椭圆周长和旋转椭球面积近似值的简单算法(第十六届北京高中数学知识应用竞赛论
椭圆形面积的计算公式
椭圆形面积的计算公式s=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的半长轴,半短轴的长).或s=π(圆周率)×a×b/4(其中a,b分别是椭圆的长轴，短轴的长).定理内容如果一条紧固直线被甲乙两个半封闭图形所沙尔霍罗德区的线段比都为k，那么甲面积就是乙面积的k倍。
那么x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的面积为π * a^2 * b/a=πabc1c2clone在此倡议网友编辑公式的其他推论因为两轴焦点在0点，所以椭圆的面积可以分为4个相等的部分，分别是+x+y、-x+y、-x-y、+x-y四个区域，所以只要求出一个象限间所夹的面积，然后再乘以4就可以得到整个椭圆的面积。
拣最简单的来吧，先求第一象限所夹部分的面积。
根据定积分的定义及图形的性质，我们可以把这部分图形无限分为底边在x轴上的小矩形，整个图形的面积就等于这些小矩形面积和的极限。
现在应用元素法，在图形中任找取一点，然后再取距这点距离无限近的另一个点，这两点间的距离记做dx，然后取以dx为底边，两点分别对应的y为高，与曲线相交够成的封闭的小矩形的面积s，显然，s=y*dx 现在求s的定积分，即大图形的面积s，s=∫[0:a]ydx 意思是求0 到 a上y关于x的定积分步骤：(第一象限全取正，后面不做说明) s=∫[0:a]ydx=∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx 设x^2/a^2=sin^2t 则∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx=∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint)pi=圆周率∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint)=∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt cos^2t=1-sin^2t∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt 这里需要用到一个公式：∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[0:pi/2]f(cosx)dx 证明如下 sinx=cos(pi/2-x) 设u=pi/2-x 则∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[pi/2:0]f(cosu)d(pi/2-u)= -∫[0:pi/2]f(sinu)d(pi/2-u)=∫[0:pi/2]f(sinu)du=∫[0:pi/2]f(sinx)dx 则∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt=a*b*(pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt 那么2*∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt=a*b*(pi/2) 则s=a*b*(pi/4) 椭圆面积s_c=a*b*pi 可见椭圆面积与坐标无关，所以无论椭圆位于坐标系的哪个位置，其面积都等于半长轴长乘以半短轴长乘以圆周率。
椭圆周长和面积的计算
椭圆周长和面积的计算全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：椭圆是一种常见的几何形状，与圆形类似，但其轴向不相等，呈椭圆形状。
椭圆的周长和面积是在数学中经常需要计算的问题，本文将探讨如何计算椭圆的周长和面积，以及相关的数学原理和方法。
我们来看如何计算椭圆的周长。
椭圆的周长可以通过下面的公式进行计算：周长= 2π√((a² + b²) / 2)a为椭圆的长轴，b为椭圆的短轴，π是圆周率，约等于3.14159。
举个例子，如果一个椭圆的长轴长为6厘米，短轴长为4厘米，那么它的周长可以通过下面的公式计算：周长= 2π√((6² + 4²) / 2) ≈ 2π√(36 + 16 / 2) ≈ 2π√(52 / 2) ≈ 2π√26 ≈ 16.25厘米这个椭圆的周长为约16.25厘米。
面积= πab继续以上面的例子为例，这个椭圆的面积可以通过下面的公式计算：面积= π x 6 x 4 ≈ 3.14159 x 24 ≈ 75.40平方厘米通过以上的计算，我们可以得出椭圆的周长和面积的计算方法。
如果椭圆的长轴和短轴长度不同，那么计算方法也会有所不同，但基本的原理是相同的。
除了上述的方法，还有一种常用的方法是通过数值近似法来计算椭圆的周长和面积。
在实际应用中，我们可以利用计算机软件或数值计算方法来得到更精确的结果。
椭圆的周长和面积是一个基础而重要的数学问题，通过掌握计算方法和原理，我们可以更好地理解和应用椭圆几何学。
希望本文能为大家解决关于椭圆周长和面积的疑问，帮助大家更深入地学习和探索数学知识。
第二篇示例：椭圆是一种特殊的几何形状，也是圆的一种特殊情况。
它具有两个焦点以及一个常数之和等于固定值的性质。
本文将介绍如何计算椭圆的周长和面积，以及它们的应用。
让我们来看看椭圆的定义和性质。
椭圆是一个平面图形，其所有点到两个固定点（称为焦点）的距离之和等于常数的性质。
这个常数称为椭圆的长轴，长轴的一半称为半长轴，常数的一半称为椭圆的短轴。
高三数学知识点：常用公式(2)考前复习
高三数学知识点：常用公式（2）考前复习(一)椭圆周长计算公式椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。
(二)椭圆面积计算公式椭圆面积公式：S=πab椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。
