中考数学(圆的综合提高练习题)压轴题训练含答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E．过点D作DF⊥AC，垂足为F．

（1）求证：DF为⊙O的切线；

（2）若AB＝4，∠C＝30°，求劣弧BE的长．

【答案】（1）证明见解析（2）4 3

【解析】

分析：（1）连接AD、OD，根据直径所对的圆周角为直角，可得∠ADB=90°，然后根据等腰三角形的性质求出BD=CD，再根据中位线的性质求出OD⊥DF，进而根据切线的判定证明即可；

（2）连接OE，根据三角形的外角求出∠BAE的度数，然后根据圆周角定理求出∠BOE的度数，根据弧长公式求解即可.

详解：（1）连接AD、OD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°．

∵AB＝AC，∴BD＝CD，

又∵OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，∴OD⊥DF

即∠ODF＝90°．∴DF为⊙O的切线；

（2）连接OE．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAE＝60°，

∵∠BOE＝2∠BAE，∴∠BOE＝120°，

∴＝·4π＝π．

点睛：本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、圆周角定理，灵活添加辅助线是解题关键．

2．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB=16，以AB为直径的⊙O与BC边相交于点D，与AC交于点F，过点D作DE⊥AC于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）求CE的长；

（3）过点B作BG∥DF，交⊙O于点G，求弧BG的长．

【答案】（1）证明见解析（2）33）4π

【解析】

【分析】

（1）如图1，连接AD，OD，由AB为⊙O的直径，可得AD⊥BC，再根据AB=AC，可得BD=DC，再根据OA=OB，则可得OD∥AC，继而可得DE⊥OD，问题得证；

（2）如图2，连接BF，根据已知可推导得出DE=1

2

BF，CE=EF，根据∠A=30°，AB=16，可

得BF=8，继而得DE=4，由DE为⊙O的切线，可得ED2=EF•AE，即42=CE•（16﹣CE），继而可求得CE长；

（3）如图3，连接OG，连接AD，由BG∥DF，可得∠CBG=∠CDF=30°，再根据AB=AC，可推导得出∠OBG=45°，由OG=OB，可得∠OGB=45°，从而可得∠BOG=90°，根据弧长公式即可求得BG的长度.

【详解】

（1）如图1，连接AD，OD；

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=DC，

∵OA=OB，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∴∠ODE=∠DEA=90°，

∴DE为⊙O的切线；

（2）如图2，连接BF，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AFB=90°，

∴BF∥DE，

∵CD=BD，

∴DE=12BF ，CE=EF ， ∵∠A=30°，AB=16，

∴BF=8， ∴DE=4，

∵DE 为⊙O 的切线，

∴ED 2=EF•AE ， ∴42=CE•（16﹣CE ），

∴CE=8﹣43，CE=8+43（不合题意舍去）；

（3）如图3，连接OG ，连接AD ，

∵BG ∥DF ，

∴∠CBG=∠CDF=30°，

∵AB=AC ，

∴∠ABC=∠C=75°，

∴∠OBG=75°﹣30°=45°，

∵OG=OB ，

∴∠OGB=∠OBG=45°，

∴∠BOG=90°，

∴BG 的长度=908180

π⨯⨯=4π．

【点睛】

本题考查了圆的综合题，涉及了切线的判定、三角形中位线定理、圆周角定理、弧长公式等，正确添加辅助线、熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.

3．如图，在ABC 中，90ACB ∠=，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，过点D 作DE AD ⊥交AB 于点E ，以AE 为直径作O ．

()1求证：BC 是O 的切线；

()2若3AC =，4BC =，求tan EDB ∠的值．

【答案】（1）见解析；（2）1tan 2EDB ∠=

． 【解析】

【分析】 ()1连接OD ，如图，先证明OD//AC ，再利用AC BC ⊥得到OD BC ⊥，然后根据切线的判定定理得到结论；

()2先利用勾股定理计算出AB 5=，设

O 的半径为r ，则OA OD r ==，OB 5r =-，再证明BDO ∽

BCA ，利用相似比得到r ：()35r =-：5，解得15r 8=，接着利用勾股定理计算5BD 2=，则3CD 2=，利用正切定理得1tan 12

∠=，然后证明1EDB ∠∠=，从而得到tan EDB ∠的值．

【详解】

()1证明：连接OD ，如图，

AD 平分BAC ∠，

12∴∠=∠，

OA OD =，

23∴∠=∠，

13∴∠=∠，

//OD AC ∴，

AC BC ⊥，

OD BC ∴⊥，

BC ∴是O 的切线；

()2解：在Rt

ACB 中，22345AB =+=， 设O 的半径为r ，则OA OD r ==，5OB r =-，