第十一章本章优化总结
最优化理论与算法(第十一章)
第十一章约束最优化问题的可行方向法§1 Frank-Wolf方法一、问题形式（11.1）其中为矩阵，，。
记并设一阶连续可微。
二、算法基本思想是一个凸多面体，任取，将在处线性展开用或（11.2）逼近原问题，这是一个线性规划问题，设是其最优解。
1）若，则也是线性规划问题（11.2）的最优解，此时可证为原问题的K-T点。
2）若，则由是（11.2）的最优解，故必有从而即为在处的下降方向，沿此方向作有约束的一维搜索设最佳步长因子为，令当充分小时用取代，重复以上计算过程。
三、算法迭代步骤1）给定初始点，允许误差，。
2）求解线性规划问题，得最优解。
3）若，Stop,；否则go to 4)。
4）进行一维搜索，得最优步长因子；令，，go to 2)四、算法收敛性定理设非线性规划问题（11.1）的最优解存在，且对算法产生的点列，线性规划问题（11.3）的最优解总存在。
则1）若迭代到某步，有，则为问题（11.1）的K-T点；2）若情形1）总不发生，则算法产生一有界无穷点列，其任意极限点都是原问题（11.1）的K-T点。
证明：若情形1）出现，则也是问题（11.3）的最优解，故满足（11.3）的K-T条件：（11.4）而(11.1)的K-T条件：（11.5）（11.4）表明，，一起满足K-T条件（11.5），故是原问题的K-T点。
2）由点列包含在的极点的凸组合中，而均为的极点，故、均为有界点列。
设为的任一极限点，即存在子列，使得：注意到点列满足：考虑点列、、，不失一般性，设，，否则，可以通过反复抽取子序列，使上式对某个子序列成立。
由是的最优解，故，有且再由及取极限，有（11.6）不等式组（11.6）等价于：（11.7）若能证明即为问题的最优解，由本定理的第一部分可知，为原问题K-T点。
下证：，若不然，由（11.7）即知必有故为处的下降方向，因而当充分小时，有进而有：（11.8）但为单调下降的有界序列，故存在而且即与（11.8）矛盾，故必有。
高中物理必修三第十一章知识点总结
高中物理必修三第十一章知识点总结高中物理必修三第十一章主要涉及到电流和电阻的相关知识。
本章内容包括电流、电阻的定义和性质、欧姆定律、串联和并联电阻的计算、电功率和电能的计算等。
一、电流电流是电荷的流动，是电荷在导体中的移动形成的。
电流的单位是安培（A），1A等于1库仑/秒。
电流的方向由正电荷的流动方向决定。
二、电阻电阻是导体阻碍电流通过的程度，是导体抵抗电流流动的特性。
电阻的单位是欧姆（Ω）。
电阻与导体材料、导体的长度和截面积有关。
三、欧姆定律欧姆定律是描述电流、电压和电阻之间关系的定律。
它表明在恒温下，电流与电压成正比，与电阻成反比。
数学表达式为：I = U/R。
四、串联电阻串联电阻是指多个电阻依次连接，电流依次流过各个电阻的情况。
串联电阻的总电阻等于各个电阻之和，即R = R1 + R2 + ... + Rn。
五、并联电阻并联电阻是指多个电阻同时连接在电路中，电流在各个电阻中分流的情况。
并联电阻的总电阻满足倒数之和等于倒数和，即1/R = 1/R1 + 1/R2 + ... + 1/Rn。
六、电功率电功率是电流通过电路时所做的功，表示电能转化的速率。
电功率的单位是瓦特（W），1W等于1焦耳/秒。
电功率可以通过电流和电压计算得到，P = UI。
七、电能电能是电流通过电路时所转化的能量，是电功率与时间的乘积。
电能的单位是瓦特时（Wh），1Wh等于1瓦特乘以1小时。
电能可以通过电功率和使用时间计算得到，E = Pt。
总结：本章主要介绍了电流和电阻的基本概念和性质，以及与之相关的欧姆定律、串联和并联电阻的计算、电功率和电能的计算等知识。
了解这些知识可以帮助我们理解电流和电阻在电路中的作用和计算方法，为解决相关问题提供了基础。
同时，通过掌握这些知识，我们也可以更好地理解和应用电路中的其他内容，为进一步学习和研究电路提供了基础。
八年级下册数学第十一章总结
本章总结一、知识网络回顾二、 重点专题讲解【专题1】与平行线有关的角度计算问题与平行线有关的角度计算问题,是一类重要的题型,其解题的基本思路是,利用平行线的性质得出角相等或互补的关系,以此沟通已知角与未知角的联系,从而解决问题.下面举例予以说明.【例1】(08·菏泽)如图1,已知AB ∥CD,BE 平分∠ABC,∠CDE= 150,则∠C=____.分析:由∠CDE 与∠CDB 互补,可得∠CDB= 180-∠CDE= 180- 150= 30.由AB ∥CD,得∠ABD=∠CDB= 30.又BE 平分∠ABC,所以∠ABC=2∠ABD=60.再由AB ∥CD,可得∠C+∠ABC= 180,所以∠C= 180-∠ABC= 180- 60= 120.点拨:本题中的∠ABD 是∠C 与∠CDE 之间联系的桥梁,故运用平行线的性质求出∠ABD 的度数是解题的关键所在.【例2】(08年天门) 如图11-C-1,AB ∥CD,AE 与CP 相交于点P,且∠1＝105°, ∠2＝140°,则∠3的度数是（ ）.A .75°B .65°C .55°D .50°分析:题中虽有平行的条件,但没有同位角、内错角或同旁内角,所以不能直接运用平行线的性质.为了找到∠3与∠1、∠2的联系,可过P 点作PM ∥AB.因为AB ∥CD,所以 PM ∥CD.由PM ∥AB,得∠MPE=∠1＝105°.由PM ∥CD,得∠2+∠MPC=180°, 所以∠MPC=180°-∠2=180°-140° =40°.所以∠3=∠MPE -∠MPC=105°-40°=65°.故选B. 点拨：本题通过作已知直线的平行线,构造出了含有相等角或互补角的基本图形,从而为角度的计算创造了条件.这是一 A B C D E 图1 A B C D P M 1 2 3 E 图11-C-1种常用的解题技巧,希望同学们能够认真体会.【专题2】数学思想方法（一）分类思想分类思想方法是一种重要的数学思想方法,正确、合理、严谨的分类,可将一个复杂的问题简单化,达到化繁为简、化难为易、分而治之的目的。
必修三第十一章知识点总结
必修三第十一章知识点总结本章主要讲述了社会主义初级阶段的理论和实践，探讨了社会主义初级阶段的基本特征、基本矛盾和基本任务，深入分析了我国社会主义初级阶段的基本国情和基本状况，以及在这种基本国情和基本状况下，社会主义初级阶段的总路线和基本纲领，指出了全党全军全国各族人民团结奋斗、坚持稳定、密切联合、以经济建设为中心的方针，处理好社会主义初级阶段的各种矛盾。
