自动控制原理第4章
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自动控制原理 第四章根轨迹
第四章根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念4-2 常规根轨迹的绘制法则4-3 广义根轨迹4-1 根轨迹法的基本概念一、根轨迹的概念根轨迹：系统中某个参数从零到无穷变化时，系统闭环特征根在s平面上移动的轨迹。
根指的是闭环特征根(闭环极点)。
根轨迹法是根据开环传递函数与闭环传递函数的关系，通过开环传递函数直接分析闭环特征根及系统性能的图解法。
K =0 s 1=0 s 2=-40 < K <1s 1 s 2为不等的负实根K =1s 1=-2 s 2=-21 < K < ∞s 1s2 实部均为-2由根轨迹可知：1）当K =0时,s 1=0,s 2=-1,这两点恰是开环传递函数的极点,同时也是闭环特征方程的极点.2）当0<K < 1 时,s 1,2都是负实根,随着k 的增长,s 1从s 平面的原点向左移,s 2从-1点向右移。
3) 当K = 1时, s 1,2= -2,两根重合在一起,此时系统恰好处在临界阻尼状态。
4) 1 <K <∞,s 1,2为共轭复根,它们的实部恒等于-2，虚部随着K 的增大而增大,系统此时为欠阻尼状态。
★在s平面上,用箭头标明K增大时,闭环特征根移动的方向,以数值表明某极点处的增益大小。
有了根轨迹图就可以分析系统的各种性能：(1)稳定性:根轨迹均在s的左半平面,则系统对所有K>0都是稳定的。
(2)稳态性能:如图有一个开环极点(也是闭环极点)s=0。
说明属于I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。
在速度信号V0t作用下,稳态误差为V0/K，在加速度信号作用下,稳态误差为∞。
(3)动态性能：过阻尼临界阻尼欠阻尼K越大，阻尼比ξ越小,超调量σ%越大。
由此可知：1、利用根轨迹可以直观的分析K的变化对系统性能的影响。
2、根据性能指标的要求可以很快确定出系统闭环特征根的位置；从而确定出可变参数的大小，便于对系统进行设计。
由以上分析知：根轨迹与系统性能之间有着密切的联系,但是,高阶方程很难求解，用直接解闭环特征根的办法来绘制根轨迹是很麻烦的。
自动控制原理-第4章 根轨迹
又 ∵ 根轨迹方程
n
n
(spi) sn( pi)sn 1L
n
m
Kim 1
i 1 m
snm( pi zj)snm 1L
(szj) sm( zj)sm 1L
i 1
j 1
j 1
j 1
n
m
∴ sn-m-1项系数对应相等
(nm)(a) pi zj
n
m
i1
j1
(2k 1) ,
nm
pi zi
闭环零、极点与开环零、极点的关系
闭环传递函数 (s) G(s)
1G(s)H(s)
开环传递函数 Gk(s)G(s)H(s)
f
l
(s zi)
(s z j)
G (s) KG
i 1 q
H
(s)
K
H
j 1 h
(s pi)
(s p j)
i 1
j 1
f
l
(szi)(szj)
Gk(s)G(s)H(s)K
如何应用根轨迹方程在[s]平面上找到闭环极点。
解： G ( s ) K 0 .5 K K * s(2 s 1) s(s 0.5) s(s 0.5)
K * 0.5 K 开 环 极 点 p1 0， p2 0.5 无开环零点 根据相角方程
s2
p2 4 5 o -0.5 s1
135o
p1 0
m
(s z j)
K j1 n
1
(s pi)
i1
m
n
(szj) (spi)(2k1)
j1
i1
k0,1,2,L
（1）相角条件是决定闭环根轨迹的充要条件； 在测量相角时，规定以逆
自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法
2
自动控制原理
§4.1 根轨迹的基本概念
例：开环传递函数
Gs
k1
ss
a
开环系统两个极点为：P1 0, P2 a R(s)
闭环传递函数为:
GB s
s2
k1 as
k1
-
k1
C(s)
ss a
闭环特征方程： s2 as k1 0
闭环特征根：s1,2
a 2
a 2
2
k1
（闭环极点）
3
自动控制原理
在p5附近取一实验点sd， 则∠sd-p5可以认为是p5点的出射角 Sd Z Sd P1 Sd P2 Sd P3 Sd P4 Sd P5 1800
近似为 P5 Z P5 P1 P5 P2 P5 P3 P5 P4 p 1800
p Sd P5 1800
法则4 实轴上存在根轨迹的条件——
这些段右边开环零极点个数之和为奇
数。
m
n
证明：根据相角条件 S Z j S Pi 18002q 1
