【测试】阶段性测试题2

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阶段性测试题二(函数与基本初等函数) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分

钟．

第Ⅰ卷(选择题共50分)

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．若函数f(x)＝，则f(f(10))＝( )

A．lg101 B．2

C．1 D．0

[答案] B

[解析] 利用“分段”求值．由题意知f(10)＝lg10＝1，f(1)＝1＋1＝2，

故f(f(10))＝f(1)＝2.

2．若函数y＝f(x)的定义域是[－2,4]，则函数g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域是( ) A．[－4,4] B．[－2,2]

C．[－4，－2] D．[2,4]

[答案] B

[解析] 由得－2≤x≤2.

3．函数y＝lg的大致图像为( )

[答案] D

[解析] 函数的定义域为{x|x≠－1}，排除A，C．取特殊值x＝9，则y＝－1<0，排除B，选D．

4．(文)(2014·广东高考)下列函数为奇函数的是( )

A．2x－B．x3sinx

C．2cosx＋1 D．x2＋2x

[答案] A

[解析] 本题考查函数奇偶性的判断．

设函数为f(x)，则A中f(－x)＝2－x－＝－2x＝－f(x)为奇函数；B中f(－x)＝2cosx ＋1＝f(x)为偶函数；C中f(－x)＝x3sinx＝f(x)为偶函数；D中f(－x)＝x2＋2－x≠±f(x)，非奇非偶，选A．

(理)(2014·湖南高考)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )

A．－3 B．－1

[答案] C

[解析] 分别令x ＝1和x ＝－1可得f(1)－g(1)＝3且f(－1)－g(－1)＝1?f(1)＋g(1)＝1，则

??f(1)＋g(1)＝1，故选C ．

5．(文)已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x －等于( ) A ． B ． C ． D ．

[答案] D

[解析] 由log7[log3(log2x)]＝0，得log3(log2x)＝1， 即log2x ＝3，解得x ＝8， 所以x －＝8－＝＝＝，选D ．

(理)已知集合A ＝{x ∈R|2x1}，则A ∩B ＝( ) A ．{x|x ∈R|0

[答案] B

[解析] 因为集合A ＝{x ∈R|2x1}＝{x ∈R|0

6．已知函数f(x)＝ln(＋a)(a 为常数)是奇函数，则实数a 为( ) A ．1 B ．－3 C ．3 D ．－1

[答案] D

[解析] 函数在x ＝0处有意义，所以f(0)＝ln(2＋a)＝0，得a ＝－1. 7．设P ＝log23，Q ＝log32，R ＝log2(log32)，则( ) A ．Q

[答案] B

[解析] 题设是三个对数比较大小，因此我们考察相应的对数函数，如y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，它们都是增函数，从而知01，log 2(log 32)<0，因此选B ．

8．设函数f (x )＝?

????

x 2＋bx ＋c ，x ≥01，x <0，若f (4)＝f (0)，f (2)＝2，则函数g (x )＝f (x )－x 的零

点的个数是( )

A ．0

B ．1

[答案] C

[解析] 因为f (4)＝f (0)，f (2)＝2，

所以16＋4b ＋c ＝c 且4＋2b ＋c ＝2，解得b ＝－4，c ＝6，

即f (x )＝?

???

?

x 2－4x ＋6，x ≥01，x <0.

当x ≥0时，由g (x )＝f (x )－x ＝0得x 2－4x ＋6－x ＝0，即x 2－5x ＋6＝0，解得x ＝2或x ＝3.

当x <0时，由g (x )＝f (x )－x ＝0得1－x ＝0，解得x ＝1，不成立，舍去． 所以函数的零点个数为2个，选C ．

9．(文)(2014·全国大纲卷)奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( )

A ．－2

B ．－1

C ．0

D ．1

[答案] D

[解析] 本题考查了抽象函数的性质与图像．

∵f (x )是奇函数，f (x ＋2)为偶函数，∴f (－x ＋2)＝f (x ＋2)． ∴f (x )的对称轴为x ＝2，结合图像知x ＝－2也是f (x )的对称轴． ∴f (8)＝f (－4)＝f (0)＝0

f (9)＝f (7＋2)＝f (－7＋2)＝f (－5)＝f (1)＝1.

