等差等比数列综合应用

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中考数学重要知识点等差数列与等比数列的应用

中考数学重要知识点等差数列与等比数列的应用等差数列和等比数列是中考数学中的重要知识点，也是数学中常见的数列类型。

它们在实际问题中的应用非常广泛。

本文将重点讨论等差数列和等比数列的应用，并通过实例进行说明。

一、等差数列的应用等差数列是指数列中的每个项与前一项之间的差值都相等的数列。

在实际生活中，等差数列的应用非常多。

以下是等差数列的几个常见应用：1. 求和问题等差数列可以用来解决求和问题。

对于等差数列$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$，其中$a_1$为首项，$a_n$为末项，公差为$d$，则该等差数列的前$n$项和可以表示为$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$。

通过这个公式，可以方便地求得等差数列的前$n$项和。

2. 平均数问题等差数列还可以用来解决平均数问题。

对于等差数列$a_1, a_2,a_3, ..., a_n$，其中$a_1$为首项，$a_n$为末项，公差为$d$，则该等差数列的平均数可以表示为$A = \frac{a_1 + a_n}{2}$。

通过这个公式，可以轻松求得等差数列的平均数。

3. 运动问题等差数列也可以用来解决运动问题。

例如，一个运动员每天比前一天跑步增加固定的距离，这就是一个等差数列。

通过等差数列的概念，可以解决该运动员在第n天跑了多少距离的问题。

二、等比数列的应用等比数列是指数列中的每个项与前一项之间的比值都相等的数列。

在实际生活中，等比数列的应用也非常广泛。

以下是等比数列的几个常见应用：1. 求和问题等比数列可以用来解决求和问题。

对于等比数列$a_1, a_2, a_3, ...,a_n$，其中$a_1$为首项，$a_n$为末项，公比为$q$，则该等比数列的前$n$项和可以表示为$S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$。

通过这个公式，可以方便地求得等比数列的前$n$项和。

2. 利率问题等比数列在利率问题中的应用非常常见。

高考数学一轮总复习课件：数列的综合应用

又因为an≤15，所以6×1.2n－1≤15，所以n－1≤5，所以n≤6. 所以an＝611×，1n.2＝n－11，，2≤n≤6，
15，n≥7.
(2)由(1)得，2021年全年的投资额是(1)中数列{an}的前12项和，所以S12＝a1＋(a2＋…＋a6)＋(a7＋…＋a12)＝11＋6×(1.2＋… ＋1.25)＋6×15＝101＋6×1.2×（1.21－.251－1）≈154.64(万元)．
(1)证明：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．【思路】 (1)已知数列{an}的前n项和Sn与相邻两项an，an＋1间的递推关系式anan＋1＝λSn－1，要证an＋2－an＝λ，故考虑利用an＋1＝ Sn＋1－Sn消去Sn进行证明． (2)若{an}为等差数列，则有2a2＝a1＋a3，故可由此求出λ，进而由an＋2－an＝4验证{an}是否为等差数列即可．
【解析】 (1)证明：由已知，得bn＝2an>0. 当n≥1时，bbn＋n 1＝2an＋1－an＝2d. 所以数列{bn}是首项为2a1，公比为2d的等比数列． (2)函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln2)(x －a2)，它在x轴上的截距为a2－ln12. 由题意，a2－ln12＝2－ln12，解得a2＝2. 所以d＝a2－a1＝1，所以an＝n，bn＝2n，anbn2＝n·4n.
比数列．所以an＋1＝45＋－25190n.
(3)因为an＋1>60%，即
4 5
＋
－25
9 10
n
>
3 5
，则
9 10
n
<
1 2
，所以
n(lg9－1)<－lg2，n>1－lg22lg3≈6.572 1.

