极大无关组求法.ppt
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高等数学线性代数极大线性无关组的性质于应用教学ppt(3)
向量组 B :1, ,m ,m1 也线性相关.反言之,
若向量组B 线性无关,则向量组A也线性无关 .
证
1,2 ,
,
线性相关,
m
存在不全为0的数x1, x2 , , xm,使
x11 x22 xmm =0,
从而存在不全为0的数x1, x2, , xm,0,使
x11 x22 xmm +0m+1=0.
ann xn 0,
a11 a12
a1n
当 a21 a22
a2n 0, 方程组(1)只有零解.
an1 an2
ann
定理2
向量组 1, 2, , m (m 2)线性相关
1, 2,
,
中至少有一个向量可
m
由其余向量线性表示.
证明 充分性
设 a1 , a2 ,, am 中有一个向量（比如 am）
能由其余向量线性表示. 即有
向量组线性表示.
例4 将向量 (1, 0, 4)T 用向量组1 (0,1,1)T ,
2 (1, 0,1)T ,3 (1,1, 0)T 线性表出.
解 设x11 x22 x33 , 即
0x1 1x2 1x1 0x2
1x3 1x3
1, 0,
1x1 1x2 0x3 4,
解得x1
l11 l22 lmm ,
(k1 l1)1 (k2 l2 )2 (km lm )m 0,
1,2 ,
,
线性无关,
m
表示式唯一. Page56 例6； Page57. 例8； Page59. 例9
四、小结
１. 线性组合与线性表示的概念；
２. 线性相关与线性无关的概念；（重点）
３. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 两个定理．（难点）
§3 向量组的秩与极大线性无关组
同的线性相关性。
A 1 , 2 ,
初等行变换 , n B 1 , 2 ,
, n
AX 0 与 BX 0 同解
定理
矩阵A的秩等于A的行(列)向量组的秩。
矩阵的秩的定义：存在 K 阶子式不为 0，对任意 K+1 阶子式均为 0， 则 k 即为矩阵的秩。
km 0 时，k11 k2 2
km m 0 才
成立，或者说， k1 , k2 , , km 不全为零，那么 k11 k22 kmm 必不 为零.）
定理 向量组 1 , 2 , , m 线性相关
齐次线性方程组 1 , 2 ,
x1 x2 , m 0 有非零解 xm
线性无关组等价。
性质 如果多数向量能用少数向量线性表示出， 那么多数向量一定线性相关。
性质
1 , 2 , 如果向量组 A：
R(1 , 2 ,
, m 可由向量组 B： 1 , 2 ,
, n
线性表示，则向量组A的秩不超过向量组B的秩，即
, m ) R( 1 , 2 , , n )
例：设矩阵
2 1 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 3 6 9 7
2 4 4 9
求矩阵 A 的列向量组的一个极大线性无关组，并把不属于极
大线性组的列向量用极大无关组线性表示．
解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵． 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 r 1 1 2 1 4 0 1 1 1 0 ~ A 4 6 2 2 4 0 0 0 1 3 3 6 9 7 9 0 0 0 0 0 行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故R(A) = 3 ． 第二步找B的一个3阶非零子式．可取行阶梯形矩阵中非零行 的第一个非零元所在的列 ，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、 二、四列． 2 1 1 1 1 1 r 1 1 1 0 1 1 A0 (a1 , a2 , a4 ) ~ B0 4 6 2 0 0 1 3 6 7 0 0 0
3-3向量组的极大无关组
1 1 2 2
的一个极大线性无关组，简称为极大无关组。
信息系 刘康泽
1 0 1 2 例 如 , 设 1 , 2 , 3 , 4 ， 例1 0 1 1 2
则 ： 1 , 2 构 成 1 , 2 , 3 , 4 的 极 大 无 关 组 ，
可 由 1 , ,
r
线性表出, 故对任意
i , 有 i , 1 , , r 可 由 1 , , r 线 性 表 出 . 由 r 1 r
知：
i , 1 , , r ( i 1, , r ) 必 线 性 相 关 .
r
又 1 , ,
1 , 2 , , r ( r s ) ，则 1 , 2 , , r 线性无关且含有
r 个向量， 因而 1 , 2 , , r 也是 1 , 2 , , s , 的一个
极大无关组，从而 可由 1 , 2 , , r 线性表出，故向 量 可由 1 , 2 , , s 线性表出。 （必要性是显然的）
（ 1）
4 1 1 2 2 3 3
又 假 设 5 4 能 由 1 , 2 , 3 线 性 表 示 ， 则 ：
5 4 k 1 1 k 2 2 k 3 3
信息系 刘康泽
( a ) 可由 ( b ) 线性表示；
( b ) 可由 ( b ) 线性表示。
由线性表示的传递性可知：( a ) 可由 ( b ) 线性表示。 而 ( a ) 是线性无关的，故： ( a ) 中向量的个数 „ ( b ) 中向量的个数，
即
r ( 1 , 2 , , m ) „ r ( 1 , 2 , , s ) 。
的一个极大线性无关组，简称为极大无关组。
信息系 刘康泽
1 0 1 2 例 如 , 设 1 , 2 , 3 , 4 ， 例1 0 1 1 2
则 ： 1 , 2 构 成 1 , 2 , 3 , 4 的 极 大 无 关 组 ，
可 由 1 , ,
r
线性表出, 故对任意
i , 有 i , 1 , , r 可 由 1 , , r 线 性 表 出 . 由 r 1 r
知：
i , 1 , , r ( i 1, , r ) 必 线 性 相 关 .
