一元二次方程的根的判别式PPT课件
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一元二次方程根的判别式课件
两个虚根
当判别式 (D) < 0 时，方程没有 实根，只有两个虚根。
辨别方程解的图形表示方法
两个不相等的实根
方程的图像将与x轴交于两个不 同的点。
两个相等的实根
方程的图像将与x轴交于同一个 点。
两个虚根
方程的图像将完全位于x轴上方 或下方，不与x轴交于任何点。
判别式的应用举例
1
物理学
2
判别式在抛体运动和能量守恒定律等物
计算公式
判别式(D) = b²- 4ac，其中a、b和c是一元二次方程的系数。
判别式与方程根的关系
判别式的值可以用来确定方程根的个数和类型。
判别式与方程解的类型
两个不相等的实根
当判别式 (D) > 0 时，方程有两 个不相等的实根。
两个相等的实根
当判别式 (D) = 0 时，方程有两 个相等的实根。
理问题中有广泛应用。
3
房屋销售
判别式可以帮助确定一栋房屋是否能够 被出售，以及价值如何。
金融领域
判别式被用于计算利润和决策分析，帮 助预测市场趋势和投资回报率。
结论和要点
1 判别式是用来判断一 2 判别式的值可以用来 3 判别式的应用广泛，
元二次方程根的特性
确定方程根的个数和
涵盖了房屋销售、物
的数学工具。
一元二次方程根的判别式 ppt课件
欢迎大家来参加本次关于一元二次方程根的判别式的PPT课件。本课件将帮 助你理解判别式的定义、计算公式、与方程根的关系以及解的类型，同时还 会介绍辨别方程解的图形表示方法和判别式的一些应用举例。一起来探索这 个有趣而重要的主题吧！
什么是判别式？
定义
判别式是用来判断一元二次方程的根的特性的一个数学工具。
人教版九年级数学上册《解一元二次方程——一元二次方程的根的判别式》教学课件
2
2 −2 + = 3 − 1；
2
解： 化方程为 2 + 2 − 1 = 0.
= 2， = 2， = −1.
2
2
= − 4 = 2 −4 × 2 × (−1)
= 4 + 8 = 12 > 0.
∴ 此一元二次方程有两个不相等的实数根.
归纳
归纳
不解方程，判断一元二次方程根的情况的一般步骤：
2
当 − 4 < 0 时，方程没有实数根.
例1 不求出一元二次方程的根，判断下列方程根的情况：
2
= − 4
2
1 2 − 5 + 1 = 0；
2
2 −2 + = 3 − 1；
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
2
4 + 2 2 + 6 = 0.
9
；
2
2
= − 4 = − 2 + 1
= 2 + 1
2
2
−4××2
− 8
2
= 4 + 4 + 1 − 8
2
= 4 − 4 + 1
= 2 − 1
2
2
≥ 0.
所以 − 2 + 1 + 2 = 0 ≠ 0 有实数根.
例3 在不解方程的情况下，判断下列关于 的方程
2
变式2 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
没有实数根，求 的取值范围.
2
变式1 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
有两个不相等的实数根，求 的取值范围.
2 −2 + = 3 − 1；
2
解： 化方程为 2 + 2 − 1 = 0.
= 2， = 2， = −1.
2
2
= − 4 = 2 −4 × 2 × (−1)
= 4 + 8 = 12 > 0.
∴ 此一元二次方程有两个不相等的实数根.
归纳
归纳
不解方程，判断一元二次方程根的情况的一般步骤：
2
当 − 4 < 0 时，方程没有实数根.
例1 不求出一元二次方程的根，判断下列方程根的情况：
2
= − 4
2
1 2 − 5 + 1 = 0；
2
2 −2 + = 3 − 1；
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
2
4 + 2 2 + 6 = 0.
9
；
2
2
= − 4 = − 2 + 1
= 2 + 1
2
2
−4××2
− 8
2
= 4 + 4 + 1 − 8
2
= 4 − 4 + 1
= 2 − 1
2
2
≥ 0.
所以 − 2 + 1 + 2 = 0 ≠ 0 有实数根.
例3 在不解方程的情况下，判断下列关于 的方程
2
变式2 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
没有实数根，求 的取值范围.
2
变式1 如果关于 的一元二次方程 x − 4x + − 5 = 0,
有两个不相等的实数根，求 的取值范围.