等差数列与等比数列的综合应用题

等差数列与等比数列的综合应用题下面是2000字的文章，涉及到等差数列和等比数列的综合应用题。

等差数列和等比数列的综合应用题数列是数学中一个重要的概念，有着广泛的应用。

其中等差数列和等比数列是最常见的两种数列，它们在实际问题中有着丰富的应用。

本文将探讨其中一些有趣的综合应用题。

一、等差数列的综合应用1. 现有一连续数列，首项为a，公差为d，共有n项。

若已知该等差数列的和为Sn，则求出该数列的最后一项。

解析：根据等差数列的性质，我们知道等差数列的前n项和可以表示为Sn = (2a + (n-1)d) * n / 2。

将该式子中的Sn替换为已知的值，整理后得到一个关于未知数的一元二次方程，通过解方程，我们可以求得该数列的最后一项。

2. 小明上学迟到了，他每天比前一天迟到10分钟，第一天迟到15分钟，到第九天小明迟到多久？解析：这是一个等差数列的应用题，题目中已经给出了首项和公差，我们需要求出第九项。

根据等差数列的性质，我们知道第九项可以表示为a9 = a1 + (9-1)d。

将已知的值代入公式，计算得到小明第九天迟到了85分钟。

二、等比数列的综合应用1. 小明通过研究发现，他所在的城市每年的垃圾总量是前一年的1.5倍。

今年城市的垃圾总量为2000吨，请计算出5年后的城市垃圾总量是多少吨。

解析：这是一个等比数列的应用题，题目中已经给出了首项和公比，我们需要求出第五项。

根据等比数列的性质，我们知道第五项可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

将已知的值代入公式，计算得到5年后的城市垃圾总量为3750吨。

2. 一颗植物的高度是前一天的2倍，已知第一天植物的高度为10厘米，请计算出第五天的植物高度。

解析：这是一个等比数列的应用题，题目中已经给出了首项和公比，我们需要求出第五项。

根据等比数列的性质，我们知道第五项可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

数列的综合应用

高三数学（人教版）
第六章 ·专题研究二
专题讲
nf(n＋1) 1 (3)由题知，bn＝ f n ＝3n，
解
1 n(n＋1) n(n＋1)
1
11
专
则Tn＝3×
2
＝
6
，
∴பைடு நூலகம்n＝
6(n－n＋
)． 1
题
111
1
1111 1
11
训练
∴
T1＋T2＋
T3＋…
＋Tn
＝
6(1－
2＋2－
3＋3
－
4＋…
＋n－n＋
) 1
∴
1 a＝2，f(x)＝
(12)x.
高三数学（人教版）
第六章 ·专题研究二
专题
又点(n－1，
an n2
)(n∈ N*)(在函数f(x)＝ ax的图象上，
讲解
从
而ann2＝21n－
1，即
an＝
n2 2n－
1.
专题
(n＋ 1)2 n2 2n＋ 1 (2)由 bn＝ 2n －2n＝ 2n 得，
训
练
111
1
Tn，试比较T1＋T2＋T3＋…＋Tn与 6的大小．
高三数学（人教版）
第六章 ·专题研究二
专题
∴f(n＋ 1)＝
1 3
f(n)(n∈ N*)，∴数列{f(n)}(n∈ N*)是以
讲
解
1
1
f(1)＝3为首项，3为公比的等比数列，
专题
∴f(n)＝13×(13)n－ 1，即f(n)＝(13)n(n∈ N*)．
＝6(1－ 1 )． n＋ 1
∵
n∈

