高中数学选修1-1第三章《导数及其应用》整合课件人教A版
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2019秋新版高中数学人教A版选修1-1课件：第三章导数及其应用本章整合3
所以当 a≤0 时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞); 当
������ a>0 时,f'(x)=x− ������
=
������2 -������ ������
=
f(x)的单调递增区间为( ������, +∞); 递减区间为(0, ������).
2 1 1 2 (3) 证明 设 g(x)= 3 ������3 − 2 ������2 − ln x,则 g'(x)=2x -x− ������. (������-1)(2������2 +������+1) 因为当 x>1 时,g'(x)= > 0, ������
知识建构
综合应用
真题放送
-13-
本章整合
知识建构
综合应用
真题放送
-14-
本章整合
知识建构
综合应用
真题放送
-15-
本章整合
仅供学习交流！！！
-16-
本章整合
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-17-
本章整合
知识建构
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真题放送
-18-
专题1
专题2
专题3
专题4
解:(1)因为蓄水池侧面的总成本为 100· 2πrh=200πrh 元,底面的 总成本为 160πr2 元, 所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元. 根据题意 200πrh+160πr2=12 000π,
2 即 3������0 − 3 = 0, 解得x0=± 1, 当 x0=1 时,g'(1)=12,切点坐标为(1,21), 则切线方程为 y=12x+9; 当 x0=-1 时,g'(-1)=0,切点坐标为(-1,9), 则切线方程为 y=9.
高中数学(人教版选修1-1)配套课件：第3章 导数及其应用3.2.2(二)
答案
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题型探究
重点突破
题型一 利用导数的运算法则求函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1)y＝(x2＋1)(x－1)； 解 ∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1， ∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′＝3x2－2x＋1. (2)y＝3x－lg x. 解 函数y＝3x－lg x是函数f(x)＝3x与函数g(x)＝lg x的差. 由导数公式表分别得出 f′(x)＝3xln 3，g′(x)＝xln110， 利用函数差的求导法则可得(3x－lg x)′＝f′(x)－g′(x)＝3xln 3－xln110.
f′xgx－fx·g′x gfxx′＝________[g__x__]2_______
(g(x)≠0)
两个函数的商的导数，等于分子的导 数乘上分母减去分子乘上分母的导数， 再除以分母的平方
答案
思考 若f(x)＝x2·sin x，则f′(x)＝(x2)′·(sin x)′＝2x·sin x是否正确？ 答案 不正确.f′(x)＝(x2)′·sin x＋x2·(sin x)′ ＝2x·sin x＋x2·cos x.
∴将②式和(1，－1)代入①式，得－1－(x30－2x0)＝(3x20－2)(1－x0).
解得 x0＝1 或 x0＝－12. ∴P 点坐标为(1，－1)或(－12，78)， 故所求的切线方程为 y＋1＝x－1 或 y－78＝－54(x＋12). 即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
反思与感悟
解析答案
2′·x2－2·x2′ 3′·x3－3·x3′
＝
x4
＋
x6
＝－x43－x94.
解析答案
1－sin x (3)y＝1＋cos x；
解 y′＝11＋－csoins xx′
人教A版高中数学选修1-1第三章导数及其应用复习课说课教学课件(共32张PPT)
x[3， )有三个零点，求实数t的取值范围。
分类讨论是否重复或遗漏？ 定义域优先考虑了吗？ 隐含条件注意了吗？ 分类讨论后“综上所述”了吗？ 计算过程都正确吗？ 有谁可以把错解拿来辨析吗？ 有没有其他方法？
2.5【引申拓展------说变式】 例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)ex,(aR)。
对题目的思维过程，即“说数学思维”，这样可以及时了解学习动态，对症指导，从而提高复习效率。 数学思想上本题考察了转化与化归思想、分类讨论思想以及数形结合解决问题的能力.
