是直线1y kx =+ （k 为常数）上的不同两个点，则关于x 和y 的方程组 11221,1.a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是 （ ）A ． 无论k 、1P 、2P 如何，总是无解 B.无论k 、1P 、2P 如何，总有唯一解 C. 存在k 、1P 、2P ，使之恰有两解 D.存在k 、1P 、2P ，使之有无穷多组解 考点名称：直线【17】（C ，上海，理17）B解析：把11(,)P a b 代入直线y kx b =+得111b ka =+，即111ka b -+=. 同理可得221ka b -+=.若0k ≠，则,1x k y =-=是方程组11221,1.a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的唯一解.若0k =，则12b b =，由此可得12a a =，与已知矛盾，选B.【18】（C ，上海，理18）设2(),0,()1,0.x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 取值范围为（ ）A ．[1,2]- B.[1,0]- C. [1,2] D. [0,2] 考点名称：函数的概念与性质 【18】（C ，上海，理18）D解析：本题中变量是x ，参数是a ，要根据变量的范围讨论参数.当0x ≤时，若0a <，则()f x 的最小值为()f a ，不满足题意，故0a ≥，此时()f x 在(,0]-∞的最小值为2(0)f a =，而在(0,)+∞上1()2f x x a a x=++≥+，故此时()f x 的最小值为2a +. 由题意，22a a +≥，解得12a -≤≤，又0a ≥，所以[0,2]a ∈，选D.三、解答题【19】（A ，上海，理19）底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是三角形123PP P ，如图，求123PP P ∆的各边长及此三棱锥的体积V . 考点名称：空间几何体解析: 依题意：123PP P ∆是边长为4的正三角形，折叠后是棱长为2的正四面体P ABC -（如图）.设顶点P 在底面ABC 内的投影为O ，连接BO ，并延长交AC 于D ，则D为AC 中点，O 为ABC ∆的重心，PO ⊥底面ABC .AO AB PO ====13P ABC ABC V S PO -∆=⋅⋅=【20】（A ，上海，理20）设常数0a ≥，函数2()2x x af x a+=-.（1）若4a =，求函数()y f x =的反函数1()y f x -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由. 考点名称：指对数函数 【20】（A ，上海，理20）解析：（1）由2424x x y +=-得4(1)21x y y +=-，取对数212log 1y x y +=+-，对调,x y得121()2log ,1x fx x -+=+-(,1)(0,)x ∈-∞-+∞. （2）判断函数奇偶性常用定义，有时也可通过()()0f x f x -+=或()()0f x f x --=来判断奇偶性. 法1 若0a =，()1f x =对x ∈R 恒成立，()y f x =是偶函数.若0a >，212()212x xx xa a f x a a --++⋅-==--⋅，当且仅当1a =时，()()f x f x -=-，()y f x =是奇函数.当0a ≠且1a ≠时，定义域为{2log ,}x x a x R ≠∈，定义域不关于原定对称， 故()y f x =为非奇非偶函数法2若0a >，()()0f x f x -+=，则2120212x xxxa a a a --++⋅+=--⋅，整理得(2)(1)21x a a a +⋅-⋅=-. 因0a >，所以1a =，()y f x =是奇函数. 【21】（B ，上海，理21）如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米，设A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为βα和.（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后.CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得，， 45.1812.38==βα求CD 的长（结果精确到0.01米）？ 考点名称：解三角形【21】（B ，上海，理21） 解析：（1）设CD h =，则tan ,tan 3580h hαβ==. 因2αβ≥，所以22tan tan tan 21tan βαββ≥=-，即2280351()80h h h ⋅≥-，28.28h ≤=≈（米）. （2）018038.1218.45123.43ADC ∠=--=，在ACD !中，sin sin AB AD ADC ABD =∠∠，0sin 115sin18.45sin sin123.43AB ABD AD ADC ⋅∠⋅==≈∠ 43.61. ACD !中，DC =26.93≈.【22】（C ，上海，理22）在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.⑴ 求证：点），（），（012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔；⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；⑶动点M 到点）（2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线. 考点名称：直线与圆锥曲线 【22】（C ，上海，理22）解析：理解点被直线分隔、直线为曲线的一条分隔线是解题的关键.（1）、（2）只需直接用题设的定义即可.(1) 因(121)(12)0+-⋅--<，所以又定义知，点A 、B 被直线10x y +-=分隔. (2) 双曲线的渐近线为12y x =±，当12k ≤-或12k ≥时，把y kx =代入双曲线2241x y -=得 22(14)1k x -=.因2140k -≤，故上述方程无实数解，即直线y kx =与双曲线2241x y -=不相交，又存在两点(1,0),(1,0)-满足20k η=-<，根据分隔线的定义，12k ≤-或12k ≥. （3）法1设(,)M x y ，根据题设得E||1x =(0)x ≠ .因0x =不满足上述方程，且以x -代x 上述方程不变知曲线关于y 对称，所以直线0x =是E 的一条分隔线.若y kx =是E 的另一条分隔线，代入E 的方程得222[(2)]1x kx x +-⋅=.要直接证明这个方程有解是困难的，变形为2221(2)x kx x +-=，记221(2)y x kx =+-，221y x =，则1y 是开口向上的二次函数，2y 是关于y 轴对称的幂函数，它们总有交点，即直线y kx =与E 有交点，与分隔线的定义矛盾.所以E 有且仅有一条分隔线0x =. 法2 （数形结合法）曲线E ：(,)10F x y x =-=满足： 由(,)(,)F x y F x y -=知，曲线E 关于y 轴对称； 由(,)(,4)F x y F x y =-知，曲线E 关于y =2轴对称； 由(,)(,4)F x y F x y =--知，曲线E 关于点(0,2)轴对称；222110(2)=0x y x x-=⇒--≥，[)(]1,00,1,x ∈-取曲线E 在y 右侧且20x →时y 趋于无穷大，可得y 轴为曲线E 的渐进性，得曲线E 上点的纵坐标范围为y R ∈，数形结合可得曲线E上任意一点与原点连线的斜率范围为R ，即过原点而斜率存在的直线一定与曲线E 相交，故都不是曲线E 的分隔线.即通过原点的直线中，有且仅有一条直线y 轴是E 的分隔线.法3 （函数方程思想）对于任意一条直线()y a a R =∈与曲线E：(,)10F x y x =-=，由(),10.y a a R x =∈⎧-=得422(2)10x a x +--=，令2t x =，得22(2)10t a t +--=.因2(2)40a ∆=-+>恒成立，且1210t t =-<，所以方程有正实数解0t ，存在与之相应的00x ≠，从而在E 上存在00(,)x y ，其与原点连线的直线斜率存在.即过原点而斜率存在的直线一定与曲线E 相交，故都不是曲线E 的分隔线. 所以，通过原点的直线中，有且仅有一条直线y 轴是E 的分隔线. 【23】（A ，上海，理23）已知数列{}n a 满足1113,*,13n n n a a a n N a +≤≤∈=. （1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）若{}n a 是公比为q 等比数列，12n n S a a a =+++，113,*,3n n n S S S n N +≤≤∈求q 的取值范围；（3）若12,,,k a a a 成等差数列，且121000k a a a +++=，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差.考点名称：数列的综合应用 【23】（A ，上海，理23）解析：（1）由条件可得1232,3133,3x x x ⎧⋅≤≤⋅⎪⎪⎨⎪⋅≤≤⎪⎩ 26,33,x x ⎧≤≤⎪⎨⎪≤≤⎩ 36x ≤≤.（2）法1 求公比q 的取值范围，应该是越小越准确.首先要考虑1n =的情况，其次用求和公式还要考虑公比q 是否为1.当1n =时，12112113,313,3a a a S S S ⎧⋅≤≤⋅⎪⎪⎨⎪⋅≤≤⎪⎩13,3113,3q q ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤+≤⎪⎩ 123q ≤≤. 当2n ≥时，若1q =，则133n n n ≤≤恒成立. 若1q ≠，则1111(1)(1)(1)13.3111n n n a q a q a q q q q +---⋅≤≤⋅--- 若10q ->，则113(1)9(1)n n n q q q +-≤⋅-≤⋅-，即19(1)n n q q -≤⋅-，所以1n q ≤.又123q ≤≤以及10q ->，所以11.3q ≤< 若10q -<，113(1)9(1)n n n q q q +-≥⋅-≥⋅-，1q >，又123q ≤≤，所以12q <≤. 综合上述，123q ≤≤. 法2 由已知得11111120,,32.3,n n n n n n n n S a S S a S S S +++++⎧+≥≤⎧⎪⎨⎨≤⎩⎪≤⎩ 11112320,1113220.11n n n n n n n n q q q q q q q q q q q q +++⎧-+-⋅+=≥⎪--⎪⎨--+⎪-⋅=≤⎪--⎩①当1[,1)3q ∈时，(3)2,(31) 2.n n q q q q ⎧-≤⎨-≤⎩因nq q ≤，所以对*n N ∈，max [(3)](3)n q q q q -=-，max[(31)](31)n q q q q -=-，所以11(3)2,(31) 2.q q q q ⎧-≥-⎨-≤⎩ 解得1[,1)3q ∈.