等差数列和等比数列的应用

快速排序：利用等比数列的性质，快速排序数据
等差数列和等比数列的混合应用
混合运算的定义：将等差数列和等比数列进行混合运算，得到新的数列
混合运算的方法：将等差数列和等比数列的公差和公比进行混合，得到新的公差和公比
混合运算的应用：在解决实际问题时，可以将等差数列和等比数列进行混合运算，得到更精确的解
广泛的应用
复利计算：等比数列在复利计算中的应用
债券定价：等比数列在债券定价中的应用
股票估值：等比数列在股票估值中的应用
投资决策：等比数列在投资决策中的应用
快速幂算法：利用等比数列的性质，快速计算大数幂
矩阵乘法：利用等比数列的性质，快速计算矩阵乘法
快速傅里叶变换：利用等比数列的性质，快速计算傅里叶变换
混合运算的注意事项：在进行混合运算时，需要注意等差数列和等比数列的公差和公比的关系，避免出现错误
等差数列和等比数列的混合问题：在数列中，既有等差数列又有等比数列的情况
混合问题的特点：数列中既有等差数列的性质，又有等比数列的性质
混合问题的求解方法：利用等差数列和等比数列的性质，结合数学方法求解
为Sn=a1(1q^n)/(1-q)，其中a1为首项，q 为公比，n为项
数
数列极限：等比数列的极限为a1/(1-q)，其中a1为首项，
q为公比
数列通项：等比数列的通项公式为an=a1*q^(n1)，其中a1为首项，q为公比，n
为项数
数列性质：等比数列的性质包括单调性、有界性、周期性等，这些性质在数学中有
混合问题的应用：在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用
股票投资：利用等差数列和等比数列预测股票价格走势

等差数列和等比数列的综合应用

1等差数列和等比数列的综合应用1．等差数列的常用性质：⑴ m ，n ，p ，r ∈N *，若m ＋n ＝p ＋r ，则有．⑵ {a n }是等差数列，则{a kn } (k ∈N *，k 为常数)是数列． ⑶ S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成数列．2．在等差数列中，求S n 的最大(小)值，关键是找出某一项，使这一项及它前面的项皆取正(负)值或0，而它后面的各项皆取负(正)值．⑴ a 1> 0，d <0时，解不等式组 ⎩⎨⎧<≥+001n n a a 可解得S n 达到最值时n 的值． ⑵ a 1<0，d>0时，解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧可解得S n 达到最小值时n 的值．3．等比数列的常用性质：⑴ m ，n ，p ，r ∈N *，若m ＋n ＝p ＋r ，则有． ⑵ {a n }是等比数列，则{a 2n }、{na 1}是数列． ⑶ 若S n ≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成数列． 4．求数列的前n 项和，一般有下列几种方法：（1）．等差数列的前n 项和公式： S n ＝＝．（2）．等比数列的前n 项和公式： ① 当q ＝1时，S n ＝． ② 当q≠1时，S n ＝．（3）．倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列相加．主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和．（4）．错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．例1. 数列{a n }的前n 项和S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝31S n ，n ＝1，2，3…… 求：⑴ a 2、a 3、a 4的值及{a n }的通项公式；⑵ a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n 的值.2解析：(1)由a 1＝1，a n ＋1＝31S n ，n ＝1，2，3，…得a 2＝31S 1＝31a 1＝31，a 3＝31S 2＝31(a 1＋a 2)＝94，a 4＝31S 3＝31(a 1＋a 2＋a 3)＝2716 由a n ＋1－a n ＝31(S n －S n －1)＝31a n (n≥2)，得a n ＋1＝34a n (n≥2)，又a 2＝31，∴a n ＝31·(34)n －2(n≥2)∴ {a n }通项公式为a n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅=-2)34(31112n n n(2) 由(1)可知a 2、a 4、…a 2n 是首项为31，公比为(34)2，项数为n 的等比数列.∴ a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝31×22)34(1)34(1--n ＝73[(34)2n －1] 变式训练1.设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，......3,2,1=n 求首项1a 与通项n a 。

高三数学等差等比数列综合运用

1 n ( a 2 a 2 n ) 1 n (1 4 n 3) 2n 1 , n n 2 2
bn 1 bn
2( n 1) 1 (2 n 1)
2 . b n 是等差数列.

