高中数学必修2复习ppt
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人教版高中数学必修2(A版) 2.3.2平面与平面垂直的判定 PPT课件
类似地，下面的这个二面角应该如何表示？
Q l
B P
二面角的表示
(1)二面角－AB－ (2)二面角P AB Q (3)二面角 l (4)二面角P l Q
A
三.新知的探索 思考4：我们常说“把门开得大一些”，是指哪个角
大一些？
三.新知的探索
在上述变化过程中，图形在变化，形成的二面角也在变化， 我们应该怎样刻画二面角的大小？
2.3.2平面与平面垂直的判定
一.复习与回顾
1.1如何作出两条异面直线的夹角？ 1.2如何作出斜线与平面的夹角？ “空间问题平面化” 1.3在研究上述两个问题时，我们采用了相同的方法，即将 空间角的问题转化为平面角进行处理.
P
a
a
O
a
b/
A
B
b
二.新知的引入
三.新知的探索
我们知道直线上的一点将直线分割成两部分， 每一部分分别叫射线. 那么平面上的一条直线将整个平面一分为二， 每一部分应该叫做什么呢？
（2）角的两边分别在两个面内
（3）角的两边都要垂直于二面角的棱
三.新知的探索 观察：
1.教室相邻的两个墙面分别与地面所成的二面角是多少度？ 相邻的两个墙面所成的二面角又是多少度？
2.教室相邻的两个墙面分别与地面有什么样的位置关系？ 相邻的两个墙面又有什么位置关系呢？
三.新知的探索 3.4定义：
线线垂直
线面垂直
面面垂直
3.转化与化归思想：空间问题平面化处理 习题2.3 必做题A组 第1题、第2题 选做题B组 第1题
P
PA BC PA AC A
BC AC
人教版高中数学必修2《正弦定理》PPT课件
2．正弦定理的常见变形：
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R 为△ABC 外接圆的半径)．
(2)sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR(R 为△ABC 外接圆的半径)．
(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即 a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
题型一 已知两角及一边解三角形
【学透用活】
[典例 1] (1)在△ABC 中，c＝ 3，A＝75°，B＝60°，则 b 等于 ( )
32 A. 2
3 B.2 2
3
6
C.2
D. 2
(2)在△ABC 中，已知 BC＝12，A＝60°，B＝45°，则 AC＝_________.
[解析] (1)因为 A＝75°，B＝60°，
[方法技巧] 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角
三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等．利用正
弦定理判断三角形形状的方法如下：
(1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有：①a＝2Rsin A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C(R
为△ABC
＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状为
()
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
解析：由射影定理得 bcos C＋ccos B＝a，则 a＝asin A，于是 sin A＝ 1，即 A＝90°，所以△ABC 的形状为直角三角形．
答案：B
[应用二] 设△ABC 的内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c.已知 bcos
形，故选 D.
答案：D
高中数学必修二《直线的两点式方程》PPT (1)
示意图
方程
使用范围
x
a≠0,
b≠0
a
y
+ =1
b
谢谢！
解答有关问题.
思 维 脉 络
1.直线方程的两点式
名称
两
点
式
已知条件
P1(x1,y1),
P2(x2,y2),
其中 x1≠x2,
y1≠y2
示意图
方程
y-y 1
=
x-x1
x2 -x1
y 2 -y 1
使用范围
斜率存在
且不为 0
2.直线方程的截距式
名称
已知条件
截
距
式
在 x,y 轴上
的截距为 a,
b 且 ab≠0
P1(x1,y1 ),P2(x2 ,y 2 )的 点 的 直 线
都 可 以 用 方 程 (yyபைடு நூலகம் )(x2 x1 ) (x x1 )(y2 y1 )表 示 ;
x y
C.不 经 过 原 点 的 直 线
都 可 以 用 方 程 1表 示 ;
a b
D.经 过 定 点 的 直 线 都
可 以 用 y kx b表 示 .