以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。
常数为体，公式为用。
椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径_短半径_PAI_高三角函数：两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cotacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2asinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π_2/n)+sin(α+2π_3/n)+……+sin[α+2π_(n -1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π_2/n)+co s(α+2π_3/n)+……+cos[α+2π_(n -1)/n]=0 以及sin (α)+sin (α-2π/3)+sin (α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0。
椭圆周长和面积计算公式
椭圆定理（又名：椭圆猜想）椭圆定理易亚苏（关键词：椭圆周长公式、椭圆周长定理、椭圆面积公式、椭圆面积定理等。
）圆完美的和谐，椭圆和谐的完美。
一、椭圆第一定义椭圆第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
椭圆第一定义的数学表达式：MF1+MF2=2a>F1F2 （由于网上发文的遗憾，公式和符号略有缺陷，相信您能够看懂。
）M为动点，F1、F2为定点，a为常数。
在椭圆中，用a表示长半轴的长，b表示短半轴的长，且a>b>0；2c表示焦距。
二、椭圆定理（一）椭圆定理Ⅰ（椭圆焦距定理）椭圆定理Ⅰ：任意同心圆，小圆任意切线与大圆形成的弦等于以大圆半径为长半轴长、小圆半径为短半轴长的椭圆焦距。
该椭圆中心在同心圆圆心，焦点在圆心以焦距一半为半径的圆上。
附图：椭圆的奥秘图解之一（焦距定理）（略）（二）椭圆定理Ⅱ（椭圆第一常数定理）定义1：K1=2/(π-2)，K1为椭圆第一常数。
定义2：f=b/a，f为椭圆向心率（a>b>0）。
定义3：T=K1+f，T为椭圆周率。
椭圆定理Ⅱ：椭圆是同心圆依照勾股定理和谐组合，椭圆第一常数K1的数值加上椭圆向心率f的数值等于椭圆周率T的数值。
（三）椭圆定理Ⅲ（椭圆第三常数定理）椭圆具有三特性，也称椭圆三态。
1、当椭圆b>c时，椭圆为向外膨胀型，其焦点在以b为半径的圆内；2、当椭圆b=c时，椭圆为相对稳定型，其焦点在以b为半径的圆上；3、当椭圆b<c时，椭圆为向内收缩型，其焦点在以b为半径的圆外。
定义：任意椭圆长半轴的长a为该椭圆单位，用A表示，称为椭圆单位。
根据椭圆第一定义，a2=b2+c2，且a>b>0，则有：b2+c2=1（椭圆单位）当b=c时，2b2=1（椭圆单位），b=根号1/2（椭圆单位）。
定义：K3=根号1/2，K3为椭圆第三常数。
椭圆形面积与周长怎么算
椭圆形面积与周长怎么算想要了解椭圆形面积怎么算的小伙伴赶紧来看看吧！下面由小编为你精心准备了“椭圆形面积与周长怎么算”，本文仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的知识点！椭圆形面积怎么算面积公式S=π（圆周率）×a×b（其中a，b分别是椭圆的长半轴，短半轴的长）.或S=π（圆周率）×A×B/4（其中A，B分别是椭圆的长轴，短轴的长）。
c1c2clone可以依据关于圆的有关公式，类比出关于椭圆公式。
导数方法设椭圆x²/a²+y²/b²=1取第一象限内面积，有y²=b²-b²/a²*x²即y=√（b²-b²/a²*x²）=b/a*√（a²-x²）。
由于该式反导数为所求面积，观察到原式为圆方程公式*a/b，根据（af（x））＇=a*f＇（x），且x=a时圆面积为a²π/4可得当x=a时，1/4S=b/a*1/4*a²*π=abπ/4即S=abπ。
此方法比较容易理解。
椭圆周长计算公式椭圆周长公式：L=2πb+4（a-b）椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。
拓展阅读：椭圆的特征有哪些1、椭圆形两头比圆形长。
2、椭圆形的物体不能滚动。
3、椭圆形的边缘都是圆滑的，没有棱角。
4、椭圆形从圆心到边上转一圈不一样长。
5、当椭圆形沿着最长边的中心点滚动时，留下的轨迹是波浪形的。
椭圆形和圆形的区别1、圆形的原点到任意边缘之间距离都相等，椭圆形的原点到任意边缘之间距离不一定相等。
2、椭圆是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。
的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。
3、在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。
椭圆面积计算公式推导
轻松搞定椭圆面积计算
椭圆是一种常见的图形，它的面积计算比较复杂，但仍然有几种简便的方法。
下面就让我们来一一探讨。
方法一：利用长轴和短轴计算
椭圆的长轴为a，短轴为b。
则椭圆的面积为S = πab.
方法二：利用周长计算
椭圆的周长可以表示为C = 2πb + 4(a - b)，我们可以利用周长来计算椭圆的面积。
设周长为C，短轴为b，则有a = C / (2π) + b / 2π，将其代入椭圆面积公式中，得S = πb² + (C / 2π)b.
方法三：利用积分计算
椭圆的方程为x² / a² + y² / b² = 1，我们可以通过积分来计算其面积。
具体步骤如下：
① 将椭圆方程变形为y² = b²(1 - x² / a²).
② 对 y 从 -b 到 b 进行积分，得到S = 2∫[0, a] b√(1 - x² / a²)dx.
③ 将积分变量代换y = bsinθ，可得S = 2ab∫[0, π / 2] cos²θdθ = πab.
