2020学而思教材讲义高一数学寒假(目标班、尖子班) 高一寒假 第2讲 与数列的第一次亲密接触 教师版 目标班

第2讲与数列的第一次

亲密接触

满分晋级

数列3级

等差数列深入

数列2级

数列的小伙伴们

数列1级

与数列的第一次

亲密接触

知识切片

<教师备案>本讲主要是数列的概念和等差数列的初步认识，包括等差数列的通项和求和公式，以及等

差数列最简单的几个性质，更多的性质会在春季同步时再深入研究．本讲内容较多，下讲内容较少，可以与下一讲作个时间上的均衡．

数列的引入

我们已经学习过整数、有理数和无理数，它们可以用来表示某些数量．不过有些时候，表示的会比较不一般．比如下面这个著名的问题（兔子问题）：1202年，意大利数学家斐波那契（Leonardo Fibonacci ）在他的一本书中提出的一个问题．一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来．如果所有兔子都不死，年初由一对初生的小兔子开始，一年以后共有多少对兔子？

要解决这个问题，我们可以列一个表： 时间（月） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 兔宝宝（对） 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 成熟兔（对） 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 兔总数（对） 1

1

2

3

5

8

13

21

34

55

89

144

如果我们只是单纯的写出最后的答案，我们会错过很多有趣的结论．我们将每个月最后的兔子数写成一列112358，，，，，，，就得到一列数，研究这一列数的规律，容易发现它们满足：从第3项起，每一项都等于前两项的和，由这条规律我们就可以知道两年后乃至若干年后的兔子总数了．这一列数就称为数列．还有很多其它的数列，各个数列其各自的项之间都有其内在关系和规律，研究数列的规律和性质是我们接下来两讲要学习的内容． （斐波那契数列有视频，可结合视频说明）

考点1：数列的定义与分类

1．数列的概念

按照一定次序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…，所以，数列的一般形式可以写成：123a a a ，，，简记为{}n a ．

<教师备案>以前面的斐波那契数列为例，12341123a a a a ====，

，，，， 需要注意的：

① 数列中每一项都和它的序号有关，数列中的数是按一定次序排列的．如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是相同的数列．如：数列1，2，3，4，5与5，

2.1数列的认识

知识点睛

4，3，2，1是不同的数列．数列12341235a a a a ====，，，，和斐波那契数列也是不同的数列．

② 数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同．因此，同一个数在数列中可以重复出现．如：1，1-，1，1-，1，…；2，2，2，2，2，…等．

③ {}n a 与n a 是不同的概念．{}n a 表示数列1a ，2a ，3a ，…，n a …，而n a 仅表示数列{}n a 的第n 项．

2．数列的分类

① 按照数列的项数的多少可分为：有穷数列与无穷数列．项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列叫无穷数列．

② 按照数列的每一项随序号变化的情况可分为：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列．从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列．

③ 按照任何一项的绝对值是否小于某一正数可分为：有界数列和无界数列． <教师备案>斐波那契数列是无穷数列，递增数列，无界数列．更多的例子见例1

【例1】 ⑴下面数列哪些是递增数列，递减数列，常数列，摆动数列？哪些是有穷数列，无穷数列？

①全体自然数组成数列：0，1，2，3，…；

②某校6个班学生人数构成的数列：15，16，18，20，22，30； ③数列：5，1-，3， 2.6-， 1.5-，8； ④数列：5，5，5，5，5；

⑤数列：100，90，80，70，60，50，…． ⑵根据数列的规律填空

①1 1 2 3 5 8 ＿＿

②5 3 10 6 15 12 ＿＿ ＿＿ ③3 5 9 17 33 ＿＿

④1 2 2 3 4 6 ＿＿

⑶（2010湖南文20）给出下面的数表序列：

12845

3143

1

1表3表2

表1

其中表(123)n n =，，，有n 行，第1行的n 个数是1，3，5，…，21n -，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和，写出表4．

【解析】 ⑴ ①递增数列 无穷数列 ②递增数列 有穷数列

③摆动数列 有穷数列 ④常数列 有穷数列 ⑤递减数列 无穷数列 ⑵ ①13．

经典精讲

此数列为著名的斐波那契数列，从第三项起每一项是前两项之和． ②20，24．

此数列是混合数列，奇数项为首项为5，公差为5的等差数列，偶数项是首项为3，公比为2的等比数列，按顺序应填20，24． ③65

根据数列的规律每一项为21n +． ④9

从第三项起每一项为前两项之和减1，所以空格应填9． ⑶

<教师备案>趣味数列：（供课堂增加趣味性，活跃气氛选用）

1．请写出下列数列的下一项：2，12，1112，3112，211213，______．

2．按规律填空：①1

7

＿＿ 9 100；②3 6 21 42 84 69 291 ＿＿ ＿＿；

【解析】 1．这个数列中每一项都和前一项和读法有关，第一项是2，第二项是一个2，第三项是一个

1一个2，第四项是三个1一个2，往后以此类推．所以应该填入的数列为：312213．

2．①101278910-，所以应该填1；

②将数列的前几项反过来写：3612244896192，，，，，，，所以，以此类推后边应该为 384768，，所以应该填483867，

考点2：数列的通项公式与递推公式

数列的表示方法：

⑴ 图象法：数列是以正整数集*

N （或它的有限子集{}12n ，，，）为定义域

的函数()n a f n =，当自变量按照从小到大的顺序取值时，所对应的项是一系列函数值．所以，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点作图来表示这个数列．全体正偶数组成的数列246，，，用图象法表示为（如图）： 数列图象与一般函数图象的区别在于数列的图象是一系列孤立的点． ⑵ 列表法：与函数一样，数列也可以用列表的方法来表示．

如：全体正偶数按从小到大的顺序构成的数列2，4，6，8，…用列表法可表示为

n 1 2 3 … k …

n a

2 4 6 … 2k …

列表法可以清楚地反映出数列的许多具体的项，但由于受某些条件的限制，用列表的方法有时不

能完整的反映一个数列，或数列的具体规律，所以并不是每一个数列都可以用列表的方法表示．

知识点睛

10

865

4432

21O n

a n 12322012

847

531