第二章_Z变换(1)

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序列延时
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收敛域的变化
• 双边序列： 收敛域为环状区，不包括z=0和z=∞，收敛域 不变 • 单边序列： 在z=0和z=∞处有例外。
Z[δ (n)] =1, 在 平 处 收 ； z 面 处 敛 Z[δ (n −1)] = z , 在 = 0处 收 ； z 不 敛
−1
Z[δ (n +1)] = z, 在 = ∞处 收 ； z 不 敛
1
• 信号与系统的分析方法：时域分析法和频 域（变换域）分析法； • 连续时间信号与系统中，信号是连续时间t 的函数，系统用微分方程描述， （变换域） 频域分析用拉普拉斯变换和傅立叶变换； • 离散时间信号与系统中，信号用序列表示， 自变量n是整数，系统用差分方程描述，变 换域分析用Z变换和序列（离散）傅立叶变 换（频域）。与连续时间信号与系统相比， 两者都是线性变换，因此有许多类似的性 质。
n x(n) = A0δ (n) + ∑Ak zk u(n) k =1 N
对收敛域为双边序列的情况 则按极点分别展开 , .
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5z−1 例：已知X (z) = ,2 <| z |< 3, 求Z逆变换。 −1 −2 1− z − 6z
X (z) 5z−1 5 = = 2 解 ： −1 −2 z 1− z − 6z z + z −6 5 A A 1 2 = = + (z − 2)(z + 3) (z − 2) (z + 3) X (z) X (z) A = Re s[ ,2] = (z − 2) |z=2 =1 1 z z X (z) X (z) A = Re s[ ,−3] = (z + 3) |z=−3 = −1 2 z z X (z) 1 1 1 1 = − , X (z) = − −1 z (z − 2) (z + 3) 1− 2z 1+ 3z−1 内 点 = 2对 右 序 ， 极 z = −3对 左 序 ： 极 z 应 边 列 外 点 应 边 列 x(n) = 2n u(n) + (−3)n u(−n −1 )
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例 x(n) = anu(n), h(n) = bnu(n) − abn−1u(n −1) ： 求 y(n) = x(n) ∗h(n). ：
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3
序列的拉氏变换
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序列的分类
• 有限长序列 • 单边序列 左边序列 右边序列，特例：因果序列 • 双边序列
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（由级数收敛的阿尔贝定理导出）
含无穷点
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含零点
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给出两个定义：
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例：x(n)=δ(n)的Z变换及其收敛域 解：这是有限长序列n1=0,n2=0的特例：
X (z) =
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计算RN (n)的z变换，确定收敛域。
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序列类型与收敛域的关系
• 有限长序列： 0 <| z |< ∞ X (z) = ∑x(n)z−n n=−∞ • 单边序列 1 x(n) = X (z)zn−1dz Rx − <| z |< ∞ 右边序列： 2πj ∫c 因果序列： Rx − <| z |≤ ∞ 左边序列： 0 <| z |< Rx + 0 纯左边序列： ≤| z |< Rx + Rx − <| z |< Rx + • 双边序列： Z变换与收敛域不可分割
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+
|z|≥1,
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等 左 就 X (z)在 =1 的 数 即 式 边 是 z 处 留 ， lim (z −1 X (z) = Re s[ X (z)]z=1, )
z→ 1
所 ： 以 x(∞) = Re s[ X (z),1 z=1 ]
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序列右移
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收 敛 域 取 大 的 值 ， 域 缩 小
u(n − 3)z−n = z−3Z[u(n)] ∑
∞
