北师大版初三上数学课后答案
数学九年级上册课本答案北师大版
数学九年级上册课本答案北师大版这篇关于数学九年级上册课本答案北师大版的文章，是特地为大家整理的，希望对大家有所帮助！数学习题1.1答案1.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AB,BC//AD,∴∠B+∠BAD=180°两直线平行，同旁内角互补）.∵∠BAD=2∠B,∴∠B+2∠B=180°，∴∠B=60°.∵BC=AB，∴△ABC是等边三角形.2.解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC=CB=BA,∴AC±BD,AO=1/2AC=1/2×8=4，DO=1/2BD=1/2×6=3.在Rt△AOD中，由勾股定理，得AD=√(AO²+DO²)=√(4²+3²)=5.∴菱形ABCD 的周长为4AD=4×5=20.3.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB,AC±BD，DO=BO,∴△ABD是等腰三角形，∴AO是等腰△ABD低边BD上的高，中线，也是∠DAB的平分线，∴AC平分∠BAD.同理可证AC平分∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC.4.解：有4个等腰三角形和4个直角三角形.数学习题1.2答案1.证明：在□ABCD中，AD//BC,∴∠EAO=∠FCO.∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=CO.在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF.∵AE//CF,∴四边形AFCE是平行四边形.∵EF±AC,∴四边形AFCE是菱形.2.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC±BD,OA=OC,OB=OD.又∵点E,F,G,H,分别是OA,OB,OC,OD的中点，∴OE=1/2OA,数学习题1.3答案1.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD,AB=CB,∠A=∠C.∵BE=BF,∴AB-BE=CB-BF,即AE=CF.在△ADE和CDF中，.∵△ADE≌△CDF,∴DE=DF,∴∠DEF=∠DFE.2.已知：如图1-1-35所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是对角线.求证：S菱形ABCD=1/2AC∙BD.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO.∴S△AOB=S△AOD=S△BOC=S△COD=1/2AO.BO.∴S菱形ABCD=4×1/2AO∙BO=1/2×2AO∙2BO=1/2AC∙BD.3.解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴∠AOB=90°，AO=1/2AC=1/2×16=8，BO=1/2BD=1/2×12=6.在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=√(AO +BO )=√(8 +6 )=10.∵S菱形ABCD=1/2AC∙BD=1/2×16×12=96，又∵DH⊥AB,∴S菱形ABCD=AB∙DH,∴96=AB∙DH,即96=10DH,DH=9.6.∴菱形ABCD的高DH为9.6.4.证明：∵点E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD,的中点，∴GF是△ADC的中位线，EH是△ABD的中位线，∴GF//AD,GF=1/2AD,EH//AD,EH=1/2AD,∴GF//EH,GF=EH,∴四边形EGFH是平行四边形，又∵FH是△BDC的中位线，∴FH=1/2BC.又∵AD=BC,∴GF=FH,∴平行四边形EGFH是菱形.5.请自己动手折叠试一试.。
北师大版数学九年级上册课本答案
北师大版数学九年级上册课本答案【篇一：北师版九年级数学上册第一章测试卷(含答案)】卷满分120分考试时间120分钟）一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分）1、下列各组图形中，是全等三角形的一组是（）a.底边长都为15cm的两个等腰三角形b.腰长都为15cm的两个等腰三角形d.边长为12cm的两个等边三角形2、等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为（）a.7b.3c.7或3d.53、一个三角形如果有两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）a.等腰三角形b.等边三角形c.直角三角形d.等腰直角三角形4、用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（）a.有两个角是直角b.有两个角是钝角c.有两个角是锐角d.一个角是钝角，一个角是直角6、如图1-2，在一次强台风中一棵大树在离地面5m处折断倒下，倒a.10mb.15mc.25md.30mcba d 图1-1图1-27、下列命题①对顶角相等②如果三角形中有一个角是钝角，那么另外两个角是锐角③若两直线平行，则内错角相等④三边都相等的三角形是等边三角形。
其中逆命题正确的有（）a.①③b.②④c.①②d.③④8、如图1-3（1）在△abc中，d、e分别是ab,ac的中点，将△ade沿线段de向下折叠，得到图形1-3（2），下列关于图（2）的四个结论中，一定不成立的是（）c.△dba是等腰三角形d.de∥bce c 图1-3 b c （2）（1） aa.1b.2c.3d.4be aa c图1-4图1-5二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）11、已知三条不同的直线a,b,c在同一平面内，下列四个命题：①如果③如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c 其中属于真命题的是（填写所有真命题的序号）12、一个三角形三边之比为2:5:3，这个三角形的形状是13、把“同角的余交相等”改写成“如果??，那么??”的形式为cd=3，则ab的长度为15、如图1-7，p是正方形abcd内一点，将△abp绕点b顺时针方向旋转能与△cbp?重合，若pb=3，则pp?的长度为a p dbd b cc n c a b ?图1-6 图1-7图1-8三、解答题（共6小题，计72分，解答应写过程）ad图1-918、（10分）已知：如图1-10，de为△abc的边ab的垂直平分线，m d cd为△abc的外角平分线，与de交于点d，dm⊥bc的延长线于点m，dn⊥ac于点n，求证：an=bm。
初中数学北师大版九年级上学期 第三章 3.1 用树状图或表格求概率(含答案及解析)
初中数学北师大版九年级上学期第三章 3.1 用树状图或表格求概率一、单选题1.“学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择—个参加活动，两人恰好选择同—场馆的概率是( )A. B. C. D.2.小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为( )A. B. C. D.3.从标有1，2，3，4的四张卡片中任取两张，卡片上的数字之和为奇数的概率是( )A. B. C. D.4.如图，有一电路AB是由图示的开关控制,闭合a，b，c，d，e五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路，则使电路形成通路的概率是（）A. B. C. D.二、综合题5.箱子里有4瓶牛奶，其中有一瓶是过期的.现从这4瓶牛奶中不放回地任意抽取2瓶.（1）请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来；（2）求抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率.6.九年级（1）班全班50名同学组成五个不同的兴趣爱好小组，每人都参加且只能参加一个小组，统计（不完全）人数如下表：15 20 10已知前面两个小组的人数之比是.解答下列问题：（1）________.（2）补全条形统计图：（3）若从第一组和第五组中任选两名同学，求这两名同学是同一组的概率.（用树状图或列表把所有可能都列出来）7.为了解学生的课外阅读情况，七（1）班针对“你最喜爱的课外阅读书目”进行调查（每名学生必须选一类且只能选一类阅读书目），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图.男、女生所选类别人数统计表根据以上信息解决下列问题（1）________，________；（2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为________ ；（3）从选哲学类的学生中，随机选取两名学生参加学校团委组织的辩论赛，请用树状图或列表法求出所选取的两名学生都是男生的概率.8.现有A、B、C三个不透明的盒子，A盒中装有红球、黄球、蓝球各1个，B盒中装有红球、黄球各1个，C盒中装有红球、蓝球各1个，这些球除颜色外都相同.现分别从A、B、C三个盒子中任意摸出一个球. （1）从A盒中摸出红球的概率为；（2）用画树状图或列表的方法，求摸出的三个球中至少有一个红球的概率.9.如图所示，有一个可以自由转动的转盘，其盘面分为4等份，在每一等份分别标有对应的数字2，3，4，（1）求前8次的指针所指数字的平均数．（2）小明继续自由转动转盘2次，判断是否可能发生“这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5”的结果？若有可能，计算发生此结果的概率，并写出计算过程；若不可能，说明理由．（指针指向盘面等分线时为无效转次．）答案解析部分一、单选题1. A解：用A、B、C分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的有3种情况，∴两人恰好选择同一场馆的概率=故答案为：A【分析】由题意可知，此事件是抽取放回，列出树状图，根据树状图求出所有等可能的结果数及两人恰好选择同一场馆的可能数，然后利用概率公式求解。
北师大版数学初三上册利用一元二次方程解决几何问题同步课时练习题及解析
北师大版数学初三上册22.6.1 利用一元二次方程解决几何问题同步课时练习题1. 用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一边长为x米，则依照题意可列出关于x的方程为( ) A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝62. 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长．设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为( )A．(x＋1)(x＋2)＝18 B．x2－3x＋16＝0C．(x－1)(x－2)＝18 D．x2＋3x＋16＝03. 如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只蝉从C沿CB的方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，现在△MNB的面积恰好为24 cm2，由题意可列方程( ) A．2x·x＝24 B．(10－2x)(8－x)＝24C．(10－x)(8－2x)＝24 D．(10－2x)(8－x)＝484. 小明把一张边长为10 cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子(如图)．假如那个无盖的长方体底面积为81 cm2，那么剪去的正方形边长为( )A．2 cm B．1 cm C．0.5 cm D．0.5 cm或9.5 cm5. 一块矩形菜地的面积是120 cm2，假如它的长减少2 cm，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是____cm.6. 已知小明与小亮两人在同一地点，若小明向北直走160 m，再向东直走80 m，可到购物中心，则小亮向西直走____m后，他与购物中心的距离为340 m.7. 现有一块长80 cm，宽60 cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形，做成一个底面积为1 500 cm2的无盖的长方体盒子，依照题意列方程，化简可得______________________________．8. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P 从A点开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC 边向点C以2 cm/s的速度移动，则点P，Q分别从点A，B同时动身，通过_______秒钟，使△PBQ的面积等于8 cm2.9. 已知菱形的周长为40，两对角线之比为3∶4，则两对角线的长分别为________________．10. 如图，用两段等长的铁丝恰好能够分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x2＋17)cm，正六边形的边长为(x2＋2x)c m(其中x>0)．求这两段铁丝的总长．11. 为响应市委市政府提出的建设“绿色都市”的号召，我市某单位预备将院内一块长30 m，宽20 m的长方形空地，建成一个矩形花园．要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地点种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532 m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？(注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)12. 如图，两艘船同时从A点动身，一艘船以15海里/时的速度向东北方向航行，另一艘船以20海里/时的速度向东南方向航行，那么几小时后两船正好相距100海里？13. 如图，要建筑一个四边形花圃ABCD，要求AD边靠墙，CD⊥AD，AD∥BC，AB∶CD＝5∶4，且三边的总长为20 m．设AB的长为5x m.(1)要求AD的长；(用含字母x的式子表示)(2)若该花圃的面积为50 m2，且周长不大于30 m，求AB的长．14. 要在一块长52 m，宽48 m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路，下面分别是小亮和小颖的设计方案．小亮设计的方案如图①所示，甬路宽度均为x m，剩余的四块绿地面积共2300 m2.小颖设计的方案如图②所示，BC＝HE＝x，AB∥CD，HG∥EF，AB ⊥EF，∠1＝60°.(1)求小亮设计方案中甬路的宽度x；(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积．(友情提示：小颖设计方案中的x与小亮设计方案中的x取值相同)15. 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池(如图所示)．由于地势限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过1 6米．假如池的外围墙的建筑单价为每米400元，中间两条隔墙的建筑单价为每米300元，池底的建筑单价为每平方米80元(墙的厚度忽略不计)．当三级污水处理池的总造价为47 200元时，求池长x.16. 小明和同桌小聪在课后复习时，对练习册“目标与评定”中的一道摸索题，进行了认真地探究．【摸索题】如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，假如梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B 将向外移动多少米？(1)请你将小明对“摸索题”的解答补充完整：解：设点B将向外移动x米，即BB1＝x，则A1B1＝2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2＋A1C2＝A1B12，得方程___________________，解方程，得x1＝____，x2＝_________ _____，∴点B将向外移动____米．(2)解完“摸索题”后，小聪提出了如下两个问题：【问题一】在“摸索题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？什么缘故？【问题二】在“摸索题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？什么缘故？请你解答小聪提出的这两个问题．参考答案：1---4 BCDC5. 126. 2207. x2－70x ＋825＝08. 2或49. 12和1610. 解：∵用两段等长的铁丝恰好能够分别围成一个正五边形和一个正六边形，∴5(x2＋17)＝6(x2＋2x)，整理，得x2＋12x －85＝0，(x ＋6)2＝121，解得x1＝5，x2＝－17(不合题意，舍去).5×(52＋17)×2＝420(c m)．答：这两段铁丝的总长为420 cm11. 解：设小道进出口的宽度为x 米，依题意得(30－2x)(20－x)＝532.整理，得x2－35x ＋34＝0.解得x1＝1，x2＝34.∴34＞30(不合题意，舍去)，∴x ＝1.答：小道进出口的宽度应为1米12. 解：设x 小时后两船相距100海里，依照题意，得(15x)2＋(20x)2＝1002，解得x1＝4，x2＝－4(舍去)．答：4小时后两船相距100海里13. (1)作BH ⊥AD 于点H ，则AH ＝3x ，由BC ＝DH ＝20－9x 得AD ＝20－6x(2)由2(20－9x)＋3x ＋9x ≤30得x ≥53，由12[(20－9x)＋(20－6x)]×4x ＝50得3x2－8x ＋5＝0，∴x1＝53，x2＝1(舍去)，∴5x ＝253.答：AB 的长为253m14. (1)依照小亮的设计方案列方程得(52－x)(48－x)＝2 300，解得x1＝2，x2＝98(舍去)，∴小亮设计方案中甬路的宽度为2 m(2)易证四边形ADCB 为平行四边形，由(1)得x ＝2，∴BC ＝HE ＝2＝A D ，过点A 作AI ⊥CD 于点I ，则ID ＝12AD ＝1，∴AI ＝3，∴小颖设计方案中四块绿地的总面积＝52×48－52×2－48×2＋(3)2＝2 299(m2)15. (2x ＋200x ×2)·400＋200x ×2×300＋200×80＝47 200，整理得x2－39x ＋350＝0，解得x1＝25(舍去)，x2＝1416. (1) (x ＋0.7)2＋22＝2.52 0.8 －2.2(舍去) 0.8（2） 【问题一】可不能是0.9米．若AA1＝BB1＝0.9，则A1C ＝2.4－0.9＝1.5，B1C ＝0.7＋0.9＝1.6, 1.52＋1.62＝4.81，2.52＝6.25，∵A1C2＋B1C2≠A1B12，∴该题的答案可不能是0.9米 【问题二】有可能．设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，则有(x＋0.7)2＋(2.4－x) 2＝2.52，解得x＝1.7或x＝0(舍去)．∴当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等。
北师大版九年级上学期数学全册试题及参考答案
3．菱形的周长为100 cm，一条对角线长为14 cm，它的面积是（ ）
A．168 cm2B．336 cm2C．672 cm2D．84 cm2
4．菱形的周长为16，两邻角度数的比为1：2，此菱形的面积为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
5．下列语句中，错误的是（ ）
A．菱形是轴对称图形，它有两条对称轴
A．对角线相等B．对角相等C．对边相等D．对角线互相平分
8．若矩形的对角线长为4cm，一条边长为2cm，则此矩形的面积为（）
A．8 cm2B．4 cm2C．2 cm2D．8cm2
9．如图所示，在矩形ABCD中，∠DBC=29°，将矩形沿直线BD折叠，顶点C落在点E处，则∠ABE的度数是（）
A．29° B．32° C．22° D．61°
12．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后，得到正方形EFCG，EF交AD于H，求DH的长．
13．如图，P为正方形ABCD的对角线上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，判断DP与EF的关系，并证明．
拓展、探究、思考
14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连结DP交AC于点Q．
9．菱形的面积为24 cm2，一对角线长为6 cm，则另一对角线长为______，边长为______．
10．菱形的面积为8 平方厘米，两条对角线的比为1： ，那么菱形的边长为_______．
三、解答题
11.如图所示，在菱形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上，且CE=CF，求证：AE=AF
12.如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求：
三、11．△ADE≌△ABFAE=AF．
北师大版初中数学九年级上(初三数学上)课件PPT配套教案-第1章 特殊平行四边形矩形(基础阶段)