j 1
i 1
p4
j s平面
例：sd为实验点
p3
z2 sd
p2 z1 p1
p5
① 实验点sd右侧实 轴上零极点提供 1800相角
③ 共轭复零点，复极点提供的相角和为 3600。
2
s1=-1.172，s2＝-6.828
33
自动控制原理
法则6 开环复数极点处根轨迹出射角为
p 1800
开环复数零点处根轨迹入射角为：
Z 1800
其中 z p（不包括本点）
34
自动控制原理
j p5
p5
p3 p3
p2
自动控制原理 第四章 根轨迹法
第4章 根 轨 迹 法根轨迹法是分析和设计线性控制系统的图解方法，使用简便，在控制工程上得到了广泛应用。
本章首先介绍根轨迹的基本概念，然后重点介绍根轨迹绘制的基本法则，在此基础上，进一步讨论广义根轨迹的问题，最后介绍控制系统的根轨迹分析方法。
4.1 根轨迹的基本概念4.1.1 根轨迹概念所谓根轨迹，就是系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s 平面上变化的轨迹。
例如某控制系统的结构图如图4.1所示。
图4.1 控制系统其开环传递函数为()K (0.51)KG s s s =+其闭环传递函数为22()22Ks s s KΦ=++式中：K 为系统开环增益。
于是闭环特征方程可写为2220s s k ++=对上式求解得闭环特征根为1,21s =−令开环增益K 从零变化到无穷，利用上式求出闭环特征根的全部数值，将这些值标注在s 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4.2所示，该粗实线就称为系统的根轨迹。
箭头表示随K 值增加根轨迹的变化趋势。
这种通过求解特征方程来绘制根轨迹的方法，称之为解析法。
画出根轨迹的目的是利用根轨迹分析系统的各种性能。
通过第3章的学习知道，系统第4章 根轨迹法·101··101·特征根的分布与系统的稳定性、暂态性能密切相关，而根轨迹正是直观反应了特征根在复平面的位置以及变化情况，所以利用根轨迹很容易了解系统的稳定性和暂态性能。
又因为根轨迹上的任何一点都有与之对应的开环增益值，而开环增益与稳态误差成反比，因而通过根轨迹也可以确定出系统的稳态精度。
可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
图4.2 控制系统根轨迹4.1.2 根轨迹方程对于高阶系统，求解特征方程是很困难的，因此采用解析法绘制根轨迹只适用于较简单的低阶系统。
而高阶系统根轨迹的绘制是根据已知的开环零、极点位置，采用图解的方法来实现的。
下面给出图解法绘制根轨迹的根轨迹方程。
自动控制原理第四章-根轨迹分析法
jω
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
自动控制原理 第4章
3s K g 0 s1, 2 j 2
9.出射角与入射角 出射角：位于复平面上的开环极点，根轨迹离开此极点与正实轴的夹角。 入射角：位于复平面上的开环零点，根轨迹进入此零点与正实轴的夹角。
出 180 ( i i )
j 1 m i 1
m
n 1
入 180 ( i i )
σ
一般来说，两个开环极点之间会有一个分离点，两个有限开环零点 之间会有一个会合点。
' ' 计算分离点和会合点的依据：N ( s ) D( s ) D ( s ) N ( s ) 0
求出的重根要代入原方程，只有当Kg为正，才是分离点和会合点。
例 已知系统的开环传递函数如下所示，请求出根轨迹的分离点和会合点。
K
s( s p1 )( s p2 )
解：
基本思想: 根据幅值条件确定根轨迹 上某一点对应的增益，由 相角条件确定根轨迹上的 某点位置。
1 1 2 3 180 ( 2k 1)
在上图，各相角必满足 LLL K g0 1 2 3 再按幅值条件求得该点的根轨迹传递系数 l1
一般而言，绘制根轨迹时的可变参量可以是系统的任意参量。但最 常用的可变参量是系统的开环传递系数Kg（也称为根轨迹增益）。 Kg——常规根轨迹 Kg以外的参数——参量根轨迹
以上二阶系统的根轨迹可以用解析法来求得，但对于高阶系统来说，解
析法就不适用了，工程上常采用图解的方法来绘制。
4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
( s 1) Gk ( s ) K g ( s 0.1)( s 0.5 )
解：系统有一个开环零点为-1，有两个开环极点分别为-0.1和-0.5。 根据根轨迹绘制原则可知，根轨迹与实轴相重合的区间为 [-0.1~-0.5],[-1~∞]。 求根轨迹的分离点和会合点：
自动控制原理 第四章.
