高等数学科学出版社答案

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【篇一：第一章习题答案科学教育出版社高数答案(惠

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txt>习题1-1

1．求下列函数的自然定义域：

x3

(1)

y?? 2

1?x

x?1arccos

； (3) y?

解：(1)解不等式组?

(2) y?arctan

1

x

3

x?1?

(4) y??. ?3 , x?1?

x30

得函数定义域为[?3,?1)?(?1,1)?(1,??); 2

1x0

3x20

(2)解不等式组?得函数定义域为[?;

x?0

x?1??1??1?

(3)解不等式组?得函数定义域为[?5,?2)?(3,6]; 5

2??x?x?6?0

(4)解不等式x?1?0得函数定义域为[1,??).

2．已知函数f(x)定义域为[0,1]

，求ff(cosx),f(x?c)?f(x?c) (c?0)义域．

解：因为f(x)定义域为[0,1]

22

0xc11当?时，得函数f(x?c)?f(x?c)定义域为：（1）若c?，x??c,1?c?；（2）

0?x?c?12?若c?

3．设f(x)?

1?x?a?

1,a?0,求函数值f(2a),f(1)． x2?|x?a|?

1?a?x?1，则 x2?|x?a|?

的定

111，x?；（3）若c?，x??． 222

解：因为f(x)?

f(2a)?

1?a?1??0 ,a1,1??a?1

f(1)?1??1??，2 ,0a1． 12?a?14a2?a?2a2

4. 证明下列不等式:

(1) 对任何x?r有 |x?1|?|x?2|?1;

1

(2) 对任何n?z?有 (1?1)n?1?(1?1)n;

n?1

n

(3) 对任何n?z?及实数a?1有 an?1?a?1.

n

证明：（1）由三角不等式得

|x?1|?|x?2|?|x?1?(x?2)|?1 （2）要证(1?1)n?1?(1?1)n，即要证1?1?

n?

1

n

1

n?1

(1?

得证。

111)?(??))1

1 ?1?

n?1n?1

（3）令h?a?1，则h?0，由bernouli不等式，有

a?(1?h)?1?nh?1?n(a?1)

n

1

n

1n

所以

a?1。 n

5. 试将下列直角坐标方程化为极坐标方程，而把极坐标方程化为直

角坐标方程:

22

(1) ??4; (2) x?y?1;(3) x?8y2;(4) .

254

解：(1) x2?y2?16；(2) ?2(5?7sin2?)?10；(3) 8?sin2??cos??0；

(4) y?x (x?0)

a?1?

1n

6．判断下列各组函数中的f(x)与g(x)是否为同一函数？说明理由！(1) f(x)?ln

2

x,g(x)??ln

x ；

(2) f(x)?1,g(x)?sec2x?tan2x； (3) f(x)?2lgx,g(x)?lgx2 ;

3

x?x(4) f(x)?1?x,g(x)? ； x

解：(1) 是； (2) 是； (3) 不是，因为定义域不同；(4) 不是，因为

定义域不同．

7．试确定下列函数的单调区间：

3?x

(1) y??ln(?x)； (2) y?； (3) y?1?sinx.

x1?x

3

解：(1) 函数的定义域为(??,0)，此时，函数y1?单调递减，

y2?ln(?x)也是单调递

x

减，则y?y1?y2在(??,0)内也是递减的．

x(1x)11

(2)y?，当x?(??时，函数y1?x?1单调递增，则,1)??1?

1?x1?xx?1

2

y2?

11?x

是单调递减的，故原函数y?是单调递减的． ?

y1x?11?x

(3) 函数的定义域为(??,??)，在(2k??(2k??

2

,k2??

2

函)数是单调递增的，在

2

,k2??

3?

函数是单调递增的. )2

8. 判定下列函数的奇偶性： (1)y?x2?2cosx?1；

(2) y

tan1；

ex?e?x

(3) y?； (4) y?.

2

解：(1)因为f(?x)?x2?2cosx?1?f(x)，所以是偶函数．

1

(2) 因为f(?x)??tan??f(x)，所以是奇函数．

x?x

e?ex

(3) 因为

f

(?x)??f(x)，所以是偶函数．

(4) 因为f(?x)??lg(x?1??lg(x?，

所以是非奇非偶函数．

9．设f(x)是定义在[?l,l]上的任意函数，证明：

(1) f(x)?f(?x)是偶函数，f(x)?f(?x)是奇函数； (2) f(x)可表示成偶函数与奇函数之和的形式. 证明：（1）令

g(x)?f(x)?f(?x),h(x)?f(x)?f(?x)，则

g(?x)?f(?x)?f(x)?g(x),h(?x)?f(?x)?f(x)??h(x)，所以f(x)?f(?x)是偶函数，f(x)?f(?x)是奇函数．