八年级数学下册 4_1_1 变量与函数导学案 (新版)湘教版
八年级数学下册 4_1_1 变量与函数教案 (新版)湘教版
第4章一次函数4．1 函数和它的表示法4．1.1 变量与函数1．了解常量、变量的概念；(重点)2．了解函数的概念；(重点)3．确定简单问题的函数关系．(难点)一、情境导入如图，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定．在上述例子中，每个变化过程中的两个变量：当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随着确定．你能举出一些类似的实例吗？二、合作探究探究点一：常量与变量分析并指出下列关系中的变量与常量：(1)球的表面积S cm2与球的半径R cm的关系式是S＝4πR2；(2)以固定的速度v0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h米与小球运动的时间t秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8m/s 2)； (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w .解析：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量． 解：(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2，其中，常量是4π，变量是S ，R ；(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2，常量是v 0，4.9，变量是h ，t ；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8m/s 2)，其中常量是12g ，变量是h ，t ； (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w ，常量是1.8，变量是x ，w .方法总结：常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．变式训练：：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题探究点二：函数的定义下列说法中正确的是( )A ．变量x ，y 满足x ＋3y ＝1，则y 是x 的函数B ．变量x ，y 满足y ＝－x 2－1，则y 可以是x 的函数C ．变量x ，y 满足|y |＝x ，则y 可以是x 的函数D ．变量x ，y 满足y 2＝x ，则y 可以是x 的函数解析：A 中x ＋3y ＝1，y 可以看作x 的函数，因为y ＝1－x 3；B 中y ＝－x 2－1，因为－x 2－1<0，等式无意义，即对于变量x 的任何一个取值，变量y 都没有唯一确定的值，故y 不是x 的函数；C 、D 中的|y |＝x 和y 2＝x ，对于变量x 的任意一个正数值，变量y 都有两个(不唯一)值与其对应，故y 不是x 的函数．故选A.方法总结：判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定好哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应的关系．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题探究点三：确定自变量的取值范围【类型一】 确定函数解析式中自变量的取值范围写出下列函数中自变量x 的取值范围．(1)y ＝2x －3； (2)y ＝31－x ； (3)y ＝4－x ； (4)y ＝x －1x －2.解析：当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数；当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零；当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．解：(1)全体实数；(2)分母1－x ≠0，即x ≠1；(3)被开方数4－x ≥0，即x ≤4；(4)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥1且x ≠2. 方法总结：本题考查了函数自变量的取值范围：有分母的要满足分母不能为0，有根号的要满足被开方数为非负数． 【类型二】 实际问题中自变量的取值范围水箱内原有水200升，7：30打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经过t 分钟后，水箱内存水y 升．(1)求y 关于t 的函数关系式和自变量的取值范围；(2)7：55时，水箱内还有多少水？(3)几点几分水箱内的水恰好放完？解析：(1)根据水箱内还有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于0列不等式求出t 的取值范围；(2)7：55时，t ＝55－30＝25，将t ＝25代入(1)中的关系式即可；(3)令y ＝0，求出t 的值即可．解：(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水，∴y ＝200－2t .∵y ≥0，∴200－2t ≥0，解得t ≤100，∴0≤t ≤100，∴y 关于t 的函数关系式为y ＝200－2t (0≤t ≤100)；(2)∵7：55－7：30＝25(分钟)，∴当t ＝25时，y ＝200－2t ＝200－50＝150(升)，∴7：55时，水箱内还有水150升；(3)当y ＝0时，200－2t ＝0，解得t ＝100，而100分钟＝1小时40分钟，7点30分＋1小时40分钟＝9点10分，故9点10分水箱内的水恰好放完．探究点四：简单问题的函数关系一个弹簧秤最大能称不超过10kg 的物体，它的原长为10cm ，挂上重物后弹簧的长度y (cm)随所挂重物的质量x (kg)的变化而变化，每挂1kg 物体，弹簧伸长0.5cm ；(1)求弹簧的长度y (cm)与所挂重物质量x (kg)之间的函数表达式；(2)当挂5kg 重物时，求弹簧的长度．解析：根据弹簧的长度等于原长加上伸长的长度，列式即可；解：(1)y ＝10＋12x ，其中x 是自变量，y 是自变量的函数； (2)将x ＝5代入y ＝10＋12x ，得y ＝10＋12×5＝12.5(cm)． 答：当挂5kg 重物是，弹簧的长度为12.5厘米．方法总结：根据题意，找出等量关系，列出相应的函数表达式．求函数值时，将自变量代入函数表达式中，求出即可．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题探究点五：函数值根据如图所示程序计算函数值，若输入x 的值为52，则输出的函数值为( )A.32B.25C.425D.254解析：∵x ＝52时，在2≤x ≤4之间，∴将x ＝52代入函数y ＝1x ，得y ＝25.故选B. 方法总结：根据所给的自变量的值，结合各个函数关系式所对应的自变量的取值范围，确定其对应的函数关系式，再代入计算．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题三、板书设计1．常量和变量的概念2．函数的概念3．函数关系式4．自变量的取值范围5．函数值通过本课时的教学，学生对于常量、变量以及函数关系式掌握较好，但是对于有些实际问题中自变量的取值范围还存在一些困难．在以后的教学中要通过实例让学生不断加以强化，达到整体进步。
湘教版数学八年级下册《4.1.1变量与函数》教学设计
湘教版数学八年级下册《4.1.1变量与函数》教学设计一. 教材分析湘教版数学八年级下册《4.1.1变量与函数》是学生在学习了初中阶段函数概念的基础上，进一步探讨变量与函数的关系。
本节内容通过具体的实例让学生理解自变量、函数的概念，以及如何用函数式表示变量之间的关系。
教材内容由浅入深，既巩固了以前的知识，又为后续学习函数的图像和性质打下基础。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了变量、常量的概念，对函数有了初步的认识。
但部分学生对函数的定义和判断仍然存在模糊的地方，对函数式子的理解也不够深入。
因此，在教学过程中，需要帮助学生理清变量、常量、函数之间的关系，并通过具体例子让学生感受函数式表示变量之间的方法。
三. 教学目标1.理解自变量、函数的概念，掌握用函数式表示变量之间的关系。
2.能够判断一个关系是否为函数，并能用函数式表示。
3.培养学生的抽象思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：理解自变量、函数的概念，掌握用函数式表示变量之间的关系。
2.难点：判断一个关系是否为函数，并能用函数式表示。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究变量与函数的关系。