一元二次方程根的判别式(ppt课件)
练习4：关于x的方程(a－1)x2－2x＋1＝0有实数根，求a
的取值范围
解：①当原方程是一元一次方程时 则有a-1=0，a=1
②当原方程是一元二次方程时 则有Δ≥0，（a-1）≠0
b2-4ac=（-2）2-4×（a-1）×1≥0，a≠1 解得：a＜2且a≠1.
【类型三】运用根的判别式判断三角形的形状
(1)2x2＋3x－4＝0； 有两个不相等的实数根
(2)x2－x＋1＝0；
4
有两个相等的实数根
(3)x2－x＋1＝0.
无实数根
练习 2：不解方程，判断下列方程根 的情况
(1)4(x－3)2－25(x－2)2＝0. (2)(x－5)(x－6)＝x－5. (3)4x2＋4x＋10＝1－8x.
有两个不相等的实数根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根
课
有两个不__相__等__的__实数根， (2)b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
堂
有__俩__个__相__等__的__实数根。 (3)b2 － 4ac<0⇔ 一 元 二 次 方 程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝
小
0(a≠0)解决问题时，如果二次项系数中
（4）由于 a≠0，方程 ax2＋bx＋c＝0
移项，得：ax2＋bx＝－c
二次项系数划为 1：x2＋bx＝－c， aa
b
b
配方，得：x2＋bx＋
2a
2＝－
c
＋
2a
2，
a
a
b
x＋ 2a
2＝b2－4ac，
4a2
可以看出
只有当b²-4ac≥0时，方 程才有实数根，这样b²-
4ac就决定着一元二次方
2.3一元二次方程根的判别式++课件 2024—2025学年湘教版数学九年级上册
板书设计
2.3一元二次方程根的判别式
根的判别式∆：
∆>0：
∆=0：
∆<0：
习题讲解书写部分
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.对于一元二次方程 2 + + = 0 ≠ 0 , 下列说法：①当 =
+ 时，则方程 2 + + = 0一定有一根为 = −1；②若 > 0
B． 2 + 3 + 6 = 0
C． 2 + 8 + 16 = 0
D．( − 1)2 = 9
3.已知关于x 的一元二次方程 2 − = 2 有两个不相等的实数根，
则m的取值范围是（ A ）
A．m＞－1 B．m＜－2 C．m ≥0 D．m＜0
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.已知关于 的方程 2 + (1 − ) − 1 = 0 ，下列说法正确的是( C )
2 − 4 − 2 + 4 = 0
( − 1) 2 − 4 + 4 = 0
∵方程有两个不相等的实数根，
∴k−1≠0，即k≠1，且△＞0，即（-4）2−4×（k−1）×4＞0，
解得k＜2，则k＜2且k≠1，
∴k＜2且k≠1；
作业布置
【综合拓展类作业】
已知关于x的方程 ( − 4) − 2 + 4 = 0
新知导入
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：
1.二次项系数化为1：左右俩边同时除以二次项系数;
2.移项：将常数项移至右边，含未知数的项移至左边;
3.配方：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方;
一元二次方程根的判别式PPT课件(北师大版)
4
∴方程有两个相等的实数根
(2)原方程化为:
x2 2x 1 0, 2 2 41 1 = 2 0,
3
33
∴方程有两个不相等的实数根
感悟新知
归纳
知2－讲
判断方程根的情况的方法： ①若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的左边是一个完全平
方式，则该方程有两个相等的实数根； ②若方程中a，c异号，或b≠0且c＝0时，则该方程有两 个不相
b 2a
2
,
x
b 2a
2
＝b2
4ac
a2
.
即
知1－讲
因为a≠0，所以4a2＞0. 式子b2－4ac的值有以下三种情
b2 4ac 0
况:
b2 4ac 0
(1)
b2 新知
归纳
知1－讲
一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋
bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，
课堂小结
一元一次方程
(1)今天我们是在一元二次方程解法的基础上，学习了根的判 别式的应用，它在整个中学数学中占有重要地位，是中 考命题的重要知识点，所以必须坚固掌握好它。
(2)注意根的判别式定理与逆定理的使用区分：一般当已知△ 值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用 逆定理。
课堂小结
一元一次方程
感悟新知
例11：不解方程，判断下列方程根的情况．
(1) - 1 x2 x 1;
4
(2) x2
2x 1 3
知2－讲
导引：根的判别式是在一般情势下确定的，
因此应先将方程化成一般情势，然后
算出判别式的值．
感悟新知
解：(1)原方程化为:
1一元二次方程根的判别式课件
x1
x2
. 2
适时小结：
1.根据方程根的情况,可得到判别式的取值 范围;
2. 求根的判别式的前提是一元二次方程的一 般式；在求方程的根时，可以把已确定的字 母系数的值代入原方程，再求不含字母系数 的方程的根.
