梁的有限元分析原理 - 考虑剪切变形影响的梁单元
有限元分析
彭彭(沈阳化工大学机械工程学院，辽宁沈阳110142)1 研究的目的和意义2 建立桥梁检测车检测臂模型本次设计是对桥梁检测车检测臂进行静力和动力分析。
在分析过程中用到的所有数据及参数均参考有关规范。
钢桁架（steel truss ）用钢材制造的桁架工业与民用建筑的屋盖结构吊车梁、桥梁和水工闸门等，常用钢桁架作为主要承重构件。
各式塔架，如桅杆塔、电视塔和输电线路塔等，常用三面、四面或多面平面桁架组成的空间钢桁架。
本文中采用四面桁架[4]。
检测臂为平行弦杆结构全长10米，上弦杆和下弦杆长度均为1米，截面均为直径10cm圆截面，如图2-1、2-2。
图2-1桥梁检测车工作臂结构示意图本文研究的是整个工作臂结构中的水平部分，这部分是带有伸缩功能的臂架结构，是工作臂中主要的承重部分。
图2-2检测臂平面图图2-3 检测臂立体图2.2单元介绍2.2.1 BEAM188单元描述BEAM188 —三维线性有限应变梁单元单元描述：BEAM188单元适合于分析从细长到中等粗短的梁结构。
该单元基于铁木辛哥梁结构理论，并考虑了剪切变形的影响[5]。
BEAM188是三维线性2节点梁单元，每个节点有六或七个自由度，自由度个数取决于KEYOPT（1）的值。
当KEYOPT（1）＝0（缺省）时，每个节点有六个自由度：节点坐标系的x、y、z 方向的平动和绕x、y、z轴的转动。
当KEYOPT（1）＝1时，每个节点有七个自由度，这时引入了第七个自由度（横截面的翘曲）。
本单元非常适合于线性、大角度转动和/或非线性大应变问题。
当NLGEOM打开（ON）时，BEAM188缺省考虑应力刚化效应。
应力刚化选项使本单元能分析弯曲、横向及扭转稳定性问题。
下面是BEAM188单元的示意图图2-4 BEAM188单元的示意图2.2.2 输入数据BEAM188 输入数据该单元的几何形状、节点位置、坐标体系如图“BEAM Geometry”所示，BEAM188由整体坐标系的节点i和j定义。
part6-钢筋混凝土结构的有限元分析2-杆系精品资料
2.受拉钢筋屈服时的弯矩M y和曲率y
当受拉钢筋达到屈服时，假定截面的应变及应力分布如图6.17所示
此时受拉钢筋的应变为y fy Es 。如果假设受压区高度为x，则得
y
h
y
a
s
(6.51)
s y x a
(6.52)
c yx
(6.53)
n
D b cdx bix i
Ns D sEs As f y As
CHAPTER 6
钢筋混凝土的有限元分析 （梁柱单元）
杆系结构的有限元分析
基本假定：
1. 平截面假定仍然成立； 2. 结构变形是微小的，建立平衡方程时采
用结构原 来的几何尺寸，不考虑几何非 线性； 3. 忽略剪切变形的影响； 4. 对静定结构，结构破坏以混凝土达到其 极限压应变为标准；对超静定结构，结 构破坏以产生足够多的塑性铰使结构成 为可变体系。
当杆端塑性铰出现以前，杆件的截面港督为常数，当弯矩到达屈服弯矩My时，
刚度则下降进入另一常数。
为了计算方便，图6.5刚度模型可以用 双分量的模型来表示。所谓双分量模型， 就是假想每一杆件由两个平行的杆组成， 一根是理想弹塑性铰(当杆端弯矩超出屈服 弯矩My时，在该杆端出现塑性铰)，另一根 是弹性杆。如图6.6的弯矩-曲率图形所示
0
3 l2
3 l
0
3 l2
3 l 2
（3）当j端出现塑性铰，即 M2i q M y 、M2 j q M j 时，单元刚度矩阵为
K2 0
2. 考虑二次矩
由于框架结构相对来说受力变形较大，在轴力N
的作用下，将引起杆内弯矩的变化和位移的增长。
在方程(6.1)中考虑二次矩的影响，需增加一个几何
有限元梁单元课件
在桥梁结构的有限元分析中，梁单元被广泛用于模拟桥梁的横梁、纵梁等结构构件。通过将桥梁离散 化为一系列的梁单元，可以计算出各梁单元的应力、应变等力学参数，从而评估桥梁的整体性能和安 全性。
建筑结构的有限元分析
总结词
建筑结构的有限元分析是有限元梁单元的又一重要应用，通 过模拟建筑的受力行为，可以优化建筑设计并提高建筑的安 全性和稳定性。
拓展有限元梁单元的应用范围 ，将其应用于更广泛的工程领 域，如海洋工程、地质工程等 。
结合智能优化算法和机器学习 技术，实现有限元梁单元的自 动建模和参数优化，提高设计 效率。
