上海交通大学2014-2中高数试卷(A类)
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2014级第二学期《高等数学》期中考试试卷(A 类)
一、单项选择题(每小题3分,共15分)
1.设24
222(,)x y f x y x y -=+,则00
lim (,)x y f x y →→= ( ) (A )等于0; (B )等于1; (C )等于2; (D )不存在。
2.函数e ,0(,)1,
0x y xy f x y xy +⎧≠=⎨=⎩在点)0,0(处指向点(1,1)的方向导数为 ( ) (A )0; (B )1; (C
; (D )2。
3.设有二元方程2sin()0x y xy ++=,则在(0,0)点的某邻域内,此方程 ( )
(A )仅可确定一个具有连续导数的隐函数()x x y =;
(B )仅可确定一个具有连续导数的隐函数()y y x =;
(C )可确定两个具有连续导数的隐函数()y y x =和()x x y =;
(D )以上(A )、(B )、(C )都不正确。
4
.设()d t F t f
V Ω=⎰⎰⎰,其中t Ω
:0z ≤≤0t >),()f u 为连续函数,则()F t '= ( )
(A )22π()tf t ; (B )22π()t f t ; (C )24π()t f t ; (D )24π()tf t 。
5.考虑以下命题,其中正确命题的个数为 ( )
① 若可微函数(,)f x y 在区域D 内满足(,)0x f x y ≡,则有)(),(y y x f ϕ=; ② 若00(,)f x y 是函数),(y x f 在区域D 内的唯一极值,且为极大值,则),(00y x f 必为),(y x f 在D 内的最大值;
③ 若函数),(y x f 在00((,),)U x y δ内可偏导,且),(y x f 在点),(00y x 间断,则),(y x f x 与),(y x f y 中至少有一个在00((,),)U x y δ内无界。(其中0δ>。)
(A )0; (B )1; (C )2; (D )3。
二、填空题(每小题3分,共15分)
6.设y z x =,则(e,1)d |z = 。
7.设{}22(,)1E x y x y =+<\0E ,其中{}0(,)0(11)E x y y x ==-<<,则E 的边
界E ∂= 。
8.交换二次积分的次序:
0111000d (,)d d (,)d x x f x y y x f x y y --+=⎰⎰⎰⎰ 。
9.设,0x y ≥,且满足条件2248x y +=,则u xy =的最大值为: 。
10.设{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥
,则22ln(1e )d d x
y D
y x y +⎤+=⎦
⎰⎰ 。
三、(本题共8分)
11.求极限()102lim e sin x
xy
x y y x →→+。 四、(每小题8分,共16分)
12.设函数(,)f u v 具有一阶连续偏导数,0(,e )d xy t z f t t =⎰,求z x ∂∂,2z x y ∂∂∂。 13.设函数(,)z f x y =具有二阶连续偏导数。令,u x y v x y =+=-,并取,u v 为新自变量,试变换方程22220z z x y ∂∂-=∂∂。 五、计算下列积分(每小题10分,共20分)
14
.2222316
min )d d x y x y x y +≤⎫⎪+⎬⎪⎭⎰⎰。 15.2
()d x y z V Ω+-⎰⎰⎰,其中Ω
:z ≥222(2)4x y z ++-≤。 六、应用题(第16小题8分,第17小题10分,共18分)
16.求锥面222(1)z x y =-+被柱面221x z +=所截下部分曲面的面积。
17.过直线l :1022270
x y z x y z +-=⎧⎨+-=⎩作曲面222327x y z +-=的切平面,求此切平面的方程。
七、证明题(本题共8分)
18.已知二元函数的拉格朗日中值定理是:设函数(,)f x y 在000(,)P x y 的邻域0()U P 有一阶连续偏导函数(,)x f x y 和(,)y f x y ,则对任意0(,)()P x y U P ∈,存在0(,)()U P ξη∈,使得
0000(,)(,)(,)()(,)()x y f x y f x y f x x f y y ξηξη-=-+-。 设函数(,)f x y 在R 2上具有一阶连续偏导数,且(,)f x y 在
{}222(,)|D x y x y R =+≤的边界{}222(,)|x y x y R +=上取值为零,其中常数0R >。
(1)证明:对任意的(),P x y D ∈,存在(),D ξη∈,使得
(
))(,),f f x y R ξη∂=
∂l , 其中OP l =,而O 为坐标原点;
(2)证明:
()(
)3,π,d d max 3x y D R f x y x y ∈≤⋅⎰⎰