直线和圆的方程小结与复习课件
《复习直线和圆的位置关系》说课稿
《复习直线和圆的位置关系》说课稿《复习直线和圆的位置关系》说课稿范文《复习直线和圆的位置关系》说课稿1今天我的说课内容是人教版九年级上册第二十四章第二节第二课时的直线与圆的位置关系。
下面我将以教什么、怎么样教、为什么这样教为思路从教材分析、学情分析、教学目标、学法教法、教学过程和板书设计六个方面对本课进行说明。
一、教材分析教材的地位和作用。
圆在平面几何中占有重要地位，它被安排在初中数学第二十四章，属于一个提高阶段。
而直线和圆的位置关系又是本章的一个中心内容。
从知识体系上看：它有着承上启下的作用，既是对点与圆的位置关系的延续与提高，又是后面学习切线的性质和判定、圆和圆的位置关系及高中继续学习几何知识的基础。
从数学思想方法层面上看:它运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程以及相关知识间的内在联系，渗透了数形结合、分类讨论、类比等数学思想方法，有助于提高学生的数学思维品质。
二、学情分析在此之前学生已经学习了点和圆的位置关系，对圆有了一定的感性和理性认识，但在某种程度上特别是平面几何问题上，学生还是依靠事物的具体直观形象。
加之九年级学生好奇心强，活泼好动，注意力易分散，认知水平大都停留在表面现象，对亲身体验的事物容易激发求知的渴望，因此要想方设法，引导学生深入思考、主动探究、主动获取新知识。
三、教学目标：根据学生已有的认知基础及本课的教材的地位、作用，结合数学课程标准我将确定如下的教学目标：（1）掌握直线和圆的三种位置关系性质及判定。
（2）通过观察、实验、合作交流等数学活动使学生了解探索问题的一般方法；（3）通过直线和圆的位置关系的探究，向学生渗透分类讨论、数形结合、类比的数学思想,陪养学生观察、分析和概括的能力；（4）体会事物间的相互渗透，感受数学思维的严谨性，并在合作学习中体验成功的喜悦。
教学的重难点：重点：直线和圆的三种位置关系的性质与判定。
难点：用数量法刻画直线与圆的三种位置关系。
突破难点的策略:引导学生动手动脑、操作实践，类比点和圆的位置关系的判定方法，配合几何画板直观演示来加深学生对知识的理解。
2.5.1直线与圆的位置关系(第1课时)
.
＝
所求切线的方程为 = 或 − − = .
例2 过点(, )作圆： + = 的切线，求切线的方程.
法2（代数法）：设切线的斜率为，则切线的方程为 − = − .
因为直线与圆相切，所以方程组
−= −
，只有一组解.
=
×+−
+
=
< .
所以，直线与圆相交，有两个公共点.
如图，由垂径定理,得 = − = .
几何法：数形结合
判断直线与圆的位置关系
例题小结
方法二：几何法
方法一：代数法
联立直线和圆的方程
有两解
计算圆心到直线的距离
相交
＜
有一解
相切
＝
个数？
例1 已知直线 ： + − = 和圆心为的圆 + − − =
（1）判断直线与圆的位置关系；
（2）如果相交，求直线被圆所截得的弦长.
+ − =
①
解：（1）联立直线与圆的方程，得
+ − − = ②
解法2，把几何条件代数化，即用距离公式直接计算出，这种解法实
质上仍是几何方法.
P93练习1.判断下列各组直线与圆的位置关系:
(1) ： − + = ，圆： + = ；
(2) ： + + = ，圆C： + − = ；
(3) ： + + = ，圆： + + = .
d = r；
（3）直线与圆相离
人教版九年级上册数学精品教学课件 第24章 圆 第二十四章 小结与复习
二、 圆的基本性质 1. 圆的对称性
圆是轴对称图形，它的任意一条_直__径__所在的直线都是 它的对称轴.圆也是中心对称图形，圆心即为对称中心.