1A、dd完Yx成ou 作r T业e[x题t 及3其， 任意两个)有 不同三 类的个 变式零 。 点，求实数t的取值范围。
导数、二次函数均是高考考试的热点，要引起足够的注意．对于三次函数的零点讨论问题，可以通过典型例题的讲解，让学生建立解 决此类问题的模型，熟悉思路．另外要注意对学生进行掌握解决问题的通性通法的渗透教育，通过典型问题潜移默化逐步培养学生掌 握常见的数学思想，如：分类讨论思想、转化与化归思想、数形结合思想等，还有如分离参数的方法等．对于学生而言，这些远远胜 过掌握了某一道题的解法。 6【畅所欲言------说反思】 1、题目给的已知条件： 背景说明：高中数学复习课离不开解题，如何讲题、解题才能提高复习课的效率？波利亚在《怎样解题》中指出解题的四个步骤：“ 弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”， 它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题 的思维过程看得见，摸得着，而“说题”就是把审题、分析、解答和回顾的思维过程按一定规律一定顺序说出来，要求学习者暴露面 对题目的思维过程，即“说数学思维”，这样可以及时了解学习动态，对症指导，从而提高复习效率。 6【畅所欲言------说反思】 怎样分离变量？要变成怎样的目标呢？ 导数、二次函数均是高考考试的热点，要引起足够的注意．对于三次函数的零点讨论问题，可以通过典型例题的讲解，让学生建立解 决此类问题的模型，熟悉思路．另外要注意对学生进行掌握解决问题的通性通法的渗透教育，通过典型问题潜移默化逐步培养学生掌 握常见的数学思想，如：分类讨论思想、转化与化归思想、数形结合思想等，还有如分离参数的方法等．对于学生而言，这些远远胜 过掌握了某一道题的解法。 出题者的意图想考我们求导知识，极值与零点概念、分类讨论思想，数形结合思想等，所以我们平时要加强这方面知识，同时它也反 应出用导数知识解决函数问题的基本题型与基本步骤，其它的可根据个人依不同角度总结。
分类讨论是否重复或遗漏？ 定义域优先考虑了吗？ 隐含条件注意了吗？ 分类讨论后“综上所述”了吗？ 计算过程都正确吗？ 有谁可以把错解拿来辨析吗？ 有没有其他方法？
2.5【引申拓展------说变式】 例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)ex,(aR)。
对题目的思维过程，即“说数学思维”，这样可以及时了解学习动态，对症指导，从而提高复习效率。 数学思想上本题考察了转化与化归思想、分类讨论思想以及数形结合解决问题的能力.
1A、dd完Yx成ou 作r T业e[x题t 及3其， 任意两个)有 不同三 类的个 变式零 。 点，求实数t的取值范围。
导数、二次函数均是高考考试的热点，要引起足够的注意．对于三次函数的零点讨论问题，可以通过典型例题的讲解，让学生建立解 决此类问题的模型，熟悉思路．另外要注意对学生进行掌握解决问题的通性通法的渗透教育，通过典型问题潜移默化逐步培养学生掌 握常见的数学思想，如：分类讨论思想、转化与化归思想、数形结合思想等，还有如分离参数的方法等．对于学生而言，这些远远胜 过掌握了某一道题的解法。 6【畅所欲言------说反思】 1、题目给的已知条件： 背景说明：高中数学复习课离不开解题，如何讲题、解题才能提高复习课的效率？波利亚在《怎样解题》中指出解题的四个步骤：“ 弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”， 它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题 的思维过程看得见，摸得着，而“说题”就是把审题、分析、解答和回顾的思维过程按一定规律一定顺序说出来，要求学习者暴露面 对题目的思维过程，即“说数学思维”，这样可以及时了解学习动态，对症指导，从而提高复习效率。 6【畅所欲言------说反思】 怎样分离变量？要变成怎样的目标呢？ 导数、二次函数均是高考考试的热点，要引起足够的注意．对于三次函数的零点讨论问题，可以通过典型例题的讲解，让学生建立解 决此类问题的模型，熟悉思路．另外要注意对学生进行掌握解决问题的通性通法的渗透教育，通过典型问题潜移默化逐步培养学生掌 握常见的数学思想，如：分类讨论思想、转化与化归思想、数形结合思想等，还有如分离参数的方法等．对于学生而言，这些远远胜 过掌握了某一道题的解法。 出题者的意图想考我们求导知识，极值与零点概念、分类讨论思想，数形结合思想等，所以我们平时要加强这方面知识，同时它也反 应出用导数知识解决函数问题的基本题型与基本步骤，其它的可根据个人依不同角度总结。
2019秋新版高中数学人教A版选修1-1课件：第三章导数及其应用3.2
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3.2
导数的计算
仅供学习交流！！！
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-18-
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)y'=(x5-3x3-5x2+6)'=(x5)'-(3x3)'-(5x2)'+6'=5x4-9x2-10x. (2)y'= ������-sin 2 cos 2 ′ = ������- 2 sin������ ′ =x'−
解:(1)y'=8x7. (2)y'=
1 ������ 2 1 ln 2
=−
1 ������ 2
ln 2.