= z−2 /( z −1 | z |>1 ), ) ) X (z) = z /( z −1 − z−2 /( z −1 = (z2 + z +1 / z2 ,| z |> 0 ) 的 限 序 ， 收 域 大 x(n)为 ≥ 0 有 长 列 敛 扩 ： n 收 域 除 = 0外 全 z平 。 敛 为 z 的 部 面
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X (z) =
n=−∞
x(n)z−n ∑
∞
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X (z) =
n=−∞
x(n)z−n ∑
∞
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留数定理（计算围线积分的方法）
如 果函 F(z) = X (z)zn−1在围线 上 数 c 连续 且 ， 在c内有 个极点 k，而在 的外部有 个极点 K z c M zm (K, M为 有限值 ，则 逆时针方向的 ) ( 围线积分 ： ) 1 n−1 n−1 ∫cX (z)z dz = ∑Re s[X (z)z ]z=z 2πj k k ( , 或 顺时针方 向的围线积分 在z = ∞有二阶以上零 )： 点 1 X (z)zn−1dz = ∑Re s[ X (z)zn−1] 2πj ∫c m z=zm 同时 ∑Re s[ X (z)zn−1] ：
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讨论：
x(n) = −a u(−n −1)和x(n) = a u(n)的z变换
n n
前 的 子 明 面 例 表 ： 一 左 序 和 个 边 列 Z变 个 边 列 一 右 序 的 换 具 相 的 式 表 式 全 同 有 同 形 ， 达 完 相 ， 1 X (z) = −1 1− az 只 收 域 同 一 在 内 一 在 外 是 敛 不 ， 个 圆 、 个 圆 ， 说 只 道变 的 达 并 能 一 定 明 知 Z 换 表 式 不 唯 确 原 列 收 域 得 常 要 序 ， 敛 显 非 重 。
例：求x(n) = a u(n)的z变换及其收敛域。
n
解： 这是一个因果序列 ，其Z变 换为： X (z) =
∞ n=−∞
anu(n)z−n = ∑an z−n ∑
n=0 −1 n
∞
∞
1 = ∑(az ) = ,z>a −1 1− az n=−∞ 这是 一个无穷等比级数 求和，只有在az 即| z |>| a | 时收敛，收 敛域在圆外部。
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如何选择百度文库线内、围线外极点
• 根据收敛域确定序列的类型 • n的取值范围（分子的幂次） • 分子在z=0处是否产生高阶极点： 上例中n<0计算左边序列时，由于分子Zn产 生高阶极点，计算烦琐，可选择围线外极 点计算留数，但注意公式前面的符号。 • 一般可以直接用围线内极点计算右边序列； 用围线外极点计算左边序列。
∑x*(n)z
−n
∞
−n
=
n=−∞
∑[x(n)(z*)
∞
−n
]*
= [ ∑x(n)(z*) ]* = X *(z*), Rx− <| z |< Rx+
n=−∞
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, Rx− <| z |< Rx+
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*非因果序列，不符合该定 理：收敛域不包含z=∞。
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即 x(∞) = Re s[ X (z),1]z=1 ：
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分子产生高阶极点
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例：已知X (z) = z2 /[(4 − z)(z −1/ 4)],1/ 4 <| z |< 4, 求x(n).
1 z2 1 zn+1 x(n) = zn−1dz = ∫c(4 − z)(z −1/ 4) ∫c(4 − z)(z −1/ 4)dz 2πj 2πj 围线c为X (z)收敛域内的闭合曲线 。 •当n ≥ −1 时，在c内只有z =1/ 4一个极点，用内部极点求留数 ： zn+1 x(n) = Re s[ ]z=1/ 4 (4 − z)(z −1/ 4) zn+1 1 = [(z −1/ 4) ]z=1/ 4 = (1/ 4)n , n ≥ −1 (4 − z)(z −1/ 4) 15 1 = (1/ 4)n u(n +1) 15
k z=zk
= −∑Re s[ X (z)zn−1]
m z=zm
20
21
Re s[ X (z)z , zk ] = (z − zk )X (z)z
n−1
n−1
|z=zk
而当z=∞在围线外可能有多重极点，采用内部极点计算留数 在围线外可能有多重极点， 而当 在围线外可能有多重极点 22 较方便。 较方便。
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−1
