相似三角形专题一(对应边上高之比等于相似比应用)课件15
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相似三角形的判定+课件(共15张PPT)
EF∥BC，
OF OE ， OC OB OD OE . OA OB
课堂小结
一、平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段 成比例. （关键要能熟练地找出对应线段）
zxxkw
二、要熟悉该定理的几种基本图形
A B C D E F C D B A E F
三、注意该定理在三角形中的应用
BC EF AB DE
AB DE ，AC DF
AB DE BC EF
，
BC EF ， AC DF等等.AFra bibliotekB C
l2
D
E
学 科网
l3 l4
学.科.网
想一想：通过探究， 你得到了什么规律 呢？
F
l5
归纳
zxxkw
平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线,所得到的对应线段的 比相等.
(4)若Dn-1Dn=
1 Dn-1B，En-1En= 1 E C，则D E = n n 3 3 n-1
l2
A
B C
图1
D
E F
l3 l4
E A
D
B
C
l5
图2（2）
推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两 边的延长线)所得的对应线段成比例. l l l l A D l E l
1
1
D B
E C
l2
A B
l2
l3
C
l3
新知应用
例1 如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4 ， AB=3，EC=1.求AD和BD.
相似比
AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 = k 时，
相似三角形性质的应用PPT课件
在地图绘制中，利用相似三角形的性质可以确定地球上各个地点的相对位置和距离。
通过相似三角形，可以将地球上的大范围区域缩小到地图上，方便人们理解和研究 地理分布和特征。
地图绘制中的比例尺就是利用相似三角形的原理，将实际距离按照一定比例缩小到 地图上。
在物理实验中的应用
在物理实验中，常常需要利用 相似三角形来测量和计算各种 物理量，例如力、速度、加速 度等。
面积比等于相似比的平方
两个相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方，即 (AB/DE)^2=(BC/EF)^2=(CA/FD)^2。
相似三角形的判定方法
01
02
03
平行线判定法
如果一个三角形与另一个 三角形的一边平行且等于 这边上的一个线段，则这 两个三角形相似。
角角判定法
如果两个三角形有两个对 应的角相等，则这两个三 角形相似。
利用相似三角形解决长度问题
总结词
通过相似三角形的性质，可以解决一些长度问题，如求线段长度ຫໍສະໝຸດ 判断线段大小关系等。详细描述
利用相似三角形的对应边成比例性质，可以通过已知线段长度求解未知线段长度，或者判断线段的大小关系。例 如，在解题过程中，可以通过构建相似三角形，利用对应边成比例的特点，将未知线段长度转化为已知线段长度， 从而求解问题。
相似三角形与面积
相似三角形的面积比等于其对应边长的平方 比。
相似三角形与角平分线
角平分线将相对边分为两段，与角平分线所 形成的两个小三角形相似。
实际问题实例
测量问题
建筑设计
利用相似三角形的性质，可以方便地测量 无法直接到达的物体的高度或距离。
在建筑设计过程中，可以利用相似三角形 的性质来计算建筑物的尺寸和角度，以确 保建筑物的外观和稳定性。
通过相似三角形，可以将地球上的大范围区域缩小到地图上，方便人们理解和研究 地理分布和特征。
地图绘制中的比例尺就是利用相似三角形的原理，将实际距离按照一定比例缩小到 地图上。
在物理实验中的应用
在物理实验中，常常需要利用 相似三角形来测量和计算各种 物理量，例如力、速度、加速 度等。
面积比等于相似比的平方
两个相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方，即 (AB/DE)^2=(BC/EF)^2=(CA/FD)^2。
相似三角形的判定方法
01
02
03
平行线判定法
如果一个三角形与另一个 三角形的一边平行且等于 这边上的一个线段，则这 两个三角形相似。
角角判定法
如果两个三角形有两个对 应的角相等，则这两个三 角形相似。