②当(1,3]q ∈时，(3)2,(31) 2.n n q q q q ⎧-≥⎨-≥⎩，因n q q ≤，所以对*n N ∈，min [(3)](3)nq q q q -=-，min[(31)](31)nq q q q -=-，所以，(3)2,(31) 2.q q q q -≥⎧⎨-≥⎩解得(1,2]q ∈. 综合上述，1[,2]3q ∈.法2 （3）设公差为d ，当1n =时，1133d ≤+≤，223d -≤≤. 当2n ≥时，由已知得1[1(1)]13[1(1)]3n d nd n d +-≤+≤+-，(23)2,(21) 2.d n d n -≥-⎧⎨+≥-⎩2[,2]21d n ∈-+. 因121000k a a a +++=下标最大值为k ，所以1k n =+，2121n k +=-，故2[,2]21d k ∈-- 由121000k a a a ++=得(1)10002k k d k -+=，220002k d k k -=-，所以2200022[,2]21k k k k -∈---， 22200022,21200022,kk k k k k k -⎧≥-⎪⎪--⎨-⎪≤⎪-⎩22200010000,1000.k k k ⎧-+≤⎪⎨≥⎪⎩ 解得321999,k ≤≤k N *∈，所以k 的最大值为1999，此时公差为11999d =-. 【22】（C ，上海，文22）在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.⑴ 求证：点），（），（012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔；⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；⑶动点M 到点）（2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明y 轴为E 的分割线.考点名称：直线与圆锥曲线 解法同理科【23】（C ，上海，文23）已知数列{}n a 满足1113,*,13n n n a a a n N a +≤≤∈=.11 （1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）若{}n a 是等比数列，且11000n a = ，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的公比； （3）若12100,,,a a a 成等差数列，求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围. 考点名称：数列的综合应用【23】（C ，上海，文23）解析：（1）解法同理科（2）因11a =，11000n a =，所以1q < ，同理科可得113q ≤<.由已知 131101000m m a q --===，*m N ∈，所以 (1)lg 3m q -=-，3110m q -=， 从而3111013m -≤<，31lg3m ≥+，min 8m =，此时3710q -=.（3）同理科12k a a a +++，有2[,2]21d k ∈--，当100k =时，2[,2]199d ∈-.。
2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(上海卷带解析)答案解析
数学答案解析
1、
【答案】
【解析】由题意 ，
【考点】三角函数的周期.
2、
【答案】6
【解析】由题意
【考点】复数的运算.
3、
【答案】 .
【解析】椭圆 的右焦点为 ，因此 ， ，准线方程为 .
【考点】椭圆与抛物线的几何性质合题意，因此 ，此时 时， ，满足 .
试题解析：（1）由题得， ，∴ 被直线 分隔.
（2）由题得，直线 与曲线 无交点
即 无解
∴ 或 ，∴ .
又对任意的 ，点 和 在曲线 上，满足 ，被直线 分隔，所以所求 的范围是 ．
（3）由题得，设 ，∴ ，
化简得，点 的轨迹方程为
①当过原点的直线斜率存在时，设方程为 .
联立方程， .
令 ，因为 ，
所以方程 有实解，直线 与曲线 有交点．直线 不是曲线 的分隔线．
②当过原点的直线斜率不存在时，其方程为 .
显然 与曲线 没有交点，又曲线 上的两点 对于直线 满足 ，即点 被直线 分隔．所以直线 是 分隔线．
试题解析：（1）由 ，解得 ，从而 ，
∴ ，
∵ 且
∴①当 时， ，
∴对任意的 都有 ，∴ 为偶函数
②当 时， ， ，
∴对任意的 且 都有 ，∴ 为奇函数
③当 且 时，定义域为 ，
∴定义域不关于原定对称，∴ 为非奇非偶函数
【考点】反函数，函数奇偶性．
21、
【答案】（1） 米；（2） 米．
【解析】
试题分析：这属于解三角形问题，条件 可转化为 ，即 ，而 可用 的长表示出来，从而得到关于 的不等式，解之可得所求结论；（2）根据已知条件，要求 的长，可在 或 中解得，由此要求得 或 的长，然后利用余弦定理，求得 ， 而 或 两边要 中，可用正弦定理求得．
2014年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷2 数学试卷含答案(理科)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)理数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},则M∩N=()A.{1}B.{2}C.{0,1}D.{1,2}2.设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=( )A.-5B.5C.-4+iD.-4-i3.设向量a,b满足|a+b|=√10,|a-b|=√6,则a·b=()A.1B.2C.3D.54.钝角三角形ABC的面积是12,AB=1,BC=√2,则AC=( )A.5B.√5C.2D.15.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A.0.8B.0.75C.0.6D.0.456.如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.137.执行下面的程序框图,如果输入的x,t均为2,则输出的S=( )A.4B.5C.6D.78.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=( )A.0B.1C.2D.39.设x,y满足约束条件{x+y-7≤0,x-3y+1≤0,3x-y-5≥0,则z=2x-y的最大值为( )A.10B.8C.3D.210.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( )A.3√34B.9√38C.6332D.9411.直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN 所成角的余弦值为( )A.110B.25C.√3010D.√2212.设函数f(x)=√3sinπxm.若存在f(x)的极值点x0满足x02+[f(x0)]2<m2,则m的取值范围是( )A.(-∞,-6)∪(6,+∞)B.(-∞,-4)∪(4,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a= .(用数字填写答案)14.函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为.15.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是.16.设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(Ⅰ)证明{a n+12}是等比数列,并求{a n}的通项公式;(Ⅱ)证明1a1+1a2+…+1a n<32.18.(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面AEC;(Ⅱ)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=√3,求三棱锥E-ACD的体积.19.(本小题满分12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如下表:年 份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(Ⅰ)求y 关于t 的线性回归方程;(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: b ^=∑i=1n(t i -t )(y i -y )∑i=1n(t i -t )2,a ^=y -b ^t .20.(本小题满分12分)设F 1,F 2分别是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左,右焦点,M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直.直线MF 1与C 的另一个交点为N.(Ⅰ)若直线MN 的斜率为34,求C 的离心率;(Ⅱ)若直线MN 在y 轴上的截距为2,且|MN|=5|F 1N|,求a,b.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=e x-e-x-2x.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x>0时,g(x)>0,求b的最大值;(Ⅲ)已知1.414 2<√2<1.414 3,估计ln 2的近似值(精确到0.001).请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,P是☉O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与☉O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交☉O于点E.证明:(Ⅰ)BE=EC;(Ⅱ)AD·DE=2PB2.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标].方程为ρ=2cos θ,θ∈[0,π2(Ⅰ)求C的参数方程;(Ⅱ)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=√3x+2垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程,确定D的坐标.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲|+|x-a|(a>0).