作业: 《全案》 P
速度训练: 1.已知等差数列｛an｝,｛bn｝前 n 项和分别是 Sn、Tn， a1 1 Sn 2n 若，则等于（ C ） b1 1 Tn 3n 1 (A)
a n 是等差数列,记其前 n 项

和为 S n , 若 a1 8 , 且 a 8 2 0 , 则
S
15
300 _________.
三、数列与其他数学分支的综合问题
数列的综合问题，是数列的概念、性质在其他知识领域的穿插与渗透。数列与函数、方程、三角、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合力度。
an
联系
差数列； ⑵
a n 为等差数列 b 为等比数列.
注:等差、等比数列的证明须用定义证明 .
二、等比数列与等差数列的综合计算问题数列计算是本章的中心内容，利用等差数列和等比数列的通项公式、前项和公式及其性质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容.
例如:已知

a n S n S n 1 ( n 2 n )
2 2 ( n 1)
2( n 1) 2 n 3 ,

∴ a n 2 n 3 ,即 a n 是首项为 1 ,公差为 2
1 的等差数列.∴ b n ( a 2 a 4 a 2 n ) n
11 17
73
训练 3 、预测 1

等差数列、等比数列的综合应用

(2)bn＝
1 anS2n＋1＋ an＋1S2n－1
＝2n＋1
1 2n－1＋2n－1
2n＋1
＝
1 2n＋12n－1 2n＋1＋
2n－1
＝ 2
2n2＋n＋1－122nn－－11＝12
2n1－1－
2n1＋1.
∴
n
b
i＝1
i
＝
b1
＋
b2
＋
…
＋
bn
＝
1 2
(1
－
1 3
)
(2)令 bn＝
1
anS2n＋1＋
n
an＋1S2n－1，若不等式i＝1bi≥
2n＋L 1＋1对任
意 n∈N*都成立，求实数 L 的取值范围．
【思路分析】 (1)由已知可得 Sn的表达式，再由 Sn 与 an 的关
系求出 an；(2)bn＝
1 anS2n＋1＋
＝ an＋1S2n－1 2
2n2＋n＋1－122nn－－11＝12
等差数列、等比数列的综合应用
1．递推数列{an}在复习时注意掌握难度，以“注重通性通法，淡化特殊技巧”为原则，会求 an＋1＝an＋f(n)、an＋1＝pan＋q， (p≠1，q≠0)形式递推数列的通项公式．
2．子数列、分组数列与等差、等比数列的综合． 3．数列、函数、不等式三者综合所呈现的代数推理题．
2．(2010 山东省)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，点(n，Sn)(n∈N*) 在函数 f(x)＝3x2－2x 的图象上． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝an·a3n＋1，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解析(1)由题意可知：Sn＝3n2－2n 当 n≥2，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－3(n－1)2＋2(n－1)＝6n－5 又因为 a1＝S1＝1，所以 an＝6n－5

数列的等差和等比公式及其应用

数列的等差和等比公式及其应用数学中，数列是由一系列数字按照一定规律排列形成的序列。

在数学中，我们经常会遇到等差数列和等比数列，它们都有各自的公式和应用。

一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的序列。

首项记作a，公差记作d，那么等差数列的通项公式可以表示为：an = a + (n - 1)d。

等差数列在实际生活中有广泛的应用。

例如，我们可以借助等差数列的概念计算每天的步数增量。

假设第一天我们走了1000步，每天步数增加100步，那么根据等差数列的公式，第n天的步数可以表示为an = 1000 + (n - 1)100，利用这个公式，我们可以方便地计算出任意一天的步数。