∴f (8)＋f (9)＝1，由函数的奇偶性得出对称轴，从而求出结论．

(理)(2014·北京高考)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，下图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )

A ．3.50分钟

B ．3.75分钟

C ．4.00分钟

D ．4.25分钟

[答案] B

[解析] 由实验数据和函数模型知，二次函数p ＝at 2＋bt ＋c 的图像过点(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)，

分别代入解析式，得????? 0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，解得????

?

a ＝－0.2，

b ＝1.5，

c ＝－2.

所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－0.2(t －3.75)2＋0.8125， 所以当t ＝3.75分钟时，可食用率p 最大．故选B ．

10．(文)(2014·东北三校联考)能够把圆O ：x 2＋y 2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数不是圆O 的“和谐函数”的是( )

A ．f (x )＝e x ＋e －

x B ．f (x )＝ln 5－x

5＋x

C ．f (x )＝tan x

2

D ．f (x )＝4x 3＋x

[答案] A

[解析] 由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为图像过原点的奇函数，A 中，f (0)＝e 0＋e －

0＝2，所以f (x )＝e x ＋e －

x 的图像不过原点，故f (x )＝e x ＋e －

x 不为“和谐函数”；B 中，f (0)＝ln 5－05＋0ln1＝0，且f (－x )＝ln 5＋x 5－x ＝－ln 5－x

5＋x ＝－f (x )，所以f (x )

为奇函数，

所以f (x )＝ln 5－x 5＋x 为“和谐函数”；C 中f (0)＝tan0＝0，且f (－x )＝tan －x 2＝－tan x

2＝－

f (x )，f (x )为奇函数，

故f (x )＝tan x

2为“和谐函数”；D 中，f (0)＝0，且f (x )为奇函数，故f (x )＝4x 3＋x 为“和

谐函数”；故选A ．

(理)定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”，若函数g (x )＝x ，h (x )＝ln(x ＋1)，φ(x )＝x 3－1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为( )

A ．γ>α>β

B ．β>α>γ

C ．α>β>γ

D ．β>γ>α

[答案] A

[解析] g ′(x )＝1，所以由g (α)＝g ′(α)得α＝1.h ′(x )＝1

x ＋1，所以由h (β)＝h ′(β)得

ln(β＋1)＝

1β＋1

，

由图像可知0<β<1，φ′(x )＝3x 2，由φ(γ)＝φ′(γ)得γ3－1＝3γ2，当γ＝0时，不成立．所以γ3－1＝3γ2>0，即γ>1，所以γ>α>β，选A ．

第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．(文)计算3log 32＋lg 1

2－lg5的结果为________．

[答案] 1

[解析] 由对数恒等式知3log 32＝2，根据对数运算法则知lg 12－lg5＝lg(12÷5)＝lg 1

10＝－

1，

∴3 log 32＋lg 1

2

－lg5＝2－1＝1.

(理)方程33x －1＋13＝3x －

1的实数解为________．

[答案] x ＝log 34

[解析] 两边同乘以3(3x －1)，整理得： (3x )2－2·3x －8＝0，解得x ＝log 34.

12．(2015·常德模拟)已知幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图像与x 轴、y 轴无交点且关于原点对称，则m ＝________.