加强与实验研究的结合，通过 实验验证有限元梁单元的准确 性和可靠性，为工程实际提供 更加可靠的依据。
THANKS
01
梁单元是一种常见的有限元单元，用于模拟具有弯曲和剪切行 为的杆件。
02
在有限元梁单元的离散化过程中，将梁划分为一系列小的单元
，每个单元具有节点和内部点。
离散化后的梁可以被表示为一组节点的位移和内力的函数，通
03
过节点间的位移关系和内力平衡关系建立方程。
有限元梁单元的刚度矩阵与质量矩阵
刚度矩阵和质量矩阵是有限元分析中的两个重要概念 ，分别描述了结构的刚度和质量特性。
03 有限元梁单元的实现
有限元方法概述
有限元方法是一种数值分析方法，通过将复杂的连续结构离散化为有限个 小的单元，来近似求解复杂的工程问题。
有限元方法具有灵活性和通用性，可以应用于各种形状和类型的结构分析 。
有限元方法的基本步骤包括离散化、单元分析、整体分析、求解和后处理 等。
有限元梁单元的离散化
研究梁在稳定性问题下的承载能力和 失稳过程。
梁的剪切理论
第3讲有限元梁单元
梁单元在有限元法中的地位
有限元法是解决复杂工程问题的重要方法 之一，梁单元是有限元法中的基本元素之 一。
梁单元具有简单、易处理和计算效率高等 优点，因此在工程结构分析中广泛应用。
梁单元可以模拟各种形状和尺寸的梁，能 够提供准确的应力、应变和位移等结果， 为工程设计提供可靠依据。
梁单元在有限元法中的地位非常重要， 它是构成复杂结构的基础元素之一，对 于工程结构的分析和设计具有重要意义。
优化设计实例分析
案例一：某桥梁结构的有限元梁单元优化设计，提高了结构的稳定性和承载能力。
案例二：采用有限元梁单元优化设计方法对某高层建筑进行抗震分析，有效降低了地震对 结构的影响。
案例三：针对某机械装备的关键部件，通过有限元梁单元优化设计实现了轻量化和高性能 的设计目标。
案例四：在某航空航天器的结构设计中，有限元梁单元优化设计的应用提高了结构效率并 减轻了整体重量。
其他领域中的应用
建筑领域：用于 分析桥梁、大跨 度结构等
航空航天：用于 飞机机翼、尾翼 等部件的分析
船舶工程：用于 船体结构、桅杆 等部件的分析
汽车工业：用于 分析车架、发动 机等部件
建模的基本步骤
确定梁的长度、 截面尺寸和材
料属性
建立梁的离散 化模型，将梁 划分为若干个
小的单元
确定单元的节 点位置和节点
单击添加标题
有限元梁单元的 特性
有限元梁单元的 建模方法
有限元梁单元的 基本概念
有限元梁单元的 应用场景
有限元梁单元的 优化设计
有限元法的定义
有限元法是一种数值分析方法，用于求解偏微分方程和积分方程等数学问题
通过将连续的求解区域离散化为有限个小的单元，用代数方程代替微分方程进行求解
高耀东编著《ANSYS 18.2有限元分析与应用实例 》用SOLID185单元分析悬臂梁的剪切闭锁
SOLVE
!求解
FINISH
/POST1 PLNSOL, U,Y
!显示变形云图
FINISH
50
4
4
92
无
2
50
50
4
4
25
缩减积分
0.2
0.217
—
3
10
50
4
4
25
全积分
25
9.782
有
4
10
50
4
20
200
全积分
25
24.658
无
5
10
50
4
4
25
缩减积分
25
26.402
—
分析结果表明，梁最大挠度的有限元全积分解小于理论解，全积分解小于缩减积分解， 梁高度较小时，采用全积分和较大的单元尺寸时会发生剪切闭锁，计算误差较大。
!定义材料模型
BLOCK,0,L,0,H,0,B
!创建六面体
LESIZE, 1,,,4 $ LESIZE, 9,,,4 $ LESIZE, 2,,,25
!指定直线划分单元段数
VMESH, 1
!对体划分单元
FINISH
/SOLU DA,5,ALL
!在面上施加全约束，模拟固定端
KSEL,S,LOC,X,L $ FK,ALL,FY,-P/4 $ ALLS !在关键点上加集中力
实例 E6-1 用 SOLID185 单元分析悬臂梁的剪切闭锁
已知如图 6-9 所示的悬臂梁的长度 L=0.5m，矩形截面，材料为钢，作用在梁上的集中 力 P=500N。下面用 ANSYS 对梁的变形进行研究，分析剪切闭锁的影响。分析使用的单元 类型为 SOLID185，采用的参数和分析结果见表 6-3。其中，梁最大挠度的理论解采用以下 公式