2. 有关圆心角、弧、弦的性质 (1) 在同圆中，如果圆心角相等，那么 它们所对的弧相等，所对的弦也相等；
(2) 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、 两条弧和两条弦中有一组量相等，那么
A
O
BP
又∵∠COB = 2∠PCB，∴∠ACO =∠PCB．
∵ AB 是⊙O 的直径，∴∠ACO +∠OCB = 90°．
∴∠PCB +∠OCB = 90°，即 OC⊥CP．
∵ OC 是⊙O 的半径，∴ PC 是⊙O 的切线．
针对训练 7. 如图，点 D 是∠AOB 的平分线 OC 上任
意一点，过 D 作 DE⊥OB 于 E，以 DE 为半径作⊙D.
12. 正多边形的相关概念 (1) 中心：正多边形外接圆和内切圆有公共的圆心，称 其为正多边形的中心. (2) 半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径. (3) 边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形 的边心距.
(4) 中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角 都相等，叫做正多边形的中心角.
它们所对应的其余各组量都分别相等.
三、与圆有关的位置关系
1. 点与圆的位置关系 判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离 d 与
圆的半径 r 比较得到.
设☉O 的半径是 r，点 P 到圆心的距离为 d ，则有
d＜r
点 P 在圆内；[以注转意化]为点点与到圆圆的心位的置距关系离可与
d=r
点 P 在圆上；半径之间的大小关系；反过
S 1 nar 1 Cr. 其中 C 为正 n 边形的周长.
直线与圆的位置关系优质课PPT课件
O
它们的坐标分别是A(2,0),B(1,3).
A x
7
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判断下列直线与圆的位置关系
(1).圆x2 y2 13与直线x y 1 0;
相交
(2).圆x2 y2 8x 2 y 8 0, 直线4x 3y 6 0;
相切
(3).圆( x 2)2 y2 1, 直线2x y 5 0.
例 2:已知圆 C:X2+y2=1和过点 P( -1 ,2) 的直线L.
(1)试判断点P的位置. (2)若直线L与圆C相切 ,求直线L的方程.
(3)若直线L与圆相交于A 、B两点,求直线 L 的斜率范围.
(4)当直线L的斜率为-1时,试判断它们的 位置关系. (5)若直线L与圆相交于A 、B两点 ,且满足 OA⊥OB, 求直线L的方程.
当 d>r 时，直线与圆的位置关系是相离 当 d=r 时，直线与圆的位置关系是相切 当 d<r 时，直线与圆的位置关系是相交
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直线与圆的位置关系的判定方法
直线l：Ax+By+C=0，圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
(1)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：
d>r d=r d<r
x2 y2 6x 5 0
(x 3)2 y2 4
圆心（3，0） 直线x-my+3=0
r=2
d 6 m2 1
比 相交
d<r
较
d 相切
d=r
与
相离
d>r
r
6 2,得m 2 2或m 2 2 m2 1
6 2,得m 2 2 m2 1
6 2,得 2 2 m 2 2 m2 1
直线和圆的位置关系 -PPT课件
A
Bl
特点：直线和圆有_____的公共点， 叫做直线和圆_____
这时的直线叫_____，
唯一的公共点叫_____。 特点：直线和圆_____公共点，
叫做直线和圆_____。
.O
.
l
切点 A
.O l
用圆心o到直线l的距离d与圆的半径r的关系来区分
2．直线和圆的位置关系
O
dr
—— 数量特征
l 直线 l 和⊙O相交
24.2.2.直线与圆的位置关系(1)
复习提问：
1、在白板上拖动点A说明点和圆的位置关系有 几种？在用数量关系判别一下点和圆的位置关 系？
.A
微课展示： 一、直线与圆的位置关系
（用公共点的个数来区分）
特点：直线和圆有_____公共点，
叫直线和圆_____， 这时的直线叫做圆的_____。
.O
..