r
又 1 , ,
1 , 2 , , r ( r s ) ，则 1 , 2 , , r 线性无关且含有
r 个向量， 因而 1 , 2 , , r 也是 1 , 2 , , s , 的一个
极大无关组，从而 可由 1 , 2 , , r 线性表出，故向 量 可由 1 , 2 , , s 线性表出。 （必要性是显然的）
（ 1）
4 1 1 2 2 3 3
又 假 设 5 4 能 由 1 , 2 , 3 线 性 表 示 ， 则 ：
5 4 k 1 1 k 2 2 k 3 3
信息系 刘康泽
( a ) 可由 ( b ) 线性表示；
( b ) 可由 ( b ) 线性表示。
由线性表示的传递性可知：( a ) 可由 ( b ) 线性表示。 而 ( a ) 是线性无关的，故： ( a ) 中向量的个数 „ ( b ) 中向量的个数，
即
r ( 1 , 2 , , m ) „ r ( 1 , 2 , , s ) 。
3.3 向量组的极大无关组与秩
矩阵 C的列向量组能由 A的列向量组线性表示，
因此r ( C ) r ( A). 又因为 C T B T AT ,由上段证明知 r ( C T ) r ( B T ), 25 即r ( C ) r ( B).
练习
1.求下列向量组的秩:
T T (1) 1 (2, 1, 1) , 2 (5, 4, 2, ) , 3 (3, 6, 0) T T ( 3 , 1 , 0 , 2 ) ( 1 , 1 , 2 , 1 ) (2) 1 , , 2 3 (1, 3, 4, 4) T .
20
得
1 1 3 2 , 2 1 2 .
1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1
1 0 1 2 2 3 1 1 2 2 , 0 0 0 0 0 0
2 0 1 1 而 ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 3 1 3 1
9
定理3.10
若向量组A可由向量组B线性表示，则
r(A) ≤ r(B)。 推论 若向量组A与向量组B等价，则 r(A) = r(B)。
10
回顾
α1 α2
αm
矩阵A既对应一个行向量组,又对应一 个列向量组: 其中 i ( a i 1 , a i 2 , , a in ), i 1, , m a1 j 1 a2 j 2 j 1, 2, , n
28
23
则r 1 1 , 2 2 , , n n r t r ( A) r ( B) r ( A B) r ( A) r ( B)
r i 1 , i 2 , ir , j 1 , j 2 , jt
3.4 向量组的极大线性无关组
11
第 三 章 n 维 向 量 空 间
§3.4 向量组的极大线性无关组
二、向量组的秩
1. 向量组之间的线性表示 2. 向量组之间的等价 定理 两个等价的向量组中各自的极大线性无关组所含的向量 个数相等。 个数相等。 证明 向量组 α1 , α 2 , L , α m
等价 极大线性无关组 等价 等价
向量组 β 1 , β 2 ,L , β n
等价 极大线性无关组
α i 1 , α i 2 ,L , α i r
β i 1 , β i 2 ,L , β i s
12
第 三 章 n 维 向 量 空 间
§3.4 向量组的极大线性无关组
二、向量组的秩
1. 向量组之间的线性表示 2. 向量组之间的等价 定理 两个等价的向量组中各自的极大线性无关组所含的向量 个数相等。 个数相等。 证明 即 α i 1 , α i 2 ,L , α i r 可由 β i 1 , β i 2 ,L , β i s 线性表示， 线性表示， 线性无关， 且 α i 1 , α i 2 ,L , α i r 线性无关，因此 r ≤ s . 同理 r ≥ s . 即得 r = s .