一、本章要点（一）社会主义初级阶段1、社会主义初级阶段的基本特征社会主义初级阶段是指进入社会主义制度的国家在生产力不发达、经济文化落后的情况下，必须经历的一个相对长的历史时期。
它的主要特征是：我国是世界上最大的发展中国家，人口众多，还处于城乡差距大、区域发展不平衡、生产力比较薄弱、物质文明和精神文明都比较落后的国情。
因此它是在我国国情和国际条件下确立的历史阶段。
2、社会主义初级阶段的基本矛盾社会主义初级阶段的基本矛盾是**生产关系和生产力之间的矛盾**。
生产关系和生产力的矛盾，在经济基础中具体表现为：我国经济社会的总体生产力比较落后，同生产关系发展的需要不相适应，出现了严重的矛盾。
3、社会主义初级阶段的基本任务关于社会主义初级阶段的基本任务，既要坚持马克思主义的基本原则，又要根据我国具体国情，以发展生产力为中心。
我国的基本国情是我国是世界上最大的发展中国家，人口众多，粮食短缺任务繁、生产力落后，还处于城乡差距大、区域发展不平衡、物质文明和精神文明都比较落后的国情。
因此，发展生产力仍然是解放生产力，解决人民日益增长的需要的根本动力。
（二）社会主义初级阶段的总路线和基本纲领1、社会主义初级阶段的总路线社会主义初级阶段的总路线是：在社会主义初级阶段，发展社会主义社会生产力，解决人民日益增长的物质和文化需要，发展社会主义的先进文化，建设社会主义的先进政治制度。
这是在我国社会主义初级阶段总路线的基础上提出的基本纲领。
它概括了我国社会主义初级阶段发展的战略任务。
八年级数学上册 第十一章 梯形知识点总结 (新版)新人教版
八年级数学上册第十一章梯形知识点总
结 (新版)新人教版
1. 梯形的定义
梯形是指有两条平行边的四边形。
其中，较长的两边叫做上底和下底，两条连接上底和下底的斜边叫做腰，而两条腰的交点叫做顶点。
2. 梯形的分类
根据上底和下底的长度关系，梯形可以分为以下几类：
- 等腰梯形：上底和下底长度相等的梯形。
- 直角梯形：腰和底边之间有直角的梯形。
- 一般梯形：除了等腰梯形和直角梯形以外的其他梯形。
3. 梯形的性质
- 梯形的对边平行：一条边和与之不共顶点的另一条边平行。
- 梯形的底角和顶角互补：底边的两个邻角和顶边的两个邻角互补，即它们的和为180度。
- 等腰梯形的性质：等腰梯形的底角相等，顶角相等，且底边中点连线与顶边中点连线平行。
4. 梯形的面积计算
梯形的面积可以用以下公式计算：
面积 = [(上底 + 下底) ×高] ÷ 2
5. 梯形的周长计算
梯形的周长可以用以下公式计算：
周长 = 上底 + 下底 + 两条腰的长度
以上是八年级数学上册第十一章梯形的基本知识点总结，希望对您的研究有所帮助！。
论语第十一章先进篇心得总结
论语第十一章先进篇心得总结的第十一章先进篇，读来真让我感触颇多。
这一章里，孔子和他弟子们的言行举止，就像是一幅幅生动的画面，在我眼前不断展开。
先来说说这一章中的一些具体内容吧。
里面提到了颜回的安贫乐道，子路的直率勇敢，还有孔子对于不同弟子的评价和教导。
这让我不禁想到了自己生活中的点点滴滴。
就拿我身边的一个朋友小宁来说吧。
小宁啊，那可真是个特别的人，跟颜回有点相似之处呢。
小宁的家庭条件不算好，但是他从来没有抱怨过，每天都是乐呵呵的。
他住在一个小小的出租屋里，房间简陋得很，一张旧床，一个掉了漆的书桌，还有一把坐上去嘎吱嘎吱响的椅子。
可他却把那小房间收拾得干干净净，还在墙上贴了自己写的励志话语。
有一次我去他那里，一进门就被那股积极向上的氛围给感染了。
他正在那张书桌上认真地学习，台灯的光洒在他专注的脸上。
我好奇地问他：“小宁，你这条件这么艰苦，咋还这么有劲头呢？”他抬起头，笑着对我说：“这算啥艰苦呀，能有个地方让我安安静静学习，我就很满足啦。
”他的眼神里透着坚定，那一刻，我突然明白了颜回那种“一箪食，一瓢饮，在陋巷，人不堪其忧，回也不改其乐”的境界。
小宁在学习上也特别刻苦。
每天早上天不亮就起来背单词，晚上我们都出去玩了，他还在那里做练习题。
记得有一次，我们几个朋友约好一起去看电影，大家都到齐了，就差小宁。
打电话一问，他居然还在图书馆查资料，为了一道难题在那钻研呢。
等他赶到电影院的时候，电影都快结束了。
我们都埋怨他，他却一脸不好意思地说：“哎呀，那道题我要是不弄明白，心里就不踏实。
”还有一次，学校组织了一场知识竞赛。
小宁毫不犹豫地报了名。
比赛前的那几天，他几乎是废寝忘食，把所有的时间都花在了准备上。
我们都劝他别太拼了，可他却说：“这是个难得的机会，我得好好把握。
”比赛那天，他在台上镇定自若，对答如流，最终赢得了比赛的冠军。
那一刻，他站在领奖台上，笑容灿烂得像阳光一样。
再回过头来看中的先进篇，我觉得孔子对于弟子们的教导，其实就是在告诉我们，人生的道路上，无论处于何种境遇，都要有自己的坚守和追求。
最新人教版八年级物理下册第十一章《功和机械能》知识点总结与对应练习
则在此过程中（
）
A、推力做了 1000J 的功 B、推力的功率为 20W C、重力做了 100 好的功 D、摩擦力为 50N
3. 一建筑工人用 50N 的水平推力推小车，使小车在水平地面上匀速前进了 15m，小车受到的
阻力为
N．撤去推力，小车仍然能继续向前运动 0．5m，这是由于小车具有
．在
上述小车前进的过程中，建筑工人对小车做的功为
，
动能
；离地球中心最近的一点叫近地点，这里卫星的势能
，动能
.
⑸滚摆上升下落过程中，如果不计空气阻力，机械能守恒。上升动能转化为重力势 能，下降重力势能转化为动能，最低点速度最大，动能最大，最高点重力势能最大， 动能最小，下降过程反之。考虑空气阻力，滚摆每次上升高度减小，机械能转化为 内能。
4
六、水能和风能的利用
（3）该实验中斜面的作用是为了控制钢球_____的大小，木块的作用是为了比较钢球___的大 小。
（4）本次实验采用物理最常用的一种实验方法是____________。
（甲）
（乙）
4．机械能：动能和势能统称为机械能。 理解： ①有动能的物体具有机械能； ②有势能的物体具有机械能； ③同时具有动能和势能的物体具有机械能。
J．
4．动能与势能转化问题的分析：
⑴首先分析决定动能大小的因素，决定重力势能（或弹性势能）大小的因素──看
动能和重力势能（或弹性势能）如何变化——质量，速度，高度，弹性形变
⑵还要注意动能和势能相互转化过程中的能量损失和增大──如果除重力和弹力外
没有其他外力做功（即：没有其他形式能量补充或没有能量损失），则动能势能转化
2．知识结构：
（2）将（甲）与（乙）两实验比较可知，小球动能的大小与小球的_______有关. 将（甲）与（丙）两实验比较可知，小球动能的大小与小球的_______有关.
