直接测量结果的表示

4.合成不确定度为： 合成不确定度为 合成不确定度 5.相对不确定度为： 相对不确定度为 相对不确定度
λ = ( 0 . 686 ± 0 . 004 ) cm
u rλ = 0 .5 %
第四节 间接测量结果的表示和 不确定度的合成
一、间接测量量的不确定度计算 间接测量量是由直接测量量根据一定的函 数公式计算出来的。 数公式计算出来的。 直接测量量的不确定度就必然影响到间接 测量量， 测量量，这种影响的大小也可以由相应的 数学公式计算出来。 数学公式计算出来。
N = F (x, y, z ⋅ ⋅ ⋅)
⋅) 间接测量量的最佳估计值为 N = F (x , y , z ⋅ ⋅，将各直 接测量量的最佳估计值代入函数关系式可得到间 接测量量的最佳估计值。 接测量量的最佳估计值。 在普通物理实验中用以下两式来简化地计算不确 定度： 定度：
∂F 2 ∂F 2 ∂F 2 2 2 u N = ( ) (u x ) + ( ) (u y ) + ( ) (u z ) 2 + ... ∂x ∂y ∂z
2 i x
n
∆A = σ x
5、由∆A、 B 合成不确定度：u = ∆2A +∆2B 由 ∆ 合成不确定度：
u 6、计算相对不确定度： r = x × 100 % 计算相对不确定度： 计算相对不确定度 u
x 7、给出最终测量结果： ( x 给出最终测量结果： 给出最终测量结果 = ± u ) 单位 u ur = × 100 % x
uM urρ = = ρ M uρ
2 2
2uD + D
∂F 2 2 ∂F 2 2 u = ( ) (ux ) + ( ) (uy ) +... ∂x ∂y
(3)对积商形式间接测量量的相对不确定度用： (3)对积商形式间接测量量的相对不确定度用： 对积商形式间接测量量的相对不确定度用
uN ∂InF 2 ∂InF 2 2 ur = = ( ) (ux ) + ( ) (uy )2 + ... N ∂x ∂y
二、直接单次测量结果的表示
单次测量时，大体有三种情况： 大体有三种情况：
1、仪器精度较低，偶然误差很小，多次测量读数相同， 、仪器精度较低，偶然误差很小，多次测量读数相同， 不必进行多次测量； 不必进行多次测量； 2、对测量的准确程度要求不高，只测一次就够了； 、对测量的准确程度要求不高，只测一次就够了； 3、因测量条件的限制，不可能多次重复测量。 、因测量条件的限制，不可能多次重复测量。 用单次测量值作为被测量的最佳估计值。 用单次测量值作为被测量的最佳估计值。 用仪器误差作为的总不确定度，测量结果表示为： 用仪器误差作为的总不确定度，测量结果表示为：
3)将仪器误差作为不确定度 类分量 ，即 将仪器误差作为不确定度B类分量 将仪器误差作为不确定度
∆ B = ∆ 仪 = 0 . 004 mm
4)直径的不确定度表达 直径的不确定度表达: 直径的不确定度表达
uD = ∆2A + ∆2B ≈ 4.02 ×10−3 (mm) ≈ 0.0004(cm) D = (0.5645 ± 0.0004)(cm)
4.再求总的不确定度： 再求总的不确定度： 再求总的不确定度
uv = V ⋅ urv = 9.436 × 0.008 ≈ 0.08cm
5.最终实验结果： 5.最终实验结果： 最终实验结果
3
V = (9.44 ± 0.08)cm u rv = 0.8%
3
[P29例5] 已知一圆柱体的质量 例 已知一圆柱体的质量M=14.06g±0.01g， ± ， 高H=6.715cm±0.005cm，用螺旋测微计测得直 ± ， 的数据， 径D=的数据，如下表： 的数据 如下表： 次数6 次数 ：0.5642 ，0.5648 ，0.5643 ， 0.5640， ， 0.5649 ，0.5646 ，求其密度的测量结果。 求其密度的测量结果。 1.先求直径的不确定度表达 先求直径的不确定度表达: 解： 1.先求直径的不确定度表达:
V =
π
4