有限元-梁系结构的有限元法
4x l
3x 2 l2
) i
x l
(3x l
2)
j
容易验证 ： x 0： u ui v vi i x l： u u j v v j j
(3-1a)，(3-1b)或(3-2a)，(3-2b)称为平面梁单元的位移插值 函数
二、建立节点位移与节点力关系
1、 轴向节点力
E Fx A
拉压杆问题的回顾
1、杆的基本概念：
杆--轴线为直线的细长构件，沿轴线承受 拉（压）载荷； 杆模型--平面假设将杆简化为一维问题， 可由杆轴线代表； 杆变形特点--只与轴向位移相关；
拉压杆问题的回顾
2、杆有限元的基本概念
节点位移—轴向位移，每节点1个自由度； 节点力—轴力； 结构离散：轴线划分为若干直线段； 单元分析：建立节点力与节点位移关系； 节点平衡：对每一节点，建立相关节点力与 外力的平衡关系，得到一线性方程组； 约束处理：引入已知节点位移，使方程组可解
梁系结构实例
2、平面梁系
1、节点力平衡的需求--单元节点力（在 局部坐标系中）向整体坐标系的变换； 2、单元分析的需求--节点位移（在整体 坐标系中）向局部坐标系的变换； 3、结构对称性的利用（练习，作业3）。
l2 2EI
l
0
Vi
i
u
j
（3-4）
6EI l2
4EI
V
j j
l
（3－4）式是用矩阵表示的梁节点力与节点位移的关系
式（3-4）还可写成：
F
e
K e
e
（3-5）
e
F
——称为局部坐标下的节点力列向量
e ——称为局部坐标下的节点位移列向量
e
K
桥梁结构分析的有限元法(62页)
桥梁结长构安及大计学算 贺拴海 培训讲义
第1篇 桥梁结构整体分析
桥梁结构分析的有限元法 梁板式结构分析的有限条法 能量原理及组合结构分析的变形协调法 变截面连续梁、拱式结构分析的子结构法 桥梁结构的材料几何非线性分析
Qx
N
桥梁结构分析的有限元法j M x
桥梁结构有限元法的分析过程
桁架桥结构分析
要求。一般来说，
假定位移是坐标的某种函数，称为位移模式
多项式的项数应 等于单元的自由
定单元和结点 的数目等问题。
或插值函数。根据所选定的位移模式，就可以
度数，它的阶次 应包含常数项和
导出用结点位移表示单元内任一点位移的关系 线性项等。这里
所谓单元的自由
式：
度是指单元结点
{ f } [N ]{ }e
6EI y
0
- l 2 (1 z )
0
(2 z )EI y 0
l(1 z )
0
6EI y
(4 z )EI y
0
l 2 (1 z )
0
l(1 z )
0
6EI z l 2 (1 y )
0
0
0
(2 y )EI z 0
l(1 y )
结点力列阵 { }e [ui , wi ,u j , wj ]T 单元坐标系下单元刚度矩阵表达式同前，但
[k ]0e
EA 1
l
0
0
0
结构坐标系下单元刚度矩阵表达式同前，但
[k]e
EA c2
cs
l cs s2
c cos, s sin
有限元课程问题汇总(完整版)(1)
1、有限元方法与传统力学方法的比较，有限元的一般概念及基本思路。
叙述有限元方法的基本步骤。
答：比较：运用有限元方法解决工程实际问题时，不管是简单结构或者是复杂的结构，其求解过程是完全相同的，由于每个步骤都具有标准化和规范性的特征，可以在计算机上进行编程而自行实现，这是常规解析方法无法实现的。
即技术核心所在就是采用分段离散的方式来组合出全场几何域上的试函数，而不是直接寻找全场上的试函数。
概念：有限元方法是求解各种复杂数学物理问题的重要方法，是处理各种复杂工程问题的重要分析手段，也是进行科学研究的重要工具。
该方法的应用和实施包括三个方面：计算原理、计算机软件、计算机硬件。
有限元方法的基本思路：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。
（在具备大规模计算能力的前提下，将复杂的几何物体等效离散为一系列的标准形状几何体，再在标准的几何体上研究规范化的试函数表达及其全场试函数的构建，然后利用最小势能原理建立起力学问题的线性方程组。