2.利用具体实例，让学生感受函数式表示变量之间的方法。
3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
4.利用板书、多媒体等教学辅助工具，提高教学效果。
六. 教学准备1.准备相关实例，用于讲解变量与函数的关系。
2.准备多媒体课件，用于展示函数图像和实例。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个生活中的实例，如投篮问题，引导学生思考投篮命中次数与投篮次数之间的关系。
让学生意识到这两个量之间存在一种依赖关系，进而引出自变量、函数的概念。
2.呈现（10分钟）呈现投篮问题的具体数据，让学生观察命中次数与投篮次数之间的关系。
引导学生用函数式表示这种关系，如命中次数 = 投篮次数 × 命中率。
最新湘教版八年级下册数学精品学案4.1.1 变量与函数
教学思路（纠错栏）教学思路（纠错栏）第4章一次函数4.1 函数和它的表示法4.1.1 变量与函数学习目标：1．联系自己的学习、生活实际，通过具体情境领悟函数的概念，了解常量、变量，知道自变量与函数，能写出简单的函数表达式.2．探究变量的发现和函数概念的形成，提高学生分析、解决问题的能力.学习重点：函数概念的形成过程.学习难点：正确理解函数的概念.☆自主学习☆一、导读：预习课本，完成以下题目：问题1：①这个问题中有哪几个量？②观察表中数据，热气球在升空的过程中平均每分上升多少米？③你能用关系式表示高度h与时间t的关系吗？④想一想：热气球在升空过程中哪些量发生变化？哪些量没有发生变化？总结：①是变量；是常量．②是自变量；是因变量．③一般地，设在一个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在它的每一个值，y都有与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数．④是函数值．☆合作探究☆1．汽车行驶的路程S、行驶时间t和行驶速度v之间有下列关系：S=vt.(1)如果汽车以60km/h的速度行驶，那么在S=vt中，变量是，常量是（2）如果汽车行驶的时间t规定为1小时，那么在S=vt中，变量是，常量是；(3)如果甲乙两地的路程S为200km，汽车从甲地开往乙地，那么在S=vt中，变量是，常量是 .2．小明去文具店买某种笔，已知该笔2元/支，小明买了该种笔n支，应付钱为m元．(1) 请写出m、n满足的关系；(2) 填写下表：练习本n（本） 1 2 5 8 …付钱m（元）…(3) 在计算上述买了不同支数的笔应付的钱的过程. 哪些量在改变，哪些量不变？☆归纳反思☆通过本节课的学习，我有以下收获：______________________________________________________________________________________________________________________________☆达标检测☆1．指出下列关系式中的变量与常量：（1）球的表面积Scm2与球的半径Rcm的关系式：S=4πR2；（2）在一定温度范围内，一种金属棒长度l(cm)与温度t(0C)之间有关系式：l=0.002t+200.2．某校有宿舍x间，学校规定每间宿舍可住6名学生，宿舍恰好住满，请你写出住校生总数y（人）与宿舍间数x之间的关系，指出本题中的变量、常量、自变量和函数．3．父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低”，并且出示了下面的表格：距离地面高度/千米0 1 2 3 4 5 温度/℃20 14 8 2 －4 －10 根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答：（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是函数？（2）如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h的变化，t如何变化？（3）你知道距离地面5千米高空的温度是多少吗？。
4新湘教版初中数学八年级下册精品教案.1.1 变量与函数
第4章 一次函数 4．1 函数和它的表示法4．1.1 变量与函数1．了解常量、变量的概念；(重点) 2．了解函数的概念；(重点)3．确定简单问题的函数关系．(难点)一、情境导入如图，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定．在上述例子中，每个变化过程中的两个变量：当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随着确定．你能举出一些类似的实例吗？ 二、合作探究探究点一：常量与变量分析并指出下列关系中的变量与常量：(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2；(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8m/s 2)； (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w .解析：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量．解：(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2，其中，常量是4π，变量是S ，R ；(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2，常量是v 0，4.9，变量是h ，t ；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8m/s 2)，其中常量是12g ，变量是h ，t ；(4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w ，常量是1.8，变量是x ，w .方法总结：常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．探究点二：函数的定义下列说法中正确的是( )A ．变量x ，y 满足x ＋3y ＝1，则y 是x 的函数B ．变量x ，y 满足y ＝－x 2－1，则y 可以是x 的函数C ．变量x ，y 满足|y |＝x ，则y 可以是x 的函数D ．变量x ，y 满足y 2＝x ，则y 可以是x 的函数解析：A 中x ＋3y ＝1，y 可以看作x 的函数，因为y ＝1－x3；B 中y ＝－x 2－1，因为－x 2－1<0，等式无意义，即对于变量x 的任何一个取值，变量y 都没有唯一确定的值，故y 不是x 的函数；C 、D 中的|y |＝x 和y 2＝x ，对于变量x 的任意一个正数值，变量y 都有两个(不唯一)值与其对应，故y 不是x 的函数．故选A.方法总结：判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定好哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应的关系．探究点三：确定自变量的取值范围【类型一】 确定函数解析式中自变量的取值范围写出下列函数中自变量x 的取值范围．(1)y ＝2x －3； (2)y ＝31－x ；(3)y ＝4－x ； (4)y ＝x －1x －2.解析：当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数；当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零；当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．解：(1)全体实数；(2)分母1－x ≠0，即x ≠1； (3)被开方数4－x ≥0，即x ≤4；(4)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥1且x ≠2.方法总结：本题考查了函数自变量的取值范围：有分母的要满足分母不能为0，有根号的要满足被开方数为非负数．【类型二】实际问题中自变量的取值范围水箱内原有水200升，7：30打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经过t 分钟后，水箱内存水y 升．(1)求y 关于t 的函数关系式和自变量的取值范围；(2)7：55时，水箱内还有多少水？ (3)几点几分水箱内的水恰好放完？解析：(1)根据水箱内还有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于0列不等式求出t 的取值范围；(2)7：55时，t ＝55－30＝25，将t ＝25代入(1)中的关系式即可；(3)令y ＝0，求出t 的值即可．解：(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水，∴y ＝200－2t .