以上就是椭圆面积计算的三种方法，希望能帮助到大家。
椭圆的周长计算
椭圆的周长计算
椭圆是一种常见的几何图形，在许多领域中都有广泛应用。
计
算椭圆的周长是一个重要的问题。
椭圆的定义
椭圆是由一个平面内动点到两个焦点距离之和等于常数的点的
轨迹。
椭圆有两个关键参数：长轴和短轴。
长轴是椭圆的最长直径，短轴是椭圆的最短直径。
椭圆的周长公式
椭圆的周长可以通过以下公式计算：
周长 = 4a * E(e)
其中，a是椭圆的半长轴，E(e)是第二类椭圆积分，e是椭圆的
离心率。
椭圆的离心率
离心率是椭圆的一个重要参数，表示椭圆的偏心程度。
离心率的计算公式如下：
e = √(1 - (b^2 / a^2))
其中，a是椭圆的半长轴，b是椭圆的半短轴。
第二类椭圆积分
第二类椭圆积分是计算椭圆周长的关键函数。
其计算公式较复杂，可以通过数值方法或使用数学软件进行计算。
实际应用
椭圆的周长计算在许多领域中都有应用，包括工程、天文学、地理学等。
例如，在建筑设计中，计算椭圆的周长可以帮助确定柱体或圆柱的周长，从而确定材料需求和成本预估。
结论
椭圆的周长可以通过公式周长 = 4a * E(e)进行计算。
其中，a 是椭圆的半长轴，E(e)是第二类椭圆积分，e是椭圆的离心率。
椭圆周长的计算在实际应用中具有重要意义。
椭圆面积和周长计算公式
椭圆面积和周长计算公式椭圆是一种特殊的圆形，在几何学中具有重要的意义。
椭圆的面积和周长是计算椭圆性质的重要指标，下面我们来详细介绍一下椭圆面积和周长的计算公式。
我们来讨论椭圆的面积计算公式。
椭圆的面积公式为：S = π * a * b其中，S表示椭圆的面积，a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的长度。
π是一个常数，近似等于3.14159。
根据这个公式，我们可以很方便地计算出椭圆的面积。
接下来，我们来讨论椭圆的周长计算公式。
椭圆的周长公式比较复杂，但我们可以通过一些近似的方法来计算。
一种常用的计算方法是使用椭圆周长的近似公式：C ≈ π * (a + b)其中，C表示椭圆的周长，a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的长度。
这个近似公式在实际应用中可以得到较好的结果。
除了上述的近似公式，还有一种更精确的计算椭圆周长的方法，即使用椭圆的椭圆积分。
椭圆积分是一种特殊的积分形式，可以用来计算椭圆的周长。
椭圆积分的计算比较复杂，需要使用数值计算方法或者数学软件来求解。
除了面积和周长，椭圆还有许多其他的性质和特点。
例如，椭圆具有对称性，即椭圆沿着长轴和短轴分别具有对称性。
椭圆还具有焦点和直径的概念，焦点是椭圆上到两个焦点距离之和等于常数的点，直径是通过椭圆中心的线段。
椭圆在科学和工程中有广泛的应用。
例如，在天文学中，行星的轨道通常是椭圆形的；在工程中，椭圆形的反射镜和抛物线天线也经常被使用。
椭圆的面积和周长是计算椭圆性质的重要指标。
我们可以使用相应的公式来计算椭圆的面积和周长，同时还可以通过其他方法来求解椭圆的周长。
椭圆的性质和应用非常广泛，深入理解椭圆的特点对于数学和工程领域的研究具有重要意义。
高中生椭圆知识点归纳
高中椭圆知识点归纳1椭圆的面积公式S=(圆周率)ab(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).或S=(圆周率)AB/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长).椭圆的周长公式椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。
椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。
如L = /2]4a sqrt(1-(excost)^2)dt((a^2+b^2)/2) [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的`距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，则e=PF/PL椭圆的准线方程x=a^2/C椭圆的离心率公式e=c/a(e1,因为2a2c)椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点(c,0)与准线x=+a^2/C)的距离,数值=b^2/c椭圆焦半径公式 |PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0椭圆过右焦点的半径r=a-ex过左焦点的半径r=a+ex椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴(或y轴)的直线与椭圆的两交点A,B之间的距离，数值=2b^2/a点与椭圆位置关系点M(x0，y0) 椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1点在圆内： x0^2/a^2+y0^2/b^21点在圆上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1点在圆外： x0^2/a^2+y0^2/b^21直线与椭圆位置关系y=kx+m ①x^2/a^2+y^2/b^2=1 ②由①②可推出x^2/a^2+(kx+m)^2/b^2=1相切△=0相离△0无交点相交△0 可利用弦长公式：A(x1,y1) B(x2,y2)|AB|=d = (1+k^2)|x1-x2| = (1+k^2)(x1-x2)^2 = (1+1/k^2)|y1-y2| = (1+1/k^2)(y1- y2)^2椭圆通径(定义：圆锥曲线(除圆外)中，过焦点并垂直于轴的弦)公式：2b^2/a椭圆的斜率公式过椭圆上x^2/a^2+y^2/b^2=1上一点(x，y)的切线斜率为 -(b^2)X/(a^2)y高中椭圆知识点归纳2两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB高中椭圆知识点归纳3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：(a,b)是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2pxy2=-2px2=2pyx2=-2py直棱柱侧面积S=cxh斜棱柱侧面积S=c'xh正棱锥侧面积S=1/2cxh'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pixr2圆柱侧面积S=cxh=2pixh圆锥侧面积S=1/2xcxl=pixrxl弧长公式l=axra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2xlxr锥体体积公式V=1/3xSxH圆锥体体积公式V=1/3xpixr2h斜棱柱体积V=S'L注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=sxh圆柱体V=pxr2h乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1xX2=c/a注：韦达定理判别式b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根b2-4ac>0注：方程有两个不等的实根b2-4ac<0注：方程没有实根，有共轭复数根。
探索椭圆周长和椭球表面积的近似初等公式
探索椭圆周长和椭球表面积的近似初等公式
周园钞
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2017(000)003
【摘要】以信息技术、多媒体为手段,用初等数学方法探索椭圆周长和椭球表面积的近似初等公式.