B
4
C3
A
练习二
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm， 以C为圆心，r为半径作圆。
(1)当 r 满足______时，⊙C与直线AB相离。
(2)当 r 满足_____ 时，⊙C与直线AB相切。 B
(3)当r 满足_____ _时，⊙C与直线AB相交。 (4)当r满足____时,⊙C与线段AB只有 一个公共 点.
x2 9x 20 0 的两个根，则直线m与⊙O的位置
关系是
。
若d，r是方程 x2 4x a 0 的两个根，且直线m
与⊙O的位置关系是相切，则a的值是 。
再见
B
A
O
小结：本节课里，你学到了哪 些知识，它们是如何应用的？
说说收获
直线与圆的 位置关系
直线与圆的位置关系 课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4 5，求直线l的
方程。
y
问题1：确定一条直线的条 件是什么？
问题2：已知条件是什么？ 如何转化更简便？
M. .O
x
E
F
问题3：有什么好的解题思路？
18
例2.已知过点M(-3,-3)的直线l 被圆 x2 y2
4 y 21 0 所截得的弦长为4 5 ,求 l 的方程.
解:因为直线l 过点M,可设所求直线l 的方程为:
y 3 k( x 3) 即: kx y 3k 3 0
对于圆:x2 y2 4 y 21 0 x2 ( y 2)2 25
圆心坐标为(0,2),半径r 5 如图: AD 4 5,根据圆的性质, AB 2 5,d 5
d | 2 3k 3 | | 2 3k 3 | 5
yL B
C● 0
A x
图4.2-2 8
解法一：由直线L与圆的方程，得
{ 3x y 6 0
①
x2 y2 2y 4 0 ②
消去y ，得 x2 3x 2 0
因为
⊿= (3)2 4 1 2 1 0
所以，直线L与圆相交，有两个公共点。
9
解法二：圆 x2 y 2 2 y 4 0 可化为 x 2 ( y 1)2 5，其
k2 1
k2 1
解得: k 2或k 1
2 所求直线为: x 2 y 9 0 或 2x y 3 0 19
小结：判断直线和圆的位置关系
几何方法
代数方法
求圆心坐标及半径r （配方法）
圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）
消去y（或x）
20
问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接
2.4.2圆的一般方程课件(人教版)
形成的图形、在解析几何中，我们常常把图
形看作点的轨迹(集合).
分析:如图，点A运动引起点M运动，而点
A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程
+ 1 2 + 2 = 4.建立点M与点A坐标之间的
关系，就可以利用点A的坐标所满足的关系式
得到点M的坐标满足的关系式，求出点M的轨
2
2
(3)当D2 + E2 − 4F < 0时，方程(2)没有实数解,它不表示任何图形.
概念生成
因此，当2 + 2 − 4 > 0时，方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0表示一个圆.
我们把方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0叫做圆的一般方程.
2
2
解:设圆的方程是 2 + 2 + + + = 0 ①.
因为O，M1，M2三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把
它们的坐标依次代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组
=0
= −8
ቐ + + + 2 = 0 ，解这个方程组，得ቐ = 6 ，
4 + 2 + + 20 = 0
圆的标准方程: (x-a) +(y-b) =r2
圆的一般方程与标准方程的关系：
D
E
1
2
2
(1)a= ，b= ，r=
D E 4F
2
2
2
(2)标准方程易于看出圆心与半径,
(3)一般方程突出形式上的特点：
直线的极坐标方程及柱坐标系和球坐标系课件
新课讲授 例题1：求过极点，倾角为 4 的射线 的极坐标方程。 M 分析： 如图，所求的射线 上任一点的极角都 ﹚ 4 o x 是 / 4，其 极径可以取任意的非负数。故所求 直线的极坐标方程为
4 ( 0)
思考： 5 1、求过极点，倾角为 的射线的极 4 5 坐标方程。 易得 ( 0 ) 2、求过极点，倾角为 坐标方程。
点M(ρ 0，θ 0)，且极轴到此直线的角为α ，直 线l的极坐标方程为： ρ sin(α -θ ) =
ρ 0sin(α -θ 0)
.