M(
,
),即M( , )
2
2
2 2
3 1
y0
x5
过A（－5，
0），M( , )的直线方程为
1
3
2 2
0
5
2
2
整理得：x+13y+5=0
这就是BC边上中线所在的直线的方程。
练习1：求过下列两点的直线方程
(1)M(-1,4),N(1,10)
(2)P1(2,1),P2(0,-3)
人教A版(新教材)高中数学第二册(必修2)课件3： 第九章统计章末复习
分组
频数
频率
60.5～70.5
8
0.16
70.5～80.5
10
0.20
80.5～90.5
18
0.36
90.5～100.5 14
0.28
合计
50
1
(2)在被抽到的学生成绩中，在 85.5～95.5 分的个数是 9＋7＝16，占样 本的比例是1560＝0.32，即获得二等奖的概率约为 32%，所以获得二等 奖的学生约有 800×32%＝256(名)．
(1)填充频率分布表中的空格(将答案直接填在表格内)，并作出
频率分布直方图；
分组
频数 频率
60.5～70.5
0.16
70.5～80.5
10
80.5～90.5
18
0.36
90.5～100.5
合计
(2)若成绩在 85.5～95.5 分的学生为二等奖，问参赛学生中获得
二等奖的学生约有多少名？
解 (1)频率分布表如下表所示，频率分布直方图如图所示．
三、利用样本的百分位数估计总体的百分位数 [典例 3] 一家保险公司决定对推销员实行目标管理，即给推销员 确定一个具体的销售目标．确定的销售目标是否合适，直接影响 到公司的经济效益．如果目标定得过高，多数推销员完不成任务， 会使推销员失去信心；如果目标定得太低，将不利于挖掘推销员 的工作潜力．下面一组数据是部分推销员的月销售额(单位：千元)．
二、利用样本的频率分布估计总体的取值规律 本章主要利用统计表、统计图分析估计总体的分布规律．要熟练掌握绘 制统计图表的方法，明确图表中有关数据的意义是正确分析问题的关键， 从图形与图表中获取有关信息并加以整理，是近年来高考命题的热点． [典例 2] 为了让学生了解更多有关“一带一路”倡议的信息，某中学举 行了一次“丝绸之路知识竞赛”，共有 800 名学生参加了这次竞赛．为 了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满 分为 100 分)进行统计．请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：
新人教版高中数学必修二全册教学课件ppt
答案
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题型探究
重点难点 个个击破
类型一 旋转体的结构特征 例1 判断下列各命题是否正确： (1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线； 解 错． 由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．
解析答案
(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几 何体是圆台； 解 错． 直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与 一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．
答案
球的结构特征
球
图形及表示
定义：以 半圆的直径 所在直线为旋转轴， 半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体， 简称球
相关概念： 球心：半圆的 圆心 半径：半圆的 半径 直径：半圆的 直径
图中的球表示为： 球O
答案
知识点五 简单组合体
思考 下图中的两个空间几何体是柱、锥、台、球体中的一种吗？ 它们是如何构成的？
课
时
上看是由八个圆柱组合成的一个组合体，我们周围的很多建筑物
栏 目
和它一样，也都是由一些简单几何体组合而成的组合体．本节我
开 关
们就来学习旋转体与简单组合体的结构特征．
填一填 研一研 练一练
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一 圆柱的结构特征
问题 1 如图所示的空间几何体叫做圆柱，那么圆
柱是怎样形成的呢？与圆柱有关的几个概念是
为旋转轴，将直角梯形绕旋转轴旋转一周而形成的旋转
体叫做圆台
相关概念：
圆台的轴： 旋转轴
圆台的底面： 垂直于轴 的边旋转一周所形成的圆面
圆台的侧面： 不垂直于轴 的边旋转一周所形成的曲面 图中圆台表示为：
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
人教A版高中数学必修第二册教学课件PPT-第八章 -8-5-2直线与平面平行
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D解析 由题图知正方体的前、后、左、右四个面都与EF平行.