初中物理第十一章知识点总结归纳
初中物理第十一章知识点总结归纳第一节电流的概念与电路图符号电流是流经导体的电荷数量。
用字母I表示，单位是安培（A）。
在电路图中，电流用箭头表示，箭头指向表示电流的方向。
第二节电流的方向与电子的运动方向电流方向是指正电荷（正离子）的运动方向，与电子的运动方向相反。
第三节电流的测量电流可以使用安培表进行测量，将安培表连接在待测电路的路径上，读数即为电流值。
第四节电阻的概念与测量电阻是物体阻碍电流通过的特性。
用字母R表示，单位是欧姆（Ω）。
电阻可以使用欧姆表进行测量，将欧姆表连接在待测电阻两端，读数即为电阻值。
第五节常用导体与非导体的特性常用导体如铜、铝等，它们具有低电阻，能够很好地传导电流。
非导体如橡胶、塑料等，它们具有高电阻，不易传导电流。
第六节串联电路与并联电路串联电路是指电流从一个元件流过，再流向下一个元件。
在串联电路中，总电阻等于各个元件电阻之和。
并联电路是指电流同时通过多个元件。
在并联电路中，总电阻等于各个元件电阻的倒数之和的倒数。
第七节电压的概念与测量电压是电荷在电路中的能量转换，也称为电势差。
用字母U表示，单位是伏特（V）。
电压可以使用电压表进行测量，将电压表连接在待测电路的两点之间，读数即为电压值。
第八节电阻与电压的关系根据欧姆定律，电阻与电压成正比，电流与电压成正比。
公式为：U = I * R。
其中，U表示电压，I表示电流，R表示电阻。
第九节欧姆定律的应用欧姆定律可以应用于解决电路中的电流、电压和电阻之间的关系问题。
通过欧姆定律，我们可以计算出电流、电压或电阻的未知值。
第十节电功与功率电功是电能转换的体现，用字母W表示，单位是焦耳（J）。
功率是电功转化的速率，用字母P表示，单位是瓦特（W）。
功率等于电流乘以电压，即P = I * U。
第十一节并联电路中的电流计算在并联电路中，总电流等于各个元件所受电压之和除以总电阻。
第十二节串联电路中的电压计算在串联电路中，总电压等于各个元件电压之和。
人教版初中数学第十一章知识点总结
第十一章三角形11.1.与三角形有关的线段11.1.1.三角形的边1、三角形的概念由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
三角形用符号“∆”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“∆ABC”，读作“三角形ABC”。
2、三条边都不相等的三角形叫做不等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角3、三角形的分类三角形按边分类如下：三边都不相等的三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）4、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边的和大于第三边。
（2）推论：三角形的两边的差小于第三边。
11.1.2三角形的高、中线与角平分线1、三角形的高：经过三角形的一个顶点向它对边所在的直线画垂线，这个点和垂足之间的线段叫做三角形的高高的表示方法;（1）AD 是三角形ABC 的高（2）AD 是BC 边上的高（3）AD ⊥BC 于点D（4）∠ADB=∠ADC=90°2、三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
中线的表示方法：（1）AE 是三角形ABC 的中线（2）BE=CE（3）BE=21BC （4）BC=2BE 或BC=2CE3、三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与它的对边相交，这个点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
角平分线的表示方法：（1）AF 是三角形ABC 的角平分线（2）∠BAF=∠CAF（3）∠BAC=2∠BAF（4）∠BAF=21∠BAC 4、三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
高中数学第十一章知识点复习总结(精华版)——概率
高中数学第十一章-概率考试内容：随机事件的概率．等可能性事件的概率．互斥事件有一个发生的概率．相互独立事件同时发生的概率．独立重复试验． 考试要求：（1）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．（2）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。
（3）了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．（4）会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生κ次的概率．§11. 概率 知识要点1. 概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n 个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是n1，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率nm P(A)=. 3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A 、B 互斥，那么事件A+B 发生(即A 、B 中有一个发生)的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21+++=+++ .②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件．．．．．．．．．．．．．．．叫对立事件. 例如：从1～52张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件，因为其中一个必发生.注意：i.对立事件的概率和等于1：1)A P(A )A P(P(A)=+=+.ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P （AB ）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如：从一副扑克牌（52张）中任抽一张设A ：“抽到老K”；B ：“抽到红牌”则 A 应与B 互为独立事件[看上去A 与B 有关系很有可能不是独立事件，但261P(B)P(A),215226P(B),131524P(A)=⋅====.又事件AB 表示“既抽到老K 对抽到红牌”即“抽到红桃老K 或方块老K”有261522B)P(A ==⋅，因此有)B P(A P(B)P(A)⋅=⋅.推广：若事件n 21,A ,,A A 相互独立，则)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21 ⋅=⋅.注意：i. 一般地，如果事件A 与B 相互独立，那么A 与A B ,与B ，A 与B 也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.互斥对立iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件. ④独立重复试验：若n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n 次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：kn k k n n P)(1P C (k)P --=. 4. 对任何两个事件都有)()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+第十二章-概率与统计考试内容：抽样方法.总体分布的估计． 总体期望值和方差的估计． 考试要求：（1）了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样． （2）会用样本频率分布估计总体分布． （3）会用样本估计总体期望值和方差．§12. 概率与统计 知识要点一、随机变量.1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.设离散型随机变量ξ可能取的值为： ,,,,21i x x xξ取每一个值),2,1(1 =i x 的概率i i p x P ==)(ξ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的121i 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是：kn k k n qp C k)P(ξ-==[其中p q n k -==1,,,1,0 ] 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B（n·p ），其中n ，p 为参数，并记p)n b(k;qp C k n k k n ⋅=-. ⑵二项分布的判断与应用.