阅读课本P16---17
了解柱坐标系的定义, 以及如何用
柱坐标系描述空间中的点.
z 设P是空间任意一点， P(ρ,θ,Z) 在oxy平面的射影为Q， 用(ρ ,θ )(ρ ≥0, 0≤θ ＜2π )表示点Q o y 在平面oxy上的极坐标， θ 点P的位置可用有 Q x 序数组(ρ ,θ ,z)表示. 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱 坐标系. 有序数组(ρ ,θ ,Z)叫点P的柱 坐标，记作(ρ ,θ ,Z). 其中 ρ ≥0, 0≤θ ＜ 2π , -∞＜Z＜+∞
柱坐标系又称半极坐标系，它是由 平面极坐标系及空间直角坐标系中的 一部分建立起来的. 空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐 标 (ρ ,θ ,Z) 之间的变换公式为
x cos y sin z z
设点的直角坐标为(1，1，1)，求它 在柱坐标系中的坐标.
由已知的对称直线的问题关于sin12一个圆的方程为在极坐标系中已知sinsin直线的方程是相切的一条化为极坐标方程为圆的方程为那么一条与此圆相切的面积所围成的的面积积就是扇形解
§1.3.2直线的极坐标方程
数学高考复习名师精品教案：第60课时：第七章 直线与圆的方程-直线与圆的方程小结
数学高考复习名师精品教案第60课时：第七章 直线与圆的方程——直线与圆的方程小结课题：《直线与圆的方程》小结一．基础训练：1．点P 在直线40x y +-=上，O 为原点，则||OP 的最小值是 （ ）()A 2 ()B 6 ()C 22 ()D 102．过点(1,4)A ，且横纵截距的绝对值相等的直线共有 （ ）()A 1条 ()B 2条 ()C 3条 ()D 4条3．圆22420x y x y c +-++=与y 轴交于,A B 两点，圆心为P ，若90APB ∠= ，则c =（ ）()A 3- ()B 3 ()C 22 ()D 84．若圆222(3)(5)(0)x y r r -++=>上有且只有两个点到直线4320x y --=距离等于1，则半径r 取值范围是 （ ）()A (4,6) ()B [4,6) ()C (4,6] ()D [4,6]5．直线0ax by c ++=与直线0dx ey c ++=的交点为(3,2)-，则过点(,),(,)a b d e 的直线方程是___________________。
6．已知,x y 满足38150536025100x y x y x y ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则x y -的最大值为____，最小值为___。
二．例题分析：例1．过点(2,1)P 作直线l 交x 轴，y 轴的正向于,A B 两点；（O 为坐标原点）(1)当AOB ∆面积为92个平方单位时，求直线l 的方程；(2)当AOB ∆面积最小时，求直线l 的方程； (3)当PB PA ⋅最小时，求直线l 的方程。
例2．设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线:20l x y -=的距离最小的圆的方程。
例3．设正方形ABCD （,,,A B C D 顺时针排列）的外接圆方程为2260(9)x y x a a +-+=<，,C D 点所在直线l 的斜率为31； （1）求外接圆圆心M 点的坐标及正方形对角线,AC BD 的斜率；（2）如果在x 轴上方的,A B 两点在一条以原点为顶点，以x 轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l 的方程；（3）如果ABCD 的外接圆半径为x 轴上方的,A B 两点在一条以x 轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l 的方程。
人教版高中数学课件：7.8.2直线与圆的方程小结与复习(二)
y
A
C
解法二：利用A点关于x轴的对称点A’ 过点A’的圆的切线求得反射 光线的的斜率，即求得入射 光线的斜率，即求. 解法三：利用圆C关于x轴的对称圆C1， 入射光线即为过点A与圆C1相切 的直线.