高中数学 必修第二册 RJ·A
4.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，
DA上的点(不与端点重合)，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是
A.平行
B.相交
C.异面
D.不确定
A解析 ∵EH∥FG，EH⊄平面BDC，FG⊂平面BDC， ∴EH∥平面BDC， 又EH⊂平面ABD且平面ABD∩平面BDC＝BD， ∴EH∥BD.
高中数学 必修第二册 RJ·A
反思感悟
利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与 已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、基本事实4等.
高中数学 必修第二册 RJ·A
跟踪训练
如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分 别是AB，PC的中点.求证：MN∥平面PAD.
所以 a∥EG，即 BD∥EG，所以AACF＝AAEB.
又EBGD＝AAEB，所以AACF＝EBGD， 于是 EG＝AFA·CBD＝55×＋44＝290.
高中数学 必修第二册 RJ·A
反思感悟
(1)利用线面平行的性质定理找线线平行，利用线线平行得对应线段成比例即 可求线段长度. (2)通过定理的运用和平行的性质，提升直观想象和逻辑推理素养.
高中数学 必修第二册 RJ·A
典例剖析
一、直线与平面平行的判定定理的应用
例1 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点， 求证：EF∥平面AD1G.
高中数学 必修第二册 RJ·A
高中数学必修二第四章小结与复习课件
例2 过点M(－3，－3)的直线l 被圆x2＋y2＋4y－21=0所截得的弦 长为 ，求直线l的方程.
y A
C M
o
x
B
例3 求过点P（2，1），圆心在 直线2x＋y=0上，且与直线x-y-1＝0 相切的圆方程.
2x+y=0
P
作业:
P128练习：2，3，4． P132习题4.2A组：2，3，5．
y
y
y
C
C
C
o
x
o
x
o
x
D=0
E=0
F=0
知识探究二：圆的直径方程
思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如 何求以线段AB为直径的圆方程？
思考2:一般地，已知点A(x1，y1)， B程(如x2，何y？2)，则y以线P段AB为直径的圆方
B
A
o
x
(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
x2＋y2－6x－4＝0
例2 已知一个圆的圆心为M（2，1）， 且与圆C：x2＋y2－3x＝0相交于A、B两 点，若圆心M到直线AB的距离为 ，求 圆M的方程.
A
DC
M
B
x2＋y2－4x－2y－1＝0
作业：
P132习题4.2A组：4,6,9,10.
4.2.3 直线与圆的方程的应用
问题提出
通过直线与圆的方程，可以确定 直线与圆、圆和圆的位置关系，对 于生产、生活实践以及平面几何中 与直线和圆有关的问题，我们可以 建立直角坐标系，通过直线与圆的 方程，将其转化为代数问题来解决. 对此，我们必须掌握解决问题的基 本思想和方法.
位于台风中心正北40 km处，如果这艘
轮船不改变航线，那么它是否会受到台
高中数学必修2复习课件
条件是两平面有一个公共点； 结论是它们有且只有一条过这个点的直线。
公理3 经过不在同一条直线上的三点， 有且只有一个平面。
条件是不在同一直线上的三点； 结论是过这三点有且只有一个平面。
2、空间中两直线的三种位置关系
1、相交
m P
l
2、平行
m l
3、异面直线
m
l
P
只有一个公共点
没有公共点
在同一平面
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 代数表示 d R r d R r | R r | d R r d | R r | d | R r |
用坐标法解决平面几何问题的步骤： 第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表 示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为 代数问题；
A a, A, a ,
图形
Aa
符号语言
Aa
文字语言(读法)
点在直线上
A a Aa
A
A
点不在直线上 点在平面内
A
A 点不在平面内
A ab a b A 直线a、b交于点A
图形
a
a
a A
符号语言
a
文字语言(读法)
直线a在平面 内
a
直线a与平面
无公共点
几何方法
待定系数法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
设方程为 (x a)2 ( y b)2 r2 (或x2 y2 Dx Ey F 0)
求 半径
列关于a，b，r（或D，E，F）
（圆心到圆上一点的距离）
的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
公理3 经过不在同一条直线上的三点， 有且只有一个平面。