利用相似三角形解决长度问题
总结词
通过相似三角形的性质，可以解决一些长度问题，如求线段长度ຫໍສະໝຸດ 判断线段大小关系等。详细描述
利用相似三角形的对应边成比例性质，可以通过已知线段长度求解未知线段长度，或者判断线段的大小关系。例 如，在解题过程中，可以通过构建相似三角形，利用对应边成比例的特点，将未知线段长度转化为已知线段长度， 从而求解问题。
相似三角形与面积
相似三角形的面积比等于其对应边长的平方 比。
相似三角形与角平分线
角平分线将相对边分为两段，与角平分线所 形成的两个小三角形相似。
实际问题实例
测量问题
建筑设计
利用相似三角形的性质，可以方便地测量 无法直接到达的物体的高度或距离。
在建筑设计过程中，可以利用相似三角形 的性质来计算建筑物的尺寸和角度，以确 保建筑物的外观和稳定性。
相似三角形的性质(精讲PPT课件)
课练习
的地方，把手臂向前伸直且让小尺竖直，看到尺上大约有24个分划恰好 遮住旗杆。已知此同学的臂长约为60cm，求旗杆的大致高度。
解：由已知得：BC=24cm=0.24m，CM=60cm=0.6m，
EN=30m，BC//DE，CM//EN，
堂
∴△ABC∽△ADE，△ACM∽△AEN BC AC ，CM AC ，
探 ∴ 100 CD 40 .
D
120 CD
究 答：点C到直线PQ的距离为240m.
1、要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别
练习 为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边
课 为（ C ） A. 3cm B. 4cm C. 4.5cm
D. 5cm
DE AE EN AE
练 习
BC CM ， DE EN
0.24 0.6， DE 30
∴DE=12m. 答：旗杆大致高12m.
动脑筋
课 堂 通过本节课的学习，你有什么收获与体会？ 小 结
1、已知△ABC∽△DEF，AM，DN分别为△ABC，△DEF的一条中线，
练习 且AM=6cm，AB=8cm，DE=4cm，求DN的长. DN=3cm
作 证明：∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′.
探
又∵AT，A′T′分别平分∠BAC=∠B′A′C′，
∴∠BAT= 1∠BAC，∠B′A′C′= 1 ∠B′A′T′
2
2
∴∠BAT=∠B′A′T′，
究 ∴△ABT∽△A′B′T′， ∴ AT AB . A' T' A' B'
归纳 类似三角形对应角平分线的比等于类似比.
相似三角形的性质及其应用 (1).ppt
全等三角形的对应角相等， 对应边相等
全等三角形的相关结论：
全等三角形的对应角平分线相等
类比 猜想
全等三角形的对应高线相等
验证
全等三角形的对应中线相等
△ABC∽△ A'B'C' 相似三角形的性质：
相似三角形的对应角相等， 对应边成比例
相似三角形的相关结论：
相似三角形的对应角平分线之比 等于相似比
相似三角形的对应高线之比等于 相似比
△ABC≌△ A'B'C'
全等三角形的性质： 全等三角形的对应角相等，对应边相等
全等三角形的相关结论： 全等三角形的对应角平分线相等 全等三角形的对应高线相等 全等三角形的对应中线相等
△ABC≌△ A'B'C' 全等三角形的性质：
全等三角形的对应角相等， 对应边相等
全等三角形的相关结论：
全等三角形的对应角平分线相等
变式1：如图，已知△ABC∽△A’B’C’，相似比为 BC k，
B' C'
k AD与A’D’为这两个三角形的高线，则 AD A' D'
变式2：如图，已知△ABC∽△A’B’C’，相似比为 BC k， B' C'
k AD与A’D’为这两个三角形的中线，则 AD A' D'
△ABC≌△ A'B'C' 全等三角形的性质：
类比 猜想
全等三角形的对应高线相等
全等三角形的对应中线相等
△ABC∽△ A'B'C' 相似三角形的性质：
相似三角形的对应角相等， 对应边成比例
相似三角形的相关结论：
相似三角形的对应角平分线之比 等于相似比
全等三角形的相关结论：
全等三角形的对应角平分线相等
类比 猜想
全等三角形的对应高线相等
验证
全等三角形的对应中线相等
△ABC∽△ A'B'C' 相似三角形的性质：
相似三角形的对应角相等， 对应边成比例
相似三角形的相关结论：
相似三角形的对应角平分线之比 等于相似比
相似三角形的对应高线之比等于 相似比
△ABC≌△ A'B'C'
全等三角形的性质： 全等三角形的对应角相等，对应边相等