①二项分布，实际是对n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n 次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.4. 几何分布：“k =ξ”表示在第k 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k 次试验时事件A 发生记为k A ，事A 不发生记为q )P(A ,A k k =，那么)A A A A P(k)P(ξk 1k 21-== .根据相互独立事件的概率乘法分式：))P(A A P()A )P(A P(k)P(ξk 1k 21-== ),3,2,1(1 ==-k p q k 于是得我们称ξ服从几何分布，并记p q p)g(k,1k -=，其中 3,2,1.1=-=k p q5. ⑴超几何分布：一批产品共有N 件，其中有M （M ＜N ）件次品，今抽取)N n n(1≤≤件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为)M N k n M,0k (0CC C k)P(ξnNkn MN k M -≤-≤≤≤⋅⋅==--.〔分子是从M 件次品中取k 件，从N-M 件正品中取n-k 件的取法数，如果规定m ＜r 时0C rm=，则k 的范围可以写为k=0，1，…，n.〕 ⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，今抽取n 件（1≤n≤a+b ），则次品数ξ的分布列为n.,0,1,k CC C k)P(ξnba kn bk a =⋅==+-.⑶超几何分布与二项分布的关系.设一批产品由a 件次品、b 件正品组成，不放回抽取n 件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数η的分布列可如下求得：把b a +个产品编号，则抽取n 次共有nb a )(+个可能结果，等可能：k)(η=含kn k k n b a C -个结果，故n ,0,1,2,k ,)ba a (1)b a a (C b)(a ba C k)P(ηkn k k n nk n k k n =+-+=+==--，即η～)(b a a n B +⋅.[我们先为k 个次品选定位置，共k n C 种选法；然后每个次品位置有a 种选法，每个正品位置有b 种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，k)P(ηk)P(ξ=≈=，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.二、数学期望与方差.n n 2211期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2. ⑴随机变量b a +=ξη的数学期望：b aE b a E E +=+=ξξη)( ①当0=a 时，b b E =)(，即常数的数学期望就是这个常数本身.②当1=a 时，b E b E +=+ξξ)(，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.③当0=b 时，ξξaE a E =)(，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.⑵单点分布：c c E =⨯=1ξ其分布列为：c P ==)1(ξ. ⑶两点分布：p p q E =⨯+⨯=10ξ，其分布列为：（p + q = 1）⑷二项分布：∑=⋅-⋅=-np q p k n k n k E k n k )!(!!ξ 其分布列为ξ～),(p n B .（P 为发生ξ的概率）⑸几何分布：pE 1=ξ 其分布列为ξ～),(p k q .（P 为发生ξ的概率） 3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为),2,1()( ===k p x P k k ξ时，则称+-++-+-=n n p E x p E x p E x D 2222121)()()(ξξξξ为ξ的方差. 显然0≥ξD ，故σξξσξ.D =为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.ξD 越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.． 4.方差的性质.⑴随机变量b a +=ξη的方差ξξηD a b a D D 2)()(=+=.（a 、b 均为常数） ⑵单点分布：0=ξD 其分布列为p P ==)1(ξ⑶两点分布：pq D =ξ 其分布列为：（p + q = 1）⑷二项分布：npq D =ξ ⑸几何分布：2p q D =ξ5. 期望与方差的关系.⑴如果ξE 和ηE 都存在，则ηξηξE E E ±=±)(⑵设ξ和η是互相独立的两个随机变量，则ηξηξηξξηD D D E E E +=+⋅=)(,)(⑶期望与方差的转化：22)(ξξξE E D -= ⑷)()()(ξξξξE E E E E -=-（因为ξE 为一常数）0=-=ξξE E .三、正态分布.（基本不列入考试范围）1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x 轴上方，ξ落在任一区间),[b a 内的概率等于它与x 轴.直线a x =与直线b x =（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为 图像的函数)(x f 叫做ξ的密度函数，由于“),(+∞-∞∈x ”是必然事件，故密度曲线与x 轴所夹部分面积等于1.2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：2221)(σσπ-=ex f . （σμ,,R x ∈为常数，且0 σ），称ξ服从参数为σμ,的正态分布，用ξ～),(2σμN 表示.)(x f 的表达式可简记为),(2σμN ，它的密度曲线简称为正态曲线.⑵正态分布的期望与方差：若ξ～),(2σμN ，则ξ的期望与方差分别为：2,σξμξ==D E . ⑶正态曲线的性质.①曲线在x 轴上方，与x 轴不相交. ②曲线关于直线μ=x 对称.③当μ=x 时曲线处于最高点，当x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.④当x ＜μ时，曲线上升；当x ＞μ时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向x 轴无限的靠近.⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为)(21)(22+∞-∞=- x ex x πϕ，则称ξ服从标准正态分布. 即ξ～)1,0(N 有)()(x P x ≤=ξϕ，)(1)(x x --=ϕϕ求出，而P （a ＜ξ≤b ）的计算则是)()()(a b b a P ϕϕξ-=≤ .注意：当标准正态分布的)(x Φ的X 取0时，有5.0)(=Φx 当)(x Φ的X 取大于0的数时，有5.0)( x Φ.比如5.00793.0)5.0(=-Φσμ则σμ-5.0必然小于0，如图.⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若ξ～),(2σμN 则ξ的分布函数通 常用)(x F 表示，且有)σμx (F(x)x)P(ξ-==≤ϕ.4.⑴“3σ”原则.假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布),(2σμN .②确定一次试验中的取值a 是否落入范围)3,3(σμσμ+-.③做出判断：如果)3,3(σμσμ+-∈a ，接受统计假设. 如果)3,3(σμσμ+-∉a ，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.⑵“3σ”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN 则 ξ落在)3,3(σμσμ+-内的概率为99.7％ 亦即落在)3,3(σμσμ+-之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.S 阴=0.5S a =0.5+S。
大一高数第十一章知识点总结
大一高数第十一章知识点总结第十一章是大一高数的最后一章，也是整个课程的重点和难点之一。
本章主要涉及到了一元函数积分的概念、性质和计算方法。
在学习这个章节时，我们需要掌握一些基本概念和定理，以及一些常用的积分求解方法。
下面就让我们来一起总结一下这些知识点。
一、不定积分的概念和性质不定积分是积分学中最基本的概念之一。
它表示一个函数的原函数。
如果函数f(x)是函数F(x)的导函数，那么F(x)就是f(x)的一个原函数。
不定积分的计算可以用积分表或者运用常用的积分公式来完成。
在计算时，我们需要注意不定积分具有线性性质和可加性，以及积分与导数的基本关系。
二、定积分的概念和性质定积分是积分学中另一个重要的概念。
它表示了函数在一个闭区间上的平均值。
定积分的计算方法有很多，包括用定积分的性质来计算、用微元法进行计算、利用换元法进行计算等。
在计算定积分时，我们需要掌握换元法和分部积分法，并且需要注意定积分与不定积分的基本关系。