4x 3 y 3 0 或 3x 4 y 3 0
解 法 1 . 设 B ( x B , y B ) 则 A B的 中 点 D 坐 标 （
xB 2 2
,
yB 8 2
）
又 B , D 分 别 在 直 线 x 2 y 4 0 和 直 线 4 x 7 y 24 0 上
xB 2 yB 4 0 x 2 yB 8 B ) 7( ) 24 0 4( 2 2
k 2 k1 1 k1k 2
ta n
k 2 k1 1 k1 k 2
Page 6
高2008级数学教学课件
典型例题
例1.已知△ABC的顶点A(3，-1)，AB边上的中线所在 直线方程为6x+10y-59=0，∠B的平分线所在直线 的方程为：x-4y+10=0，求BC边所在的直线的方程.
高2008级数学教学课件
解法二、 B 在直线 x 2 y 4 0 上，可设 又 AB 边上的中线所在直线方 4 2 7 8 24 4 7
2 2
B (2 y B 4, y B )
程为 4 x 7 y 24 0 0
y A
4 ( 2 y B 4 ) 7 y B 24 4 7
x x1
y y1 y 2 y1
x a
浙江省温州市兴港高级中学人教版高中数学必修二课件：第四章 圆的方程复习课
第十八页，编辑于星期日：十五点 三十六分。
跟踪训练
1．已知两圆C1：x2＋y2＋4x＋4y－2＝0，C2：x2＋y2－2x －8y－8＝0，判断圆C1与圆C2的位置关系． 解：法一：把圆 C1 的方程化为标准方程，得(x＋2)2＋(y＋ 2)2＝10.圆 C1 的圆心坐标为(－2，－2)，半径 r1＝ 10. 把圆 C2 的方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－4)2＝25.圆 C2 的圆心坐标为(1,4)，半径 r2＝5. 圆 C1 和圆 C2 的连心线的长为 －2－12＋－2－42＝ 3 5，圆 C1 与圆 C2 的两半径之和是 r1＋r2＝5＋ 10，两半 径之差是 r2－r1＝5－ 10.
第八页，编辑于星期日：十五点 三十六分。
此时直线 l 的方程为 y－3＝152(x－2)，即 12x－5y－9＝0. (2)若直线 l 的斜率不存在，即 x＝2 也符合要求． 所以直线 l 的方程为 12x－5y－9＝0 或 x＝2. 【名师点评】 如果所求切线过某已知点，务必弄清该点与 圆的位置关系．另外求切线时应注意对斜率不存在时过该点 直线的验证．
两点坐标是方程组xx22＋ ＋
y2＋ y2－
2x－ 4x＋
6y＋ 2y－
1＝ 0 11＝ 0
① ②
的解，①－②得： 3x－ 4y＋ 6＝ 0. ∵A，B 两点坐标都满足此方程， ∴3x－4y＋6＝0 即为两圆公共弦所在的直线方程．易 知圆 C1 的圆心(－1,3)，半径 r1＝3.
第二十二页，编辑于星期日：十五点 三十六分。
第二十四页，编辑于星期日：十五点 三十六分。
(2)设圆 O2 的方程为：(x－2)2＋(y－1)2＝r22， ∵圆 O1 的方程为：x2＋(y＋1)2＝4， 此两圆的方程相减，即得两圆公共弦 AB 所在直线的方程： 4x＋ 4y＋ r22－ 8＝ 0. 作 O1H⊥AB(图略)，则|AH|＝12|AB|＝ 2， O1H＝ 2，由圆心 O1(0，－1)到直线 AB 的距离得 |r22－12|＝ 2，得 r22＝4 或 r22＝20.故圆 O2 的方程为
高中数学： 4.1 圆的方程 (4)
则点P(x，y)满足 | PA | 1 ，
| PB | 2
即
x2 y2 1 ，
(x 3)2 y2 2
阿波罗尼斯圆
化简得x2＋y2＋2x－3＝0.即(x＋1)2＋y2＝4， 所以动点P的轨迹是以点(－1,0)为圆心，以2为半径 的圆．
阿波罗尼斯圆的定义
➢求动点轨迹的步骤:
(x0 4, y0 3) 2(x 4, y 3) 相关点法
x0 2x 4, y0 2 y 3,
Q A在圆(x 1)2 y2 4上,(x0 1)2 y02 4,
(2x 3)2 (2 y 3)2 4
故，(x 3)2 ( y 3)2 1为所求点M的轨迹方程.
