《导数的应用2》PPT课件

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高考数学一轮复习-《导数及应用》第3课时-导数的应用(二)—极值与最值课件

x>2
f′(x)>0
x<2
，解得c＝6
授人以渔
题型一利用导数研究函数极值
例1
已
知函数
f(x)＝
ax3－
3x2＋
3 1－a(a∈
R且
a≠
0)，
求函数f(x)的极大值与极小值．
2 【解析】由题设知a≠0，f′(x)＝3ax2－6x＝3ax(x－a)．
2 令f′(x)＝0得x＝0或x＝a.
• 当a>0时，随x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下:
(2)若函数f(x)＝x3－3x＋a有3 个不同的零点，则实数a
的取值范围是(
)
A． (－ 2,2)
B． [－ 2,2]
C． (－ ∞，－ 1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D．(1，＋∞)
【解析】 f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，∴x＝±1.三
次函数 f(x)＝ 0有 3个根
⇔f(x)极大值>0且f(x)极小值<0 ∴x＝－1为极大值点， x＝1为极小值点．
2
43
f(x)极小值＝f(a)＝－a2－a＋1.
• 探究1 掌握可导函数极值的步骤: • (1)确定函数的定义域． • (2)求方程f′(x)＝0的根． • (3)用方程f′(x)＝0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干
个小开区间，并形成表格． • (4)由f′(x)＝0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的符号来判断f′(x)
• 解析 y′＝ex＋m，则ex＋m＝0必有根，∴m＝－ex<0.
• 4.已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )

高考数学一轮总复习课件：导数的应用(二) ——极值与最值

可导函数求极值的步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求方程f′(x)＝0的根． (3)用方程f′(x)＝0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格． (4)由f′(x)＝0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的符号来判断f(x)在这个根或不可导点处取极值的情况，此步骤不可缺少，f′(x)＝0是函数有极值的必要条件．
(2)(2020·河北冀州中学摸底)已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x ＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取得极大值，则a的取值范围是 __(_－_1_，__0)_．
【解析】若a＝0，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在极值；若a＝－1，则f′(x)＝－(x＋1)2≤0，函数f(x)不存在极值；若a>0，当 x∈(－1，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数 f(x)在x＝a处取得极小值；若－1<a<0，当x∈(－1，a)时，f′ (x)>0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在x＝a处取得极大值；若a<－1，当x∈(－∞，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，－1)时，f ′(x)>0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值．综上所述，a∈(－1， 0)．
第3课时导数的应用(二) ——极值与最值
[复习要求] 1.了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．
课前自助餐
函数的极值 (1)设函数 f(x)在点 x0附近有定义，如果对 x0附近的所有的点，都有 f(x)___<___f(x0)，那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值，记作 y 极大值＝f(x0)；如果对 x0 附近的所有的点，都有 f(x)__>____f(x0)，那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值，记作 y 极小值＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值．

§3.3-导数的应用(二)

第5页
●利用导数解决实际问题中的最值问题的注意事项 (1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值应舍去. (2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f′(x)＝0的情形，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值. (3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的自变量的函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的取值范围.
A.－2
B.0
C.2
D.4
解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0，x＝2(舍去).
比较f(－1)，f(0)，f(1)的大小知f(x)max＝f(0)＝2. 答案：C
第9页
3.已知函数f(x)= 1 x4-2x3+3m,x∈R,若f(x)+9≥0恒成立,则实数 2
m的取值范围是()
第30页
创新预测3某地政府为科技兴市,欲在如图所示的矩形ABCD 的非农业用地中规划出一个高科技工业园区(如图中阴影部分),形状为直角梯形QPRE(线段EQ和RP为两个底边),已知 AB=2km,BC=6km,AE=BF=4km,其中AF是以A为顶点､AD为对称轴的抛物线段.试求该高科技工业园区的最大面积. 解析:以A为原点,AB所在直线为x轴,AD 所在直线为y轴建立直角坐标系,如图,则 A(0,0),F(2,4),
第24页
规律方法:不等式f(x)≥m(或≤m)恒成立的问题可以转化为求函数f(x)的最小(大)值问题,f(x)≥m恒成立,即m≤f(x)min,f(x)≤m恒成立即f(x)max≤m.
第25页
创新预测2设函数f(x)= 1 x2+ex-xex. 2
(1)求f(x)的单调区间; (2)若当x∈【 -2，2】时,不等式f(x)>m恒成立,求实数m. 解析:(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞), 因为f′(x)=x+ex-(ex+xex)=x(1-ex), 由f′(x)=x(1-ex)>0得x<0,由f′(x)<0得x>0, 则f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞).

