椭圆的简单几何性质PPT优秀课件
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3.1.1椭圆的简单几何性质(2)PPT课件(人教版)
由余弦定理,有 cos F1 PF2
|
PF1
|2 2
| PF2 | PF1 |
|2 | F1F2 | PF2 |
|2
=
5 9 2(9
x2 1 5 x2
)
.
9
F1PF2为钝角, 1 cosF1PF2 0.
5 x2 1
即1 9
0,
2(9 5 x2 )
9
解之得 3 5 x 3 5 .
相切
△> 0
相交
2. 弦长公式： 设直线l与椭圆C相交于A( x1，y1 )，B( x2，y2 )， 则 AB ＝ 1 k 2 | x1 x2 |,其中k是直线的斜率.
3 .处理弦中点问题：“点差法”、“韦达定理”
作业 1.求椭圆 x2 y2 1上的点到直线x 2 y
16 4
2 0的最大距离. 10
① 0 直线和椭圆相交 直线和椭圆有两个交点；
② 0 直线和椭圆相切 直线和椭圆有一个切点；
③ 0 直线和椭圆相离 直线和椭圆没有公共点.
典型例题 例2.已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F， 求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长. 30
弦长公式：若直线l
:
y
kx
b与椭圆:
y M
M F2
F1 O F2
x
Ox F1
椭圆 x2 a2y2 b2Fra bibliotek(ab
0)的
焦半径公式是
|MF1|＝a＋ex0
|MF2|＝a－ex0
椭圆 y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)的
焦半径公式是
|MF1|＝a+ey0
椭圆的简单几何性质ppt课件
由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k 5 ．
2
94
4
∴满足条件的 k 4 或 k 5 ．
4
例3：酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到 距地球表面近地点(离地面 近的点)高度约200km, 远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨 道(将地球看作一个球，其半径约为6371km),求 椭圆轨道的标准方程。(注:地心(地球的中心)位
2.椭圆的标准方程
标准方程 图形
焦点在x轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y P
F1 O F2
x
焦点在y轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
y
F2
P
O
x
F1
焦点坐标 a、b、c 的关系 焦点位置的判断
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
分别叫做椭圆的长轴和短轴。 A1
o
A2 x
B2(0,-b)
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？ 焦点落在椭圆的长轴上
椭圆的简单几何性质
长轴：线段A1A2； 长轴长
短轴：线段B1B2； 短轴长
注意
焦距
|A1A2|=2a |B1B2|=2b |F1F2| =2c
y
B2(0,b)
①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)
b
a
A2 (a, 0)
长半轴长和短半轴长；
F1 a
o c F2 x
② a2=b2+c2，|B2F2|=a；
B1(0,-b)
椭圆的几何性质ppt课件
的对称轴，坐标原点是对称中心. 椭圆的对称中
（3）顶点
在方程①中，令
= 0，得
轴有两个交点，可以记作
=−
作
或
1 (0,
− )，
交点，即
的顶点.
= ，可知椭圆
2 (0,
1， 2
和
=−
1(
或
− ,0)，
与
). 因此，椭圆
= ，可知椭圆
2(
,0)；令
与
= 0 ，得
轴也有两个交点，可以记
与它的对称轴共有 4 个
=− ， = ， =− ， =
x
a 且 b
y
b ，这说明，椭圆
所围成的矩形内，如图所示.
（2）对称性
如果 ( , ) 是方程①的一组解，则不难看出，( − , )，( , − )，( − , − )
都是方程的解，这说明椭圆
因此，
轴、
心也称为椭圆的中心.
关于
轴是椭圆
轴、
轴、坐标原点对称，如图所示.
1 ， 2 ，如图所示，这四个点都称为椭圆
注意到
1 2
椭圆的长轴，线段
=2 ，
1
而且椭圆的长轴长为 2
2
1 2
=2
，而且
>
> 0 ，所以线段
1 2
称为
称为椭圆的短轴. 显然，椭圆的两个焦点在它的长轴上，
，短轴长为 2 .
于是， ，
距为 2 ，则
分别是椭圆的半长轴长和半短轴长，如果设椭圆的焦
是椭圆的半焦距，由
轴上的椭圆是一致的，如图所示.
例 1 求下列方程表示的椭圆的长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离心率：
椭圆的简单几何性质市公开课金奖市赛课一等奖课件
线段A1A2叫椭圆长轴，其长度等于2a;线段B1B2叫椭圆短轴，其 长度等于2b;线段C1C2叫椭圆焦距，其长度等于2c.