∵y ≥0，∴200－2t ≥0，解得t ≤100，∴0≤t ≤100，∴y 关于t 的函数关系式为y ＝200－2t (0≤t ≤100)；(2)∵7：55－7：30＝25(分钟)，∴当t＝25时，y＝200－2t＝200－50＝150(升)，∴7：55时，水箱内还有水150升；(3)当y＝0时，200－2t＝0，解得t＝100，而100分钟＝1小时40分钟，7点30分＋1小时40分钟＝9点10分，故9点10分水箱内的水恰好放完．探究点四：简单问题的函数关系一个弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，它的原长为10cm，挂上重物后弹簧的长度y(cm)随所挂重物的质量x(kg)的变化而变化，每挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm；(1)求弹簧的长度y(cm)与所挂重物质量x(kg)之间的函数表达式；(2)当挂5kg重物时，求弹簧的长度．解析：根据弹簧的长度等于原长加上伸长的长度，列式即可；解：(1)y＝10＋12x，其中x是自变量，y是自变量的函数；(2)将x＝5代入y＝10＋12x，得y＝10＋12×5＝12.5(cm)．答：当挂5kg重物是，弹簧的长度为12.5厘米．方法总结：根据题意，找出等量关系，列出相应的函数表达式．求函数值时，将自变量代入函数表达式中，求出即可．探究点五：函数值根据如图所示程序计算函数值，若输入x的值为52，则输出的函数值为()A.32 B.25 C.425 D.254解析：∵x＝52时，在2≤x≤4之间，∴将x＝52代入函数y＝1x，得y＝25.故选B.方法总结：根据所给的自变量的值，结合各个函数关系式所对应的自变量的取值范围，确定其对应的函数关系式，再代入计算．三、板书设计1．常量和变量的概念2．函数的概念3．函数关系式4．自变量的取值范围5．函数值通过本课时的教学，学生对于常量、变量以及函数关系式掌握较好，但是对于有些实际问题中自变量的取值范围还存在一些困难．在以后的教学中要通过实例让学生不断加以强化，达到整体进步.。
八年级数学下册 4_1_1 变量与函数导学案 (新版)湘教版
第4章一次函数4.1 函数和它的表示法4.1.1 变量与函数1.认识变量、常量.2.学会用一个变量的代数式表示另一个变量.3.认识变量中的自变量与函数.4.进一步理解掌握确定函数关系式.5.会确定自变量的取值范围.自学指导：阅读教材第110页至112页，独立完成下列问题：知识探究(1)一辆汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时.①根据题意填写下表：t/时12345s/千米60120180240300②试用含t的式子表示s为s=60t；③在以上这个过程中，不变化的量是60，变化的量是s与t.(2)每张电影票的售价为10元，早场售出票150张，日场售出票205张，晚场售出票310张.①三场电影的票房收入分别是1500元，2050元，3100元.②设一场电影售票x张，票房收入y元，则用含x的式子表示y为y=10x.③在以上这个过程中，不变化的量是10，变化的量是x与y.(3)变量：在一个变化的过程中，数值变化的量；常量：在一个变化的过程中，数值不变的量.(4)一般地，如果变量y随着变量x而变化，并且对于x取的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数.(5)对于一个已知的函数，自变量的取值范围是使这个函数有意义的一切值；对于一个实际问题，自变量的取值必须使实际问题有意义.活动1 学生独立完成例1分别指出下列关系中的变量和常量：(1)圆面积公式S=πr2(s表示面积，r表示半径)；(2)匀速运动公式s=vt(v表示速度，t表示时间，s表示在时间t内所走的路程).解：(1)r、S是变量，π是常量；(2)t、s是变量，v是常量.π是圆周率，是定值，是常量，半径r每取一个值都有唯一的S值和它对应，故S和r是变量.因为是匀速运动，所以速度v是常量，t和s是变量.例2如图，一个矩形推拉窗高1.5m，则活动窗的通风面积S(m2)与拉开长度b(m)的关系式是S=1.5b.窗高1.5m是一边长，拉开长度b(m)是另一边长，因此通风面积S=1.5b.例3某火力发电厂，贮存煤1000吨，每天发电用煤50吨，设发电天数为x，该电厂开始发电后，贮存煤量为y(吨).(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)为了保障电厂正常发电，工厂每天将从外地运回煤45吨，请写出按此方案执行时，y与x之间的函数关系式，并求出发电30天时，电厂贮存煤多少吨？解：(1)y=-50x+1000；(2)y=-5x+1000，当x=30时，y=-5×30+1000=850.∴当发电30天时，电厂贮存煤850吨.电厂贮存的煤量与原贮存量，每天发电的用煤量，每天从外地运回的煤量，以及发电天数有关.活动2 跟踪训练1.设圆柱的高h不变，圆柱的体积V与圆柱的底面半径r的关系是V=πr2h，这个式子中常量是π，h，变量是V，r.2.若球体体积为Ｖ，半径为Ｒ，则Ｖ＝43πＲ3.其中变量是R，V，常量是43，π.找准不变的量，再确定变量.3.下列变量间的关系：①人的身高与年龄；②矩形的周长与面积；③圆的周长与面积；④商品的单价一定，其销售额与销售量，其中是函数关系的有③④.一是明确已知两个变量是什么；二是看两个变量之间是否存在一一对应关系.4.某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过12米3，按每立方米a 元收费；若超过12米3，则超过部分每立方米按2a元收费，某户居民五月份交水费y(元)与用水量x(米3)(x>12)之间的关系式为y=2ax-12a，若该月交水费20a元，则这个月实际用水16米3.5.若等腰三角形底角度数值为x，则顶角度数值y与x的关系式是y=-2x＋180，变量是x，y，常量是-2，180.6.在△ABC中，它的底边长是a，底边上的高是h，则三角形的面积S=12ah，当底边a的长一定时，在关系式中的常量是12，a，变量是S，h.7.已知水池里有水200m3，每小时向水池里注水20m3，设注水时间为x小时，水池里共有水ym3，用含x 的式子表示y，则y=20x+200，其中变量为x，y，常量为20，200.8.人的心跳速度通常与人的年龄有关，如果a表示一个人的年龄，b表示正常情况下每分钟心跳的最高次数，经过大量试验，有如下的关系：b=0.8(220-a).(1)上述关系中的常量与变量各是什么？(2)正常情况下，一名15岁的学生每分钟心跳的最高次数是多少？解：(1)常量0.8，220，变量a,b；(2)164.9.蓄水池中原有水800m3，每小时从中放出60m3的水.(1)写出池中的剩余水量Q(m3)与放水时间t(h)之间的函数关系式；(2)写出自变量t的取值范围；(3)12h后，池中还有多少水？. (3)80m3.解：(1)Q＝-60t＋800. (2)0≤t≤403实际问题中的函数关系，自变量除了要使函数关系式本身有意义，还要满足实际意义.此题要根据函数Q的取值范围0≤Q≤800来确定自变量t的取值范围.活动3 课堂小结1.常量和变量是普遍存在的，它们只是相对于某个变化过程而言的两个概念，因此对它们的差别应紧扣定义及相应的实际背景.2.判断变量之间是否存在函数关系，主要抓住两点：一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化；自变量的每一个确定的值，函数都有且只有一个值与之对应.3.确定自变量取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意使实际问题有意义.。
新湘教版八下教案：4.1.1 变量与函数