化为标准形
I 即 C Q = P −1 t 0 0 0
It 0 , 其中 t ≤ s . 0 0 I t 0 = P1 I t 0 , = ( P1 P2 ) 0 0 0 0
下面利用反证法证明 t = s . 18
§3.4 向量组的极大线性无关组
二、向量组的秩
1. 向量组之间的线性表示 2. 向量组之间的等价 3. 向量组的秩 4. 向量组的秩与矩阵秩的关系
16
第 三 章 n 维 向 量 空 间
3.4 极大无关组
2 ' ) A 中每一个 i 可由 j , j ,, j 表出 即 1)+2) 1)+ 2 ')
1 2 r
定义: A : 1 ,,s , A0 : j ,, j 是 A 部分组 若 1) j , j ,, j 线性无关 2 ' ) A 中每一个i 可由 j , j ,, j 表出 (说明 A 与 A0 等价 ) 称 A0 为 A 的极大组, r 为向量组的秩, 记为 r (1 ,2 ,, s ) r (上界,个数超过 r 的 向量相关） 注1 1 ,, s 相关 r(1,2 ,, s ) r s
i j i j
A : 1 ,, s
的极大组满足
1) A 的部分组 2)线性无关组 3)含向量最多
r ( s ) 个
部分组, A0 是 满足 1) j , j ,, j 无关
A0 : j1 ,, jr
是
A
A
极大组
1
2
r
2)任意 r 1(若 )个向量相关
在条件1)之下，2)可等价地换为
( 1 ,2 ,3 ,4 相关 r( A) 4, A (1,2 ,3 ,4 ) ) 2)求 1 ,2 ,3 ,4 极大组,并将其它向量 用极大组表示
解：
1 1 0 4 A (1 ,2 ,3 ,4 ) 1 2 2 1
1 2 3 4
T 1
的列向量组 的行向量组
T m
定理3.4.4
r ( A) r(1 ,, s ) r( ,, )
A 的列秩
A 的行秩
定理3.4.3 初等行(列)变换不改变矩阵 A 的列(行)向量组的线性关系 A 1 ,, s 行 B 1 ,, s
1 2 r
定义: A : 1 ,,s , A0 : j ,, j 是 A 部分组 若 1) j , j ,, j 线性无关 2 ' ) A 中每一个i 可由 j , j ,, j 表出 (说明 A 与 A0 等价 ) 称 A0 为 A 的极大组, r 为向量组的秩, 记为 r (1 ,2 ,, s ) r (上界,个数超过 r 的 向量相关） 注1 1 ,, s 相关 r(1,2 ,, s ) r s
i j i j
A : 1 ,, s
的极大组满足
1) A 的部分组 2)线性无关组 3)含向量最多
r ( s ) 个
部分组, A0 是 满足 1) j , j ,, j 无关
A0 : j1 ,, jr
是
A
A
极大组
1
2
r
2)任意 r 1(若 )个向量相关
在条件1)之下，2)可等价地换为
( 1 ,2 ,3 ,4 相关 r( A) 4, A (1,2 ,3 ,4 ) ) 2)求 1 ,2 ,3 ,4 极大组,并将其它向量 用极大组表示
解：
1 1 0 4 A (1 ,2 ,3 ,4 ) 1 2 2 1
1 2 3 4
T 1
的列向量组 的行向量组
T m
定理3.4.4
r ( A) r(1 ,, s ) r( ,, )
A 的列秩
A 的行秩
定理3.4.3 初等行(列)变换不改变矩阵 A 的列(行)向量组的线性关系 A 1 ,, s 行 B 1 ,, s
第四节 向量组的极大线性无关组
故A是极大线性无关组为 1 , 2 , 4 .
n 例6 设R 中的向量组1 , 2 ,, n 线性无关,证明
向量组
1 =1 + 2 ,2 = 2 +3 ,, n1 = n1 + n , n = n +1,
当n为奇数时线性无关;当n为偶数时线性相关. 向量组1 , 2 ,, n 可以由向量组 证明： 1 0 0 0 1 具体为 1 , 2 ,, n 线性表示. 1 1 0 0 0
1 2 3 4 1 2 3 4 0 1 1 1 0 1 1 1 A 0 0 1 2 1 3 0 3 0 0 0 0 0 7 3 1
13
1 0 0 0
故B的列向量极大线性无关组为 1 , 2 , 3 , 且
0 1 2 n = 1 2 n 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 nn
20
当向量组1 , 2 ,, n 线性无关时,
矩阵1 2 n 可逆,则
i T1 ,
k1i k s 2i , i 1, 2,, r. ksi
i 1 2
2
即
1
2 r
1
2
k11 k 21 s ks1
k12 k1r k22 k2 r , ks 2 k sr
r 1 2 m r r B ;
r 1 2 m r A r
由 r A r AT , 可证明A的秩等于行向量组的秩.
15
r A r. 则有 推论 设A为 m n 矩阵，
极大线性无关组
（1）当P为何值时，该向量组线性无关？
（2）当P为何值时，该向量组线性相关？此时 ，求出它的秩， 和一个极大线性无关组.
解：作矩阵 ， 1 1 3 2
，
1
3
2
6
1 5 1 10
3
1
p2
p
对矩阵A作初等行变换化阶梯形
1 1 3 2 1 1 3 2
A
0
2
1
0 6 4
4
0
1,2线性无关, 而3个二维向量必线性相关. 故
1,2是1, 2 , 3 , 4 的一个极大无关组
1
,
3和
3
,
4等也是1
,
2
,
3
,
的极大无关组.
4
( 5 )向量组的所有极大无关组含向量个数相同
二、向量组的秩
定义 向量组1,2 ,L ,s 的极大无关组所含向量个
数称为这个向量组的秩. R1,2,L ,s r
其中至少有一个向量是其余向量的线性组合
(任一向量都不能由其余向量线性表示) 定理6.1,2,L ,s线性无关， ,1,2 ,L ,s 线性相关
可由 1,2,L ,s 唯一线性表示.
§4. 1 n维向量概念 §4. 2 向量组的线性相关性 §4. 3 极大无关组 §4. 4 线性方程组解的结构
§4. 3 极大无关组
一、极大线性无关组
定义 设 1,2 ,L ,s 为 Pn 中的一个向量组，它的 一个部分组 i1,i2 ,L ,ir 若满足
i) i1,i2 ,L ,ir线性无关； ii) 对任意的 j (1 j s) , j 可经 i1,i2 ,L ,ir
线性表出；
则称 i1,i2 ,L ,ir 为向量组 1,2 ,L ,s 的一个
（2）当P为何值时，该向量组线性相关？此时 ，求出它的秩， 和一个极大线性无关组.