2
2
求 半径
列关于a，b，r（或D，E
（圆心到圆上一点距离）
，F）的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F ），写出标准方程（或一
般方程）
人教版·必修2·第四章《圆与方程》
4.1.2 圆的一般方程
y
x2 y2 Dx Ey F 0
O
x
r
复习引入 圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
(x a)2 ( y b)2 r2
O
标准方程
M(x,y)
C
x
若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2 y2 r2
思考 圆的方程一般代数形式是什么特点呢
解 由方程表示圆得， D2＋E2－4F＝12＋22－4(a－1)＝9－4a＞0，
解得a＜
9 4
，
即a的取值范围是
(, 9) 4
.
典例探究
例2、
圆 (x
直线与圆的位置关系2
方法一：直线：Ax+By+C=0;圆：x2 + y2 +Dx+直线：Ax+By+C=0;圆: (x-a)2 + (y-b)2 =r2
d=
当 a(a > 0) 取何值时，直线 与圆 交？
x + y - 2a +1 = 0 2 2 2 x + y - 2ax + 2y + a - a +1 = 相切、相离、相 0
O
x
1．已知直线 y=x+1 与圆
x 2 y 2 4 相交于A,B两点，求
y
弦长|AB|的值
解法二：（弦长公式）
y x 1 由 2 消去y 2 x y 4 得2 x 2 2 x 3 0 3 x1 x2 1, x1 x2 2 3 (1 1 )[(1) 4 ( )] 14 2
2 2
B
A
O
x
| AB | (1 k 2 )[( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 ]
2．已知直线 y=x+1 与圆
x 2 y 2 4 相交于A,B两点，求
弦长|AB|的值
解三：解弦心距,半弦及半径构成的直角三角形） 设圆心O（0，0）到直线的距离为d，则 y
2 d 2 1 (1) 2 | AB | 2 r d 14
小结：求圆的切线方程一般有两种方法：
(1)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)与圆的方程组成 方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式 Δ＝0进而求得k. (2)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)利用点到直线的 距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而 求出k. 以上两种方法，一般来说几何法较为简洁，可作为首选．
人教版九年级上册数学《直线和圆的位置关系》圆说课研讨教学复习课件拔高
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD.
∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，
∴BD=ID．
课堂小结
切线长
原理
图形的轴对称性
切线长
定理
作用
提供了证线段和角相等的新方法
①
辅助线
② 连接两切点；
③
有关概念
三角形
将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个
刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的
半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径．
C
分析：欲求半径OP，取圆的圆心为O，
连OA、OP，由切线性质知△OPA为
直角三角形，从而在Rt△OPA中由勾
股定理易求得半径．
O
B
探究新知
能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
探究新知
问题1: 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎
样的位置关系？
最大的圆与三角形
三边都相切
O
O
O
O
探究新知
问题2: 如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？
(1) 如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切，那么圆心I
应满足什么条件？
(2) 在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？
H
∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.
∴AB+CD=AD+BC.
O·
F
A
E
B
巩固练习
PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3.