第4章 一次函数 4．1 函数和它的表示法4．1.1 变量与函数1．了解常量、变量的概念；(重点) 2．了解函数的概念；(重点)3．确定简单问题的函数关系．(难点)一、情境导入如图，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定．在上述例子中，每个变化过程中的两个变量：当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随着确定．你能举出一些类似的实例吗？ 二、合作探究探究点一：常量与变量分析并指出下列关系中的变量与常量：(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2；(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8m/s 2)； (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w .解析：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量．解：(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2，其中，常量是4π，变量是S ，R ；(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2，常量是v 0，4.9，变量是h ，t ；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8m/s 2)，其中常量是12g ，变量是h ，t ；(4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w ，常量是1.8，变量是x ，w .方法总结：常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．探究点二：函数的定义下列说法中正确的是( )A ．变量x ，y 满足x ＋3y ＝1，则y 是x 的函数B ．变量x ，y 满足y ＝－x 2－1，则y 可以是x 的函数C ．变量x ，y 满足|y |＝x ，则y 可以是x 的函数D ．变量x ，y 满足y 2＝x ，则y 可以是x 的函数解析：A 中x ＋3y ＝1，y 可以看作x 的函数，因为y ＝1－x3；B 中y ＝－x 2－1，因为－x 2－1<0，等式无意义，即对于变量x 的任何一个取值，变量y 都没有唯一确定的值，故y 不是x 的函数；C 、D 中的|y |＝x 和y 2＝x ，对于变量x 的任意一个正数值，变量y 都有两个(不唯一)值与其对应，故y 不是x 的函数．故选A.方法总结：判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定好哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应的关系．探究点三：确定自变量的取值范围【类型一】 确定函数解析式中自变量的取值范围写出下列函数中自变量x 的取值范围．(1)y ＝2x －3； (2)y ＝31－x ；(3)y ＝4－x ； (4)y ＝x －1x －2.解析：当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数；当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零；当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．解：(1)全体实数；(2)分母1－x ≠0，即x ≠1； (3)被开方数4－x ≥0，即x ≤4；(4)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥1且x ≠2.方法总结：本题考查了函数自变量的取值范围：有分母的要满足分母不能为0，有根号的要满足被开方数为非负数．【类型二】实际问题中自变量的取值范围水箱内原有水200升，7：30打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经过t 分钟后，水箱内存水y 升．(1)求y 关于t 的函数关系式和自变量的取值范围；(2)7：55时，水箱内还有多少水？ (3)几点几分水箱内的水恰好放完？解析：(1)根据水箱内还有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于0列不等式求出t 的取值范围；(2)7：55时，t ＝55－30＝25，将t ＝25代入(1)中的关系式即可；(3)令y ＝0，求出t 的值即可．解：(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水，∴y ＝200－2t .∵y ≥0，∴200－2t ≥0，解得t ≤100，∴0≤t ≤100，∴y 关于t 的函数关系式为y ＝200－2t (0≤t ≤100)；(2)∵7：55－7：30＝25(分钟)，∴当t＝25时，y＝200－2t＝200－50＝150(升)，∴7：55时，水箱内还有水150升；(3)当y＝0时，200－2t＝0，解得t＝100，而100分钟＝1小时40分钟，7点30分＋1小时40分钟＝9点10分，故9点10分水箱内的水恰好放完．探究点四：简单问题的函数关系一个弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，它的原长为10cm，挂上重物后弹簧的长度y(cm)随所挂重物的质量x(kg)的变化而变化，每挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm；(1)求弹簧的长度y(cm)与所挂重物质量x(kg)之间的函数表达式；(2)当挂5kg重物时，求弹簧的长度．解析：根据弹簧的长度等于原长加上伸长的长度，列式即可；解：(1)y＝10＋12x，其中x是自变量，y是自变量的函数；(2)将x＝5代入y＝10＋12x，得y＝10＋12×5＝12.5(cm)．答：当挂5kg重物是，弹簧的长度为12.5厘米．方法总结：根据题意，找出等量关系，列出相应的函数表达式．求函数值时，将自变量代入函数表达式中，求出即可．探究点五：函数值根据如图所示程序计算函数值，若输入x的值为52，则输出的函数值为()A.32 B.25 C.425 D.254解析：∵x＝52时，在2≤x≤4之间，∴将x＝52代入函数y＝1x，得y＝25.故选B.方法总结：根据所给的自变量的值，结合各个函数关系式所对应的自变量的取值范围，确定其对应的函数关系式，再代入计算．三、板书设计1．常量和变量的概念2．函数的概念3．函数关系式4．自变量的取值范围5．函数值通过本课时的教学，学生对于常量、变量以及函数关系式掌握较好，但是对于有些实际问题中自变量的取值范围还存在一些困难．在以后的教学中要通过实例让学生不断加以强化，达到整体进步.。
湘教版数学八年级下册4.1.1《变量与函数》教案2
《变量与函数》教案教学目标知识与技能理解函数的概念，了解变量与常量以及自变量的意义.理解自变量的取值范围和函数值的意义，会求自变量的取值范围，会根据自变量的取值求函数的值.过程与方法经历函数概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想.让学生主动地从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式.情感、态度与价值观通过函数概念，初步形成学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.通过教学活动，培养学生乐于探究，合作学习的习惯，培养学生努力解决问題的进取心.教学重点函数的概念和函数自变量的取值范围.教学难点求函数自变量的取值范围.教学设计一、导入新课问题1下图是某地一天内的气温变化图.1.这天的6时、10时和14时的气温分别是多少？任意给出这天中的某一时刻，你能说出这一时刻的气温是多少吗？2.这一天中，最髙气温是多少？最低气温是多少？3.这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？从图中我们可以看出，随着时间t（时）的变化，相应的气温T℃也随之变化.问题2 圆的面积随着半径的增大而增大.如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积，则S 与r之间满足下列关系：S=πr2，你能算出半径为1cm、l.5cm、2cm、2.6cm时圆的面积吗？二、讲授新课1.常量和变量在上述问题中分别有几个量？分别指出每个问题中的各个量.第1个问题中，有两个变量，一个是时间，另一个是温度，温度随着时间的变化而变化.第2个问题中，S和r是变量，而π、2是常量.常量:在某一变化过程中始终保持不变的量称为常量.变量:在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量.2.函数的概念上面的各个问题中，都出现了两个变量，它们相互依赖，密切相关，例如：在上述的第1个问题中，一天内任意选择一个时刻，都有唯一的温度与之对应，t是自变量，T是因变量(T是t的函数).在上述第2个问题中，S=πr2，给出变量r的一个值，便可以得到变量S唯一值和它对应，r是自变量，S是因变量(S是r的函数).函数的概念:如果在一个变化过程中，有两个变量，假设x与y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数.要引导学生在以下几个方面加强对于函数概念的理解.变化过程中有两个变量，不研究多个变量；对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，如果y有两个值与它对应，那么y就不是x的函数.例如y2=x.三、例题讲解例1如课本第111页图4-2，已知圆柱的高是4cm，底面半径是r(cm)，当圆柱的底面半径r由小变大时，圆柱的体积V(cm3)是r的函数.(1)用含r的代数式来表示圆柱的体积V，指出自变量r的取值范围.(2)当r=5，10时，V是多少(结果保留π)？四、拓展练习1等腰三角形顶角的度数y是底角度数x的函数，试写出这个函数关系式，并求出自变量x的取值范围.2如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，CA与MN在同一条直线上，开始时点A与M重合，让△ABC向右移动，最后点A与点N重合.（1）试写出两图形重叠部分的面积y（cm2）与线段MA的长度x（cm）之间的函数关系式.（2）当点A向右移动1cm时，重叠部分的面积是多少？。