全等三角形的相关结论： 全等三角形的对应角平分线相等 全等三角形的对应高线相等 全等三角形的对应中线相等
△ABC≌△ A'B'C' 全等三角形的性质：
全等三角形的对应角相等， 对应边相等
全等三角形的相关结论：
全等三角形的对应角平分线相等
变式1：如图，已知△ABC∽△A’B’C’，相似比为 BC k，
B' C'
k AD与A’D’为这两个三角形的高线，则 AD A' D'
变式2：如图，已知△ABC∽△A’B’C’，相似比为 BC k， B' C'
k AD与A’D’为这两个三角形的中线，则 AD A' D'
△ABC≌△ A'B'C' 全等三角形的性质：
类比 猜想
全等三角形的对应高线相等
全等三角形的对应中线相等
△ABC∽△ A'B'C' 相似三角形的性质：
相似三角形的对应角相等， 对应边成比例
相似三角形的相关结论：
相似三角形的对应角平分线之比 等于相似比
25.5 相似三角形的性质课件(共24张PPT)
小结1相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比.
例题示范
知识点2 相似三角形的性质定理2问题3 △ABC的周长和△A1B1C1的周长的比与它们的相似比有什么关系？请说明理由.
求证：相似三角形周长的比等于相似比.
证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，
2．若△ABC∽△A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC，AC，A′B′，A′C′的长.
解：∵△ABC∽△A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm， ∴ , ∵AB＝15 cm，B′C′＝24 cm， ∴BC＝20 cm， AC＝25 cm， A′B′＝18 cm，A′C′＝30 cm.
结论：相似三角形对应高的比等于相似比．
思考:把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？问题2 图中△ABC和△A′B′C′相似，AD，A′D′分别为对应边上的中线，BE，B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？
（2）已知：两个三角形相似比为k，即 .求证： .
问题引入
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k.AD与A'D'，AE与A'E'分别为BC，B'C'边上的高和中线，AF与A'F'分别为∠BAC＝∠B'A'C'的平分线.（1）AD和A'D'的比与相似比之间有怎样的关系？请说明理由.（2）AE和A'E'的比、AF和A'F'的比分别与相似比有怎样的关系？请说明理由.
第二十五章 图形的相似
例题示范
知识点2 相似三角形的性质定理2问题3 △ABC的周长和△A1B1C1的周长的比与它们的相似比有什么关系？请说明理由.
求证：相似三角形周长的比等于相似比.
证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，
2．若△ABC∽△A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC，AC，A′B′，A′C′的长.
解：∵△ABC∽△A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm， ∴ , ∵AB＝15 cm，B′C′＝24 cm， ∴BC＝20 cm， AC＝25 cm， A′B′＝18 cm，A′C′＝30 cm.
结论：相似三角形对应高的比等于相似比．
思考:把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？问题2 图中△ABC和△A′B′C′相似，AD，A′D′分别为对应边上的中线，BE，B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？
（2）已知：两个三角形相似比为k，即 .求证： .
问题引入
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k.AD与A'D'，AE与A'E'分别为BC，B'C'边上的高和中线，AF与A'F'分别为∠BAC＝∠B'A'C'的平分线.（1）AD和A'D'的比与相似比之间有怎样的关系？请说明理由.（2）AE和A'E'的比、AF和A'F'的比分别与相似比有怎样的关系？请说明理由.