北师大版初中数学九年级上（初三数学上）课件PPT配套教案第1章特殊平行四边形矩形（基础阶段）第1部分矩形【学习目标】1. 理解矩形的概念.2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.【要点梳理】要点一、矩形的定义有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.要点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.要点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.要点四、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.【典型例题】类型一、矩形的性质1、（2015•云南）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．（1）求证：∠PNM=2∠CBN；（2）求线段AP的长．【思路点拨】（1）由MN∥BC，易得∠CBN=∠MNB，由已知∠PNB=3∠CBN，根据角的和差不难得出结论；（2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，由（1）知∠PNM=2∠CBN=2∠PAN，由AD∥MN，可知∠PAN=∠ANM，所以∠PAN=∠PNA，根据等角对等边得到AP=PN，再用勾股定理列方程求出AP．【答案与解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，∴MN∥BC，∴∠CBN=∠MNB，∵∠PNB=3∠CBN，∴∠PNM=2∠CBN；（2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，∵MN∥AD，∴∠PAN=∠ANM，由（1）知∠PNM=2∠CBN，∴∠PAN=∠PNA，∴AP=PN，∵AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点，∴DN=2，设AP=x，则PD=6﹣x，在Rt△PDN中PD2+DN2=PN2，∴（6﹣x）2+22=x2，解得：x=所以AP=．【总结升华】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识的综合运用，难度不大，根据角的倍差关系得到∠PAN=∠PNA，发现AP=PN是解决问题的关键．举一反三：【高清课堂 417081 矩形例7】【变式】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是_________ ．【答案】；提示：因为ECFP为矩形，所以有EF＝PC.PC最小时是直角三角形斜边上的高.类型二、矩形的判定2、（2016•济宁一模）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．（1）求证：D是BC的中点．（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．【思路点拨】（1）因为AF∥BC，E为AD的中点，即可根据AAS证明△AEF≌△DEC，故有BD=DC；（2）由（1）知，AF=DC且AF∥DC，可得四边形AFDC是平行四边形，又因为AD=CF，故可有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定．【答案与解析】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE（1分）∵E是AD的中点，∴AE=DE．（2分）∵∠AEF=∠DEC，∴△AEF≌△DEC．（3分）∴AF=DC，∵AF=BD∴BD=CD，∴D是BC的中点；（4分）（2）四边形AFBD是矩形，（5分）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，（6分）∵AF=BD，AF∥BC，∴四边形AFBD是平行四边形，（7分）∴四边形AFBD是矩形．【总结升华】本题考查矩形的判定和全等三角形的判定与性质．要熟知这些判定定理才会灵活运用，根据性质才能得到需要的相等关系．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.【答案】证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD∵D为BC的中点，∴CD＝BD∴CD∥AE，CD＝AE∴四边形ADCE是平行四边形∵AB＝AC∴AC＝DE∴平行四边形ADCE是矩形.3、如图所示，ABCD四个内角的角平分线分别交于点E、F、G、H．求证：四边形EFGH是矩形．【思路点拨】AE、BE分别为∠BAD、∠ABC的角平分线，由于在ABCD中，∠BAD+∠ABC＝180°，易得∠BAE+∠ABE＝90°，不难得到∠HEF＝90°，同理可得∠H＝∠F＝90°．【答案与解析】证明：在ABCD中，AD∥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝180°，∵ AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC，∴∠BAE＋∠ABE＝12∠BAD＋12∠ABC＝90°．∴∠HEF＝∠AEB＝90°．同理：∠H＝∠F＝90°．∴四边形EFGH是矩形．【总结升华】 (1)利用角平分线、垂线得到90°的角，选择“有三个直角的四边形是矩形”来判定．(2)本题没有涉及对角线，所以不会选择利用对角线来判定矩形．类型三、直角三角形斜边上的中线的性质4、如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20 B．12 C．14 D．13【答案】C；【解析】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，∴AD⊥BC，CD＝BD＝12BC＝4，∵点E为AC的中点，∴DE＝CE＝12AC＝5，∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14．【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．举一反三：【变式】如图所示，已知平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，P是平行四边形ABCD外一点，且∠APC＝∠BPD＝90°．求证：平行四边形ABCD是矩形．【答案】解：连接OP．∵四边形ABCD是平行四边形．∴ AO＝CO，BO＝DO，∵∠APC＝∠BPD＝90°，∴ OP＝12AC，OP＝12BD，∴ AC＝BD．∴四边形ABCD是矩形．第2部分菱形【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．【要点梳理】【高清课堂特殊的平行四边形（菱形）知识要点】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质1、（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF ⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【思路点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【答案与解析】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．举一反三：【变式1】（2015•温州模拟）如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO=度．【答案】50；解：在菱形ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠CDO=∠AED=50°，CD=CB ，∠BCO=∠DCO ，∴在△BCO 和△DCO 中，，∴△BCO ≌△DCO （SAS ），∴∠CBO=∠CDO=50°．【高清课堂 特殊的平行四边形（菱形） 例1】【变式2】菱形ABCD 中，∠A ∶∠B ＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )． A.21 B.4 C.1 D.2【答案】C ；提示：由题意，∠A ＝30°，边长为2，菱形的高等于12×2＝1. 类型二、菱形的判定2、如图所示，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，DE ∥AC ，DF ∥BC ，四边形DECF 是菱形吗?试说明理由．【思路点拨】由菱形的定义去判定图形，由DE ∥AC ，DF ∥BC 知四边形DECF 是平行四边形，再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可．【答案与解析】解：四边形DECF是菱形，理由如下：∵ DE∥AC，DF∥BC∴四边形DECF是平行四边形．∵ CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2∵ DF∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3．∴ CF＝DF，∴四边形DECF是菱形．【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF是菱形吗?请说明理由．【答案】解：四边形AEDF是菱形，理由如下：∵ EF垂直平分AD，∴△AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．∴∠ODF＝∠OAF，又∵ AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，∴∠ODF＝∠OAE．∴ AE∥DF，同理可得：DE∥AF．∴四边形AEDF是平行四边形，∴ EO＝OF又∵AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分．∴AEDF是菱形．3、如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACD，交AD于点G，交AB于点E，EF⊥BC于点F．求证：四边形AEFG是菱形．【思路点拨】由角平分线性质易知AE＝EF，欲证四边形AEFG是菱形，只要再证四边形AEFG是平行四边形或AG＝GF＝AE即可．【答案与解析】证明：方法一：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．∴ EF AG．∴四边形AEFG是平行四边形．又∵ AE＝AG，∴四边形AEFG是菱形．方法二：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，∴△AEG≌△FEG．∴ AG＝FG．∴ AE＝EF＝FG＝AG．∴四边形AEFG是菱形．【总结升华】判定一个四边形是菱形，关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件．举一反三：【变式】如图所示，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．(1)求证：DE∥BF；(2)若∠G＝90°，求证四边形DEBF是菱形．【答案】证明：(1)ABCD中，AB∥CD，AB＝CD∵ E、F分别为AB、CD的中点∴ DF＝12DC，BE＝12AB∴ DF∥BE．DF＝BE∴四边形DEBF为平行四边形∴ DE∥BF(2)证明：∵ AG∥BD∴∠G＝∠DBC＝90°∴△DBC为直角三角形又∵ F为边CD的中点．∴ BF＝12DC＝DF又∵四边形DEBF为平行四边形∴四边形DEBF是菱形类型三、菱形的应用4、如图所示，是一种长0.3m，宽0.2m的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2 m，宽2.8m的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形?【答案与解析】解：墙壁长4.2m，宽2.8m，矩形瓷砖长0.3m，宽0.2m，4.2÷0.3＝14，2.8÷0.2＝14，则可知矩形瓷砖横排14块，竖排14块可毫无空隙地贴满墙面．(1)则至少需要这种瓷砖14×14＝196(块)．(2)每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有196个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一半．另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，它的面积也等于瓷砖面积的一半，有花纹的菱形横排有13个，竖排也有13个，则一共有淡黄色花纹菱形13×13＝169个，面积相等的菱形一共有196＋169＝365(个)．【总结升华】菱形可以看作是由直角三角形组成的，因而铺满墙面后，要计算空白菱形的个数和阴影菱形的个数．将相同的图形拼在一起，在顶点周围的几个图形也能拼成一定的图案，不要忽略周围图形的拼接．第3部分正方形【学习目标】1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．【要点梳理】【高清课堂特殊的平行四边形（正方形）知识要点】要点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.要点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.要点三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.要点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.【典型例题】类型一、正方形的性质1、（2016•台湾）如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD 上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（）A．50 B．55 C．70 D．75【思路点拨】由平角的定义求出∠CED的度数，由三角形内角和定理求出∠D的度数，再由平行四边形的对角相等即可得出结果．【答案】C．【解析】解：∵四边形CEFG是正方形，∴∠CEF=90°，∵∠CED=180°﹣∠AEF﹣∠CEF=180°﹣15°﹣90°=75°，∴∠D=180°﹣∠CED﹣∠ECD=180°﹣75°﹣35°=70°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B=∠D=70°（平行四边形对角相等）．故选C．【总结升华】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出∠D的度数是解决问题的关键．举一反三：【变式1】已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，F是CD边上一点，且CE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF．【答案】证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC＝DC ，∠BCD＝90°∵E 为BC 延长线上的点，∴∠DCE＝90°，∴∠BCD＝∠D CE ．在△BCF 和△DCE 中，BC DC BCF DCE CF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCF≌△DCE（SAS ），∴BF＝DE ．【高清课堂 特殊的平行四边形（正方形） 例1】【变式2】（2015•咸宁模拟）如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ）A ．75°B ．60°C ．55°D ．45°【答案】B ；提示：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD ，∠BAF=45°，∵△ADE 是等边三角形，∴∠DAE=60°，AD=AE ，∴∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE，∴∠ABE=∠AEB=（180°﹣150°）=15°，∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°；故选：B．2、如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB＝30°，求EF的长．【思路点拨】要证明△ABE≌△DAF，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，只要证一条边对应相等即可．要求EF的长，需要求出AF和AE的长．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴△DAF≌△ABE．（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∠AGB＝30°，∴AD∥BC，∴∠1＝∠AGB＝30°，∵∠1＋∠4＝∠DAB＝90°，∵∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠AFD＝180°－（∠1＋∠3）＝90°，∴DF⊥AG，∴DF＝11 2AD=∴A F＝3∵△ABE≌△DAF，∴AE＝DF＝1，∴EF＝31-【总结升华】通过证三角形全等得到边和角相等，是有关四边形中证边角相等的最常用的方法．而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件．举一反三：【变式】如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB＝2BC，分别以AB，BC为边做正方形ABEF 和正方形BCMN连接FN，EC．求证：FN＝EC．【答案】证明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，AB＝BE＝EF，BC＝BN，∠FEN＝∠EBC＝90°，∵AB＝2BC，即BC＝BN＝12 AB∴BN＝12BE，即N为BE的中点，∴EN＝NB＝BC，∴△FNE≌△ECB，∴FN＝EC．类型二、正方形的判定3、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE ⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗?请说明理由．【答案与解析】解：是正方形，理由如下：作DG⊥AB于点G．∵ AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，∴ DF＝DG．同理可得：DG＝DE．∴ DF＝DE．∵ DF⊥AC，DE⊥BC，∠C＝90°，∴四边形CEDF是矩形．∵ DF＝DE．∴四边形CEDF是正方形．【总结升华】(1)本题运用了“有一组邻边相等的矩形是正方形”来判定正方形．(2)证明正方形的方法还可以直接通过证四条边相等加一个直角或四个角都是直角来证明正方形．举一反三：【变式】如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．（1）求证：四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．【答案】（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），∴∠AOC＝2∠COD，∠CO B＝2∠COF，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∴2∠COD＋2∠COF＝180°，∴∠COD＋∠COF＝90°，∴∠DOF＝90°；∵OA＝OC，OD平分∠AOC（已知），∴OD⊥AC，AD＝DC（等腰三角形的“三线合一”的性质），∴∠CDO＝90°，∵CF⊥OF，∴∠CFO＝90°∴四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形；理由如下：∵∠AOC＝90°，AD＝DC，∴OD＝DC；又由（1）知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形；因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．类型三、正方形综合应用4、如图，在平面直角坐标系xoy中，边长为a(a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O)，顶点C、D都在第一象限．(1)当∠BAO＝45°时，求点P的坐标；(2)求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB 的平分线上；【答案与解析】解：(1)当∠BAO＝45°时，∠PAO＝90°，在Rt△AOB中，OA＝22AB＝22a，在Rt△APB中，PA＝22AB＝22a．∴点P的坐标为22,22a a⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．(2)如图过点P分别作x轴、y轴的垂线垂足分别为M、N，则有∠PMA＝∠PNB＝∠NPM＝∠BPA＝90°，∵∠BPN＋∠BPM＝∠APM＋∠BPM＝90°∴∠APM＝∠BPN，又PA＝PB，∴△PAM≌△PBN，∴ PM＝PN，又∵ PN⊥ON，PM⊥OM于是，点P在∠AOB的平分线上.【总结升华】根据题意作出辅助线，构造全等的直角三角形是解题关键.第4部分全章复习与巩固【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.【知识网络】【要点梳理】要点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2．性质：（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形.3．面积：高底平行四边形⨯=S4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等.