2023八年级数学下册第4章一次函数4.1函数和它的表示法4.1.1变量与函数教案(新版)湘教版
4.教学手段：
-小组讨论：组织学生进行小组讨论，促进学生之间的交流和合作。
-示例讲解：通过具体的示例讲解函数的概念和表示方法，让学生更好地理解和掌握。
-练习题和作业：布置相关的练习题和作业，巩固学生对函数知识的理解和应用能力。
教学实施过程
1.课前自主探索
-拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。
-反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。
教学方法/手段/资源：
-自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。
-反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。
作用与目的：
-巩固学生在课堂上学到的函数概念和表示方法。
5.题型五：函数的实际应用
-例题：一家商店的售价y（元）与销售量x（件）之间的关系可以用函数y = 100 + 0.5x表示。如果商店想要增加收入，应该采取什么措施？
-解答：商店应该增加销售量x，因为随着销售量x的增加，售价y也会增加，从而增加收入。
教学反思与总结
在本节课的教学过程中，我主要采用了讲授法和实践活动法，通过详细的讲解和生动的实例，帮助学生理解和掌握函数的概念和表示方法。同时，我还组织了一些小组讨论和角色扮演等活动，让学生在实践中加深对知识的理解和应用。然而，在教学过程中，我也发现了一些不足之处。
-在组织课堂活动时，可以更加注重学生的思考和理解，通过提问和讨论等方式，引导学生深入思考和理解函数的概念和性质。
-在批改学生作业时，可以更加注重学生的思考过程和理解，通过提问和讨论等方式，引导学生深入思考和理解函数的概念和性质。
-加强课后辅导，针对部分学生在理解和应用函数的概念和性质方面存在困难，可以通过个别辅导和小组讨论等方式，帮助学生克服困难，提高他们的学习效果。
八年级数学下册4.1.1变量与函数教案(新版)湘教版【教案】
度的升高而降低， 年龄随着时间的增长而增长。 这几个问题中都涉及两
个量的关系，地球的位
置与时间， 温度与高度，
年龄与时间。 二、合作交流、解读探
究
1、气温问题：上图
是北京春季某一天的气
温Ｔ随时间 t 变化的图
象，看图回答：
（1）这天的 8时的气温
是 ℃， 14时的气温
是 ℃，最高气温是
℃，最低气温
是 ℃；
（2）这一天中，在 4时 ~12时，气温（ ），在 16时 ~24时，气温（ ）。
A. 持续升高 B. 持续降低 C. 持续不变
思考：
1
（1）天气温度随
的变化而变化，即 T 随 的变化而变
化；
（2）当时间 t 取定一个确定的值时，对应的温度 T 的取值是否唯一确
定？
2 、当正方形的边长 x 分别取 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7……时，正方形的
找出它们的共性， 归纳出函数的概
x 和 y，如果对于 x 的每一个值， y x 是自变量， y 是 x 的函数。
三、应用迁移、巩固提高
例 1 已知圆柱的高是 4cm，底面半径是 rcm，当圆柱的底面半径 r 由小变大时，圆柱的体积 Vcm3是 r 的函数。（ 1）用含 r 的代数式来表示
圆柱的体积 V，指出自变量 r 的取值范围； （ 2）当 r=5,10 时， V 是多少
练习 教材 P112页 练习 1、 2题 四、全课小结 1．这一节课你有什么收获？还有什么疑问？你可以编一道题考一考同 学，也可以向同学请教。 2．函数是一种“数”吗？
五、作业： 教材 P116 页 A 组 1 题
3
面积 S 分别是多少？
3、某城市居民用的天然气， 1m3收费 2.88 元，使用 x（ m3）天然气应缴 纳费用 y=2.88x , 当 x=10时，缴纳的费用为多少？
湘教版初二数学八年级下册第四章《一次函数》全章导学案
湘教版初二数学八年级下册第四章《一次函数》全章导学案4．1．1变量与函数研究目标】1、通过探索具体问题中的数量关系和变化规律来了解常量、变量的意义；2、学会用含一个变量的代数式表示另一个变量；3、结合实例，理解函数的概念以及自变量的意义；在理解掌握函数概念的基础上，确定函数关系式；4、会根据函数解析式和实际意义确定自变量的取值范围。
研究重点】了解常量与变量的意义；理解函数概念和自变量的意义；确定函数关系式。
【研究难点】函数概念的理解；函数关系式的确定研究过程：一、【知识链接】问题一：一辆汽车以60千米／小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时．1．请同学们根据题意填写下表：t/时ts/千米2．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．3．试用含t的式子表示s．__s=_________________t的取值范围是这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间___的变化过程．二、【自主研究】问题二：每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，午场售出205张，晚场售出310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元．•如何用含x的式子表示y。
１．请同砚们按照题意填写下表：售出票数（张）早场150午场206晚场310x收入y (元)2．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．3．试用含x的式子表示y．__y=_________________x的取值范围是这个问题反映了票房收入_________随售票张数_________的变化过程．问题三：在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记实重物的质量，观察并记实弹簧长度的变化，探索它们的变化规律．如果弹簧原长10cm•，•每1kg•重物使弹簧伸长．5cm，设重物质量为mkg，受力后的弹簧长度为L cm,如何用含m的式子表示L？1．请同砚们按照题意填写下表：所挂重物（kg）m受力后的弹簧长度L（cm）2．在以上这个过程当中，变化的量是_____________．稳定化的量是__________．3．试用含m的式子表示L．__L=_________________m的取值范围是这个问题反映了_________随_________的变化过程．三、【合作探究】2问题四：圆的面积和它的半径之间的干系是甚么？要画一个面积为10cm的圆，圆的半径应22取多少？圆的面积为20cm呢？30 cm呢?如何用含有圆面积Ｓ的式子表示圆半径r？干系式：________１．请同学们根据题意填写下表：2面积s（cm）s半径r(cm)2．在以上这个过程中，变化的量是_____________．不变化的量是__________．3．试用含s的式子表示r．__r=_________________s的取值范围是这个问题反映了___。
湘教版八年级下册4.1.1 变量与函数 导学案
娄底八中八年级数学（下册）导学案课外作业：教材112页练习1、2题1).理解了常量和变量，自变量与函数的概念？2).会找出简单的实际问题中的函数关系，会求函数值？（2）你能求出高h关于半径r的关系式吗？并说出r、h的变化趋势．四、达标检测（1-5小题为必做题；第6小题为选做题）1．球的体积V（cm 3）和半径R（cm）之间的关系式是V= πR 3，其中常量是______， 变量是______．6．如图，把一个“瘦长”的圆柱（圆钢条）锻压成一个“矮胖”的圆柱．时，y是常量；③a是变量时，y也是变量；上述判断正确的有（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．等腰三角形的顶角为y，底角为x．（1）用含x的式子表示y；并指出自变量x的取值范围；（3）当x=75度时，求y的值。
（2）指出（1）中式子里的常量与变量 ．（1）在这个变化过程中，考察圆柱的体积、表 面积、侧面积、半径、高， 指出哪些是变量；在这个问题中，球的半径越大，则球的体积就越______．2．半径是R的圆周长C=2πR，下列说法正确的是（ ）5．已知函数y= x-2.（1）求x=2时y的值；（2）求y=-1时x的值． C．R是变量，2，π ，C是常量 D．C，R是变量，2，π是常量3．笔记本每本a元，买3本笔记本共支出y元，在这个问题中：①a是常量时，y 是变量；②a是变量(1) 请写出弹簧总长y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数表达式；三、课堂小结本节课，你有何收获？A．C，π，R是变量，2是常量 B．C是变量，2，π，R是常量(3) 当挂物重10kg时，弹簧的总长是多少？(2) 当x=0时，y的值是多少？它的实际意义是什么？7443。