北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数在实际问题中的应用(二) 课件

2013-4-2
3
2
课堂小结：
1、解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。 2、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：（1）、与几何有关的最值问题；（2）、与物理学有关的最值问题；（3）、与利润及其成本有关的最值问题；（4）、效率最值问题。
4 3 S 3 S 3 h h 由①得 b= h,代入②,∴l= 3 h 3 h 3
S 3h h
S S S S l′= 3 2 =0,∴h= 4 , 当 h< 4 时，l′<0,h> 4 时，l′>0. h 3 3 3
24 3 S ∴h= 4 时，l 取最小值，此时 b= 3 3
解

即半径越大利润越高半径r 2时, f r 0,它表 , ; 示f r 单调递减即半径越大利润越低 , , . ① 半径为 cm时, 利润最小这时f 2 0, 表示此种 2 , 瓶内饮料的利润还不够瓶子成本此时利润是负值 , .
'
当r 0,2时, f r 0;当r 2,6时, f r 0. ' 因此,当半径r 2时, f r 0,它表示f r 单调递增 ,
2
o
3
r
好相等;当r 3时, 利润才为正值. 当r 0,2时, f r 是减函数你能 , 图1.4 4 解释它的实际意义吗 ? 通过此问题的解决我们很容易回答开始时 , 的问题.请同学们自己作出回答 .
2013-4-2
练习 1.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面 ABCD 的面积为定值 S 时，使得湿周 l=AB+BC+CD 最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高 h 和下底边长 b.

122 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)PPT课件

栏目导引
第一章导数及其应用
做一做
1.已知f(x)＝xln x，则f′(x)＝________.
解析：f′(x)＝x′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1.
答案：ln x＋1
2．设y＝－2exsin x，则y′＝( )
A．－2excos x
B．－2ex(sin x＋cos x)
C．2exsin x
典题例证技法归纳
题型探究
题型一利用导数的运算法则求导数
例1 求下列函数的导数： (1)y＝3x2＋xcos x； (2)y＝lg x－x12； (3)y＝(x2＋3)(ex＋ln x)； (4)y＝x2＋tan x；
(5)y＝s in4x＋ cos 4x.
4
4
栏目导引
第一章导数及其应用
【解】 (1)y′＝6x＋cos x＋x(cos x)′
D．－2exsin x
解析：选B.y′＝－2[(ex)′sin x＋ex(sin x)′]
＝－2(exsin x＋excos x)
＝－2ex(sin x＋cos x)．
栏目导引
第一章导数及其应用
2．复合函数的求导法则一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的___复__合__函__数____，记作 y＝ f(g(x))．复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′，即 y 对 x 的导数等于__y_对__u_的__导__数____与__u_对__x_的__∴
y′＝
(x2)′＋
s (
in

《高等数学》(同济六版)教学课件★第3章.微分中值定理与导数的应用(2)

第六节
第三章
函数图形的描绘
一、曲线的渐近线二、函数图形的描绘
目录上页下页返回结束
一、曲线的渐近线
定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
y
y f (x)
或为“纵坐标差” C M
y kxb
1)
y
(
x
2 1)3
目录上页下页返回结束
6）绘图
x (,1) 1 (1,1)
y
2
(极大)
铅直渐近线 x 1
斜渐近线
y1x5 44
特殊点
x0 y 9
2 1
44
1 (1,3) 3 (3, )
无定义
0
(极小)
y
y (x 3)2
4(x 1)
2 1
O1 2 3 5 x
y
1 4
x
5 4
x 1
x0
1 1
e e
x2 x2
目录上页下页返回结束
2. 曲线 y 1 ex2 的凹区间是
(
1 2
,
1 2
)
,
凸区间是
( ,
1 2
)
及
(
1 2
,
)
,
拐点为
(
1
1
,1e 2 )
2
,
渐近线
y 1
.
提示:
y 2ex2 (1 2 x2 )
y
1
(
1
,1
e
1 2
)
2
O
(