3 1 ������ 2 . 2
(3)∵y=������ ������ = (4)y'=
1 ������ln3
3 ������ 2 , ∴
������′ =
1 = − ������ln3.
1
-14-
5 2 ������0 5 ������0 -5 , ������0 5 5
=
5 ������0 -5 , 即x0-2 ������0
4
∴切点为(4,10),切线斜率为 . ∴切线方程为 y-5= ������, 即5x-4y+20=0.
5 4
0
v=s′|������ =������ .
0
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 3】 已知曲线 y=5 ������, 求过点������(0,5) 且与曲线相切的切线方程. 解: ∵点 P(0,5)不在曲线 y=5 ������上,
∴设切点坐标为(x0,5 ������0 ). ∵y'= 2 ������ , ∴ 切线斜率为 2 ������ . 0 又切线斜率为 ∴
2019秋新版高中数学人教A版选修1-1课件：第三章导数及其应用3.3.1
-20-
Hale Waihona Puke -21--22--23-
-24-
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)f'(x)=-x+ , ∵f(x)在(1,+∞)内是减函数, ∴当 x∈(1,+∞)时,f'(x)≤0 恒成立,即-x+ ������≤0, ∴a≤x2 恒成立.∵x2>1,∴a≤1. (2)∵f'(x)=3x2-k, 当 k≤0 时,f'(x)≥0,不合题意,舍去,∴k>0. 令 f'(x)=0,得 x=±
4������2 -1 4������2 -1 又 f'(x)= ,令 ������ ������ 1 单调递减区间为 0, 2 .
< 0, 得x<− 或0<x< , 由x>0,知 f(x)的
1 2
1 2
1-ln������ ������2
ln������
证明 f'(x)=
1 ������-ln������ ������·
1-ln������
> 0.
ln������
∴函数 f(x)= ������ 在区间(0,e)内是增函数.
3.3.1
函数的单调性与导数
仅供学习交流！！！
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题型一
3.3
导数在研究函数中的应用
3.3.1
函数的单调性与导数
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-8-
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题型一
题型二
题型三
高中数学(人教版选修1-1)配套课件：第3章 导数及其应用3.3.1
又∵x>0，∴0<x< 33.
∴f(x)的单调递增区间为(
33，＋∞)，单调递减区间为(0，
3 3 ).
解析答案
(4) f(x)＝x3－3tx. 解 f′(x)＝3x2－3t. 令f′(x) ＞0，得3x2－3t＞0，即x2＞t， ∴当t≤0时，f′(x)＞0恒成立，函数的增区间是(－∞，＋∞)； 当 t>0 时，解 x2＞t 得 x＞ t或 x＜－ t；
导数
单调递_增__
f′(x) ≥0
单调递_减__
f′(x)≤0
常函数
f′(x)＝0
思考 在区间(a，b)内，函数f(x)单调递增是f′(x)>0的什么条件？ 答案 必要不充分条件.
答案
知识点二 利用导数求函数的单调区间 求可导函数单调区间的基本步骤： (1)确定定义域； (2)求导数f′(x)； (3)解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.
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题型探究
题型一 利用导数判断函数的单调性
例1 证明
证明：函数 f(x)＝sinx x在区间π2，π上单调递减.
f′(x)＝xcos
x－sin x2
x ，又
x∈π2，π，
则cos x<0，∴xcos x－sin x<0，
∴f′(x)<0，∴f(x)在π2，π上是减函数.
12345
解析答案
12345
2.f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数 y＝f(x)的图象可能是( D )
解析 由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数； 当0<x<2时，f′(x)<0，即f(x)为减函数； 当x>2时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数.观察选项易知D正确.
高中数学(人教版选修1-1)配套课件：第3章 导数及其应用3.4
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题型探究
重点突破
题型一 用料最省问题 例1 如图，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与 甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A 相距50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂 的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在 岸边何处才能使水管费用最省？
即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省.