设函数f(x)=|x+1a(Ⅰ)证明:f(x)≥2;(Ⅱ)若f(3)<5,求a的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)一、选择题1.D 由已知得N={x|1≤x ≤2},∵M={0,1,2},∴M∩N={1,2},故选D.2.A 由题意得z 2=-2+i,∴z 1z 2=(2+i)(-2+i)=-5,故选A.3.A 由|a+b |=√10得a 2+b 2+2a ·b =10,① 由|a-b |=√6得a 2+b 2-2a ·b =6,② ①-②得4a ·b =4,∴a ·b =1,故选A.4.B S △ABC =12AB ·BCsin B=12×1×√2sin B=12,∴sin B=√22,若B=45°,则由余弦定理得AC=1,∴△ABC 为直角三角形,不符合题意,因此B=135°,由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BCcos B=1+2-2×1×√2×(-√22)=5,∴AC=√5.故选B.5.A 由条件概率可得所求概率为0.60.75=0.8,故选A.6.C 由三视图知该零件是两个圆柱的组合体.一个圆柱的底面半径为2 cm,高为4 cm;另一个圆柱的底面半径为3 cm,高为2 cm.设零点的体积V 1=π×22×4+π×32×2=34π(cm 3).而毛坯的体积V=π×32×6=54π(cm 3),因此切削掉部分的体积V 2=V-V 1=54π-34π=20π(cm 3),所以V 2V =20π54π=1027.故选C.评析 本题考查了三视图和圆柱的体积,考查了空间想象能力和运算求解能力,正确得到零件的直观图是求解的关键. 7.D k=1,M=11×2=2,S=2+3=5;k=2,M=22×2=2,S=2+5=7; k=3,3>t,∴输出S=7,故选D.8.D y'=a-1x+1,x=0时,y'=a-1=2,∴a=3,故选D.9.B 由约束条件得可行域如图阴影部分所示.由{x +y -7=0,x -3y +1=0得A(5,2).当直线2x-y=z 过点A 时,z=2x-y 取得最大值.其最大值为2×5-2=8.故选B.10.D 易知直线AB 的方程为y=√33(x -34),与y 2=3x 联立并消去x 得4y 2-12√3y-9=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则y 1+y 2=3√3,y 1y 2=-94.S △OAB =12|OF|·|y 1-y 2|=12×34√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=38√27+9=94.故选D.评析 本题考查了直线与抛物线的位置关系,考查了数形结合和运算求解的能力.利用根与系数的关系进行整体运算是求解的关键.11.C 解法一:取BC 的中点Q,连结QN,AQ,易知BM ∥QN,则∠ANQ 即为所求, 设BC=CA=CC 1=2, 则AQ=√5,AN=√5,QN=√6, ∴cos∠ANQ=AN 2+NQ 2-AQ 22AN ·NQ =2√5×√6=2√30=√3010,故选C.解法二:以C 1为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设BC=CA=CC 1=2,则A(2,0,2),N(1,0,0),M(1,1,0),B(0,2,2),∴AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,-2),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,-2),∴cos<AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×√6=√30=√3010,故选C. 12.C f '(x)=√3πm cos πx m, ∵f(x)的极值点为x 0, ∴f '(x 0)=0,∴√3πm cos πx 0m=0, ∴πm x 0=kπ+π2,k ∈Z , ∴x 0=mk+m2,k ∈Z ,又∵x 02+[f(x 0)]2<m 2,∴(mk +m 2)2+[√3sin (kπ+π2)]2<m 2,k ∈Z , 即m 2(k+12)2+3<m 2,k ∈Z ,∵m≠0,∴(k +12)2<m 2-3m 2,k ∈Z ,又∵存在x 0满足x 02+[f(x 0)]2<m 2,即存在k ∈Z 满足上式,∴m 2-3m 2>[(k +12)2]min,∴m 2-3m >(12)2,∴m 2-3>m 24,∴m 2>4,∴m>2或m<-2,故选C.评析 本题考查了函数的极值问题,三角函数求值、恒成立等问题.考查分析问题、解决问题的能力. 二、填空题 13.答案12解析 T r+1=C 10r x 10-r a r ,令10-r=7,得r=3, ∴C 103a 3=15,即10×9×83×2×1a 3=15,∴a 3=18,∴a=12.14.答案 1解析 f(x)=sin[(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ+cos(x+φ)sinφ-2sin φcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ-sin φcos(x+φ)=sin(x+φ-φ)=sin x,∴f(x)的最大值为1.15.答案(-1,3)解析∵f(2)=0, f(x-1)>0,∴f(x-1)>f(2),又∵f(x)是偶函数且在[0,+∞)上单调递减,∴f(|x-1|)>f(2),∴|x-1|<2,∴-2<x-1<2,∴-1<x<3,∴x∈(-1,3).评析本题考查了偶函数的性质,利用f(|x|)=f(x)是求解的关键.16.答案[-1,1]解析解法一:当x 0=0时,M(0,1),由圆的几何性质得在圆上存在点N(-1,0)或N(1,0),使∠OMN=45°.当x0≠0时,过M作圆的两条切线,切点为A、B.若在圆上存在N,使得∠OMN=45°,应有∠OMB≥∠OMN=45°,∴∠AMB≥90°,∴-1≤x0<0或0<x0≤1.综上,-1≤x0≤1.解法二:过O作OP⊥MN,P为垂足,OP=OM·sin 45°≤1,,∴OM2≤2,∴x02+1≤2,∴x02≤1,∴-1≤x0≤1.∴OM≤1sin45°评析 本题考查了数形结合思想及分析问题、解决问题的能力.三、解答题17.解析 (Ⅰ)由a n+1=3a n +1得a n+1+12=3(a n +12).又a 1+12=32,所以{a n +12}是首项为32,公比为3的等比数列. a n +12=3n 2,因此{a n }的通项公式为a n =3n -12.(Ⅱ)由(Ⅰ)知1a n =23n -1. 因为当n ≥1时,3n -1≥2×3n-1,所以13n -1≤12×3n -1. 于是1a 1+1a 2+…+1a n ≤1+13+…+13n -1=32(1-13n )<32. 所以1a 1+1a 2+…+1a n <32. 评析 本题考查了等比数列的定义、数列求和等问题,放缩求和是本题的难点.18.解析 (Ⅰ)连结BD 交AC 于点O,连结EO.因为ABCD 为矩形,所以O 为BD 的中点.又E 为PD 的中点,所以EO ∥PB.又EO ⊂平面AEC,PB ⊄平面AEC,所以PB ∥平面AEC.(Ⅱ)因为PA ⊥平面ABCD,ABCD 为矩形,所以AB,AD,AP 两两垂直.如图,以A 为坐标原点,AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴的正方向,|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |为单位长,建立空间直角坐标系A-xyz,则D(0,√3,0),E (0,√32,12),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√32,12).设B(m,0,0)(m>0),则C(m,√3,0),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,√3,0). 设n 1=(x,y,z)为平面ACE 的法向量,则{n 1·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{mx +√3y =0,√32y +12z =0, 可取n 1=(√3m ,-1,√3).又n 2=(1,0,0)为平面DAE 的法向量,由题设|cos<n 1,n 2>|=12,即√33+4m 2=12,解得m=32. 因为E 为PD 的中点,所以三棱锥E-ACD 的高为12. 三棱锥E-ACD 的体积V=13×12×√3×32×12=√38.评析 本题考查线面平行的判定,利用空间向量解二面角问题,考查了学生的空间想象能力.19.解析 (Ⅰ)由所给数据计算得 t =17×(1+2+3+4+5+6+7)=4, y =17×(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3, ∑i=17(t i -t )2=9+4+1+0+1+4+9=28, ∑i=17(t i -t )(y i -y )=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,b ^=∑i=17(t i -t)(y i -y)∑i=17(t i -t)2=1428=0.5, a ^=y -b ^t =4.3-0.5×4=2.3,所求回归方程为y ^=0.5t+2.3.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,b ^=0.5>0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.将2015年的年份代号t=9代入(Ⅰ)中的回归方程,得y ^=0.5×9+2.3=6.8,故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.评析 本题考查了回归直线方程的求解,注意回归直线恒过点(t ,y )是关键,考查了回归系数b ^的几何意义.考查了学生的计算求解能力.20.解析 (Ⅰ)根据c=√a 2-b 2及题设知M (c,b 2a ),2b 2=3ac. 将b 2=a 2-c 2代入2b 2=3ac,解得c a =12或c a =-2(舍去).故C 的离心率为12.(Ⅱ)由题意,得原点O 为F 1F 2的中点,MF 2∥y 轴,所以直线MF 1与y 轴的交点D(0,2)是线段MF 1的中点,故b 2a =4,即b 2=4a.① 由|MN|=5|F 1N|得|DF 1|=2|F 1N|.设N(x 1,y 1),由题意知y 1<0,则{2(-c -x 1)=c,-2y 1=2,即{x 1=-32c,y 1=-1.代入C 的方程,得9c 24a 2+1b 2=1.②将①及c=√a 2-b 2代入②得9(a 2-4a)4a 2+14a =1. 解得a=7,b 2=4a=28,故a=7,b=2√7.评析 本题考查了椭圆的几何性质,考查用代数方法研究圆锥曲线问题及向量的运算等基础知识.21.解析 (Ⅰ)f '(x)=e x +e -x -2≥0,等号仅当x=0时成立.所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.