在三角形F2OB2中│OB2│＝b， │OF2│＝c， │F2B2│＝a。在直 角△ F2OB2中直观地显示出a，b，c三者之间关系。
第3页
椭圆简朴几何性质—研究问题
从方程上看：
当0<e<1时为椭圆 当e=1时为线段
第8页
椭圆简朴几何性质—研究问题
方 程
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
性
y
图象
o
x
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
y
o x
范围 -a≤x≤a,-b≤y≤b
质 顶点坐标 (-a,0), (a,0), (0,-b), (0,b)
对称性 x轴、y轴、原点对称
的最小值为 a-c 。
第12页
椭圆简朴几何性质—作业布置
练习B 1，2
1.设a,b,c分别表示同一椭圆长半轴长,短半轴 长,半焦距长,则a,b,c大小关系是-----------.
2、对于椭圆C1
: 9x2
y2
36与椭圆C2：1x62
y2 12
2,
更接近于圆的是
。
3、椭圆
x2 a8
y2 9
1的离心率e
－3）两点
③一焦点坐标为（－3，0）一顶点坐标为（0，5）
④两顶点坐标为（0，±6），且通过点（5，4）
⑤焦距是12，离心率是0.6，焦点在x轴上。
3. 已知椭圆一个焦点为F（6，0）点B，C是短轴两端点，
△FBC是等边三角形，求这个椭圆原则方程。
3.1.2椭圆的简单几何性质课件(人教版)
x2 a2
y2 b2
1，
（4）
由此可知，点M的轨迹是椭圆，方程（1）是椭圆
的参数方程，在椭圆的参数方程（1）中，常数a、
b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.
6、椭圆的参数方程
椭圆 x2 a2
y2 b2
1 （a
b
0），的参数方程是
x
y
a cos b sin
（为参数）
7、椭圆的焦半径公式
P（x0，y0）是椭圆
c2
b2，就可化
成：x a
2 2
y2 b2
（1 a
b 0）.
这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、 短轴长分别为2a、2b的椭圆.
5、椭圆的第二定义
平面内点M与一个定点的距离和它到一定直线的
距离的比是常数：e c （0＜e＜1）时，这个 a
点M的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线 叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率．
长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法
画出它的图形．
解：把已知方程化成标准方程： x 2 52
y2 42
1，
这里，a 5，b 4，所以：c 25 16 3，
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是：2a 10
和 2b 8，离心率 e c 3，两个焦点分别是 a5
F1 （ 3，0）和F2 （3，0），椭圆的四个顶点是 A（1 5，0）、A（2 5，0），B（1 0， 4）和B（2 0，4）.
练习
一、选择题
1、椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆
的中心到其准线的距离是（D ）
A、8 5 5
B、 4 5 5
C、8 3 3
D、 4 3 3
2、椭圆 9x2 25 y 2 225 上有一点P，它到右准
数学人教A版选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质课件
l
= > > ，可知
2
2
=1− 2 点的横坐标都适合不等式
≤ ，即 − ≤ ≤
同理有
≤ ，即− ≤ ≤
这说明椭圆位于直线 x =±a，y=±b所围成的矩形框里。
结论：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形框里.
=1或
=1.
+
=1.
方法技巧：利用几何性质求椭圆方程的方法和步骤
1.方法：通常采用待定系数法。
2.步骤：
课堂小结
椭圆的简单几何性质
标准方程
焦点位置
x2 y 2
2＋ 2＝1(a>b>0)
a
b
焦点在 x 轴上
y2 x2
2＋ 2＝1(a>b>0)
a
b
焦点在 y 轴上
图形
范围
3
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=8,离心率 = =
5
，两个焦点坐标分别是F1（-3，0）和F2（3，0），四个顶点坐标分别是A1(-5,0)，
A2(5,0)，B1(0,-4)和B2(0,4).
练习
练习.求下列条件的椭圆的标准方程.
4
(1)长轴长是10，离心率是 ；
5
(2) 离心率e＝ ，焦距为12.
4、4.离心率
(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率。用表示，即 = 。
(2)性质：①
②形象记忆：因为a>c>0,所以0<e<1.e越趋向于1越扁，形如
椭圆的简单几何性质ppt课件
探究 离心率对椭圆形状的影响
a=1.81
c=1.2
a=1.81
c=1.5
c
=0.66
a
c
=0.83
a
离心率越大，椭圆越扁
离心率越小，椭圆越圆
c
a 2 b2
b2
e与a,b的关系: e
1 2
2
a
a
a
离心率反映
椭圆的扁平
程度
焦点的位置
焦点在x轴上
y
图形
标准
方程
范围
对称性
顶点坐标
轴长
焦点坐标
a
b
a 2 b 2 1,
消去y,得关于x的一元二次方程.