解：作矩阵 ， 1 1 3 2
，
1
3
2
6
1 5 1 10
3
1
p2
p
对矩阵A作初等行变换化阶梯形
1 1 3 2 1 1 3 2
A
0
2
1
0 6 4
4
0
1,2线性无关, 而3个二维向量必线性相关. 故
1,2是1, 2 , 3 , 4 的一个极大无关组
1
,
3和
3
,
4等也是1
,
2
,
3
,
的极大无关组.
4
( 5 )向量组的所有极大无关组含向量个数相同
二、向量组的秩
定义 向量组1,2 ,L ,s 的极大无关组所含向量个
数称为这个向量组的秩. R1,2,L ,s r
其中至少有一个向量是其余向量的线性组合
(任一向量都不能由其余向量线性表示) 定理6.1,2,L ,s线性无关， ,1,2 ,L ,s 线性相关
可由 1,2,L ,s 唯一线性表示.
§4. 1 n维向量概念 §4. 2 向量组的线性相关性 §4. 3 极大无关组 §4. 4 线性方程组解的结构
§4. 3 极大无关组
一、极大线性无关组
定义 设 1,2 ,L ,s 为 Pn 中的一个向量组，它的 一个部分组 i1,i2 ,L ,ir 若满足
i) i1,i2 ,L ,ir线性无关； ii) 对任意的 j (1 j s) , j 可经 i1,i2 ,L ,ir
线性表出；
则称 i1,i2 ,L ,ir 为向量组 1,2 ,L ,s 的一个
2-3 极大无关组
第三节
极大无关组
1. 极大无关组和向量组的秩
2. 矩阵的秩 3. 秩的相关定理
一、极大无关组
定义 7 设有向量组 A ，如果
（i）在 A 中有 r 个向量 1 , 2 , , r 线性无关；
（ii） A 中任意 r 1 个向量（如果 A 中有 r 1 个向量）都 线性相关. 那么称 1 , 2 , , r 是向量组 A 的一个极大线性无关
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
r1 r4 r2 r4 r3 2r1 r4 3r1
6 4 1 4 1 3 1 1 0 4 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
r4 r3
由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R( A) 3.
例
设矩阵 2 1 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 3 6 9 7 2 4 4 9
求矩阵A的列向量组的一个最大 无关组，并把不 属最大无关组的列向量 用最大无关组线性表示 .
下面证明 A 与 C 等价；B 与 C 等价；从而得 A 与 B 等价.
由于 B 可被 A 线性表示， A 可被 A 线性表示.
所以 C 可被 A 线性表示.
A 为 C 的部分组，有 A 可被 C 线性表示.
所以 A 与 C 等价. R( A 组) R(C 组) .
而R( A 组) R( B 组) R( B 组) R(C 组) .
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
r1 r4 r2 r4
1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
极大无关组
1. 极大无关组和向量组的秩
2. 矩阵的秩 3. 秩的相关定理
一、极大无关组
定义 7 设有向量组 A ，如果
（i）在 A 中有 r 个向量 1 , 2 , , r 线性无关；
（ii） A 中任意 r 1 个向量（如果 A 中有 r 1 个向量）都 线性相关. 那么称 1 , 2 , , r 是向量组 A 的一个极大线性无关
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
r1 r4 r2 r4 r3 2r1 r4 3r1
6 4 1 4 1 3 1 1 0 4 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
r4 r3
由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R( A) 3.
例
设矩阵 2 1 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 3 6 9 7 2 4 4 9
求矩阵A的列向量组的一个最大 无关组，并把不 属最大无关组的列向量 用最大无关组线性表示 .
下面证明 A 与 C 等价；B 与 C 等价；从而得 A 与 B 等价.
由于 B 可被 A 线性表示， A 可被 A 线性表示.
所以 C 可被 A 线性表示.
A 为 C 的部分组，有 A 可被 C 线性表示.
所以 A 与 C 等价. R( A 组) R(C 组) .
而R( A 组) R( B 组) R( B 组) R(C 组) .