(Ⅱ)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e 2x -e -2x -4b(e x -e -x )+(8b-4)x,g'(x)=2[e 2x +e -2x -2b(e x +e -x )+(4b-2)]=2(e x +e -x -2)(e x +e -x -2b+2).(i)当b≤2时,g'(x)≥0,等号仅当x=0时成立,所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增.而g(0)=0,所以对任意x>0,g(x)>0.(ii)当b>2时,若x满足2<e x+e-x<2b-2,即0<x<ln(b-1+√b2-2b)时,g'(x)<0.而g(0)=0,因此当0<x≤ln(b-1+√b2-2b)时,g(x)<0.综上,b的最大值为2.-2√2b+2(2b-1)ln 2.(Ⅲ)由(Ⅱ)知,g(ln√2)=32当b=2时,g(ln√2)=3-4√2+6ln 2>0,2>0.692 8;ln 2>8√2-312+1时,ln(b-1+√b2-2b)=ln√2,当b=3√24-2√2+(3√2+2)ln 2<0,g(ln√2)=-32<0.693 4.ln 2<18+√228所以ln 2的近似值为0.693.评析本题考查了导数的应用,同时考查了分类讨论思想和运算能力.22.解析(Ⅰ)连结AB,AC,由题设知PA=PD,故∠PAD=∠PDA.因为∠PDA=∠DAC+∠DCA,∠PAD=∠BAD+∠PAB,∠DCA=∠PAB,⏜=EC⏜.所以∠DAC=∠BAD,从而BE因此BE=EC.(Ⅱ)由切割线定理得PA2=PB·PC.因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB,由相交弦定理得AD·DE=BD·DC,所以AD·DE=2PB2.评析本题考查了圆的切割线定理,相交弦定理.考查了推理论证能力.23.解析(Ⅰ)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).可得C的参数方程为{x=1+cost,y=sint(t为参数,0≤t≤π).(Ⅱ)设D(1+cos t,sin t).由(Ⅰ)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆. 因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同,tan t=√3,t=π3.故D的直角坐标为(1+cosπ3,sinπ3),即(32,√32).评析本题考查了极坐标化平面直角坐标,普通方程化参数方程的方法,考查了数形结合思想.24.解析(Ⅰ)由a>0,得f(x)=|x+1a |+|x-a|≥|x+1a-(x-a)|=1a+a≥2.所以f(x)≥2.(Ⅱ)f(3)=|3+1a|+|3-a|.当a>3时,f(3)=a+1a ,由f(3)<5得3<a<5+√212.当0<a≤3时,f(3)=6-a+1a ,由f(3)<5得1+√52<a≤3.综上,a的取值范围是(1+√52,5+√212).评析本题考查了含绝对值不等式的解法,考查了分类讨论思想.。
(word完整版)2014年高考全国Ⅱ理科数学试题及答案(word解析版),推荐文档
2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国II ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2014年全国Ⅱ，理1，5分】设集合{}0,1,2M =，{}2320N x x x =-+≤，则M N =I （ ） （A ）{}1 （B ）{}2 （C ）{}0,1 （D ）{}1,2 【答案】D【解析】把{}0,1,2M =中的数代入不等式2320x x -+≤，经检验1,2x =满足，故选D ．（2）【2014年全国Ⅱ，理2，5分】设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ）（A ）5- （B ）5 （C ）4i -+ （D ）4i -- 【答案】A【解析】12i z =+Q ，1z 与2z 关于虚轴对称，22z i ∴=-+，12145z z =--=-，故选A ． （3）【2014年全国Ⅱ，理3，5分】设向量,a b 满足10+=a b 6-=a b ，则⋅=a b （ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）5 【答案】A【解析】||10a b +=r r Q ||6a b -=r r ，22210a b ab ∴++=r r r r ，2226a b ab +-=r r r r ，联立方程解得1ab =r r，故选A ． （4）【2014年全国Ⅱ，理4，5分】钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，2BC =，则AC =（ ）（A ）5 （B 5 （C ）2 （D ）1 【答案】B【解析】ΔABC 111sin 21sin 222S ac B B ==⋅=Q ，2sin B ∴，π4B ∴=或3π4B =，当π4B =时，经计算ABC∆为等腰直角三角形，不符合题意，舍去；当3π4B =时，使用余弦定理，222-2cos b a c ac B =+，解得5b =故选B ．（5）【2014年全国Ⅱ，理5，5分】某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） （A ）0.8 （B ）0.75 （C ）0.6 （D ）0.45 【答案】A 【解析】设某天空气质量优良，则随后一个空气质量也优良的概率为p ，则据题意有0.60.75p =⋅，解得0.8p =，故选A ．（6）【2014年全国Ⅱ，理6，5分】如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）（A ）1727 （B ）59 （C ）1027 （D ）13【答案】C【解析】Q 加工前的零件半径为3，高6，∴体积19π654πv =⋅=，Q 加工后的零件，左半部为小圆柱，半径2，高4，右半部为大圆柱，半径为3，高为2，∴体积2449π234πv π=⋅+⋅=，∴消掉部分的体积与原体积之比=54π34π1054π27-==，故选C ． （7）【2014年全国Ⅱ，理7，5分】执行右图程序框图，如果输入的,x t 均为2，则输出的S =（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 【答案】D【解析】2x =，2t =，变量变化情况：1 3 12 5 22 7 3M S K，故选D ．（8）【2014年全国Ⅱ，理8，5分】设曲线()ln 1y ax x =-+在点()0,0处的切线方程为2y x =，则a =( ) （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】D【解析】()ln(1)f x ax x =-+Q ，1()1f x a x '∴=-+，(0)0f ∴=，且(0)2f '=，联立得3a =，故选D ．（9）【2014年全国Ⅱ，理9，5分】设,x y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（ ）（A ）10 （B ）8 （C ）3 （D ）2 【答案】B【解析】画出区域，可知区域为三角形，经比较斜率，可知目标函数2z x y =-在两条直线310x y -+=与70x y +-=的交点()5,2处，取得最大值8z =，故选B ．（10）【2014年全国Ⅱ，理10，5分】设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ，B两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积为（ ）（A（B（C ）6332 （D ）94 【答案】D【解析】设点A ，B 分别在第一和第四象限，2AF m =，2BF n =，则由抛物线的定义和直角三角形可得：3224m =⋅，3224n =⋅，解得3(22m =，32n =，6m n ∴+=，ΔOAB 139()244S m n ∴=⋅⋅+=，故选D ．（11）【2014年全国Ⅱ，理11，5分】直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）（A ）110 （B ）25 （C（D【答案】C【解析】如图，分别以11C B ，11C A ，1C C 为,,X Y Z 轴，建立坐标系．令12AC BC C C ===，则(0,2,2)A ，(2,0,2)B ，(1,1,0)M ，(0,1,0)N ，(1,1,2BM ∴=u u u u r --），(0,1,2AN =-u u u r -），cos θ||||BM AN BM AN ⋅===⋅u u u u r u u u ru u u u r u u u r ，故选C ． （12）【2014年全国Ⅱ，理12，5分】设函数()x f x mπ=，若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m ⎡⎤+<⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）（A ）()(),66,-∞-∞U （B ）()(),44,-∞-∞U （C ）()(),22,0-∞-U （D ）()(),14,0-∞-U 【答案】C【解析】π()x f x m Q的极值为，即20[()]3f x =，0||||2m x ≤，22200[()]34m x f x ∴+≥+，2234m m ∴+<，解得||2m >，故选C ．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上（13）【2014年全国Ⅱ，理13，5分】()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =______．【答案】12【解析】37371015C x a x =Q ，331015C a ∴=，12a =． （14）【2014年全国Ⅱ，理14，5分】函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为______．【答案】1【解析】()sin(2)-2sin φcos()sin()cos cos()sin 2sin cos()sin()cos cos()sin sin 1f x x x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=++=+⋅++⋅-+=+⋅-+•=≤Q ，最大值为1．（15）【2014年全国Ⅱ，理15，5分】已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =．若()10f x ->，则x 的取值范围是_______． 【答案】()1,3-【解析】Q 偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，且()20f =，()0f x ∴>的解集为||2x <，(1)0f x ∴->的解集为|1|2x -<，解得()1,3x ∈-．