）有限单元法解题步骤：①结构的离散化，即单元网格划分；②选择位移模式；③分析单元的力学特征，利用几何方程导出结点位移表示的单元应变，利用本构方程建立单元内任意一点的应力与应变的关系，利用变分原理建立单元的平衡方程；④集合所有单元的平衡方程，建立整个结构的平衡方程（即总的平衡方程），包括将刚度集成总刚，以及将单元的等效结点力列阵集成总的荷载列阵；⑤求解结点位移和计算单元应力，包括边界条件修正；⑥解方程，得到未知问题的节点值；⑦后处理。
2、掌握位移函数和形函数的概念，掌握二者之间的关系。
答：位移函数：是单元内部位移变化的数学表达式，设为坐标的函数，由于有限元法采用能量原理进行单元分析，因而必须事先设定位移函数。
在弹性力学中，恰当选取位移函数不是一件容易的事情；但在有限元中，当单元划分得足够小时，把位移函数设定为简单的多项式就可以获得相当好的精确度。
贝努利-欧拉梁与铁木辛柯梁的对比研究
贝努利-欧拉梁与铁木辛柯梁的对比研究摘要：本文介绍了贝努里-欧拉（Bernoulli-Euler）梁和铁木辛柯（Timoshenko）梁理论，讨论了它们的基本假设，运用Mathematica软件推导了两者的运动方程，分析了贝努里-欧拉梁和铁木辛柯梁的不同之处，并通过一个简单的算例，运用ANSYS有限元分析软件计算了细长梁和短梁分别用贝努里-欧拉梁理论和铁木辛柯梁理论时的挠度，对两者的不同之处进行对比与分析。
关键词：贝努里-欧拉梁；铁木辛柯梁；Mathematica；ANSYSComparative Study on Theories of Bernoulli-Euler beamand Timoshenko beamAbstract: This article firstly introduces the theories of Bernoulli-Euler beam and Timoshenko beam, and their basic assumptions. Then motion equation of the two beams is derived by the software of Mathematica. Last analyzing the difference between Bernoulli-Euler beam and Timoshenko beam by an example which calculates the deflection of the slender beam and short beam with the theories of Bernoulli-Euler beam and the Timoshenko beam by the finite element analysis software of ANSYS, the difference between the two beams is also compared and analyzed.Key words：Bernoulli-Euler beam; Timoshenko beam; Mathematica; ANSYS1引言现今应用中的梁理论主要有：（1）精确的弹性方程；（2）Bernoulli-Euler-梁理论；（3）Timoshenko 梁理论。
ANSYS中单元的选择
在结构分析中，“结构”一般指结构分析的力学模型。
按几何特征和单元种类，结构可分为杆系结构、板壳结构和实体结构。
杆系结构：其杆件特征是一个方向的尺度远大于其它两个方向的尺度，例如长度远大于截面高度和宽度的梁。
元类型有杆、梁和管单元（一般单称为线单元）。
板壳结构：是一个方向的尺度远小于其它两个方向尺度的结构，如平板结构和壳结构。
单元为壳单元。
实体结构：则是指三个方向的尺度约为同量级的结构，例如挡土墙、堤坝、基础等。
单元为3D实体单元和2D 实体单元。
杆系结构：①当构件15>L/h≥4时，采用考虑剪切变形的梁单元。
（h为杆系的高度）②当构件L/h≥15时, 采用不考虑剪切变形的梁单元。
③BEAM18X系列可不必考虑L/h的值，但在使用时必须达到一定程度的网格密度。
对于薄壁杆件结构，由于剪切变形影响很大，所以必须考虑剪切变形的影响。
板壳结构：当L/h<5～8时为厚板，应采用实体单元。
（h为板壳的厚度）当5～8<L/h<80～100时为薄板，选2D体元或壳元当L/h>80～100时,采用薄膜单元。
对于壳类结构，一般R/h≥20为薄壳结构，可选择薄壳单元，否则选择中厚壳单元。
对于既非梁亦非板壳结构，可选择3D实体单元。