s1.2 1 1 K1 1 1 2 K
第 4章
根轨迹
根轨迹的基本概念(续)
s1 0 ① K 0 s 2 2
j
2
② K 0.5 s1 s2 1 ③ K 1 s1 , 2 1 j ④ K 2.5 s1 , 2 1 j 2 p2
由于实际控制系统闭环特征方程的系数或为已知
实数，或为根轨迹增益Kg 的函数，所以当Kg 由0→∞
连续变化时，闭环特征根的变化必然也是连续的，所
以根轨迹具有连续性。 系统闭环特征方程的系数仅与系统的参数有关。
对于实际控制系统而言，这些参数都是实数。具有实
系数的闭环特征方程的根为共轭复数的形式，必然对
称于实轴。因而，根轨迹也必然பைடு நூலகம்于实轴对称。
s pi s zj
j 1
n
而 ( s z j ) ( s pi ) ( 2 K 1) ——相角方程
j 1 i 1
m
n
第 4章
根轨迹
根轨迹的基本概念(续)
若s平面上的点是闭环极点，则它与zj 、pi所组成
的相量必定满足上述两方程，而且模值方程与Kg有
第四章 根轨迹法
§4-1 根轨迹的基本概念 §4-2 绘制根轨迹的基本法则 §4-3 广义根轨迹
主要内容
1．根轨迹基本概念和根轨迹方程
2．绘制常规根轨迹的九大法则
3．参量根轨迹与零度根轨迹
第 4章
根轨迹
重点与难点
重 点
1、绘制常规根轨迹的九大法则 2、参量根轨迹与零度根轨迹 3、控制系统根轨迹法分析
§4—2 绘制根轨迹的基本法则
绘制根轨迹的基本法则（续）
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
自动控制原理第4章根轨迹法精
上式称为根轨迹开环传递函数的标准形式。所以，绘制根轨迹图 时，首先要把开环传递函数改写成这种标准形式。
m
( zj )
K K*
J 1 n
( pi )
i 1
zj
1
j
(j
1,2,, m);
pi
1 Ti
(i
1,2,, n)
可写出幅值方程与相角方程，即
G(s)H (s) 1
G(s)H(s) 1
开环零点: z1 1.5; z2,3 2 j
（1）实轴（0~1.5）和（ 2.5 ~ ）有根轨迹。
（2）渐近线n=4 m=3，故只有一条根轨迹趋向无穷远。由实根
轨迹可知 180 。
（3）根轨迹出射角与入射角。
出射角
3
4
p2 ( 2K 1) ( p2 zi ) ( p2 pi )
d= -3.7
s2 4s 1 0
解法2 用公式有
1 1 1
d 1 j 2 d 1 j 2 d 2
解此方程 d1 3.7, d2 0.3
d1在根轨迹上，即为所求的分离点，d2不在根轨迹上舍去。 因为
z1 2, p1,2 1 j 2 n=2,m=1
系统有两条根轨迹，一条消失于零点，另一条趋于负无穷远 在实轴（－2，－∞）区段有根轨迹。 出射角
4.1根轨迹与根轨迹方程
什么是时域分析? 指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时
域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。
4.1.1 根轨迹 4.1.2 根轨迹方程
4.1.1 根轨迹
[根轨迹定义]：系统开环传递函数增益K（或某一参数）由零到 无穷大变化时，闭环系统特征根在S平面上移动的轨迹。
例：如图所示二阶系统，
m
( zj )
K K*
J 1 n
( pi )
i 1
zj
1
j
(j
1,2,, m);
pi
1 Ti
(i
1,2,, n)
可写出幅值方程与相角方程，即
G(s)H (s) 1
G(s)H(s) 1
开环零点: z1 1.5; z2,3 2 j
（1）实轴（0~1.5）和（ 2.5 ~ ）有根轨迹。
（2）渐近线n=4 m=3，故只有一条根轨迹趋向无穷远。由实根
轨迹可知 180 。
（3）根轨迹出射角与入射角。
出射角
3
4
p2 ( 2K 1) ( p2 zi ) ( p2 pi )
d= -3.7
s2 4s 1 0
解法2 用公式有
1 1 1
d 1 j 2 d 1 j 2 d 2
解此方程 d1 3.7, d2 0.3
d1在根轨迹上，即为所求的分离点，d2不在根轨迹上舍去。 因为
z1 2, p1,2 1 j 2 n=2,m=1
系统有两条根轨迹，一条消失于零点，另一条趋于负无穷远 在实轴（－2，－∞）区段有根轨迹。 出射角
4.1根轨迹与根轨迹方程
什么是时域分析? 指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时
域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。
4.1.1 根轨迹 4.1.2 根轨迹方程
4.1.1 根轨迹
[根轨迹定义]：系统开环传递函数增益K（或某一参数）由零到 无穷大变化时，闭环系统特征根在S平面上移动的轨迹。
例：如图所示二阶系统，
自动控制原理第4章
第4章 根轨迹法 章
4．1 根轨迹法的基本概念 ． 4.1.1 根轨迹的定义
WK (s) = K1K 2 N1(s)N 2 (s) D1(s)D2 (s) K g ∏(s + zi )
i =1 m
X r (s)