（16）【2014年全国Ⅱ，理16，5分】设点()0,1M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是_______． 【答案】[1,1]-【解析】在坐标系中画出圆O 和直线1y =，其中()0,1M x 在直线上，由圆的切线相等及三角形外角知识，可得0[1,1]x ∈-．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）【2014年全国Ⅱ，理17，12分】已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+．（1）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）证明：1231112n a a a ++<…+．解：（1）11a =Q ，131,N *n n a a n +=+∈，n 1111313()222n n a a a +∴+=++=+， 1{}2n a ∴+是首项为11322a +=，公比为3的等比数列．1322n n a +=，因此{}n a 的通项公式为312n n a -=． （2）由（1）可知312n n a -=，1231n n a ∴=-，111a =，当1n >时，1121313nn n a -=<-， 121123111111111313311133323213n n n n a a a a --∴++++<++++==-<-L L （），123111132n a a a a ∴++++<L ． （18）【2014年全国Ⅱ，理18，12分】如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：//PB 平面AEC ；（2）设二面角D AE C --为60︒，1AP =，3AD =，求三棱锥E ACD -的体积． 解：（1）设AC 的中点为G , 连接EG ．在三角形PBD 中，中位线//EG PB ，且EG 在平面AEC 上，所以//PB 平面AEC ．（2）设CD m =，分别以AD ，AB ，AP 为X ，Y ，Z 轴建立坐标系，则(0,0,0)A ，(3,0,0)D ，31()2E ，(3,,0)C m ，∴(3,0,0)AD =u u u r ，31()2AE =u u u r ，(3,,0)AC m =u u ur ． 设平面ADE 的法向量为1111(,,)n x y z =u u r ，则10n AD ⋅=u u r u u u r，10n AE ⋅=u u r u u u r ，解得一个1(0,1,0)n =u u r ．同理设平面ACE 法向量为2222(,,)n x y z =u u r ，则20n AC ⋅=u u r u u u r ，20n AE ⋅=u u r u u u r ，解得一个2(,3,3)n m m =--u u r ， 22222222||31cos |cos ,|32||||33n n n n n n m m π⋅=<>===⋅++u u r u u ru u r u u r u u r u u r Q ，解得32m =．设F为AD的中点，则//PA EF，且122EFPA==，EF⊥面ACD，即为三棱锥E ACD-的高．-Δ1113133222E ACD ACDV S EF=⋅⋅=⋅⋅E ACD-．（19）【2014年全国Ⅱ，理19，12分】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据（1）求（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121ni iiniit t y ybt t∧==--=-∑∑，ˆˆa y bt=-．解：（1）12747t+++==LQ，2.93.3 3.64.4 4.85.2 5.94.37y++++++==，设回归方程为y bt a=+，代入公式，经计算得：31420.700.5 1.8 4.8141(941)21422b⨯++++++===++⨯⨯，14.34 2.32a y bt=-=-⨯=，所以y关于t的回归方程为0.5 2.3y t=+．（2）12b=>Q，∴2007年至2013年该区人均纯收入稳步增长，预计到2015年，该区人均纯收0.59 2.3 6.8y=⋅+=（千元），所以，预计到2015年，该区人均纯收入约为6.8千元．（20）【2014年全国Ⅱ，理20，12分】设1F,2F分别是椭圆()222210x ya ba b+=>>的左右焦点，M是C上一点且2MF与x轴垂直，直线1MF与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为34，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且15MN F N=，求a，b．解：（1）Q由题知，11234MFF F=，21324ba c∴⋅=，且222a b c=+．联立整理得：22320e e+-=，解得12e=．C∴的离心率为12．（2）由三角形中位线知识可知，222MF=⋅，即24ba=．设1F N m=，由题可知14MF m=．由两直角三角形相似，可得M，N两点横坐标分别为c，32c-．由焦半径公式可得：1MF a ec=+，13()2NFa e c=+-，且11:4:1MF NF=，cea=，222a b c=+．联立解得7a=，b=（21）【2014年全国Ⅱ，理21，12分】已知函数()2x xf x e e x-=--．（1）讨论()f x的单调性；（2）设()()()24g x f x bf x=-，当0x>时，()0g x>，求b的最大值；（3）已知1.4142 1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．解：解法一：（1）-()2x xf x e e x=--Q，x R∈，∴-1()2220x x xxf x e e ee'=+-=+-≥=．所以，()f x 在R 上单增．（2）22()(2)4()44(2)0x x x x g x f x bf x e e x b e e x --=-=----->，0x >．令22()44(2)x x x x h x e e x b e e x --=-----，0x >，则(0)0h =．22()2244(2)x x x x h x e e b e e --'=+--+-， ()0,x m ∴∃∈，0m >，使()0h x '≥，即2-22244(2)0x x x x e e b e e -+--+-≥，即2-222(2)0x x x x e e b e e -+--+-≥．同理，令22()22(2)x x x x m x e e b e e --=+--+-，()0,x m ∈，0m >， 则这(0)0m =．22()222()x x x x m x e e b e e --'=---，()0,x t ∴∃∈，0t >，使()0m x ≥．即22222()0x x x x e e b e e -----≥，即()()()0x x x x x x e e e e b e e ---+---≥，且0x x e e -->，即x x e e b -+≥， 即22x x x x e e e e b --+>⋅=≥，所以b 的最大值为2．（3）设ln 20x =>，则(ln 2)0f >，即2(ln 2)22ln 2ln 202f =--=->，解得2ln 2<． 由（2）知，(2)8()f x f x >，令ln 20x =>，则(2ln 2)8(ln 2)f f >，即(ln 2)8(ln 2)f f >，即122ln 2822ln 2)22-->--（，36ln 2422>-，解得21ln 2234>-，所以2122ln 2342-<<． 解法二：（1）()20x x f x e e -'=+-≥，等号仅当0x =时成立．所以()f x 在(),-∞+∞单调递增． （2）()()()()()2224484x x x x g x f x bf x e e b e e b x --=-=---+-，()()()()()2222422222x x x xxx x x g x e e b e e b ee e e b ----⎡⎤'=+-++-=+-+-+⎣⎦．（ⅰ）当2b ≤时，()0g x '≥，等号仅当0x =时成立，所以()g x 在(),-∞+∞单调递增．而()00g =，所以对任意0x >，()0g x >．（ⅱ）当2b >时，若x 满足222x x e e b -<+<-，即()20ln 12x b b b <<-+-时，()0g x '<．而()00g =，因此当()20ln 12x b b b <≤-+-时，()0g x <．综上所述，b 的最大值为2． （3）由（2）可知，()()3ln 222221ln 22g b b =-+-，当2b =时，()3ln 2426ln 202g =-+>，823ln 20.6928->>；当321b =+时，()2ln 12ln 2b b b -+-=，()()3ln 222322ln 202g =--++<，182ln 20.6934+<<．所以ln2的近似值为0.693．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个 题目计分，做答时请写清题号． （22）【2014年全国Ⅱ，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，P 是O e 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O e 相交于点B ，C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的 延长线交O e 于点E ．证明： （1）BE EC =；（2）22AD DE PB ⋅=． 解：解法一：（1）2PC PA =Q ，PD DC =，PA PD ∴=，PAD ∆为等腰三角形．连接AB ，则PAB DEB β∠=∠=BCE BAE α∠=∠=．PAB BCE PAB BAD PAD PDA DEB DBE ∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠Q ， DBE βαβ∴+=+∠，即a DBE =∠，即BCE DBE ∠=∠，所以BE EC =．（2）AD DE =BD DC ⋅⋅Q ，2PA PB PC =⋅，PD DC PA ==，()BD DC PA PB PA PB PC PB PA PB PC PA ∴⋅=-=⋅-⋅=⋅-（），222PB PA PB PB PB ⋅=⋅=， 22AD DE PB ∴⋅=．解法二：（1）连接AB ，AC ．由题意知PA PD =，故PAD PDA ∠=∠．因为PDA DAC DCA ∠=∠+∠， PAD BAD PAB ∠=∠+∠，DAC PAB ∠=∠，所以DAC BAD ∠=∠，从而BE EC =． （2）由切割线定理得2PA PB PC =⋅．因为PA PD DC ==，所以2DC PB =，BD PB =． 