2 ( D2 − D12 ) H =
π
4
× (3.600 2 − 2.880 2 ) × 2.575 = 9.436cm 3
2.求偏导： 2.求偏导： 求偏导
2D2 ∂ InV = 2 , 2 ∂D 2 D 2 − D1 − 2 D1 ∂ InV = 2 , 2 ∂ D1 D 2 − D1
1
(λ − λi ) 2 ∑
6
∆ B = ∆ 仪 = 0.002cm
2. A类分量 标准偏差 类分量(标准偏差 类分量 标准偏差): uλ = ∆2A + ∆2B = 0.0031 ≈ 0.004(cm)
urλ = ×100% = 0.5% 3. B类分量 仪器误差 ： λ 类分量(仪器误差 类分量 仪器误差)： uλ
u N ∂InF 2 ∂InF 2 ∂InF 2 ur = ( ) (u x ) 2 + ( ) (u y ) 2 + ( ) (u z ) 2 + ... N ∂x ∂y ∂z
下式适用于N是积商形式的函数， 下式适用于 是积商形式的函数， 是积商形式的函数 上式适用于N是和差形式的函数及一般函数运算 上式适用于 是和差形式的函数及一般函数运算
二、常用函数的不确定度传递公式（P27） 常用函数的不确定度传递公式（ ）
测量关系
不确定度传递公式
2 2 uN = ux + u y
N = x+ y
N = x− y
N = xy
N=
x y
ur N =
uN 2 2 = u rx + u ry N
xk ⋅ ym N= zn
ur N =
uN = (ku )2 +(mu )2 +(nu )2 rx ry rz N
单次测量: 单次测量
x = x测 ± ∆ Hale Waihona Puke Baidu u r =
∆仪 x测
× 100%
三、多次测量 多次测量时，不确定度以下面的过程进行 直接多次测量结果的表示 ∑x 计算： 计算： x =
i
1、求测量数据的算术平均值： 、求测量数据的算术平均值： 算术平均值 ∑ (x − x ) σ = 2、用贝塞尔公式计算标准偏差： 标准偏差： 、用贝塞尔公式计算标准偏差 n −1 3、若测量次数 、若测量次数n=6，取置信概率 t0.95/ n =1 ，则 ， 4、确定仪器误差； ∆ B = ∆ 仪 仪器误差； 、确定仪器误差
试用不确定度表示测量结果。 试用不确定度表示测量结果。
任意一次波长测量值的标准差为： 任意一次波长测量值的标准差为：
λ =
1
∑λ 6
1
6
i
= 0 . 6858 ( cm )
∆A
1.波长平均值 波长平均值 平均值:
2.9 × 103 ×10 −8 = σ λ == 0.0024cm = ≈ 0.0024cm σλ (6 − 1) 5
四、测量结果中，测量值与不确定度的 测量结果中， 取位与舍入规则
1、不确定度一般保留1~2位数字，当首位数字等于 、不确定度一般保留 位数字， 位数字 或大于3 取一位；小于3 则取两位， 或大于3时，取一位；小于3时，则取两位，其后 面的数字采用进位法舍去。 面的数字采用进位法舍去。相对不确定度的取位也 采用相同规则。 采用相同规则。 2、对于不确定度的尾数一律只进不舍，主要考虑的 不确定度的尾数一律只进不舍 、对于不确定度的尾数一律只进不舍， 是要估计不足 例如，算得不确定度为0.32mm， 估计不足． 是要估计不足．例如，算得不确定度为 ， 可以化为0.4mm。 可以化为0.4mm。 3、测得值取几位，由不确定度位数来决定，即测量 、测得值取几位，由不确定度位数来决定， 值的保留位数要与不确定度的保留位数相对应， 值的保留位数要与不确定度的保留位数相对应，后 大于5 等于5 面的尾数则采用“小于5 面的尾数则采用“小于5舍，大于5进，等于5将保 留的数字凑成偶数”的原则取舍。如测量结果为： 留的数字凑成偶数”的原则取舍。如测量结果为：
3.先求相对不确定度: 3.先求相对不确定度: 先求相对不确定度
2
∂ InV 1 = ∂H H
2