三、变限积分和定积分的换元法当我们计算某些复杂函数的不定积分或定积分时，可以利用换元法来简化计算过程。
换元法可以将原来的积分问题转化成一个更易处理的积分问题。
在应用换元法时，我们需要注意选择合适的换元变量和变限积分的变量范围，从而得到正确的结果。
四、微积分基本定理微积分基本定理是微积分中最重要的定理之一。
它建立了不定积分和定积分之间的关系。
根据微积分的基本定理，我们可以通过计算一个函数的原函数来求解相应的定积分。
同时，基本定理还提供了一种方法来计算带有变限积分的定积分。
五、换元法的应用换元法是微积分中一种非常常用的积分计算方法。
在具体应用中，我们可以通过选取不同的变量进行变量替换，将原来的积分问题简化为更易于计算的问题。
换元法的应用范围非常广泛，包括三角换元法、指数换元法、对数换元法等。
在使用换元法时，我们需要仔细观察被积函数的性质，选择合适的换元方式。
六、分部积分法的应用分部积分法也是微积分中的一种常用的积分计算方法。
人教版(2019)高中物理必修三第十一章章末优化总结
章末优化总结[备选答案]提示：将以下答案前的字母填入左侧正确的位置． A ．neS v B.q t C ．ρL SD.U IE ．I ＝I 1＋I 2＋…F ．I ＝I 1＝I 2＝…G ．U 1＝U 2＝U 3…H ．U ＝U 1＋U 2＋…I ．R ＝R 1＋R 2＋…J.1R ＝1R 1＋1R 2＋… 答案：B A D C F H I E G J电压表、电流表的读数1．用电压表和电流表测量电压和电流时，根据其分度值的不同进行估读． 2．估读方法(1)十分估读：量程为0～3 V 的电压表和量程为0～3 A 的电流表，读数方法相同，此量程下的分度值分别是0.1 V 和0.1 A ，读数时要估读到分度值的十分之一，也就是读到0.01 V 或0.01 A ．如果以伏特或安培为单位，则估读到小数点后面两位．(2)五分估读：量程为0～15 V 的电压表，其分度值为0.5 V ，读数时要估读到分度值的五分之一，也就是读到0.1 V ．如果以伏特为单位，小数点后面只有一位．(3)二分估读：量程为0～0.6 A 的电流表，其分度值为0.02 A ，读数时要估读到分度值的二分之一，这时要求“半格估读”，读到最小刻度的一半0.01 A ，即不足半格的略去，超过半格的要按半格读出．最后读数如果以安培为单位，小数点后面有两位．如图是学生实验用的两个量程的电流表的刻度盘，当用“－”和“0.6”两接线柱时，能测量的最大电流是______ A ，对应刻度盘上每一小格代表______ A ，图中表针的示数为______ A ；当使用“－”和“3”两个接线柱时，对应刻度盘上每一小格代表______ A ，图中表针的示数为______ A.[解析] 0～0.6 A 量程的分度值是0.02 A ，用二分估读法估读到分度值的二分之一，也就是读到0.01 A ，所以图中示数为0.48 A ；0～3 A 量程分度值是0.1 A ，用十分估读法估读到分度值的十分之一，也就是读到0.01 A ，所以示数是2.40 A.[答案] 0.6 0.02 0.48 0.1 2.40伏安法测电阻1．伏安法测电阻的原理 R ＝UI2．伏安法测电阻的两种电路形式接法比较 内容内接法外接法电路误差原因 电流表分压，U 测＝U x ＋U A 电压表分流，I 测＝I x ＋I V 电阻测量值R 测＝U 测I 测＝R x ＋R A >R x ，测量值R 测＝U 测I 测＝R x R VR x ＋R V <R x，测量值大于真实值小于真实值误差来源 电流表的分压作用 电压表的分流作用 两种电路选择条件R x 越大，U Rx 越接近U V 、R x 测越接近R x 真，该电路适合测大电阻，即R x ≫R AR x 越小，I Rx 越接近I A ，R x 测越接近R x 真，该电路适合测小电阻，即R x ≪R V口诀大内偏大，即大电阻采用电流表内接，测量结果偏大小外偏小，即小电阻采用电流表外接，测量结果偏小在伏安法测电阻的实验中，待测电阻R x 约为200 Ω，电压表V 的内阻约为2 kΩ，电流表A 的内阻约为10 Ω，测量电路中电流表的连接方式如图甲或图乙所示．计算结果由R x ＝UI 计算得出，式中U 与I 分别为电压表和电流表的读数．若将图甲和图乙中电路测得的电阻值分别记为R x 1和R x 2，则________(填“R x 1”或“R x 2”)更接近待测电阻的真实值，且测量值R x 1________(填“大于”“小于”或“等于”)真实值，测量值R x 2________(填“大于”“小于”或“等于”)真实值．[思路点拨] 题图甲内接法的误差来自电流表的分压U A ，U A U x ＝R A R x ，所以比值R AR x越小，误差越小；题图乙外接法的误差来自电压表的分流I V ，I V I x ＝R x R V ，所以比值R xR V越小，误差越小．[解析] R x 约为200 Ω，R x R V ＝200 Ω2 000 Ω＝0.1，R A R x ＝10 Ω200 Ω＝0.05，所以采取电流表内接法测量更准确，即用题图甲电路测量，R x 1更接近待测电阻的真实值．因为R x 1＝U I ，R 真＝U RI R ，U >U R ，I ＝I R ，则R x 1>R 真；因为R x 2＝U I ，R 真＝U RI R，I >I R ，U ＝U R ，则R x 2<R 真．[答案] R x 1 大于 小于滑动变阻器的两种接法1．两种接法的特点(1)限流式接法耗能低，但电压调节范围小；(2)分压式接法电压调节范围大，并且可从零开始变化． 2．滑动变阻器的两种接法及其作用限流式接法分压式接法电路图闭合开关前滑片位置滑片在最左端，以保证滑动变阻器接入电路中的阻值最大滑片在最左端，开始时R两端的电压为零负载两端的电压调节范围R0R＋RU～U 0～U通过负载的电流调节范围UR0＋R～UR0～UR如图所示为用伏安法测定一个定值电阻阻值的实验所需器材的实物图，器材规格如下：(1)待测电阻R x(约100 Ω)(2)直流电流表(量程0～20 mA，内阻约为50 Ω)(3)直流电压表(量程0～3 V，内阻约5 kΩ)(4)直流电源(输出电压6 V，内阻不计)(5)滑动变阻器(阻值范围0～15 Ω，允许通过的最大电流为1 A)(6)开关1个，导线若干根据器材规格及实验要求，在本题的实物图上完成连线(图中的部分连线已画出)．[解析]若采用限流式接法，滑动变阻器接入最大阻值时，I＝615＋100＋50A≈0.036 A ＝36 mA，超过了电流表的量程，不可取，所以采用分压式接法．连线时注意连到接线柱上，看清电表的正、负接线柱，连线不能交叉等，实物连线见答案．[答案]实物连线如图所示连接实物图时的注意事项(1)从电源正极出发，经过用电器、开关等元件，回到电源负极．(2)遇到复杂的电路图，先按照简单的串联或并联的画法一点一点分解．(3)要注意导线不能交叉．(4)注意电流表和电压表的区别．(5)画完电路图后，自己按照正极出发的方向走一遍，看看行不行．(6)重点注意电流要从正接线柱流入电表，从负接线柱流出电表．(7)注意电路是否会短路．。
八年级数学第十一章知识点总结
新人教版八年级数学知识点总结第十一章三角形一、知识框架：二、知识概念：1.三角形：①概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.②相关的名词：三角形的角（内角）、边、顶点、记法、读法。
③三角形的分类：两种分类方法（边、角）2.三边关系（性质）：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.（重点）数学表达式：3.高：①概念：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.②作法：③性质：④垂心：4.中线：①概念：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.②作法：③性质：④重心：5.角平分线：①概念：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.②作法：③性质：④内心：补充：三角形的内心、外心、垂心、重心、旁心。
6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.三角形的内角和定理：①内容：三角形的内角和为180°②证明：（掌握证明的过程即可）③应用：8.直角三角形：①概念：②性质：③判定：9.三角形的外角：①概念：②性质：10.三角形的外角和定理：①内容：②证明：（掌握证明的过程即可）③应用：11.多边形：①概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.②相关的名词：多边形的角（内角）、边、顶点。
12.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.13.多边形的对角线：①概念：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.②条数公式：14.正多边形：①概念：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.②性质：③判定：15.多边形内角和：①公式：n边形的内角和等于(2)n-·180°n-·180°。