要点二、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S 4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.要点三、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：宽＝长矩形⨯S４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.（3）有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．要点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、平行四边形1、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B ＞∠A ，点D 为边AB 的中点，DE ∥BC 交AC 于点E ，CF ∥AB 交DE 的延长线于点F ．（1）求证：DE=EF ；（2）连结CD ，过点D 作DC 的垂线交CF 的延长线于点G ，求证：∠B=∠A+∠DGC ．【思路点拨】（1）首先证明四边形DBCF 为平行四边形，可得DF=BC ，再证明DE=12BC ，进而得到EF=12CB ，即可证出DE=EF ； （2）首先画出图形，首先根据平行线的性质可得∠ADG=∠G ，再证明∠B=∠DCB ，∠A=∠DCA ，然后再推出∠1=∠DCB=∠B ，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B ．【答案与解析】证明：（1）∵DE ∥BC ，CF ∥AB ，∴四边形DBCF 为平行四边形，∴DF=BC，∵D为边AB的中点，DE∥BC，∴DE=12BC，∴EF=DF-DE=BC-12CB=12CB，∴DE=EF；（2）∵DB∥CF，∴∠ADG=∠G，∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，∴CD=DB=AD，∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，∵DG⊥DC，∴∠DCA+∠1=90°，∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠1=∠DCB=∠B，∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是找出∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．类型二、菱形2、（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF ⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【思路点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【答案与解析】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形,过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．∴∠CFB＝∠AEB＝90°．∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF,∴AB＝BC,∴四边形ABCD是菱形.类型三、矩形3、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：CD＝AN；②若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．【思路点拨】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CN，然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD＝∠MDC，再根据等角对等边可得MD＝MC，然后证明AC＝DN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．【答案与解析】证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA，在△A MD和△CMN中，∵DAC NCA MA MCAMD CMN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN；②∵∠A MD ＝2∠MCD ，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC，∴MD＝MC ，由①知四边形ADCN 是平行四边形，∴MD＝MN ＝MA ＝MC ，∴AC＝DN ，∴四边形ADCN 是矩形．【总结升华】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等．4、如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8．将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处，求EF 的长.【思路点拨】要求EF 的长，可以考虑把EF 放入Rt △AEF 中，由折叠可知CD ＝CF ，DE ＝EF ，易得AC ＝10，所以AF ＝4，AE ＝8-EF ，然后在Rt △AEF 中利用勾股定理求出EF 的值．【答案与解析】解：设EF ＝x ，由折叠可得：DE ＝EF ＝x ，CF ＝CD ＝6，又∵ 在Rt △ADC 中，226810AC +=．∴ AF ＝AC －CF ＝4，AE ＝AD －DE ＝8－x ．在Rt △AEF 中，222AE AF EF =+，即222(8)4x x -=+，解得：x ＝3 ∴ EF ＝3【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解．举一反三：。
北师大版数学九年级上册课本答案.doc
北师大版数学九年级上册课本答案【篇一：北师版九年级数学上册第一章测试卷(含答案)】卷满分120 分考试时间120 分钟）一、选择题（共10 小题，每小题 3 分，计30 分）1、下列各组图形中，是全等三角形的一组是（）a.底边长都为15cm 的两个等腰三角形b.腰长都为15cm 的两个等腰三角形d.边长为12cm 的两个等边三角形2、等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为（）a.7b.3c.7 或3d.53、一个三角形如果有两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）a.等腰三角形b.等边三角形c. 直角三角形d.等腰直角三角形4、用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（）a.有两个角是直角b.有两个角是钝角c. 有两个角是锐角d.一个角是钝角，一个角是直角6、如图1-2，在一次强台风中一棵大树在离地面5m 处折断倒下，倒a.10mb.15mc.25md.30m c ba d 图1-1 图1-27、下列命题①对顶角相等②如果三角形中有一个角是钝角，那么另外两个角是锐角③若两直线平行，则内错角相等④三边都相等的三角形是等边三角形。
其中逆命题正确的有（）a.①③b. ②④c.①②d.③④8、如图1-3（1）在△abc 中，d、e 分别是ab,ac 的中点，将△ade 沿线段de 向下折叠，得到图形1-3（2），下列关于图（2）的四个结论中，一定不成立的是（）c. △dba 是等腰三角形d.de ∥bce c 图1-3 b c （2）（1）aa.1b.2c.3d.4be aa c图1-4 图1-5二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，计18 分）11、已知三条不同的直线a,b,c 在同一平面内，下列四个命题：①如果③如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c 其中属于真命题的是（填写所有真命题的序号）12、一个三角形三边之比为2:5:3 ，这个三角形的形状是13、把“同角的余交相等”改写成“如果?? ，那么??”的形式为cd=3 ，则ab 的长度为15、如图1-7，p 是正方形abcd 内一点，将△abp 绕点b 顺时针方向旋转能与△cbp? 重合，若pb=3 ，则pp? 的长度为a p d bd b cc n c a b ?图1-6 图1-7 图1-8三、解答题（共 6 小题，计72 分，解答应写过程）ad 图1-918、（10 分）已知：如图1-10 ，de 为△abc 的边ab 的垂直平分线，m d cd 为△abc 的外角平分线，与de 交于点d，dm ⊥bc 的延长线于点m，dn ⊥ac 于点n，求证：an=bm 。
(含答案)九年级数学北师大版上册课时练第3章《用树状图或表格求概率》(1)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！课时练第2单元用树状图或表格求概率一、选择题1.学校团委在“五四”青年节举行“感动校园十大人物”颁奖活动，九(4)班决定从甲、乙、丙、丁四人中随机派两名代表参加此活动，则甲、乙两人恰有一人参加此活动概率是().A.32 B.65 C.61 D.212.一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（）A. B. C. D.3.在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的标号之和为奇数的概率是()A. B. C. D.4.定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“V数”如“967”就是一个“V数”．若十位上的数字为4，则从3，5，7，9中任选两数,能与4组成“V数”的概率是（）A. B. C. D.5.盒子里有3支红色笔芯，2支黑色笔芯，每支笔芯除颜色外均相同.从中任意拿出一支笔芯，则拿出黑色笔芯的概率是（）A.23 B.15 C. D.356.现有四张扑克牌：红桃A、黑桃A、梅花A 和方块A，将这四张牌洗匀后正面朝下放在桌面上，再从中任意抽取一张牌，则抽到红桃A 的概率为（）A．1B．C．D．7.一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为()A．B．C．D．8.甲、乙两人用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成面积相等的3个扇形）做游戏.游戏规则：转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜.若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘.甲获胜的概率是（）A. B. C. D.9.小明同时向上掷两枚质地均匀、同样大小的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数之和是3的倍数的概率是（）A.13 B.16 C.518 D.5610.有6张写有数字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上（如图所示），从中任意一张是数字3的概率是（）A.61B.31C.21D.32二、填空题11.现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是12.甲、乙、丙三名学生各自随机选择到A、B 两个书店购书，则甲、乙、丙三名学生到同一个书店购书的概率为.13.有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字“2，3，4”，第二组卡片上分别写有数字“3，4，5”，现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字，差为负数的概率为．14.暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一个社区参加实践活动的概率为．15.一个质地均匀的正方体的每个面上都标有数字1，2，3中的一个，其展开图如图所示，随机抛掷此正方体一次，则朝上与朝下的面上数字相同的概率是．16.如图所示是两个各自分割均匀的转盘，同时转动两个转盘，转盘停止时（若指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止），两个指针所指区域的数字和为偶数的概率是_______.三、解答题17.为落实“垃圾分类”，环卫部门要求垃圾要按A，B，C三类分别装袋、投放，其中A类指废电池、过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收垃圾.甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾，这两袋垃圾不同类.(1)直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率.(2)求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率.18.某校组织了一次“诗词大会”，小明和小丽同时参加，其中，有一道必答题是：从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“山重水复疑无路”.(1)小明回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择.若随机选择其中一个，则小明回答正确的概率是.(2)小丽回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个字是选“富”还是选“复”都难以抉择.若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率.19.体育组为了了解九年级450名学生排球垫球的情况，随机抽查了九年级部分学生进行排球垫球测试(单位：个)，根据测试结果，制成了下面不完整的统计图表：(1)表中的数a=，b=；(2)估算该九年级排球垫球测试结果小于10的人数；(3)排球垫球测试结果小于10的为不达标，若不达标的5人中有3个男生，2个女生，现从这5人中随机选出2人调查，试通过画树状图或列表的方法求选出的2人为一个男生一个女生的概率．20.有四张反面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．(1)从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是．(2)小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法(或画树状图)说明理由．(纸牌用A、B、C、D表示)若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平．参考答案1.A.2.D.3.B.4.D5.C6.B7.C.8.C.9.A10.B11.12.13.14.15.1/316.15717.解：(1)∵垃圾要按A，B，C 三类分别装袋，甲投放了一袋垃圾，∴甲投放的垃圾恰好是A 类的概率为31.(2)画树状图如下：由图可知，共有18种等可能的结果，其中乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的结果有12种，∴P(乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类)=1812=32.18.解：(1)21(2)画树状图如下：由树状图可知共有4种等可能的结果，其中正确的有1种，∴小丽回答正确的概率为41.19.解：(1)抽查了九年级学生数：5÷0.1=50(人)，20≤x＜30的人数：50×=20(人)，即a=20，30≤x＜40的人数：50﹣5﹣21﹣20=4(人)，b==0.08，故答案为20，0.08；(2)该九年级排球垫球测试结果小于10的人数450×(1﹣0.1)=405(人)，答：该九年级排球垫球测试结果小于10的人数为405人；(3)列表如下∴P (选出的2人为一个男生一个女生的概率)==．20.解：(1)共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有3种，∴游戏不公平．修改规则：若抽到的两张牌面图形都是中心对称图形(或若抽到的两张牌面图形都是轴对称图形)，则小明获胜，否则小亮获胜．。
北师大版九年级数学上册知识点总结
九（上）数学知识点答案第一章证明（一）1、你能证明它吗？（1）三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、（2）等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。
判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
或者三个角都相等的三角形是等边三角形。
（4）含30度的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2、直角三角形（1）勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。
（3）直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）3、线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
（2）三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。
4、角平分线（1）角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
九年级上册数学练习册答案北师大版
九年级上册数学练习册答案北师大版一、整数与有理数1. 整数的概念和表示整数是指正整数、0和负整数的集合，用符号“+”表示正数，“-”表示负数。
整数的表示方法有三种：数轴表示、有符号数表示和温度表示。
2. 整数的加法与减法整数的加法规则：正数与正数相加、负数与负数相加，结果仍为整数。
正数与负数相加，取绝对值大的数的符号作为结果的符号。
整数的减法规则：正数与正数相减，结果为正数；负数与负数相减，结果为负数；正数与负数相减，相当于加上相反数。
具体计算时需先化简，再根据题目要求减法或加法。
3. 整数的乘法与除法整数的乘法规则：正数与正数相乘为正数，负数与负数相乘为正数，正数与负数相乘为负数。
整数的除法规则：正数除以正数为正数，负数除以负数为正数，正数除以负数为负数，负数除以正数为负数。
4. 有理数的乘方与开方有理数的乘方规则：正数的乘方结果仍为正数，负数的乘方结果为正数或负数，零的非零次方结果为0。
有理数的开方规则：非负数的算术平方根为非负数，负数的算术平方根为虚数。
5. 相反数与倒数相反数是指绝对值相等而符号相反的两个数。
例如，2的相反数为-2。
倒数是指一个数除以1的结果。
例如，2的倒数为1/2。
二、方程式与方程式的应用1. 一元一次方程式一元一次方程式是指形如ax + b = 0的方程式。
解一元一次方程式需要使用逆运算来消去系数。
例如，若方程式为2x + 3 = 0，则可通过将3移到右侧，再除以2来解得x = -3/2。
2. 一元一次方程式组一元一次方程式组是指多个一元一次方程式的集合。
解一元一次方程式组需要使用消元法或代入法。
消元法是通过逐步消去未知数，并得到最后的解。
代入法是将一元一次方程式的解带入另一个方程式中，从而求得其他未知数的值。
3. 二元一次方程式组二元一次方程式组是指两个未知数的一次方程式组。
解二元一次方程式组需要使用消元法、代入法或加减法。
消元法是通过逐步消去一个未知数，从而得到另一个未知数的值。
2020-2021学年九年级数学北师大版上册 第1章 1.2-1.3同步课时练习习题含答案