由相交弦定理得AD DE BD DC ⋅=⋅，所以22AD DE PB ⋅=． （23）【2014年全国Ⅱ，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． （1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D的坐标．解：（1）C 的普通方程为：()()221101x y y -+=≤≤．可得C 的参数方程为1cos sin x t y t =+⎧⎨=⎩()0t π≤≤．（2）设()1cos ,sin D t t +，由（1）知C 是以()1,0G 为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t 3t π=．故D 的直角坐标为1cos ,sin 33ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即32⎛ ⎝⎭． （24）【2014年全国Ⅱ，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）设函数()1(0)f x x x a a a=++->．（1）证明：()2f x ≥；（2）若()35f <，求a 的取值范围．解：（1）由0a >，有()()1112f x x x a x x a a a a a=++-≥+--=+≥，所以()2f x ≥．（2）()1333f a a =++-，当3a >时，()13f a a=+，由()35f <得3a <．当03a <≤时，()136f a a=-+，由()35f <3a <≤．综上所述，a 的取值范围是⎝⎭．。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学试题(文科)解析版
2 0 1 4年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试上海 数学试卷（文史类）考生注意：1、本试卷共4页，23道试题，满分150分。
考试时间120分钟。
2、本考试分设试卷和答题纸。
试卷包括试题与答题要求。
作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上。
在试卷上作答一律不得分。
3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸正面清楚地填写姓名。
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、函数._______)2(cos 212的最小正周期是x y -=1【答案】 2π【解析】2π4π2∴4cos -)2(cos 2-12====T x x y 周期Θ2、若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛_z 1 +z z ⋅=___________.2【答案】 6 【解析】61)41(1)1(∴21=++=+=•++=z z z zz i z Θ3.设常数a ∈R ，函数2()1f x x x a =-+-。
若(2)1f =,则(1)f =___________. 3【答案】 3 【解析】3.3|4-1|0)1(∴4,1|-4|1)2(∴|-||1-|)(2所以，是解得=+===+=+=f a a f a x x x f Θ4.若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________. 4【答案】 x=-2【解析】2-2-)0,2(2)0,2(159222==∴=∴=+x x px y y x 所以，是其准线方程为焦点为右焦点为ΘΘ5.某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名。
为了了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样。
若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为___________. 5【答案】 70【解析】按比例进行抽样，设高一高二共抽n 个学生，则(1600+1200):800=n:20,解得n=706.若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________. 6【答案】 22 【解析】22,2222≥22y ∴1222222所以，是=•+=+=x x x x x xy Θ7.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。
上海交大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷
上海交大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷一、填空题（3分×14=42分）1．（3分）行列式的值是．2．（3分）向量，若⊥，则实数k=．3．（3分）与向量平行的单位向量是．4．（3分）三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为﹣10，则k=．5．（3分）不等式＜0的解集为．6．（3分）若关于x，y，z的线性方程组增广矩阵变换为，方程组的解为，则m•n=．7．（3分）设数列{a n}的首项a1=1且前n项和为S n．已知向量，满足，则=．8．（3分）对任意的实数x，y，矩阵运算都成立，则=．9．（3分）设，为单位向量．且、的夹角为，若=+3，=2，则向量在方向上的射影为．10．（3分）设平面向量=（﹣2，1），=（λ，﹣1），若与的夹角是钝角，则λ的范围是．11．（3分）已知向量=（cosθ，sinθ），向量=（，﹣1），则|2﹣|的最大值是．12．（3分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（λ，μ∈R），则=．13．（3分）已知△ABC的面积为1，在△ABC所在的平面内有两点P、Q，满足，则四边形BCPQ的面积为．14．（3分）设n阶方阵A n=任取A n中的一个元素，记为x1；划去x1所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成n﹣1阶方阵A n﹣1，任取A n﹣1中的一个元素，记为x2；划去x2所在的行和列，…；将最后剩下的一个元素记为x n，记S n=x1+x2+…+x n，则S n=x1+x2+…+x n，则=．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得4分，否则一律得零分.15．（4分）等边△ABC中，向量的夹角为（）A．B．C．D．16．（4分）有矩阵A3×2，B2×3，C3×3，下列运算可行的是（）A．A C B．B AC C．A BC D．AB﹣AC17．（4分）O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以BC为底边的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形18．（4分）记，若a i，j=icosx+jsinx，其中i，j∈{1，2，3}，则f（x）=a13A11+a23A21+a33A31的最小值是（）A．﹣3 B．1C．﹣1 D．0三、解答题（本大题满分42分）本大题共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19．（8分）如图所示，，与的夹角为120°，与的夹角为30°，，且．（1）求B点，C点坐标；（2）求实数m、n的值．20．（10分）用行列式解关于x、y的方程组：（a∈R），并对解的情况进行讨论．21．（10分）已知向量=（2，2），向量与向量的夹角为，且=﹣2，（1）求向量；（2）若=（1，0）且，=（cosA，2cos），其中A、C是△ABC的内角，若三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，试求||的取值范围．22．（14分）平面直角坐标系中，O为原点，射线OA与x轴正半轴重合，射线OB是第一象限角平分线．在OA上有点列A1，A2，A3，…，A n，…，在OB上有点列B1，B2，B3，…，B n，…已知，A1（5，0），．（1）求点A2，B1的坐标；（2）求的坐标；（3）求△A n OB n面积的最大值，并说明理由．上海交大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（3分×14=42分）1．（3分）行列式的值是﹣1．考点：二阶矩阵；同角三角函数基本关系的运用．专题：矩阵和变换．分析：本题可以利用二阶行列式的计算公式直接计算，求出行列式的值，得到本题结论．解答：解：∵行列式=ad﹣bc，∴行列式=sinx•（﹣sinx）﹣cosx•cosx=﹣（sin2x+cos2x）=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了二阶行列式的计算，本题难度不大，属于基础题．2．（3分）向量，若⊥，则实数k=．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据非零向量垂直的充要条件及向量数量积的坐标运算即可求出k．解答：解：；∴；∴．故答案为：．点评：考查两非零向量垂直的充要条件：=0，以及数量积的坐标运算．3．（3分）与向量平行的单位向量是±（，﹣）．考点：单位向量．专题：计算题．分析：根据题意，设要求的向量为，由向量的共线的性质，可得=λ=（3λ，﹣4λ），又由为单位向量，可得（3λ）2+（﹣4λ）2=1，解可得λ的值，进而将λ的值代入（3λ，﹣4λ）中，即可得答案．解答：解：设要求的向量为，则=λ=（3λ，﹣4λ），又由为单位向量，则（3λ）2+（﹣4λ）2=1，解可得，λ=±，则=±（，﹣），故答案为±（，﹣）．点评：本题考查向量的运算，涉及单位向量的定义与向量平行的性质，注意向量的表示形式．4．（3分）三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为﹣10，则k=﹣14．考点：三阶矩阵．专题：计算题．分析：根据余子式的定义可知，在行列式中划去第2行第1列后所余下的2阶行列式带上符号（﹣1）i+j为M21，求出其表达式列出关于k的方程解之即可．解答：解：由题意得M21=（﹣1）3=2×2+1×k=﹣10解得：k=﹣14．故答案为：﹣14．点评：此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，是一道基础题．5．（3分）不等式＜0的解集为（10，100）．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：依题意，利用行列式的意义可得lgx（3lgx﹣4）﹣5（lgx﹣）＜0，解此对数不等式即可求得答案．