二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的序列。

首项记作a，公比记作r，那么等比数列的通项公式可以表示为：an = ar^(n - 1)。

等比数列在许多实际问题中都有应用。

例如，我们可以通过等比数列来计算一笔存款在多年后的总额。

假设我们将1万元存入银行，年利率为5%，那么每年末的存款总额就可以用等比数列的公式来计算。

每年的总额等于上一年的总额乘以(1 + 5%)，也就是说an = 10000 * (1 + 5%)^(n - 1)。

三、应用实例除了上述的步数增量和存款总额等计算问题，等差和等比数列还在其他问题中有着广泛的应用。

1. 等差数列应用实例：求和等差数列的一个重要应用是求和问题。

我们可以很方便地利用等差数列的求和公式来计算一段连续整数的和。

假设我们要计算从1到100的所有整数的和，可以利用等差数列的求和公式：Sn = (n/2)(a + l)，其中Sn表示前n项和，n为项数，a为首项，l为末项。

在这个例子中，n=100，a=1，l=100，代入公式得到Sn = (100/2)(1 + 100) = 5050，因此从1到100的和为5050。

2. 等比数列应用实例：不断蔓延的细菌假设有一种细菌，每隔一小时会繁殖出两倍的数量。

等比数列和等差数列的综合运用

04
等比数列和等差数列的应用题
生活中的等差数列问题
银行贷款和存款：等差数列可以用来计算银行贷款和存款的利息和本金。工资计算：很多公司采用等差数列的方式来计算员工的工资等级和晋升。地铁和公交车站：等差数列可以用来规划地铁和公交车站的站点间隔和路线。音乐和艺术：等差数列在音乐和艺术中也有广泛应用，例如音阶和节奏的排列。
的首项 a_1 / r^(n-1)。
添加标题
等差数列和等比数列的混合运算
定义：等差数列和等比数列的混合运算是指在一个数学表达式中同时出现等差数列和等比数列的项。
运算规则：等差数列和等比数列的混合运算需要遵循数学的运算顺序，先进行乘除运算，再进行加减运算。
实例：例如，对于等差数列 {2, 4, 6, 8} 和等比数列 {1, 2, 4, 8}，混合运算的结果可以是这些数列的各项相加或相乘。
等差数列和等比数列的应用：等差数列和等比数列的应用包括在数学、物理、工程等领域的应用。
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实例：可以通过举例来说明等差数列和等比数列的混合运用，例如斐波那契数列就是一个典型的例子。
03
等比数列和等差数列的求和
等差数列的求和公式
定义：等差数列是一种常见的数列，其相邻两项的差相等
求和公式：S_n=n/2*(a_1+a_n) 其中，S_n为前n项和，a_1为首项， a_n为第n项
推导过程：通过等差数列的性质，我们可以将每一项表示为首项和公差的函数，再利用求和公式进行推导
生活中的等比数列问题
添加项标题
银行贷款和储蓄：等比数列可以用来计算复利和本金增长，例如银行的定期存款和贷款的利息计算。
添加项标题

等差、等比数列的性质及综合应用

2 3
.
7
5.已知数列{an}、{bn}分别为等差、等比数列，且 a1=b1>0 ， a3=b3 ， b1≠b3 ，则一定有 a2 b2，>a5 b5（<填“>”“<”“=”).
(措施一)由中项性质和等比数列性质知
b1>0，b3>0，又b1≠b3，
a2= a1 a3 =b1 b3 >
等差、等比数列旳性质及综合应用
1
掌握等差、等比数列旳基本性质：如（１）“成对”和或积相等问题；（２）等差数列求和S2n-1与中项an；能灵活利用性质处理有关问题.如分组求和技巧、整体运算.
2
1.在等差数列{an}与等比数列{bn}中，下列结论正确旳是( C ) A.a1+a9=a10,b1·b9=b10 B.a1+a9=a3+a6,b1+b9=b3+b6 C.a1+a9=a4+a6,b1·b9=b4·b6 D.a1+a9=2a5,b1·b9=2b5
=a14q166=a14·q6·q160
=(a14q6)·(q16)10
=1·210=1024. 23
(措施二)由性质可知，依次４项旳积为等比数列，设公比为q,T1=a1·a2·a3·a4=1,
T4=a13·a14·a15·a16=8,
所以T4=T1·q3=1·q3=8 q=2,
所以T11＝a41·a42·a43·a44=T1·q10=1024.
a1 qn+
1 q
a1 1 q
=aqn+b,这
里a+b=0，但a≠0，b≠0，这是等比数列前n
项和公式旳一种特征，据此很轻易根据Sn判断数列{an}是否为等比数列.