导数的应用教学课件ppt

乘法法则
对于两个函数f(x)和g(x)，其导数分别为f'(x)和g'(x)，则两函数积的导数为(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
幂法则
对于一个函数f(x)，其导数为f'(x)，则(x^n)'=nx^(n-1)。
导数计算的常见问题与解决方案
常见问题
在导数计算中，容易出现一些错误，如符号错误、运算错误、化简错误等。
导数可以用来求函数的极值、单调区间、凹凸区间等
导数在其他领域中的应用
导数可以用来解决物理、经济、工程等领域中的一些问题，如物体运动时的加速度、经济学中的边际效应、工程中的曲率等等
02
导数的计算
极限与导数
极限的定义
极限是函数在某一变化过程中，某个变量的变化趋势，通常用符号lim表示。
导数的定义
与其他学生或老师交流讨论，及时解决学习中遇到的问题。
THANKS
导数的深入研究
1
深入理解导数的定义和计算方法，包括高阶导数和复合函数的导数。
2
研究导数在函数性质、曲线形状、极值等方面的应用，以及在实际问题中的应用。
3
探讨导数在数学中的地位和作用，以及与其他数学分支的联系。
导数在未来的应用前景
分析导数在金融、经济、工程等领域的应用前景，例如最优化问题、供应链管理、计算机图形学等。
导数的应用教学课件ppt
xx年xx月xx日Biblioteka contents目录
• 导数的概念及背景 • 导数的计算 • 导数在函数性质研究中的应用 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的进一步探讨与展望
01