[答案] 2

[解析] 由题意知m 2－2m －3为奇数且m 2－2m －3<0，由m 2－2m －3<0，得－1

当m ＝1时，m 2－2m －3＝1－2－3＝－4(舍去)． 当m ＝2时，m 2－2m －3＝22－2×2－3＝－3.符合要求．

13．已知函数f (x )＝x 2－|x |，若f (－m 2－1)

[解析] 根据已知函数f (x )＝x 2－|x |，那么可知f (－x )＝x 2－|x |＝f (x )，

因此是偶函数，同时可知在对称轴的右侧是递增的，在对称轴的左侧是递减的， 那么可知f (－m 2－1)

∴－2

14．(文)已知函数f (x )＝?????

log 3

x ，x >0(13)x ，x ≤0，则满足方程f (a )＝1的所有a 的值为________．

[答案] 0或3

[解析] 当a >0时，f (a )＝log 3a ＝1，解得a ＝3； 当a ≤0时，f (a )＝(1

3)a ＝1，解得a ＝0.

综上a ＝0或3.

(理)已知方程x 2＋2x ＋2a －1＝0在(1,3]上有解，则实数a 的取值范围为________． [答案] [－7，－1)

[解析] 由x 2＋2x ＋2a －1＝0，参变量分离得 2a ＝－(x ＋1)2＋2，

记f (x )＝－(x ＋1)2＋2，且x ∈(1,3]， 所以－14≤f (x )≤－2，即－14≤2a <－2. 故实数a 的取值范围为[－7，－1)．

15．(文)(2014·天津高考)已知函数f (x )＝?????

|x 2＋5x ＋4|， x ≤0，

2|x －2|， x >0.

若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________． [答案] 1

[解析] 本题考查绝对值函数与分段函数的零点，采用数形结合思想． 如图，f (x )图像为

当y ＝ax 与y ＝2(x －2)(x >2)平行时，a ＝2，f (x )与y ＝a |x |，共3个交点，∴a <2. 当y ＝－2x 与y ＝x 2－5x －4相切时，令Δ＝0，a ＝1，此时f (x )与y ＝|a |x 有5个交点，则当1

∴1

(理)(2014·天津高考)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．

[答案] (0,1)∪(9，＋∞) [解析] 解法一：显然有a >0，

(ⅰ)当y ＝－a (x －1)与y ＝－x 2－3x 相切时，a ＝1，此时f (x )－a |x －1|＝0恰有3个互异的实数根．

(ⅱ)当直线y ＝a (x －1)与函数y ＝x 2＋3x 相切时，a ＝9，此时f (x )－a |x －1|＝0恰有2个互异的实数根．

结合图像可知09.

解法二：显然x ≠1，所以a ＝|x 2＋3x

x －1|，

令t ＝x －1，则a ＝|t ＋4

t

＋5|.

因为t ＋4

t ∈(－∞，－4])∪[4，＋∞)，

所以t ＋4

t

＋5∈(－∞，1]∪[9，＋∞)．

令t ＋4

t

＝－5得t ＝－1或－4，结合图像可得09.

三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)用定义证明函数f (x )＝x 2＋2x

－1

在(0,1]上是减少的．

[解析] 证明一个函数为单调函数，根据定义设x 1，x 2为所给区间上的任意两个实数，且x 1

证明：设x 1

x 2－x 1>0,0

x 1x 2

－(x 1＋x 2)>0，

∴f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋2x －

11－x 22－2x －

1

2

＝(x 21－x 22

)＋2(1x 1－1x 2

) ＝(x 2－x 1)[2

x 1x 2－(x 1＋x 2)]>0.

∴函数f (x )＝x 2＋2x

－1

在(0,1]上是减少的．

17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(1

2)ax ，a 为常数，且函数的图像过点(－1,2)．

(1)求a 的值；

(2)若g (x )＝4－

x －2，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值． [解析] (1)由已知得(12)－

a ＝2，解得a ＝1.

(2)由(1)知f (x )＝(1

2)x ，又g (x )＝f (x )，

则4－

x －2＝(12)x ，即(14)x －(12)x －2＝0，

即[(12)x ]2－(1

2

)x －2＝0.

令(1

2)x ＝t ，则t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0. 又t >0，故t ＝2，即(1

2

)x ＝2，解得x ＝－1.