K1 N1 ( s ) D1 ( s ) K 2 N 2 ( s) D2 ( s)
典型结构图
第4章 根轨迹法 章
s 解此方程即得重根： = −σ d 。 按照这种思路，令 F ′(s) = 0 ，可求得产生重根时的根轨迹 放大系数 K gd ，将其代回闭环特征方程 F (s) ，即得计算分离点
和会合点的公式。
F ′(s) =[K gd N (s) + D(s)]′ = K gd N ′(s) + D′(s) = 0
第4章 根轨迹法 章
∏(s + p ) + K ∏(s + z ) = 0
j g i j =1 i =1
n
m
根轨迹是系统某一参数从零变化到无穷大时，闭环特征方 程的根在
s 复平面上变化的轨迹。因此，根轨迹的分支数必然
n 中的
与闭环特征方程根的数目相等。 根据上特征方程， 闭环特征方程根的数目等于 m 和 大者。
−和开环极点 zi
s 而言，所有开环有限零点
−σ k ，即
− pj 都汇集在一点，其位置为
− zi = − p j = −σ k
−σ k 就是所求的渐近线交点。
根据幅值条件得：
第4章 根轨迹法 章
N (s) = D(s)
∏(s + z )
i
m
∏(s + p j )
j =1
i =1 n
4．1 根轨迹法的基本概念 ． 4.1.1 根轨迹的定义
WK (s) = K1K 2 N1(s)N 2 (s) D1(s)D2 (s) K g ∏(s + zi )
i =1 m
X r (s)
K1 N1 ( s ) D1 ( s ) K 2 N 2 ( s) D2 ( s)
典型结构图
第4章 根轨迹法 章
s 解此方程即得重根： = −σ d 。 按照这种思路，令 F ′(s) = 0 ，可求得产生重根时的根轨迹 放大系数 K gd ，将其代回闭环特征方程 F (s) ，即得计算分离点
和会合点的公式。
F ′(s) =[K gd N (s) + D(s)]′ = K gd N ′(s) + D′(s) = 0
第4章 根轨迹法 章
∏(s + p ) + K ∏(s + z ) = 0
j g i j =1 i =1
n
m
根轨迹是系统某一参数从零变化到无穷大时，闭环特征方 程的根在
s 复平面上变化的轨迹。因此，根轨迹的分支数必然
n 中的
与闭环特征方程根的数目相等。 根据上特征方程， 闭环特征方程根的数目等于 m 和 大者。
−和开环极点 zi
s 而言，所有开环有限零点
−σ k ，即
− pj 都汇集在一点，其位置为
− zi = − p j = −σ k
−σ k 就是所求的渐近线交点。
根据幅值条件得：
第4章 根轨迹法 章
N (s) = D(s)
∏(s + z )
i
m
∏(s + p j )
j =1
i =1 n
自动控制原理第四章
K
*
s p sz
j 1 i 1 m
n
i
j
绘制根轨迹时，只需要使用相角条件。 当需要确定根轨迹上各点的值时，才使用模值条件。
• 知道了根轨迹上的点满足的基本条件， 仍实际上还是不能绘制出根轨迹。
• 要比较快捷的绘制根轨迹，需要找 出根轨迹的一些基本规律。
§4.2 绘制根轨迹的基本规则
渐近线包括两个内容：
渐近线与实轴的夹角和渐近线与实轴的交点。
规则4：渐近线与实轴的交点为
sa
pi z j
i 1 j1
n
m
nm
渐近线与实轴的夹角为
180 0 90 (2k 1)180 a nm 180 ,60 45 ,135 n m 1 nm 2 nm 3 nm 4
第四章 系统的根轨迹法
系统的性能
稳定性
动态性能
闭 环即 特闭 征环 方极 程点 的 根
开环放大倍数 开环积分环节个数
稳态误差
困
难!
困难1：系统闭环特征方程的根如何求取！
困难2：讨论或预测当系统中的某一参数发生
变化时系统闭环特征方程的根如何变 化!
参数改变，系统性能如何改变！
开环传递函数(开环零极点+开环增益)
根轨迹法的任务就是由已知的开环零极点的分布及 根轨迹增益，通过图解法找出闭环极点。 根轨迹是系统所有闭环极点的集合。
闭环极点与开环零、极点之间的关系
闭环零点=前向通道零点+反馈通道极点
闭环极点与开环零点、开环极点及 K* 均有关
开环零极点和根轨迹增益
根轨迹图
闭环极点
分析系统
4、根轨迹方程
《自动控制原理》第4章_根轨迹分析法
一般有两个解，从中
因此求分离点和会合点公式： 可以判断是分离点或
N(s)D '(s) N '(s)D(s) 0 会合点，只有满足条
Kg 0
件Kg≥0的是有用解。
例4-1.设系统结构如图， 试绘制其概略根轨迹。
R(s)
k(s 1) c(s)
s(s 2)(s 3)
解：画出 s 平面上的开环零点（-1），开环极点（0， -2，-3）。
逆时针为正。（- ， ）
m
n
pj (2k 1) ( z j pi ) pj pi
j 1
j 1
ji
m
n
zi (2k 1) ( z j zi ) p j zi
j 1
j 1
j i
k 0,1,
k 0, 1,
例3.设系统开环传递函数为： G(s) Kg(s 1.5)(s 2 j)(s 2 j) s(s 2.5)(s 0.5 j1.5)(s 0.5 j1.5)
K
s1
00
0.5 1
1 1 j1
s2
K
K 2.5
2