1.2矩形性质和判定的运用第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（共10小题，3*10=30）1．点D 是等腰Rt △ABC 斜边BC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，若BC ＝2，则四边形AEDF 的周长是( )A ．1B ．2C ．3D ．222．如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB 交AD 于点M ，若OM ＝3，BC ＝10，则OB 的长为()A ．5B ．4 C.342 D.343．如图，将矩形纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 落在AD 边的中点C′处，点B 落在点B′处，其中AB ＝9，BC ＝6，则FC′的长为( ) A.103 B ．4 C ．4.5 D ．54．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，AC 于点E ，O ，连接CE ，则CE 的长为( )A．3 B．3.5 C．2.5 D．2.85. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝6，BC＝8，则△ABO的周长为( ) A．16 B．18 C．20 D．226．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，M是CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折得到△ANM，若AN平分∠MAB，则折痕AM的长为( )A．3 B．2 3C．3 2 D．67.如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接AC，AF，CE，当CA＝CB时，判断四边形AECF是( )A．平行四边形B．矩形C．菱形D．任意四边形8. 如图，矩形ABCD 的顶点A ，C 分别在直线a ，b 上，且a ∥b ，∠1＝60°，则∠2的度数为( ) A ．30° B ．45°C ．60°D ．75°9．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，已知下列6个条件：①AB ∥CD ；②AB ＝DC ；③AC ＝BD ；④∠ABC ＝90°；⑤OA ＝OC ；⑥OB ＝OD.则不能使四边形ABCD 成为矩形的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②⑤⑥D ．④⑤⑥10. 如图，矩形OABC 的顶点O 与原点重合，点A ，C 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为(－5，4)，点D 为BC 边上一动点，连接OD ，若线段OD 绕点D 顺时针旋转90°后，点O 恰好落在AB 边上的点E 处，则点E 的坐标为( )A ．(－5，3)B ．(－5，4)C ．(－5，52)D ．(－5，2)第Ⅰ卷（非选择题）二．填空题（共8小题，3*8=24）11. 将一个含30°的角的直角三角尺(∠AMF＝90°)按如图所示放置在矩形纸板上，已知矩形纸板的长是宽的2倍，点M是BC边的中点，则∠AFE的度数为____.12. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为_______.13．如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为(4，3)，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为．14. 如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，已知AD＝4 cm，图中阴影部分的面积总和为6 cm2，则对角线AC的长为________cm.15．如图，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3 cm/s和2 cm/s，则最快____s后，四边形ABPQ成为矩形．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B 落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为__________17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝度．18. 如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是__________三．解答题（共7小题，46分）19．(6分)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE⊥AD，垂足为E.求证：AE＝CE.20. (6分) 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O.过点C作BD的平行线，过点D作AC 的平行线，两直线相交于点E.(1)求证：四边形OCED 是矩形；(2)若CE ＝1，DE ＝2，求菱形ABCD 的面积．21. (6分) 在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E ，F 分别在AD 及其延长线上，CE ∥BF ，连接BE ，CF.(1)求证：△BDF ≌△CDE ；(2)若DE ＝12BC ，试判断四边形BFCE 是怎样的四边形，并证明你的结论．22．(6分) 如图，在▱ABCD 中，点P 是AB 边上一点(不与A ，B 重合)，CP ＝CD ，过点P 作PQ ⊥CP ，交AD 边于点Q ，连接CQ.(1)若∠BPC ＝∠AQP ，求证：四边形ABCD 是矩形；(2)在(1)的条件下，当AP＝2，AD＝6时，求AQ的长．23．(6分) 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF.(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．24．(8分) 如图，矩形ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，且BE＝DF，连接EF，与BC，AD分别相交于P，Q两点．(1)求证：CP＝AQ；(2)若BP＝1，PQ＝22，∠AEF＝45°，求矩形ABCD的面积．25．(8分) 如图，在▱ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM′与NN′，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连接EF.(1)求证：四边形EFNM是矩形；(2)已知：AE＝4，DE＝3，DC＝9，求EF的长．参考答案1-5 BDDCA6-10 BBCCA11. 15°12. 2.513. (0，43) 14. 515. 416. 18517. 22.518. 4.819.证明：如图，过点B作BF⊥CE于点F.∵CE⊥AD，∴∠D＋∠DCE＝90°.∵∠BCD＝90°，∴∠BCF＋∠DCE＝90°，∴∠BCF＝∠D.在△BCF和△CDE中，∠BCF＝∠D，∠BFC＝∠CED＝90°，BC＝CD，∴△BCF≌△CDE(AAS)，∴BF＝CE.∵∠A＝90°，CE⊥AD，BF⊥CE，∴四边形AEFB是矩形，∴AE＝BF，∴AE＝CE.20. 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°.∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∠COD＝90°，∴▱OCED 是矩形(2)由(1)知，▱OCED 是矩形，则CE ＝OD ＝1，DE ＝OC ＝2.∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ＝2OC ＝4，BD ＝2OD ＝2，∴菱形ABCD 的面积为12AC·BD ＝12×4×2＝4 21. 解：(1)证明：∵CE ∥BF ，∴∠CED ＝∠BFD.∵D 是BC 边的中点，∴BD ＝DC.在△BDF 和△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFD ＝∠CED ，∠BDF ＝∠CDE ，BD ＝DC ，∴△BDF ≌△CDE(AAS)(2)四边形BFCE 是矩形．证明：∵△BDF ≌△CDE ，∴DE ＝DF ＝12EF. ∵BD ＝DC ，∴四边形BFCE 是平行四边形．∵DE ＝12BC ＝12EF ，∴BC ＝EF ，∴平行四边形BFCE 是矩形 22. (1)证明：∵∠BPQ ＝∠BPC ＋∠CPQ ＝∠A ＋∠AQP ，又∵∠BPC ＝∠AQP ，∴∠CPQ ＝∠A.∵PQ ⊥CP ，∴∠CPQ ＝∠A ＝90°.又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠CPQ ＝90°.在Rt △CDQ 和Rt △CPQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧CQ ＝CQ ，CD ＝CP ，∴Rt △CDQ ≌Rt △CPQ(HL)． ∴DQ ＝PQ.设AQ ＝x ，则DQ ＝PQ ＝6－x.在Rt △APQ 中，AQ 2＋AP 2＝PQ 2，∴x 2＋22＝(6－x)2，解得x ＝83.∴AQ 的长是8323. 解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，∴∠FAE ＝∠CDE ，∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE ，又∵∠FEA ＝∠CED ，∴△FAE ≌△CDE ，∴CD ＝FA ，又∵CD ∥AF ，∴四边形ACDF 是平行四边形(2)BC ＝2CD.证明：∵CF 平分∠BCD ，∴∠DCE ＝45°，∵∠CDE ＝90°，∴△CDE 是等腰直角三角形，∴CD ＝DE ，∵E 是AD 的中点，∴AD ＝2DE ＝2CD，∵AD ＝BC ，∴BC ＝2CD 24. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠ABC ＝∠C ＝∠ADC ＝90°，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠E ＝∠F.∵BE ＝DF ，∴AE ＝CF.在△CFP 和△AEQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠A ，CF ＝AE ，∠F ＝∠E ，∴△CFP ≌△AEQ(ASA)，∴CP ＝AQ(2)∵AD ∥BC ，∴∠PBE ＝∠A ＝90°.∵∠AEF ＝45°，∴△BEP ，△AEQ 是等腰直角三角形，∴BE ＝BP ＝1，AQ ＝AE ，∴PE ＝2BP ＝2，∴EQ ＝PE ＋PQ ＝2＋22＝32，∴AQ ＝AE ＝3，∴AB ＝AE －BE ＝2.∵CP ＝AQ ，AD ＝BC ，∴DQ ＝BP ＝1，∴AD ＝AQ ＋DQ ＝3＋1＝4，∴矩形ABCD 的面积＝AB ·AD ＝2×4＝825. 解：(1)过点E ，F 分别作AD ，BC 的垂线，垂足分别是G ，H.∵∠3＝∠4，∠1＝∠2，EG ⊥AD ，EM ⊥CD ，EM ′⊥AB∴EG ＝ME ，EG ＝EM′，∴EG ＝ME ＝EM′＝12MM′ 同理可证：FH ＝NF ＝N′F ＝12NN′，∵CD ∥AB ，MM ′⊥CD ，NN ′⊥CD ，∴MM ′＝NN′，∴ME ＝NF ＝EG ＝FH ，又∵MM′∥NN′，∴四边形EFNM 为平行四边形，又∵MM′⊥CD ，∴▱EFNM 是矩形(2)∵DC ∥AB ，∴∠CDA ＋∠DAB ＝180°，∵∠3＝12∠CDA ，∠2＝12∠DAB ， ∴∠3＋∠2＝90°，在Rt △DEA ，∵AE ＝4，DE ＝3，∴AD ＝32＋42＝5.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠DAB ＝∠DCB ，又∵∠2＝12∠DAB ，∠5＝12∠DCB ，∴∠2＝∠5， 由(1)知GE ＝NF ，在Rt △GEA 和Rt △NFC 中⎩⎪⎨⎪⎧∠2＝∠5，∠EGA ＝∠FNC ＝90°，GE ＝NF ，∴△GEA ≌△NFC ，∴AG ＝CN.在Rt △DME 和Rt △DGE 中，∵DE ＝DE ，ME ＝GE ，∴△DME ≌△DGE ，∴DG ＝DM ，∴DM ＋CN ＝DG ＋AG ＝AD ＝5，∴MN ＝CD －DM －CN ＝9－5＝4.∵四边形EFNM是矩形．∴EF＝MN＝41.3 正方形的性质与判定一、选择题（共10小题，3*10=30）1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )A．对角线相等B．对角线平分一组对角C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直2．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )A．∠D＝90°B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD3．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB交BC于点E，若AD＝8 cm，则OE的长为( )A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm4．在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB边的中点是坐标原点O，将正方形绕点C按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B′的坐标是()A．(－1，2) B．(1，4)C．(3，2) D．(－1，0)5．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ABE，则∠BED为( )A．15° B．35° C．45° D．55°6. 如图，四边形ABCD是正方形，延长AB至点E，使AE＝AC，则∠BCE的大小是( ) A．67.5° B．22.5° C．30° D．45°7．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC的度数为( ) A．45° B．55° C．60° D．75°8．如图，点P是正方形ABCD的边AB上一点(不与A，B重合)，连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°得线段PE，连接BE，则∠CBE等于( )A．75° B．60° C．45° D．30°9．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( ) A．14 B．15 C．16 D．1710．如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE与BF相交于点O，有下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF.其中错误的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共8小题，3*8=24）11．已知正方形ABCD的对角线AC＝4，则这个正方形的面积是_______．12. 如图，点E，F分别在正方形ABCD的边DC，BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG＝AB，则∠EAF＝°.13．如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2.14．若一个正方形和一个等腰三角形有相同的周长，等腰三角形的边长分别为5.6 cm和13.2 cm，则这个正方形的面积为________．15．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，则此正方形的面积为_______．16．如图，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点D(5，3)在边AB上，以点B为中心，把△BCD逆时针旋转90°，旋转后点D的对应点D′的坐标是___________．17．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF＝20°，则∠AED ＝______度．18．如图，将五个边长都为1的正方形如图摆放，其中点A，B，C，D分别是正方形对角线的交点，如果将n个边长为1的正方形这样摆放，那么阴影部分的面积和是．三．解答题（共7小题，46分）19．(6分) 如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E，F分别在AB，BC上(AE<BE)，且∠EOF ＝90°，OE，DA的延长线交于点M，OF，AB的延长线交于点N，连接MN. 若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．20．(6分)如图，在正方形ABCD中，点G为BC边上任意一点，连接AG，过B，D两点分别作BE ⊥AG，DF⊥AG，垂足分别为E，F.求证：△ADF≌△BAE.21．(6分) 如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE，AF，EF. 求证：△ABE≌△ADF.22．(6分)如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G. 求证：△ADG≌△DCE.23．(6分)如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G. 连接BF，证明：AB＝FB.24. 24．(8分)已知，在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交直线CB，DC于点M，N，AH⊥MN于点H. 求证：AH＝AB25．(8分) 如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形．(1)求证：△BCG≌△DCE；(2)求证：BG⊥DE.参考答案1-5CDBCC 6-10BCCCA11. 812. 4513. 814. 64 cm215. 1816. (7，5)17. 6518. n－1 419. 解：过点O作OH⊥AD于点H.∵正方形ABCD的边长为4，∴OH＝HA＝2.∵E为OM的中点，∴HM＝4.∴OM＝22＋42＝2 5.∴MN＝2OM＝210.20. 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝AB，∠1＋∠2＝90°.∵BE⊥AG，DF⊥AG，∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°.∴∠2＝∠3，∠1＝∠4.∴△ADF ≌△BAE.21. 证明：∵ 四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADC ＝∠ADF ＝90°.在△ABE 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠ABE ＝∠ADF ，BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF(SAS)．22. 证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADG ＝∠C ＝90°，AD ＝DC.又∵AG ⊥DE ，∴∠DAG ＋∠ADF ＝90°＝∠CDE ＋∠ADF.∴∠DAG ＝∠CDE.∴△ADG ≌△DCE(ASA)．23. 证明：如图，延长DE 交AB 的延长线于H ，∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE.又∵∠C ＝∠HBE ＝90°，∠DEC ＝∠HEB ，∴△DCE ≌△HBE(ASA)．∴BH ＝DC ＝AB ，即B 是AH 的中点．又∵∠AFH ＝90°，∴BF ＝12AH ＝AB.24. 证明：如图，延长CB 至E ，使BE ＝DN ，连接AE.∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠ABE ＝∠D ＝90°，∴Rt △AEB ≌Rt △AND ，∴AE ＝AN ，∠EAB ＝∠NAD ， ∴∠EAN ＝90°.又∵∠MAN ＝45°，∴∠EAM ＝∠NAM. 又∵AM ＝AM ，∴△AEM ≌△ANM.又∵AB ，AH 是△AEM 和△ANM 对应边上的高，∴AB ＝AH.25. 证明：(1)∵四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形， ∴∠BCD ＝∠GCE ＝90°，BC ＝CD ，CG ＝CE ，∴∠BCD ＋∠DCG ＝∠GCE ＋∠DCG ，即∠BCG ＝∠DCE.在△BCG 与△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝CD ，∠BCG ＝∠DCE ，CE ＝CG ，∴△BCG ≌△DCE(SAS)．(2)∵△BCG ≌△DCE ，∴∠HBC ＝∠ODH.∵∠BHC＝∠DHO，∠HBC＋∠BHC＝90°，∴∠ODH＋∠DHO＝90°，∴∠DOH＝90°，∴BG⊥DE.。
北师大版初三上数学课后答案