解析答案
题型二 面积、容积的最值问题 例2 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形 栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽 度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的 尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
优化问题 →用函数表示的数学问题
优化问题的答案 ← 用导数解决的数学问题
知识点三 解决优化问题的基本步骤 (1)分析实际问题中各变量之间的关系，根据实际问题建立数学模型， 写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)； (2)求导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和极值点的函数值的大小，最大者为最大值， 最小者为最小值； (4)依据实际问题的意义给出答案.
综上可知，为使全程运输成本y最小，
当 ab≤c 时，行驶速度 v＝
ab；当
a b>c
时，行驶速度
v＝c.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低 价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，一星期多 卖出24件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数； 解 若商品降低x元，则一个星期多卖的商品为kx2件. 由已知条件，得k·22＝24，解得k＝6. 若记一个星期的商品销售利润为f(x)， 则有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21].
题型探究
重点突破
题型一 用料最省问题 例1 如图，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与 甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A 相距50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂 的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在 岸边何处才能使水管费用最省？
即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省.
解析答案
题型二 面积、容积的最值问题 例2 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形 栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽 度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的 尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
优化问题 →用函数表示的数学问题
优化问题的答案 ← 用导数解决的数学问题
知识点三 解决优化问题的基本步骤 (1)分析实际问题中各变量之间的关系，根据实际问题建立数学模型， 写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)； (2)求导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和极值点的函数值的大小，最大者为最大值， 最小者为最小值； (4)依据实际问题的意义给出答案.
综上可知，为使全程运输成本y最小，
当 ab≤c 时，行驶速度 v＝
ab；当
a b>c
时，行驶速度
v＝c.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低 价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，一星期多 卖出24件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数； 解 若商品降低x元，则一个星期多卖的商品为kx2件. 由已知条件，得k·22＝24，解得k＝6. 若记一个星期的商品销售利润为f(x)， 则有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21].
高中数学(人教版选修1-1)配套课件：第3章 导数及其应用3.3.3
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解析答案
3.函数 y＝x－sin x，x∈π2，π的最大值是( C )
A.π－1
B.π2－1
C.π
D.π＋1
解析 因为y′＝1－cos x， 当 x∈π2，π时，y′>0， 则函数在区间π2，π上为增函数， 所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π，故选C.
答案
知识点三 最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言. (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有). (3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点. (4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得. 如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)， f(x4)，f(x6)为极小值.最大值y＝M＝f(x3) ＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值 y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得.
12345
解析答案
12345
4.函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值 为__－__7_1___. 解析 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1). 由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1. 又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27， f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20. 由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5， ∴f(x)min＝k－76＝－71.
4π 3
43π，2π
2π
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
0
单调递增↗
π3＋
解析答案
3.函数 y＝x－sin x，x∈π2，π的最大值是( C )
A.π－1
B.π2－1
C.π
D.π＋1
解析 因为y′＝1－cos x， 当 x∈π2，π时，y′>0， 则函数在区间π2，π上为增函数， 所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π，故选C.
答案
知识点三 最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言. (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有). (3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点. (4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得. 如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)， f(x4)，f(x6)为极小值.最大值y＝M＝f(x3) ＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值 y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得.
12345
解析答案
12345
4.函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值 为__－__7_1___. 解析 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1). 由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1. 又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27， f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20. 由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5， ∴f(x)min＝k－76＝－71.
4π 3
43π，2π
2π
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
0
单调递增↗
π3＋
新版高中数学人教A版选修1-1课件：第三章 导数及其应用 3.1.1-3.1.2
第三章 导数及其应用
-1-
3.1 变化率与导数
-2-
3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
-3-
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D 典例透析 IANLI TOUXI
1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))所在直线的斜率.
(6)平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s=s(t),在
时间段[t1,t2]上的平均速度,即
������
=
������(������2)-������(������1 ������2-������1
)
.
2.函数的平均变化率和瞬时变化率的关系
f(x)-f(x0).
x-x0
D 典例透析 IANLI TOUXI
123
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D 典例透析 IANLI TOUXI
【做一做 3】 求函数 y= ������在������ = 1 处的导数.
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D 典例透析 IANLI TOUXI
123
1.平均变化率
我们把式子 ������(������2)-������(������1) 称为函数������(������)从������1 到������2 的平均变化率.