【总页数】2页(P14-15)
【作者】周园钞
【作者单位】四川省西昌市第一中学,615000
【正文语种】中文
【中图分类】G632
【相关文献】
1.求椭圆面积周长及椭球体积的初等数学方法 [J], 李睿
2.求椭圆面积周长及椭球体积的初等数学方法 [J], 李睿
3.椭圆周长的近似计算公式 [J], 贾青慧
4.三轴椭球表面积的近似计算 [J], 过家春;申文斌;边少锋;纪兵
5.基于平均数的椭圆周长近似公式 [J], 刘植;王青山;陈晓彦
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椭圆的面积公式和周长公式
椭圆的⾯积公式和周⻓公式 数学公式有很多，那么椭圆的⾯积公式和周⻓公式是什么呢？快来和⼩编⼀起看看吧。
下⾯是由店铺⼩编为⼤家整理的“椭圆的⾯积公式和周⻓公式”，仅供参考，欢迎⼤家阅读。
椭圆的⾯积公式和周⻓公式 根据椭圆第⼀定义，⽤a表⽰椭圆⻓半轴的⻓，b表⽰椭圆短半轴的⻓，且a>b>0。
椭圆周⻓公式：L=2πb+4（a-b） 椭圆周⻓定理：椭圆的周⻓等于该椭圆短半轴⻓为半径的圆周⻓（2πb）加上四倍的该椭圆⻓半轴⻓（a）与短半轴⻓（b）的差。
椭圆⾯积公式：S=πab 椭圆⾯积定理：椭圆的⾯积等于圆周率（π）乘该椭圆⻓半轴⻓（a）与短半轴⻓（b）的乘积。
椭圆体积公式： 椭圆体的体积V=（4/3）πabc 椭圆是平⾯内到定点F1、F2的距离之和等于常数（⼤于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。
其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。
a与b，c分别代表x轴、y轴、z轴的⼀半。
椭圆是圆锥曲线的⼀种，即圆锥与平⾯的截线。
椭圆围绕它的⻓轴或短轴旋转⼀周所围成的⼏何体。
椭圆是圆锥曲线的⼀种，即圆锥与平⾯的截线。
椭圆上的任何⼀点到椭圆的两个焦点距离只和相等。
拓展阅读：椭圆的性质 1.范围：焦点在轴上，；焦点在轴上。
2.对称性：关于X轴对称，Y轴对称，关于原点中⼼对称。
3.顶点：（a，0）（-a，0）（0，b）（0，-b）。
4.离⼼率：或 e=√（1-b^2/a²）。
5.离⼼率范围：0e1。
椭圆的对称性 不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。
顶点： 焦点在X轴时：⻓轴顶点：（-a，0），（a，0） 短轴顶点：（0，b），（0，-b） 焦点在Y轴时：⻓轴顶点：（0，-a），（0，a） 短轴顶点：（b，0），（-b，0） 注意⻓短轴分别代表哪⼀条轴，在此容易引起混乱，还需数形结合逐步理解透彻。
焦点： 当焦点在X轴上时焦点坐标F1（-c，0）F2（c，0） 当焦点在Y轴上时焦点坐标F1（0，-c）F2（0，c）。
椭圆周长和面积计算公式
椭圆周长和面积计算公式椭圆周长、面积公式椭圆定理（又名：椭圆猜想）椭圆定理（关键词：椭圆周长公式、椭圆周长定理、椭圆面积公式、椭圆面积定理等。
）一、椭圆第一定义椭圆第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
椭圆第一定义的数学表达式：MF1+MF2=2a>F1F2（由于网上发文的遗憾，公式和符号略有缺陷，相信您能够看懂。
）M为动点，F1、F2为定点，a为常数。
在椭圆中，用a 表示长半轴的长，b表示短半轴的长，且a>b>0；2c表示焦距。
二、椭圆定理（一）椭圆定理Ⅰ（椭圆焦距定理）椭圆定理Ⅰ：任意同心圆，小圆任意切线与大圆形成的弦等于以大圆半径为长半轴长、小圆半径为短半轴长的椭圆焦距。
该椭圆中心在同心圆圆心，焦点在圆心以焦距一半为半径的圆上。
附图：椭圆的奥秘图解之一（焦距定理）（略）（二）椭圆定理Ⅱ（椭圆第一常数定理）定义1：K1=2/(π-2)，K1为椭圆第一常数。
定义2：f=b/a，f为椭圆向心率（a>b>0）。
定义3：T=K1+f，T为椭圆周率。
椭圆定理Ⅱ：椭圆是同心圆依照勾股定理和谐组合，椭圆第一常数K1的数值加上椭圆向心率f的数值等于椭圆周率T的数值。
（三）椭圆定理Ⅲ（椭圆第三常数定理）椭圆具有三特性，也称椭圆三态。
1、当椭圆b>c时，椭圆为向外膨胀型，其焦点在以b 为半径的圆内；2、当椭圆b=c时，椭圆为相对稳定型，其焦点在以b 为半径的圆上；3、当椭圆b<c时，椭圆为向内收缩型，其焦点在以b 为半径的圆外。
定义：任意椭圆长半轴的长a为该椭圆单位，用A表示，称为椭圆单位。
根据椭圆第一定义，a2=b2+c2，且a>b>0，则有：b2+c2=1（椭圆单位）当b=c时，2b2=1（椭圆单位），b=根号1/2（椭圆单位）。
定义：K3=根号1/2，K3为椭圆第三常数。
椭圆周长和旋转椭球面积近似值的简单算法(第十六届北京高中数学知识应用竞赛论文)
椭圆周长和旋转椭球面积近似值的简单算法——第十六届北京高中数学知识应用竞赛论文论文标题：椭圆周长和旋转椭球面积近似值的简单算法作者姓名：吴欢庆、吴斯乾（合作）性别：男学校：北京市通州区第四中学年级：高二指导教师：曹凤华、李江涛准考证号： 0311[内容摘要]：我选这个课题是因为我父亲在工作中遇到了需要计算椭圆周长而又不会算的问题，我为了解决我父亲的困难，所以对这方面做了一些研究。
我们用类比推理的方法，提出了椭圆周长近似的简单算法，并推广到怎样计算旋转椭球体的表面积。
我们采用简单推导加上用C语言编程计算的方法，让程序运行了约一个小时，得到了一组比较精确的数据，一定程度上解决了计算椭圆周长难的问题。
对一些需要计算椭圆周长的工程应用有一定的帮助。
[关键词]：椭圆周长，椭球表面积，椭圆积分，修正因子本人郑重声明：所呈交的数学应用论文是本人在指导教师的指导下独立进行研究的成果，除文中已经注明引用的内容外，本文不含其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。
论文作者签名：吴欢庆吴斯乾2013年3月30日椭圆周长和旋转椭球面积近似值的简单算法圆是最美的图形，但自然界中的正圆，少之又少。