2
2
相交
当Δ>0时,方程有两个不同解,直线与椭圆_____;
y
当Δ=0时,方程有两个相同解,直线与椭圆_____;
相切
B(x2,y2)
相离
当Δ<0时,方程无解,直线与椭圆_____.
A(x1,y1)
3.弦长公式
设直线l与椭圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
x12
y12
2 1
2
a
b
2
2
x
y
2 2 1
b2
a2
两式相减得：
y1 y1
b2 x1 x2
b2 x0
2
2
x1 x2
a y1 y1
a y0
k AB
2
2
【典例 2】已知椭圆 C:2 + 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,过点 F 的直线 x-y+ 2=0 与椭
a=1.81
c=1.2
a=1.81
c=1.5
c
=0.66
a
c
=0.83
a
离心率越大，椭圆越扁
离心率越小，椭圆越圆
c
a 2 b2
b2
e与a,b的关系: e
1 2
2
a
a
a
离心率反映
椭圆的扁平
程度
焦点的位置
焦点在x轴上
y
图形
标准
方程
范围
对称性
顶点坐标
轴长
焦点坐标
a
b
a 2 b 2 1,
消去y,得关于x的一元二次方程.
2
2
相交
当Δ>0时,方程有两个不同解,直线与椭圆_____;
y
当Δ=0时,方程有两个相同解,直线与椭圆_____;
相切
B(x2,y2)
相离
当Δ<0时,方程无解,直线与椭圆_____.
A(x1,y1)
3.弦长公式
设直线l与椭圆的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
x12
y12
2 1
2
a
b
2
2
x
y
2 2 1
b2
a2
两式相减得：
y1 y1
b2 x1 x2
b2 x0
2
2
x1 x2
a y1 y1
a y0
k AB
2
2
【典例 2】已知椭圆 C:2 + 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,过点 F 的直线 x-y+ 2=0 与椭
椭圆的简单几何性质(共29张)-完整版PPT课件
x2 y2 1(a b 0) a2 b2 -a ≤ x≤ a, - b≤ y≤ b
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
-a ≤ y ≤ a, - b≤ x ≤ b
对称性
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
顶点坐标
焦点坐标 半轴长
离心率
a、b、c 的关系
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b)
则|PayF22 1|=bx22a+（1eya0>，b>|P0F）2同|=下理a焦:-eya点c02P。F为2其x0F中1a，c|P上F1焦|、点|P为FF2|叫2，焦P0半（径x0.,y0）为椭圆上一点，
c a2
PF2
( a
c
x0 ) a ex0
本堂检测
练习：P42 T2、3、5
D 1.椭圆
即离心率是反映椭圆扁平程度的一个量。
结论：离心率越大，椭圆越扁； 离心率越小，椭圆越接近圆。
思考：当e＝0时，曲线是什么？
当e＝1时曲线又是什么？
[3]e与a,b的关系:
e c a
a2 b2 a2
b2 1 a2
内容升华
两个范围，三对称 四个顶点，离心率
定义 标准方程
与两个定点F1、F2 的距离的和等于常数(大于 |F1F2|)
c
三、椭圆的焦半径公式
已知椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)上一点P的横坐标是x0 ,
F1、F2分 别 是 椭 圆
PF1 a ex0 , PF2
的 左 、 右 焦点
a ex0。
，
且e为
离
心率
Y
，
则
3.1.2椭圆的简单几何性质(第1课时)课件(人教版)
基础巩固2：由椭圆的几何性质求方程
[例2]求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在x轴上, a 6, e 1 ; c 2 b2 32 x2 y2 1
3
36 32
(2)焦点在y轴上, c 3, e 3 ; 5
a 5 b2
16
y2 x2 1 25 16
(3)过P(3,0), Q(0,2)两点;
-a≤x≤a，-b≤y≤b
-b≤x≤b，-a≤y≤a
长轴为A1A2=2a，短轴为B1B1=2b 关于x轴、y轴、原点对称
e c a
1
b2 a2
| F1F2 | | PF1 | | PF2
|
0 e 1
e越接近1, 椭圆越扁平; e越接近0, 椭圆越接近圆.