-1-
3.1 变化率与导数
-2-
3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
-3-
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D 典例透析 IANLI TOUXI
1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))所在直线的斜率.
(6)平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s=s(t),在
时间段[t1,t2]上的平均速度,即
������
=
������(������2)-������(������1 ������2-������1
)
.
2.函数的平均变化率和瞬时变化率的关系
f(x)-f(x0).
x-x0
D 典例透析 IANLI TOUXI
123
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D 典例透析 IANLI TOUXI
【做一做 3】 求函数 y= ������在������ = 1 处的导数.
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D 典例透析 IANLI TOUXI
123
1.平均变化率
我们把式子 ������(������2)-������(������1) 称为函数������(������)从������1 到������2 的平均变化率.
高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数课件新人教A版选修1-1
【规律总结】 1.函数的单调性与其导数正负的关系 (1)充分条件:注意f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是函数 f(x)在某个区间上递增(或递减)的充分条件. (2)恒成立:在区间(a,b)内可导的函数f(x)在区间 (a,b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)(x∈(a,b))恒成立且f′(x)在区间(a,b) 的任意子区间内都不恒等于0.
3
答案: [ 1 ,1], [2,3)
3
例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
(1) f ( x) x3 3x. (2) f ( x) x 2 2 x 3.
(3) f (x) sin x x, x (0, ).
(4) f (x) 2x3 3x2 24x 1.
f(x) = 0.
综上, 函数f ( x )图象 O 1
4
x
的大致形状如图所示.
【变式训练】
(2016·吉安高二检测)函数y=f(x)在定义域 ( 3 ,3) 内可
2
导,其图象如图所示,记y=f(x)的导函数为y=f′(x),则
不等式f′(x)≤0的解集为
.
【解析】由题意不等式f′(x)≤0的解集 即函数y=f(x)的递减区间为 [ 1 ,1], [2,3).
有什么特征?
思考 请同学们回顾一下函数单调性的定义,并
思考某个区间上函数 y f x的平均变化率的几
何意义与其导数正负的关系.
思考: (1)在区间(a,b)上,如果f′(x)>0,则f(x)在该区间上 单调递增,反过来也成立吗? 提示:不一定成立.例如,f(x)=x3在R上为增函数,但 f′(0)=0,即f′(x)>0是f(x)在该区间上单调递增的充 分不必要条件. (2)利用导数求函数单调区间时,能否忽视定义域? 提示:首先需要确定函数的定义域,函数的单调区间是 定义域的子集.
2019秋新版高中数学人教A版选修1-1课件：第三章导数及其应用3.1.3
3.1.3
导数的几何意义
-2-
-3-
-4-
-5-
-6-
-7-
-8-
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-10-
-11-
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)∵y= 3 ������3, ∴y'=
1
1 = lim 3 Δ������ →0 Δ������ 1 = lim [3������2 + 3������Δ������ + (Δ������)2] = ������2. 3 Δ������ →0
1
1
= 4(������ − 2),
-13-
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 1】 求曲线 f(x)= ������ 在点 2, 2 处的切线方程. 解: 因为 f'(2) 1 1 f(2 + ������x)-f(2) = lim = ������������������ 2 + Δ������ 2 Δ������ →0 ������x →0 ������x Δ������ -1 1 = lim =− , Δ������ →0 2(2 + ������x) 4
∴y'|x=2=22=4. ∴点 P 处切线的斜率等于 4. (2)在点 P 处的切线方程是 即 12x-3y-16=0.
8 y− 3
3 ( ������ + Δ������ ) -3������3 ������y 3 lim = ������������������ ������ x Δ������ Δ������ →0 ������x →0 3������2 Δ������ + 3������(Δ������)2 + (Δ������)3
导数的几何意义
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题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)∵y= 3 ������3, ∴y'=
1
1 = lim 3 Δ������ →0 Δ������ 1 = lim [3������2 + 3������Δ������ + (Δ������)2] = ������2. 3 Δ������ →0
1
1
= 4(������ − 2),
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题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 1】 求曲线 f(x)= ������ 在点 2, 2 处的切线方程. 解: 因为 f'(2) 1 1 f(2 + ������x)-f(2) = lim = ������������������ 2 + Δ������ 2 Δ������ →0 ������x →0 ������x Δ������ -1 1 = lim =− , Δ������ →0 2(2 + ������x) 4
∴y'|x=2=22=4. ∴点 P 处切线的斜率等于 4. (2)在点 P 处的切线方程是 即 12x-3y-16=0.