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
r1 r4 r2 r4
1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
求极大无关组的方法
求极大无关组的方法
求解极大无关组的一种常用方法是使用贪心算法。
贪心算法的基本思路是在每个步骤中做出当前看起来最优的选择，而不考虑未来的情况。
具体步骤如下：
1. 将所有的元素按照某个规则进行排序。
常用的排序规则有按照元素的价值、按照元素的权重等。
2. 从排序后的列表中按顺序遍历元素。
每次选取一个元素，将其加入极大无关组中。
3. 对于每个选取的元素，如果它与已选择的元素相互矛盾，则将其从极大无关组中移除。
也就是说，如果该元素与极大无关组中的某个元素有冲突，则不选取该元素。
4. 继续按顺序遍历下一个元素，重复步骤3，直到遍历完所有元素。
最终得到的极大无关组即为最优解。
需要注意的是，贪心算法不能保证一定能得到全局最优解。
在某些情况下，可能会存在局部最优解或次优解。
另外，选择合适的排序规则是贪心算法成功的关键。
不同的问题需要选择不同的排序规则。
在实际应用中，一般需要根据问题的特点来确定合适的排序规则。
求极大无关组的方法
求极大无关组的方法
那向量组的极大无关组呢，就像是一群小伙伴里最有代表性、最独立的小团体。
一种方法就是定义法啦。
你就从向量组里挑向量，每次挑一个，然后看看这个向量能不能被前面挑出来的向量线性表示。
要是不能呢，就把这个向量加入到你的小团体里。
就好比在一群选手中挑种子选手，这个选手要是有独特的本事，不能被之前挑的人替代，那就入选。
不过这种方法有时候会有点麻烦，计算量可能有点大，就像你在一堆沙子里一颗一颗挑珍珠似的。
还有一种超好用的方法，就是利用矩阵的初等行变换。
先把这些向量组成一个矩阵。
然后就像给这个矩阵做按摩一样，进行初等行变换，把它变成行阶梯形矩阵。
在这个行阶梯形矩阵里，每一个非零行的首非零元所在的列对应的原来的向量，那可就是极大无关组的成员啦。
这就像是在一群小动物里，通过一个特殊的规则，快速找出那些最特别的小动物一样。
这种方法是不是很神奇呀？
咱举个小例子哈。
假设有几个向量，你按照我说的把它们组成矩阵，然后一顿初等行变换操作。
做完之后，你就很容易根据规则找到极大无关组了。
这就好比你按照一个寻宝图，一下子就找到了宝藏的关键部分。
宝子，求极大无关组虽然乍一听有点难，但是掌握了这些方法，就像有了魔法棒一样。
你要是在做相关题目的时候，就大胆地去试这些方法。
多做几道题，你就会发现越来越熟练，就像玩游戏通关一样，一次比一次厉害。
而且呀，你要是真的理解了这些方法，会有一种成就感油然而生呢，就像你解开了一个超级难的谜题一样开心。
加油哦，宝子！。
矩阵的秩及向量组的极大无关组求法.ppt
《线性代数》
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7.3 向量组方面的一些重要方法
定义4 矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩，列向量组的秩 称为矩阵A的列秩. 即
a11 a12
A
a21
a22
a1n a2n
1 2
,
am1
am2
amn
m
行向量组1，2， ，m的秩，称为矩阵A的行秩.
0
b2
A 初等行变换 Br
0
0
0 0
0 0
* c1 r1 * c2 r1
br cr r1 00
00
c1n
c2n
crn
0
0
结论：行阶梯形矩阵Br的非零行的个数，即为矩阵A的秩.
《线性代数》
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例2. 求矩阵
的秩.
1 2 3 2 C 2 4 6 4
3 0 9 6 解: C的最高阶子式三阶子式全部都等于零，即
123 122 232 132 2 4 6 2 4 4 4 6 4 2 6 4 0 309 306 096 396
但二阶子式
1 3
2 0
6 0
所以 r(C) 2.
无关组，即１,２,４是向量组的一个
极大线性无关组.
《线性代数》
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结束
用极大线性无关组表示其它向量的方法
行最简形矩阵 一个矩阵是行最简形矩阵(或称行最简式)是指它为 阶梯形矩阵, 且它的每一行的第一个非零元素均为1, 第一个非零元 素所在的列其余元素均为0．
6--向量组的极大无关组与秩的求法
a11 a21 K as1
a12 a1s a22 a2 s . as 2 ass
则1 , 2 ,, s线性无关 r ( K ) s. 则1 , 2 ,, s线性相关 r ( K ) s.
1 0 0 0 1 1 1 2
1 (1,0,0,3), 2 (1,1, 1, 2), 3 (1, 2, a 3, a), 4 (0,1, a, 2).
0 a 1 0 a 1
1 1 0 0
1 a 2, 0 A a 2 0 0
6向量组的极大无关组与秩的求法求法秩秩的向量组秩的向量组的极大无关组向量组的秩无关组向量的秩
向量组的秩的求法
行秩：矩阵行向量组的秩；列秩：矩阵列向量组的秩。 定理4 ：矩阵的行秩与列秩相等，为矩阵的秩。 推论：向量组的秩与该向量组所构成的矩阵的秩相等。
这实际上给出了一个求向量组秩的方法：先将向量组构成一个矩 阵，然后求矩阵的秩，这个秩就是向量组的秩。 例1：求向量组的秩。
0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 2 1 1 0 1 2 1 , , a 1 0 0 a 1 1 a 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 a 2 3 0 0 0 0 1 0 r (1 , 2 , 3 , 4 ) 3, 2 1 1 , 2 , 4为极大无关组。 , 3 1 r (1 , 2 , 3 , 4 ) 3, 0 0 1 , 2 , 3为极大无关组。
2 1 1 0 0
1 2 0 . 4 0
1 , 2 , 3 , 4线性相关。
r (1 , 2 , 3 ) 3, 1 , 2 , 3是一个极大无关组。
求极大无关组的方法
求极大无关组的方法极大无关组（Maximal Irredundant Set，MIS）是指一个集合中的元素两两不可作为同一个子集的元素。
简单来说，如果一个集合中的元素可以通过去掉其中的任何一个元素而得到另一个极大无关组，那么这个元素就是多余的。