自主探究：
怎样的条件才能得到 有实数根？
当k 为何值时,关于x的方程 x2 4kx （2k 1）2 0 有实数根?并求出这时方程的根.(用含k 的代数 式表示)
当x2m取(m何值2时)x，关1 于m2x的1方程0
解：
(m
2)2
4
(
1
4
m2
1)
4
4m 8
(1)当 4m 8 0,即m 2时,方程有两个不相等的实数根.
(2)当 4m 8 0,即m 2时, 方程有两个相等的实数根.
(3)当 4m 8 0,即m 2时, 方程没有实数根.
适时小结：由方程根的情况得到判别式的取值范围， 进而求出方程中一个字母系数的取值范围.
上述结论反过来也能成立，所以可以得到：
0
方程有两个不相等的实数根.
0
方程有两个相等的实数根.
0
方程没有实数根.
判别式的符号
根的情况
新知学习
当m取何值时，关于x的方程
x2 (m 2)x 1 m2 1 0 4
怎样的条件才能 得到相应的根的 情况？
（1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？
答： (b2 +c2 a2 )2 4b2c2
(b c a)(b c a) (b c a)(b c a)
由三角形的三边关系得：b c a, a b c, a c b 即b c a 0,b c a 0,b c a 0,
1一元二次方程根的判别式课件
相等实数根,
（2） b-4ac=0, 一元二次方程ax+bx+c=0( a≠0） ，有两个相
等实数根,
（3） b-4ac<0, 一元二次方程ax+bx+c=0( a≠0） ， 没有相等
实数根。
反之，同样成立，即
（1） 一元二次方程有两个不相等实数根， b 2-4ac > 0，
（2） 一元二次方程有两个相等实数根, b 2-4ac = 0，
所以原方程没有实数根.
(3)x(x+1)=3； 解：原方程可变形为x2+x－3=0，
因为∆=12－4×1×(－3)=13＞0， 所以原方程有两个不相等的实数根.
(4)3y2+25=10 3 y. 解：原方程可变形为3y2－10 3y+25=0，
因为 ∆=(10 3 )2－4×3×25=0， 所以原方程有两个相等的实数根.
1、一元二次方程的一般情势是什么?
ax2 bx c （0 a 0）
2、解一元二次方程都有哪些方法？ 3、公式法解一元二次方程的具体步骤是
什么？
探究与发现 思考并总结
用公式法解下列一元二次方程，并结合你 以往解一元二次方程的经验完成以下探究
(1)x2 5x 6 0
(2)x2 4x 4 0
17.3一元二次方程根的判别式
复习回顾：
一元二次方程的根的情况：
1.当 b2 4ac 0时，方程有两个不相等的实数根 2.当 b2 4ac 0 时，方程有两个相等的实数根 3.当 b2 4ac 0 时，方程没有实数根
反过来： 1.当方程有两个不相等的实数根时， b2 4ac 0 2.当方程有两个相等的实数根时， b2 4ac 0 3.当方程没有实数根时， b2 4ac 0
一元二次方程根的判别式ppt课件
2.3 一元二次方程根的判别式
第2章 一元二次方程
基础主干落实 重点典例探析 5+2思维赋能
基础主干落实
一元二次方程根的判别式 1．定义：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，记作 “Δ”，即Δ＝b2－4ac. 2．与一元二次方程的根的关系
判别式 Δ>0
Δ=0 Δ<0
【挑战】(2021·邵阳中考)在平面直角坐标系中，若直线 y＝－x＋m 不经过第一象限，
则关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0 的实数根的个数为( D )
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．1 或 2 个
【解析】∵直线 y＝－x＋m 不经过第一象限， ∴m≤0， 当 m＝0 时，方程 mx2＋x＋1＝0 是一次方程，有一个根，当 m＜0 时， ∵关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0， ∴Δ＝12－4m>0， ∴关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0 有两个不相等的实数根．