即：W=(2)②推理过程：16.多边形的外角和：①内容：多边形的外角和为360°.②证明：（掌握证明的过程即可）。
人教版数学八年级上册第十一章复习小结：三角形
第十一章三角形复习小结教学目标：1、回忆本章知识，形本钱章知识构造.2、总结本章解题规律，进展跟踪训练.重点：归纳本章知识构造，进展跟踪训练.难点：总结本章解题规律.教学过程：一、回忆本章知识，形本钱章知识构造二、双基训练：⒈在活动课上，小红有两根长为4cm，8cm的小木棒，现打算拼一个等腰三角形，那么小红应取的第三根小木棒的长应为8 cm．⒉⊿ABC中，假设∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3,那么△ABC是直角三角形.⒊三角形中至少有一个角不小于60 °；没有对角线的多边形是三角形；一个多边形中，锐角最多有三个；一个四边形截去一个角后可以得到的多边形是三角形或四边形或五边形.⒋一个多边形的每个外角都是30°，那么它是十二边形，其内角和是1800°.⒌一个多边形的每个内角都相等，且比它的一个外角大100°，那么边数n＝9 .⒍如图⑴，在直角△ABD中，∠D＝90°，C为BD上一点，那么x可能是〔B〕A、10B、20C、30D、40⒎如图⑵有两个正方形和一个等边三角形，那么图中度数为30°的角有〔D〕A、1个B、2个C、3个D、4个⒏一幅美丽的图案，在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成其中三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，那么另一个为〔B〕A、正三边形B、正四边形C、正五边形D、正六边形三、例题解析：例1．等腰三角形一腰上的中线将周长分为6和15两局部，求此三角形的腰长. 解：如图等腰△ABC中，AB＝AC,BD是腰AC上的中线，x设AB＝AC＝x ,BC＝y 那么AD＝DC＝2①当AB＋AD＝6 , BC＋CD＝15时,即：x ＋2x ＝6，y ＋2x ＝15 解得x ＝4， y ＝13 ∵4＋4＜13∴此时不能组成三角形，故x ＝4， y ＝13不合题意，舍去.②当AB ＋AD ＝15 , BC ＋CD ＝6时,即：x ＋2x ＝15，y ＋2x ＝6 解得x ＝10， y ＝1∵10＋1＞10∴10、10、1能构成三角形.∴此三角形的腰长为10.例2.如图⑶一个四边形ABCD 模板，设计要求AD 与BC 的夹角应为30°，CD与BA 的夹角应为20°.现在已测得∠A ＝80°，∠B ＝70°，∠C ＝90°,请问：这块模板是否合格？并说明理由.解：这块模板合格.理由：延长AD 、BC 相交于点E,延长BA 、CD 相交于点F在△ABE 中∵∠EAB ＝80°，∠B ＝70°∴∠E ＝180°―∠EAB―∠B ＝30°在△CFB 中∵∠FCB ＝90°，∠B ＝70°∴∠F ＝180°―∠FCB―∠B ＝20°∴这块模板合格.例3. ⊿ABC 中，⑴如图⑷，∠DBC 和∠ECB 的角平分线相交于点O ；⑵如图⑸，∠ABC 的角平分线BD 和∠ACE 的角平分线相交于点O ；如图⑹，∠CBD 的角平分线BO 和∠BCE 的角平分线CO 相交于点0,试猜测∠A 与∠D 的关系，并选择其中一个进展证明.提示：⑴∠BOC ＝180°－〔∠2＋∠3〕＝180°－〔∠1＋∠4〕＝180°－〔∠5＋∠6＋∠7＋∠8〕＝180°－〔∠BAC ＋∠BOC 〕＝90°－2BAC ∠ ⑵∠A ＝322∠-∠＝2O ∠⑶∠BOC ＝180°－2ABC ACB ∠+∠ ＝180°－1802A -∠＝90°＋2A ∠．三、稳固练习： 1.有四条线段，长度分别是12cm,10cm,8cm,4cm,选其中的三条组成三角形，那么可组成 3 个不同的三角形.2.如果等腰三角形的两边长为5cm 和9cm ，那么三角形周长为19cm 或23cm .3.△ABC 中，假设∠A ∶∠B ∶∠C=3∶4∶7,那么△ABC 是 直角 三角形.4.一个n 边形的每个内角都相等，且比它的一个外角大60°，那么边数n ＝ 6 .5..三角形最长边等于10，另两条边的长分别为x 和4，周长为C ，那么x 和C 的取值范围分别是 6＜x≤10 ，20＜C≤246.如图⑺，AB ∥CE, ∠C ＝37°，∠A ＝114°，那么∠F 的度数为 77°.7.如图⑻所示,△ABC 中AB ＝AC ，请你添加一个条件．．．．AD 平分∠EAC 〔不唯一〕，使得AD ∥BC.8.如图⑼，D 、E 是边AC 的三等分点假设△ABC 的面积为12㎝2，那么△BDC 的面积是8 ㎝2.9.如图⑽，∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数是300°.10.一个多边形的内角和是1980°，那么它的边数是_13 _，它的外角和是360 ° ，共有__65__条对角线.11.一个正多边形，它的一个外角等于与它相邻的内角的15，那么这个多边形是〔 D 〕A 、五边形B 、八边形C 、九边形D 、十二边形12.以下说法不正确的选项是〔 D 〕A 、任意形状的一些三角形可镶嵌地面B、用形状大小完全一样的六边形可镶嵌地面C、用形状大小完全一样的任意四边形可镶嵌地面D、用任意一种多边形可镶嵌地面13.用两个正三角形与下面的假设干个〔B〕可以进展平面镶嵌.A、正方形B、正六边形C、正八边形D、正十二边形14.如图⑾，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，那么∠A、∠1、∠2之间的关系是〔B〕A、∠A＝∠1－∠2B、2∠A＝∠1－∠2C、3∠A＝2∠1－∠2D、3∠A＝2〔∠2－∠1〕15.如图⑿,∠1＋∠2＝180°，DG∥AC，求证：∠A＝∠DFE.证明：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠DFE＝180°∴∠2＝∠DFE∴AB∥EF∴∠A＝∠3又∵DG∥AC∴∠3＝∠DFE ∴∠A＝∠DFE.16.如图⒀, △ABC中，点D在AC上，且∠ABC＝∠C＝∠BDC, ∠ABD＝∠A,求∠A的度数.解：设∠ABD＝∠A＝x°∵∠BDC＝∠ABD＋∠A∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x°∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°∴x°＋2x°＋2x°＝180°∴x＝36，∴∠A＝36°17.如图⒁,D为△ABC边BC延长线上一点,DF⊥AB于F交AC于E,∠A＝35°,∠D＝42°,求∠ACD的度数.解：∵DF⊥AB∴∠AFE＝90°又∵∠CEF ＝∠AFE ＋∠A,∠CEF ＝∠ECD ＋∠D∴∠AFE ＋∠A ＝∠ECD ＋∠D又∵∠A ＝35°,∠D ＝42°∴90°＋35°＝∠ECD ＋42°∴∠ECD ＝83°,即∠ACD ＝83°.18.如图⒂,△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，BE 是AC 边上的中线，AB ＝10cm,BC ＝8cm,AC ＝6cm.⑴求CD 的长；⑵求△ABE 的面积.解：⑴∵S △ABC ＝12(AC×BC)＝12(AB×CD) ∴12(6×8)＝12(10×CD) ∴CD ＝ 4.8(cm) .⑵∵BE 是AC 边上的中线∴S △ABE ＝12S △ABC ＝12 (682)＝12(cm 2). 19.如图⒂,∠xoy ＝90°,点A 、B 分别在射线ox,oy 上移动，BE 是∠ABy 的平分线，BE 的反向延长线与∠OAB 的平分线相交于点C ，试问∠C 的大小是否随点A 、B 的移动而发生变化？如果保持不变，求出∠C 的大小，如果随点A 、B 的移动而发生变化，请求出变化范围.解：∠C 的大小保持不变.∵BE 是∠ABy 的平分线∴∠3＝∠2＝12∠ABy 又∵AC 平分∠OAB∴∠1＝12∠OAB ∴∠C ＝∠3－∠1＝12∠ABy －12∠OAB ＝12 (∠ABy －∠OAB)＝12∠xoy 又∵∠xoy ＝90°∴∠C ＝45°.。
人教版八年级上册教案：第十一章三角形本章小结
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《三角形》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算三角形面积或判断三角形类型的情况？”（如房屋建筑中的三角形结构等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形的奥秘。
1.讨论主题：学生将围绕“三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
-海伦公式的应用：计算不规则图形的面积。
6.三角形的应用
-在生活中的应用：建筑、桥梁、航海等领域。
-在数学中的应用：解析几何、平面几何、立体几何等。
二、核心素养目标
1.培养学生的空间观念和几何直观能力，通过探究三角形的性质和分类，使学生能够理解和运用几何图形描述现实世界中的问题。
2.强化学生的逻辑推理和数学思维能力，通过证明三角形的相关定理，让学生掌握严谨的数学论证方法，提高分析和解决问题的能力。
人教版八年级上册教案：第十一章三角形本章小结
一、教学内容
人教版八年级上册教案：第十一章三角形本章小结