第二十五章 图形的相似
相似三角形应用课件
表示两个三角形相似的符 号为“∽”。
相似变换
通过相似变换，可以将一 个三角形的边和角对应地 缩小或放大，得到另一个 三角形。
相似三角形的性质
对应边成比例
周长和面积的比值相等
相似三角形的对应边长之比是一个常 数，这个常数称为相似比。
相似三角形的周长之比等于它们的相 似比，面积之比等于相似比的平方。
对应角相等
确定建筑物的水平角度
通过相似三角形的边长比例关系，结合已知的测量点和角 度，计算出建筑物的水平角度，确保建筑物的方向和定位 准确。
利用相似三角形解决航海定位问题
确定船只的位置
利用相似三角形原理，结合已知的陆地标志和船只的位置，计算出 船只的具体位置，为航行安全和导航提供保障。
确定船只的航向
通过相似三角形，结合已知的陆地标志和船只的航向，计算出船只 的航向，确保船只在正确的航线上航行。
感谢观看
02
相似三角形在几何中的应用
利用相似三角形解决几何问题
计算长度
利用相似三角形的性质， 可以计算出无法直接测量 的长度。
角度计算
通过相似三角形，可以计 算出某些难以测量的角度。
面积和周长
利用相似三角形的面积比 和边长比，可以计算出某 些图形的面积和周长。
利用相似三角形证明几何定理
勾股定理
利用相似三角形，可以证明勾股定理。
利用相似三角形的性质，将实际问题中的比例关系转化为代数方程，从而解决一些复杂的代数与实际问题。
详细描述
在解决一些实际问题时，我们常常需要借助代数方法来描述问题。例如，在计算物体的重量时，我们可 以通过相似三角形的性质，将物体的重量与长度之间的比例关系转化为代数方程，从而计算出物体的重 量。
THANKS
相似变换
通过相似变换，可以将一 个三角形的边和角对应地 缩小或放大，得到另一个 三角形。
相似三角形的性质
对应边成比例
周长和面积的比值相等
相似三角形的对应边长之比是一个常 数，这个常数称为相似比。
相似三角形的周长之比等于它们的相 似比，面积之比等于相似比的平方。
对应角相等
确定建筑物的水平角度
通过相似三角形的边长比例关系，结合已知的测量点和角 度，计算出建筑物的水平角度，确保建筑物的方向和定位 准确。
利用相似三角形解决航海定位问题
确定船只的位置
利用相似三角形原理，结合已知的陆地标志和船只的位置，计算出 船只的具体位置，为航行安全和导航提供保障。
确定船只的航向
通过相似三角形，结合已知的陆地标志和船只的航向，计算出船只 的航向，确保船只在正确的航线上航行。
感谢观看
02
相似三角形在几何中的应用
利用相似三角形解决几何问题
计算长度
利用相似三角形的性质， 可以计算出无法直接测量 的长度。
角度计算
通过相似三角形，可以计 算出某些难以测量的角度。
面积和周长
利用相似三角形的面积比 和边长比，可以计算出某 些图形的面积和周长。
利用相似三角形证明几何定理
勾股定理
利用相似三角形，可以证明勾股定理。
利用相似三角形的性质，将实际问题中的比例关系转化为代数方程，从而解决一些复杂的代数与实际问题。
详细描述
在解决一些实际问题时，我们常常需要借助代数方法来描述问题。例如，在计算物体的重量时，我们可 以通过相似三角形的性质，将物体的重量与长度之间的比例关系转化为代数方程，从而计算出物体的重 量。
THANKS
相似三角形的应用(公开课)精品PPT教学课件
2020/12/6
1
复习目标:
(1)能利用相似三角形的知识解决一些 实际问题
(2)能把相似三角形的知识与其他知识 相结合,解决一些富有挑战性的问题
2020/12/6
2
回顾
三角形相似的判定方法
1、两边对应成比例，且夹角相等的两个 三角形相似
2、两个角对应相等的两个三角形相似
3、三条边对应成比例的两个三角形相似
点移动t秒（0<t<5)后, 四边形ABQP的面积为S平方米。
（1）分别求出面积S与时间t的关系式
A
D
P
B
2020/12/6
Q
C
10
锋芒毕露
（2）探究:在P、Q两点移动的过程中，四边形ABQP与 △CPQ的面积能否相等？若能，求出此时点P的位置； 若不能，请说明理由。
A
D
D
P
B
2020/12/6
Q
A.所有的直角三角形都相似