8 y− 3
3 ( ������ + Δ������ ) -3������3 ������y 3 lim = ������������������ ������ x Δ������ Δ������ →0 ������x →0 3������2 Δ������ + 3������(Δ������)2 + (Δ������)3
高中数学第三章导数及其应用3.1.3导数的几何意义课件新人教A版选修1-1
2．函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点 P(x0， f(x0))处__切__线__的__斜__率___，在点 P 的切线方程为__y_－__f_(x_0_)＝__f_′(_x_0_)(_x_－__x_0)____．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点．( ) (2)过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点．( ) (3)若 f′(x0)不存在，则曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)×
＝y′＝__Δl_ixm_→_0 ______Δ_x_________.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)与导函数 f′(x)之间是有区别的．( ) (2)导函数 f′(x)的定义域与函数 f(x)的定义域相同．( ) (3)函数 f(x)＝x2 的导数是 f′(x)＝2x.( ) (4)函数 f(x)＝0 没有导函数．( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)×
求切点坐标
过曲线 y＝x2 上哪一点的切线满足下列条件？ (1)平行于直线 y＝4x－5； (2)垂直于直线 2x－6x＋5＝0； (3)倾斜角为 135°. 【精彩点拨】 本题考查曲线的切线的有关问题．解题的关键是设出切点 的坐标，求出切线的斜率．
解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息 得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时要注意解析几何知 识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等．
导数几何意义的应用
[小组合作型]
如图 3－1－3，点 A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点 E 作 OB 的 垂线 l.记△AOB 在直线 l 左侧部分的面积为 S，则函数 S＝f(x)的图象为下图中的 ()
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点．( ) (2)过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点．( ) (3)若 f′(x0)不存在，则曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)×
＝y′＝__Δl_ixm_→_0 ______Δ_x_________.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)与导函数 f′(x)之间是有区别的．( ) (2)导函数 f′(x)的定义域与函数 f(x)的定义域相同．( ) (3)函数 f(x)＝x2 的导数是 f′(x)＝2x.( ) (4)函数 f(x)＝0 没有导函数．( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)×
求切点坐标
过曲线 y＝x2 上哪一点的切线满足下列条件？ (1)平行于直线 y＝4x－5； (2)垂直于直线 2x－6x＋5＝0； (3)倾斜角为 135°. 【精彩点拨】 本题考查曲线的切线的有关问题．解题的关键是设出切点 的坐标，求出切线的斜率．
解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息 得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时要注意解析几何知 识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等．
导数几何意义的应用
[小组合作型]
如图 3－1－3，点 A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点 E 作 OB 的 垂线 l.记△AOB 在直线 l 左侧部分的面积为 S，则函数 S＝f(x)的图象为下图中的 ()
(人教版)高中数学选修1-1课件：第3章 导数及其应用3.1.1、2
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求平均变化率
(1)计算函数f(x)＝x2从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化 率，其中Δx的值为：
① 2；②1；③ 0.1；④ 0.01. (2)思考：当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的 平均变化率有怎样的变化趋势？ [思路点拨] 直接利用定义求平均变化率，先求出表达 式，再代入数据，就可以求出相应平均变化率的值．
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
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导数的概念
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的_瞬__时__变化率称为函数 y＝f(x)在 __x_＝__x_0__处的导数，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，
即 f′(x0)＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝__Δlix_m→_0__f_x_0＋__Δ_Δ_xx_－__f__x0___.
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
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求平均变化率的步骤： (1)先计算函数值的改变量 Δy＝f(x1)－f(x0)． (2)再计算自变量的改变量 Δx＝x1－x0. (3)求平均变化率ΔΔyx＝fxx11－ －fx0x0.
数学 选修1-1
Δy Δx.