湘教版八年级数学下册《4章 一次函数 4.1 函数和它的表示法 4.1.1变量与函数》公开课教案_8
变量与函数导学案学习目标：1.结合实例了解常量、变量的意义，理解函数的概念及自变量的意义.2.探索具体问题中的数量关系和变化规律.3.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求函数值。
学习过程：一、（玩一玩）探究具体问题中的数量关系P与n的关系式：P=h与n的关系式：y与n的关系式：2.气温问题下图是湖南某地某一天的气温T随时间t变化的图像，看图回答：（1）这一天0时的气温是______，14时的气温是______，最高气温是______，最低气温是______。
（2）这一天中，在4时~12时，气温（），在16时~24时气温（）A. 持续升高B.持续降低C.保持不变三、探究数量变化规律，理解函数的概念例：下列关于变量 x，y 的关系式：①2xy=②x=2y③xy=④xy=⑤xy=⑥32-=xy其中y是x的函数的是_____________________。
练一练：1.一个三角形底边长为6，高h可以任意伸缩，其面积s随h变化的函数关系式是。
当h=4时的函数值s=_____。
2.小明用50元去买笔，2.5元/支，买x支笔，剩下的钱为Q元，Q与x的关系式是。
思考：下列曲线中表示y 是x 的函数的是（ ）四、课后反馈1、如图，已知等腰直角三角形ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为10cm ，CA 与MN 在同一条直线上，开始时点A 与M 重合，让△ABC 向右移动，最后点A 与点N 重合.试写出两图形重叠部分的面积y （cm 2）与线段MA 的长度x （cm ）之间的函数关系式.2、一辆汽车耗油量为8升/100km ，汽车油箱里有40升油，行驶了x(km),剩油量为Q 升，写出Q 与x 之间的关系式。
3、已知地面温度为5℃，海拔每升高1km ，气温下降6℃，某地高度为x(m),温度为T ℃,写出T 与x 的关系式。
湘教版八下数学4.1.1《变量与函数》教学设计
湘教版八下数学4.1.1《变量与函数》教学设计一. 教材分析《变量与函数》是湘教版八下数学4.1.1的内容，这部分内容是学生在学习了代数和几何基础知识后，对函数概念的初次接触。
教材通过具体的实例，引导学生理解变量与函数的关系，培养学生的函数观念。
本节课的内容对于学生来说是一个新的概念，需要通过实例让学生感受和理解函数的实质。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的代数基础，对数学知识有一定的认识和理解。
但是，对于函数这一概念，他们可能是第一次接触，因此需要通过具体的实例和生活情境，让学生感受和理解函数的概念。
学生的学习兴趣和积极性需要通过教学设计来激发和保持。
三. 教学目标1.理解变量与函数的概念，能够识别生活中的函数关系。
2.能够用函数的 language 来描述和表示生活中的函数关系。
3.培养学生观察、分析和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.函数的概念和实质。
2.如何通过实例让学生理解函数的概念。
五. 教学方法1.实例教学：通过具体的实例，让学生感受和理解函数的概念。
2.问题驱动：通过提出问题，引导学生思考和探索，从而加深对函数概念的理解。
3.合作学习：通过小组讨论和合作，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，包括实例和问题。
2.教学素材：准备相关的教学素材，如图片、图表等。
3.教学工具：准备好黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实例，如抛物线的运动，让学生观察和思考，引出函数的概念。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示不同的实例，如温度与高度的关系，让学生观察和分析，引导学生理解函数的概念。
3.操练（10分钟）让学生通过小组合作，分析和学习教材中的实例，理解函数的概念。
4.巩固（10分钟）通过提问和讨论，巩固学生对函数概念的理解。
5.拓展（10分钟）让学生通过解决问题，运用和深化对函数概念的理解。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，加深学生对函数概念的理解。
【湘教版】八年级数学下册教案：4.1.1变量与函数
第4章 一次函数 4．1 函数和它的表示法4．1.1 变量与函数1．了解常量、变量的概念；(重点) 2．了解函数的概念；(重点)3．确定简单问题的函数关系．(难点)一、情境导入如图，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定．在上述例子中，每个变化过程中的两个变量：当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随着确定．你能举出一些类似的实例吗？ 二、合作探究探究点一：常量与变量分析并指出下列关系中的变量与常量：(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2；(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8m/s 2)； (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w .解析：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量．解：(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2，其中，常量是4π，变量是S ，R ；(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2，常量是v 0，4.9，变量是h ，t ；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8m/s 2)，其中常量是12g ，变量是h ，t ；(4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w ，常量是1.8，变量是x ，w .方法总结：常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．探究点二：函数的定义下列说法中正确的是( )A ．变量x ，y 满足x ＋3y ＝1，则y 是x 的函数B ．变量x ，y 满足y ＝－x 2－1，则y 可以是x 的函数C ．变量x ，y 满足|y |＝x ，则y 可以是x 的函数D ．变量x ，y 满足y 2＝x ，则y 可以是x 的函数解析：A 中x ＋3y ＝1，y 可以看作x 的函数，因为y ＝1－x3；B 中y ＝－x 2－1，因为－x 2－1<0，等式无意义，即对于变量x 的任何一个取值，变量y 都没有唯一确定的值，故y 不是x 的函数；C 、D 中的|y |＝x 和y 2＝x ，对于变量x 的任意一个正数值，变量y 都有两个(不唯一)值与其对应，故y 不是x 的函数．故选A.方法总结：判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定好哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应的关系．探究点三：确定自变量的取值范围【类型一】 确定函数解析式中自变量的取值范围写出下列函数中自变量x 的取值范围．(1)y ＝2x －3； (2)y ＝31－x ；(3)y ＝4－x ； (4)y ＝x －1x －2.解析：当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数；当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零；当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．解：(1)全体实数；(2)分母1－x ≠0，即x ≠1； (3)被开方数4－x ≥0，即x ≤4；(4)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥1且x ≠2.方法总结：本题考查了函数自变量的取值范围：有分母的要满足分母不能为0，有根号的要满足被开方数为非负数．【类型二】 实际问题中自变量的取值范围水箱内原有水200升，7：30打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经过t 分钟后，水箱内存水y 升．