杆单元适用于模拟桁架、缆索、链杆、弹簧等构件。
该类单元只承受杆轴向的拉压，不承受弯矩，节点只有平动自由度。
不同的单元具有弹性、塑性、蠕变、膨胀、大转动、大挠度（也称大变形）、大应变（也称有限应变）、应刚化（也称几何刚度、初始应力刚度等）等功能⑴杆单元均为均质直杆，面积和长度不能为零（LINK11无面积参数）。
仅承受杆端荷载，温度沿杆元长线性变化。
杆元中的应力相同，可考虑初应变。
⑵LINK10属非线性单元，需迭代求解。
LINK11可作用线荷载；仅有集中质量方式。
⑶LINK180无实常数型初应变，但可输入初应力文件，可考虑附加质量；大变形分析时，横截面面积可以是变化的，即可为轴向伸长的函数或刚性的。
梁的有限元分析原理
Advantages of 2D Storage 1)Space-saving; 2)Easy to be computerized Disadvantages of 2D Storage Enormous storage is required when local bandwidth is large.
输入基本数据 计算单元刚度矩阵 形成总体刚度矩阵 形成结点荷载向量
3、系统分析
（1）整体刚度矩阵[K]的组装； （2）整体载荷列阵{P}的形成；
引入约束条件 求解方程组，输出结点位移 计算单元应力，输出结果
[K]的存储；约束引入；求解
结束
40
总刚存贮
全矩阵存贮法：不利于节省计算机的存贮 空间，很少采用。K[i,j] 对称三角存贮法：存贮上三角或下三角元 素。 半带宽存贮法 ：存贮上三角形（或下三角 形）半带宽以内的元素 。 一维压缩存贮法 ：半带宽存贮中仍包含了 许多零元素。存贮每一行的第一个非零元 素到主对角线元素。
有限元程序设计
——梁单元，静力问题
谷 音 福州大学土木工程学院
2012
1
§1. 介绍. 框架结构，例如桁架、桥梁 轴力构件 axial elements 杆 受弯构件 flexural elements 梁 平面梁单元 plane beam element
2
§2. 经典梁单元 (Bernoulli-Euler) Beam ： 梁在纯弯曲时的 平面假设 平面－梁－假设 Plane-beam-assumption 梁的各个横截面在变形后仍保持为平
除非ψ是常数（没有弯曲变形），否则， dw/dx-ψ不会为零。这种现象称为剪切闭锁。 shear-locking
17
考虑剪滞效应的薄壁曲梁有限单元法
元 并 考 虑 剪 力 滞 后 和 翘 曲扭 转 效 应 来 分 析 曲线 薄 壁 箱 梁 ，特 别 是 曲线 薄 壁 多 室 箱 梁 的 论 述 还 不 多
见。
在 本研 究 中提 出 了一种 可考 虑 剪 力滞 后 和翘 曲扭 转 （ 括 二 次 翘 曲 剪 切 变 形 ） 响 的 曲线 薄 壁 多 包 影
维普资讯
工
程
力
学
式差 效引的板眚移 中窨滞应起翼翘 为。 设剪 由 曲 能 位
＝
式 ： 』 ｃ 当 时 中 ，一 ｙ 一 ， ＝＾ 五 ¨ ， Ｐ 墨 Ｐ
， “ （ ２ ｌ ｈ ２２ ＋ ， 】 ｈ １ － ２ｔ） ｔ
室 箱 型 梁 单 元 ， 研 究 中 为 了准 确 地 运 用 这 种 梁 单 在 元 分 析 曲线 应 及 适 应 梁 单 元 特 点 的 双 力 矩 计 算 公 式 ， 推 导 了单 元 刚 并 度 矩 阵 、等 效 节 点 荷 载 列 阵 。 本 文 方 法 具 有 简 便 ， 准 确 ，适 合 工 程 应 用 的特 点 。
所 产 生 的应 变 能 为
＋
ｏ ２ ． Ｅｌ ｓ
堕 ｆ
ｙ
（ ３ ． ）
式 中 ： Ｕ ｖｗ一 分 别 为 沿 、 Ｙ和 Ｚ方 向 的位 移 ； ，，
＋
０ ， ０ 一 分别 为绕 、 Ｙ轴和剪切 中心 的转角 ； ０ ，
岳 ＋
＋
收 稿 日期 ： ２ ０ － １２ ０ ０ １ ．５；修 改 日期 ： ２ ０ — ２ １ ０ １０ — １
考 虑 剪 滞 效 应 的 薄 壁 曲梁 有 限 单 元 法
吴 亚 平 。 ’，赖 远 明 ２ 朱 元 林 ２ 刘 世 忠 ， 张 学 富 ２ ， ，
Beam188知识分享
B e a m188Beam1883 维线性有限应变梁单元Beam188 单元描述Beam188 单元适合于分析从细长到中等粗短的梁结构，该单元基于铁木辛哥梁结构理论，并考虑了剪切变形的影响。
