举重比赛运动员成绩与体重的关系

数学模型

主 题 举重比赛运动员成绩与体重的关系 专业、班 自动化1306班

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指导教师 苏厚胜

举重比赛运动员成绩与体重的关系

摘要：利用1996年奥运会举重比赛冠军的成绩进行了成绩与体重之间关系的研究，利用统计学、高等数学的知识建立了线性，高阶多项式和低阶多项式三个模型。使用Excel、MATLAB等软件进行拟合，其中低阶多项式模型最佳。利用2008年北京奥运会实际赛果对模型进行了检验，效果较好。结论可用于举重运动员比赛成绩的预测和评估。

关键词：Excel，MATLAB，数学模型，拟合.

一．问题的提出

在现代奥运会举重比赛中，比赛前运动员都要称体重，并且最后运动员的成绩只计算抓举和挺举的总成绩，如总成绩相同则赛前体重轻者列前。一般情况下，最终获奖级别越高，体重越重，举起的重量也越大，那么可设想同一级别的运动员，体重越大的，举起的重量应该越大。也就是说，运动员的体重与总成绩应该有着密切的关系。

下表是1996年亚特兰大奥运会竞赛的冠军成绩，试在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重的关系。

某届奥运会举重冠军成绩表

二．问题假设

1.举重运动员的总成绩是生理条件，心理因素等众多因素共同作用的结果。

2.本文的研究重点只考虑体重的因素，假设运动员其他条件相差不大。

3.无差别级运动员体重差异大，模型将不考虑108kg以上级别.

三．问题分析

将问题中所给的数据导入Excel中，观察散点图，可发现举重成绩是体重的增函数。

图1

若认为举重成绩与体重呈近似线性关系，可使用Excel 进行线性拟合.图2是通过Excel 得出的关于实际成绩散点与线性拟合值对比图。

图2

抓举、挺举、总成绩与体重线性拟合的结果分别为：

22

21.187273.242(0.9288);y 1.418789.362(0.9362);2.6153162.1(0.9516);

y x R x R y x R

看一下经验模型拟合数据与实际数据的比较，如表：

0501001502002503003504004505000

20

40

60

80

100

120

成绩—体重散点图

y = 1.1872x + 73.242

R² = 0.9288y = 1.4187x + 89.362

R² = 0.9362

y = 2.6153x + 162.1

R² = 0.9516

0501001502002503003504004505000

20

40

60

80100120

从拟合效果看有可取之处。但单纯把成绩看作体重的一次线性函数过于简单，从函数图来看，函数图呈凸状。成绩随体重的增长率逐渐减小。成绩函数y(x)应该具有更为复杂的形式。

四． 模型的建立与求解

1. 高阶多项式模型

由泰勒展开式，我们知道几乎所有函数都可以用一个有限项的多项式函数来拟合。

根据我们已经学习到的知识，我们知道，唯一的一条直线y=ax+b 能够通过两个给定的数据点。按直线通过点（x1,y1）和（x2，y2）的条件确定a 和b，那么

1122;

;

y a bx y a bx

类似地，有唯一的一个最高阶为2的多项式2y a bx cx 能够通过三个不同的点.解下列线性方程组可确定a,b 和c

211122222333;

;;

y a bx cx y a bx cx y a bx cx 以此类推，由N 个点可写出一个最高项为N-1的多项式，达到计算值与实际值完全重合的效果。

现在选取2,3,4,5,6,8,9这7个点做计算数据来拟合一个最高阶为6的多项式。第1组和第7组数据作为检验模型准确度的数据。

令 123456;y a bx cx dx ex fx gx

七个数据点要求常系数a,b,c,d,e,f,g 满足线性代数方程组：

2345623456234562

3

4

5

6

234562307.5595959595959;335646464646464;

357.5707070707070;367.5767676767676;

392.5838383838383;420999999a b c d e f g a b c d e f g a b c d e f g a b c d e f g a b c d e f g a b c 345623456999999;

430108108108108108108;

d e f g a b c d e f g

借助MATlAB 获得上述方程组的解

-29.4168871592129; b = -379.1924794653903;

c = 23.9685211965220;

d = -0.5890935000542;

e = 0.0071518715259;

f = -0.0000429503502;

g = 0.0000001020930;

a

现在看一下经验模型拟合数据与实际数据的比较，得到：

图3

由图表可以看出，除第一组数据，其他组的实际值与预测值基本吻合。这一模型十分好的追踪了数据的趋势。

注意这一多项式虽然通过代入计算了的数据点（在计算机舍入误差的容忍限内），在区间端点的附近，多项式有严重的摆动。如作为检验数据的第一组数据的预测值与实际值相差39.5，这一点的估计甚至不如一次线性模型。可见该模型某一个特定举重运动员的能力预测存在区间上的局限性。下面将考虑低阶多项式模型来改进发现的这个不足。

2. 低阶多项式模型

为了保留高阶多项式的优点和改进其缺点，我们构造一个低阶多项式，低阶多项式通常不会通过全部数据点。那么，现在的问题是，如何确定低阶多项式的最高阶，第二根据何种准则来确定最佳拟合多项式的系数。

0501001502002503003504004505000

20

40

60

80

100

120

总成绩

体重