<1
例：求x(n) = −a u(−n −1)的z变换及其收敛域。
n
解 这 一 左 序 ， Z变 为 ： 是 个 边 列 其 换 ： X (z) =
∞ n=−∞
∑− a u(−n −1)z
n ∞
∞
−n
=
n=−∞
∑− a z
−1
n −n
a−1z = ∑− a−n zn = ∑− (a−1z)n = − 1− a−1z n=1 n=1 1 = ,z<a −1 1− az 这 一 无 等 级 求 ， 有 a−1z <1 是 个 穷 比 数 和 只 在 即| z |<| a | 时 敛 收 域 圆 部 收 ， 敛 在 内 。
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N
** 根 留 定 可 得 数 k (k = 0,1...N)： 据 数 理 求 系 A X (z) A = X (0) = R [ ES ,0] 0 z X (z) A =R [ ES , zk ] k z
** 根据X (z)的收敛域 ，求得x(n)： 如果| z |> m ax[| zk |], x(n)为因果序列 则: ,
∑x(n)z
∞
n
n=−∞
∑x(n)(z
−1
)
= X (z ),
Rx− <| z |< Rx+
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5.序列 共轭 若 [x(n)] = X (z), Rx− <| z |< Rx+ , 则 Z ： Z[x *(n)] = X *(z*), Rx− <| z |< Rx+ Z[x *(n)] =
∞
n=−∞
4−n ,n≥−1 15 4n+2 ,n≤−2 15 n+1 n+2 n+1 n+1
在z = 0处产生高阶极点，用外部极点求留数 ：
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例： 已知 (z) = z2 /[(4 − z)(z −1/ 4)], | z |> 4, X 求x(n).
1 z2 1 zn+1 x(n) = zn−1dz = ∫c(4 − z)(z −1/ 4) ∫c(4 − z)(z −1/ 4)dz 2πj 2πj 围线 为X (z)收 c 敛域 内的闭 合曲 , 包 线 含了 两个极 。 点 •当 ≥ （ n 0 因果序 列） 时， c内有 =1/ 4和 = 4二 在 z z 个极 ， 点 用 内部 极点 求留数 ： zn+1 zn+1 x(n) = Re s[ ]z=1/ 4 + Re s[ ]z=4 (4 − z)(z −1/ 4) (4 − z)(z −1/ 4) 1 −n n+2 = (4 + 4 ), n ≥ 0 15 •当 < 0时 n ，围 线的外 部没 有极 点，留 数为 零。
n=−∞
δ (n)z−n =1,0 ≤ z ≤ ∞ ∑
∞
因此收敛域是整个z平面。
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上式第一项为左边序列，Z变换的极点为z=b，因此收敛 域为|z|<b；第二项为因果序列的Z变换,极点为z=a，因此 收敛域为|z|>a。如果|a|<|b|， Z变换的收敛域为 |a|<|z|<|b|，否则，Z变换不存在。 14
42
∞
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收敛域的变化
• 收敛域一般为其公共部分（交集）； • 如果线性组合后某些零点与极点相互抵消，收敛 域可能扩大。
例 ： (n) = u(n) − u(n − 3) z变 ： 如 x 的 换 Z[u(n)] = z /( z −1 | z |>1 ), Z[u(n − 3)] =
n=−∞
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收敛域的变化
• a为实数，零点、极点沿径向伸缩； • a为复数,但模|a|=1，零点、极点沿圆周旋 转； • a为任意复数，零点、极点既有旋转，又有 伸缩。 收缩影响收敛域的大小， 但旋转不改变收敛域。
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Z[x(−n)] = =
∞
n=−∞
∑x(−n)z
−1 −n
∞
−n
=
n=−∞ −1
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•当n ≤ −2时，在c外部只有z = 4一个极点 ， 而在c内部，除z =1/ 4外，分子z z x(n) = −Re s[ ]z=4 (4 − z)(z −1/ 4) z 4 = −[(z − 4) ]z=4 = , n ≤ −2 (4 − z)(z −1/ 4) 15 综合得到：x(n) ={
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X 其 zk为 (z)的 中 单极 ， k (k = 0,1...N)为 数 点 A 常 。 Ak z X (z) = A0 + ∑ , k =1 z − zk X (z) A0 N Ak = +∑ z z k=1 z − zk 观 察上 ： 式 A0是 (z) / z在 = 0极 X z 点的 数 留 ； Ak是 = zk极 z 点的 数 留 。