Beam188 是三维线性（2 节点）或者二次梁单元。
每个节点有六个或者七个自由度，自由度的个数取决于KEYOPT(1)的值。
当KEYOPT(1)＝0（缺省）时，每个节点有六个自由度；节点坐标系的x、y、z 方向的平动和绕x、y、z 轴的转动。
当KEYOPT(1)=1 时，每个节点有七个自由度，这时引入了第七个自由度（横截面的翘曲）。
这个单元非常适合线性、大角度转动和/并非线性大应变问题。
当NLGEOM 打开的时候，beam188 的应力刚化，在任何分析中都是缺省项。
应力强化选项使本单元能分析弯曲、横向及扭转稳定问题（用弧长法）分析特征值屈曲和塌陷）。
Beam188/beam189 可以采用sectype、secdata、secoffset、secwrite 及secread 定义横截面。
本单元支持弹性、蠕变及素性模型（不考虑横截面子模型）。
这种单元类型的截面可以是不同材料组成的组和截面。
Beam188 从6.0 版本开始忽略任何实参数，参考seccontrols 命令来定义横向剪切刚度和附加质量。
单元坐标系统（/psymb，esys）与beam188 单元无关。
下图是单元几何示意图：BEAM188 输入数据该单元的几何形状、节点位置、坐标体系如图“BEAM Geometry”所示，beam188 由整体坐标系的节点i 和j 定义。
节点K 是定义单元方向的所选方式，有关方向节点和梁的网格划分的信息可以参见ANSYS Modeling and Meshing Guide中的Generating a Beam Mesh With Orientation Nodes。
参考lmesh 和latt 命令描述可以得到k 节点自动生成的详细资料。
梁单元有限元分析
梁单元-有限元分析一、有限元法介绍有限元法的基本思想是将结构离散化，用有限个容易分析的单元来表示复杂的对象，单元之间通过有限个节点相互连接，然后根据变形协调条件综合求解。
由于单元的数目是有限的，节点的数目也是有限的，所以称为有限元法(FEM，Finite Element Method)。
是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种弹性力学问题的数值求解方法。
有限元法是最重要的工程分析技术之一。
它广泛应用于弹塑性力学、断裂力学、流体力学、热传导等领域。
有限元法是60年代以来发展起来的新的数值计算方法，是计算机时代的产物。
虽然有限元的概念早在40年代就有人提出，但由于当时计算机尚未出现，它并未受到人们的重视。
随着计算机技术的发展，有限元法在各个工程领域中不断得到深入应用，现已遍及宇航工业、核工业、机电、化工、建筑、海洋等工业，是机械产品动、静、热特性分析的重要手段。
早在70年代初期就有人给出结论：有限元法在产品结构设计中的应用，使机电产品设计产生革命性的变化，理论设计代替了经验类比设计。
目前，有限元法仍在不断发展，理论上不断完善，各种有限元分析程序包的功能越来越强大，使用越来越方便。
二．梁单元的分类所谓梁杆结构是指其长度比横截面尺寸大很多的梁和杆件、以及由它们组成的系统，这一类结构的应力、应变和位移都是一个坐标的函数，所以属于一维单元问题。
1．平面桁架特点：杆件位于一个平面内，杆件间用铰节点连接，作用力也在该平面内。
单元特性：只承受拉力或压力。
单元划分：常采用自然单元划分。
即以两个铰接点之间的杆件作为一个单元。
为使桁架杆件只产生轴力，桁架的计算常作以下假定：①桁架中每根杆件的两端由理想铰联结；②每根杆件的轴线必须是直线；③所有杆件的轴线都只交于所联理想铰的几何中心。
④荷载均只作用于理想铰的几何中心。
在此条件下所算得的各种应力称为主应力。
实际上各种桁架结构不可能完全满足上述各假定，因而杆件将产生弯曲，由这种弯曲而在杆件中所引起的轴向应力称为次应力。
在Abaqus中使用梁单元进行计算
在Abaqus中使用梁单元进行计算在Abaqus中使用梁单元进行计算(2012-03-26 11:28:00)转载▼标签：分类：ABAQUSabaqus梁杂谈xiaozity 助理工程师:在练习老庄的Crane例题时，欲提取梁元的截面应力。