解答：解：∵＜0，∴lgx（3lgx﹣4）﹣5（lgx﹣）=3lg2x﹣9lgx+6＜0，即（lgx﹣1）（lgx﹣2）＜0，整理得：1＜lgx＜2，解得10＜x＜100．故答案为：（10，100）．点评：本题考查行列式的应用，着重考查对数不等式的解法，属于中档题．6．（3分）若关于x，y，z的线性方程组增广矩阵变换为，方程组的解为，则m•n=﹣24．考点：几种特殊的矩阵变换．专题：矩阵和变换．分析：本题利用增广矩阵得到相应的三元一次方程组，通过方程组的解，求出相关参数m、n的值，得到本题结论．解答：解：∵关于x，y，z的线性方程组增广矩阵变换为，∴，∵方程组的解为，∴，∴m•n=﹣24．故答案为﹣24．点评：本题考查的是增广矩阵的应用，要求正确理解增广矩阵的意义，准确进行计算，本题难度不大，属于基础题．7．（3分）设数列{a n}的首项a1=1且前n项和为S n．已知向量，满足，则=．考点：数列的极限；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：利用向量的垂直关系，可知其数量积为0，进而可得出数列{a n}是以首项a1=1，公比为的等比数列，由于公比的绝对值小于1，故易求．解答：解：由题意，∵，∴，∴即数列{a n}是以首项a1=1，公比为的等比数列，∴故答案为点评：本题的考点是数列的极限，主要考查无穷等比数列的求和问题，关键是利用向量的垂直关系得出数列是无穷等比数列，进而再求和．8．（3分）对任意的实数x，y，矩阵运算都成立，则=．考点：矩阵乘法的性质．专题：选作题；矩阵和变换．分析：由题意，恒成立，可得a=d=0，b=c=1，即可得出结论．解答：解：由题意，恒成立，∴a=d=0，b=c=1，∴=．故答案为：．点评：本题考查矩阵乘法的性质，考查学生的计算能力，比较基础．9．（3分）设，为单位向量．且、的夹角为，若=+3，=2，则向量在方向上的射影为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据题意求得的值，从而求得的值，再根据在上的射影为，运算求得结果．解答：解：∵、为单位向量，且和的夹角θ等于，∴=1×1×cos=．∵=+3，=2，∴=（+3）•（2）=2+6=2+3=5．∴在上的射影为=，故答案为．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，一个向量在另一个向量上的射影的定义，属于中档题．10．（3分）设平面向量=（﹣2，1），=（λ，﹣1），若与的夹角是钝角，则λ的范围是．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：由于与的夹角是钝角，可得=﹣2λ﹣1＜0，且．解出即可．解答：解：∵与的夹角是钝角，∴=﹣2λ﹣1＜0，且．解得，且λ≠2．故答案为：点评：本题考查了向量的夹角公式，属于基础题．11．（3分）已知向量=（cosθ，sinθ），向量=（，﹣1），则|2﹣|的最大值是4．考点：三角函数的最值；向量的模．专题：计算题．分析：先根据向量的线性运算得到2﹣的表达式，再由向量模的求法表示出|2﹣|，再结合正弦和余弦函数的公式进行化简，最后根据正弦函数的最值可得到答案．解答：解：∵2﹣=（2cosθ﹣，2sinθ+1），∴|2﹣|==≤4．∴|2﹣|的最大值为4．故答案为：4点评：本题主要考查向量的线性运算和模的运算以及三角函数公式的应用，三角函数与向量的综合题是高考考查的重点，要强化复习．12．（3分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（λ，μ∈R），则=4．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系，得到向量、、的坐标，结合题中向量等式建立关于λ、μ的方程组，解之得λ=﹣2且μ=﹣，即可得到的值．解答：解：以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得=（﹣1，1），=（6，2），=（﹣1，﹣3）∵∴，解之得λ=﹣2且μ=﹣因此，==4故答案为：4点评：本题给出向量用向量、线性表示，求系数λ、μ的比值，着重考查了平面向量的坐标运算法则和平面向量基本定理及其意义等知识，属于基础题．13．（3分）已知△ABC的面积为1，在△ABC所在的平面内有两点P、Q，满足，则四边形BCPQ的面积为．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据题中的向量等式，结合向量的线性运算可得：点P是线段AC的中点且Q是线段AB 的靠近B点的三等分点．由此结合正弦定理的面积公式，算出S△APQ==S△ABC=，即可得到则四边形BCPQ的面积．解答：解：∵点P满足，∴，可得点P是线段AC的中点又∵∴=2可得Q是线段AB的靠近B点的三等分点因此，△APQ的面积为S△APQ=||•||sinA=•||•||=S△ABC∵△ABC的面积为1，∴S△APQ=由此可得四边形BCPQ的面积为S=S△ABC﹣S△APQ=1﹣=故答案为：点评：本题在△ABC中给出两个向量的等式，求四边形BCPQ的面积．着重考查了平面向量的线性运算和运用正弦定理求三角形面积等知识，属于基础题．14．（3分）设n阶方阵A n=任取A n中的一个元素，记为x1；划去x1所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成n﹣1阶方阵A n﹣1，任取A n﹣1中的一个元素，记为x2；划去x2所在的行和列，…；将最后剩下的一个元素记为x n，记S n=x1+x2+…+x n，则S n=x1+x2+…+x n，则=1．考点：高阶矩阵；数列的极限．专题：综合题；压轴题．分析：不妨取x1=1，x2=2n+3，x3=4n+5，…，x n=2n2﹣1，故S n=1+（2n+3）+（4n+5）+…+（2n2﹣1）=n3，故可求．解答：解：不妨取x1=1，x2=2n+3，x3=4n+5，…，x n=2n2﹣1，故S n=1+（2n+3）+（4n+5）+…+（2n2﹣1）=+=n2+（n﹣1）×n2=n3，故===1，故答案为：1．点评：本题考查高阶矩阵和数列的极限，解题时要认真审题，仔细解答，避免不必要的错误．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得4分，否则一律得零分.15．（4分）等边△ABC中，向量的夹角为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的含义与物理意义．专题：平面向量及应用．分析：根据两向量夹角的定义，结合图形，得出结论．解答：解：如图所示，在等边△ABC中，向量的夹角是∠A，∠A=．故选：B．点评：本题考查了平面向量夹角的概念，解题时应熟知两向量夹角的概念是什么，取值范围是什么．16．（4分）有矩阵A3×2，B2×3，C3×3，下列运算可行的是（）A．A C B．B AC C．A BC D．AB﹣AC考点：矩阵与向量乘法的意义．专题：计算题；矩阵和变换．分析：利用矩阵的乘法，即可得出结论．解答：解：由题意，AB=D3×3，ABC是DC=E3×3，故选：C点评：本题考查矩阵与向量乘法的意义，比较基础．17．（4分）O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以BC为底边的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：设BC的中点为D，由条件可得•2=0，故⊥，故△ABC的BC边上的中线也是高线，△ABC是以BC为底边的等腰三角形．解答：解：设BC的中点为D，∵，∴•（2﹣2）=0，∴•2=0，∴⊥，故△ABC的BC边上的中线也是高线．故△ABC是以BC为底边的等腰三角形，故选B．点评：本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的条件，三角形形状的判定，得到△ABC的BC边上的中线也是高线，是将诶提的关键．18．（4分）记，若a i，j=icosx+jsinx，其中i，j∈{1，2，3}，则f（x）=a13A11+a23A21+a33A31的最小值是（）A．﹣3 B．1C．﹣1 D．0考点：三阶矩阵．专题：矩阵和变换．分析：首先，根据所给信息，得到第一列和第三列相同，以第二列展开容易求解．解答：解：根据题意，得∵a i，j=icosx+jsinx，∴a11=cosx+sinxa21=2cosx+sinxa31=3cosx+sinx，a13=cosx+3sinxa23=2cosx+3sinxa33=3sinx+3cosx第一列和第三列相同，以第二列展开易得：∴a13A11+a23A21+a33A31=0．∴f（x）的最小值是0，故选：D．点评：本题重点考查了行列式的基本计算，属于中档题．三、解答题（本大题满分42分）本大题共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19．（8分）如图所示，，与的夹角为120°，与的夹角为30°，，且．（1）求B点，C点坐标；（2）求实数m、n的值．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）根据已知条件结合图形即可求出A，B，C三点的坐标；（2）求出的坐标，带入，即可得到关于m，n的方程组，解方程组即得m，n的值．解答：解：（1）如图所示，由已知条件得：A（1，0），B（），C；（2）；∴；解得．点评：考查由点的坐标求向量的坐标，向量的坐标运算．20．（10分）用行列式解关于x、y的方程组：（a∈R），并对解的情况进行讨论．考点：二阶矩阵．专题：矩阵和变换．分析：本题先求出相关行列式D、D x、D y的值，再讨论分式的分母是否为0，用公式法写出方程组的解，得到本题结论．解答：解：∵关于x、y的方程组：（a∈R），∴，，，（1）当a≠±1时，D≠0，方程组有唯一解，，（2）当a=﹣1时，D=0，D x≠0，方程组无解；（3）当a=1时，D=D x=D y=0，方程组有无穷多解，．点评：本题考查了用行列式法求方程组的解，本题难度不大，属于基础题．21．（10分）已知向量=（2，2），向量与向量的夹角为，且=﹣2，（1）求向量；（2）若=（1，0）且，=（cosA，2cos），其中A、C是△ABC的内角，若三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，试求||的取值范围．考点：平面向量数量积的运算；等差数列的通项公式；两角和与差的正弦函数．专题：综合题；平面向量及应用．分析：（1）设出向量=（x，y），由向量与向量的夹角为及=﹣2得到关于x、y的二元方程组，求解后可得向量的坐标；（2）由三角形的三内角A、B、C依次成等差数列求出角B，再根据确定，运用向量加法的坐标运算求出，代入模的公式后利用同角三角函数的基本关系式化简，最后根据角的范围确定模的范围．解答：解：（1）设=（x，y），则2x+2y=﹣2①又②联立解得，∴；（2）由三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，∴，∵，∴．∴，∴=，∵，∴，∴．点评：本题考查了平面向量数量积的运算，考查了等差中项概念，解答过程中训练了三角函数的恒等变换，解答此题的关键是注意角的范围，此题是中档题．