行星运行的轨道是椭圆的，地球是一个椭球体，在生物界里很难看到完美的圆。
许多的图形都是不规则的，椭圆是独特的，与众不同。
众所周知，椭圆积分属于高等微积分的知识，求解椭圆周长的积分存在着很大的难度，在实际的生活应用中给人们带来很大的困扰。
当你需要求一个椭圆物体的周长时，总是会没有头绪，仿佛不知道它的计算公式（其实本来就没有公式），没有了这些数据，做起研究就会不知所措。
我的一个朋友以前做关于种子完整度的研究，用到了圆形度来描述种子的形状。
他在他的博客中这样写道：“为了检测表皮破裂种子，我调用IMAQ Vision里的形状分析函数得到了面积周长长度宽度等一些形状参数。
根据种子图像轮廓，发现用种子的圆形度：，（P为周长，A为面积）可以比较好地区分完整和破碎种子。
椭圆形周长的计算公式
椭圆形周长的计算公式椭圆是一种常见的几何形状，它在生活和科学研究中都有广泛应用。
计算椭圆形的周长是一项重要的数学问题，本文将介绍椭圆形周长的计算公式。
一、椭圆形的定义和性质椭圆是平面上一条与两个定点F1、F2的距离之和恒定的点P的轨迹。
F1和F2被称为焦点，二者的连线称为焦距，焦距的长度为2c。
椭圆的中心C位于焦点连线的中点，焦距的一半长度称为半焦距，记为c。
椭圆具有以下性质：1. 椭圆的形状由半长轴a和半短轴b确定，a > b。
2. 椭圆的离心率e定义为e = c/a，取值范围为0 < e < 1。
离心率越接近0，椭圆的形状越接近于圆。
3. 椭圆的焦点到任意点P的距离之和等于2a，即PF1 + PF2 = 2a。
二、为了计算椭圆形的周长，我们首先需要引入辅助量。
对于椭圆中的任意一条线段PQ，可以定义其斜率为m = (y2 - y1)/(x2 - x1)。
根据斜率的定义，我们可以得到两个关键公式：1. 斜率m的平方与椭圆上对应点的坐标之比：(m^2 = (y^2)/(x^2) = b^2/a^2)2. 线段PQ的长度与椭圆上对应点的坐标之比：(PQ^2 = (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 = a^2(1 - (y^2)/(b^2)))根据以上两个公式，我们可以推导出椭圆形周长的计算公式。
设线段PQ与椭圆的交点分别为A和B，线段PQ的长度为s。
由于椭圆对称性，可以证明线段PA与线段PB的长度相等，记为x。
那么线段PQ 的长度s等于2x。
根据勾股定理，可以得到：(PA^2 = x^2 + (y1 - b)^2)(PB^2 = x^2 + (y2 - b)^2)将以上两个式子代入前述公式2中得到：s^2 = a^2(1 - ((y1 - b)^2)/(b^2)) + a^2(1 - ((y2 - b)^2)/(b^2))= a^2(2 - (y1^2 + y2^2 - 2by1 - 2by2)/(b^2))= a^2(2 - (y1^2 + y2^2 + 2b(y1 + y2))/(b^2))根据椭圆的性质3，我们有y1 + y2 = 2a，将其代入上述公式得到：s^2 = a^2(2 - (y1^2 + y2^2 + 4ab)/(b^2))= a^2(2 - (y1^2 + y2^2 + 4a^2e)/(b^2))将s = 2x代回原公式得到椭圆形周长的计算公式为：L = 2x = 2sqrt(a^2(2 - (y1^2 + y2^2 + 4a^2e)/(b^2)))三、应用示例现假设有一椭圆，半长轴a = 5，半短轴b = 3，计算其周长。
高中数学椭圆面积公式
高中数学椭圆面积公式高中数学椭圆面积公式大全椭圆是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。
椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。
下面是小编为大家带来的高中数学椭圆面积公式，欢迎阅读。
高中数学椭圆面积公式篇1如何有效利用课堂教学时间，如何尽可能地提高学生的学习兴趣，提高学生在课堂上45分钟的学习效率，是一个很重要的课题。
要教好高中数学，首先要对课标和教材有整体的把握和认识，这样才能将知识系统化，注意知识前后的联系，形成知识框架；其次要了解学生的现状和认知结构，了解学生此阶段的知识水平，以便因材施教；再次要处理好课堂教学中教师的教和学生的学的关系。
课堂教学是实施高中新课程教学的主阵地，也是对学生进行思想品德教育和素质教育的主渠道。
课堂教学不但要加强双基而且要提高智力，发展学生的智力，而且要发展学生的创造力；不但要让学生学会，而且要让学生会学，特别是自学。
尤其是在课堂上，不但要发展学生的智力因素，而且要提高学生在课堂45分钟的学习效率，在有限的时间里，出色地完成教学任务。
一、要有明确的教学目标教学目标分为三大领域，即认知领域、情感领域和动作技能领域。
因此，在备课时要围绕这些目标选择教学的策略、方法和媒体，把内容进行必要的重组。
备课时要依据教材，但又不拘泥于教材，灵活运用教材。
在数学教学中，要通过师生的共同努力，使学生在知识、能力、技能、心理、思想品德等方面达到预定的目标，以提高学生的综合素质。
二、要能突出重点、化解难点每一堂课都要有教学重点，而整堂的教学都是围绕着教学重点来逐步展开的。
为了让学生明确本堂课的重点、难点，教师在上课开始时，可以在黑板的一角将这些内容简短地写出来，以便引起学生的重视。
讲授重点内容，是整堂课的教学高潮。
教师要通过声音、手势、板书等的变化或应用模型、投影仪等直观教具，刺激学生的大脑，使学生能够兴奋起来，对所学内容在大脑中刻下强烈的印象，激发学生的学习兴趣，提高学生对新知识的接受能力。
旋转椭圆公式
旋转椭圆公式旋转椭圆公式是描述椭圆在平面上旋转时的数学表达式。
在几何学中，椭圆是指离两个定点距离之和为常数的点的轨迹。
当椭圆绕其中一个焦点旋转时，其形状会发生变化，并满足一定的数学规律。