K 1
1 K 0
1 j1
2 1
2 1 j 3 1 j 3
1 j 1 j
j
2
1
0
K 0.5
1
2
一、根轨迹的一般概念
开环系统（传递函数）的某一个参数从零变化到 无穷大时，闭环系统特征方程根在 s 平面上的轨迹 称为根轨迹。
根轨迹法:图解法求根轨迹。 借助开环传递函数来求闭环系统根轨迹。
nm
独立的渐近线只有（n-m）条 u=0,1…,(n-m-1)
（2）渐近线与实轴的交点
分子除以分母
因此求分离点和会合点公式： 可以判断是分离点或
N(s)D '(s) N '(s)D(s) 0 会合点，只有满足条
Kg 0
件Kg≥0的是有用解。
例4-1.设系统结构如图， 试绘制其概略根轨迹。
R(s)
k(s 1) c(s)
s(s 2)(s 3)
解：画出 s 平面上的开环零点（-1），开环极点（0， -2，-3）。
逆时针为正。（- ， ）
m
n
pj (2k 1) ( z j pi ) pj pi
j 1
j 1
ji
m
n
zi (2k 1) ( z j zi ) p j zi
j 1
j 1
j i
k 0,1,
k 0, 1,
例3.设系统开环传递函数为： G(s) Kg(s 1.5)(s 2 j)(s 2 j) s(s 2.5)(s 0.5 j1.5)(s 0.5 j1.5)
K
s1
00
0.5 1
1 1 j1
s2
K
K 2.5
2
K 1
1 K 0
1 j1
2 1
2 1 j 3 1 j 3
1 j 1 j
j
2
1
0
K 0.5
1
2
一、根轨迹的一般概念
开环系统（传递函数）的某一个参数从零变化到 无穷大时，闭环系统特征方程根在 s 平面上的轨迹 称为根轨迹。
根轨迹法:图解法求根轨迹。 借助开环传递函数来求闭环系统根轨迹。
nm
独立的渐近线只有（n-m）条 u=0,1…,(n-m-1)
（2）渐近线与实轴的交点
分子除以分母
自动控制原理_第4章_线性系统的根轨迹法
4.2 绘制根轨迹的依据--根轨迹方程
R(s)
G ( s) H ( s)
C(s)
一、闭环零极点与开环零极点的关系
* KG
* KH d
G( s)
Π ( s z j )
j 1
a
( s pi ) Π i 1
* a
b
* KG A( s)
B( s)
c
H ( s)
Π ( s zl )
K* G( s) s( s 1)(s 2)
试绘制系统的概略根轨迹。 解：开环极点 p1=0， p2=-1， p3=-2，无开环零点。
实轴上的根轨迹 (-∞，-2]， [-1，0]。 渐进线 n=3，m=0，有三条渐进线。
0 1 2 1 交点 a nm 3
i 1
pi
1/4<K<∞时，s1,s2为一对共轭复根； K=1/2时，s1,2=－1/2±j0.5。
注意：一组根对应同一个K；K 一变，一组根变；K一停， 一组根停；
K=0.5 K=0 -1
jω
j0.5 0
σ
-j0.5 根轨迹：简称根迹，它是指系统中某一 K=0.1875 K=0.25
参数在可能的取值范围内连续变化时， 闭环系统特征根在s平面上的变化轨迹。
a
pi z j
i 1 j 1
n
m
nm
a
(2k 1) nm
k 0,1,2,, 直到获得(n m)个夹角为止 .
开环传递函数
G ( s) H (s) K * Π ( s z j )
j 1 m
( s pi ) Π i 1
n
K*
自动控制原理第四章答案
自动控制原理第四章答案在自动控制原理的学习中，第四章是一个重要的环节，本章主要讲解了控制系统的稳定性。
在这一章节中，我们将学习如何分析控制系统的稳定性，并且掌握相应的解决方法。
接下来，我将为大家详细介绍第四章的内容及答案。
1. 什么是控制系统的稳定性？控制系统的稳定性是指当系统受到干扰时，系统能够保持平衡状态或者在一定的范围内回到平衡状态的能力。
在控制系统中，稳定性是一个非常重要的指标，它直接关系到系统的可靠性和性能。
2. 如何分析控制系统的稳定性？要分析控制系统的稳定性，我们通常采用的方法是利用系统的传递函数进行分析。
通过传递函数的极点和零点，我们可以判断系统的稳定性。
另外，我们还可以利用根轨迹法、Nyquist法、Bode图等方法进行分析。
3. 控制系统的稳定性解决方法有哪些？针对不同的稳定性问题，我们可以采取不同的解决方法。
比如，对于系统的根轨迹出现在右半平面的情况，我们可以采取根轨迹设计法进行修正；对于系统的相位裕度不足的情况，我们可以采取相位裕度补偿的方法进行调整。
4. 控制系统的稳定性分析在工程中的应用。
控制系统的稳定性分析在工程中有着广泛的应用，比如在飞行器、汽车、机器人等自动控制系统中，稳定性分析是至关重要的。
只有保证了系统的稳定性，才能确保系统的可靠性和安全性。
5. 总结。
通过本章的学习，我们对控制系统的稳定性有了更深入的了解。
掌握了稳定性分析的方法和解决方案，我们可以更好地应用于工程实践中，提高系统的性能和可靠性。
希望本文的内容能够帮助大家更好地理解自动控制原理第四章的内容，并且在学习和工程实践中取得更好的成绩。
自控第四章
（4-7）
K 式中：
* H
为反馈通道的根轨迹增益。
* * G ( s) H ( s) K G K H
( s z ) ( s z