(C )
B.所有的等腰三角形都相似
C.所有的等腰直角三角形都相似
D.以上结论都不正确
（2）如图所示，在平行四边形ABCD中，G是BC延长
线上一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，则图中
相似三角形共有( B )
A.4对 B.5对 C.6对 D.7对
2020/12/6
5
小试牛刀
1.如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长 16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升 高 8 m。
B
16m
C
┏
┛ 0.5m 1m
o
D
A
小试牛刀
2. 小明在打网球时，使球恰好能打过网，而 且落在离网5米的位置上，已知击球点离网的 水平距离为10米，求球拍击球的高度h.(设网 球是直线运动)
1
复习目标:
(1)能利用相似三角形的知识解决一些 实际问题
(2)能把相似三角形的知识与其他知识 相结合,解决一些富有挑战性的问题
2020/12/6
2
回顾
三角形相似的判定方法
1、两边对应成比例，且夹角相等的两个 三角形相似
2、两个角对应相等的两个三角形相似
3、三条边对应成比例的两个三角形相似
点移动t秒（0<t<5)后, 四边形ABQP的面积为S平方米。
（1）分别求出面积S与时间t的关系式
A
D
P
B
2020/12/6
Q
C
10
锋芒毕露
（2）探究:在P、Q两点移动的过程中，四边形ABQP与 △CPQ的面积能否相等？若能，求出此时点P的位置； 若不能，请说明理由。
A
D
D
P
B
2020/12/6
Q
A.所有的直角三角形都相似
(C )
B.所有的等腰三角形都相似
C.所有的等腰直角三角形都相似
D.以上结论都不正确
（2）如图所示，在平行四边形ABCD中，G是BC延长
线上一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，则图中
相似三角形共有( B )
A.4对 B.5对 C.6对 D.7对
2020/12/6
5
小试牛刀
1.如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长 16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升 高 8 m。
B
16m
C
┏
┛ 0.5m 1m
o
D
A
小试牛刀
2. 小明在打网球时，使球恰好能打过网，而 且落在离网5米的位置上，已知击球点离网的 水平距离为10米，求球拍击球的高度h.(设网 球是直线运动)
27.2.3相似三角形应用举例课件
B
C
D
如图：一条河流，在河流 的北岸点A处有一根高压电 线杆。河流的南岸点B处有 一颗大树。且电线杆在大树 的正北方向上。在大树的正 东方的点C处有一雕像，你 能利用本节课学习的知识大 致测算出电线杆A与大树B之 间的距离吗？ 若用皮尺测得：BC=40米， CD=20米，DE=60米，你能计算 出电线杆A与大树B之间的距离 吗？
二 、测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物 高与影长的比例”的原理解决
三 、测距的方法
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解
解决实际问题时（如测高、测距）， 一般有以下步骤：①审题 ②构建图形 ③利用相似解决问题
6. 为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定 一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使 AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确 定BC和AE的交点D．此时如果测得BD＝120米， DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB．