旋转椭圆公式的一般形式为：x = a*cos(θ)*cos(φ) - b*sin(θ)*sin(φ)y = a*cos(θ)*sin(φ) + b*sin(θ)*cos(φ)其中，a和b分别代表椭圆长轴和短轴的长度，θ表示椭圆相对于原点的旋转角度，φ表示椭圆绕焦点旋转的角度。
这个公式描述了在平面上任意位置的点(x, y)如何随着旋转角度的变化而改变。
旋转椭圆公式可以用于解决许多实际问题。
例如，在航天工程中，为了使卫星轨道稳定，需要在平面上绘制出椭圆轨道。
通过使用旋转椭圆公式，可以计算出不同角度下卫星的位置坐标，从而确定卫星的运动轨迹。
在建筑设计中，旋转椭圆公式可以用来绘制椭圆形建筑物的平面图。
例如，有些建筑物采用椭圆形的平面设计，通过旋转椭圆公式可以计算出不同角度下各个点的坐标，从而实现对建筑物形状的精确控制。
除了在工程和建筑领域的应用外，旋转椭圆公式还在数学研究中起着重要的作用。
通过对旋转椭圆公式的研究，数学家们可以进一步探索椭圆的性质和特点，发展出更多相关的数学理论。
需要注意的是，旋转椭圆公式中的角度θ和φ都是以弧度为单位的。
弧度是一种用于度量角度的单位，它与度的换算关系是180°=π弧度。
因此，在使用旋转椭圆公式时，需要将角度转换为弧度，以确保计算的准确性。
总结起来，旋转椭圆公式是描述椭圆在平面上旋转时的数学表达式。
通过这个公式，可以计算出椭圆上任意点的坐标，从而实现对椭圆旋转轨迹的精确控制。
在工程、建筑和数学研究等领域，旋转椭圆公式都具有重要的应用价值。
通过进一步研究和探索，我们可以更好地理解椭圆的性质和特点，为相关领域的发展做出贡献。
椭圆的面积公式和周长公式
椭圆的面积公式和周长公式哎呀，说起椭圆，你们是不是觉得它就像是数学界的“高富帅”一样，总是高高在上，让人望而却步呢？其实，椭圆虽然长得有点“瘦高”，但它的心里可是火热着呢！今天就让我们一起来聊聊椭圆的那些事儿，看看它是如何在数学的世界里翩翩起舞的。
咱们来聊聊椭圆的面积。
想象一下，你面前有一张巨大的画布，上面画着一个椭圆。
这个椭圆就像是画布上的一个美丽的图案，它的面积就是你在欣赏它时的心情。
那么，这个椭圆的面积到底有多少呢？别急，让我来告诉你一个小秘密——椭圆的面积可以用π（圆周率）来表示。
就像圆的面积用π乘以半径的平方来计算一样，椭圆的面积也是用π乘以椭圆的长轴和短轴的乘积来计算的。
这样一来，你是不是对椭圆的面积有了更直观的了解呢？接下来，咱们再来看看椭圆的周长。
椭圆的周长就像是一条蜿蜒曲折的小径，它的长度就是椭圆边界的总和。
想象一下，你在椭圆的边缘漫步，每走一步，都能感受到椭圆的魅力。
椭圆的周长可以用2π乘以椭圆的长轴和短轴的乘积来计算。
这样计算出来的周长，是不是让你觉得椭圆就像是一个充满故事的神秘空间呢？好了，说了这么多，你是不是已经对椭圆有了更深的了解呢？别急，我们还有更多精彩的内容等着你去发现。
比如，椭圆的形状、椭圆的性质等等。
这些内容都是我们在学习数学的过程中必不可少的知识点。
通过学习椭圆，我们可以更好地理解数学的奥妙，也可以在生活中发现更多的乐趣。
在这里，我要提醒大家，学习数学不仅仅是为了考试，更重要的是要培养我们对世界的好奇心和探索精神。
就像我们小时候对天空的好奇一样，我们要勇敢地去探索数学的世界，去发现其中的奥秘。
只有这样，我们才能在数学的道路上越走越远，越走越宽广。
我想说的是，数学是一门神奇的学科，它充满了未知和挑战。
但是，只要我们用心去学习，用心去探索，就一定能够发现其中的乐趣和价值。
让我们一起在数学的世界里尽情地舞蹈吧！。
高三数学知识点：常用公式(2)
高三数学知识点：常用公式（2）(一)椭圆周长运算公式椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。
(二)椭圆面积运算公式椭圆面积公式：S=πab椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。
以上椭圆周长、面积公式中尽管没有显现椭圆周率T，但这两个公式差不多上通过椭圆周率T推导演变而来。
常数为体，公式为用。
椭圆形物体体积运算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高三角函数：两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtan B)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cot A)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cotacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2asinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+ 2π*(n-1)/n]=0 以及一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。
这儿的“师资”，事实上确实是先秦而后历代对教师的别称之一。
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椭圆周长和旋转椭球面积近似值的简单算法——第十六届北京高中数学知识应用竞赛论文论文标题：椭圆周长和旋转椭球面积近似值的简单算法作者姓名：吴欢庆、吴斯乾（合作）性别：男学校：北京市通州区第四中学年级：高二指导教师：曹凤华、李江涛准考证号： 0311[内容摘要]：我选这个课题是因为我父亲在工作中遇到了需要计算椭圆周长而又不会算的问题，我为了解决我父亲的困难，所以对这方面做了一些研究。
我们用类比推理的方法，提出了椭圆周长近似的简单算法，并推广到怎样计算旋转椭球体的表面积。
我们采用简单推导加上用C语言编程计算的方法，让程序运行了约一个小时，得到了一组比较精确的数据，一定程度上解决了计算椭圆周长难的问题。
对一些需要计算椭圆周长的工程应用有一定的帮助。