高中物理必修三第十一章电路及其应用知识点总结归纳(带答案)
高中物理必修三第十一章电路及其应用知识点总结归纳单选题1、电阻R1、R2串联在电路中，已知R1=10Ω，R1两端的电压为6V，R2两端的电压为12V，则（）A．电路中的电流为6AB．电路中的电流为1.2AC．电路的总电压为21VD．电阻R2的阻值为20Ω答案：DAB．串联电路中各处电流相等，根据欧姆定律得I=U1R1=610A=0.6AAB错误；C．电路总电压为U=U1+U2=6V+12V=18V C错误；D．根据欧姆定律得R2=U2I=120.6Ω=20ΩD正确。
故选D。
2、中科院大连化物所开发出了一种基于“微电极-电解质一体化薄膜”新概念的无基底、无固定形状的微型超级电容器。
该器件具有超薄器件厚度（37μm）、超柔性、高面积容量（40.8mF/cm2）和高度集成度。
将它的面积容量40.8mF/cm2用国际单位制中的基本单位表示，正确的是（）A．4.08×102A2⋅s4⋅kg−1⋅m−4B．4.08×10−2A2⋅s−4⋅kg−1⋅m−4C．4.08×10−2A2⋅s4⋅kg−1⋅m−4D．4.08×102A2⋅s−4⋅kg−1⋅m−4答案：A由单位关系可知面积容量40.8mF/cm2=40.8×10−3F10−4m2=4.08×102F/m2有C=q UU=EdE=F qF=maq=It 可得C=I2t2 mad1F=1A2⋅s2kg⋅(m s2⁄)⋅m=1A2⋅s4kg⋅m2=1A2⋅s4⋅kg−1⋅m−2所以40.8mF/cm2=4.08×102F/m2=4.08×102A2⋅s4⋅kg−1⋅m−4故A正确，BCD错误。
故选A。
3、在下列几种电流的波形图中，能表示生活、生产用电的是（）A．B．C．D．答案：CA图像是直流电能，B图像为方波形交流电，C图像为正弦交流电，D图像为脉冲交流电，而生活、生产用电为正弦交流电，故选C。
八年级数学上册第十一章三角形知识点总结归纳完整版(带答案)
八年级数学上册第十一章三角形知识点总结归纳完整版单选题1、下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（）A．1，1，1B．1，1，8C．1，2，2D．2，2，2答案：D分析：若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边，由此即可完成．A、1+1+1<5，即这三条线段的和小于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误；B、1+1+5<8，即这三条线段的和小于8，根据两点间距离最短即知，此选项错误；C、1+2+2=5，即这三条线段的和等于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误；D、2+2+2>5，即这三条线段的和大于5，根据两点间距离最短即知，此选项正确；故选：D．小提示：本题考查了两点间线段最短，类比三条线段能组成三角形的条件，任两边的和大于第三边，因而较短的两边的和大于最长边即可，四条线段能组成四边形，作三条线段的和大于第四条边，因而较短的三条线段的和大于最长的线段即可．2、要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（）A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行C．Ⅰ、Ⅱ都可行D．Ⅰ、Ⅱ都不可行答案：C分析：用夹角可以划出来的两条线，证明方案Ⅰ和Ⅱ的结果是否等于夹角，即可判断正误方案Ⅰ：如下图，∠BPD即为所要测量的角∵∠HEN=∠CFG∴MN∥PD∴∠AEM=∠BPD故方案Ⅰ可行方案Ⅱ：如下图，∠BPD即为所要测量的角在△EPF中：∠BPD+∠PEF+∠PFE=180°则：∠BPD=180°−∠AEH−∠CFG故方案Ⅱ可行故选：C小提示：本题考查平行线的性质和判定，三角形的内角和；本题的突破点是用可画出夹角的情况进行证明3、刘零想做一个三角形的框架，她有两根长度分别为6cm和8cm的细木条，需要将其中一根木条分为两段，如果不考虑损耗和接头部分，那么可以分成两段的是（）A．6cm的木条B．8cm的木条C．两根都可以D．两根都不行答案：B分析：利用三角形的三边关系可得答案．解：利用三角形的三边关系可得应把8cm的木条截成两段，如将8cm的线段分成3cm和5cm或4cm和4cm，所截成的两段线段之和大于6，所以，可以，而6cm的线段无论如何分，分成的两段线段之和都小于8，所以，不可以．故选：B．小提示：此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．4、如图，若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（）A．10B．9C．8D．7答案：D分析：先根据多边形的内角和公式（n−2)·180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．解：∵五边形的内角和为(5−2)×180°=540°,∴正五边形的每一个内角为540°÷5=108°,∴正五边形的每一个外角为180°−108°=72°,如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1=180°−2×72°=36°,360°÷36°=10,∵已经有3个五边形，∴10−3=7,即完成这一圆环还需7个五边形．故选：D．小提示：本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．5、已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，连接DE、BE、DC，下列各式中正确的是（）．A．S△ADES△ABC =ADABB．S△ADES△ABC=AEACC．S△ADCS△ABC =ADABD．S△ADES△EDC=AEAC答案：C分析：A选项，设点E、C到AB的距离分别为ℎ1，ℎ2，则ℎ1<ℎ2，根据三角形面积公式进行判断即可；B选项设点D、B到AC的距离分别为x，y，则x≠y，x<y，根据三角形面积公式进行判断即可；C选项，设点C到AB距离为h，△ADC=12AD⋅ℎ，S△ABC=12AB⋅ℎ，根据三角形面积公式进行判断即可；D选项，设点D到AC距离为ℎ3，则S△ADE=12AE⋅ℎ3，S△EDC=12CE⋅ℎ3，根据三角形面积公式进行判断即可A选项：设点E、C到AB的距离分别为ℎ1，ℎ2，则ℎ1<ℎ2，S△ADE=12AD⋅ℎ1，S△ABC=12AB⋅ℎ2，∴S△ADES△ABC =12AD⋅ℎ112AB⋅ℎ2=AD⋅ℎ1AB⋅ℎ2≠ADAB，故A错误；B选项：设点D、B到AC的距离分别为x，y，则x≠y，x<y，S△ADE=12AE⋅x，S△ABC=12AC⋅y，S△ADES△ABC=12AE⋅x12AC⋅y=AE⋅xAC⋅y≠AEAC，故B错误；C选项：设点C到AB距离为h，△ADC=12AD⋅ℎ，S△ABC=12AB⋅ℎ，∴S△ADCS△ABC =12AD⋅ℎ12AB⋅ℎ=ADAB，故C正确；D选项：设点D到AC距离为ℎ3，则S△ADE=12AE⋅ℎ3，S△EDC=12CE⋅ℎ3，∴S△ADES△EDC =12AE⋅ℎ312CE⋅ℎ3=AECE=AEAC−AE≠AEAC，故D错误.故选C．小提示：本题考查了与三角形的高有关的计算，掌握三角形的高的定义，根据三角形的面积计算是解题的关键．6、一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（）A．15或16或17B．15或17C．16或17D．16或17或18答案：A分析：分三种情况讨论，当截线不经过多边形的顶点时，当截线经过多边形的一个顶点时，当截线经过多边形的两个顶点时，再利用数形结合的方法可得答案.解：如图，当截线不经过多边形的顶点时，被截后的多边形比原多边形增加一条边，所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为15边形，如图，当截线经过多边形的一个顶点时，被截后的多边形与原多边形边数相同，所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为16边形，如图，当截线经过多边形的两个顶点时，被截后的多边形比原多边形少一条边，所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为17边形，故选：A.小提示：本题考查的是用直线截多边形的一个角后，被截后的多边形的边数与原多边形的边数之间的关系，解题的关键是清晰的分类讨论.7、当n边形边数增加2条时，其内角和增加（）A．180°B．360°C．540°D．720°答案：B分析：根据n边形的内角和定理即可求解．解：原来的多边形的边数是n，则新的多边形的边数是n＋2．（n＋2−2）•180−（n−2）•180＝360°．故选：B．小提示：本题主要考查了多边形的内角和定理，多边形的边数每增加一条，内角和就增加180度．8、在△ABC中，∠A=12∠B=13∠C，则△ABC为（）三角形．A．锐角B．直角C．钝角D．等腰答案：B分析：根据∠A=12∠B=13∠C分别设出三个角的度数，再根据三角形的内角和为180°列出一个方程，解此方程即可得出答案．