A
B
C D E
生活实践
1、如图，是一池塘的平面图， 请你利用相似三角形的知识， 设计出一种测量A、B两点 间距离的方案，并对这种方 案作出简要的说明。
新课导入
乐山大佛
世界上最高的树 —— 红杉
怎样测量这些非常 高大物体的高度？
世界上最高的楼 ——阿联酋迪拜 塔（828米）
怎样测量河宽？
世界上最宽的河 ——亚马孙河
利用三角形相似可以解决一些不能 直接测量的物体的长度的问题
例题
古希腊数学家、天文学 家泰勒斯利用相似三角形的 原理，测量金字塔的高度。
1. 相似三角形的应用主要有两个方面：
（1） 测高 （不能直接使用皮尺或刻度尺量的）
相关主题
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例1 如图，已知锐角△ABC中，BC=12 ，BC边上的高 h=8 (3)如图,三角形内有并排的三个相等的正方形，它们 组成的矩形内接于△ABC，正方形的边长
a
；
；
(4)如图,三角形内有并排的n个正方形，它们组成
的矩形内接于△ABC，正方形的边长
a
（请用含n的代数式表示）
演变2 内接正方形变为动态内接矩形
(3) 最值问题利用函数思想来解决的；
(4) 对于复杂图形可从中提出基本图形，分析基本量之间的数量关系 来辅助解决问题。
B
4
8 3
A
P
E
N
D
C
如图，在锐角△ABC中，AD是BC边上的高，BC=12，
AD=8，PN//BC，
（3）若以PN为边作正方形PQMN，QM恰好在BC边上，
则正方形PQMN的边长PN =
解： PN // BC APN ∽ ABC AE PN AD BC AD ED PN AD BC ED PN 8 PN PN 8 12 PN 4.8
最大值为多少？
知识聚焦 模型
AE PN AP AN AD BC AB AC
用相似求线段的长度 、 面积
方法聚焦 (1) 规律探究题一般采用由特殊到一般的方法，先求n=1、n=2、n=3 的结果，再观察寻找一般结论； (2) 动态问题要分析整个运动过程，理清过程中有几种不同的状态， 画出代表图，分类讨论解答；
相似三角形专题
——相似三角形对应边上高之比等于相似比的应用
如图，在锐角△ABC中，AD是BC边上的高，BC=12， AD=8，PN//BC，
（1）若PN=6，则PN上的高AE= （2）若PN=4，则PN上的高AE=
PN // BC APN ∽ ABC AE PN AD BC
相似三角形对应边上的高线之比等于相似比
P，N 分别是边AB，AC上的两个动点（P不与A，B重合），且
保持PN∥BC，以PN为边，在点A的异侧作正方形PQMN.
（1）当正方形PQMN的边QM在BC上时，求正方形PQMN的边长；
演变3 内接正方形变为动态正方形
例3 如图，在锐角三角形ABC中，BC=12， BC边上的高AD=8 ，
P，N 分别是边AB，AC上的两个动点（P不与A，B重合），且
4.8
A
P
E
N
B
Q
D
M
C
演变1 内接正方形变为多个内接正方形
例1 如图，已知锐角△ABC中，BC=12 ，BC边上的高 h=8 (1)如图,四边形PQMN为△ABC的内接正方形，正方形的 边长
a
；
(2)如图，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们
组成的矩形内接于△ABC，正方形的边长
a
；
演变1 内接正方形变为多个内接正方形
（点P与点A、B不重合），过点P作PN∥BC，交AC于点
N，在△APN中，设PN的长为x，PN上的高为h．
（1）请你用含x的代数式表示h ．
（2）将△APN沿PN折叠，使△APN落在四边形BCNP所 在平面，设点A落在平面的点为A’，△ A’PN与四边
形BCNP重叠部分的面积为y，当x为何值时，y最大，
保持PN∥BC，以PN为边，在点A的异侧作正方形PQMN.
（2）设PN = x，△ABC与正方形PQMN重叠部分的面积为y，试求y
关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值.