反复折腾后，小小体会，总结如下：（1）书中讲到：“线性梁元B21、B31及二次梁元B22、B32是考虑剪切变形的Timoshenko 梁单元；而三次梁元B23、B33不能模拟剪切变形，属Euler梁单元”。
（2）众所周知，当要考虑剪切变形时，例如深梁，采用Timoshenko梁单元比较合适。
三次梁元由于可模拟轴线方向的三阶变量，因而对static问题，一个构件常常用一个三次单元就足够，特别对于分布载荷的梁，三次梁元的精度相当高。
（3）Abaqus 会默认在积分点处的若干截面点输入应力值；但用户可自定义应力输出的截面点位置，这通过property-section-manage-edit-output points 来定义输出应力值的截面点；（4）特别要指出的是，无论B22还是B33还是其它梁元，其输出的应力分量只有S11，如图所示；那么，现在的问题是：1：S11代表什么应力，根据经验，大家会认为11是1方向的正应力或主应力等等2：为什么没有S22、S33、S12......下面分别说明：1：S11表达的是梁元的弯曲应力，即局部坐标系下截面上的正应力2：只输出S11，而无其它应力，这是因为梁元之所以成为梁元，有一基本前提就是用梁元来模拟的构件，其正应力是最主要的，而剪应力是可忽略的；一个基本的佐证就是：众所周知，在建立梁的总势能方程时，总是讲剪切应变能是小量，因而它总是被忽略掉的；忽略剪应力的一个结果是：mises应力将与S11在数值上完全相同，不仅Abaqus如此，Ansys 也是如此，这也难怪有人讲：“Timoshenko梁单元是骗人的，它根本没有考虑剪应力”；对这件事情，我想作如下评价：（A）不仅Timoshenko梁单元，其它梁元（不考虑剪切变形）确实在应力的层面没有考虑剪应力的影响，这可从mises应力与S11的比较看出来；而为什么这样处理，理由如上所述，剪应力是高阶量，可忽略，否则就认为不能用梁元来模拟。
梁的有限元分析原理-PPT文档资料
1
福州大学研究生课程－有限元程序设计
§1. 介绍. 框架结构，例如桁架、桥梁 轴力构件 axial elements 杆
Evaluation only. 受弯构件 flexural elements 梁 d with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5 Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 平面梁单元 plane beam element
where k —— 曲率 M, Q —— 弯矩，剪力
I —— 惯性矩
Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam
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福州大学研究生课程－有限元程序设计
最小势能原理
典型 C 1 连续问题 通常梁分析中常用2节点Hermite单元
Evaluation only. d with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5 Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.
假设变形场的整体势能为：
Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam
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Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam
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福州大学研究生课程－有限元程序设计
β( x) 相应给出沿着中线剪切角 γxz
其中 ψ (x) 为只考虑梁弯曲理论中的线性单元转角.
only. d with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5 弯曲产生的位移： Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.