16导数的应用2

a≤1，即 a≥1 时，函数 f(x)在区间[1,2]上是减函数， (2)①当 1≤1，即 a≥1 时，函数 f(x)在区间[1,2]上是减函数， (2)①当1≤1，即 a≥1 时，函数 f(x)在区间[1,2]上是减函数， (2)①当a ≤1，即 a≥1 时，函数 f(x)在区间[1,2]上是减函数， 1 aa 1 a ∴f(x)的最小值是 f(2)＝ln 2－2a. [9 分 ②当 ≥2，即 0<a≤ 时，函数 2－2a. f(x)在区间[1,2]上是增函数， ∴f(x)的最小值是 f(2)＝ln [9 分] a 1 ∴f(x)的最小值是2f(2)＝ln2－2a. f(2)＝ln2－2a. [9 分] 1 ∴f(x)的最小值是 1 [9 ∴f(x)的最小值是 f(2)＝ln 2－2a. [9[7 分] 分]分] ∴f(x)的最小值是 f(2)＝ln 2－2a. [9 1 ②当 ≥2，即 0<a≤ 时，函数 f(x)在区间[1,2]上是增函数， 1a ②当1≥2，即 0<a≤11 时，函数 f(x)在区间[1,2]上是增函数， ≥2，即 0<a≤ 2 1≥2，即 0<a≤ 1时，函数 f(x)在区间[1,2]上是增函数， [8 分] ②当 a≥2，即 0<a≤ 时，函数 f(x)在区间[1,2]上是增函数， ∴f(x)的最小值是 f(1)＝－a. f(x)在区间[1,2]上是增函数， ②当 ≥2，即 0<a≤ 2 时，函数 ②当a a 2 时，函数 f(x)在区间[1,2]上是增函数， 2 a1 2 ∴f(x)的最小值是 f(1)＝－a. 1 ∴f(x)的最小值是时， f(1)＝－a. [10 [10 ∴f(x)的最小值是 f(1)＝－a. [10分] ③当 1< <2, 即 <a<1f(1)＝－a. ∴f(x)的最小值是 f(1)＝－a. [10[10分] 分] 分] ∴f(x)的最小值是 f(1)＝－a. ∴f(x)的最小值是 [8 分] a111<2, 21 1 1<a<1 时， ③当1<1a 即 1< <2, 1 ③当1< 1<2, 即即<a<1时， ③当 1<a<2, 即112 时， ③当 1 ③当 1<a<2, 即 <a<1 时， <a<1 时， 1 ③当 1< a<2, 2 2 <a<1 时， a 2 a 1，上是增函数，在，21 2 1 函数 f(x)在 a1 1 a1 上是减函数. 1 1 ，2上是减函数. 1，上是增函数，在1，2上是减函数. 函数f(x)在 1， f(x)在函数 f(x)在 1，a1 a上是增函数，在上是减函数. 函数 f(x)在1，1上是增函数，在 1 ，2上是减函数. ，2 a 函数 f(x)在1，1a上是增函数，在，2上是减函数. 函数函数 f(x)在 a 1，a上是增函数，在aaa，2上是减函数. a上是增函数，在aa 又 f(2)－f(1)＝ln 2－a，又 f(2)－f(1)＝ln 2－a，又f(2)－f(1)＝ln 2－a， f(2)－f(1)＝ln 2－a，又 f(2)－f(1)＝ln 2－a，又 f(2)－f(1)＝ln 2－a，又 f(2)－f(1)＝ln 2－a，又 11 11 ∴当 11<a<ln22时，最小值是 f(1)＝－a； ∴当<a<ln 22 时，最小值是 f(1)＝－a； ∴当 2<a<ln 22时，最小值是f(1)＝－a； ∴当 <a<ln 时，最小值是 f(1)＝－a； 22 ∴当 <a<ln 时，最小值是 f(1)＝－a； ∴当 22<a<ln 时，最小值是f(1)＝－a； 2 2 当 ln2≤a<1 时，最小值为 f(2)＝ln 2－2a. [12 分] 当当ln 2≤a<1时，最小值为 f(2)＝ln 2－2a.2－2a. [11 分] [12 当lnln2≤a<1 时，最小值为f(2)＝ln 2－2a. [12 [12 分] ln2≤a<1时，最小值为 f(2)＝ln 2－2a. 2≤a<1 时，最小值为 f(2)＝ln 当 ln 2≤a<1 时，最小值为 f(2)＝ln 2－2a. 2≤a<1 时，最小值为 f(2)＝ln 2－2a. [12 分] 分] 当 ln [12分] 综上可知，当 0<a<ln 时，函数f(x)的最小值是－a；综上可知，当 0<a<ln 22时，函数 f(x)的最小值是－a；综上可知，当 0<a<ln 2222时，函数f(x)的最小值是－a；综上可知，当 0<a<ln 2 时，函数 f(x)的最小值是－a；综上可知，当 0<a<ln 时，函数 f(x)的最小值是－a；综上可知，当 0<a<ln 时，函数 f(x)的最小值是－a；综上可知，当 0<a<ln 时，函数 f(x)的最小值是－a；当 a≥ln 2 时，函数 f(x)的最小值是 ln 2－2a. [14 分] 当a≥ln 222时，函数f(x)的最小值是 lnlnln 2－2a. a≥ln 2 时，函数f(x)的最小值是 ln2－2a. 2－2a. [12 [14 分] [14 分] 当 a≥ln 时，函数 f(x)的最小值是 2－2a. [14 分] 当 a≥ln 时，函数 f(x)的最小值是 ln 2－2a. [14 分] 当 a≥ln 22时，函数f(x)的最小值是 ln 2－2a. [14 分] [14 当时，函数 f(x)的最小值是

高中数学选修2《导数在研究函数中的应用》课件

或
x>1
时,
f (x)>0,
-
1 3
x
1
时,
∴ 函数在 (-∞,
f (x)<0.
- 13) 或 (1,
+∞) 上是增函数,
在
(
-
1 3
,
1)上是减函数.
4. 证明函数 f(x)=2x3-6x2+7 在 (0, 2) 内是减函数.
证明: f (x)=6x2-12x,
解不等式 6x2-12x<0 得 0<x<2,
函数是增函数.
例2. 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: (1) f(x)=x3+3x;
(2) f(x)=x2-2x-3;
(3) f(x)=sinx-x, x(0, p);
(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1.
y
解: (3) f (x) = cosx-1,
解不等式 cosx-1>0 得
果 f(x)<0, 那么函数 y=f(x)在
这个区域内单调递减.
例1. 已知导函数 f (x) 的下列信息:
当 1<x<4 时, f (x)>0;
当 x>4, 或 x<1 时, f (x)<0;
当 x=4, 或 x=1 时, f (x)=0.
试画出函数 f(x) 图象的大致形状.
解: 在区间 (1, 4) 内, f (x)>0,
解不等式 6x2+6x-24>0 得
x
-
1 2
-
17 2
,
或
x
-
1 2
+