北师大版九年级上册数学第4页练习答案解：因为在菱形ABCD中，AC±BD于点O，所以∠AOB=90°.在Rt△ABO中，OB=√(AB^2-AO^2 )=√(5^2-4^2 )=3（cm）.因为在菱形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，所以BD=2OB=6cm.1.11.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AB,BC//AD,∴∠B+∠BAD=180°（两直线平行，同旁内角互补）.∵∠BAD=2∠B,∴∠B+2∠B=180°，∴∠B=60°.∵BC=AB，∴△ABC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形的等边三角形）.2.解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC=CB=BA,∴AC±BD,AO=1/2 AC= 1/2×8=4，DO= 1/2 BD= 1/2×6=3.在Rt△AOD中，由勾股定理，得AD=√(AO²+DO²)=√(4²+3²)=5.∴菱形ABCD的周长为4AD=4×5=20.3.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB,AC±BD，DO=BO,∴△ABD是等腰三角形，∴AO是等腰△ABD 低边BD上的高，中线，也是∠DAB的平分线，∴AC平分∠BAD.同理可证AC平分∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC.4.解：有4个等腰三角形和4个直角三角形.第7页练习答案解，所画菱形AB-CD如图1-1-32所示，使对角线AC=6cm，BD=4cm.1.21.证明：在□ABCD中，AD//BC,∴∠EAO=∠FCO（两直线平行，内错角相等）.∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=CO.在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF.∵AE//CF,∴四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.∵EF±AC,∴四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.2.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC±BD,OA=OC,OB=OD.又∵点E,F,G,H,分别是OA,OB,OC,OD 的中点，∴OE=1/2OA,OG=1/2 OG,OF= 1/2 OB,OH= 1/2 OD,∴OE=OG,OF=OH,∴四边形EFGH是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.∵AC⊥BD,即EG⊥HF,∴平行四边形EFGH是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.3.解：四边形CDC′E是菱形.证明如下：由题意得，△C′DE≌△CDE.所以∠C′DE=∠CDE,C^' D=CD,CE=C^' E.又因为AD//BC,所以∠C′DE=∠CED,所以∠CDE=∠CED,所以CD=CE（等角对等边），所以CD=CE=C′E=C′D,所以四边形CDC′E是菱形（四边相等的四边形是菱形）.第9页练习答案1.解：（1）如图1-1-33所示.∵四边形AB-CD是菱形，∴AB=BC=CD=DA=1/4×40=10（cm）.∵对角线AC=10cm，∴AB=BC=AC,∴△ABC是等边三角形，∴∠B=∠BAC=∠ACB=60°.∵AD//BC,∴∠BAD+∠B=180°，∴∠BAD=180°-∠B=180°-60°=120°，∴∠BCD=∠BAD=120°，∠D=∠B=60°.（2）如图1-1-34所示，连接BD，交AC于点O，∴AO=1/2 AC= 1/2×10=5（cm）.在Rt△AOB中，∠AOB=90°，由勾股定理，得BO=√(AB^2-AO^2 )=√(〖10〗^2-5^2 )=5√3 （cm），∴BD=2BO=2×5√3=10√3 （cm），∴这个菱形另一条对角线的长为10√3 cm.2.证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，∴∠B=90°-∠BAC=90°-60°=30°.∵FD是BC的垂直平分线，∴EB=EC,∴∠ECB=∠B=30°（等边对等角）.∴∠ECA=∠ACB-∠ECB=90°-30°=60°.在△AEC中，∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠AEC=180°-∠EAC-∠ECA=180°-60°-60°=60°. ∴△AEC是等边三角形，∴AC=CE.在Rt△BDE中，∠BDE=90°，∴∠BED=90°-∠B=90°-30°=60°.∴∠AEF=∠BED=60°（对顶角相等）.∵AE=CF,AF=CE,∴AF=AE,∴△AEF是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）.∴AF=EF，∴AF=EF=CE=AC,∴四边形ACEF是菱形（四边相等的四边形是菱形）.1.31.证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD,AB=CB,∠A=∠C.∵BE=BF,∴AB-BE=CB-BF,即AE=CF.在△ADE和CDF中，.（2）∵△ADE≌△CDF,∴DE=DF,∴∠DEF=∠DFE（等边对等角）.2.已知：如图1-1-35所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是对角线.求证：S菱形ABCD=1/2 AC∙BD.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO.∴S△AOB=S△AOD=S△BOC=S△COD=1/2 AO.BO.∴S菱形ABCD=4×1/2 AO∙BO= 1/2×2AO∙2BO=1/2 AC∙BD.3.解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴∠AOB=90°，AO= 1/2 AC= 1/2×16=8，BO= 1/2 BD= 1/2×12=6. 在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=√(AO^2+BO^2 )=√(8^2+6^2 )=10.∵S菱形ABCD=1/2 AC∙BD= 1/2×16×12=96，又∵DH⊥AB,∴S菱形ABCD=AB∙DH,∴96=AB∙DH,即96=10DH,DH=9.6.∴菱形ABCD的高DH为9.6.4.证明：∵点E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD,的中点，∴GF是△ADC的中位线，EH是△ABD的中位线，∴GF//AD,GF=1/2 AD,EH//AD,EH=1/2AD,∴GF//EH,GF=EH,∴四边形EGFH是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），又∵FH是△BDC的中位线，∴FH=1/2 BC.又∵AD=BC,∴GF=FH,∴平行四边形EGFH是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.5.略第13页练习答案解：在矩形ABCD中，AO=4，BD=AC=2AO=8.因为∠BA=90°，所以在Rt△BAD中，由勾股定理，得AD=√(BD^2-AB^2 )=√(8^2-6^2 )=2√7.所以BD与AD的长分别为8与2√7.1.41.解：如图1-2-33所示，设这个矩形为ABCD，两条对角线相交于点O，OA=OB=3.在△AOB中，∠OAB=∠OBA=45°，于是∠AOB=90°，AB=√(OB^2+OA^2 )=3√2,同理AD=3√2,所以BC=AD=3√2AB=DC=3√2所以这个矩形的各边长都是3√2.2.解：如图1-2-34所示，设这个矩形AB-CD两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AC=BD=15，∴AO=1/2AC=7.5，BO=1/2 BD=7.5，∴OA=OB,∴△AOB是等边三角形，∴AB=7.5.3.解：四边形ADCE是菱形.证明如下：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=1/2 AB,AD= 1/2 AB,∴AD=CD.∵AE//CD,CE//AD,∴四边形ADCE是平行四边形.又∵AD=CD,∴平行四边形ADCE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）4.已知：如图1-2-35所示，在△ABC中，BO为AC边上的中线，BO=1/2 AC.求证：△ABC是直角三角形.证明：如图1-2-35所示，延长BO到D，使BO=DO,连接AD,CD.∵AO=CO,BO=DO,∴四边形ABCD是矩形.∴∠ABC=90°.∴△ABC是直角三角形.第16页练习答案证明：∵四边形ABCDS是平行四边形，∴AB=DC.∵M是AD的中点，∴AM=DM.又∵MB=MC，∴△ABM≌△DCM（SSS）,∴∠A=∠D.又∵AB//DC,∴∠A+∠D=180°，∴∠A=∠D=90°.∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.1.51.解：（1）四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.（2）当△ABC是直角三角形，即∠BAC=90°时，四边形ABEC是矩形.2.解：四边形ACBD是矩形.证明如下：如图1-2-36所示.∵CD//MN,∴∠2=∠4.∵BD平分∠ABN,∴∠1=∠4，∴∠1=∠2，∴OB=OD（等角对等边）.同理可证OB=OC,∴OC=OD.∵O是AB的中点，∴OA=OB,∴四边形ACBD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.又∵BC平分∠ABM,∴∠3=1/2∠ABM.∵BD平分∠ABN,∴∠1= 1/2∠ABN.∵∠ABM+∠ABN=180°，∴2∠3+2∠1=180°，∴∠3+∠1=90°，即∠CBD=90°.∴平行四边形ACBD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）3.解：做法如下：如图1-2-37所示，（1）连接AC,BD;（2）过A,C两点分别作EF//BD,GH//BD;（3）同法作FG//AC,EH//AH,与EF,GH交于四个点E，F,G,H,则矩形EFGH即为所求，且S矩形EFGH=2S菱形ABCD.第18页练习答案证明：∵四边形ABCD是由两个全等的等边三角形ABD和CBD组成，∴AB=AD=CD=BC,∴四边形ABD和CBD组成，∴AB=AD=CD=BC,∴四边形ABCD是菱形.∵M,N分别是BC和AD的中点，∴DN=1/2 AD,BM= 1/2 BC,∴DN=BM.∵BN=DM, ∴四边形BMDN是平行四边形.∴∠DBN=1/2∠ABD= 1/2×60°=30°，∠DBM=60°，∴∠NBM=∠DBN+∠DBM=30°+60°=90.∴平行四边形BMDN是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.1.61.解：在矩形ABCD中，AC=BD=4，∠ABC=90°，∠ACB=30°，∴AB= 1/2 AC= 1/2×4=2.在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=√(AC^2-AB^2 )=√(4^2-2^2 )=2√3.∴S矩形ABCD=BC∙AB=2√3×2=4√3.2.解：在矩形ABCD中，∠BAD=90°，即∠BAE+∠EAD=90°.∵∠EAD=3∠BAE,∴∠BAE+3∠BAE=90°，∠BAE=22.5°.∴∠EAD=3∠BAE=3×22.5°=67.5°.∵AE⊥BO,∴∠AEB=90°,∴∠BAE+∠ABE=90°，即22.5°+∠ABE=90°，∴∠ABE=67.5°.∵AC=BC,OA=1/2 AC,OB= 1/2 BD,∴OA=OB,∴∠OAB=∠ABE=67.5°.∵∠EAO+∠BAE=∠OAB,∴∠EAO=∠OAB-∠BAE=67.5°-22.5°=45°.3.证明：∵D是BC的中点，∴BD=CD.∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE//BC,AE=BD,ED=AB（平行四边形的性质）.∴AE=CD.∵AE//CD,∴四边形ADCE是平行四边形（一组对边平行且相等的平行四边形是矩形）.∵AB=AC，∴ED=AC,∴平行四边形ADCE是矩形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.※4.解：将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合得到的图形如图1-2-38所示.折痕为EF，则AE=CE,EF垂直平分AC，连接AC交EF于点O，在矩形ABCD中，∠B=90°，BC=8cm，设CE=x cm，则AE=x cm，BE=BC-CE=（8-x）cm.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE²=AB²+BE²,X²=6²+（8-x）²，解得x=25/2，即EC=25/4cm.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√(AB^2+BC^2 )=√(6^2+8^2 )=10cm.∴OC=1/2=AC=1/2×10=5cm.∵EF⊥AC,∴∠EOC=90°.在Rt△EOC中，由勾股定理，得EO²=EC²-OC²,EO=√(EO^2-OC^2 )=√(（25/4）^2-5^2 )=15/4 cm，∴折痕EF=2EO=2× 15/4=15/2 cm.※5.解：如图1-2-39所示，连接PO.S矩形ABCD=AB.BC=3×4=12.在Rt△ABC中，AC=B√(AB²+BC²)=√(3²+4²)=5.又因为AC=BD,AO= 1/2 AC,DC= 1/2 BD,所以AO=DO=5/2.所以S△AOD=S△APO+S△POD= 1/2 AO.PE+ 1/2 DO∙PE= 1/2 AO（PE+PE）=1/2×5/2 （PE+PE）=5/4 （PE+PE）.又因为S△AOD= 1/4 S矩形ABCD= 1/4×12=3，所以5/4 （PE+PE）=3，解得PE+PE= 12/5.第21页练习答案1.解：以正方形的四个顶点为直角顶点的等腰直角三角形共有四个，以正方形的两条对角线的交点为顶点的等腰直角三角形也有四个，所以共有八个等腰直角三角形.2.：△ADF≌△ABF,△DCF≌△BCF,△ADC≌△ABC.以△ADF≌ABF为例加以证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB,∠DAF=∠BAF.∵AF=AF,∴△ADF≌ABF（SAS）.1.71.解：设正方形的边长为为想x cm，则x²+x²=2²，解得x=√2，即正方形的边长为√2 cm.2.解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠DCB=90°，AB=BC=DC.∵△CBE是等边三角形，∴BE=EC=CB,∠EBC=∠ECB=60°.∴∠ABE=30°.∴AB=BE,∴∠AEB=BAE=(180°-∠ABE)/2=(180°-30°)/2=75°.3.证明：如图1-3-24所示，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=D,∠BAD=∠D=90°，AB=DA.∵PD=QC,∴AP=DQ。
2021-2022学年北师大版九年级数学上册正方形的性质习题含答案
北师版九年级数学上册1.3.1正方形的性质一、选择题（共10小题，3*10=30）1．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是()A．∠D＝90°B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD2．正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )A.四条边都相等B．对角线互相垂直平分C．对角线相等D．对角线平分一组对角3．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BED的度数为( )A．15° B．35° C．45° D．55°4．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( )A．14 B．15 C．16 D．175．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是( )A．45° B．22.5° C．67.5° D．75°6. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是()A．1 B．2 C．3 D．47．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE ＋PF 的值为( )A ．4B ．2 2C ． 2D ．28．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD 的内角，正方形ABCD 变为菱形ABC′D′.若∠D′AB ＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD 的面积之比是( )A ．1B ．12C ．22D ．329．如图，正方形ABCD 的边长为1，点E ，F 分别是对角线AC 上的两点，EG ⊥AB.EI ⊥AD ，FH ⊥AB ，FJ ⊥AD ，垂足分别为G ，I ，H ，J.则图中阴影部分的面积等于 ( )A ．1B ．12C ．13D ．1410．如图，正方形ABCD 的边AB 上有一动点E ，以EC 为边作矩形ECFG ，且边FG 过点D.在点E 从点A 移动到点B 的过程中，矩形ECFG 的面积( )A ．先变大后变小B ．先变小后变大C ．一直变大D ．保持不变 二．填空题（共8小题，3*8=24）11．如图，在正方形ABCD 中，E 是对角线BD 上一点，AE 的延长线交CD 于点F ，连接CE.若∠BAE ＝56°，则∠CEF ＝________．12. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有_______个13．如图，在正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝4，EC＝2，则AE的长为_______．14．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上的一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是_______.15．如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME＝.16．如图，正方形ABCD的边长为1，点E在边DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，F为垂足，那么FC＝__________.17．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为______.18．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M，N分别是DC，DF的中点，连接MN.若AB＝7，BE＝5，则MN＝__ __．三．解答题（共6小题，46分）19．(6分) 如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE ＝DF，连接AE和BF相交于点M. 求证：AE＝BF.20．(7分) 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边AD和CD上的点，且AE＝CF，连接AF，CE 交于点G.求证：AG＝CG.21．(7分) 如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE，AF，EF.(1)求证：△ABE≌△ADF；(2)若AE＝5，请求出EF的长．22．(8分) 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE.(1)求证：△BAE≌△CDE；(2)求∠AEB的度数．23．(8分) 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，且AF＝CE.(1)求证：△ABF≌△CBE；(2)若AB＝4，AF＝1，求四边形BEDF的面积．24．(10分) 如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF.(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)若正方形边长为4，AE＝2，求菱形BEDF的面积．参考答案1-5 DCCCB 6-10CCBBD11. 22° 12. 8 13. 213 14. 22.5° 15. 45° 16. 2 －1 17. 135° 18. 13 219. 解：在正方形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∵CE ＝DF ，∴BE ＝CF ，在△AEB 和△BFC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCF ，BE ＝CF ，∴△AEB ≌△BFC(SAS)，∴AE ＝BF 20. 证明：易证△ADF ≌△CDE(SAS)，∴∠DAF ＝∠DCE ，在△AGE 和△CGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GAE ＝∠GCF ，∠AGE ＝∠CGF ，AE ＝CF ，∴△AGE ≌△CGF(AAS)，∴AG ＝CG21. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADC ＝∠ADF ＝90°.又∵BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF(SAS)(2)由(1)知△ABE ≌△ADF ，∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠DAF ，∴∠EAF ＝∠DAF ＋∠EAD ＝∠BAE ＋∠EAD ＝90°，∴EF ＝ 2 AE ＝5 222. 解：(1)∵△ADE 为等边三角形，∴AD ＝AE ＝DE ，∠EAD ＝∠EDA ＝60°，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠CDA ＝90°，∴∠EAB ＝∠EDC ＝150°，在△BAE 和△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，∠EAB ＝∠EDC ，AE ＝DE ，∴△BAE ≌△CDE(SAS) (2)∵AB ＝AD ，AD ＝AE ，∴AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∵∠EAB ＝150°，∴∠AEB ＝12 (180°－150°)＝15°23. 解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝CB ，∠A ＝∠C ＝90°.在△ABF 和△CBE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠A ＝∠C ＝90，AF ＝CE ，∴△ABF ≌△CBE(SAS) (2)由已知可得S 正方形ABCD ＝16，S △ABF ＝S △CBE ＝12×4×1＝2.所以S 四边形BEDF ＝16－2×2＝1224. 解：(1)连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC ，OD ＝OB ＝OA ＝OC ，∵AE ＝CF ，∴OA －AE ＝OC －CF ，即OE ＝OF ，∴四边形BEDF 为平行四边形，又∵BD ⊥EF ，∴▱BEDF 为菱形(2)∵正方形边长为4，∴BD ＝AC ＝42，∵AE ＝CF ＝2，∴EF ＝AC －22＝22，∴S 菱形BEDF＝12BD·EF ＝12×42×22＝8。
