高中数学必修1基本初等函数常考题型：幂函数

D．4
m
1
x m2
2m
3
，求此幂函数的解析式，并指出定义域．
(1)[ 解析 ] ②⑦为指数函数，③中系数不是 量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选 B.
1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变
[ 答案 ] B
(2)[ 解]
∵y＝ m2
m
1
x m2
2m
3
为幂函数，
∴ m2－ m－ 1＝ 1，解得 m＝ 2 或 m＝－ 1. 当 m＝ 2 时， m2－ 2m－ 3＝－ 3，则 y ＝x－ 3，且有 x≠０； 当 m＝－ 1 时， m2－ 2m－ 3＝ 0，则 y ＝x0，且有 x≠0. 故所求幂函数的解析式为 y ＝x －3， {x|x ≠0或} y＝ x0， {x|x ≠0．} 【类题通法】
偶函数
在 (－ ∞， 0]上
在 (－ ∞，＋ ∞） 单调递减，在
上单调递增
(0 ，＋ ∞）上单
调递增
奇函数
奇函数
在 (－ ∞， 0)上
在 (－ ∞，＋ ∞） 单调递减，在
上单调递增
(0，＋ ∞）上单
调递减
非奇非偶函数
在 [0，＋ ∞）上 单调递增
定点
(1,1)
3．幂函数的性质 (1) 所有的幂函数在区间 (0，＋ ∞）上都有定义，并且图象都过点
轴正半轴．
【常考题型】
题型一、幂函数的概念
【例 1】
x
(1) 下列函数：① y＝ x 3；② y＝ 1 ；③ y＝ 4x 2；④ y＝ x5＋ 1；⑤ y＝ (x － 1)2； 2
⑥ y ＝ x ；⑦ y＝ ax(a>1) ．其中幂函数的个数为 (
)
A．1
B．2
C．3
(2) 已知幂函数 y＝ m2
【知识梳理】
1．幂函数的概念
幂函数
一般地，函数 y＝ x 叫做幂函数．其中 x 是自变量， α是常数．
2．常见幂函数的图象与性质
解析式
y＝ x
y＝ x2
y＝ x3
1 y＝x
1
y＝ x2
图象
定义域
R
R
R
{x|x ≠0}
[0，＋ ∞）
值域
R
[0，＋ ∞）
R
{y|y ≠0}
[0，＋ ∞）
奇偶性 单调性
奇函数
或
y＝
x2
或
3
y＝ x )来判断．
(类似于 y
【对点训练】
已知函数 y ＝ x a ， y＝ xb ， y＝ xc 的图象如图所示，则 a， b， c 的大小关系为 (
)
A ． c<b<a
B ．a<b<c
C ． b<c<a
D． c<a<b
解析：选 A 由幂函数的图象特征知， c<0， a>0， b>0.
23，
2
2
2
3
∴
3
3
>
2
3
，∴
33 24
>
.
4
3
4
3
【类题通法】
比较幂值大小的方法
(1) 若指数相同，底数不同，则考虑幂函数；
(2) 若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；
(3) 若指数与底数都不同， 则考虑插入中间数， 使这个数的底数与所比较数的一个底数相同， 指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小．
题型二、幂函数的图象
【例 2】 (1) 如图， 图中曲线是幂函数 y＝ x 在第一象限的大致图
象，已知 α取－ 2，－ 12， 12， 2 四个值，则相应于曲线 C1， C2，C3， C4
的 α的值依次为 ( )
A ．－
2，－
1， 1， 2 22
B ．2， 1，－ 1，－ 2 22
C ．－
12，－
又 25>13，∴
0.5
2
0.5
1
>
.
5
3
(2) ∵幂函数 y＝ x 1在 (－ ∞， 0)上是单调递减的，
又－
2 3<
－
3，∴ 5
1
2
>
3
1
3
.
5
x
2
(3) ∵函数 y1＝
3
为 R 上的减函数，又 34>23，
2
3
∴
23
>
24
.
3
3
2
又∵函数
y 2＝ x 3 在 (0，＋ ∞）上是增函数，且
3 4>
故相应于曲线
C1， C2，C3， C4 的 α值依次为
2， 1，－ 1，－ 2.故选 B. 22
(2) 此类题有一简捷的解决办法，在 指数大 ”．如图， 0<m<1 ，n<－ 1.
(0,1) 内取 x0，作直线 x＝ x 0，与各图象有交点，则 “点低
[ 答案 ] (1)B (2)B 【类题通法】
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为
y＝ x ( α为常数 )的形式，即函数的解
析式为一个幂的形式，且需满足： (1)指数为常数； (2) 底数为自变量； (3) 系数为 1.反之，若一个
函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件．
【对点训练】
2,2
，
1 2
D
．
2，
12，－
2，－
1 2
(2) 如图是幂函数 y＝ x m 与 y＝ xn 在第一象限内的图象，则 (
)
A ．－ 1<n<0<m<1
B ．n< － 1,0<m<1
C．－ 1<n<0， m>1
D． n< － 1，m>1
[ 解析 ]
(1)令
x＝2，则
2
2>2
1 2>2
－
1 2
>2
－
2，
(1,1) ．
(2) α >时0 ，幂函数的图象通过原点，并且在区间 特别地，当 α>1时，幂函数的图象下凸； 当 0<α<1时，幂函数的图象上凸．
[0，＋ ∞）上是增函数．
(3) α <时0 ，幂函数的图象在区间 (0，＋ ∞）上是减函数．在第一象限内，当 x 从右边趋向原 点时， 图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴； 当 x 趋于＋ ∞时， 图象在 x 轴上方无限地逼近 x
(1) 依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在
(0,1) 上，指数越大，幂函数图象越靠近
x 轴 (简记为指大图低 )；在 (1，＋ ∞）上，指数越大，幂函数图象越远离 x 轴( 简记为指大图高 )．
(2) 依据图象确定幂指数 α与 0,1 的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象
1
＝ x －1
由幂函数的性质知， 当 x>1，幂指数大的幂函数的函数值就大， 则 a>b.综上所述， 可知 c<b<a.
题型三、利用幂函数的性质比较大小
【例 3】 比较下列各组数中两个数的大小．
0.5
0.5
2
1
(1)
与
；
5
3
1
1
2
3
(2)
与
；
3
5
3
2
(3)
2
4
与
33
.
3
ห้องสมุดไป่ตู้
4
[ 解 ] (1) ∵幂函数 y＝ x0.5 在 (0，＋ ∞）上是单调递增的，
函数 f(x) ＝ m2 m 1 xm2 m 3是幂函数，且当 x∈ (0，＋ ∞）时， f(x) 是增函数，求 f(x) 的
解析式． 解：根据幂函数的定义得 m2－ m－ 1＝ 1.解得 m＝ 2 或 m＝－ 1. 当 m＝ 2 时， f(x) ＝x3 在 (0，＋ ∞）上是增函数； 当 m＝－ 1 时， f(x) ＝ x －3 在 (0，＋ ∞）上是减函数，不符合要求． 故 f(x) ＝ x3.