演变4 动态平行四边形变为动态三角形
练习 如图，已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为12，
BC边上的高为8，∠B和∠C都为锐角，P为AB上一动点
例2 如图，已知锐角△ABC中，BC=12 ，BC边上的高
AD=8 ，四边形PQMN为△ABC的内接矩形，设PN=x， （1）请用含x的代数式表示PQ. （2）若PQ：PN=2：9，求 S矩形PQMN .
（3）求矩形PQMN的最大面积.
演变3 内中，BC=12， BC边上的高AD=8 ，
a
；
；
(4)如图,三角形内有并排的n个正方形，它们组成
的矩形内接于△ABC，正方形的边长
a
（请用含n的代数式表示）
演变2 内接正方形变为动态内接矩形
(3) 最值问题利用函数思想来解决的；
(4) 对于复杂图形可从中提出基本图形，分析基本量之间的数量关系 来辅助解决问题。
B
4
8 3
A
P
E
N
D
C
如图，在锐角△ABC中，AD是BC边上的高，BC=12，
AD=8，PN//BC，
（3）若以PN为边作正方形PQMN，QM恰好在BC边上，
则正方形PQMN的边长PN =
解： PN // BC APN ∽ ABC AE PN AD BC AD ED PN AD BC ED PN 8 PN PN 8 12 PN 4.8
最大值为多少？
知识聚焦 模型
AE PN AP AN AD BC AB AC
用相似求线段的长度 、 面积
方法聚焦 (1) 规律探究题一般采用由特殊到一般的方法，先求n=1、n=2、n=3 的结果，再观察寻找一般结论； (2) 动态问题要分析整个运动过程，理清过程中有几种不同的状态， 画出代表图，分类讨论解答；
相似三角形专题
——相似三角形对应边上高之比等于相似比的应用
如图，在锐角△ABC中，AD是BC边上的高，BC=12， AD=8，PN//BC，
（1）若PN=6，则PN上的高AE= （2）若PN=4，则PN上的高AE=
PN // BC APN ∽ ABC AE PN AD BC
相似三角形对应边上的高线之比等于相似比
P，N 分别是边AB，AC上的两个动点（P不与A，B重合），且
保持PN∥BC，以PN为边，在点A的异侧作正方形PQMN.
（1）当正方形PQMN的边QM在BC上时，求正方形PQMN的边长；
演变3 内接正方形变为动态正方形
例3 如图，在锐角三角形ABC中，BC=12， BC边上的高AD=8 ，
P，N 分别是边AB，AC上的两个动点（P不与A，B重合），且
4.8
A
P
E
N
B
Q
D
M
C
演变1 内接正方形变为多个内接正方形
例1 如图，已知锐角△ABC中，BC=12 ，BC边上的高 h=8 (1)如图,四边形PQMN为△ABC的内接正方形，正方形的 边长
a
；
(2)如图，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们
组成的矩形内接于△ABC，正方形的边长
a
；
演变1 内接正方形变为多个内接正方形
（点P与点A、B不重合），过点P作PN∥BC，交AC于点
N，在△APN中，设PN的长为x，PN上的高为h．
（1）请你用含x的代数式表示h ．
（2）将△APN沿PN折叠，使△APN落在四边形BCNP所 在平面，设点A落在平面的点为A’，△ A’PN与四边
形BCNP重叠部分的面积为y，当x为何值时，y最大，
保持PN∥BC，以PN为边，在点A的异侧作正方形PQMN.
（2）设PN = x，△ABC与正方形PQMN重叠部分的面积为y，试求y
关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的最大值.
演变4 动态平行四边形变为动态三角形
练习 如图，已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为12，
BC边上的高为8，∠B和∠C都为锐角，P为AB上一动点
例2 如图，已知锐角△ABC中，BC=12 ，BC边上的高
AD=8 ，四边形PQMN为△ABC的内接矩形，设PN=x， （1）请用含x的代数式表示PQ. （2）若PQ：PN=2：9，求 S矩形PQMN .
（3）求矩形PQMN的最大面积.
演变3 内中，BC=12， BC边上的高AD=8 ，