专题33 等差、等比数列的性质的综合应用(课件)-2019年高考数学(理)名师揭秘之一轮总复习

则a4a5a6＝5 2.
3.在正项等比数列{an}中，lg a3＋lg a6＋lg a9＝ 6，则a1a11的值是( A )
A.10 000 B.1 000
C.100
D.10
(2)设函数 f(x)＝12x，数列{bn}满足条件 b1＝2，f(bn ＋1)＝f（－31－bn），(n∈N*).
①求数列{bn}的通项公式； ②设 cn＝bann，求数列{cn}的前 n 和 Tn.
【解析】(1)因为a＝λb，所以12Sn＝2n－1，
Sn＝2n＋1－2. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－2)－(2n－2) ＝2n，
1．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝ak＋(n－k)d(n，k∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且 m＋n＝p＋q(m，n，p， q∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq. (3)若{an}是等差数列，公差为 d，则 an，an＋m，an＋ 2m，…(n，m∈N*)是公差为__m_d____的等差数列． (4)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an.
≤49，
∴ak(k∈M)组成首项为211，公比为4的等比数列.
则所有ak(k∈M)的和211（11－－4445）＝2101－32
048 .
例4已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，向量 a＝(Sn，
1)，b＝2n－1，12，满足条件 a＝λb，λ ∈R 且 λ≠0. (1)求数列{an}的通项公式；
②cn＝bann＝3n2－n 1，
Tn＝221＋252＋283＋…＋32nn－－14＋3n2－n 1
①
12Tn＝222＋253＋284＋…＋3n2－n 4＋32nn－＋11

高中数学必修5《等差、等比数列的综合应用》PPT

4.已知数列{an}满足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*
π 且a5＝ 2 ，若函数f(x)＝sin
2x＋2cos2x2，记yn＝f(an)，
则数列{yn}的前9项和为(Βιβλιοθήκη C )A.0B.－9
C.9
D.1
【解析】∵数列{an}满足an＋2－an＋1＝an＋1－an， n∈N*，∴数列{an}是等差数列，∵a5＝π2 ， ∴a1＋a9＝a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝π，
＋1，n∈N*，λ为常数.
(1)证明：a1，a4，a5 成等差数列；
2 (2)设 cn＝ an2 an ，求数列{cn}的前 n 项和 Sn；
(3)当 λ≠0 时，数列an－1中是否存在三项 as＋1－ 1，at＋1－1，ap＋1－1 成等比数列，且 s，t，p 也成等比数列？若存在，求出 s，t，p 的值；若不存在，说明理由.
－an＋λ，
令 bn＝an＋1－an，
则 bn＋1－bn＝λ，b1＝a2－a1＝0，
所以 b 是以
n
0
为首项，公差为
λ
的等差数列，所
以 bn＝b1＋(n－1)λ＝(n－1)λ，
即 an＋1－an＝(n－1)λ，
所以 an＋2－an＝2(an＋1－an)＋λ＝(2n－1)λ，
所以
c ＝ n
2an2 an
等差、等比数列的综合问题（1）
【知识要点】
1．等差、等比数列的定义 (1)等差数列：如果一个数列从__第__二__项___起，每一项与它的前一项的差等于__同__一__个__常__数____，则称这个数列为等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用
字母 d 表示． (2)等比数列：如果一个数列从__第__二__项___起，每一