18．(本小题满分12分)函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[0，b ]，且该函数的值域为[－1,3]，求b 的值．

[解析] 作出函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[0，b ]的图像如图．

由图可知，区间右端点必为函数最大值的对应点的横坐标． ∴f (b )＝3，即b 2－2b ＝3，∴b ＝－1或b ＝3. 又－1?[0，b ]，∴b ＝3.

19．(本小题满分12分)已知f (x )＝x 2－x ＋k ，且log 2f (a )＝2，f (log 2a )＝k (a >0，a ≠1)． (1)求a ，k 的值；

(2)当x 为何值时，f (log a x )有最小值？并求出该最小值．

[解析] (1)由题得?????

a 2－a ＋k ＝4 ①

(log 2a )2－log 2

a ＋k ＝k ② 由②得log 2a ＝0或log 2a ＝1， 解得a ＝1(舍去)或a ＝2， 由a ＝2得k ＝2.

(2)f (log a x )＝f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2＝(lg 2x －12)2＋74，

当log 2x ＝12即x ＝2时，f (log a x )有最小值，最小值为7

4.

(理)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；

(2)在区间[－1,1]上，y ＝f (x )的图像恒在y ＝2x ＋m 的图像上方，试确定实数m 的范围．

[解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ， 由f (0)＝1得c ＝1，故f (x )＝ax 2＋bx ＋1. ∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，

∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 即2ax ＋a ＋b ＝2x ，

∴????? 2a ＝2，a ＋b ＝0，∴?????

a ＝1，

b ＝－1，

∴f (x )＝x 2－x ＋1.

(2)由题意得x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1,1]上恒成立． 即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立． 设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ， 其图像的对称轴为直线x ＝32

，

∴g (x )在[－1,1]上递减．即只需g (1)>0， 即12－3×1＋1－m >0，解得m <－1. 所以m 的取值范围为m ∈(－∞，－1)．

20．(本小题满分13分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．

(1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系；

(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？

[解析] 设两类产品的收益与投资的函数分别为f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x . 由已知得f (1)＝18＝k 1，g (1)＝1

2＝k 2，

所以f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝1

2

x (x ≥0)．

(2)设投资债券类产品为x 万元，则投资股票类产品为(20－x )万元． 依题意得y ＝f (x )＋g (20－x )＝x 8＋1

220－x (0≤x ≤20)．

令t ＝20－x (0≤t ≤25)， 则y ＝20－t 28＋12t ＝－18

(t －2)2＋3，

所以当t ＝2，即x ＝16时，收益最大，y max ＝3万元．

21．(本小题满分14分)已知a >0且a ≠1，函数f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a 1

1－x

，记F (x )

＝2f (x )＋g (x )．

(1)求函数F (x )的定义域D 及其零点；

(2)若关于x 的方程F (x )－m ＝0在区间[0,1)内仅有一解，求实数m 的取值范围．

[解析] (1)F (x )＝2f (x )＋g (x )＝2log a (x ＋1)＋log a 1

1－x (a >0且a ≠1)由?

????

x ＋1>0，1－x >0，解得－

1

所以函数F (x )的定义域为(－1,1)．

令F (x )＝0，则2log a (x ＋1)＋log a 1

1－x ＝0(*)方程变为log a (x ＋1)2＝log a (1－x )，(x ＋1)2＝

1－x ，

即x 2＋3x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝－3.

经检验x ＝－3是(*)的增根，所以方程(*)的解为x ＝0， 所以函数F (x )的零点为0.

(2)m ＝2log a (x ＋1)＋log a 1

1－x (0≤x <1)

m ＝log a x 2＋2x ＋11－x ＝log a (1－x ＋4

1－x －4)，

a m ＝1－x ＋4

1－x －4，

设1－x ＝t ∈(0,1]，

则函数y ＝t ＋4

t 在区间(0,1]上是减函数，

当t ＝1时，此时x ＝1，y min ＝5，所以a m ≥1. ①若a >1，则m ≥0，方程有解； ②若0

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