(1)求y 关于t 的函数关系式和自变量的取值范围；(2)7：55时，水箱内还有多少水？ (3)几点几分水箱内的水恰好放完？解析：(1)根据水箱内还有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于0列不等式求出t 的取值范围；(2)7：55时，t ＝55－30＝25，将t ＝25代入(1)中的关系式即可；(3)令y ＝0，求出t 的值即可．解：(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水，∴y ＝200－2t .∵y ≥0，∴200－2t ≥0，解得t ≤100，∴0≤t ≤100，∴y 关于t 的函数关系式为y ＝200－2t (0≤t ≤100)；(2)∵7：55－7：30＝25(分钟)，∴当t＝25时，y ＝200－2t ＝200－50＝150(升)，∴7：55时，水箱内还有水150升；(3)当y ＝0时，200－2t ＝0，解得t ＝100，而100分钟＝1小时40分钟，7点30分＋1小时40分钟＝9点10分，故9点10分水箱内的水恰好放完．探究点四：简单问题的函数关系一个弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，它的原长为10cm ，挂上重物后弹簧的长度y (cm)随所挂重物的质量x (kg)的变化而变化，每挂1kg 物体，弹簧伸长0.5cm ；(1)求弹簧的长度y (cm)与所挂重物质量x (kg)之间的函数表达式；(2)当挂5kg 重物时，求弹簧的长度．解析：根据弹簧的长度等于原长加上伸长的长度，列式即可；解：(1)y ＝10＋12x ，其中x 是自变量，y是自变量的函数；(2)将x ＝5代入y ＝10＋12x ，得y ＝10＋12×5＝12.5(cm)． 答：当挂5kg 重物是，弹簧的长度为12.5厘米．方法总结：根据题意，找出等量关系，列出相应的函数表达式．求函数值时，将自变量代入函数表达式中，求出即可．探究点五：函数值根据如图所示程序计算函数值，若输入x 的值为52，则输出的函数值为( )A.32B.25C.425D.254解析：∵x ＝52时，在2≤x ≤4之间，∴将x ＝52代入函数y ＝1x ，得y ＝25.故选B.方法总结：根据所给的自变量的值，结合各个函数关系式所对应的自变量的取值范围，确定其对应的函数关系式，再代入计算．三、板书设计1．常量和变量的概念 2．函数的概念 3．函数关系式4．自变量的取值范围 5．函数值通过本课时的教学，学生对于常量、变量以及函数关系式掌握较好，但是对于有些实际问题中自变量的取值范围还存在一些困难．在以后的教学中要通过实例让学生不断加以强化，达到整体进步.。
湘教版数学八年级下册4.1.1 变量与函数教案与反思
第4章一次函数原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！随风潜入夜，润物细无声。
出自杜甫的《春夜喜雨》4.1 函数和它的表示法4.1.1 变量与函数【知识与技能】借助简单实例，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量、变量.初步理解存在一类变量可以用函数方式来刻画，能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系.初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系.【过程与方法】借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简.【情感态度】从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，体验“发现、创造”数学知识的乐趣.学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科.【教学重点】借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念.【教学难点】怎样理解“唯一对应”.一、创设情境，导入新课我们生活在一个运动的世界中，周围的事物都是运动的，例如：地球在宇宙中的运动这一问题，此时地球在宇宙中的位置随着时间的变化而变化，再例如，气温随着高度的升高而降低，年龄随着时间的增长而增长.这几个问题中都涉及两个量的关系，地球的位置与时间，温度与高度，年龄与时间，这一节课，我们就来研究类似的两个量之间的关系.【教学说明】从身边日常生活中发生的事例入手，用运动贴近生活实际，容易接受变化的观点说明两个量之间的关系，为下面的学习打下了伏笔.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知问题常量、变量、函数思考教材第110页“动脑筋”【教学说明】让学生明确常量和变量的概念，进而弄清函数及与函数有关的概念，为后面的教学扫清障碍.说一说：教材第111页“说一说”【教学说明】通过训练的形式，加深对概念的理解，同时强调对于实际问题要附加自变量的取值范围，从而明确解决问题的方法和应该注意的方面.例：教材第111页“例1”【教学说明】在实际问题中，利用两个变之间的关系进一步巩固所学的函数及相关概念，使所学知识进一步加深，并能熟练运用.三、运用新知，深化理解1.汽车以70千米/时的速度匀速行驶，行驶路程为S千米，行驶时间为t 小时，从而S=70t，则下列判断中错误的是（）A.S是常量B.S是变量C.70是常量D.t是变量2.一个正方形的边长为3cm，它的各边边长减少xcm后，得到的新正方形的周长为ycm，y与x间的函数关系式是（）A.y=12-4xB.y=4x-12C.y=12-xD.以上都不对3.函数y=中自变量x的取值范围是 .4.一块形状为等腰三角形的铁皮，周长为10，底边长为y，腰长为x.（1）求y与x之间的关系式；（2）求自变量x的取值范围.【教学说明】让学生独立完成，以检查学生掌握情况，教师根据教学实际有针对性地查漏补缺，特别是学生出现错误较的地方作必要的强调，并加以强化.在完成上述题目后，让学生完成练习册中本课时的“课堂自主演练”部分.答案：1.A 2.A 3.x≥-3且x≠14.(1)y=10-2x; (2)∵10-2x>0,2x>10-2x,∴52<x<5.四、师生互动，课堂小结通过今天的学习，你已经掌握了哪些知识？还存在哪些疑问，与大家共同交流.【教学说明】师生共同回顾所学知识，加印象.同学之间通过合交流，取长补短，共同提高.1.布置作业：习题4.1中的第1、2题.2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.就学生掌握的情况看，对于常量、变量以及函数关系式掌握较好，但是对于有些实际问题中自变量的取值范围还存在一些困难.在以后的教学中要通过实例让学生不断加以强化，达到整体进步.【素材积累】1、冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软羊毛毯子，覆盖摘摘这广漠的荒原上，闪着寒冷的银光。
八年级数学下册 4.1.1 变量与函数导学案(无答案)湘教版(2021学年)
广西北海市八年级数学下册 4.1．1 变量与函数导学案（无答案）(新版）湘教版编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(广西北海市八年级数学下册4.1.1 变量与函数导学案（无答案）（新版)湘教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为广西北海市八年级数学下册4．1.1 变量与函数导学案（无答案)(新版）湘教版的全部内容。
4。
1.1变量与函数一、新课引入〈一〉复习旧知1。
火车以60 km/ｈ的速度匀速行驶,它驶过的路程ｓ（km）和所用时间t（h）的关系式是〈二>导读目标学习目标：1。
会判断变量间是否存在函数关系,哪个变量是自变量，哪个变量是因变量。
2。
体会变化与对应的思想,会求函数的值;会确定函数的自变量取值范围．3。
初步学会如何在函数图象上捕捉信息。
重点：体会变化与对应的思想，会求函数的值.难点：确定函数的自变量取值范围。
二、预习导学阅读教材第110～112的内容,思考下列问题：１。
什么是变量?什么是常量?2。
你能说出函数的概念吗？怎样表示一个函数呢?３。
s= ６0t,这个函数中常量是什么？自变量是什么?因变量是什么?4.什么是函数值?在教材第１10 “动脑筋”问题（2),当自变量ｘ的值为6时,对应的函数值应为多少?5.在考虑两个变量的函数时,还要注意到自变量的取值范围,想一想,在确定自变量取值范围时需要注意些什么?三、合作探究１、指出下列变化过程中,哪个变量随着另一个变量的变化而变化？(1)一辆汽车以80 kｍ/h的速度匀速行驶,行驶的路程s(km）与行驶时间t（h）;(2）圆的半径r和圆面积S满足：S＝(3）银行的存款利率Ｐ与存期t .２。
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第4章一次函数
4.1 函数和它的表示法
4.1.1 变量与函数
1.认识变量、常量.