直线和圆位置关系总结
教学过程一、复习预习教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容二、知识讲解考点/易错点1 直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，设d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.考点/易错点2 圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).考点/易错点3 计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法运用韦达定理及弦长公式|AB|＝1＋k2|x A－x B|＝(1＋k2)[(x A＋x B)2－4x A x B].说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．考点/易错点4 圆的切线方程P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2(r>0)上，则以P为切点的切线方程为x0x＋y0y＝r2三、例题精析【例题1】【题干】已知圆x2＋y2－6mx－2(m－1)y＋10m2－2m－24＝0(m∈R)．(1)求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；(2)与l平行的直线中，哪些与圆分别相交、相切、相离．【题干】已知点P(0,5)及圆C x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.(1)若直线l过P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．【例题3】【题干】已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋(m2－5)＝0与C2：x2＋y2＋2x－2my＋(m2－3)＝0，当m为何值时：(1)两圆外离；(2)两圆外切；(3)两圆相交；(4)两圆内切；(5)两圆内含．【题干】已知两个圆C1：x2＋y2＝4，C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0，直线l：x＋2y＝0，求经过C1和C2的交点且和l相切的圆的方程．四、课堂运用【基础】1．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是()A．相切B．相交但直线不过圆心C．相交过圆心D．相离2. 对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是()A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心3．直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于() A．2 5 B．2 3C. 3 D．14．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是() A．[－3，－1] B．[－1,3]C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)5．直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得弦长为________．6．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)从圆C外一点P(x，y)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求点P的轨迹方程．【巩固】1．已知M，N分别是圆C1：(x＋3)2＋y2＝4和圆C2：x2＋(y－4)2＝1上的两动点，则|MN|的最小值为()A．1 B．2C．3 D．42．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．3．m为何值时，直线l：2x－y＋m＝0与圆O：x2＋y2＝5.(1)无公共点；(2)截得的弦长为2；(3)交点处两条半径互相垂直．【拔高】1．在平面直角坐标系xOy 中，已知x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)且斜率为k 的直线与Q 相交于不同的两点A ，B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA →＋OB →与PQ →共线？如果存在，求k 值；如果不存在，说明理由．课程小结1．圆的切线方程的求法(1)求过圆上的一点(x 0，y 0)的切线方程先求切点与圆心连线的斜率k ，由垂直关系知切线斜率为－1k ，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x ＝x 0.(2)求过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程 ①几何方法当斜率存在时，设为k ，切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．②代数方法设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆的方程，得一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0，求得k ，切线方程即可求出．注意：过圆外一点作圆的切线有两条，若在解题过程中，只解出一个答案，说明另一条直线的斜率不存在．2．几个结论：①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2；②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y －b)＝r2；③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.课后作业【基础】1．圆x2＋y2＋4y＝0在点P(3，－1)处的切线方程为()A.3x＋y－2＝0B.3x＋y－4＝0C.3x－y＋4＝0D.3x－y＋2＝02. 已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x＋4y＋4＝0相切，则圆的方程是()A．