条件是不在同一直线上的三点； 结论是过这三点有且只有一个平面。
2、空间中两直线的三种位置关系
1、相交
m P
l
2、平行
m l
3、异面直线
m
l
P
只有一个公共点
没有公共点
在同一平面
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 代数表示 d R r d R r | R r | d R r d | R r | d | R r |
用坐标法解决平面几何问题的步骤： 第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表 示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为 代数问题；
A a, A, a ,
图形
Aa
符号语言
Aa
文字语言(读法)
点在直线上
A a Aa
A
A
点不在直线上 点在平面内
A
A 点不在平面内
A ab a b A 直线a、b交于点A
图形
a
a
a A
符号语言
a
文字语言(读法)
直线a在平面 内
a
直线a与平面
无公共点
几何方法
待定系数法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
设方程为 (x a)2 ( y b)2 r2 (或x2 y2 Dx Ey F 0)
求 半径
列关于a，b，r（或D，E，F）
（圆心到圆上一点的距离）
的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
新人教版高中数学必修第二册复数全套PPT课件
C．－3i
D．3
解析：由复数的几何意义可知
―→ OZ
对应的复数为
－3i.故选C.
答案：C
3．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则( )
A．a≠2或a≠1
B．a≠2或a≠－1
C．a＝2或a＝0
D．a＝0
解析：由题意知a2－2a＝0，解得a＝0或2.故选C.
答案：C
4．若复数a＋1＋(1－a)i在复平面内对应的点在第二象限，则
∴x22x－y＝y22＝，0， 解得xy＝＝11， 或xy＝＝－－11.， (2)设方程的实数根为x＝m， 则3m2－a2m－1＝(10－m－2m2)i，
∴3m2－a2m－1＝0， 10－m－2m2＝0，
解得a＝11或a＝－751.
复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等， 虚部与虚部相等列方程组求解． (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题， 为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思 想的体现． (3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能 比较大小的．
①z的实部为1；②z>0；③z的虚部为i.
A．1
B．2
C．3
D．0
解析：易知①正确，②③错误，故选A.
答案：A
()
2．在2＋
7
，
2 7
i,8＋5i，(1－
3 )i,0.68这几个数中，纯虚数的
个数为
()
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：由纯虚数的定义可知27i, (1－ 3)i是纯虚数．故选C.
答案：C
[思考发现]
1．已知复数z＝－i，复平面内对应点Z的坐标为
人教B版高中数学选择性必修第二册精品课件 复习课 第1课时 排列、组合与二项式定理
根据分类加法计数原理,共有32+8=40个.
答案:40
专题二
排列组合的应用
【例2】 6名女生(其中有1个领唱)和2名男生分成两排表演.
(1)每排4人,共有多少种不同的排法?
(2)领唱站在前排,男学生站在后排,每排4人,有多少种不同的排法?
解:(1)要完成这件事,可以分为三步:
第一步,从 8 人中选 4 人站在前排,另 4 人站在后排,共有C84 C44 种不同的排法;
(
)
A.122
B.135
C.154
D.165
(2)如图,给矩形A,B,C,D涂色,要求相邻的矩形涂色不同,现有4种不同的颜
色可供选择,则不同的涂法有(
A.72种
B.48种
C.24种
D.12种
)
解析:(1)可以组成7×8×8=448个三位数,
其中无重复数字的三位数有7×7×6=294个,
故有重复数字的三位数有448-294=154个.
3
答案:2
=
专题四
项的系数和问题
【例4】 (1)若(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次项的系数之和为32,则
a=
.
(2)若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,且(a0+a2+…+a8)2-
(a1+a3+…+a9)2=39,则实数m的值为
.
解析:(1)设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,
答案:40
专题二
排列组合的应用
【例2】 6名女生(其中有1个领唱)和2名男生分成两排表演.
(1)每排4人,共有多少种不同的排法?