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
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(2)导函数的函数值法，即先利用导数的定义求出导函数 f′(x)，再把 x＝x0 代入 f′(x)得 f′(x0)．
求函数在某一点处的导数，一般是先求出函数的导数，再计 算这点的导数值．
人教A版数学选修1-1课件第三章导数及其应用3.1.3
『规律方法』 1.f ′(x0)即为过曲线y＝f(x)上点P(x0， f(x0))切线的斜率．
2．若曲线y＝f(x)在(a，b)上任一点处的导数值都大于零， 可以判断曲线y＝f(x)在(a，b)上图象呈上升趋势，则函数y ＝f(x)在(a，b)上单调递增．而若y＝f(x)在(a，b)上任一点处 的导数都小于零，则函数y＝f(x)的图象在(a，b)上呈下降趋 势，y＝f(x)在(a，b)单调递减．当函数y＝f(x)在(a，b)上的 导数值都等于零时，函数y＝f(x)的图象应为垂直于y轴的直 线的一部分．
＝Δlixm→0[－(Δx)2－3x20－3x0·Δx]＝－3x20.
∴2x0＝－3x20，∴x0＝0 或 x0＝－23.
『规律方法』 求切点坐标可以按以下步骤进行： (1)设出切点坐标； (2)利用导数求出斜率； (3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标； (4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．
＝ lim Δx→0
12x＋14Δx＝12x，
∵点 P4，74不在抛物线 y＝14x2 上， ∴点 P 不是切点．
设切点为(x0，y0)，则 y0＝14x20.
∴过切点(x0，y0)的切线的斜率为 k＝12x0. 又∵切点过4，74和(x0，y0)两点， ∴12x0＝xy00－－744＝14xx002－－474. 解得 x0＝1，或 x0＝7. ∴过4，74的切线的斜率为12和72， 切线方程为 y－74＝12(x－4)和 y－74＝72(x－4) 即 2x－4y－1＝0 和 14x－4y－49＝0.
命题方向2 ⇨求切线方程
典例 2 已知曲线C：f(x)＝x3. (1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程；
(2)求过点(1,1)与曲线C相切的直线方程．
人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.3 导数的几何意义》赛课课件_3
教材P77：观察 当点Pn(xn, f (xn))(n=1,2,3,4)沿着曲线 f(x)趋近于 点P(x0, f (x0)) 时,割线 PPn的变化趋势是什么?
动画演示
当点Pn趋近于点P时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确 定位置的直线PT称为点P处的切线.
割线PPn的斜率与切线PT的斜率k有什么关系呢?
l1
l2
l1比l2的倾斜程度小 h(t)在t1比在t2的下降慢
练习
描述函数h(t)在t3和t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况.
(1)当t=t3时,曲线h(t)在t3处的 切线l3的斜率h(t3)>0.所以,在 t=t3附近曲线上升,即函数h(t) 在t=t3附近单调递增.
l3
l4
(2)当t=t4时,曲线h(t)在t4处的 切线l4的斜率h(t4)>0.所以,在 t=t4附近曲线上升,即函数h(t) 在t=t4附近单调递增. l3比l4的倾斜度大,h(t) 在t3比在t4的上升快
当x=x0时，f (x0)是一个确定的数. 当x变化时, f (x)便是一个函数,称它为f (x)的导函数(简称 导数)（也就是说函数f (x)的导数f (x)也是一个函数）
y=f (x)的导数有时也记作y
f 'x y' lim f x x f x
x0
x
例 1:（1）求曲线 y=f(x)=x2+1 在点 P(1,2)处的切线方程.
（2）求函数 y=3x2 在点
处的导数.
例 2、已知曲线 y＝13x3 上一点 P2，83，求：
(1)求在点P处的切线方程； (2)求过点P的曲线的切线方程．
练习 1、求双曲线 y＝1x在点12，2处的切线的斜率， 并写出切线方程．
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真题放送
下面求曲线y=f(x)的斜率为12和0的切线方程: ∵f(x)=-2x3+3x2+12x-11, ∴f'(x)=-6x2+6x+12. 由f'(x)=12,得-6x2+6x+12=12, 解得x=0或x=1. 当x=0时,f(0)=-11,此时切线方程为y=12x-11; 当x=1时,f(1)=2,此时切线方程为y=12x-10. 故y=12x+9不是公切线. 由f'(x)=0,得-6x2+6x+12=0,解得x=-1或x=2. 当x=-1时,f(-1)=-18, 此时切线方程为y=-18;当x=2时,f(2)=9, 此时切线方程为y=9.故y=9是公切线. 综上所述,当k=0时,y=9是两曲线的公切线.