22．（14分）平面直角坐标系中，O为原点，射线OA与x轴正半轴重合，射线OB是第一象限角平分线．在OA上有点列A1，A2，A3，…，A n，…，在OB上有点列B1，B2，B3，…，B n，…已知，A1（5，0），．（1）求点A2，B1的坐标；（2）求的坐标；（3）求△A n OB n面积的最大值，并说明理由．考点：数列的应用．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由和A1（5，0）可求A2（4，0），由射线OB是第一象限角平分线和，利用向量模的公式可求B1（1，1）．（2）设，，得⇒{x n}成等比数列，又，得，进而得到；设，得，由，得y n+1=y n+1得{y n}是等差数列，可求得y n=1+（n﹣1）=n，进而求得；（3）由，可得，利用换元法设，当n≥2时，可知1≤n≤4时，{t n}是递增数列，n≥6时，{t n}是递减数列，即t1＜t2＜t3＜t4=t5＞t6＞t7＞…＞t n＞…进而求得．解答：解：（1），A2（4，0），（2分）设B1（x，x），x＞0，由||=，得，x=1，∴B1（1，1）．（2）设，则，{x n}成等比数列，，∴．（6分）设，由，∴{y n}是等差数列（8分）y n=1+（n﹣1）=n，∴．（9分）（3），（11分）设，当n≥2时，=，∴1≤n≤4时，{t n}是递增数列，n≥6时，{t n}是递减数列，t1＜t2＜t3＜t4=t5＞t6＞t7＞…＞t n＞…，∴．点评：本题考查点A2，B1的坐标的求法，考的坐标的求法，考查△A n OB n面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列和向量知识的综合应用．。
2014年上海市高考数学试卷(文科)-含答案详解
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文科）副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号 一 二 三 总分 得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 设a ，b ∈R ，则“a +b >4”是“a >2且b >2”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 已知互异的复数a ，b 满足ab ≠0，集合{a,b}={a 2,b 2}，则a +b =( ) A. 2B. 1C. 0D. −13. 如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB 是大正方形的一条边，P i (i =1,2,…,7)是小正方形的其余顶点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (i =1,2,…,7)的不同值的个数为( )A. 7B. 5C. 3D. 14. 已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点，则关于x和y的方程组{a1x+b1y=1a2x+b2y=1的解的情况是( )A. 无论k，P1，P2如何，总是无解B. 无论k，P1，P2如何，总有唯一解C. 存在k，P1，P2，使之恰有两解D. 存在k，P1，P2，使之有无穷多解第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共14小题，共56.0分）5. 函数y=1−2cos2(2x)的最小正周期是______．6. 若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则(z+1z)⋅z.=______ ．7. 设常数a∈R，函数f(x)=|x−1|+|x2−a|，若f(2)=1，则f(1)=______ ．8. 若抛物线y2=2px(p>0)的焦点与椭圆x29+y25=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为．9. 某校高一、高二、高三分别有学生1600名，1200名，800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为______ ．10. 若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为______．11. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为______ (结果用反三角函数值表示)12. 在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图所示，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于______．13. 设f(x)={−x+a,x≤0x+1x,x>0，若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为______ ．14. 设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=n→∞lim(a3+a4+⋯a n)，则q=______．15. 若f(x)=x23−x−12，则满足f(x)<0的x的取值范围是______．16. 方程sinx+√3cosx=1在闭区间[0,2π]上的所有解的和等于______ ．……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………17. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是______ (结果用最简分数表示)．18. 已知曲线C ：x =−√4−y 2，直线l ：x =6，若对于点A(m,0)，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则m 的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2014级第二学期《高等数学》期中考试试卷(A 类)
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设24
222(,)x y f x y x y -=+，则00
lim (,)x y f x y →→= ( ) （A ）等于0； （B ）等于1； （C ）等于2； （D ）不存在。
2．函数e ,0(,)1,
0x y xy f x y xy +⎧≠=⎨=⎩在点)0,0(处指向点(1,1)的方向导数为 ( ) （A ）0； （B ）1； （C
； （D ）2。
3．设有二元方程2sin()0x y xy ++=，则在(0,0)点的某邻域内，此方程 ( )
（A ）仅可确定一个具有连续导数的隐函数()x x y =；
（B ）仅可确定一个具有连续导数的隐函数()y y x =；
（C ）可确定两个具有连续导数的隐函数()y y x =和()x x y =；
（D ）以上（A ）、（B ）、（C ）都不正确。
4
．设()d t F t f
V Ω=⎰⎰⎰，其中t Ω
：0z ≤≤0t >)，()f u 为连续函数，则()F t '= ( )
（A ）22π()tf t ； （B ）22π()t f t ； （C ）24π()t f t ； （D ）24π()tf t 。
5．考虑以下命题，其中正确命题的个数为 ( )
① 若可微函数(,)f x y 在区域D 内满足(,)0x f x y ≡，则有)(),(y y x f ϕ=； ② 若00(,)f x y 是函数),(y x f 在区域D 内的唯一极值，且为极大值，则),(00y x f 必为),(y x f 在D 内的最大值；
③ 若函数),(y x f 在00((,),)U x y δ内可偏导，且),(y x f 在点),(00y x 间断，则),(y x f x 与),(y x f y 中至少有一个在00((,),)U x y δ内无界。
(其中0δ>。
)
（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3。
二、填空题（每小题3分，共15分）
6．设y z x =，则(e,1)d |z = 。
7．设{}22(,)1E x y x y =+<\0E ，其中{}0(,)0(11)E x y y x ==-<<，则E 的边
界E ∂= 。
8．交换二次积分的次序：
0111000d (,)d d (,)d x x f x y y x f x y y --+=⎰⎰⎰⎰ 。
9．设,0x y ≥，且满足条件2248x y +=，则u xy =的最大值为： 。
10．设{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥
，则22ln(1e )d d x
y D
y x y +⎤+=⎦
⎰⎰ 。
三、（本题共8分）
11．求极限()102lim e sin x
xy
x y y x →→+。
四、（每小题8分，共16分）
12．设函数(,)f u v 具有一阶连续偏导数，0(,e )d xy t z f t t =⎰，求z x ∂∂，2z x y ∂∂∂。
13．设函数(,)z f x y =具有二阶连续偏导数。
令,u x y v x y =+=-，并取,u v 为新自变量，试变换方程22220z z x y ∂∂-=∂∂。
五、计算下列积分（每小题10分，共20分）
14
．2222316
min )d d x y x y x y +≤⎫⎪+⎬⎪⎭⎰⎰。
15．2
()d x y z V Ω+-⎰⎰⎰，其中Ω
：z ≥222(2)4x y z ++-≤。
六、应用题（第16小题8分，第17小题10分，共18分）
16．求锥面222(1)z x y =-+被柱面221x z +=所截下部分曲面的面积。
17．过直线l ：1022270
x y z x y z +-=⎧⎨+-=⎩作曲面222327x y z +-=的切平面，求此切平面的方程。
七、证明题（本题共8分）
18．已知二元函数的拉格朗日中值定理是：设函数(,)f x y 在000(,)P x y 的邻域0()U P 有一阶连续偏导函数(,)x f x y 和(,)y f x y ，则对任意0(,)()P x y U P ∈，存在0(,)()U P ξη∈，使得
0000(,)(,)(,)()(,)()x y f x y f x y f x x f y y ξηξη-=-+-。
设函数(,)f x y 在R 2上具有一阶连续偏导数，且(,)f x y 在
{}222(,)|D x y x y R =+≤的边界{}222(,)|x y x y R +=上取值为零，其中常数0R >。
（1）证明：对任意的(),P x y D ∈，存在(),D ξη∈，使得
(
))(,),f f x y R ξη∂=
∂l , 其中OP l =,而O 为坐标原点；
（2）证明：
()(
)3,π,d d max 3x y D R f x y x y ∈≤⋅⎰⎰。