x2＋y2－4x＝0 B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2－2x－3＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝03．设A为圆(x＋1)2＋y2＝4上的动点，P A是圆的切线，且|P A|＝1，则P点的轨迹方程为()A．(x＋1)2＋y2＝25B．(x＋1)2＋y2＝5C．x2＋(y＋1)2＝25 D．(x－1)2＋y2＝54．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|kx－y≤2}，其中x，y∈R.若A⊆B，则实数k的取值范围是()A．[0，3] B．[－3，0]C．[－3，3] D．[－3，＋∞)5．已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，则两圆的公共弦所在的直线方程为__________，公共弦长为________．6．已知⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点．(1)若|AB|＝423，求|MQ|及直线MQ的方程；(2)求证：直线AB恒过定点．【巩固】1．设两圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝( ) A ．4 B ．4 2 C ．8D ．8 22．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为________．3．设O 为坐标原点，曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有两点P 、Q ，满足关于直线x ＋my ＋4＝0对称，又满足OP →·OQ →＝0.(1)求m 的值； (2)求直线PQ 的方程．【拔高】1．过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为 2，则直线l 的斜率为________．2．圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心为O 2(2,1)． (1)若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 2与圆O 1交于A 、B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．。
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一般方法：
1、先建立直角坐标系，设（x,y）是曲线上任一 点
2、将条件P用点的坐标的数量关系表示出来 3、通过变形、化简，最后得到该曲线的方程
两根杆分别绕着定点A和B(AB=2a)在平面内
转动，并且转动时两杆保持相互垂直，求杆的交
点的轨迹方程
解：以AB所在直线为x轴，线段AB中点为
L1: Ax+By+C=0 , l 2: Ax+By+C=0
1、平行：l1 ∥l2,
A1 B1
C1
A2 = 0,Y0)到直线Ax +By+C=0的距离
d= Ax0 By0 C
A2 B2
5、两平行直线3x+4y-12=0与6x+8y+6=0间的距离是
不含垂直坐标轴的直线
4、截距式： x ＋ y ＝1 的直线 a b
不含垂直坐标轴和过原点
5、一般式： Ax+By+C=0 (A、B不全为0）
3、求过点p(2、3)，并且在两坐标轴上的截距相等 的直线方程
解：设直线方程为：
x a
＋
y a
＝1，将（2、3）代入即
得a=5, 所以直线方程为x： y
5 ＋ 5 ＝1
9 A 5 B 、 -3
C、 6
D、3
4、如果直线2x+y+a=0和直线x+ 1y+b=0平行,那么 2
A a=2,b=1 B a=2b C a=b=0 D a≠2b
5、经过点P(3,0)，且2X+Y-5=0与直线垂直的直 线方程
1、求曲线的交点问题:
把曲线的方程列方程组，求出方程组的解即是曲线
()
A、第一象限 B、第二象限 C 第三象限 D、第四象限
一般先把直线化成斜截式，由斜率k及在y轴上的 截距b的正负性确定直线的大致图形
直线的方程
1、点斜式 : y-y0=k(x-x0) 不包括垂直于x轴的直线 2、斜截式： y=kx+b 不包括垂直于x轴的直线
3、两点式
y y1 y2 y1
＝ x x1 x2 x1
又知对称圆的半径与已知圆的半径相等，所以所求的圆方程为
（x-3)2+(y+2)2=4
圆的切线方程：
通过圆x2 +y2=r2上一点(x0,y0)的切线方程是
X0x+y0y=r2
直线和圆的方程
小结与复习
1、倾斜角的定义：
一条直线和向上的方向与x轴的正方向所成的 最小正角
2、倾斜角的范围：0°≤ ＜180°
3、计算公式：
K=tan =
y2
y 1
x2 x1
1、直线 3 x+y+4=0 的倾斜角是（ ）
A 、3
B、 6
C、2
3
5
D、 6
2、若AC＜0且BC ＜0 ，那么直线Ax+By+C=0不通过
C
原点，如图建立直角坐标系
设两杆交点C为(x,y) ,A（-a,0）,B（a,0）A 由KAC.kBC=- 1, 得
Bx
y0
y0
x (a)
.
xa
得：x2+y2=a2
= -1
圆的方程
一、圆的标准方程：
圆心（a,b），半径为r的圆的方程: (x-a)2+(y-b)2=r2
特殊地，当圆心这（0,0），半径为r的圆的方程：
x2+y2=r2
二、圆的一般方程：
x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F＞0)
(x+ D )2+(y+ E )2= D2 E 2 4F
2
2
4
表示圆心在（ D ， E ），半径为 D2 E 2 4F
的圆
2
2
2
3、求圆x2+y2-2x-8y=0关于直线x-3y+1=0对称的圆方程 解：圆方程可化为：(x-1)2+(y-4)2=4 所以圆心为(1,4)，半径为2 点（1,4）关于直线x-3y+1=0的对称点为(3,-2)，这 点就是对称圆的圆心
注意：当直线过原点时，直线到两坐标轴的距离 都为0
此时直线方程为：y= 2 x 3
三、两直线的位置关系
L1 、l2 有斜率时： l1:y=k1 x+b1 l2: y=k 2x+b2
1、平行：l1 ∥l2 k1=k2 且 b1 b2
2、重合： k1=k2 且b1=b2
3、垂直： l1 ⊥l2 k1k2 =-1