[关键词]：椭圆周长，椭球表面积，椭圆积分，修正因子本人郑重声明：所呈交的数学应用论文是本人在指导教师的指导下独立进行研究的成果，除文中已经注明引用的内容外，本文不含其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。
论文作者签名：吴欢庆吴斯乾2013年3月30日椭圆周长和旋转椭球面积近似值的简单算法圆是最美的图形，但自然界中的正圆，少之又少。
行星运行的轨道是椭圆的，地球是一个椭球体，在生物界里很难看到完美的圆。
许多的图形都是不规则的，椭圆是独特的，与众不同。
众所周知，椭圆积分属于高等微积分的知识，求解椭圆周长的积分存在着很大的难度，在实际的生活应用中给人们带来很大的困扰。
当你需要求一个椭圆物体的周长时，总是会没有头绪，仿佛不知道它的计算公式（其实本来就没有公式），没有了这些数据，做起研究就会不知所措。
我的一个朋友以前做关于种子完整度的研究，用到了圆形度来描述种子的形状。
他在他的博客中这样写道：“为了检测表皮破裂种子，我调用IMAQ Vision 里的形状分析函数得到了面积周长长度宽度等一些形状参数。
根据种子图像轮廓，发现用种子的圆形度：24P C Aπ=，（P 为周长，A 为面积）可以比较好地区分完整和破碎种子。
后来我想，种子的轮廓更接近椭圆，何不用‘椭圆形度’衡量面积和周长的关系呢？可是我记不得椭圆周长的计算方法，百度之，发现我原本就不可能知道。
”椭圆是一个不怎么完美的图形，椭圆周长的积分不能用像圆的周长和面积那样简单的公式表达，所以我们只能计算椭圆周长的近似值。
因为没有一个确定的公式，当我们需要精确计算椭圆周长的时候，麻烦就来了。
我父亲是做机床生意的，有次我和父亲去公司，遇到了一位做管道设备的客户，他需要把圆形的管道截成斜面，然后沿着斜面再接上一个椭圆形的管道，这位客户要求把铝板卷成椭圆的管道，至于用多宽的铝板，就需要计算椭圆截面的周长。
由于这样一个斜的截面不方便测量，虽然可以做一些试验，来确定铝板的宽度，而这样必定会耗费很多时间和精力。
如果材料比较贵的话，用试验的方法就不太可取了。
对于普通的工人来说，没有多少数学知识，又不能设计程序计算，怎样求椭圆的周长就成了一个问题。
而我，懂得一些微积分，也想帮父亲解决这个问题，所以我想找出一个计算椭圆周长的简单方法。
§ 椭圆周长的积分我们在计算曲线图形的面积和周长通常都要用到微积分，下面我们简单地推导一下椭圆周长的积分表达式： 我们知道椭圆的参数方程为()πθθθ20,sin ,cos ≤≤==b y a x我们先求四分之一椭圆的周长，取参数θ为积分变量，它的变化区间为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦相应于0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任一小区间[],t t dt +的小弧段的长度s ∆近似等于对应的长度22()()x y ∆+∆因为： sin x dx a d θθ∆≈=-cos y dy b d θθ∆≈=所以：s ∆的近似值，即弧长元素为22222222()()sin ()cos ()ds dx dy a d b d θθθθ=+=+2222sin cos a b d θθθ+2222(1cos )cos a b d θθθ-+ 22222cos cos a a b d θθθ-+=22221cos a b d aθθ--其中222a b a-=2e （e 是离心率） 所以椭圆周长C 的积分表达式如下：C=4a d θ就是上面这个看似简单的积分实际上是很难积出的，如果你觉得你的微积分很厉害，不妨也试试。
实际上人们把椭圆周长的积分叫做“第二类不完全椭圆积分”展开成无穷级数，再进行积分，过程稍复杂，这里就不再讨论了。
§ 猜想椭圆周长的公式我们知道，圆的面积：)(r r S ⋅=π圆，类似的，椭圆的面积：)(b a S ⋅=π椭圆；圆的周长公式是：)(r r C +=π圆，而椭圆的周长却不等于π乘上半长轴与半短轴之和。
那么椭圆的周长和)(b a +π有什么关系呢？其实很容易想到，当离心率很小的时候，周长是近似等于)(b a +π的；离心率越接近1，)(b a +π给出的结果就越不精确，我们先猜想)(b a C +=π椭圆，下面来看看这个猜想公式的精度如何。
要想知道精确度，首先要得到精确的周长。
我们的方法很简单，只要借助计算机将椭圆n 等分，把每一个弧长“微元”相加就行了。
根据上面推出的积分表达式，先将四分之一椭圆20万等分。
我们采用C 语言编写计算不同离心率下椭圆周长、面积的程序，程序的原理很简单，其实就是取d θ的值为200000π，这样求4a d θ的近似值，就变成了算出 的值，以下是程序内容：200000200000cos 14510122ππ⋅-∑-n n e a#include"stdio.h"#include"math.h"#define pi 3.1415926535897932384626int main(){printf("--不同离心率下椭圆的周长和面积--（a=1）\n离心率计算周长猜想周长计算面积理论面积\n");double e,x1,x2,y1,y2;for(e=0.05;e<1.00;e+=0.05){for(x1=0,y1=0;x1<pi/2;x1+=pi/200000){y1+=4*sqrt(1-e*e*cos(x1)*cos(x1))*pi/200000;}for(x2=0,y2=0;x2<1;x2+=1.0/100000){y2+=4*sqrt((1-e*e)*(1-x2*x2))*1/100000;}printf("%4.2f %4.9f %4.9f %4.9f %4.9f\n",e,y1,pi*(1+ sqrt(1-e*e)),y2,pi*sqrt(1-e*e));}}（注：此程序在C-Free 5.0中测试通过，不同的编译器可能需要稍做修改。
）为了粗略地估计程序给出的椭圆周长的精度，计算周长的同时，程序还将椭圆分割成10万个矩形求面积。
因为)(b a S ⋅=π椭圆是一个精确公式，对比计算机得出的面积和公式给出的面积，可以估计出计算机计算的误差。