【自主解答】由关于 x 的一元二次方程 x2＋kx－k－1＝0 可知：Δ＝k2＋4k＋4＝(k＋ 2)2， 分情况讨论： 当 k＝－2 时，Δ＝0，方程有两个相等实根 当 k≠－2 时，Δ>0，方程有两个不相等的实根．
1．x 的一元二次方程 x2＋kx－4＝0 根的情况是__有__两__个__不__相___等__的__实__数__根___． 【解析】Δ＝k2－4×(－4)＝k2＋16>0，所以方程有两个不相等的实数根． 2．(变问法)求证：无论 k 取何值，关于 x 的一元二次方程 x2＋kx－k－1＝0 总有实数 根． 【证明】由题意知：Δ＝k2＋4k＋4＝(k＋2)2≥0，所以方程总有实数根．
【归纳提升】 根的判别式的应用 1．可以直接用：不解方程，可以判断方程根的情况． 2．可以逆用：知道方程根的情况，从而确定字母系数的取值范围． 3．证明一个方程根的情况．
第2章 一元二次方程
基础主干落实 重点典例探析 5+2思维赋能
基础主干落实
一元二次方程根的判别式 1．定义：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，记作 “Δ”，即Δ＝b2－4ac. 2．与一元二次方程的根的关系
判别式 Δ>0
Δ=0 Δ<0
【挑战】(2021·邵阳中考)在平面直角坐标系中，若直线 y＝－x＋m 不经过第一象限，
则关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0 的实数根的个数为( D )
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．1 或 2 个
【解析】∵直线 y＝－x＋m 不经过第一象限， ∴m≤0， 当 m＝0 时，方程 mx2＋x＋1＝0 是一次方程，有一个根，当 m＜0 时， ∵关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0， ∴Δ＝12－4m>0， ∴关于 x 的方程 mx2＋x＋1＝0 有两个不相等的实数根．
【自主解答】由关于 x 的一元二次方程 x2＋kx－k－1＝0 可知：Δ＝k2＋4k＋4＝(k＋ 2)2， 分情况讨论： 当 k＝－2 时，Δ＝0，方程有两个相等实根 当 k≠－2 时，Δ>0，方程有两个不相等的实根．
1．x 的一元二次方程 x2＋kx－4＝0 根的情况是__有__两__个__不__相___等__的__实__数__根___． 【解析】Δ＝k2－4×(－4)＝k2＋16>0，所以方程有两个不相等的实数根． 2．(变问法)求证：无论 k 取何值，关于 x 的一元二次方程 x2＋kx－k－1＝0 总有实数 根． 【证明】由题意知：Δ＝k2＋4k＋4＝(k＋2)2≥0，所以方程总有实数根．
【归纳提升】 根的判别式的应用 1．可以直接用：不解方程，可以判断方程根的情况． 2．可以逆用：知道方程根的情况，从而确定字母系数的取值范围． 3．证明一个方程根的情况．
一元二次方程的根的判别式(PPT)3-2
一元二次方程判别式
• 一复习提问： • 1、一元二次方程的标准式是什么？ • 2、一元二次方程的求根公式是什么？ • 想一想：b2-4ac的符号与ax2+bx+c=0会有关系吗？ • 做一做：用求根公式法解下列方程 • （1）x2-x-2=0 （2）x2-6x+9=0 （3）x2-x+1=0 • 看一看：上列三个方程的根与b2-4ac的符号有关系吗？
• （1）3x 2-4x+7=0 解：a=3，
（解2）：14xa2=+x41+1，=b0=1（，3）解2：x2- a√=62x-1=0 c=1
b=-4，c=7，
b2-4ac
b=√6，c=-1
2
b -4ac =16-4×3×7 =6-4×2×（-1）
所以原方程没有实
个相等的实数根 =14＞0，所以原
数根
方程有两个不相 等的根
有什么关系？
测显示土卫六表面确有着闪烁的液体反光，尤其是几年前通过大型无线电望远镜观测的结果更证明极有可能存在液体海洋。土卫六土卫六土卫六大气的98.% 是氮气，是太阳系中惟一除了地球外的富氮星体，那里还有大量不同种类的碳氢化合物残余（包括甲烷、乙烷、丁二炔、丙炔、丙炔腈、乙炔、丙烷，以及