(2)领唱站在前排,男学生站在后排,每排4人,有多少种不同的排法?
解:(1)要完成这件事,可以分为三步:
第一步,从 8 人中选 4 人站在前排,另 4 人站在后排,共有C84 C44 种不同的排法;
(
)
A.122
B.135
C.154
D.165
(2)如图,给矩形A,B,C,D涂色,要求相邻的矩形涂色不同,现有4种不同的颜
色可供选择,则不同的涂法有(
A.72种
B.48种
C.24种
D.12种
)
解析:(1)可以组成7×8×8=448个三位数,
其中无重复数字的三位数有7×7×6=294个,
故有重复数字的三位数有448-294=154个.
3
答案:2
=
专题四
项的系数和问题
【例4】 (1)若(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次项的系数之和为32,则
a=
.
(2)若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,且(a0+a2+…+a8)2-
(a1+a3+…+a9)2=39,则实数m的值为
.
解析:(1)设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,
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(1)三棱柱有 6 个顶点，三棱锥有 4 个顶点；
(2)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的
母线；
本 课
(3)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几
时 栏
何体是圆台；
目
(4)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角
开 关
做圆柱侧面的母线．圆柱用表示它的轴的字母表示，如下图中的圆
柱表示为圆柱 O′O.
研一研·问题探究、课堂更高效
问题 2 如图，平行于圆柱底面的截面，经过圆柱任意两条母线的截 面分别是什么图形？
本
课
时
栏 目
答 分别是圆面、矩形．
开
关
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二 圆锥的结构特征 问题 1 类比圆柱的定义，结合下图你能给圆锥下个定义吗？
5．简单组合体
(1)概念：由 简单几何体 组合而成的几何体叫做简单组
合体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等
本
课
几何结构特征的物体组成的．
时
栏
(2)基本形式：一种是由简单几何体 拼接 而成，另一种是
目
开
由简单几何体 截去 或 挖去 一部分而成.
关
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[问题情境]
本
举世闻名的比萨斜塔是意大利的一个著名景点．它的构造从外形
课 时
上看是由八个圆柱组合成的一个组合体，我们周围的很多建筑物
栏 目
和它一样，也都是由一些简单几何体组合而成的组合体．本节我
开
们就来学习旋转体与简单组合体的结构特征．
关
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一 圆柱的结构特征
人教版高中数学必修2《余弦定理》PPT课件
[微思考] 勾股定理和余弦定理有什么关系？ 提示：余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． 2．解三角形的定义：
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形 的_元__素__．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做_解__三__角__形__．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
2×( 6＋ 2)×2 3×cos 45°＝8，
所以 b＝2 2. 由 cos A＝b2＋2cb2c－a2，
得 cos A＝2
22＋ 6＋ 2×2 2×
22－2 6＋ 2
32＝12.
因为 0°<A<180°，所以 A＝60°.
(2)由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccos A ＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)， 所以 49＝64－2bc1－12，即 bc＝15. 由bbc＋＝c1＝58， 解得bc＝＝53， 或cb＝＝35.，
二、应用性——强调学以致用 2. 在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用
三角形的三边长求三角形的面积．若三角形的三边长分别为 a，b，c， 则其面积 S＝ pp－ap－bp－c，这里 p＝a＋2b＋c.已知在△ABC 中， BC＝6，AB＝2AC，求当△ABC 的面积最大时，sin A 的值． [析题建模] 由海伦公式，结合基本不等式，求出△ABC 的面积最大时 边 AB 及 AC 的长．再由余弦定理求出 cos A，进而求出 sin A.