如何求解一个集合的极大无关组呢？下面我将介绍两种常见的方法：贪心算法和团算法。
1. 贪心算法：贪心算法是一种常用的求解极大无关组的方法。
具体步骤如下：（1）选择一个度数最大的顶点放入极大无关组集合中。
（2）删除该顶点及其相关的边。
（3）重复以上步骤，直到图中的所有顶点都被删除。
贪心算法的时间复杂度取决于每次选择顶点的策略，一般情况下是O(n^2)，其中n是顶点的个数。
2. 团算法：团算法是一种使用图来求解极大无关组的方法。
具体步骤如下：（1）构建一个无向图，其中每个顶点表示集合中的一个元素，边表示两个元素之间有关系。
（2）找到所有的最大团。
（3）对于每个最大团，如果它没有和其他最大团交集，则将其加入极大无关组中。
团算法的时间复杂度取决于图的构建和最大团的搜索方法，一般情况下是O(2^n)，其中n是集合中的元素个数。
总结：贪心算法和团算法都是常用的求解极大无关组的方法。
贪心算法相对简单，适用于规模较小的问题；而团算法适用于规模较大的问题，但时间复杂度较高。
在实际应用中，可以根据问题的规模和复杂度要求选择合适的算法。
同时，还可以探索其他算法，比如基于模拟退火的算法、遗传算法等，来求解极大无关组问题。
这些算法在探索解空间和优化问题时具有一定的优势，但也需要根据具体情况进行选择和调优。
在实际问题中，极大无关组可以用于任务分配、资源分配、决策分析等方面。
通过求解极大无关组，可以得到最优的任务、资源或决策分配方案，提高工作效率和决策准确性。
3.4极大线性无关组
(1) 向量组 α 1 ,α 2 ,L ,α s 可以由向量组
α 1 ,α 2 ,L ,α s 必线性相关。 必线性相关。
β 1 , β 2 ,L , β t
如果向量组 α 1 ,α 2 ,L ,α s 可以由向量组 推论1： 推论 ：
线性表示， 线性无关， 线性表示，并且 α 1 ,α 2 ,L ,α s 线性无关，那么 s ≤ t 推论2：两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。 推论 ：两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。
所以
1 2
组成的部分组是极大无关组。 组成的部分组是极大无关组。
还可以验证
α 2 ,α 3 也是一个极大无关组。 也是一个极大无关组。
注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。 一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。 极大无关组一般不是唯一的
极大无关组的一个基本性质： 极大无关组的一个基本性质： 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。 又，向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都 向量组的极大无关组不唯一， 与向量组等价，所以： 与向量组等价，所以： 向量组的任意两个极大无关组都是等价的。 向量组的任意两个极大无关组都是等价的。 由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量， 由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得 定理： 一个向量组的任意两个极大无关组等价， 定理： 一个向量组的任意两个极大无关组等价， 且所含向量的个数相同。 且所含向量的个数相同。
2 4 2 −1 −2 −1 ,α 2 = ,α 3 = 中 ， 例如： 例如：在向量组 α 1 = 3 5 4 1 4 −1 线性无关， 线性相关， 首先 α 1 ,α 2 线性无关， α 1 ,α 2 ,α 3 线性相关， 又 (α3 = 3α1 −α2 ) α ,α
《线性代数》 极大线性无关组
A
2 0 3
5 3 6
1 3 0
1 4 7
8
1 2
1 2 0 2 5
0
0 0
1 0 0
1 0 0
3 1 0
2 1 0
B
1 2 0 0 3
0 1 1 0 1
0 0
0 0
0 0
1 0
1 0
1 0 2 0 31
根据行最简形矩阵C可知１,２,４是向量组
0
0 0
1 0 0
1 0 0
0 1 0
1＝k22 kmm ，于是 (1 , 1)= (1 , k22 kmm)
= (1 , k22)+ + (1 , kmm) =k2 (1 , 2)+ km (1 , m)=0 这与(1 , 1)≠0矛盾，所以1，2，，m线性无关.
施密特正交化方法
定理2 对于线性无关的向量组1,2,,m，令
r2 2r1 1 2 3
r3 3r1
0
1
2
r4 4r1 0 2 4
0 3 6
r3 2r2 r4 3r2
1 2 3
0
1
2
0 0 0
0 0 0
因为阶梯形矩阵的秩为2，所以向量组的秩为2．
2.向量组极大线性无关组的求法
定理4 矩阵A经初等行变换化为B，则B的列向量组与A对应 的列向量组有相同的线性相关性.
练习题
一、填空题：在向量组1 ,2 ,…, r中，如果有部分向量线
性相关，则向量组必（
）．
二、多选题：下列命题中正确的有（
）
Ａ．非零向量组成的向量组一定线性无关．
Ｂ．含零向量的向量组一定线性相关．
Ｃ．由一个零向量组成的向量组一定线性无关．
向量组的极大无关组.ppt
3 (0, 0, 0, 5) 4 (0, 0, 0, 0)
1 , 2 , 3 是A的行向量组的一个极大无关组， 可以证明，
因为，由 k1 1 k2 2 k3 3 0 即 k1 (1,1,3,1) k2 (0,2, 1,4) k3 (0,0,0,5)
（2）任意r＋1个向量都线性相关。（如果有的话） 那么称部分组 A0 为向量组 A 的一个极大线性无关组。 简称极大无关组。
注:（1）只含零向量的向量组没有极大无关组.
（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。
（3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性 表示
2 4 2 1 2 1 , 2 , 3 中， 例如：在向量组 1 3 5 4 1 4 1 首先 1 , 2 线性无关， 又 1 , 2 , 3 线性相关， 所以 1 , 2 组成的部分组是极大无关组。
问题：矩阵的行秩 ＝ 矩阵的列秩 引理1：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。 （列） （列）
?