2 2D2u D2 − 2D1u D1 u H u urv = v = 2 + 2 + = (代入数据） 0.008 = 0.8% = 2 2 V D2 − D1 D2 − D1 H
第三节 直接测量结果的表示
一、测量结果的表示 若用不确定度表征测量结果的可靠程度， 若用不确定度表征测量结果的可靠程度， 则测量结果写成下列标准形式
x = ( x ± u ) 单位 u u r = x × 100 %
为多次测量的平均值， 式中 x 为多次测量的平均值，为合成不确定 度 为相对不确定度ur。它实际上就是相对 它实际上就是相对 误差范围的估计值。 误差范围的估计值。
间接测量量不确定度的计算步骤： 三、 间接测量量不确定度的计算步骤： 按照直接测量量的数据处理程序求出各直接测量量的结果： 1、按照直接测量量的数据处理程序求出各直接测量量的结果：
x = x ±ux， = y ±uy y
2、将各直接测量量的最佳估计值代入函数式关系中，求得间 将各直接测量量的最佳估计值代入函数式关系中， 接测量量的最佳估计值： 接测量量的最佳估计值： N = F(x, y, z ⋅⋅⋅) 不确定度： 3、不确定度： （1）对常用函数关系式其间接量的不确定度直接用各直接 测量量的不确定度传递公式进行计算。（见表3 。（见表 测量量的不确定度传递公式进行计算。（见表3） (2)对和差形式间接测量量的总不确定度用 对和差形式间接测量量的总不确定度用： (2)对和差形式间接测量量的总不确定度用：
u ）（2 4、对（1）（2）再求相对不确定度 u r = N
对（3）再求
；
u = N ⋅ ur
。
给出实验结果： 5、 给出实验结果：
N = ( N ± u )单位 , N = f ( x , y , z ...) u u r = N × 100%
[P28例4]已知金属环的内径 [P28例4]已知金属环的内径D1 = 2.880 ± 0.004cm ， 外 径 D2 = 3.600880 ± 0.004cm ，高度H = 2.575 ± 0.004cm ， 金属环的体积，并用不确定度表示实验结果。 求：金属环的体积，并用不确定度表示实验结果。 金属的体积最佳值： 解：1.金属的体积最佳值： 金属的体积最佳值
1 1)直径的平均值 直径的平均值： 1)直径的平均值： D = ∑ Di ≈ 0.56447(cm) n
2)直径不确定度A类分量(6次测量的标准偏差) 2)直径不确定度A类分量(6次测量的标准偏差)，即： 直径不确定度 (6次测量的标准偏差
∆A = σ D =
∑ (D − D )
i
2
n −1
≈ 0.00036 ≈ 0.0004(cm)
2.根据圆柱体的密度公式求密度最佳值： 根据圆柱体的密度公式求密度最佳值： 根据圆柱体的密度公式求密度最佳值
4M ρ= πD 2 H
4 ×14.06 ρ= ≈ 8.366( g / cm3 ) 3.1416× 0.56452 × 6.715
3.根据函数传递公式，求密度的相对不确定度为： 根据函数传递公式，求密度的相对不确定度为： 根据函数传递公式
x = (46.18 ± 0.25) ×10 m
−3
[P25例2] 在室温 例 在室温23C0下，用共振干涉法 下
测量超声波在空气中传播时的波长， 测量超声波在空气中传播时的波长，数 据表(cm) 据表
1 2 3 4 5 6
0.6872 0.6854 0.6840 0.6880 0.6820 0.6880
N = Inx
u N = u rx
1
加减法运算，总是先算不确定度 对加减法运算，总是先算不确定度 和差 运算 先算不确定度, 的不确定度的平方等于 等于各量的不确定度的 的不确定度的平方等于各量的不确定度的 平方和； 平方和；
2
对乘除法运算，总是先算相对不确定度； 乘除法运算，总是先算相对不确定度 运算 先算相对不确定度； 积商的相对不确定度的平方等于 等于各量的相 积商的相对不确定度的平方等于各量的相 对不确定度的平方和. 对不确定度的平方和