2019-2020年数学必修5同步课件讲义应用案巩固提升：第2章2.1数列(苏教版)

2．1数列
1.了解数列的概念及分类．
2.理解数列与函数的关系．
3.掌握数列的表示
方法．
1．数列及其相关概念
(1)数列：按照一定次序排列的一列数称为数列．
(2)项：数列中的每个数都叫做这个数列的项，第1项通常也叫做首项，若是有穷数列，最后一项叫做末项．
(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，….简记为{}
a n.
2．数列的通项公式
如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
3．数列的表示方法
通项公式法、列表法、图象法．
4．数列的分类
分类标准名称含义例子
按项的个数有穷数列项数有限的数列1，2，3，4，…，100无穷数列项数无限的数列1，4，9，…，n2，…
按项的变化
趋势递增数列
从第2项起，每一项都大于
它的前一项的数列
3，4，5，…，n＋2递减数列
从第2项起，每一项都小于
它的前一项的数列
1，
1
2，
1
3，…，
1
2 016常数列各项都相等的数列6，6，6，6，…摆动数列
从第2项起，有些项大于它
的前一项，有些项小于它的
前一项的数列
1，－2，3，－4，…
5．数列与函数的关系
在数列{a n }中，对于每一个正整数n (或n ∈{1，2，…，k })，都有一个数a n 与之对应，因此，数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集{1，2，…，k })为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．反过来，对于函数y ＝f (x )，如果f (i )(i ＝1，2，3，…)有意义，那么我们可以得到一个数列f (1)，f (2)，f (3)，…，f (n )，….
6．数列的图象
数列用图象来表示，可以以序号n 为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，数列的图象是一系列孤立的点，从数列的图象可以直观地看出数列的变化情况．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1，1，1，…是无穷数列．( )
(2)数列1，2，3，4和数列1，2，4，3是同一个数列．( ) (3)有些数列没有通项公式．( )
解析：(1)正确．每项都为1的常数列，有无穷多项．
(2)错误，虽然都是由1，2，3，4四个数构成的数列，但是两个数列中后两个数顺序不同，不是同一个数列．
(3)正确，某些数列的第n 项a n 和n 之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项公式，否则，不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式．
答案：(1)√ (2)× (3)√
2．600是数列1×2，2×3，3×4，4×5，…的第________项． 解析：a n ＝n (n ＋1)＝600＝24×25，所以n ＝24. 答案：24
3．数列{a n }满足a n ＝log 2(n 2＋3)－2，则log 23是这个数列的第________项． 解析：令a n ＝log 2(n 2＋3)－2＝log 23，解得n ＝3. 答案：3
4．数列1，2，7，10，13，…中的第26项为________． 解析：因为a 1＝1＝1，a 2＝2＝4， a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13， 所以a n ＝3n －2，
所以a 26＝3×26－2＝76＝219. 答案：219
数列的概念[学生用书P19]
下列叙述正确的是________．
①数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}；
②数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列；
③数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫n ＋1n 的第k 项是1＋1
k ； ④数列0，2，4，6，8，…可表示为a n ＝2n (n ∈N *)．
【解析】 对于①，{1，3，5，7}是集合； 对于②，是两个不同的数列，排列顺序不同； 对于③，a k ＝k ＋1k ＝1＋1
k ；
对于④，a n ＝2(n －1)(n ∈N *)．
【答案】 ③
(1)判断一个数列是有穷或无穷数列的关键是判断数列的项数是有穷的或是无穷的． (2)判断数列单调性的方法：
①若数列{a n }满足a n <a n ＋1，则是递增数列． ②若数列{a n }满足a n >a n ＋1，则是递减数列． ③若数列{a n }满足a n ＝a n ＋1，则是常数列．
1.下列各组元素能构成数列吗？如果能构成数列，判断是有穷数列，还是
无穷数列，并说明理由．
(1)3，11，1，2，8，9； (2)自然数集；
(3)－3，－1，1，x ，5，7，y ，11. 解：(1)能构成数列，且是有穷数列．
(2)能构成数列，且是无穷数列，形式如：0，1，2，3，….
(3)当x ，y 代表数时表示数列，此时是有穷数列，当x ，y 中有一个不代表数时，便不是数列，这是因为数列必须是由一列数按一定次序排列组成的．
由数列的前几项写出数列的通项公式[学生用书P19]
写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)3，5，9，17；(2)23，415，635，8
63；
(3)－1，32，－54，7
8
；(4)0，1，0，1；
(5)9，99，999，9 999.
【解】 (1)3＝2＋1，5＝4＋1＝22＋1，9＝8＋1＝23＋1，17＝16＋1＝24＋1，通项公式a n ＝2n ＋1.
(2)根据题意分析可知：分子为2的倍数， 即为2n ，分母比分子的平方小1，
所以a n ＝2n
（2n ）2－1
.
(3)该数列各项的符号是负正交替变化的， 其绝对值为11，32，54，7
8，
故a n ＝(－1)n ·2n －1
2
n －1.
(4)该数列前4项可以写成1－12，1＋12，1－12，1＋1
2
，
再归纳为1＋（－1）12，1＋（－1）22，1＋（－1）32，1＋（－1）4
2，
所以a n ＝1＋（－1）n
2
.
(5)因为9＝101－1，99＝102－1，999＝103－1，9 999＝104－1，所以a n ＝10n －1.
用观察法求数列通项公式的注意事项
给出数列的前几项，求通项时，注意观察数列中各项与其序号的变化关系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系，主要从以下几个方面来考虑：
(1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系．
(2)若第n 和n ＋1项正负交错，那么符号用(－1)n 或(－1)n ＋1或(－1)n －
1来调控． (3)熟悉一些常见数列的通项公式．
(4)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．
2.写出以下数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数．
(1)－1，12，－13，1
4；
(2)112，245，3910，416
17；
(3)12，34，78，1516
. 解：(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正，故有：
a n ＝(－1)n ·1
n .
(2)112＝1＋1
12＋1，
245＝2＋22
22＋1， 3910＝3＋32
32＋1， 41617＝4＋42
42＋1， …，
故a n ＝n ＋n 2
n 2＋1(n ∈N *)．
(3)12＝21－121＝1－12
1，
34＝22－122＝1－122， 78＝23－123＝1－123， 1516＝24－124＝1－124， …，
故a n ＝2n －12n ＝1－1
2n (n ∈N *)．
通项公式的简单应用[学生用书P20]
已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出此数列的第4项和第6项；
(2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？ 【解】 (1)a 4＝3×42－28×4＝－64， a 6＝3×62－28×6＝－60.
(2)由3n 2－28n ＝－49解得n ＝7或n ＝7
3(舍去)，
所以－49是该数列的第7项；
由3n 2－28n ＝68解得n ＝－2或n ＝34
3，均不合题意，
所以68不是该数列的项．
若本例中的条件不变，
(1)试写出该数列的第3项和第8项；
(2)问20是不是该数列的一项？若是，应是哪一项？ 解：(1)因为a n ＝3n 2－28n ， 所以a 3＝3×32－28×3＝－57， a 8＝3×82－28×8＝－32. (2)令3n 2－28n ＝20， 解得n ＝10或n ＝－2
3(舍去)，
所以20是该数列的第10项．
(1)利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n 项a n 与它的位置序号n 之间的关系，只要用序号代替公式中的n ，就可以求出数列的相应项．
(2)判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n 项，然后列出关于n 的方程．若方程解为正整数则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．
3.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－12n ＋3
4.。