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代人
比较：弯曲梁 单元中的单刚
得到：
等截面梁单元有限元分析
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小结
剪切变形的影响通过系数b反映在刚度矩阵中，使刚度减弱。 对矩形截面：
，当l >>h，b趋于0，可以忽略剪力变形的影响。
等截面梁单元有限元分析
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Timoshenko梁单元
铁木辛柯梁单元——采用两个独立变量 挠度 w
几何关系，曲率
对比
等截面梁单元有限元分析
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最小势能原理
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k为截面剪切校正因子
1.经典梁单元 2.铁木辛柯梁单元
——C1型单元 ——C0型单元
等截面梁单元有限元分析
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在经典梁单元基础上引入剪切变形的影响. 挠度叠加
结点位移
其中
采用不考虑剪切变形梁单元的w相同的Hermite插值； 采用2结点的Lagrange插值，即线性插值。
解决方法
假设剪切应变
代替插值函数
计算泛函的剪切应变能时，θ采用低一 阶，和dw/dx同阶插值函数代替原插值 函数
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等截面梁单元有限元分析
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等截面梁单元有限元分析
——考虑剪切变形的梁单元
2014.4.13
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介绍.
轴力构件 axial elements 杆单元
受弯构件 flexural elements 梁单元
考虑剪切变形的梁单元
等截面梁单元有限元分析
2
长沙理工大学 假设：梁内的横向剪切力Q所产生的剪切变形将引起梁的附加挠度， 并使原来垂直于中面的截面变形后不再和中面垂直，而且发生翘曲。 考虑剪切变形的梁单元 但在这里，假设原来垂直于中面的截面变形后仍保持为平面。 几何描述
截面转角，不考虑剪切 每个单元的节点数量 Lagrange插值函数
等截面梁单元有限元分析
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Timoshenko梁单元
Lagrange插值
其中
[ N1
N 2 ] 1 2
代入最小势能原理泛函
d
j
a
P
得
Ka P
其中
等截面梁单元有限元分析
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Timoshenko梁单元
等截面梁单元有限元分析
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Timoshenko梁单元
剪切变形能在泛函中起着罚函数的作用。在w和θ采用同阶插值函数 情况下，若用精确积分计算剪切应变能项，对于低阶单元可能不能保证 Ks的奇异性。
等截面梁单元有限元分析
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罚函数
利用罚函数求解条件驻值问题不增加未知参量的个数，并且不改变驻值的性质。 若原来的函数取极值，则用罚函数构造的修正函数仍取极值。
插值公式
等截面梁单元有限元分析
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在经典梁单元基础上引入剪切变形的影响. 插值公式 其梁单元有限元分析
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在经典梁单元基础上引入剪切变形的影响. 简化：
3参
弹性关系
平衡关系
几何关系
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在经典梁单元基础上引入剪切变形的影响.
等截面梁单元有限元分析
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剪切闭锁
用厚板理论分析薄板时解答的一种失真现象。用中厚板 单元分析薄板,当板变薄时,单元刚度矩阵中的剪切项会 变得很大,使所求得的解答远小于真正的解; 当板非常薄 时,求得的位移将趋于零。
减缩积分
数值积分采用比精确积分要求少的积分 点数
泛函中的剪切应变不是用插值函数代入 几何关系得到，而用另行假设的剪切应 变代替
对比考虑剪切变形的弯曲问题的泛函
回到初始问题：
等截面梁单元有限元分析
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Timoshenko梁单元
在w和θ采用同阶插值函数情况下，若用精确积分计算剪切应变能项对于低 阶单元可能不能保证Ks的奇异性。这里以两节点单元为例求出来的Ks即为 非奇异矩阵。（PS：自己验证） 这样一来，当薄板时，也就是l/h →∞，问题就为0解。
挠度和转动采用同阶插值表示，所以剪切应变中的dw/dx和θ两项不是同阶的。 dw 0 在2结点单元中，分别为常数和一次式。这样一来，约束条件 dx 不可能 到处满足，除非θ也等于常数。这将意味着梁不能发生弯曲，问题为零解。这 是由于约束条件未能精确满足，在梁很薄时导致不确当夸张了剪切应变能项 的量级而造成，这种现象为剪切闭锁。
eg：
，y -12
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罚函数
写为矩阵形式：
换句话说：…..
弯曲问题中罚函数的应用
C1连续 泛函 求驻值 C0连续
dw ? dx
附加条件 修正泛函
等截面梁单元有限元分析
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弯曲问题中罚函数的应用
附加条件
dw dx
修正泛函