基础巩固1：由方程确定椭圆的几何性质
x2 36
y2 20
1上在第一象限的点, 且MF1F2
为等腰三角形, 则M的坐标为_(_3,__1_5_)___.
y
M
析: MF1 F1F2 8
由焦半径的公式得MF1
a exM
6
4 6
xM
8
xM 3, 代入方程yM 15.
y
F1 O
x F2
a2 36 a 6
析:S 14 2
82
P3(x, y)
设P(
x,
y
)是椭圆上任一点,
则P满足
x a
2 2
y2 b2
1,
P1(x, y)也满足方程 任一点P关于x轴的对称点也在椭圆上
椭圆关于x轴对称
P2 (x, y)也满足方程 椭圆关于y轴对称 P3(x, y)也满足方程 椭圆关于原点对称
P1(x, y)
3.1.2椭圆的简单几何性质课件(人教版)
a
a2=b2+c2 (a b 0)
例题巩固
x2
例1 1、椭圆 y 2 1的离心率为( D )
3
A.
2
3
B.
2
3
C.
2 3
3
y
D.
6
3
2
2
B2
x
y
2.已知椭圆 16x2 + 25y2 =400，则： 25 16 1
长轴长是 10 ,
长半轴长是
短轴长是 8
,
短半轴长是
焦距是
,
离心率是
2
2
2
2 4 2
∴|F1F2| +|MF2| =|MF1| ,即 4c +9b =|MF1|2,
根据椭圆的定义得|MF1|+|MF2|=2a,
可得|MF1| =(2a-|MF2|) =
2
∴
2
2
2
2- ,
3
2
2
4
2- =4c2+ b2,整理得
3
9
2
3
3(a2-c2)=2ab,所以 3b2=2ab,解得 b= a,
6
焦点坐标是 (±3,0 ,)
5
4
A1
;
;
0.6 ;
顶点坐标是 (0, ±4)、(±5, 0);
F1 o
B1
F2 A2x
例题巩固
例2 根据下列条件求椭圆的标准方程:
(1)在x轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为8.
6
(2)椭圆过点(3,0),离心率 e= ;
3
2
2
(1)设椭圆的标准方程为2 + 2 =1(a>b>0).
a2=b2+c2 (a b 0)
例题巩固
x2
例1 1、椭圆 y 2 1的离心率为( D )
3
A.
2
3
B.
2
3
C.
2 3
3
y
D.
6
3
2
2
B2
x
y
2.已知椭圆 16x2 + 25y2 =400，则： 25 16 1
长轴长是 10 ,
长半轴长是
短轴长是 8
,
短半轴长是
焦距是
,
离心率是
2
2
2
2 4 2
∴|F1F2| +|MF2| =|MF1| ,即 4c +9b =|MF1|2,
根据椭圆的定义得|MF1|+|MF2|=2a,
可得|MF1| =(2a-|MF2|) =
2
∴
2
2
2
2- ,
3
2
2
4
2- =4c2+ b2,整理得
3
9
2
3
3(a2-c2)=2ab,所以 3b2=2ab,解得 b= a,
6
焦点坐标是 (±3,0 ,)
5
4
A1
;
;
0.6 ;
顶点坐标是 (0, ±4)、(±5, 0);
F1 o
B1
F2 A2x
例题巩固
例2 根据下列条件求椭圆的标准方程:
(1)在x轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为8.
6
(2)椭圆过点(3,0),离心率 e= ;
3
2
2
(1)设椭圆的标准方程为2 + 2 =1(a>b>0).
椭圆的简单几何性质ppt课件
研究直线与椭圆的位置关系的思路方法
1．研究直线与椭圆的位置关系，可联立直线与椭圆的方程，消元后用 判别式讨论． 2．求直线被椭圆截得的弦长，一般利用弦长公式，对于与坐标轴平行 的直线，直接求交点 坐标即可求解． 3．有关弦长的最值问题，可以运用二次函数性质、一元二次方程的判 别式、基本不等式等来求解.
m
4
4.已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的左､右焦点分别为 F1 ，F2
，A
15 2
,
1 2
在椭圆
B C 上，且 AF1 AF2 ，则椭圆 C 的长轴长为( )
A. 5
B. 2 5
C. 5 或 3
D.2 5 或2 3
解析：由 AF1
AF2 ，得
OA
1 2
F1F2
，所以c
3.1.2 椭圆的简单几何性质
学习目标
01 掌握椭圆的范围、对称点、顶点、离心率等简单性质 02 能 利 用 椭 圆 的 简 单 性 质 求 椭 圆 方 程 03 能 用 椭 圆 的 简 单 性 质 分 析 解 决 有 关 问 题 04 理 解 数 形 结 合 思 想
学习重点
椭圆的几何性质
学习重点
y2 b2
1 (a
b
0) 的长半轴长为
a，半焦距为
c.利
y
用信息技术，保持长半轴长 a 不变，改变椭圆的半焦距
c，可以发现，c 越接近 a，椭圆越扁平.类似地，保持 c
O
x
不变，改变 a 的大小，则 a 越接近 c，椭圆越扁平；而
当 a，c 扩大或缩小相同倍数时，椭圆的形状不变.