二氧化碳、氰、氰化氢和氦气）。这些碳氢化合物被认为来自于土卫六上层大气中的甲烷。当甲烷因为太阳辐射而发生反应就会产生浓密的桔红色烟云。土 卫六表面那像是被涂上了一层柏油的有机物沉淀叫做tholin。土卫六没有磁场保护,所以当它有时运行在土星的磁气层外时，便直接暴露在太阳风之下。这导 致大气电离并在大气上层释放出一些分子。在接近表面时，土卫六的温度大约是9K(-79.℃)。水冰在这种温度下会升华，所以大气中会有少量的水蒸气存在. 土卫六表面除；https:/// qq代刷网 ； 了覆盖全球的迷雾之外也有各种不同的云。云可能是由甲烷，乙烷或简单的有机物组成。其他稀有的复杂化 学物质是土卫六在太空外观呈现橙色的原因。年月卡西尼号飞越过土卫六照片中明亮多云的南极,但并未发现期望的甲烷存在.这令科学家们困惑,対云成分的 相关研究仍然在进行中,人们过去关于土卫六大气的知识可能需要重新书写。年卡西尼号观测大气的结果发现土卫六大气“超级旋转”，就像金星那样，其大 气要比表面旋转快很多。土星土星(张)据美国科学日报报道，西班牙格拉纳达大学和瓦伦西亚大学的物理学家们通过分析“惠更斯”探测器对土卫六的特殊 观测数据，明确地证实土卫六大气层中存在着雷电风暴等自然电活跃性活动。科学团体认为有机分子、早期生命形式可能形成于行星或卫星具有雷电风暴的 高层大气层中。自从98年，西班牙天文学家乔西·科马斯·苏拉发现土卫六具有大气层以来，在其他卫星上未曾发现过大气层的存在。他解释说，“在土卫六 上形成着具有传递运动的大气云层，因此静态电场和暴风雨状况可以形成。依据俄罗斯生物化学家亚历山大·奥帕金的理论和斯坦利·米勒的实验，土卫六具 有雷电风暴活动性的大气层可能形成有机物质和早期生命形式，该条件下通过释放电量可从无机混合物中综合形成有机化合物。表面特征编辑至年，人类对
• 一复习提问： • 1、一元二次方程的标准式是什么？ • 2、一元二次方程的求根公式是什么？ • 想一想：b2-4ac的符号与ax2+bx+c=0会有关系吗？ • 做一做：用求根公式法解下列方程 • （1）x2-x-2=0 （2）x2-6x+9=0 （3）x2-x+1=0 • 看一看：上列三个方程的根与b2-4ac的符号有关系吗？
• （1）3x 2-4x+7=0 解：a=3，
（解2）：14xa2=+x41+1，=b0=1（，3）解2：x2- a√=62x-1=0 c=1
b=-4，c=7，
b2-4ac
b=√6，c=-1
2
b -4ac =16-4×3×7 =6-4×2×（-1）
所以原方程没有实
个相等的实数根 =14＞0，所以原
数根
方程有两个不相 等的根
有什么关系？
测显示土卫六表面确有着闪烁的液体反光，尤其是几年前通过大型无线电望远镜观测的结果更证明极有可能存在液体海洋。土卫六土卫六土卫六大气的98.% 是氮气，是太阳系中惟一除了地球外的富氮星体，那里还有大量不同种类的碳氢化合物残余（包括甲烷、乙烷、丁二炔、丙炔、丙炔腈、乙炔、丙烷，以及
二氧化碳、氰、氰化氢和氦气）。这些碳氢化合物被认为来自于土卫六上层大气中的甲烷。当甲烷因为太阳辐射而发生反应就会产生浓密的桔红色烟云。土 卫六表面那像是被涂上了一层柏油的有机物沉淀叫做tholin。土卫六没有磁场保护,所以当它有时运行在土星的磁气层外时，便直接暴露在太阳风之下。这导 致大气电离并在大气上层释放出一些分子。在接近表面时，土卫六的温度大约是9K(-79.℃)。水冰在这种温度下会升华，所以大气中会有少量的水蒸气存在. 土卫六表面除；https:/// qq代刷网 ； 了覆盖全球的迷雾之外也有各种不同的云。云可能是由甲烷，乙烷或简单的有机物组成。其他稀有的复杂化 学物质是土卫六在太空外观呈现橙色的原因。年月卡西尼号飞越过土卫六照片中明亮多云的南极,但并未发现期望的甲烷存在.这令科学家们困惑,対云成分的 相关研究仍然在进行中,人们过去关于土卫六大气的知识可能需要重新书写。年卡西尼号观测大气的结果发现土卫六大气“超级旋转”，就像金星那样，其大 气要比表面旋转快很多。