北师大版九年级上册数学第二章 一元二次方程 含答案
北师大版九年级上册数学第二章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、解一元二次方程x2﹣8x﹣5=0，用配方法可变形为（）A.（x+4）2=11B.（x﹣4）2=11C.（x+4）2=21D.（x﹣4）2=212、用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0方程可变形为（）A.（x+1）2=4B.（x﹣1）2=4C.（x+1）2=6D.（x﹣1）2=63、用配方法解方程x2-4x+1=0，下列变形正确的是（）A.（x-2）2=4B.（x-4）2=4C.（x-2）2=3D.（x-4）2=34、用配方法解方程x2﹣8x+7=0，配方后正确的是（）A.（x﹣4）2=7B.（x﹣4）2=11C.（x﹣4）2=9D.（x+4）2=75、解方程，可用配方法将其变形为（）A. B. C. D.6、一元二次方程x2+6x﹣6=0配方后化为（）A.（x﹣3）2=3B.（x﹣3）2=15C.（x+3）2=15D.（x+3）2=37、一元二次方程配方后可化为（）A. B. C. D.8、用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（）A.（x+ ）2=B.（x+ ）2=C.（x﹣）2=D.（x﹣）2=9、方程x2=x的根是( )A.x1=+1,x2=-1 B.x1=0,x2=1 C.x=1 D.x=010、方程x2﹣2x﹣4=0的一较小根为x1，下面对x1的估计正确的是（）A.﹣3＜x1＜﹣2 B.﹣2＜x1＜- C.﹣＜x1＜-1 D.﹣1＜x1＜011、用配方法解方程，配方正确的是（）A. B. C. D.12、给出以下方程的解题过程，其中正确的有（）①解方程（x﹣2）2＝16，两边同时开方得x﹣2＝±4，移项得x1＝6，x2＝﹣2；②解方程x（x﹣）＝（x﹣），两边同时除以（x﹣）得x＝1，所以原方程的根为x1＝x2＝1；③解方程（x﹣2）（x﹣1）＝5，由题得x﹣2＝1，x﹣1＝5，解得x1＝3，x2＝6；④方程（x﹣m）2＝n的解是x1＝m+ ，x2＝m﹣．A.0个B.2个C.3个D.4个13、用配方法解一元二次方程x2-8x+2=0，此方程可化为的正确形式是（）.A.（x-4）2=14B.（x-4）2=18C.（x+4）2=14D.（x+4）2=1814、一元二次方程x2﹣8x+48＝0可以表示成（x﹣a）2＝b的形式，其中a，b 为整数，则a+b＝（）A.40B.﹣36C.﹣32D.﹣2815、用配方法解方程：x2-4x+2=0，下列配方正确的是（）A.（x-2）2=2B.（x+2）2=2C.（x-2）2=-2D.（x-2）2=6二、填空题(共10题，共计30分)16、若两数和为-7，积为12，则这两个数是________.17、已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若则的值是________．18、关于x的一元二次方程(a＋3)x2＋x＋a2－9＝0的一个根是0，则a的值为________.19、关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则m的值是________.20、一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一根，则此三角形的周长是________.21、方程x2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为________.22、方程的根为________．23、若，是一元二次方程的两个实数根，则________．24、若方程mx2+3x-4=3x2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是________25、已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则a2+2ab+b2的值为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、已知实数a满足，求的值.27、已知方程x2﹣2x﹣15=0的两个根分别是a和b，求代数式（a﹣b）2+4b（a ﹣b）+4b2的值．28、12月6日，我县举行了商品订货交流会，参加会议的每两家公司之间都签订了一份合同，所有参会公司共签订了28份合同，共有多少家公司参加了这次会议？29、已知三角形的两边长分别是1cm和2cm，第三边的长是方程2x2﹣5x+3=0的两根，求这个三角形的周长．30、现有一块长20cm，宽10cm的长方形铁皮，在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形，用剩余的部分做成一个底面积为56cm2的无盖长方体盒子，请求出剪去的小正方形的边长．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、D3、C4、C5、B6、C7、B8、A9、B10、C11、D12、A13、A14、D15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、30、。
北师大版九年级上册数学第二章 一元二次方程含答案(合集)
北师大版九年级上册数学第二章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、将方程x2－6x＋1＝0配方后，原方程变形（）A.(x－3) 2＝8B.(x－3) 2＝－8C.(x－3) 2＝9D.(x－3) 2＝－92、方程2x2﹣4x+1=0的解是（）A. B. C. D.3、用配方法解方程3x2﹣6x+1=0，则方程可变形为（）A.（x﹣3）2=B.3（x﹣1）2=C.（3x﹣1）2=1D.（x﹣1）2=4、用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是（）A.（x+4）2=﹣7B.（x+4）2=﹣9C.（x+4）2=7D.（x+4）2=255、一元二次方程x2+4x＝﹣3用配方法变形正确的是（）A.（x﹣2）＝1B.（x+2）＝1C.（x﹣2）＝﹣1D.（x+2）＝﹣16、用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（）A.（x﹣2）2＝5B.（x﹣2）2＝3C.（x+2）2＝5D.（x+2）2＝37、方程（x﹣1）（x﹣2）=1的根是（）A.x1=1，x2=2 B.x1=﹣1，x2=﹣2 C.x1=0，x2=3 D.以上都不对8、用配方法解一元二次方程x2-4x=4时，此方程可变形为（）A.（x+2）2＝1B.（x-2）2＝0C.（x+2）2=9D.（x-2）2＝89、小丽同学想用公式法解方程-x2+3x=1，你认为a、b、c的值应分别为（）A. 、3、B. 、3、1C. 、、D.1、、10、方程3x2-5x-2=0的两个根是（）A.1,B.2,C.D.-2,11、一元二次方程配方后可化为（）A. B. C. D.12、用配方法解方程3x2﹣9x+1=0时，配方结果正确的是（）A.（x+ ）2=B.（x﹣）2=C.（x﹣）2=D.（x﹣）2=13、已知4个数据：−，2 ，a，b，其中a、b是方程-2x-1=0的两个根，则这4个数据的中位数是（）A.1B.C.2D.14、若方程x2﹣8x+m＝0可通过配方写成（x﹣n）2＝6的形式，则x2+8x+m＝5可配方成（）A.（x﹣n+5）2＝1B.（x+ n）2＝1C.（x﹣n+5）2＝11 D.（x+ n）2＝1115、用配方法解下列方程时，配方正确的是（）A.方程x 2﹣6x﹣5=0，可化为（x﹣3）2=4B.方程y 2﹣2y﹣2015=0，可化为（y﹣1）2=2015C.方程a 2+8a+9=0，可化为（a+4）2=25D.方程2x 2﹣6x﹣7=0，可化为二、填空题(共10题，共计30分)16、若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________．17、百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品要涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，每个涨价多少元？设每个涨价x元，可列方程为________18、已知x=1是关于x的一元二次方程2x2+kx-1=0的一个根，则实数k值是________。
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北师大版九年级上册数学第4页练习答案解：因为在菱形ABCD中，AC±BD于点0,所以/ AOB=90 .在Rt 4XB0 中，0B=/(AB A2 -A0A2 )=V(5A2-4A2 )=3 (cm).因为在菱形ABCD中，对角线AC , BD互相平分，所以BD=2OB=6cm.1.1 1.证明：•••四边形ABCD 是菱形，••• BC=AB,BC//AD, •••/ B+Z BAD=180 (两直线平行，同旁内角互补).•••/ BAD=2 Z B, •••/ B+2 Z B=180°B=60°. •/ BC=AB，• △ ABC是等边三角形(有一个角为60°的等腰三角形的等边三角形).2•解：•••四边形ABCD 是菱形，• AD=DC=CB=BA, • AC±BD,AO=1/2 AC= 1/2 X8=4，DO= 1/2 BD=1/2 >6=3.在Rt△AOD 中，由勾股定理，得AD=V(AO2+DO2)=V(42+32)=5；.菱形ABCD 的周长为4AD=4X 5=20.3. 证明：•••四边形ABCD是菱形，• AD=AB,AC± BD，DO=BO, •△ ABD是等腰三角形，• AO是等腰△ABD低边BD上的高，中线，也是Z DAB的平分线，• AC平分Z BAD.同理可证AC平分Z BCD,BD平分Z ABC和Z ADC.4. 解：有4个等腰三角形和4个直角三角形.第7页练习答案图1亠1亠321.21.证明：在口ABCD中，AD//BC, ；Z EAO= Z FCO (两直线平行，内错角相等)•/ EF 是AC 的垂直平分线，••• AO=CO.在AAOE 和A COF 中,•••△ AOE COF （ASA ）,• AE=CF. •/ AE//CF,•••四边形AFCE 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）••• EF 士AC, •四边形AFCE 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）2. 证明：•••四边形 ABCD 是菱形，• AC 士BD,OA=OC,OB=OD.又•••点 E,F,G,H,分别是 OA,OB,OC,OD 的中点，• OE=1/2OA,OG=1/2 OG,OF= 1/2 OB,OH= 1/2 OD, • OE=OG,OF=OH,•四边形EFGH 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）••• AC 丄BD,即EG 丄HF, •平行四边形EFGH 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）3. 解：四边形CDC E 是菱形.证明如下：由题意得，△ DE^A CDE.所以/ C DE=/ CDE,C A ' D=CD,CE=C A ' E.又因为 AD//BC,所 以/C DE=/ CED,所以/ CDE= / CED,所以CD=CE （等角对等边），所以 CD=CE='CE=C D,所以 四边形CDC E 是菱形（四边相等的四边形是菱形）.第9页练习答案1. 解：（1）如图 1-1-33 所示.•••四边形 AB-CD 是菱形，• AB=BC=CD=DA=1/4： •••对角线 AC=10cm ，• AB=BC=AC, ABC / BAC= /ACB=60•/AD//BC, •••/ BAD+ / B=180，•/ BAD=180 -/ B=180° -60 °120°，• / BCD= / BAD=120，/ D= / B=60° .ZEAD= ZFCO,A0 二 CO,ZAOE = COE40=10 (cm )1-1-33 D（2）如图 1-1-34 所示，连接 BD ，交 AC 于点 0,二 A0=1/2 AC= 1/2 X10=5 （cm ）在 Rt △XOB 中，/ AOB=90，由勾股定理，得 B0=/（AB A 2 -A0A 2 ）=2（〖10〗A 2-5A 2 ）=5 V 3 （cm ）, ••• BD=2BO=2 5/3=10/3 （cm ）,二这个菱形另一条对角线的长为10/3 cm.2. 证明：在 Rt △XBC 中，/ ACB=90，/ BAC=60 ， •••/ B=90° - / BAC=90 -60 °=30° .•/ FD 是BC 的垂直平分线，• EB=EC, •••/ ECB= / B=30° （等边对等角）.•••/ ECA= / ACB- / ECB=90 -30 ° =60° .在A AEC 中，/ EAC+ / ECA+ / AEC=180，•/AEC=180 -Z EAC- / ECA=180 -60 °-60 ° =60°.•••△ AEC 是等边三角形，• AC=CE.在 RtZ\BDE 中，Z BDE=90 ，• Z BED=90 -Z B=90° -30 °=60° .•/ AEF= Z BED=60 （对顶角相等）.•/ AE=CF,AF=CE, • AF=AE,• △ AEF 是等边三角形（有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形）.• AF=EF ，• AF=EF=CE=AC, •四边形ACEF 是菱形（四边相等的四边形是菱形）.1.3 1.证明：（1 ）•••四边形ABCD 是菱形，• AD=CD,AB=CB, Z A= Z C.•/ BE=BF, • AB-BE=CB-BF,即 AE=CF.AD = m/ \= j C, ■ * A ADE = A CDF （SAS ）+AE =（X（2）•△ ADECDF, • DE=DF, •••/ DEF= Z DFE （等边对等角）在△ADE 和CDF 中,2. 已知：如图1-1-35所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是对角线.求证：S 菱形ABCD=1/2 AC?BD.证明：•四边形ABCD 是菱形，二AC 丄BD,AO=CO,BO=DO.二S A AOB=S A AOD=S ABOC=S △COD=1/2 AO.BO.••• S 菱形ABCD=4 1/2 AO?BO= 1/2 X 2AO?2BO=1/2 AC?BD.3•解：在菱形ABCD 中，AC 丄BD，•/ AOB=90 , AO= 1/2 AC= 1/2 X6=8 , BO= 1/2 BD= 1/2 X2=6. 在Rt /△AOB 中，由勾股定理，得AB*(AO A2+BO A2 )=V(8A2+6A2 )=10.•/ S 菱形ABCD=1/2 AC?BD= 1/X 16X 12=96 ，又••• DH 丄AB, • S 菱形ABCD=AB?DH,•96=AB?DH,即96=10DH,DH=9.6.•菱形ABCD的高DH为9.6.4. 证明：•••点E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD,的中点，• GF是△ADC的中位线，EH是△ABD的中位线，• GF//AD,GF=1/2 AD,EH//AD,EH=1/2AD,•GF//EH,GF=EH, •四边形EGFH是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，又••• FH 是Z\BDC 的中位线，• FH=1/2 BC.又•/ AD=BC, • GF=FH, •平行四边形EGFH是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形)5•略第13页练习答案解：在矩形ABCD中，AO=4，BD=AC=2AO=8.因为/ BA=90，所以在Rt△BAD中，由勾股定理，得AD=/(BDA2 -ABA2 )= V(8人2-6人2 )=2 V7.所以BD与AD的长分别为8与2V7.1.41. 解：如图1-2-33所示，设这个矩形为ABCD，两条对角线相交于点O, 0A=0B=3.在△AOB中，/ OAB= / OBA=45，于是/ AOB=90 , AB*(OB A2+OA A2 )=3V2,同理AD=3/2,所以BC=AD町2 AB=DC=3/2所以这个矩形的各边长都是3/ 2.2. 解：如图1-2-34所示，设这个矩形AB-CD 两条对角线相交于点O,/AOB=60 ，AC=BD=15，二AO=1/2AC=7.5，BO=1/2 BD=7.5，二OA=OB,•••△ AOB是等边三角形，••• AB=7.5.3. 解：四边形ADCE是菱形.证明如下：在Rt△ABC 中，/ ACB=90 ，D 为AB 的中点，• CD=1/2 AB,AD= 1/2 AB,•AD=CD. •/ AE//CD,CE//AD, •四边形ADCE 是平行四边形.又•/ AD=CD, •平行四边形ADCE是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形)4. 已知：如图1-2-35所示，在△ABC中，BO为AC边上的中线，BO=1/2 AC.求证：△ABC是直角三角形.证明：如图1-2-35所示，延长BO到D,使BO=DO,连接AD,CD.•/AO=CO,BO=DO, •四边形ABCD 是矩形.•/ ABC=90 .•△ ABC是直角三角形.第16页练习答案证明：•••四边形ABCDS是平行四边形，• AB=DC.•/ M 是AD 的中点，• AM=DM.又丁MB=MC，•△ ABM DCM (SSS)•••/ A= / D.又J AB//DC, A+ / D=180，•/ A=/ D=90 .•平行四边形ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形) .1.5l.解：（1）四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）（2）当MBC是直角三角形，即/ BAC=90时，四边形ABEC是矩形.A2. 解：四边形ACBD是矩形.证明如下：如图1-2-36所示.T CD//MN, •••/2= / 4.T BD 平分/ ABN, A/ 1 = / 4 ,二/ 1 = / 2,二OB=OD （等角对等边）.同理可证OB=OC, • OC=OD. •/ O 是AB 的中点，• OA=OB,•••四边形ACBD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）又••• BC 平分/ ABM, •••/ 3=1/2 / ABM. J BD 平分/ ABN, 1= 1/2 / ABN.•••/ ABM+ / ABN=180 , • 2 / 3+2 / 仁180°，• / 3+ / 仁90° 即/CBD=90 .•平行四边形ACBD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）3. 解：做法如下：如图1-2-37所示，（1）连接AC,BD;（2 ）过A,C 两点分别作EF//BD,GH//BD;（3）同法作FG//AC,EH//AH,与EF,GH交于四个点E，F,G,H,则矩形EFGH即为所求，且S矩形EFGH=2S 菱形ABCD.第18页练习答案证明：•••四边形ABCD是由两个全等的等边三角形ABD和CBD组成，• AB=AD=CD=BC, •四边形ABD 和口CBD 组成，• AB=AD=CD=BC,•四边形ABCD 是菱形.J M,N 分别是BC 和AD 的中点，• DN=1/2 AD,BM= 1/2 BC, • DN=BM. J BN=DM,•四边形BMDN是平行四边形.•••/DBN=1/2 / ABD= 1/2X 60° =30°，/ DBM=60，•/ NBM= / DBN+ / DBM=30 +60° =90.•平行四边形BMDN是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）1.61.解：在矩形ABCD 中，AC=BD=4，/ ABC=90，/ ACB=30 ，• AB= 1/2 AC= 1/2 X=2.在Rt△ABC 中，由勾股定理，得BC=7(AC A2 -AB A2 )= V(4A22A2 )=2 V3.••• S 矩形ABCD=BC?AB V3X 2=4V3.2. 解：在矩形ABCD 中，/ BAD=90，即/ BAE+ / EAD=90 .•••/ EAD=3 / BAE, BAE+3 / BAE=90，/ BAE=22.5 .•••/ EAD=3 / BAE=X 22.5 °=67.5 °. v AE 丄BO, AEB=90，•/ BAE+ / ABE=90，即22.5 °+ /ABE=90，•/ ABE=67.5 ° .•/ AC=BC,OA=1/2 AC,OB= 1/2 BD, • OA=OB, OAB= / ABE=67.5 .•••/ EAO+ / BAE= / OAB, •••/ EAO= / OAB- / BAE=67.5 -22.5 °=45°.3. 证明：v D是BC的中点，• BD=CD.v•四边形ABDE是平行四边形，• AE//BC,AE=BD,ED=AB (平行四边形的性质).• AE=CD.v AE//CD, •四边形ADCE是平行四边形(一组对边平行且相等的平行四边形是矩形)v AB=AC ,• ED=AC, •平行四边形ADCE是矩形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)探4.解：将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合得到的图形如图1-2-38所示.