2.学会用一个变量的代数式表示另一个变量.
3.认识变量中的自变量与函数.
4.进一步理解掌握确定函数关系式.
5.会确定自变量的取值范围.
自学指导：阅读教材第110页至112页，独立完成下列问题：
知识探究
(1)一辆汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时.
①根据题意填写下表：
t/时12345
s/千米60120180240300
②试用含t的式子表示s为s=60t；
③在以上这个过程中，不变化的量是60，变化的量是s与t.
(2)每张电影票的售价为10元，早场售出票150张，日场售出票205张，晚场售出票310张.
①三场电影的票房收入分别是1500元，2050元，3100元.
②设一场电影售票x张，票房收入y元，则用含x的式子表示y为y=10x.
③在以上这个过程中，不变化的量是10，变化的量是x与y.
(3)变量：在一个变化的过程中，数值变化的量；
常量：在一个变化的过程中，数值不变的量.
(4)一般地，如果变量y随着变量x而变化，并且对于x取的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数.
(5)对于一个已知的函数，自变量的取值范围是使这个函数有意义的一切值；对于一个实际问题，自变量的取值必须使实际问题有意义.
活动1 学生独立完成
例1分别指出下列关系中的变量和常量：
(1)圆面积公式S=πr2(s表示面积，r表示半径)；
(2)匀速运动公式s=vt(v表示速度，t表示时间，s表示在时间t内所走的路程).
解：(1)r、S是变量，π是常量；
(2)t、s是变量，v是常量.
π是圆周率，是定值，是常量，半径r每取一个值都有唯一的S值和它对应，故S和r是变量.因为是匀速运动，所以速度v是常量，t和s是变量.
例2如图，一个矩形推拉窗高1.5m，则活动窗的通风面积S(m2)与拉开长度b(m)的关系式是S=1.5b.
窗高1.5m是一边长，拉开长度b(m)是另一边长，因此通风面积S=1.5b.
例3某火力发电厂，贮存煤1000吨，每天发电用煤50吨，设发电天数为x，该电厂开始发电后，贮存煤量为y(吨).
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)为了保障电厂正常发电，工厂每天将从外地运回煤45吨，请写出按此方案执行时，y与x之间的函数关系式，并求出发电30天时，电厂贮存煤多少吨？
解：(1)y=-50x+1000；
(2)y=-5x+1000，
当x=30时，y=-5×30+1000=850.
∴当发电30天时，电厂贮存煤850吨.
电厂贮存的煤量与原贮存量，每天发电的用煤量，每天从外地运回的煤量，以及发电天数有关.活动2 跟踪训练
1.设圆柱的高h不变，圆柱的体积V与圆柱的底面半径r的关系是V=πr2h，这个式子中常量是π，h，变量是V，r.
2.若球体体积为Ｖ，半径为Ｒ，则Ｖ＝4
3πＲ3.其中变量是R，V，常量是4
3
，π.
找准不变的量，再确定变量.
3.下列变量间的关系：①人的身高与年龄；②矩形的周长与面积；③圆的周长与面积；④商品的单价一定，其销售额与销售量，其中是函数关系的有③④.
一是明确已知两个变量是什么；二是看两个变量之间是否存在一一对应关系.
4.某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过12米3，按每立方米a 元收费；若超过12米3，则超过部分每立方米按2a元收费，某户居民五月份交水费y(元)与用水量x(米3)(x>12)之间的关系式为y=2ax-12a，若该月交水费20a元，则这个月实际用水16米3.
5.若等腰三角形底角度数值为x，则顶角度数值y与x的关系式是y=-2x＋180，变量是x，y，常量是-2，180.
6.在△ABC中，它的底边长是a，底边上的高是h，则三角形的面积S=1
2
ah，当底边a的长一定时，在关系
式中的常量是1
2
，a，变量是S，h.
7.已知水池里有水200m3，每小时向水池里注水20m3，设注水时间为x小时，水池里共有水ym3，用含x 的式子表示y，则y=20x+200，其中变量为x，y，常量为20，200.
8.人的心跳速度通常与人的年龄有关，如果a表示一个人的年龄，b表示正常情况下每分钟心跳的最高次数，经过大量试验，有如下的关系：b=0.8(220-a).
(1)上述关系中的常量与变量各是什么？
(2)正常情况下，一名15岁的学生每分钟心跳的最高次数是多少？
解：(1)常量0.8，220，变量a,b；(2)164.
9.蓄水池中原有水800m3，每小时从中放出60m3的水.
(1)写出池中的剩余水量Q(m3)与放水时间t(h)之间的函数关系式；
(2)写出自变量t的取值范围；
(3)12h后，池中还有多少水？
. (3)80m3.
解：(1)Q＝-60t＋800. (2)0≤t≤40
3
实际问题中的函数关系，自变量除了要使函数关系式本身有意义，还要满足实际意义.此题要根据函数Q的取值范围0≤Q≤800来确定自变量t的取值范围.
活动3 课堂小结
1.常量和变量是普遍存在的，它们只是相对于某个变化过程而言的两个概念，因此对它们的差别应紧扣定义及相应的实际背景.
2.判断变量之间是否存在函数关系，主要抓住两点：一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化；自变量的每一个确定的值，函数都有且只有一个值与之对应.
3.确定自变量取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意使实际问题有意义.。