土星土星(张)据美国科学日报报道，西班牙格拉纳达大学和瓦伦西亚大学的物理学家们通过分析“惠更斯”探测器对土卫六的特殊 观测数据，明确地证实土卫六大气层中存在着雷电风暴等自然电活跃性活动。科学团体认为有机分子、早期生命形式可能形成于行星或卫星具有雷电风暴的 高层大气层中。自从98年，西班牙天文学家乔西·科马斯·苏拉发现土卫六具有大气层以来，在其他卫星上未曾发现过大气层的存在。他解释说，“在土卫六 上形成着具有传递运动的大气云层，因此静态电场和暴风雨状况可以形成。依据俄罗斯生物化学家亚历山大·奥帕金的理论和斯坦利·米勒的实验，土卫六具 有雷电风暴活动性的大气层可能形成有机物质和早期生命形式，该条件下通过释放电量可从无机混合物中综合形成有机化合物。表面特征编辑至年，人类对
《公式法—— 一元二次方程根的判别式》PPT课件
1. 说得太好了，老师佩服你，为你感到骄傲！ 2. 你的设计(方案、观点)富有想象力，极具创造性。 3. 我非常欣赏你的想法，请说具体点，好吗? 4. 某某同学的解题方法非常新颖，连老师都没想到，真厉害！ 5. 让我们一起为某某喝彩！同学们在学习过程中，也要敢于猜想，善于猜想，这样才能有所发现，有所创造! 三、表扬类
整合方法
14．【中考·衡阳】关于x的一元二次方程x2－3x＋k ＝0有实数根． (1)求k的取值范围；
解：根据题意得(－3)2－4k≥0，
解得
9 k≤4.
整合方法
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m －1)x2＋x＋m－3＝0与方程x2－3x＋k＝0有一个相 同的根，求此时m的值．
1. 你真让人感动，老师喜欢你的敢想、敢说、敢问和敢辩，希望你继续保持下去。 2. 这么难的题你能回答得很完整，真是了不起！你是我们班的小爱因斯坦。 3. 你预习的可真全面，自主学习的能力很强，课下把你的学习方法介绍给同学们，好不好？ 4. 哎呀. 通过你的发言，老师觉得你不仅认真听，而且积极动脑思考了，加油哇！ 四、提醒类
【答案】A
夯实基础
※12.【中考·新疆】若关于 x 的一元二次方程(k－1)x2＋x
＋1＝0 有两个实数根，则 k 的取值范围是( D )
A．k≤54 C．k<54且 k≠1
B．k>54 D．k≤54且 k≠1
【点拨】本题忽视一元二次方程二次项系数不为 0
这一条件，而直接由根的判别式求得
5 k≤4.
夯实基础
6．【中考·湘西州】一元二次方程x2＋2x＋3＝0根 的情况是( C ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断
整合方法
14．【中考·衡阳】关于x的一元二次方程x2－3x＋k ＝0有实数根． (1)求k的取值范围；
解：根据题意得(－3)2－4k≥0，
解得
9 k≤4.
整合方法
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m －1)x2＋x＋m－3＝0与方程x2－3x＋k＝0有一个相 同的根，求此时m的值．
1. 你真让人感动，老师喜欢你的敢想、敢说、敢问和敢辩，希望你继续保持下去。 2. 这么难的题你能回答得很完整，真是了不起！你是我们班的小爱因斯坦。 3. 你预习的可真全面，自主学习的能力很强，课下把你的学习方法介绍给同学们，好不好？ 4. 哎呀. 通过你的发言，老师觉得你不仅认真听，而且积极动脑思考了，加油哇！ 四、提醒类
【答案】A
夯实基础
※12.【中考·新疆】若关于 x 的一元二次方程(k－1)x2＋x
＋1＝0 有两个实数根，则 k 的取值范围是( D )
A．k≤54 C．k<54且 k≠1
B．k>54 D．k≤54且 k≠1
【点拨】本题忽视一元二次方程二次项系数不为 0
这一条件，而直接由根的判别式求得
5 k≤4.
夯实基础
6．【中考·湘西州】一元二次方程x2＋2x＋3＝0根 的情况是( C ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断
一元二次方程根的判别式课件(人教版)
x2－2x＝0，解得x1＝0，x2＝2.
整合方法·提升练
14．【中考•岳阳】已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋
m(m＋1)＝0.