i 1 q i j 1 l i 1 i i 1
f
l
j
) )
（4-8）
( s p ) ( s p
j
j
K*
( s z ) ( s z
• 闭环特征方程 D(s)=1+G(s)H(s)=0 （4-11） 闭环极点就是闭环特征方程的解，也称为特征 根。 • 根轨迹方程 G(s)H(s)=-1 （4-12） 式中G(s)H(s)是系统开环传递函数，该式明确表 示出开环传递函数与闭环极点的关系。
设开环传递函数有m个零点，n个极点，并假 定n≥m，这时式（4－12）又可以写成：
最后绘制出根轨迹如图4－7所示。
图4－7
例4－3根轨迹
五、根轨迹的渐近线
渐近线与实轴正方向的夹角为
(2k 1) π a nm
渐近线与实轴相交点的坐标为
a
p z
i 1 i j 1
n
m
j
nm
例4-4 已知系统的开环传递函数
K * ( s 1) G ( s) H ( s) s ( s 4)( s 2 2 s 2)
•根轨迹法可以在已知开环零、极点时，迅速求
出开环增益（或其他参数）从零变到无穷时闭环 特征方程所有根在复平面上的分布，即根轨迹。
4－2 绘制根轨迹的基本法则 一、根轨迹的分支数
分支数＝开环极点数 ＝开环特征方程的阶数
即为max(n,m)条。
二、根轨迹的连续性与对称性 根轨迹是连续曲线，对称于实轴
自动控制原理课后答案第4章
5
的不同，系统的稳定性和动态性能不一定能同时得到满足。因此，只有当附加开环零点的位 置选配得当，才有可能使系统的稳态性能和动态性能同时得到显著改善。 ② 增加开环极点 增加开环极点后，系统阶次升高，渐近线数量增加，使得渐近线与实轴的夹角变小，从 而导致根轨迹向右弯曲，致使系统不稳定成分增加。同时，实轴上的分离点也向右移动。系 统响应减缓，过渡过程延长，调节时间增加，系统的稳定性降低。当增加的极点在[-1,0]范 围内时，越靠近虚轴的极点，其产生的阶跃响应振荡越剧烈，稳定性越差；而当增加的极点 在(-∞, -1)范围内时，越远离虚轴的极点，对根轨迹的影响越小，从而对系统的动态性能影 响越小。
式中，A(s)为开环传递函数的分母多项式，B(s)为开环传递函数的分子多项式。则分离点或 会合点坐标可用下式确定，即 A( s) B '( s ) A '( s ) B ( s ) 0 3）极值法
dK 0 ds
规则 7：根轨迹的出射角和入射角 根轨迹的出射角是指根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向的夹角，如图 4-2 中的角 p1 ； 而根轨迹的入射角是指根轨迹进入开环复数零点处的切线与实轴正方向的夹角， 如图 4-2 中的角 z1 。
n n
n l
m
s
l 1
n
(1) n pi (1) m K z j
i 1
n
j 1
( 1)
n
s
l 1
l
(1)
nLeabharlann pi 1i
K （系统无开环零点时）
5、根轨迹与系统性能之间的关系 根轨迹可以直观地反映闭环系统特征根在[s]平面上的位置以及变化情况，所以利用根轨 迹可以很容易了解系统的稳定性和动态性能。除此之外，由于根轨迹上的任意一点都有与之对 应的开环增益值，而开环增益又与系统稳态误差有一一对应的关系，因此通过根轨迹也可以 确定出系统的稳态误差，或者根据给定系统的稳态误差要求，来确定闭环极点位置的容许范 围。由此可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
自动控制原理-第四章-根轨迹
snm 1 p1 1 pn
s
s
0
s z1 s zm
1 z1 1 zm
s
s
s pi i 1, 2, n
K*
s p1 s pn
snm 1 p1 1 pn
s
s
s z1 s zm
1 z1 1 zm
s(0.5s 1) s(s 2)
通过系统的根轨迹图，可以很方便地对系统的动态性能和稳态性能进行 分析。不足之处是用直接解闭环特征方程根的办法，来绘出系统的根轨 迹图，这对高阶系统将是很繁重的和不现实的。
为了解决这个问题，依据反馈系统中开环、闭环传递函数的确定关系，通过开环传递函 数直接寻找闭环根轨迹正是我们下面要研究的内容。
① (s1 p2 ) 、(s1 p3 ) 两向量对称于实轴，引起的相角大小 相等、方向相反； (s1 z2 ) 、(s1 z3 ) 两向量也对称于实轴，引起的相角大 小相等、方向相反;
∴ 判断 s1是否落在根轨迹上，共轭零、极点不考虑。
② 位于s1左边的实数零、极点：(s1 z1) 、(s1 p4) 向量引起的相
GK
(s)
kg s(s 1)
解：判断某点是否在根轨迹上，应使用相角条件。求某点对应的根轨迹增益值，应使用 幅值条件。
s1 ： m (s zi ) n (s p j ) 0 (s1 p1) (s1 p2 )
i 1
j 1
s1 (s1 1) 135 90 225
s2： 0 (s2 p1) (s2 p2) (116.6 ) (63.4 ) 180
自动控制原理第4章
z2 ) p2 )
m
sm z j n1
i 1
(s zm )
(s pn )
m
(zj)
j 1
n
( pi )
i 1
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