这样，利用c和a这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度.
椭圆的简单几何性质课件
∴椭圆的长轴长 2a＝m2 ，短轴长 2b＝m1 ，
焦点坐标为－2m3，0，2m3，0，
顶点坐标为m1 ，0，－m1 ，0，0，－21m，0，21m.
3
离心率
e＝ac＝21m＝
3 2.
m
小结 已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标 准形式，不确定的要分类讨论，找准 a 与 b，才能正确地写 出焦点坐标、顶点坐标等．
直线 PF1 的方程为 x＝－c， 代入方程xa22＋by22＝1，得 y＝±ba2，∴P－c，ba2.
又 PF2∥AB，∴△PF1F2∽△AOB.
∴||FP1FF12||＝||AOOB||，∴2ba2c＝ba，∴b＝2c. ∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴ac22＝15.
∴e2＝15，即
e＝
55，所以椭圆的离心率为
5 5.
小结 求椭圆离心率的方法： ①直接求出 a 和 c，再求 e＝ac，也可利用 e＝
1－ba22求解．
②若 a 和 c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到 a 和 c 的齐次等式关系，然后整理成ac的形式，并将其视为整体，
就变成了关于离心率 e 的方程，进而求解．
探究点三 求椭圆的离心率
例 3 如图所示，椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，A，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且 PF1⊥x 轴，PF2∥AB， 求此椭圆的离心率． 解 设椭圆的方程为xa22＋by22＝1 (a>b>0)．
如题图所示，则有 F1(－c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)，
探究点二 由椭圆的几何性质求方程
例2
椭圆过点(3,0)，离心率
e＝
6，求椭圆的标准方程． 3
椭圆的简单几何性质完整版课件
②当m>4时，a＝ m，b＝2， ∴c＝ m－4， ∴e＝ac＝ mm－4＝12，解得m＝136， ∴a＝4 3 3，c＝2 3 3，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为
83 3
，4，焦点坐标为
F10，－2
3
3，F20，2
3
3，顶点坐标为A10，－4
3
3，A20，4
3
3，
B1(－2,0)，B2(2,0)．
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参 数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝ac等．
(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦 点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有 两个．
提醒：与椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为
试总结根据椭圆的标准方程研究其几何性质的基本步骤.
[提示] 1将椭圆方程化为标准形式. 2确定焦点位置.焦点位置不确定的要分类讨论 3求出a，b，c. 4写出椭圆的几何性质.
[跟进训练] 1．已知椭圆C1：1x020＋6y42 ＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短 轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质．
1234 5
3．已知椭圆C2过椭圆C1：
x2 14
＋
y2 9
＝1的两个焦点和短轴的两个
端点，则椭圆C2的离心率为( A )
A．23
B．
2 2
C．12
D．13
1234 5
4．与椭圆y42＋x32＝1有相同的离心率且长轴长与x82＋y32＝1的长轴 长相等的椭圆的标准方程为________．
椭圆的简单几何性质4市公开课一等奖省优质课获奖课件
P
最大值为14.
最小值为8.
F1 O
F2
x
第11页
结构函数法：
例4
设F1、F2为椭圆
x2 y2 43
1 左、
右焦点，P为椭圆上一动点，点P到椭
圆右准线距离为d，若|PF2|2=md|PF1|求
m取值范围.
y
Pd
e
[
1 6
,
3 2
]
F1 O
F2
x
第12页
几何法 例5.已知F1、F2是椭圆左右焦点， 若其右准线存在一点P使PF1中垂线 恰过点F2, 求椭圆离心率取值范围.
B1
第5页
新知探究
3.点M在椭圆上运动，当点M在什么位 置
时，∠yF1MF2为最大？点M为短轴端点.
M
F1 O
F2
x 此时△F1MF2面积 最大
第6页
专题：求变量取值范围或最值
思想方法： 1.函数法： 化归为求函数值域或最值 2.不等式法：建立变量不等式并求解 3.几何法：从几何图形中确定临界值
A1 F
O
1
B1
F2
A2 x
|MF2
又 |2 =
x02 a2
y02 b2
ac22（x0
-
a2 c
1 )2
a x0 a
当x0 a，| MF2 | 有最大值a c;
当x0 a，| MF2 | 有最小值a c;
第4页
A1 F
1
y B2 M
|MF2|min=|A2F2| =a-c
O
F2
A2
x
|MF2|max=|A1F2| =a+c
新知探究
椭圆中几个最值：
最大值为14.