证：把 Amn 按行分块，设 Amn
（1）对换矩阵A的两行
1 2 m
A的行向量组所含向量未变，所以向量组的秩不变， 所以矩阵A的行秩不变。 （2）用非零常数k乘以A的第i行
1 2 0 0
2 1 0 0
1 1 5 0
4 0 3 0
行最简形矩阵：
在行阶梯形矩阵的基础上，还要求非零行的第一个非零元 为数1，且这些1所在的列的其他元素全都为零。
1 0 例如： 0 0
0 1 0 1 1 0 0 0
4 3 B 0 1 3 0 0 0
秩为2。
3.3 向量组的极大线性无关组
(2) 极大线性无关组为 1 , 2 ; (3) 线性组合关系为 3 21 2 ,
4 (1)1 2 .
15
§3.3 向量组的极大线性无关组
例设
求 (1) 向量组的秩; (2) 向量组的极大线性无关组； (3) 将其余向量表示为极大线性无关组的线性组合。
解
T 1
T 2
T 3
T 4
1 1 2 3 1 2 3 4 行变换 2 3 5 7 2 4 6 8
(1) 向量组的秩为 3;
(2) 极大线性无关组为1 , 2 , 4 ;
(3) 组合关系
3 21 52 04 , 5 41 2 64 .
12
§3.3 向量组的极大线性无关组
三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系
1. 原理 2. 方法
(1) 无论所给的向量组是行向量还是列向量，都按照列向量 排列，并构成矩阵 A；
由于极大线性无关组是不惟一的，因此可以根据要求选择 不同的极大线性无关组，此时只需按要求对矩阵继续进行 行变换，比如：
17
§3.3 向量组的极大线性无关组
第一种选择
1 0 1 2
1 2 1 0
0 1 1 1 行变换 0 1 1 1
0 0
0 0
0 0
0 0
r1 (2)r2
0 0
0 0
0 0
0 0
极大线性无关组为 1, 4 ; 线性组合关系为 2 (2)1 4 ,
3 (1)1 4 .
18
§3.3 向量组的极大线性无关组
第二种选择
1 0 1 2
1 0 1 2
0 1 1 1 行变换 1 1 0 1
0 0
0 0
0 0
4 (1)1 2 .
15
§3.3 向量组的极大线性无关组
例设
求 (1) 向量组的秩; (2) 向量组的极大线性无关组； (3) 将其余向量表示为极大线性无关组的线性组合。
解
T 1
T 2
T 3
T 4
1 1 2 3 1 2 3 4 行变换 2 3 5 7 2 4 6 8
(1) 向量组的秩为 3;
(2) 极大线性无关组为1 , 2 , 4 ;
(3) 组合关系
3 21 52 04 , 5 41 2 64 .
12
§3.3 向量组的极大线性无关组
三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系
1. 原理 2. 方法
(1) 无论所给的向量组是行向量还是列向量，都按照列向量 排列，并构成矩阵 A；
由于极大线性无关组是不惟一的，因此可以根据要求选择 不同的极大线性无关组，此时只需按要求对矩阵继续进行 行变换，比如：
17
§3.3 向量组的极大线性无关组
第一种选择
1 0 1 2
1 2 1 0
0 1 1 1 行变换 0 1 1 1
0 0
0 0
0 0
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r1 (2)r2
0 0
0 0
0 0
0 0
极大线性无关组为 1, 4 ; 线性组合关系为 2 (2)1 4 ,
3 (1)1 4 .
18
§3.3 向量组的极大线性无关组
第二种选择
1 0 1 2
1 0 1 2
0 1 1 1 行变换 1 1 0 1
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0 0
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用极大无关组线性表示。
解 以? 1,? 2,? 3,? 4为列构造矩阵A, 并实施初等 行
变换化为行阶梯形矩阵求其秩：
? 2 3 1 4 ? ?1 -1 3 -3 ?
A
?
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1,?
2 ,?
3 ,?
4
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1 3
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3 4
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3
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1 ? ?0
5 5
-5
10
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-5 10?
? ?
3 依次进行下去，最后求出的向量组就是 所求的极大无关组
例：A : ? 1 ? ?1, 2, ? 1?T ,? 2 ? ?2, ? 3,1 ?T ,? 3 ? ?4,1, ? 1?T ,
求A的极大无关组
解：因为a1非零，故保留a1 取a2，因为a1与a2线性无关，故保留a1，a2
取a3，易得a3=2a1+a2线性无关，故线性相 关。
由此提供了求向量组的极大无关组的方法：
(1)以向量组中各向量为 列向量构成矩阵 A; (2)对A做初等行变换 将该矩阵 化为行阶梯形矩阵 ,则 可求出r(A)=r(向量组的秩为 r，说明向量组中线性无 关的向量最多有 r个，任何 r+1个线性相关 ). (3)在A中找出r个线性无关的向量 即是所求向量组的 极大无关组，这一步需将行阶梯型化为行最简形 。
?
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2
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因此? 3=2? 1-? 2, ? 4=-? 1+2? 2
,
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,
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3
线性无关
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则B1
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2 0
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0
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1 0
0
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1 ??
中的三个列向量均线性无关
即初等行变换保持了列向量间的线性无关性和 线性表出性。
所以极大无关组为a1，a2
方法3 初等变换法
初等行变换保持了列向量间的线性无关性 和线性表出性
可以证明，若对矩阵A仅施以初等行变换 得矩阵B, 则B的列向量组与A的列向量组间有
相同的线性关系。（行变换对列没有影响）
?1 2 4?