折痕为EF，则AE=CE,EF垂直平分AC，连接AC交EF于点O,在矩形ABCD中，/ B=90° ,BC=8cm，设CE=x cm，贝U AE=x cm，BE=BC-CE= ( 8-x) cm.在Rt /△ABE 中，由勾股定理，得AE2=AB2+BE2,X2=62+ ( 8-x) 2 解得x=25/2，即EC=25/4cm.在Rt /△ABC 中，由勾股定理，得AC=V(ABA2+BCA2 )=V(6人2+8人2 )=10cm.• OC=1/2=AC=1/X 10=5cm.v EF丄AC, EOC=90 .在Rt△EOC中，由勾股定理，得EO2=EC2-OC2,EO=V冋人2 6人2 )= V(25/4 )人2-5人2 )=15/4 cm，•折痕EF=2EO=X 15/4=15/2 cm. 探5.解：如图1-2-39所示，连接PO.S 矩形ABCD=AB.BC X 4=12.在Rt MBC 中，AC=V(AB2+BC2)*(32+42)=5.又因为AC=BD,AO= 1/2 AC,DC= 1/2 BD,所以AO=DO=5/2.所以S A AOD=S A APO+S APOD= 1/2 AO.PE+ 1/2 DO?PE= 1/2 AO (PE+PE )=1/2 X/2 (PE+PE ) =5/4 (PE+PE ).又因为S △AOD= 1/4 S 矩形ABCD= 1/4 X12=3，所以5/4 (PE+PE ) =3，解得PE+PE= 12/5.第21页练习答案1. 解：以正方形的四个顶点为直角顶点的等腰直角三角形共有四个，以正方形的两条对角线的交点为顶点的等腰直角三角形也有四个，所以共有八个等腰直角三角形2. : AADF ABF, ADCF BCF, AADC ABC.以△ADF幻ABF为例加以证明：•••四边形ABCD是正方形，••• AD=AB, / DAF= / BAF. vAF=AF, •••△ ADF 幻ABF (SAS ).1.7 1.解：设正方形的边长为为想x cm，则x2+x2=22,解得x= V2,即正方形的边长为V2 cm.2. 解：v•四边形ABCD 是正方形，•/ ABC= / DCB=90 ，AB=BC=DC.•/△ CBE 是等边三角形，• BE=EC=CB, / EBC= / ECB=60 .•••/ ABE=30 .•AB=BE,•••/ AEB=BAE=(180 - / ABE)/2=(180 ° -30 °)/2=75 °.3. 证明：如图1-3-24所示，•••四边形ABCD是正方形，•AD=D, / BAD= / D=90，AB=DA.•/ PD=QC,•AP=DQ•••△ ABP DAQ.•BP=AQ, / 1 = / 2.•••/ 2+ / 3=90°，•••/ 1+ / 3=90°，即BP丄AQ.探4.解：过正方形两条对角线的交点任意做两条互相垂直的直线，即可将正方形分成大小，形状完全相同的四部分.答案不唯一，如图1-3-25所以方法仅供参考第24页练习答案答案：满足对角线垂直的矩形是正方形或有一组邻边相等的矩形是正方形满足对角线相等的菱形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形证明结论如下:(1)对角线垂直的矩形是正方形.(2)已知：如图1-3-7 (1)多事，四边形ABCD是矩形，AC,BD是对角线，且AC丄BD.求证：四边形ABCD是正方形.证明：•••四边形ABCD是矩形，••• AC平分BD.又•/ AC丄BD，• AC是BD的垂直平分线.• AB=AD. •四边形ABCD是正方形.(4)有一个角是直角的菱形是正方形.已知，如图1-3-7 (4)所示，四边形ABCD是菱形，/ A=90° .求证：四边形ABCD是正方形.证明：•••四边形ABCD是菱形，.••四边形ABCD是平行四边形.又•••/ A=90°，•四边形ABCD是矩形.又AB=BC，•矩形ABCD是正方形.1.81 .答案：对角线相等的菱形是正方形.已知：如图1-3-7 (3)所示，四边形ABCD是菱形，AC,BD是对角线，且AC=DC.求证：四边形ABCD是正方形.证明：•••四边形ABCD是菱形，• AD=BC.又•/ AB=BA,BD=AC, ABD BAC (SSS ).:丄 DAB= / CBA.又•••AD//bc, •••/ dab+ / cba=180° .•/ DAB= / CBA=90 .•四边形ABCD是正方形.2.证明：•••四边形ABCD是正方形，• AD=CB,AD//CB,•••/ ADF= / CBE.在△ADF 和=/ CBE 中，AD 二CB h{/血DF= ^CBE.BE = Df•••△ ADF◎△ CBE (SAS ),••• AF=CF, / AFD= / CEB.•••/ AFD+ / AFE=180，/ CEB+ / CEF=180 ,•••/ AFE= / CEF （等角的补角相等）.•AF//CE （内错角相等，两直线平行）.•四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）•/ AD=AB,•••/ ADF= / ABE.在△AFD和AEB中，f AD = AB,j/ADF= ZABE,I DF= BE,•••△ AFDAEB （SAS）.•AF=AE,•四边形AECF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）3. 解：四边形EFGH是正方形.在正方形ABCD 中，AB=BC=CD=AD, / A= / B= / C= / D=90 .因为AE=BF=CG=DH,所以AB-AE=BC-BF=CD-CG=AD-DH,即BE=CF=DG=AH.所以MEH BFE CGF DHG （SAS），所以/ AEH,HE=EF=FG=GH.所以四边形EFGH 是菱形.因为/ AEH+ / AHE=90 ，所以/ DHG+ / AHE=90 ，所以/ EHG=90，所以菱形EFGH是正方形.4. 解：重叠部分的面积等于正方形ABCD面积的1/4.证明如下：重叠部分为等腰直角三角形时，重叠部分为面积为正方形ABCD面积的1/4，即SZ^\OB=S ABOC=S △COD=S Z^\OD= 1/4S 正方形ABCD.重叠部分为四边形是，如图1-3-26所示.设OA与AB相交于点E,OC与BC相交于点F.•••四边形ABCD是正方形，•OA=OB, / EAO= / FBO=45 ，AO 丄BD.又•••/ AOE=90 -Z EOB, / BOF=90 -Z EOB, •••/ AOE= Z BOF,•••△ AOE BOF.••• S^AOE+S △BOE=S △BOE+S△BOE,•S Z\AOB=S 四边形EBFO.又:S △AOB=1/4 S 正方形EBFO.•S四边形EBFO=1/4 S正方形ABCD.第一章复习题1. 解：设该菱形为菱形ABCD，两对角线交于点O,则△AOB为直角三角形，直角边长分别为2cm和4cm，则有勾股定理，得AB*(OA A2+OB A2 )=V(2A2+4A2 )=2 V5 (cm),即林习惯的边长为2V 5 cm.2. 解：由OA=OB V2/2 AB,可知OAA2+OBA2=ABA2,则/AOB=90 .因为OA=OB=OC=OD,所以AC,BD互相垂直平分且相等，故四边形ABCD必是正方形.3. 解：不一定是菱形，因为也可能是矩形.4. 已知：如图1-4-20所示，菱形BACD中，对角线AC,BD相交于点O,AC=6Ocm，周长为200cm. 求(1) BD的长；(2)菱形的面积.图1 -4-20 1-4-21解：(1)因为菱形四边相等，对角线互相垂直平分，所以AB=1/4X 200=50 (cm)，AC 丄BD 且OA=OC= 1/2 AC= 1/2 X60=30 (cm )，OB=OD.在Rt△AOB 中，OB* (AB2-AO2)=V (502302)=40 ( cm).所以BD=2OB=80cm.(2) S 菱形ABCD=1/2 AC?BD= 1/2 X60X B0=2 400 (cmA2 ).5. 已知：如图1-4-21所示，在四边形AB-CD，对角线AC丄BD,E,F,P,Q 分别为边AB,BC,CD,DA 的中占I 八、、■求证：四边形EFPQ为正方形.证明：••• E,Q分别为B,AD的中点，■同理EP^BUEF坐ACrEQ^PP.•••四边形EFPQ为平行四边形.•/ AC=BD, • EF=EQ.•□ EFPQ为菱形.•/ AC 丄BD, • EF 丄EQ.•••/ QEF=90 .•菱形EFPQ是正方形.6. 解T AC=EC, CEA= / CAE.由四边形ABCD 是正方形.得AD//BE,•••/ DAE= / CEA= / CAE.又/ DAC= / DAE+ / CAE=45 ,•••/ DAE=1/2 / DAC= 1/2X 45°=22.5 °.7. 解：(1 )是正方形，因为对角线相等的菱形必为正方形.(2 )是正方形，因为这个四边形的对角线相等，四条边也相等.8. 证明：如图1-4-22所示，| 囲卜4吃2 图•/ AD 平分/ BAC, •••/ 1 = / 2.•/ DE//AC, 2= / 3.:丄 1= / 3. • AE=DE.•/ DE//AC,DF//AB,•:四边形AEDF是平行四边形.又AE=DE, : □ AEDF 是菱形.9. 证明：如图1-4-23所示，•/ BE 丄AC,ME 为Rt ABEC 的中线，• ME=1/2BC.同理MF=1/2BC, : ME=MF.10. 已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC=BD=I.求正方形的周长和面积.解：正方形ABCD中,AB=BC, / B=90°在RtMBC 中，AB2+BC2=AC2,2AB2=I2所以AB*2/2I.所以正方形的周长=4AB=4XV 2/2 l=2 V2 四边形ABCD=AB A2= （V2/2 ）A2=1/2 I A2.11. 证明：J CP//BD,DP//AC,•••四边形CODP是平行四边形.•••四边形ABCD是矩形，• AC=BD.•/ OC=1/2 AC,OD= 1/2 BD, • OC=OD•••四边形CODP是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）12. 证明：•••四边形ABCD是矩形，•AC=BD.•/ OA=OC,OB=OD,又••• AM=BP=CN=DQ,•OA-AM=OC-CN,即OM=ON,OB-BP=OD-DQ,即OP=OQ,•四边形MPNQ是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）•/ AM+MN+NC=AC,BP+PQ+DQ=BD,•MN=PQ, •四边形MPNQ是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.13. 证明：在RtMBC 中，/ ACB=90 ，CD 平分/ ACB,•/ FCD=1/2 / ACB=45 .•/ DF 丄AC, DFC=90 .在Rt^CD 中，/ FDC=90 -Z FCD=90 -45 °=45°，•/ FCD= Z FDC, • FC=FD.•/ DE 丄BC, DEC=90 .•Z DFC= Z FCE= Z DEC=90 .•四边形DFCE是矩形（有个三角是直角的四边形是矩形）.••• FC=FD, •四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）14. 解：由AP=4t cm，CQ=l cm，•••四边形ABCD是矩形，•AB=DC-CQ= （20-t）cm.•DQ=DC-CQ= （20-t）cm.当四边形APQD是矩形时，则有DQ=AP,•20-t=4t，解得t=4•当t为4时，三角形APQD是矩形.15解：A BFD是等腰三角形，理由如下:•••四边形ABCD是矩形，••• AD//BC, •••/ ADB= / DBC.•••/ FBD= / DBC,•••/ FBD= / ADB, • BF=DF.•△ BFD是等腰三角形.16. 解由题意知，矩形ABCD幻矩形GCDF,•AB=FG,BC=GC,AC=FC,•••△ ABC FGC,•••/ ACB= / FCG.•••/ ACB+ / ACD=90 ,•••/ FCG+ / ACD=90 ,即/ ACF=90 .••• AC=CF, •△ ACF是等腰直角三角形.•••/ AFC=45 .17. 解不一定，因为还可能是菱形，若要判断这块纱巾是否为正方形，还需要检验对角线是否相等18. 证明：•••四边形ABCD是平行四边形，•BC//DA.•••/ DAB+ / ABC=180 .•/ AH 平分/ DAB,BH,平分/ ABC,•••/ HAB=1/2 / DAB, / HBA= 1/2 / ABC.•••/ HAB+ / HBA=90 .•••/ H=90 .同理可证/ F=90，/ HEF=90 .•四边形EFGH是矩形.19. 解：略.提示：如图1-4-24所示图形仅供参考.第32页练习答案1. 解：设直角三角形的三边长分别为m-1 , n, n+1 （n>1，且n为整数，）则（n-1 ）Kn2= （n+1 ）22. 解：•••（3x+2 ）2=4 （x-3 ）2,••• 9x2+12x+4-4x2 +24x-36=0 ,••• 5x2+36x-32=0.其中二次项系数为5, —次项系数为36，常数项为-32.（答案不唯一）3. 解：设竹竿长为x尺，则门框宽为（x-4 ）尺，高为（x-2 ）尺.由勾股定理，得（x-4 ） K （x-2）A2=x2，即x2-12x+20=0. 2.1 1.解：（1）设这个正方形的边长是xm，根据题意，得（x+5）（x+2 ）=54，即x2+7x-44=0.设这三个连续整数依次为x，x+1，x+2，根据题意，得x （x+1 ）+x （x+2 ）+ （x+1 ）（x+2）=242，即x2+2x-80=0.根据题意，得x （8-x）=15.整理，得x2-8x+15=0. 列表:答：可用16m长的绳子围城一个15m2的矩形，其次为5m，宽为3m.3•解：根据题意，得10+2.5t-5t2=5，即2t2-t-2=0. 列表：所以 1.2<t<1.3.答：他完成规定动作的事假最多不超过 1.3s.第34页练习答案解：设这五个连续整数第一个数为x，则另外四个数分别为x+1 , x+2, x+3 , x+4.根据题意,得（x+1）2-（x+2）2^x2=（x+3）Z（x+4）2整理，得x2-8x-20=0. 列表：••• x=-2 或x=10.因此这五个连续整数依次为-2 , -1,0,1,2或10,11,12,13,14.2.2 1.解：设苗圃的宽为xm ,则长为(x+2) m.根据题意，得x (x+2) =120 ,即卩x2+2x-120=0.列表：由表格知x=10.(当x=-12时，也满足方程，但不符合实际情况，故舍去) 答：苗圃的宽为10m，长为12m.2. 解：能.设矩形的长为xm，则宽为(8-x) m.第37页练习答案(1)x_1=5+V7, x_2=5- V7.(2)x_1=7+V57, x_2=7- V57.(3)x_1=( V 133)/2, x_2=- (V3+3)/2.(4)x_1=3+V 11 , x_2=3-V11.2.3 1.解：(1)移项，得x2+12x=-25.配方，得x2+12x+62=-25+36 , ( x+6 ) 2=11 ,即x+6=V 11 或x+6=- V11. • x_1=V 11-6, x_2=- V116.(2)配方，得x2+4x+22=10+22 , (x+2 ) 2=14 ,即x+2=V 14 或x2=- V14.•x_1=V 14-2, x_2=- V142.(3)配方，得x2-6x+ (-3) 2=11+ (-3) 2,( x-3 ) 2=20 ,即x-3=2V5 或x-3=- 2V5.•x_1=2V5+3 , x_2=- 2V5+3.(4)化简，得x2-9x=-19 ,配方，得x2-9x+ (-9/2) A2=-19+ (-9/2 ) A2 , ( x-9/2 ) A2=5/4 ,即x-9/2= V5/2 或x- 9/2=- V5/2•x_1=(9+V5)/2 , x_2=(9- V5)/2.2. 解：设道路的宽为xm，根据题意，得(35-x )( 26-x ) =850.整理，得X2-61X+ (-61/2 ) 2=-60+ (-61/2 ) 2•••( x-61/2 ) A2=(3 481)/4.开平方，得X- 61/2= ±9/2.解得x_1=1，x_2=60 (不合题意，舍去).答：道路的宽应为1m.3. 解：设增加69人后，增加的行数，列数都是乂，则(x+8 )(x+12 )整理，得x2+20x=69.配方.得x2+20x+102=69+102.(x+10 ) 2=169.开平方，得x+10=±13.解得x_1=3，x_2=-23 (不合题意，舍去)答：增加的行数，列数都是3.第39页练习答案解(1)移项，得3x2-9x=-2. 两边同除以3,得x2-3x=-2/3.配方，得(x-3/2 ) 2=19/12. 开平方，得x-3/2= ±V57/6.• x_1=(9+V57)/6，x_2=(9- V57)/6.=69+8X12.(2)移项，得2x2-7x=-6. 配方，得(x-7/4 ) 2=1/16. • x_1=2，x_2=3/2.(3)移项，得4x2-8x=3. 配方，得(x-1 ) 2=7/4. 两边同除以2，得X2-7/2 x=-3. 开平方，得x-7/4= ±/4.两边同除以4，得x2-2x=3/4. 开平方，得x-1 = ±V7/2.• x_1=(2+V7)/2，x_2=(2- V7)/2.2.4 1. (1) x_仁1，x_2=1/6. ( 2) x_仁3，x_2=-6/5.(3)x_1=4，x_2=-13/4.(4)x_1= (- 1+V21)/5, x_2=(-1- V21)/5.2. 解：设共有x只猴子，根据题意，得x= (1/8 x) 2+12.解得x1=16，答：共有16只或48只猴子.:_2=48.3.解：如图2-2-4所示，过点Q作QH丄AB,垂足为H. 设经过ts时，点P和点Q的距离是10cm. 则CQ=2tcm，AP=3tcm.•••四边形ABCD 是矩形，•••/ B= / C=90° .•••/ QHB=90 ，•四边形QHBC是矩形，•BH=CQ=2t，HQ=BQ=BC=6cm ，•PH=AB-AP-BH=16-3t-2t= (16-5t) cm.在Rt△3HQ 中，/ PHQ=90 ，由勾股定理，得PQ2=PH2+HQ2.当PQ=10cm 时，102= (16-5t) 2+62. •( 16-5t) 2=64，解得t_1=8/5，t_2=24/5，经检验：t_仁8/5s，t_2=24/5 s时都符合题意，所以当t_1=8/5 s和t_2=24/5 s时，点P和点Q 的距离是10cm.第43页练习答案1. 解：(1)原方程变形为2x2-7x+5=0，这里a=2，b=-7，c=5，•/ b24ab= (-7) A2-4 X2X5=9>0，•原方程变形为4x2-4x+3=0，这里a=4，b=-4，c=3，•/ b2=-32<0，•原方程没有实数根.(3)原方程变形为4y2-2.4y+0.36=0，这里a=4，b=-2,.4，c=0.36，•/ b2-4ac= (-2.4) 2-4 >4X0.36=5.76-5.76=0 ，•原方程有两个相等的实数根.2. 解：(1 )v a=2，b=-9，c=8，•b2-4ac= (-9) 24 >2X8=17>0，• x=(9+ V 17)/4,即x_仁(9+V17)/4，x_2=(9- V 17)/4.(2)v a=9，b=6，c=1，• b2-4ab=36-4 X9X1=0，•x=(-6 ±)/18=-1/3，即x_1= x_2=-1/2.(3)v a=16，b=8，c=-3，• b2-4ac=64-4 X6X (-3) =256，•x=(-8士V256)/32=(8 ±6)/32，即x_1=1/4，x_2=-3/4.(4)原方程化为x2-3x+5=0.■/ a=1，b=-3，c=5，• b2-4ac= (-3) 2-4 X X5=-11<0，•原方程没有实数根.3. 解：设中间的一条边长为n，则另两条边长分别为n-2和n+2.由勾股定理，得n2+ (n-2 ) 2= (n+2) 2解得n_1=8 , n_2=0 (不合题意，舍去).•••这个三角形的三条边分别为6,8,10.2.5 1.解：(1)原方程变形为5x2+x-7=0 ,这里a=5, b=1 , c=-7，因为b2-4ac=12-4 >5X(-7) =141>0 ,所以原方程有两个不相等的实数根.(2)这里a=25 , b=20 , c=4.因为b2-4ac=202-4 X5X4=0 ,所以原方程有两个相等的实数根.(3)原方程变形为4x2+3x+1=0 ,这里a=4 , b=3 , c=1，因为b2-4ac=32-4 XX1=-7<0 ,2. 解：(1 )v a=2 , b=-4 , c=-1 ,•b2-4ab=16-4 X2X (-1) =24>0 ,.• x=(- b±V(b A-4ac))/2a=(4 士2V6)/4•x_1=(2+V6)/2 , x_2=(2- V6)/2.(2)5x+2=3x2 变形为3x2-5x-2=0.T a=3 , b-5 , c=-2 ,•b2-4ac=25-4 X3X (-2) =49>0 ,•x=(-b士V (b4ac))/2a=(5 ±/6 ,•x_1=2 , x_2=-1/3.(3)( x-2 )( 3x-5 ) =1 变形为3x2-11x+9=0.■/ a=3 , b=-11 , c=9 ,•b2-4ac=121-108=13>0 ,•x=(- b士V (bA-4ab))/2a=(11 士V 13)/6.•x_1=(11+ V 13)/6 , x_2=(11- V 13)/6.(4) 0.2x2+5=3/2 x 变形为0.2x2-3/2 x+5=0 ,•/ a=0.2 , b=-3/2 , c=5 ,•b2-4ac= (-3/2) 2-4 X0.2 X5=-7/4<0 ,•原方程没有实数根.3. 解：设门的高为x尺，则宽为(x-6.8 )尺.根据题意，得102=x2+ (x-6.8 ) 2整理,得2x2-13.6x-53.76=0.解得x_1=9.6 , x_2=-2.8 (不合题意，舍去).••• x=9.6. ••• x-6.8=2.8.答：门的高度为9尺6寸，宽为2尺8寸.4. 解设木箱的长为x dm ,则宽为（x-5 ）dm，于是有8x （x-5）=528 ,解得x_1=11，x_2=-6 （不合题意，舍去）.所以x=11.所以x-5=11-5=6. 答：木箱的长为11dm，宽为6dm.