6．4.3 余弦定理、正弦定理
明确目标
发展素养
1.借助向量的运算，探索三角 1.通过对余弦定理、正弦定理的学习及运
形边长与角度的关系，掌握 用，提升直观想象、数学抽象和逻辑推
余弦定理、正弦定理．
高中数学人教B版 必修第二册 对数运算法则 课件
如何运用lg3和lg5 来计算log35？你有什么想法？
分析：设log35=x,则可以得到 3x=5 ,从而有lg3x=lg5,
lg5
即xlg3=lg5,从而有x=
lg3
换底公式：
=log35.
log
logab=
log
（其中 a>0 且a≠1,b>0, c>0且c≠1）
例题精解
例题精解
例一 用logax, logay, logaz表示
解：
下列各式：
(1)原式=loga(xy)- logaz
(1)loga ;
=logax+logay-logaz;
(2)原式=logax3+logay5
(2)loga(x3y5);
2
(3)loga
3
.
=3logax+ 5logay;
1
2
1
我们可以由以下推导可得：
loga =loga(MN-1)
=logaM- logaN .
新课讲授
对数运算法则：
loga(MN)=logaM+ logaN
logaM =logaM
loga =logaM
logaN
（其中, a＞0且a≠1, M＞0 ,N＞0, ∈ ）
新课讲授
二、换底公式
进而推广到真数为有限多个正因数相乘的情形,即：
loga(N1N2···Nk)=logaN1+···+loga Nk.
正因数相等时有： logaNk=klogaN .
新课讲授
2. logaM =logaM
我们可以由（ ） ＝× 可以证得,证明留作练习.
分析：设log35=x,则可以得到 3x=5 ,从而有lg3x=lg5,
lg5
即xlg3=lg5,从而有x=
lg3
换底公式：
=log35.
log
logab=
log
（其中 a>0 且a≠1,b>0, c>0且c≠1）
例题精解
例题精解
例一 用logax, logay, logaz表示
解：
下列各式：
(1)原式=loga(xy)- logaz
(1)loga ;
=logax+logay-logaz;
(2)原式=logax3+logay5
(2)loga(x3y5);
2
(3)loga
3
.
=3logax+ 5logay;
1
2
1
我们可以由以下推导可得：
loga =loga(MN-1)
=logaM- logaN .
新课讲授
对数运算法则：
loga(MN)=logaM+ logaN
logaM =logaM
loga =logaM
logaN
（其中, a＞0且a≠1, M＞0 ,N＞0, ∈ ）
新课讲授
二、换底公式
进而推广到真数为有限多个正因数相乘的情形,即：
loga(N1N2···Nk)=logaN1+···+loga Nk.
正因数相等时有： logaNk=klogaN .
新课讲授
2. logaM =logaM
我们可以由（ ） ＝× 可以证得,证明留作练习.
人教版高中数学必修2《向量的数乘运算》PPT课件
)
2.4(a-b)-3(a+b)-b等于(
)
A.a-2b B.a
C.a-6b D.a-8b
答案 D
解析 原式=4a-4b-3a-3b-b=a-8b.
1
3.在△ABC 中,D 是 AB 边上一点.若 = , = +λ,则
2
λ=
.
1
答案
2
解析 ∵ = ,∴D 是 AB 的中点.
|| ||
,则是以 A 为起点,向量
与
所在线段为邻边的菱形对角线对应
|| ||
的向量,即在∠BAC 的平分线上.
∵=λ,∴, 共线.
∴点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.
方法点睛 (1)三角形的内心:三角形内切圆的圆心,三角形三条角平分线的
交点,内心到三角形三边的距离相等.
=x+y 且 x+y=1.
2.利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,
使得b=λa(a≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向
量系数相等求解,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值.若两向
量不共线,必有向量的系数为零.
(2)三角形的外心:三角形外接圆的圆心,三角形三条边的中垂线的交点,外
心到三角形三个顶点的距离相等.若M是△ABC内一点,且满足
||=| |=| |,则点 M 为△ABC 的外心.
(3)三角形的垂心:三角形三条高线的交点.