最小值为8.
F1 O
F2
x
第11页
结构函数法：
例4
设F1、F2为椭圆
x2 y2 43
1 左、
右焦点，P为椭圆上一动点，点P到椭
圆右准线距离为d，若|PF2|2=md|PF1|求
m取值范围.
y
Pd
e
[
1 6
,
3 2
]
F1 O
F2
x
第12页
几何法 例5.已知F1、F2是椭圆左右焦点， 若其右准线存在一点P使PF1中垂线 恰过点F2, 求椭圆离心率取值范围.
B1
第5页
新知探究
3.点M在椭圆上运动，当点M在什么位 置
时，∠yF1MF2为最大？点M为短轴端点.
M
F1 O
F2
x 此时△F1MF2面积 最大
第6页
专题：求变量取值范围或最值
思想方法： 1.函数法： 化归为求函数值域或最值 2.不等式法：建立变量不等式并求解 3.几何法：从几何图形中确定临界值
A1 F
O
1
B1
F2
A2 x
|MF2
又 |2 =
x02 a2
y02 b2
ac22（x0
-
a2 c
1 )2
a x0 a
当x0 a，| MF2 | 有最大值a c;
当x0 a，| MF2 | 有最小值a c;
第4页
A1 F
1
y B2 M
|MF2|min=|A2F2| =a-c
O
F2
A2
x
|MF2|max=|A1F2| =a+c
新知探究
椭圆中几个最值：
椭圆的简单几何性质：课件一(15张PPT).ppt
是长轴顶点， 是短轴顶点 解:(1)P是长轴顶点，Q是短轴顶点 是长轴顶点 轴上． 故a=3，b=2，焦点在 轴上． ， ，焦点在x轴上 x2 y2 即椭圆的方程为 + =1 9 4 (2)a=10，离心率 ／a=0.6 离心率c／
x2 y2 + =1 故c=6，b=8．若焦点在x轴上，则 64 ， ．若焦点在 轴上， 100 轴上 x2 y2 =1 若焦点在y轴上 轴上， 若焦点在 轴上，则 + 64 100
对称轴：x轴、y轴 对称轴： 轴 轴 对称中心： 对称中心：原点
(±a,0) (0,±b) (0,±a) (±b,0) ± ± ± ±
c e = ,0 < e < 1 a
求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的 求椭圆 的长轴和短轴的 离心率、焦点和顶点的坐标． 长、离心率、焦点和顶点的坐标．
2
2
比较下列每组中椭圆的形状， 比较下列每组中椭圆的形状， 哪一个更圆，为什么？ 哪一个更圆，为什么？
x2 y2 2 2 (1)9x + y = 36， + = 1； 16 12 1 第一个椭圆的离心率 = 2 2 第二个椭圆的离心率 = e2 e1
e1＞e2，所以第二个椭圆比较圆． 所以第二个椭圆比较圆．
求下列椭圆的焦点坐标： 求下列椭圆的焦点坐标：
x y 2 2 (1) + = 1； (2)2 x + y = 8． 100 36
(1)a=10，b=6，c=8， 焦点在 轴， ， ， ， 焦点在x轴 (1) 焦点(-8 焦点 ，0)，(8，0)； ， ；
x2 y2 (2)先化为标准方程 (2)先化为标准方程 + =1 ４ ８ a= ２２ ，b=4，c=2， 焦点在y轴 ， ， 焦点在 轴， 焦点(0 焦点 ，-2)，(0，2)． ， ．
x2 y2 + =1 故c=6，b=8．若焦点在x轴上，则 64 ， ．若焦点在 轴上， 100 轴上 x2 y2 =1 若焦点在y轴上 轴上， 若焦点在 轴上，则 + 64 100
对称轴：x轴、y轴 对称轴： 轴 轴 对称中心： 对称中心：原点
(±a,0) (0,±b) (0,±a) (±b,0) ± ± ± ±
c e = ,0 < e < 1 a
求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的 求椭圆 的长轴和短轴的 离心率、焦点和顶点的坐标． 长、离心率、焦点和顶点的坐标．
2
2
比较下列每组中椭圆的形状， 比较下列每组中椭圆的形状， 哪一个更圆，为什么？ 哪一个更圆，为什么？
x2 y2 2 2 (1)9x + y = 36， + = 1； 16 12 1 第一个椭圆的离心率 = 2 2 第二个椭圆的离心率 = e2 e1
e1＞e2，所以第二个椭圆比较圆． 所以第二个椭圆比较圆．
求下列椭圆的焦点坐标： 求下列椭圆的焦点坐标：
x y 2 2 (1) + = 1； (2)2 x + y = 8． 100 36
(1)a=10，b=6，c=8， 焦点在 轴， ， ， ， 焦点在x轴 (1) 焦点(-8 焦点 ，0)，(8，0)； ， ；
x2 y2 (2)先化为标准方程 (2)先化为标准方程 + =1 ４ ８ a= ２２ ，b=4，c=2， 焦点在y轴 ， ， 焦点在 轴， 焦点(0 焦点 ，-2)，(0，2)． ， ．
椭圆的简单几何性质 课件
据椭圆定义得|BF1|＋|BF2|＝2a，
即 c＋ 3c＝所2以a，
c＝ 3－1. a
所以椭圆的离心率为 e＝ 3－1.