等差等比数列的综合应用

3.6 1.8 0.94 1.8 x 1.8 n n 1 0.94 1 0.94
60
x 3.6
例 3、有３０根水泥电线杆，要运往 1000 米远的地方开始安装，在 1000 米处放一根，以后每隔 50 米放一根，一直向前放．一辆汽车一次最多运三根．如果用一辆车完成这项任务，从开始运第一车算起，运完货后回到起点，这辆汽车的行程是多少千米？
第一车的行程为：(1000 50 2) 2 1100 2 第二车的行程为：(1100 50 3) 2 (1100 150) 2 ( 第三车的行程为：1100 50 6) 2 (1100 150 2) 2
第十车的行程为：
2
公共点的个数为
0
知识回顾
1.复利公式按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y=a(1+r)x
2.单利公式利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y=a(1+xr)
3.产值模型原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y=N(1+p) x
(1)98 [12 16 12 (n 1) 4] 50n
(2)方案一：n年后总盈利 50n (12 16 4n 8)
2n 2 40 n 98 49 年平均利润： 2(n ) 40 n n
变式：某渔业公司今年初用 98 万元购进一艘鱼船用于捕捞，第一年需要各种费用 12 万元，从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加 4 万元，该船每年捕捞总收入 50 万元. (Ⅰ)该船捕捞几年开始盈利？n (Ⅱ)该船捕捞若干年后，处理方案有两种，问哪一种方案合算？为什么？ ⑴当年平均利润最大时以 26 万元的价格卖出； ⑵当盈利总额达到最大时以 8 万元价格卖出。

2-5-2等差、等比数列的综合应用

第二章
2.5
第2课时
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3．解数列应用题的方法步骤是： (1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求： ①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是递推数列问题？是求 an 还是求 Sn？特别要注意准确弄清项数是多少． ②弄清题目中主要的已知事项；
第二章
2.5
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七个数排成一排，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且奇数项的和比偶数项的积多 42，首尾两项与中间项的和为 27，则中间项为________．
[答案] a4＝2
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[解析]
设这七个数为 a1，a2„„a7，
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5 20 由 lg 2≈0.3，可求得( ) ＝100，代入上式整理得 396x≤31 4 680，解得 x≤80(万立方米)．答：每年砍伐量最大为 80 万立方米．
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课前自主预习
第二章
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1．(2011· 福州高二检测)等比数列 2,4,8,16，„的前 n 项和 Sn 等于( ) B．2n－2 D．2n＋1－2
D
A．2n＋1－1 C．2n
[答案]
第二章
－
第二章
2.5
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等比数列与等差数列的应用

等比数列与等差数列的应用等比数列和等差数列是数学中非常重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。