Δ＞0
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
证明：∵Δ＝(2m＋1)2－4m(m＋1)＝1>0， ∴方程总有两个不相等的实数根．
整合方法·提升练
将x＝0代入x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0 m(m＋1)＝0
15
无论k取何值，这个方程 总有实数根；10
答案显示
夯实基础·逐点练
化为一般情势： 2x2 ＋(－7)x＋(－4)＝0
1．方程7x＝2x2－4化为一般情势ax2＋bx＋c＝0后， a＝__2____，b＝__－__7__，c＝_－__4___，b2－4ac＝ __8_1___．
夯实基础·逐点练
化为一般情势： 5x2 ＋(－6)x＋8＝0
4[(a＋1) x2＋(a＋1) x]＋1＝0
整合方法·提升练
解：x※(a※x)＝x※(ax＋x)＝x※[(a＋1)x]＝(a＋1)x2＋(a ＋1)x＝－ 1 ，
4
整理，得4(a＋1)x2＋4(a＋1)x＋1＝0. ∵关于x的方程x※(a※x)＝－14 有两个相等的实数根， ∴a＋1≠0，Δ＝16(a＋1)2－16(a＋1)＝0.
解：若分a为类等讨腰论三a＝角4为形底A边BC；的a＝底4边为长腰，，分则别b，确c定为等腰三 角b形、Ac的BC值的，两根腰据三长角，形由的题三意边知关方系程确定有a两、个b、相等的 实c数能根否，组所成三以角Δ＝形0，，再即求k三＝角32.形所的以周方长程. 为x2－4x＋4 ＝0，解得x1＝x2＝2. 即b＝c＝2，不符合三角形三 边关系，故舍去．
人教版 九年级上
整合方法·提升练
14．【中考•岳阳】已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋
m(m＋1)＝0.
Δ＞0
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
证明：∵Δ＝(2m＋1)2－4m(m＋1)＝1>0， ∴方程总有两个不相等的实数根．
整合方法·提升练
将x＝0代入x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0 m(m＋1)＝0
15
无论k取何值，这个方程 总有实数根；10
答案显示
夯实基础·逐点练
化为一般情势： 2x2 ＋(－7)x＋(－4)＝0
1．方程7x＝2x2－4化为一般情势ax2＋bx＋c＝0后， a＝__2____，b＝__－__7__，c＝_－__4___，b2－4ac＝ __8_1___．
夯实基础·逐点练
化为一般情势： 5x2 ＋(－6)x＋8＝0
4[(a＋1) x2＋(a＋1) x]＋1＝0
整合方法·提升练
解：x※(a※x)＝x※(ax＋x)＝x※[(a＋1)x]＝(a＋1)x2＋(a ＋1)x＝－ 1 ，
4
整理，得4(a＋1)x2＋4(a＋1)x＋1＝0. ∵关于x的方程x※(a※x)＝－14 有两个相等的实数根， ∴a＋1≠0，Δ＝16(a＋1)2－16(a＋1)＝0.
解：若分a为类等讨腰论三a＝角4为形底A边BC；的a＝底4边为长腰，，分则别b，确c定为等腰三 角b形、Ac的BC值的，两根腰据三长角，形由的题三意边知关方系程确定有a两、个b、相等的 实c数能根否，组所成三以角Δ＝形0，，再即求k三＝角32.形所的以周方长程. 为x2－4x＋4 ＝0，解得x1＝x2＝2. 即b＝c＝2，不符合三角形三 边关系，故舍去．
人教版 九年级上
教学课件.3一元二次方程根的判别式
解 将原方程化为一般形式，得 x2 -2 5x+5=0.
因为 Δ= b2 4ac = 20-20 = 0， 所以，原方程有两个相等的实数根.
结束
（1） 3x2+4 42-4 × 3 ×（-3）
=16 + 36 = 52 ＞0， 所以，原方程有两个不相等的实数根.
（2） 4x2=12x-9
要先将方程化为 一般形式，才能确定 a，b，c的值.
解 将原方程化为一般形式，得 4x2-12x+ 9 = 0.
当Δ > 0 时，原方程有两个不相等的实数根，其根为
x1 b
b2 4ac 2a
,
x2
b
b2 4ac 2a
；
当Δ = 0 时，原方程有两个相等的实数根，其根为
x1
x2
b 2a
；
当Δ < 0 时，原方程没有实数根.