如果开环零、极点的数目满足n-m 2，则 闭环特征方程为
snnp isn 1 n( p i)K *m( zj) 0
证明：系统的闭环特征方程
n
m
D(s) (spi)K* (szj)0
i1
j1
根轨迹有分离点，说明闭环特征方程有重
根。因此，
n
m
(s pi ) K* (s zj ) 0
i1
j1
d
ds
n i1
(s
pi )
K*
m j1
(s zj )
0
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
将上面两式相除，整理得
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
4.1 根轨迹的基本概念
一、根轨迹的定义
根轨迹：是指系统开环传递函数中某个参数 (如开环增益K)从零变到无穷时，闭环特征 根在s平面上移动所画出的轨迹。
常规根轨迹：当变化的参数为开环增益时 所对应的根轨迹。
广义根轨迹：当变化的参数为开环传递函 数中其它参数时所对应的根轨迹。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
证明： 由根轨迹方程，得
m
(s
j 1
n
(s
zj) pi )
1 K*
i1
令K* =0，得
m
j 1 n
(s (s
zj) pi )
1 K*
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1.破除前向通道上多余的积分环节，使积分环节改为 惯性环节
2.改变调节器的控制规律，引入一阶微分环节，破除 积分环节。
系统的特征方程不在缺项，可以通过调节系统参数， 使其满足一定的条件，系统达到稳定。
解：当系统满足零初始条件时的输出响应为
C(t)= 2.5 - 5e-t + 2.5e-2t
零状态响应=稳态响应 + 瞬间响应
当系统不是零输入时的输出响应为
C(t)= 2.5 - 5e-t + 2.5e-2t + 3e-t - 2e-t
非零状态响应 = 零状态响应 + 零输入响应 = 稳态响应 + 瞬间响应
自动控制原理
2.劳斯判据的特殊情况
◆某行第一个元素为零，其余均不为零
例. 设系统的特征方程为
s3 - 3s 2 0 试应用判据判别实部为正的特征根的个数。
解:
s3
1
s2 0
-3 2 改变一次
s
-3 -2
s0
2
0
改变一次
有两实部为正的根。
自动控制原理
b.劳斯表某行全为零
说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。
本章主要讨论控制系统在阶跃函数、斜坡函 数、脉冲函数等输入信号作用下的输出响应。
分析内容 ❖ 瞬态性能 ❖ 稳态性能 ❖ 稳定性
自动控制原理
4.1系统输出响应组成分析
4.1已知系统的传递函数求输出响应
G(s)=C(s3;2)
1) C(0-)= . C(0-) = 0 2) C(0-)= C(0-) = 1
自动控制原理
第四章 自动控制系统的时域分析
分析和设计控制系统的首要任务是建立系统的数
学模型。一旦获得合理的数学模型，就可以采用不 同的分析方法来分析系统的性能。
经典控制理论中常用的工程方法有 ➢ 根轨迹法 ➢ 频率特性法 ➢ 时域分析法
自动控制原理
第四章 自动控制系统的时域分析
时域分析
利用拉氏变化、反变换直接求解系统的微分 方程，并经过逐点描绘出系统的响应曲线，据此 分析系统的响应规律、特点，计算各种控制性能 指标，并探讨它们与系统结构、参数之间的关系。
s6 1 -2 -7 -4 s5 1 -3 -4 s4 1 -3 -4 s3 4 -6 0 s2 -1.5 - 4 s1 -16.7 0 s0 -4
自动控制原理
符号改变一次, 有一个实部为正的根。 求解辅助方程
F (s) s 4 3s 2 4 (s 2 4)(s 2 1) 0
得出产生全零行的根为 2, j。 再由原特征方程得:
11 K* - 27
15 K* - 27
27 K * 192
0.675 K 4.8
自动控制原理
四 霍氏稳定性判据
设系统的特征方程为：
ansn an-1sn-1 a1s a0 0 an 0
则系统稳定的充要条件是由特征方程首项（最高节次）an>0并 且构成的主行列式及其主对角线上的各阶主子式均为正，即
时域分析法的物理概念清晰，准确度较高，在 已知系统结构和参数并建立了系统的微分方程后， 使用时域分析法比较方便。不过若用它来设计和 校正系统，根据系统性能指标的要求来选定系统 的结构和参数，却存在一定的困难。
自动控制原理
小结
1.求解系统的输出响应时应注意初始条件 2.输出响应是所有各响应分量叠加而成：
(s2 s 1)(s 2 4)(s 2 1) 0
另外二根为: - 1 j 3 。 22
自动控制原理
三 劳斯判据的应用
例: 设系统如图所示, 试应用Routh判据确定使系统稳定
的开环增益K 的取值范围。如果要求闭环极点全
部位于S -1垂线之左,问K至范围应取多大?
解 :系统闭环传递函为:
b2 c2
b3 ......
....... b1=
-
an-1 an-1
an-3
......