3.3导数的应用2

1 3 1－ a 2 【例 8】 (2012· 天津)已知函数 f(x)＝ x ＋ x 3 2 －ax－a，x∈R，其中 a＞0. (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求 a 的取值范围． (3)当 a＝1 时，设函数 f(x)在区间[t，t＋3]上的最大值为 M(t)，最小值为 m(t)，记 g(t)＝M(t)－m(t)，求函数 g(t)在区间[－3，－1]上的最小值．
1 2 【例 9】（2012· 宁波）设函数 f(x)＝clnx＋ x ＋ 2 bx(b，c∈R，c≠0)，且 x＝1 为 f(x)的极值点． (1)若 x＝1 为 f(x)的极大值点，求 f(x)的单调区间(用 c 表示)； (2)若 f(x)＝0 恰有两解，求实数 c 的取值范围．
【例 10】 [2013· 杭州萧山区五校联考] 已知 2 x 2 函数 f(x)＝(x ＋ax＋1)e ，g(x)＝(b＋2)x . (1)当 a＝1 时，曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线恰与曲线 y＝g(x)相切，求实数 b 的值； (2)当 a＝b<0，对任意的 x1，x2∈[－1,1]，都有 f(x1)≥g(x2)，求实数 b 的取值范围．
§3.3 导数的应用（二）
绍兴市稽山中学高三备课组
要点梳理
1．利用导数解决实际生活中的优化问题 2．利用导数解决函数与方程问题
研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路，因此使用的知识还是函数的单调性和极值的知识．
[4，＋∞) ．值范围是____________
3
题型四导数的综合问题

高中数学导数及其应用课件新人教B选修22

变式训练2 （2009·北京文，18）设函数
f(x)=x3-3ax+b(a≠0).
(1)若曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处与直线y=8相
切，求a,b的值；
（2）求函数f(x)的单调区间与极值点.
解（1）f′(x)=3x2-3a.
因为曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处与直线y=8相
切，
所以
②［u(x)v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x).
③
u( x)
v(x)
u(x)v(x) u(x)v(x)
v( x)2
(v(x)
0).
(3)复合函数求导
复合函数y=f(g(x))的导数和y=f(u),u=g(x)的导数之间的关系为yx′=f′(u)g′(x). 4.函数的性质与导数
导数及其应用
1.导数的概念
lim (1)
f (x0 )
x0
f (x0 x) f (x0 ) . x
(2) f
(x)
lim
x0
f
(x
x) x
f
(x) .
(3)f′(x0)与f′(x)的关系.
2.导数的几何意义
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)就是曲线y=f(x) 在点（x0,f(x0)）处的切线的斜率.即k=f′(x0).
一、导数几何意义的应用例1 （2008·海南理，21）设函数 f (x) ax 1
xb
（a,b∈Z），曲线y=f(x)在点（2，f（2））处的切线方程为y=3. （1）求f（x）的解析式；（2）证明：函数y=f（x）的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；（3）证明：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1 和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.