例
不解方程，利用判别式判断下列方程根的 情况：
（1）3x2+4x-3=0 （2）4x2=12x-9 （3）7y=5(y2+1)
一元二次方程根的判别式
议一议
我们在运用公式法求解一元二次方程 ax2+bx+c = 0(a≠0)时，总是要求b2-4ac≥0. 这是为什么？
我们把 b24ac 叫作一元二次方程 ax2+bx+c = 0(a≠0) 的根的判别式，记作“Δ”， 即 Δ = b24ac.
综上可知，我们不难发现一元二次方程 ax2+bx+c = 0(a≠0) 的根的情况可由Δ= b2 4ac 来判断：
因为 Δ=b2 4ac =（-12）2-4 ×4 ×9 = 144 - 144 = 0，
因为 Δ= b2 4ac = 20-20 = 0， 所以，原方程有两个相等的实数根.
结束
（1） 3x2+4 42-4 × 3 ×（-3）
=16 + 36 = 52 ＞0， 所以，原方程有两个不相等的实数根.
（2） 4x2=12x-9
要先将方程化为 一般形式，才能确定 a，b，c的值.
解 将原方程化为一般形式，得 4x2-12x+ 9 = 0.
当Δ > 0 时，原方程有两个不相等的实数根，其根为
x1 b
b2 4ac 2a
,
x2
b
b2 4ac 2a
；
当Δ = 0 时，原方程有两个相等的实数根，其根为
x1
x2
b 2a
；
当Δ < 0 时，原方程没有实数根.
例
不解方程，利用判别式判断下列方程根的 情况：
（1）3x2+4x-3=0 （2）4x2=12x-9 （3）7y=5(y2+1)
一元二次方程根的判别式
议一议
我们在运用公式法求解一元二次方程 ax2+bx+c = 0(a≠0)时，总是要求b2-4ac≥0. 这是为什么？
我们把 b24ac 叫作一元二次方程 ax2+bx+c = 0(a≠0) 的根的判别式，记作“Δ”， 即 Δ = b24ac.
综上可知，我们不难发现一元二次方程 ax2+bx+c = 0(a≠0) 的根的情况可由Δ= b2 4ac 来判断：
因为 Δ=b2 4ac =（-12）2-4 ×4 ×9 = 144 - 144 = 0，
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解： （ 3） 4 1 k 9 4k
2
⑴
方程有两个不相等的实数根
当 k ＜
9 4k ＞0 解得 k ＜ 9 4 9
4 ⑵ 方程有两个相等的实数根 9 9 4k 0 解得 k 4 9 当 k 4 时，原方程有两个相等的实数根 9 ⑶ 9 4k＜ 0 解得 k ＞ 4 9 当 k ＞ 时，原方程没有实数根 4
（ A）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根
b 4ac 2 b 4ac 0
2
D.根的情况无法确定
例2：已知关于 x 的方程
x 3 x k 0，
2
问 k 取何值时，这个方程：
⑴有两个不相等的实数根？ ⑵有两个相等的实数根？ ⑶没有实数根？
练一练
1.不解方程，判别下列方程的根的情况。
1 2 x 5 x 4 0 2 2 7t 5t 2 0 3 x( x 1) 3 2 4 3 y 25 10 3 y
2
ax bx c 0(a 0)中
2
若a与c异号, 则方程
一元二次方程的根的判别式
利用公式法解下列方程
1 5 x 3x 2 0 2 2 25 y 4 20 y 2 3 2 x 3 x 1 0
2
想一想
对于一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 你能谈论一下它的根的情况吗? 在什么情况下，一元二次方程有解?有什 么样的解? 什么情况下一元二次方程无解?
4 20y 解：原方程可变形为25 y 2 20 y 4 0 2 （ 20） 4 25 4 0
2
2 25y
3 2 x
原方程有两个相等的实数根。
2
3x 1 0
2 解： （ 3） 4 2 1 5＜0 原方程没有实数根。
时，原方程有两个根时,实数 a 的个数是( c ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)大于2
2
2. 关于 x 的一元二次方程
(m 1) x 2mx m 0
2
有两个实数根，则m的取值范围为
m≥0且m≠1
①本节课你学到了什么知识？ 掌握了什么方法？ ②本节课你有什么收获？还有 什么疑问?
2
例1. 不解方程，判别下列方程 的根的情况。
1 5 x 3x 2 0 2 2 25 y 4 20 y 2 3 2 x 3 x 1 0
2
2 1 5 x 3x 2 0 2 解： （ 3） 4 5 （ 2） 49＞0 原方程有两个不相等的实数根。