第七讲 无理数与算术平方根

第七讲无理数及算术平方根

知识要点：

一、无理数

1.无限不循环小数称为无理数。

2.判断一个数是无理数需满足三个条件：（1）是小数，（2）是无限小数，（3）是不循

环小数。三个条件，缺一不可。

3.有理数与无理数的主要区别：

（1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数。

（2）任何有理数都可以化为分数形式，而无理数则不能。

二、算术平方根

1. 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即2x a

，那么这个正数x就叫作a的算术

，读作“根号a”。

规定0的算术平方根是0.

2.

（1a是非负数，即a≥0；（20。

也就是说，正数的算术平方根是一个正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。思维驿站：

例题1、如图所示，（1）以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？

（2）设该正方形的边长为a，则a应满足什么条件？

（3）a是有理数吗？

变式练习：如图是由16个边长为1的正方形拼成的，连接这些小正方形的若干顶点，得到五条线段CA，CB，CD，CE，CF，其中长度不是有理数的有条。

例题2、已知直角三角形的两直角边长分别是9cm和5cm，斜边长是x cm。

（1）估计x在哪两个整数之间；

（2）如果把x精确到十分位，估计x介于哪两个数之间。

变式练习：已知正整数m 满足条件239m =，则m 的整数部分为 。

例题3、下列各数，哪些是有理数？哪些是无理数？

0, ,2π

4,- ..

0.12, 11

,7- 1.112111211,⋅⋅⋅ 3.1415927

变式训练：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

3.14, 3

,4- ..

1.34, 1

,3 0.35,- 0,π 0.2020002000002,⋅⋅⋅ 2,π 18

例题4、 求下列各数的算术平方根。

（1）1.69 （2）7

19 （3）()16-- （4）()210-

变式练习：计算下列各数的算术平方根。

（1）0 （2）121- （3）2234+ （4）2

23⎛⎫

- ⎪⎝⎭

巩固训练

一、选择题

1. 面积为6的长方形中，长是宽的2倍，则宽为 （ ）

A. 整数

B. 分数

C. 无理数

D. 无法确定

2. 一个面积为13cm ²的正方形，它的边长是 （ ）

A. 一个整数

B. 一个分数

C. 一个有理数

D. 一个无理数

3. 面积为3的正方形，其边长为x ，则x 满足 （ ）

A. 12x <<

B. 23x <<

C. 34x <<

D. 45x <<

4. 估计面积为11的正方形边长的值（精确到十分位）为（）

A. 3.1

B. 3.4

C. 3.3

D. 3.5

5. 下列说法中正确的是（）

A. 有理数与无理数的差是有理数

B. 无限小数都是无理数

C. 有理数都是有限小数

D. 两个无理数的和不一定是无理数

6. 下列说法不正确的是（）

A. 无限小数都是无理数

B. 无理数都是无限小数

C. 有理数不都是有限小数

D. 有限小数都是有理数

7. 下列说法中正确的是（）

A. 无理数是无限不循环小数

B. 有理数是有限小数

C. 正数、0、负数统称为有理数

D. 无限小数是无理数

8. 在实数

1

13

-，1.732，

..

0.23， 1.424424442

-⋅⋅⋅，2π，2 6.28

π-中，无理数有（）

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 5个

9. 16的算术平方根是（）

A. 4

B. 8

C. －4

D. ±4

10. 一个数的算术平方根是a，比这个数大2的数是（）

A. 2

a+ B. 2 C. 2 D. 22

a+

二、填空题

1. 等边△ABC中，BC边上的高是AD，如果AB=6，则AD的长是介于整数和之间的无理数。

2. 在0，

1

3

-，3.14，

1

π

，0.7

g

，－234.101010…，0.2020020002…中，有理数有个，

无理数有个。

3. 已知()250

x-=，则x=，y=。

4. 0

=，则2

x y z

++= 。

5. = 。

6. 算术平方根等于它本身的数是。

三、解答题

1. 在数

3

4

-， 1.42

-

g g

，π，3.1416， 1.424224222

-⋅⋅⋅，

2

3

，0，24，()21n

-中，

（1）写出所有有理数；（2）写出所有无理数；（3）把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号“＜”连接