几类重要的随机过程汇总

概率分布：
f (x1, x2,
, xn;t1,t2,
,
tn
)
(2
)n
1
2
|
C
|1
2
exp[
1 2
(x
μ)C-1(x
μ)]
m(t1 )
μ
m(t2
)
m(tn
)
C(t1, t1) C C(t2 , t1)
C(tn , t1)
C(t1, t2 ) C(t2 , t2 )
C(tn , t2 )
E[Y ] aμ, D[Y ] aCa 。
若e=(ejk)是m × n矩阵, Z eX 是m × 1的列矩阵，即m 维向量，则， E[Z] eμ, D[Z] eCe 。
4.1.1 正态分布（高斯分布）
n维正态随机变量的性质：
（3）（线性变换）
定理1：X ( X1, X 2 , , X n )服从n维正态分布N(μ,C)
f (x)
1
n
1 ( x-μ)C-1 (x-μ )
1 e2
(2 ) 2 | C | 2
, X n )
其中， x (x1, x2 , , xn ) μ (1, 2 , , n ) 为均值向量，
C (cij )nn , cij cov( X i , X j )为协方差矩阵， 则称X服从n维正态分布，称X为n维正态随机变量 。
)n
1
21
2
n
exp[ 1 2
n i1
( xi
mi
2 i
)2
]
n
i1
1
2 i
exp[
(xi mi
2
2 i
)2
]
n i1
f (xi ,ti )
n维正态概率密度 等于n个一维正态 概率密度的乘积。
即
n
X
i
Zn
i 1
n
的极限分布为标准正态分布N(0,1)；
近似地服从正态分布 N (n, n 2 )。
i 1
该定理表明，若有大量相互独立的随机变量，且每个随
机变量对它们之和的影响足够小时，则当这些随机变量的个
数趋于无穷大时，这些随机变量的和服从正态分布，而与每
个随机变量的分布无关。
4.1.1 正态分布（高斯分布） n维正态随机变量的性质：
态分布 N (eμ,eCe。)
正态分布随机变量的线性变换不变性
4.1.2 正态随机过程（高斯过程）
定义：若随机过程{X(t), t∊T},对于任意n个时刻t1, t2,…, tn ∊T, n维随机变量[X(t1), X(t2),…, X(tn) ]的联合概率分布为n 维正态分布，则称{X(t), t∊T}为正态过程（或高斯过程）。
Cb是保留C的第k1,k2,…,km行和列所得到的m×m矩阵
4.1.1 正态分布（高斯分布） n维正态随机变量的性质：
（2）（独立性）
定理1：n维正态分布的随机变量 X1, X 2 , , X n 相互 统计独立的充要条件是它们两两互不相关。
定理2：若X是正态分布的随机向量，X1和X2是X的两 个子向量，即 X (X1, X2 ) ，则X1与X2相互统计独立的充要 条件是它们的互协方差矩阵为0。
数
0, 当i k,
C
(ti
,
tk
)
2 i
,
当i k.
C 012
0
2 2
0 0
n
| C |
2 i
i 1
f (x1, x1, , xn;t1,t2,
0
0
2 n
1
2 1
C1
0
0
1
2 2
0 0
0
0
1
2 n
,
tn
)
(2
)n
1
2
|
C
|1
2
exp[
1 2
(x
μ)C-1(x
μ)]
(2
（1）（n维正态分布的边沿分布）
设 X ( X1, X 2 , , X n )是 n维正态随机向量，则X的 任一子向量 Xb ( X k1 , X k2 , , X km ) (m n) 也服从 正态分布。
X N(u,C) Xb N (ub , Cb )
μb (k1 , k2 , , km )
4.1.1 正态分布（高斯分布）
n维正态随机变量的性质：
（3）（线性变换）
设 X ( X1, X 2 பைடு நூலகம் , X n )是n维正态随机变量，均值
为 E[X] μ (1, 2 , , n )，协方差矩阵为C。
n
若 Y ak X k aX ，其中 a (a1, a2 ,
, an )，则
k 1
其中， 为均值； 2 为方差。分布函数为
F(x) 1
x
e
(
t )2 2 2
dt
(
x
)
2
当 0, 2 1 时的正态分布称为标准正态分布，记 为 X N(0,1)。分布函数 F(x) (x)
4.1.1 正态分布（高斯分布）
定义2：如果n维随机变量 X ( X1, X 2 , 的概率密度为
若一个正态过程{X(t), t∊T}在任意n个时刻t1, t2,…, tn ∊T,
采样，所得的n维随机变量X(t1), X(t2),…, X(tn) 两两互不相关， 则，这些随机变量也是相互独立的。
对于多个正态过程，若两两互不相关，则两两相互独立。
[证明] X(t1), X(t2),…, X(tn) 两两互不相关，则协方差函
n维正态分布完全由一阶矩和二阶矩所确定。
4.1.1 正态分布（高斯分布）
中心极限定理：设 X1, X 2 , , X n 是n个相互独立同分布的
随机变量，每个随机变量的均值为 ，方差为 2 ，则
n
Xi n
lim P{ i1
x}
1
x t2
e 2 dt (x)
n n n
2
Xi n
C(t1, tn )
C
(t2
,
tn
)
C(tn , tn )
特征函数：
(u1 , u2 ,
,
un
)
exp(iμu
1 2
uCu)
4.1.2 正态随机过程（高斯过程）
性质：
（1）正态过程{X(t), t∊T}的n维概率密度及特征函数完全
由它的均值向量和协方差矩阵所确定。（二阶矩过程）
（2）对于正态过程，独立性和不相关性是等价的。
n
的充要条件是它的任何一个线性组合 Y ak X k aX
k 1
服从一维正态分布 n
nn
N ( ak k ,
ak aiCki )
k 1
k 1 i1
。
定理2：若 X ( X1, X 2 , , X n )服从n维正态分布
N(μ,，C)而若e=(ejk)是m×n矩阵,则 Z eX服从m维正
4 几种重要的随机过程
正态过程（高斯过程） 独立过程 独立增量过程 维纳过程 泊松过程 马尔可夫过程 生灭过程
4.1 正态过程(高斯过程)
4.1.1 正态分布（高斯分布）
定义1：如果随机变量X的概率密度为
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
2
x
则称X为服从参数的正态分布，记为 X N (, 2，)