梁的有限元分析原理 - 考虑剪切变形影响的梁单元

Timoshenko梁单元
等截面梁单元有限元分析
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Timoshenko梁单元
剪切变形能在泛函中起着罚函数的作用。在w和θ采用同阶插值函数 情况下，若用精确积分计算剪切应变能项，对于低阶单元可能不能保证 Ks的奇异性。
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罚函数
利用罚函数求解条件驻值问题不增加未知参量的个数，并且不改变驻值的性质。 若原来的函数取极值，则用罚函数构造的修正函数仍取极值。
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——考虑剪切变形的梁单元
2014.4.13
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介绍.
轴力构件 axial elements 杆单元
受弯构件 flexural elements 梁单元
考虑剪切变形的梁单元
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长沙理工大学 假设：梁内的横向剪切力Q所产生的剪切变形将引起梁的附加挠度， 并使原来垂直于中面的截面变形后不再和中面垂直，而且发生翘曲。 考虑剪切变形的梁单元 但在这里，假设原来垂直于中面的截面变形后仍保持为平面。 几何描述
解决方法
假设剪切应变
代替插值函数
计算泛函的剪切应变能时，θ采用低一 阶，和dw/dx同阶插值函数代替原插值 函数
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插值公式
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在经典梁单元基础上引入剪切变形的影响. 插值公式 其中
代人，使
得到：
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在经典梁单元基础上引入剪切变形的影响. 简化：
3参
弹性关系
平衡关系
几何关系
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在经典梁单元基础上引入剪切变形的影响.
挠度和转动采用同阶插值表示，所以剪切应变中的dw/dx和θ两项不是同阶的。 dw 0 在2结点单元中，分别为常数和一次式。这样一来，约束条件 dx 不可能 到处满足，除非θ也等于常数。这将意味着梁不能发生弯曲，问题为零解。这 是由于约束条件未能精确满足，在梁很薄时导致不确当夸张了剪切应变能项 的量级而造成，这种现象为剪切闭锁。
代人
比较：弯曲梁 单元中的单刚
得到：
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小结
剪切变形的影响通过系数b反映在刚度矩阵中，使刚度减弱。 对矩形截面：
，当l >>h，b趋于0，可以忽略剪力变形的影响。
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铁木辛柯梁单元——采用两个独立变量 挠度 w
对比考虑剪切变形的弯曲问题的泛函
回到初始问题：
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在w和θ采用同阶插值函数情况下，若用精确积分计算剪切应变能项对于低 阶单元可能不能保证Ks的奇异性。这里以两节点单元为例求出来的Ks即为 非奇异矩阵。（PS：自己验证） 这样一来，当薄板时，也就是l/h →∞，问题就为0解。
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剪切闭锁
用厚板理论分析薄板时解答的一种失真现象。用中厚板 单元分析薄板,当板变薄时,单元刚度矩阵中的剪切项会 变得很大,使所求得的解答远小于真正的解; 当板非常薄 时,求得的位移将趋于零。
减缩积分
数值积分采用比精确积分要求少的积分 点数
泛函中的剪切应变不是用插值函数代入 几何关系得到，而用另行假设的剪切应 变代替
截面转角，不考虑剪切 每个单元的节点数量 Lagrange插值函数
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Lagrange插值
其中
[ N1
N 2 ] 1 2
代入最小势能原理泛函
d

j
a
P
得
Ka P
其中
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eg：
，y -12
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罚函数
写为矩阵形式：
换句话说：…..
弯曲问题中罚函数的应用
C1连续 泛函 求驻值 C0连续
dw ? dx
附加条件 修正泛函
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弯曲问题中罚函数的应用
附加条件
dw dx
修正泛函
几何关系，曲率
对比
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最小势能原理
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k为截面剪切校正因子
1.经典梁单元 2.铁木辛柯梁单元
——C1型单元 ——C0型单元
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在经典梁单元基础上引入剪切变形的影响. 挠度叠加
结点位移
其中
采用不考虑剪切变形梁单元的w相同的Hermite插值； 采用2结点的Lagrange插值，即线性插值。