所以 g(x)在(1,+∞)内是增函数, 所以 g(x)>g(1)= 6 > 0,
1 1 2
所以当 x>1时, 2 ������2 + ln x< 3 ������3.
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专题1 专题2 专题3 专题4
知识建构
综合应用
真题放送
应用 2 设 f(x)=− 3 ������3 + 2 ������2 + 2������������. (1)若 f(x)在 (2)当
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(2)直线 m 过定点(0,9),先求过点(0,9)与曲线 y=g(x)相切的直线 方程. 2 设切点为(x0,3������0 + 6������0 + 12). ∵g'(x0)=6x0+6, 2 ∴切线方程为 y-(3������0 + 6������0 + 12) = (6������0 + 6)(������ − ������0), 2 2 将点(0,9)代入,得 9-3������0 − 6������0 − 12 = −6������0 − 6������0,
������ a>0 时,f'(x)=x− ������
=
������2 -������ ������
=
f(x)的单调递增区间为( ������, +∞); 递减区间为(0, ������).
2 1 1 2 (3) 证明 设 g(x)= 3 ������3 − 2 ������2 − ln x,则 g'(x)=2x -x− ������. (������-1)(2������2 +������+1) 因为当 x>1 时,g'(x)= > 0, ������
2 即 3������0 − 3 = 0, 解得x0=± 1, 当 x0=1 时,g'(1)=12,切点坐标为(1,21), 则切线方程为 y=12x+9; 当 x0=-1 时,g'(-1)=0,切点坐标为(-1,9), 则切线方程为 y=9.
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专题2 利用导数研究函数的单调性、极值、最值 利用导数研究函数的性质,彰显了导数是研究函数性质的强有力 工具,因此,应熟练掌握利用导数研究函数性质的方法. (1)在研究函数的单调性方面,主要有两种题型:一是求单调区间; 二是根据单调性求参数的取值范围,这类题目中,通常根据单调性 得恒成立不等式,然后再分离参数求解. (2)在研究函数的极值方面,主要有三类题型:一是求极值;二是已 知极值求参数值,在这类题中,由于导数为零是函数取得极值的必 要非充分条件,所以解出结果后要注意检验;三是解答函数零点或 方程根的个数问题. (3)在研究函数最值方面,主要是求最值与已知最值求参数.
解析ห้องสมุดไป่ตู้ 因为
1 y'=2ax− , 所以y'|x=1=2a-1. ������ 1
因为曲线在点(1,a)处的切线平行于 x 轴, 所以其斜率为 0,故 2a-1=0,a= 2.
答案:2
1
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应用2已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12,直线 m:y=kx+9,又f'(-1)=0. (1)求a的值; (2)是否存在实数k,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是y=g(x)的 切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,说明理由. 解:(1)∵f'(x)=3ax2+6x-6a,且f'(-1)=0, ∴3a-6-6a=0,∴a=-2.
1 2
1 2
(1) 解: 因为 f'(x)=x− ������ , 且x=2 是一个极值点, 所以 2− 2 = 0, 即a=4. 此时 f'(x)=x− =
4 ������ (������+2)(������-2) . ������ ������
������
2 3
因为 f(x)的定义域是(0,+∞), 所以当 x∈(0,2)时,f'(x)<0;当 x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,所以当 a=4 时,x=2 是一个极小值点,故 a=4.
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应用 1 已知函数 f(x)= ������2 − ������ln ������(������∈R), (1)若 f(x)在 x=2 时取得极值,求 a 的值; (2)求 f(x)的单调区间; (3)求证:当 x>1 时, ������2 + ln ������ < ������3.
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(2) 解: 因为
������ f'(x)=x− ������
=
������2 -������ , ������ (������+ ������)(������- ������) , ������
所以当 a≤0 时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞); 当
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专题1 利用导数的几何意义求切线方程 导数的几何意义主要应用在研究函数图象的切线问题中,此时关 键是抓住切点,它是联结曲线和其切线的“桥梁”,在做题时若题中没 有给出切点,往往需要设出切点. 应用1若曲线y=ax2-ln x在点(1,a)处的切线平行于x轴,则 a= .