【方法技巧】求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a,c可直接利用 e 求c解.若已知a,b或b,c
a
可借助于a2=b2+c2求出c或a，再代入公式e c 求解.
的距离为 1 |OF1|，则椭圆的离心率为( )
2
A. 1
B. 3 1
C. 2
D. 2 1
3
2
(3)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直
线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心
率.
【解题探究】1.题(1)由条件 3DF1 DA能得2D到F2什么结 论？ 2.题(2)求解离心率的关键是什么？ 3.题(3)当椭圆中涉及其他平面几何图形时，一般要注意什 么？
所以|AF1|= 3c,
所以2a=|AF1|+|AF2|= 3 1 c,
所以 e 3 1.
(3)不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为 AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，所以 在Rt△AF1F2中，∠AF2F1=30°,令|AF1| =x,则|AF2|=2x, 所以 F1F2 AF2 2 AF1 2 3x 2c, 再由椭圆的定义，可知|AF1|+|AF2|=2a=3x, 所以 e 2c 3x 3 .
【探究提示】1.将向量的等量关系转化为坐标间的关系，取
D(0，b)得3(-c,-b)=(-a,-b)+2(c,-b). 2.由题意求a,c的值或构造a,c的关系式，求 的c 值.
a
3.当椭圆中涉及其他平面几何图形时，注意利用平面图形的几
相关主题
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∠PF1F2=75°,∠PF2F1=15°,则椭圆的离心率为(A
(A) 6
3
(B) 2
2
(C) 3
2
(D) 2
3
2. P 为椭圆 x2 y2 1上任意一点，F1、F2 是焦点， 43
则∠F1PF2 的最大值是 60 .
6
椭圆的简单几何性质(二)
一、知识学习 复习几何性质 本课小结
二、例题分析 思考1
F1(0, -c),F2(0, c) (c a2 b2 )
c e (0 e 1)
a
8
学习小结:
1.利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程，
先确定焦点位置，然后用待定系数法求 a 与
b 的值;
2.椭圆的标准方程还可以设成 mx2+ny2=1
(m>0,n>0,m≠n);
3.利用椭圆的几何性质解题必须始终贯彻数
椭圆的简单几何性质(一)
一、知识学习
本课小结
二、例题分析 例1(见课本)
三、课堂练习(课本 P52 练习 1、2)
作业:课本 P53 3⑴ 、4⑵ 1
椭圆的简单几何性质(一)
椭圆的标准方程
图形
A1
x2 y2
a2
yB
b2
1(a b 0)
线段 A1 A2 叫做长轴
2M
线段 B1B2 叫做短轴
F1 o
F2 A
x
2
焦点
B1
F1(-c,0)，F2(c,0)
(c
a2 b2 )
范围
a ≤ x≤a ,b≤ y ≤b
对称性 关于 y 轴对称 、关于 x 轴对称 、关于原点对称
顶点 离心率
动画
A1
(
a,
0)、A2
(a,
c
0)
B1 (0, b)、B2 (0,
e (0 e 1)
a 用什么量来反映焦点离开中心的程度呢?
⑴解:∵直线 3x 4 y 12 0 与两坐标轴的 交点是 (4, 0), (0, 3) ,
∴焦点在 x 轴上,且 a 4,b 3
∴所求的方程是 x2 y2 1 . 16 9
10
2答案
3答案
思考 1:求适合下列条件的椭圆的标准方程:
⑵经过(3，0)点且离心率等于 6 ;
⑵解:∵椭圆经过点 (3, 0)
3
①当椭圆的焦点在 x 轴上时，则 a＝3, c ＝ 6 ,∴c＝ 6 .