本文就来探讨等比数列和等差数列在实际问题中的具体应用。

1. 财务领域的应用在财务领域，等比数列和等差数列经常用于计算利息、折旧等金融指标。

例如，如果我们想要计算某笔钱按照一定的利率增长多少年能够翻倍，我们可以使用等比数列的公式来解决这个问题。

同样地，等差数列也可以用来计算每月还款额度、每月存款增长等等。

通过数列的公式，我们可以快速计算出需要的数据，帮助我们做出更加合理的财务决策。

2. 自然科学领域的应用等比数列和等差数列在自然科学领域也有广泛的应用。

例如，在生态学中，我们经常需要研究种群数量的变化规律。

如果某种动物的数量每年以等比数列的形式增长，我们可以通过数列的公式来预测未来几年的种群数量。

同样地，在物理学中，等差数列则可以用来表示物体在匀速运动中的位置变化。

这些数列的应用帮助我们更好地理解和解释自然界中的现象和规律。

3. 工程领域的应用在工程领域，等比数列和等差数列也存在着重要的应用。

比如，在建筑设计中，等差数列可以用来计算墙壁的高度，在道路规划中，等差数列可以用来计算路段的长度。

而等比数列则可以用来计算管道的宽度、电路的电阻等等。

这些应用帮助工程师们更好地进行设计和规划，并确保工程项目的顺利进行。

总之，等比数列和等差数列是数学中非常重要的概念，它们的应用不仅仅局限于数学课本中，还涉及到我们生活中的方方面面。

通过运用等比数列和等差数列的公式，我们可以更好地解决实际问题，并且帮助我们做出更加明智的决策。

所以，在学习数学的过程中，我们应该注重理论的学习同时也要注重应用能力的培养，这样才能更好地应对各种实际问题。

教学设计教案等差、等比数列的综合应用

教学设计教案等差、等比数列的综合应用教学设计教案范文等差、等比数列的综合应用一. 教学内容：等差、等比数列的综合应用二、教学目标：综合运用等差、等比数列的定义式、通项公式、性质及前n项求和公式解决相关问题.三、要点：（一）等差数列1. 等差数列的前项和公式1：2. 等差数列的前项和公式2：3. （m， n， p，q ∈N ）5. 对等差数列前n项和的.最值问题有两种：（1）利用>0，d<0，前n项和有最大值，可由≤0，求得n的值。

当≤0，且二次函数配方法求得最值时n的值。

（二）等比数列1、等比数列的前n项和公式：∴当① 或②当q=1时，时，用公式②2、是等比数列不是等比数列②当q≠－1或k为奇数时，仍成等比数列3、等比数列的性质：若m n=p k，则【典型例题例1. 在等差数列{ ＋＋＋。

解：由等差中项公式：＋，＝2 ＋＋＝450，＋＝180＝（＋＋）＋（）＋＝9 为项的和。

解：（用错项相消法）①-② 时，当时，例3. 设数列项之和为，若，问：数列，∴即：，∴ ，∴即：例4. 设首项为正数的等比数列，它的前项之和为80，前项中数值最大的项为54，求此数列。

解：由题意代入（1），，从而∴ 项中数值最大的项应为第项∴ ∴∴∴此数列为例5. 求集合M={mm=2n－1，n∈N*，且m＜60＝的元素个数及这些元素的和。

，又∵n∈N*∴满足不等式n＜ = =900答案：集合M中一共有30个元素，其和为900。

【模拟1. 已知等比数列的公比是2，且前四项的和为1，那么前八项的和为（）A. 15B. 17C. 19D. 212. 已知数列{an=3n－2，在数列{an}中取ak2，akn ，… 成等比数列，若k1=2，k2=6，则k4的值（）A. 86B. 54C. 160D. 2563. 数列A. 750 B. 610 C. 510 D. 5054.<0的最小的n值是（）A. 5B. 6C. 7D. 85. 若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A. 13项B. 12项C. 11项D. 10项6. 数列并且。

等差数列等比数列综合经典例题

以下是等差数列和等比数列的经典例题：
等差数列求和问题：已知一个等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，求前n项和Sn。

解法：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，得到Sn = (a1+an)n/2 = n(a1+an)/2 = n(a1+a1+(n-1)d)/2。

将其化简可得Sn = n(a1+an)/2 = n(a1+a1+(n-1)d)/2 = (n/2)(a1+an) = (n/2)(a1+a1+(n-1)d)，其中a1和an可以根据公式计算出来，从而求得Sn。

等比数列求和问题：已知一个等比数列的首项为a1，公比为q，第n项为an，求前n项和Sn。

解法：根据等比数列的通项公式an = a1q^(n-1)，得到Sn = a1(1-q^n)/(1-q)。

将其化简可得Sn = a1*(1-q^n)/(1-q) = a1*(1-q)*(1+q+q^2+...+q^(n-1))/(1-q)。

由于1+q+q^2+...+q^(n-1)是一个等比数列的前n项和，因此可以用等比数列求和公式S=q^n-1/(q-1)求出，将其代入上式，就可以得到Sn的表达式。

这些例题是等差数列和等比数列求和问题中比较经典的例子，掌握了这些例题的解法，就能够比较顺利地解决一类问题。

在实际应用中，还会有更加复杂的情况，需要根据具体的条件设计相应的求和方法。