(4)三角形的重心:三角形三条中线的交点.若 G 是△ABC 内一点,且满足 +
C.b-a D.a-b
(2)已知2a-b=m,a+3b=n,那么a,b用m,n可以表示为
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直线与方程
（1）直线的倾斜角 定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0 度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条 直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴 的倾斜程度。 当时，； 当时，； 当时，不存在。
多面体
A.棱柱 棱柱的定义：有两个面互相平行， 其余各面都是四边形，并且每两个四边形的 公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫 做棱柱。 棱柱的性质 （1）侧棱都相等， 侧面是平行四边形 （2）两个底面与平行于 底面的截面是全等的多边形 （3）过不相邻 的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形
棱锥
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个 平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直 于这个平面。
直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直 于一个平面，那么这两条直线平行。
直线和平面平行——没有公共点 直线和平面平行 的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那 么我们就说这条直线和这个平面平行。
直线和平面的位置关系
直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与 平面相交、与平面平行 ①直线在平面内— —有无数个公共点 ②直线和平面相交—— 有且只有一个公共点 直线与平面所成的角： 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所 成的锐角。 esp.空间向量法(找平面的法向 量) 规定：a、直线与平面垂直时，所成的 角为直角，b、直线与平面平行或在平面内， 所成的角为0°角 由此得直线和平面所成角 的取值范围为 [0°，90°]
二面角
（1） 半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两 个部分，其中每一个部分叫做半平面。 （2） 二 面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 叫做二面角。二面角的取值范围为 [0°，180°] （3） 二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。 （4） 二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。 （5） 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点 为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 （6） 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角
直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线 和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这 个平面平行。
直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个 平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交， 那么这条直线和交线平行。
两个平面的位置关系：
（1）两个平面互相平行的定义：空间两平面 没有公共点 （2）两个平面的位置关系： 两个平面平行-----没有公共点； 两个平面 相交-----有一条公共直线。 a、平行 两个 平面平行的判定定理：如果一个平面内有两 条相交直线都平行于另一个平面，那么这两 个平面平行。 两个平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交， 那么交线平行。 b、相交
最小角定理: 斜线与平面所成的角 是斜线与该平面内任一条直线所成 角中的最小角 三垂线定理及逆定 理: 如果平面内的一条直线,与这个 平面的一条斜线的射影垂直，那么 它也与这条斜线垂直 esp.直线和平 面 垂直 直线和平面垂直的定义：如 果一条直线a和一个平面 内的任意 一条直线都垂直，我们就说直线a 和平面 互相垂直.直线a叫做平面 的垂线，平面 叫做直线a的垂面。
果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那 么这两个角相等。
推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
空间两直线的位置关系
空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面 1、 按是否共面可分为两类： （1）共面： 平行、 相交 （2）异面： 异面直线的定义：不同在任何一个平 面内的两条直线或既不平行也不相交。 异面直线判
定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平 面内不经过该点的直线是异面直线。 两异面直线所 成的角：范围为 ( 0°，90° ) esp.空间向量法 两 异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空 间向量法
2、若从有无公共点的角度看可分为两类： （1）有且 仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点— — 平行或异面
两平面垂直
两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直 二面角，就说这两个平面互相垂直。记为 ⊥ 两平 面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面 的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 两个平面 垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在 一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 Attention： 二面角求法：直接法（作出平面角）、 三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之 法向量法（注意求出的角与所需要求的角之间的等 补关系）
高高中中数数学学必必修修二复二 习复习
基本概念
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的 所有的点都在这个平面内。
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过 这个点的公共直线。
公理3： 过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平 公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理：如
B.棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各 面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围 成的几何体叫做棱锥 棱锥的性质： （1） 侧棱交于一点。侧面都是三角形 （2） 平 行于底面的截面与底面是相似的多边形。且 其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的 比的平方
正棱锥
正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形，并 且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱锥 叫做正棱锥。 正棱锥的性质： （1）各侧棱交于 一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等 腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。 （3） 多个特殊的直角三角形 esp： a、相邻两侧 棱互相垂直的正三棱锥，由三垂线定理可得顶点在 底面的射影为底面三角形的垂心。 b、四面体中有 三对异面直线，若有两对互相垂直，则可得第三对 也互相垂直。且顶点在底面的射影为底面三角形的 垂心。