从而 b2＝a2－c2＝9－6＝3，∴椭圆的方a 程为3x 2 y 2 ＝1．
②当椭圆的焦点在 y 轴上时,则 b＝3, c ＝
69
,
3
a3
∴ a2 b2 ＝ 6 ，∴a2＝27．∴椭圆的方程为 x2 y 2 ＝1．
a
3
9 27
∴椭圆的方程为 x 2 y 2 ＝1 或 x2 y2 1．
93
9 27
11
思考 1:求适合下列条件的椭圆的标准方程:
⑶经过两点 (2, 2) 与 (1, 14 )
2
⑶解:设所求方程为 x2 y2 1 (A 0, B 0, A B)
A
依题意得
4 A
2 B 7
1
B
解得 A=8,B=4
1
2
1
A B ∴所求方程为 x
2
y2
1.
84
12
思考 2: 焦点 F(1，0)到椭圆 x2 y2 1 上的点 2
的最大距离是 1 .2
解:设
P ( x0,
y0 ) 椭圆
x2 2
y2
1 上的任一点,
则
x02 2
y02
1,
∵ PF
( x0 1)2 y02
( x0
1)2
1
x02 2
取任一点来 分析,试求距
A1
(0
,
a)、A2
(0, a)
c
B1(b, 0)、B2 (b, 0)
e (0 e 1) a
4
学习小结:
椭圆的标准方程
图形
A1
x2 y2
a2
yB
b2
1(a b 0)
线段 A1 A2 叫做长轴
2M
线段 B1B2 叫做短轴
F1 o
F2 A
x
2
焦点
B1
F1(-c,0)，F2(c,0)
=
x02 2
2 x0
2
=
x02 4x0 4 = x0 2
2
2
离的函数表 达式,转化为 求函数最值
∵ 2 ≤ x0 ≤ 2
问题.
∴当 x0 2 时, PF 取得最大值为1 2
13
一般地
思考3
(一般地)已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1
(
a
b
0
), 左 焦 点
F左 (c, 0) ,右焦点 F右 (c, 0) , P( x0, y0 ) 是椭圆上任一点
x2 y2
b2 a2 1(a b 0)
y
F2 M
线段 A1 A2 叫做长轴
图形
ox
线段 B1B2 叫做短轴
F1
焦点
F1(0, - c),F2(0, c) (c a2 b2 )
范围
a ≤ y ≤ a , b ≤ x ≤b
对称性 顶点 离心率
关于 y 轴对称 、关于 x 轴对称 、关于原点对称
思考2
思考3
三、课堂练习
作业:课本 P53A组5⑴⑵、6
7
标准方程
y2 a2
x2 b2
1(ab来自0)图形y
F2 M
ox
F1
范围 对称性 顶点 焦点 离心率
a ≤ y ≤ a , b ≤ x ≤b
关于 y 轴对称 、关于 x 轴对称 、关于原点对称
A1(0, a)、A2(0, a) B1(b, 0)、B2 (b, 0)
(c
a2 b2 )
范围
a ≤ x≤a ,b≤ y ≤b
对称性 顶点 离心率
关于 y 轴对称 、关于 x 轴对称 、关于原点对称
A1
(
a,
0)、A2
(a,
c
0)
B1 (0, b)、B2 (0, b)
e (0 e 1) a
5
选做作业:
1.P
为椭圆 x 2
a2
y2 b2
=1
上一点，F1、F2 为焦点,如果
试求 PF左 及 PF右 的表达式,并判断 PF右 的最大值为
a c ( e 是离心率).
解:∵ PF右
( x0 c)2 y02 =
( x0
c)2
b2
b2 x02 a2
=
∵
c2 x02
aa≤2
2x0c
x0 ≤
a
a2 =
,0
c2
e
x02
1
2ca2 a2
x0
a4
=
cx0 a2 a
形结合的思想方法，把实际问题转化为数学
问题也常借助于数形结合.
注:自学课本第 49 页例 5
作业:课本 P53A组5⑴⑵、6
9
思考 1:求适合下列条件的椭圆的标准方程: ⑴经过直线 3x 4 y 12 0 和两坐标轴的交点;
⑵经过(3，0)点且离心率等于 6 ;
3
⑶经过两点 (2, 2) 与 (1, 14 ) . 2
b)
2
定义:我们把椭圆的焦距与长轴长的比 2c 2a
即 c 称为椭圆的离心率,用 e 表示,即 e c .
a
a
(离心率可以形象地理解为在椭圆长轴不变的
情况下,椭圆的焦点离开中心的程度.)
e 越大,焦点离中心越远,椭圆越扁;
e 越小,焦点离中心越近,椭圆越圆;
0e1
3
返回
另一种方程研究:
椭圆的标准方程