......
b1
an1an2 an an3 an1
b3
an1an6 an an7 an1
c1
b1an3
an1b2 b1
b2
an a 1 n4 anan5 an1
c2
b1an5 an1b3 b1
自动控制原理
稳定性是系统在扰动消失后，自身具有的一种恢复能力， 它是系统的一种固有特性，这种特性只取决于系统的结构和 参数，与外作用无关。
3.系统稳定的充分必要条件： 特征根都分布于复平面的左半侧
系统稳定
瞬态响应
特征根类型
系统结构
自动控制原理
二 代数稳定性判据
1.劳斯稳定性判据
设系统的特征方程为
D(s) a nsn a n-1sn-1 ... a1s a 0 0
R(S)
(s)
K
s(s 4)(s 10) K
-
K S ( 0.1 S 1)( 0.25 S 1)
C(S)
式中, K 40.由上式得系统的特征方程 :
s3 14s2 40s K 0
相应的劳斯表为:
s3
1
40
s2
14
K 为使系统稳定,应有
s1 560 - K
14
s0
K
K* 0
系统稳定的充分必要条件：
（1）特征方程的各项系数ai>0(i=1,2,…,n) （2）劳斯表第一列所有元素都为正。 。
自动控制原理
劳斯阵列
sn a n a n-2 a n-4 a n-6 ......
sn-1 a n-1 a n-3 a n-5 a n-7 ...... an an-2
sn-2 b1 sn-3 c1
0 2 3 10
15 0
3 2 3 10 15 10 510 45 0 0 15
15 0
4 10 2 3 10 450 0 0 15
系统统是不稳定
自动控制原理
小结
• 劳斯判据适合高阶系统 • 霍氏判据适合低阶系统（三阶以下）
三阶系统稳定（1） 特征式各项系数都大于零
（2）中间两项系数之积大于首尾两项之积 一、二阶系统稳定要求各项系数都大于零
稳态响应分量取决于输入量的大小和形式，
瞬态响应分量的运动类型取决于闭环传递函数的极点类型 （特征方程根的类型）。
3.系统稳定系统特征方程的根分布在复平面的左半侧。
具体见P95图4.1-1和表4.1-1
自动控制原理
4.1已知系统的符合零初始条件，输入R(t)=1(t)求系统的输出响 应
1) G(s)=C(s)/R(s)=5（s+0.4)/(s2+3s+2) 2) G(s)=C(s)/R(s)=5（s+1)/(s2+3s+2)
例1. 设有下列特征方程
s4 2s3 3s2 4s 5 0
试用Routh判据判别该特征方程正实部根的个数。
解: 列写劳斯阵:列
s4 1
35
s3 2
s2
23-4 2
1
s1
14-25 1
6
s0 5
40 5
符号改变一次
0 符号改变一次
R o u t h阵列第一列符号改次变 , 二 故有两个实部为正。的
0 0
2.第二行从第一项系数开始 写，隔项写，不足n项就以
0
an-1 an-3 an-5 0 0
零代替。 3.第三行、四行是分别把第
0
an an-2 an-4 0 0
一、二行右移一位，前面补
零，依次类推。
n
4.主对角线上的元素为
0 0
0 0
an-1 an-3 0 an an-2 0
0 0
0
an-1 ,na-2,an-3….a0
1 an1 0
2
a n-1 an
a n-3 a n-2
0
an-1 an-3 3 an an-2
0 an-1
a n-5 an-4 0 a n-3
an-1 an-3 an-5 an-7 0 0
an an-2 an-4 an-6 0 0
0 an-1 an-3 an-5 0 0
0 an an-2 an-4 0 0
例:已知系统特征方程为:
s6 s5 - 2s4 - 3s3 - 7s2 - 4s - 4 0
试确定正实部根的个数。
解:
s6 1 - 2 -7 -4 s5 1 -3 - 4 0 s4 1 -3 -4 s3 0 0 0
辅助方程: F(s) s4 - 3s2 - 4 0 dF(s) 4s3 - 6s 0 ds
自动控制原理
结构不稳定系统
如果一个系统，不管改变哪个部件（环节）的参
数，并且无论怎样改变其参数值，系统都是不稳
定的，这样的系统就称为不结构不稳定系统
实例见教材104
系统结构不稳定的原因：
前向通道上过多的积分环节，导致闭环特征方程 缺项，从而产生系统结构不稳定。
自动控制原理
结构不稳定系统的改进措施
00 00 00
0 0 a0 0 0 0 a1 0 0 0 a2 a0
自动控制原理
例.设系统的特征方程式为 2s 4 s3 3s 2 5s 10 0
试用霍尔维兹判据判断该系统的稳定性。 解:
1 50 0
2 3 10 0 4 0 1 5 0
1 1 0
15
2 2
3 10 7 0 3
自动控制原理
时域分析法在时间域内研究系统在典型输入信 号的作用下，其输出响应随时间变化规律的方法。 对于任何一个稳定的控制系统，输出响应含有瞬 态分量和稳态分量。
➢ 瞬态分量 由于输入和初始条件引起的，随时间 的推移而趋向消失的响应部分，它提供了系统在 过度过程中的各项动态性能的信息。