下面是运行结果：--不同离心率下椭圆的周长和面积--（a=1）离心率 计算周长 猜想周长 计算面积 理论面积0.05 6.279319266 6.279255859 3.137683143 3.1376632050.10 6.267510442 6.267437876 3.125865086 3.1258452230.15 6.247754348 6.247641317 3.106068401 3.1060486640.20 6.219936382 6.219712246 3.078139152 3.0781195920.25 6.183890859 6.183426661 3.041853336 3.0418340070.30 6.139395245 6.138481041 2.996907431 2.9968883870.35 6.086161920 6.084478629 2.942904675 2.9428859750.40 6.023826659 6.020909881 2.879335524 2.8793172280.45 5.951932559 5.947124601 2.805549775 2.8055319480.50 5.869907460 5.862291700 2.720716335 2.7206990460.55 5.777031606 5.765339796 2.623763815 2.6237471430.60 5.672390126 5.654866776 2.513290093 2.5132741230.65 5.554800713 5.528996378 2.387418895 2.3874037240.70 5.422698394 5.385138562 2.243560165 2.2435459090.75 5.273940628 5.219560874 2.077981425 2.0779682210.80 5.105450038 5.026548246 1.884967570 1.8849555920.85 4.912481219 4.796529275 1.654947138 1.6549366220.90 4.686833321 4.510981143 1.369397192 1.3693884900.95 4.410927819 4.122554645 0.980968225 0.980961992对比计算面积和理论面积，可以知道计算周长的误差大约在0.00002以内，直到离心率为0.5时，()a b π+给出的值的误差还控制在0.01以内。
根据以上结果，我们提出椭圆周长近似值的公式：)(b a p C +=π椭圆，其中p是一个修正因子，为了精确地得到修正因子和离心率之间的关系，我们将椭圆2亿等分，程序运行结果如下：离心率 计算周长 猜想周长 计算面积 理论面积 修正因子 0.05 6.279256474 6.279255859 3.137663220 3.137663205 1.000000098 0.10 6.267447768 6.267437876 3.125845237 3.125845223 1.000001578 0.15 6.247691871 6.247641317 3.106048678 3.106048664 1.000008092 0.20 6.219874184 6.219712246 3.078119607 3.078119592 1.000026036 0.25 6.183829023 6.183426661 3.041834021 3.041834007 1.000065071 0.30 6.139333858 6.138481041 2.996888401 2.996888387 1.000138930 0.35 6.086101074 6.084478629 2.942885989 2.942885975 1.000266653 0.40 6.023766447 6.020909881 2.879317241 2.879317228 1.0004744410.45 5.951873084 5.947124601 2.805531961 2.805531948 1.0007984500.50 5.869848833 5.862291700 2.720699059 2.720699046 1.0012891090.55 5.776973948 5.765339796 2.623747155 2.623747143 1.0020179470.60 5.672333572 5.654866776 2.513274135 2.513274123 1.0030888080.65 5.554745415 5.528996378 2.387403735 2.387403724 1.0046570910.70 5.422644533 5.385138562 2.243545919 2.243545909 1.0069647180.75 5.273888422 5.219560874 2.077968230 2.077968221 1.0104084520.80 5.105399760 5.026548246 1.884955601 1.884955592 1.0156870100.85 4.912433239 4.796529275 1.654936629 1.654936622 1.0241641320.90 4.686788194 4.510981143 1.369388496 1.369388490 1.0389731290.95 4.410886572 4.122554645 0.980961996 0.980961992 1.069940110（由于运算数据较长，这里就只给出了上面这么多数据，更详细的结果在文章最后的附录A中）π给出根据上面这些比较精确的数据，可以看出当离心率很小的时候)a+(b的结果是很精确的，所以引入修正因子是个不错的选择。