?2 4 0?
如Ａ ?
? ?
2
?? 3
4 6
0 ??，有? 2 =2? 1
? 同理 , 也可以用向量组中各向量 为行向量 组成矩阵 , 通过做初等列变换 来求向量组的极大无关组。
例 求向量组
? 1=(2,1,3,-1) T, ? 2=(3,-1,2,0) T, ? 3=(1,3,4,-2) T, ? 4=(4,-3,1,1) T,
的秩和一个极大无关组 , 并把不属于极大无关组的向量
方法1 线性相关法
若非零向量组A：? 1, ? 2,…, ? n线性无关， 则A的极大无关组就是? 1, ? 2,…, ? n
若非零向量组A线性相关，则A中必有极 大无关组
方法2 逐个判别法
给定一个非零向量组A：? 1, ? 2,…, ? n 1 设? 1? 0，则? 1线性相关，保留? 1 2 加入? 2，若? 2与 ? 1线性相关，去掉? 2； 若? 2与 ? 1线性无关，保留? 1 ，? 2；
?0 0 0 0 ?
? ?
0
0
0
0
? ?
量组各向量之间的线性关系
记矩阵B=(? 1, ?2, ? 3, ?4),因为初等行变换保持了列向
量间的线性表出性， 因此向量? 1,? 2,? 3,? 4与向量? 1, ?2,
? 3, ? 4之间有相同的线性关系 。
? 2 ? ?1?
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而? 3
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对于
B1
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对于 B 3
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再如Ａ
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2
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0
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? 知r(A)=2, 故向量组的极大无关组含 2个向量
? 而两个非零行的非零首元分别在第 1, 2列, 故? 1,? 2
为向量组的 一个极大无关组
?1 -1? 求极大无关组方法,找阶梯型矩
?
事实上， ?? 1，? 2 ??
??0 ?0
1
? ?
0?
阵非零行的非零首元所在的列
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0
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知r(? 1,? 2)=2, 故? 1,? 2 线性无关
? 为把? 3,? 4用? 1,? 2线性表示 , 把A变成行最简形矩阵
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A
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0
0 1
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2
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B
将A化为一个行最简形矩阵B, 是因为较容易看出B 的列向
解 以? 1,? 2,? 3,? 4为列构造矩阵A, 并实施初等 行
变换化为行阶梯形矩阵求其秩：
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3 依次进行下去，最后求出的向量组就是 所求的极大无关组
例：A : ? 1 ? ?1, 2, ? 1?T ,? 2 ? ?2, ? 3,1 ?T ,? 3 ? ?4,1, ? 1?T ,
求A的极大无关组
解：因为a1非零，故保留a1 取a2，因为a1与a2线性无关，故保留a1，a2
取a3，易得a3=2a1+a2线性无关，故线性相 关。
由此提供了求向量组的极大无关组的方法：
(1)以向量组中各向量为 列向量构成矩阵 A; (2)对A做初等行变换 将该矩阵 化为行阶梯形矩阵 ,则 可求出r(A)=r(向量组的秩为 r，说明向量组中线性无 关的向量最多有 r个，任何 r+1个线性相关 ). (3)在A中找出r个线性无关的向量 即是所求向量组的 极大无关组，这一步需将行阶梯型化为行最简形 。
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中的三个列向量均线性无关
即初等行变换保持了列向量间的线性无关性和 线性表出性。
所以极大无关组为a1，a2
方法3 初等变换法
初等行变换保持了列向量间的线性无关性 和线性表出性
可以证明，若对矩阵A仅施以初等行变换 得矩阵B, 则B的列向量组与A的列向量组间有
相同的线性关系。（行变换对列没有影响）
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? 同理 , 也可以用向量组中各向量 为行向量 组成矩阵 , 通过做初等列变换 来求向量组的极大无关组。
例 求向量组
? 1=(2,1,3,-1) T, ? 2=(3,-1,2,0) T, ? 3=(1,3,4,-2) T, ? 4=(4,-3,1,1) T,
的秩和一个极大无关组 , 并把不属于极大无关组的向量
方法1 线性相关法
若非零向量组A：? 1, ? 2,…, ? n线性无关， 则A的极大无关组就是? 1, ? 2,…, ? n
若非零向量组A线性相关，则A中必有极 大无关组
方法2 逐个判别法
给定一个非零向量组A：? 1, ? 2,…, ? n 1 设? 1? 0，则? 1线性相关，保留? 1 2 加入? 2，若? 2与 ? 1线性相关，去掉? 2； 若? 2与 ? 1线性无关，保留? 1 ，? 2；
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量组各向量之间的线性关系
记矩阵B=(? 1, ?2, ? 3, ?4),因为初等行变换保持了列向
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? 3, ? 4之间有相同的线性关系 。
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? 而两个非零行的非零首元分别在第 1, 2列, 故? 1,? 2
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?1 -1? 求极大无关组方法,找阶梯型矩
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知r(? 1,? 2)=2, 故? 1,? 2 线性无关
? 为把? 3,? 4用? 1,? 2线性表示 , 把A变成行最简形矩阵
?1
A
?
? ?
0
0 1
2 -1
-1?
2
? ??
B
将A化为一个行最简形矩阵B, 是因为较容易看出B 的列向