第44页练习答案解：根据题意，得（16-x）（12-x ）=1/2 X16X12.解得x_1=24 （不合题意，舍去），x_2=4.x=4，•图中的x为4.2.6 1.解设金色纸边的宽是x cm，根据题意，得（90+2x ）（40+2x ）X72%=即x2+65x-350=0，解得x_仁5，x_2=-70 （不合题意，舍去）.答：金色纸边的宽是50cm.2. 解：设鸡场的一边（靠墙的一边）长为xm，则另外两边长均为（40-x）/2 m.（1）若x?（40-x）/2=180，解得x_1=20+2 V10 （不合题意，舍去），x_2=20- 2V10. •鸡场的面积能达到180m2.若x?（40-x）/2=200，解得x_仁x_2=20.•鸡场的面积能达到200m2.（2 ）若x?（40-x）/2=250，贝U x2-40x+500=0，方程无实数根.•鸡场的面积不能达到250m2.3. 解：设圆柱底面半径为Rem，贝U 15?2 n R+2n R2=200n 解得R_1=5，R_2=-0 （不合题意，舍去）.•••圆柱底面半径为5 cm.探4.解：如图2-3-2所示，过点P做x轴的垂线，垂足为M,根据题意，得S4）ab=S梯形pmob-S △boa-S Apma，即1/2 (1+a) X14-1/2 a2-1/2 XX (14-a) =18，解得a_1=3，a_2=12.所以a的值为3或12.90 X0，第47页练习答案1. 解：(1)(x+2 )(x-4) =0, x+2=0，或x-4=0,「. x_仁-2 , x_2=4.(2)解：移项的4x ( 2x+1 ) -3 (2x+1 ) =0 ,•••( 2x+1 )(4x-3 ) =0,••• 2x+1=0，或4x-3=0 , • x_1=-1/2 , x_2=3/4.2•解：设这个数为n ,贝U 2n27n=0 ,解得nj=0 , n_2=7/2.2.7 1.解：(1)( 4x-1 )( 5x+7 ) =0 ,4x-1= 0 ,或5x+7=0 ,•x_1=1/4 , x_2=-7/5.(2 )原方程可变形为3x (x-1) +2 (x-1 ) =0,即(x-1 )( 3x+2 ) =0 ,X-1=0 ,或3x+2=0 ,•x_1=1 , x_2=-2/3.(3)原方程可变形为(2x+3 )( 2x+3-4 ) =0 ,2x+3=0 ,或2x-1=0 ,•x_1=-3/2 , x_2=1/2.(4)原方程可变形为2 ( 2x-3) 2 (x+3)(x-3 ) =0 ,(x-3 )( 2x-6-x-3 ) =0 ,X-3=0 ,或x-9=0 ,•x_1=3 , x_2=9.2. 解：(1) 5 (x2-x) =3 (x2+x).化简，得2x2-8x=0,2x (x-4 ) =0 ,•2x=0 或x-4=0 , • x_1=0 , x_2=4.(2)( x-2) 2= (2x+3 ) 2移项，得(x-2) 2- (2x+3 ) 2=0,(x-2+2x+3 )( x-2-2x-3 ) =0 ,(3x+1 ) (-x-5) =0 ,•3x+1=0 或-x-5=0.•x_1=-1/3 , x_2=-5.(3)( x-2)( x-3) =12.化简，得x2-5x-6=0,T a=1 , b=-5 , c=-6 ,b24ac= (-5) 2-4 X1 X (-6) =49 ,••• x=(- (-5) ±V49)/(2 X 1)=(5 ±,7)/2二x_1=6 , x_2=-1.(4)2x+6= (x+3) 2,移项，得(x+3) 2- (2x+6 ) =0 ,(x+3) 2-2 (x+3) =0 ,(x+3)(x+3-2 ) =0,(x+3)( x+1) =0,x+3=0 或x+1=0 ,•x_1=-3 , x_2=-1.(5)2y2+4y=y+2 ,化简，得2y2+3y-2=0.•/ a=2 , b=3 , c=-2 ,•b2-4ac=32-4 XX (-2) =25.••• x=(-3±V25)/(2 X 2)=(5)/4,•x_1=1/2 , x_2=-2.3. 解：设原正方形空地上的边长为xm ,则(x-1 )(x-2) =12 , 解得x_1=5 , x_2=-12 ,解得x_1=5 , x_2=-2 (不和题意，舍去).故原正方形空地上的边长为5m.第50页练习答案1. 解：(1 )••• b2-4ac= (-3) 2-4 X X (-1) =13>0.•方程有两个不相等的实数根•设方程的两个实数根是x_1 , x_2 ,那么x_1+x_2=3 , x_1 x_2=-1.(2)v b2-4ac=22-4 XX (-5) =64>0 ,•方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根是x_1 , x_2 ,那么x_1+x_2=-2/3 , x_1 , x_2=-5/3.2. 解：它们的答案不确定.判断方法：••• b2-4ac=62-4 XX (-1 ) =72>0 ,•方程有两个不相等的实数根•设方程的两个实数根是x_1 , x_2 ,那么x_1+x_2=-2/3 , , x_1 x_2=-1/9.小明的答案中x_1+x_2= (-1/3 ) + (-1/3) =-2/3 ,x_1 x_2= (-1/3 ) X (-1/3 ) =1/9 工1/9,二小明的答案错误笑话的答案中x_1+x_2= (-3+3^2) + (-3-3^2) =-"213 ,x_1 x_2= (-3+3V2) (-3-3^2) =-9乂1/9 ,•••小华的答案错误.3. 解：设它的另一个根为x_1，根据一元二次方程根与系数的关系，得3x_仁-7 , x_1=-7/3，•它的另一个根是-7/3.2.8 1.解：(1)原方程变形为3x2-x-仁0,•/ b24ac= (-1) 24 X3X (-1) =13>0 ,•••方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根分别为x_1 , x_2 ,那么x_1+x_2=1/3 , x_1 x_2=-1/3.(2)原方程化简，2x2+6x-2=0,即x2+3x-1=0.•/ b2-4ac=32-4 XX (-1) =13>0 ,•方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根为x_1 , x_2 ,那么x_1+x_2=-3 , x_1 x_2=-1.2.解：(1)v a=12, b=7 , c=1 ,•b2-4ac=72-4 X2X1=1 ,••• x=(-7±V 1)/(2 X 1护±)/24,•x_1=-1/4 , x_2=-1/3.(2)原方程变形为0.8x2+x-0.3=0 ,T a=0.8 , b=1 , c=-0.3 ,•b2-4ac=12-4 X.8 X (-0.3 ) =1.96 ,••• x=(-1±V 1.96)/(2 X 0.8)=±.4)/1.6 ,•x_1=1/4 , x_2=-3/2.(3)原方程变形为3x2-2" 3 x+1=0.T a=3 , b=- 2V3 c=1 ,•b2-4ac= (-2"3) 2-4 X3X1=0 ,•x=(- (-2"3) ±V 0)/(2 X 3)=(2 V3)/6= V3/3.•x_1=x_2=V 3/3.(4)原方程化简，得x2-4x-8=0 ,配方，得x2-4x+ (-2) 2- (-2) 2-8=0 , ( x-2) 2=12 ,•x-2=±2V3. • x_仁2+2V3 , x_2=2- 2V3.3. 解：设方程5x2+kx-6=0的另一根为x_1 ,由根与系数的关系，得2x_1=-6/5，解得x_1=-3/5.当x_仁-3/5 时，2+ (-3/5) =-k/5.解得k=-7.所以它的另一个根为-3/5, k的值为-7.4. 解：J a=1，b=-17，c=66，二b24ac= (-17) 2-4 >1 >66=289-264=25>0 ,•••方程有两个不相等的实数根.设一元一次方程x2-17x+66=0的两个实数根分别为，x_1，x_2，由根与系数的关系，得x_1+x_2=17.••T7>20，不满足三角形的两边之和大于第三边，不能构成三角形，•这个三角形的第三边的长不可能是20.第52页练习答案解：设相遇时所走的时间为x，则102+ (3x) 2= (7x-10 ) 2.解得x_1=3.5，x_2=0 (不合题意，舍去).• x=3.5.•甲走了 3.5 >7=24.5 (步)，乙走了3.5 >3=10.5 (步).答：甲走了24.5步，乙走了10.5步.1. 解：设赛义得到的钱数为X，则少的一笔钱为20-x，根据题意，得x2-20x+96=0.解得x_1=12，x_(2=8)(不合题意，舍去).答：赛义德到的钱数为12.2. 解：设经过x s△pcq的面积为Rt A ACB面积的一半，根据题意，得1/2 ( 8-x)( 6-x) =1/2 X1/2 $X6.整理，得x2-14x+24=0.解得x_1=12 (不合题意，舍去)，x_2=2.答：经过2 s APCQ的面积为Rt MCB面积的一半.3. 解：设渠道深为x m，则渠低宽为(x+0.4 ) m，上口宽为(x+0.4+0.6 ) m.根据题意，得1/2 x【(x+0.4 ) + (x+0.4+0.6 )】=0.78，整理，得x2+0.7x-0.78=0.解得x_1=0.6，x_2=-1.3 (不合题意，舍去).答：渠深为0.6m.4. 解：设经过ts后P,Q两点相距25cm ,••• PC=2tcm , BQ=t cm , CQ=BC-BQ=25-t (cm).在Rt△3CQ 中，/ C=90，由古定理，得PQ2=PC2+CQ2,252=( 2t)2+( 25-t)2.解这个方程，得t_1=0 (不合题意，舍去)，t_2=10.二经过10s后P,Q两点相距25cm.第55页练习答案解：设每张贺年卡应降价x元，根据题意，得(0.3-x )( 500+X/0.05 X200 ) =180，整理，得400x2-70x+3=0.解得x_1=0.1，x_2=0.075 (不合题意，舍去).答：每张贺年卡应降价0.1元.2.10 1.解：设每件应降价x元，根据题意，得(44-x )( 20+5x ) =1600，整理，得x2-40x+144=0.解得x_1=4，x_2=36 (不合题意，舍去).答：每件应降价4元.2. 解设储藏x个星期岀售这批农产品可获利122 000元.根据题意，得(80-2X )( 1 200+200x ) -1 600X-64 000=122 000 ，化简，得x2-30x+225=0.解得x_1=x_2=15，所以储藏15个星期岀售这批农产品可获利122 000元.3. 解：设该市这两年自然保护区面积的年均增长率为x，则4.85%? (1+x ) A2=8%.解这个方程，得x_1 ~ 0.284=28.4%，x_2 弋2.284 (舍去).4. 解：设该商场11,12两个月营业额的月均增长率为x，根据题意，得2 500+2 500 (1+x) +2 500 (1+x) 2=9 100.解得x_1=0.2=20%，x_2壬3.2 (不合题意，舍去)所以该商场11,12两个月营业额的月均增长率为20%.第二章复习题1. 解：设其中一个数为X，则另一个数为x-4，则x (x-4 ) =45，解得x_仁9，x_2=-5.当x=9 是时，x-4=5 ;当x=-5 时，x_4=_9.答：这两个数为9和5，或-5和-9.2. 解：(1) x (x-14) =0 , x=0，或x-14=0 ,所以x_1=0，x_2=14.(2) x A2+12x+27=0，(x+3 )(x+9 ) =0，X+3=0，或x+9=0，所以x_1=-3，x_2=-9.(3) x2=x+56，x2x-56=0，(x+7)( x-8) =0，X+7=0，或x-8=0，所以x_1=-7，x_2=8.(4)x (5x+4) =5x+4，(5x+4 ) ( x-1) =0，5x+4=0，或x-1=0，所以x_1=-4/5，x_2=1.(5)4x2-45=31x，4x2-31x-45=0，(4x+5 ) ( x-9) =0，4x+5=0 ，或x-9=0 ，所以x_1=-5/4，x_2=9.(6)-3x2+22x-24=0，3x2-22x+24=0，(3x-4)( x-6 ) =0，所以x_1=4/3，x_2=6.(7)( x+8)( x+1 ) =-12，X2+9x+20=0 ，(x+4) (x+5) =0，X+4=0，或x+5=0，所以x_1=-4，x_2=-5.(8)(3x+2)(x+3) =x+14，3x2+10x-8=0，(3x-2)( x+4) =0,3x-2=0，或x+4=0，所以x_1=2/3，x_2=-4.3. (1)解法1 :原方程可化为x2+9x+18=0，(x+3)( x+6) =0，所以x_1=-3 , x_2=-6.(2)解：x2-2V5 x+2=0,X2-2V 5x=2,X2-2V5 x+5二2+5 ,(x-V5 2=3 , x-V5=±£3所以x_1=V5+V3 x_2=V5-V3.(3)解：(x+1 ) 2-3 (x+1 ) +2=0 ,(x+1-1 ) (x+1-2 ) =0 , (x-1) =0 ,所以x_1=0 , x_2=1.4. 解：(1 )v a=2 , b=1 , c=-1，二b2-4ac=12-4 >4X2 (-1) =9>0 ,•••方程有两个不相等的实数根.(2)原方程变形为4x2-4x+1=0 ,J a=4 , b=-4 , c=1 ,• b2-4ac= (-4) 24 >4X1=16-16=0 ,•方程有两个相等的实数根.(3 •/ a=7 , b=2 , c=3 , b2-4ac=22-4 XX3=-80<0 , •••方程没有实数根.*5.解：(1)J a=1 , b=-5 , c=-6 , b2-4ac= (-5) 2-4 X X (-6) =49>0 ,•方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根分别为x_1 , x_2.由根与系数的关系，得x_1+x_2=-b/a=-5/3 , x_1 x_2=c/a=1/3.6解：(1 )根据题意，得x2-13x+12=0 ,所以x1=1 , x_2=12 ,即当x=1或x=12时，代数式X2-13X+12的值等于0.(2)由题意，得x2-13x+12=42 ,所以x_1=15 , x_2=-2 ,所以当x=15或x=-2时，代数式X2-13X+12的值等于42.(3)由题意，得x2-13x+12=-4x2 +18 ,所以x_1=3 , x_2=-2/5 ,所以当x=3或x=-2/5时，代数式X213X+12的值与代数式-4x2+18的值相等.7. 解：设该公司这两年缴税的年均增长率为x , 由题意，得40 (1+X ) 2=48.4.解得x_1=0.仁10% , x_2=-2.1 (舍去).答:该公司这两年缴税的年均增长率为10%.8. 解：设原铁皮的边长为x cm , 则 4 (X-8 ) 2=400.当 y=3，即 3x+5=3 时，x=-2/3.解得x_1=18 , x_2=-2 (不合题意，舍去) 答：原铁皮的边长应为18cm.9.解：如图2-7-3所示，设小路宽为 xm ，由题意，得2x (15+2x ) +2X 20x=246. 整理，得 2x2+35x-123=0. 解得 x_1=3，x_2=-20.5 (舍去) 答：小路的宽为3m.10. 解：设每行的座位数为 x ，则总行数为x+16，依题意，得x (x+16 ) =1 161. (x-27)( x+43 ) =0.解得 x_1=27，x_2=-43 (舍去). 答：每行的座位数为27.11. 解：设其中一段长为x cm ，则另一段长为(56-x ) cm.(1 )由(x/4 ) 2b ((56+x)/4 ) 2=100，解得 x_1=24，x_2=32，所以一段长为 24cm ，另一段长为 32cm.(2 )由(x/4 ) 2^ ((56-x)/4 ) 2=196，解得 x_仁0 , x_2=56，所以不能剪开. (3 )由(x/4 )咎((56-x)/4 ) A 2=200，解得 x_仁28+4 V 51>56 (舍去)， X_2=28- 4V 51<0(舍去).所以面积之和不可能等于 200cmA2. 12. 解：令 3x+5=y ， 原方程可化为y2-4y+3=0 ,(y-1)(y-3) =0，解得 y_1=1，y_2=3. 当 y=1，即 3x+5=1 时，x=-4/3;所以原方程的解为x_1=-4/3 , x_2=-2/3.13. 解：把2+V3 代入x A2-4x+c=0 中，得（2+V3）A2-4 （2+V3） +cO.解得c=1.原方程的另一个根为2-V3, c的值为1.14. 解：当s=200 时，200=10t+3t2，解得t_1=20/3，t_2=-10 （不合题意，舍去），所以行驶200m需要的时间为20/3 s.15. 解法1 :设水渠宽为cm，根据题意，得（92-2x ）（60-x）=885$=92x+2 X60x-2x2，即x2106x+105=0.解得x_1=105 （舍去），x_2=1.答：水渠应挖1m宽.解法2:设水渠宽为xm，根据题意，得（92-2x ）（60-x）=885X6，即x2-106x+105=0.解得x_1=105 （舍去），x_2=1.答：水渠应挖1m宽.16. 解：设应多种x 颗桃树，由题意，得（100+x ）（1 000-2x ）=1 000 X00 X （1 + 15.2% ）. 整理，得X2-400X+7 600=0.解得x_1=380，x_2=20.又由题意知x=380不符合题意，故舍去，因此x只能为20.答：应多种20颗桃树，产量会增加15.2%.17. 解：设其中一条直角边长为x cm，则另一条直角边长为（x+1）cm，所以x2b （x+1 ）2=72.解得X_1=（V 971）/2，x_2=（- V971）/2 （舍去）.所以x+1=（V97-1）/2+1=（V97+1）/2.答：这两条直角边长分别为（V971）/2cm和（V97+1）/2cm.18. 解：设t时后侦察船可侦侦察到这艘军舰，根据题意，有（90-30t）2+ （20t）2=502.整理得13t2-54t+56=0.因为b2-4ac= （-54 ）2-4 X3X56=4>0，所以方程有实数根，即侦察船可侦察到军舰，解得t_仁2，t_2=28/13 （不合题意，舍去）.答：侦察船可侦察到军舰，最早在2时后可侦察到.19. 解：设到会人数为x，则有x （x-1）/2=66.整数得xA2-1x-132=0.解得x_1=12，x_2=-11 （不合题意，舍去）.答：这次会议到会的人数为12.20. 解：设点P (x, -2x+3 ), 一次函数y=-2x+3的图象交x轴于点A ( 3/2, 0),交y轴于点B (0,3 ). •••点P 在第一象限，••• x>0 , -2x+3>0 ,••• PD=x , PC=-2x+3.根据题意，得 S_矩形 OCPD=PD?PC=1 , x (-2x+3 ) =1. 化简，得-2x2+3x -仁0 ,解这个方程，得x_1=1 , x_2=1/2. 当 x=1 时，-2x+3=-2 X1+3=1 , •••点 P_1 (1,1)当 x=1/2 时，-2x+3=-2 X 1/2+3=2，•点 P_2 (1/2 , 2) . •当点 P_1(1,1 )或 P_2 (1/2 , 2)时，矩形OCPD 的面积为1.21.分析：由于距台风中心200km 的区域受影响，所以应考虑轮船与台风中心的距离是否超过 200km ,如果超过200km ，则会进入台风影响区.解：(1)这艘轮船不改变航向，他会进入台风影响区 .AC*(BC A 2 -BA A 2 )= "(500 〗A 2-〖300 〗A 2 )=400 (km ).当这艘轮船不改变航向时，轮船由 C 地到A 地的时间为400/30=13 ( h ), 台风中心由B 地到A 的时间为300/20=15 (h ).故轮船到达 A 地时，台风中心距离 A 地为300-20 X 40/3=331/3 (km ). 而331/3 km<200km ，所以这艘轮船不改变航向会进入台风影响区.(2)设从接到报警开始，经过th 这艘轮船就会进入台风影响区，则 CD=30t km , BE=20t km ,AD=AC-CD= (400-30t ) km ,AE=AB-BE= (300-20t ) km , DE=200km. 在Rt QAE 中，由勾股定理，得 AD2+AE2=DE2, 即(400-30t ) 2+ (300-20t ) 2=2002. 整理，得 13t2-360t+2 100=0 , 解得 t_1 ~ 8.35 t_2 ~ 19.34.所以从接到报警开始，经过 8.35h 它就会进入台风影响区.理由：如图2-7-4所示，在由勾股定理，得探22.解：设该银行一年定期存款的年利率是 X ,根据题意，得【2 000 （ 1+x ）-1 00】+【2 000 （1+x ） -1 000 】x=1 107.45.化简，得（1 000+2 000x ）（ 1+x ）=1 107.45 400x2+600x-21.49=0. 解这个方程，得x_1=0.035=3.5% ， x_2=-1.535 （不合题意，舍去）.所以该银行一年定期存款的年利率是 3.5%.第61页练习答案由表或树状图可知总共有 4中结果，每中结果岀现的可能性相同， 其中恰好是白色上衣和白色裤子的 结果有一种，所以，P （白色上衣和白色裤子）=1/4.3.1 1.解：列表如下:12 --------- ---------13 234（2 ）两张牌的牌面数字和为 3的概率最大. （3） P （和为 3） =3/4=1/2. 2. 解：列表如下:红球白球红球（红球•红球） （红球吊球） 白球（门球■红球） "白球•白球）由表可知：（1）两次都摸到红球的概率为1/4 ;—黑色. 白色红色 （红色"黑色）f 红色,白色）白色伯色,黑色） （白色，白色）解：列表如下:或画树状图如图3-1-13所示：（2） 连词摸到不同颜色的去的概率为 214=112.（3） 解：可能性相同.因为掷一枚硬币正反面朝上的概率都是1/2.第64页练习答案解：设三张大小一样而画面不同的画片分别为A,B,C,将岀现的可能结果列表如下:由表可知，岀现的总结过有 9种，能拼成原来的一幅画的结果有（A 上，A 下），（B 上，B 下，） （C 上, C 下）三种，所以P （两张恰好能拼成原来的一幅画） =3/9=1/3.3.2 1.解：将岀现的可能结果列表如下：由表可知， （1）两张牌的牌面数字和等于 1的概率为o ；（2）两张牌的牌面数字和等于 2的概率为1/9 ; （3 ）两张牌的牌面数字和为 4的概率最大； （4）两张牌的牌面数字和大于 3的概率是6/9=2/3. 2. 解：将岀现的可能结果列表如下：由表可知,（1）两人都左拐左拐的概率为 1/9 ;。