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调性的定义要方便，但应注意f′(x)＞0(或f′(x)＜0) 仅是f(x)在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条件，在（a，b）内可导的函数f(x)在（a,b)上递增（或递减）的充要条件应是 f′(x)≥0 ［或 f′(x)≤0］,x∈(a,b)恒成立，且f′(x)在（a,b）的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f′(x0)=0, 甚至可以在无穷多个点处f′（x0）=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间，
(2)求可导函数极值的步骤
①求f′(x); ②解方程 f′(x)=0 .
③对于方程 f′(x)＝0 的每一个解 x0，分析 f′(x)
在 x0 左、右两侧的符号(即 f(x)的单调性)，确定极
值点：
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a．若 f′(x)在 x0 两侧的符号“左正右负”，则 x0 为极大值点； b．若 f′(x)在 x0 两侧的符号“左负右正”，则 x0 为极小值点；
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解（1）由已知f′(x)=3x2-a.
∵f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，
∴f′（x）=3x2-a≥0在（-∞，+∞）上恒成立.
即a≤3x2对x∈R恒成立.
∵3x2≥0,∴只要a≤0.
又∵a=0时，f′(x)=3x2≥0，
∴f（x）=x3-1在R上是增函数，∴a≤0.
（2）由f′(x)=3x2-a≤0在（-1，1）上恒成立.
a=3.
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题型分类深度剖析
题型一函数的单调性与导数【例1】已知函数f(x)=x3-ax-1.
（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由. 思维启迪求f′(x)→f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立 →a的范围.
值分别是
（ A）
A.5,-15
B.5,-4
C.-4,-15
D.5,-16
解析 ∵y′=6x2-6x-12=0，得x=-1（舍去）或2,故
函数y=f(x)=2x3-3x2-12x+5在［0，3］上的最值可能
是x取0，2，3时的函数值，而 f（0）=5，f（2）=
-15，f（3）=-4,故最大值为5，最小值为-15.
c．若 f′(x)在 x0 两侧的符号相同，则 x0 不是极值点．
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3.函数的最值
（1）在闭区间［a,b］上连续的函数f(x)在［a,b］上
必有最大值与最小值.
(2)若函数f(x)在［a,b］上单调递增，则 f(a) 为函数的最小值， f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在［a,b］上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，
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4. 函数 f （ x ）的定义域为开区间（ a ， b ），导函数
f′(x)在（a，b）内的图像如图所示,则函数f（x）
在开区间（a，b）内有极小值点（ A ）
A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
解析 f′(x)＞0时,f(x)单调递增，f′(x)＜0时，
f(x)单调递减.极小值点应在先减后增的特殊点，即
f(b)为函数的最小值.
(3)设函数f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，
求f(x)在［a,b］上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在（a,b)内的极值； ②将f(x)的各极值与 f(a),f(b) 比较，其中最大的一
个是最大值，最小的一个是最小值.
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4.生活中的优化问题解决优化问题的基本思路是:
f′(x)＜0→f′(x)=0→f′(x) ＞0.由图像可知只有
1个极小值点.
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5.（2009·辽宁）若函数f(x)= x 2 a 在x=1处取极值， x1
则a= 3 . 解析 f(x)2x2 (x 2 x1 )x 22ax2 (x 21 x) 2a.因为f(x)在 x=1 处取极值，所以 1 是 f′(x)=0 的根，将 x=1 代入得
§3.2 导数的应用
基础知识自主学习
要点梳理
1.函数的单调性在（a,b)内可导函数f(x),f (x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0. f (x) 0 f(x)为增函数； f (x) 0 f(x)为减函数 .
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2.函数的极值
（1）判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， ①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧 f′(x)＜0 ，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧 f′(x)＞0 ，那么f(x0)是极小值.
A.［3,+∞)
B.［-3，+∞)
C.(-3,+∞)
D.(-∞,-3)
解析 ∵f(x)=x3+ax-2在（1，+∞）上是增函数，
∴f′(x)=3x2+a≥0在（1，+∞）上恒成立.
即a≥-3x2在（1，+∞）上恒成立.
又∵在（1，+∞）上-3x2＜-3,∴a≥-3.
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3.函数y=2x3-3x2-12x+5在［0，3］上的最大值，最小
∴a≥3x2在x∈（-1，1）上恒成立.
又∵-1＜x＜1,∴3x2＜3,只需a≥3.
当a=3时，f′(x)=3(x2-1)在x∈(-1,1)上， f′(x) ＜0,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
即f(x)在（-1，1）上为减函数，∴a≥3.
故存在实数a≥3,使f(x)在（-h 1，1）上单调递减.
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探究提高利用导数研究函数的单调性比用函数单
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基础自测
1.函数y=x3-3x的单调递减区间是 A.（-∞，0） B.（0，+∞）
（C）
C.（-1，1） D.（-∞，-1），（1，+∞）
解析 ∵y′=3x2-3,∴由3x2-3＜0,得-1＜x＜1.
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2.函数f(x)=x3+ax-2在区间（1，+∞）上是增函数，
则实数a的取值范围是
（B）
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因此，在已知函数f(x)是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令f′(x)≥0［或f′(x)≤0］恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解），然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f′(x)不恒为0，则由f′(x)≥0［或f′(x)≤0］恒成立解出的参数的取值范围确定.