∵∠A=12∠B=13∠C∴可设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x根据三角形的内角和可得：x+2x+3x=180°解得：x=30°∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°因此△ABC是直角三角形故答案选择B．小提示：本题主要考查的是三角形的基本概念．9、如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=( )A．35°B．95°C．85°D．75°答案：C分析：根据CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°，得出∠ACD=120°；再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和即可求解.解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°∴∠ACD=2∠ACE=120°∵∠ACD=∠B+∠A∴∠A=∠ACD-∠B=120°-35°=85°故选:C.小提示：本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.10、能说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是（）．A．B．C．D．答案：C分析：先将每个图形补充成三角形，再利用三角形的外角性质逐项判断即得答案．解：A、如图1，∠1是锐角，且∠1=α+β，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；B、如图2，∠2是锐角，且∠2=α+β，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；C、如图3，∠3是钝角，且∠3=α+β，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题，故本选项符合题意；D、如图4，∠4是锐角，且∠4=α+β，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意．故选：C．小提示：本题考查了真假命题、举反例说明一个命题是假命题以及三角形的外角性质等知识，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．填空题11、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=______．答案：180度##180°分析：如图，连接BC,记CD,BE的交点为G,先证明∠D+∠E=∠GBC+∠GCB,再利用三角形的内角和定理可得答案.解：如图，连接BC,记CD,BE的交点为G,∵∠D+∠E=180°−∠DGE,∠GBC+∠GCB=180°−∠BGC,∠DGE=∠BGC,∴∠D+∠E=∠GBC+∠GCB,∴∠A+∠ABG+∠GBC+∠GCB+∠ACG=180°,∴∠A+∠ABG+∠ACG+∠D+∠E=180°,所以答案是：180°小提示：本题考查的是三角形的内角和定理，作出合适的辅助线构建三角形是解本题的关键.12、如图，点D在△ABC的边BA的延长线上，点E在BC边上，连接DE交AC于点F，若∠DFC=3∠B=117°，∠C=∠D，则∠BED=________．答案：102°分析：首先根据∠DFC＝3∠B＝117°，可以算出∠B＝39°，然后设∠C＝∠D＝x°，根据外角与内角的关系可得39＋x＋x＝117，再解方程即可得到x＝39，再根据三角形内角和定理求出∠BED的度数．解：∵∠DFC＝3∠B＝117°，∴∠B＝39°，设∠C＝∠D＝x°，39＋x＋x＝117，解得：x＝39，∴∠D＝39°，∴∠BED＝180°−39°−39°＝102°．所以答案是：102°．小提示：此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．13、已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，若BD=2，CD=1，则DE的长为______．答案：0.5或1.5分析：根据题意作出草图，分类讨论即可求解．解：AD、AE分别是△ABC的高和中线，BD=2，CD=1，如图，当△ABC是钝角三角形时，∴BC=BD−CD=1∴DE=BD−BE=BD−12BC=2−12=32当△ABC是锐角三角形时，∵BC=BD+DC=2+1=3∴BE=12BC=32∴DE=BD−BE=2−32=12当△ABC是直角三角形时，CD=0，不合题意，所以答案是：12或32 小提示：本题考查了三角形的高线，中线的定义，线段的和差关系，分类讨论是解题的关键．14、一个多边形外角和是内角和的29，则这个多边形的边数为________． 答案：11分析：多边形的内角和定理为(n −2)×180°，多边形的外角和为360°，根据题意列出方程求出n 的值． 解：根据题意可得：29×(n −2)×180°=360°， 解得：n =11 ，所以答案是：11．小提示：本题主要考查的是多边形的内角和公式以及外角和定理，属于基础题型．记忆理解并应用这两个公式是解题的关键．15、如图，△ABC 中，∠A ＝60°，∠B ＝40°，DE ∥BC ，则∠AED 的度数是______．答案：80°分析：根据三角形内角和定理可得∠C =80°，根据平行线的性质即可得答案．∵∠A ＝60°，∠B ＝40°，∴∠C ＝180°﹣∠A ﹣∠B =80°，∵DE ∥BC ，∴∠AED ＝∠C ＝80°，所以答案是：80°小提示：本题考查三角形内角和定理及平行线的性质，任意三角形的内角和等于180°；两直线平行，同位角相等；熟练掌握相关性质及定理是解题关键．解答题16、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多1，AB与AC的和为11(1)求AB、AC的长；(2)求BC边的取值范围．答案：(1)AB=6，AC=5(2)1＜BC＜11分析：（1）根据三角形中线的定义，BD=CD．所以△ABD和△ADC的周长之差也就是AB与AC的差，然后联立关于AB、AC的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可．（2）根据三角形三边关系解答即可．（1）解：∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝(AB+AD+BD)−(AC+AD+CD)=AB−AC=1，即AB−AC=1①，又AB+AC=11②，①+②得：2AB=12，解得AB=6，②−①得：2AC=10，解得AC=5，∴AB和AC的长分别为：AB=6，AC=5；（2）∵AB=6，AC=5；∴1＜BC＜11．小提示：本题考查了三角形的三边关系，三角形的中线定义，二元一次方程组的求解，利用加减消元法求解是解题的关键．17、如图，在△ABC中，CD平分∠BCA，E为CD延长线上一点，EF⊥AB于点F，已知∠ACB=70°，∠E= 30°．求∠A的度数．答案：25°分析：利用垂直的定义和三角形内角和定理求出∠EDF，利用对顶角的性质求出∠CDB，再利用角平分线的定义求出∠DCB，进而利用三角形内角和定理求出∠B，∠A．解：∵EF⊥AB，∴∠EFD=90°，又∵∠E=30°，∴∠EDF=180°−∠E−∠EFD=60°，∴∠CDB=∠EDF=60°．∵CD平分∠BCA，∠ACB=70°，∴∠DCB=12∠ACB=12×70°=35°．∴∠B=180°−∠CDB−∠DCB=180°−60°−35°=85°，∴∠A=180°−∠B−∠ACB=180°−85°−70°=25°，即∠A的度数为25°．小提示：本题考查角平分线、对顶角、三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握对顶角的性质和三角形内角和定理．18、如图，在△ABC中，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∠BAC=α,∠B=β(α>β)．(1)若α=70°,β=40°，求∠DCE的度数；(2)试用α、β的代数式表示∠DCE的度数_________．答案：(1)∠DCE=15°(2)α−β2分析：（1）根据三角形的内角和定理求出∠ACB的值，再由角平分线的性质以及直角三角形的性质求出∠DCE．（2）由（1）的解题思路即可得正确结果．（1）解：∵∠BAC=70°，∠B=40°∴∠ACB=180°−(∠BAC+∠B)=180°−(70°+40°)=70°，∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE=12∠ACB=35°．∵CD是高线，∴∠ADC=90°，∴∠ACD=90°−∠BAC=20°，∴∠DCE=∠ACE−∠ACD=35°−20°=15°．（2）解：∵∠BAC=α，∠B=β∴∠ACB=180°−(∠BAC+∠B)=180°−(α+β)，∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE=12∠ACB=12×[180°−(α+β)]=90°−α+β2．∵CD是高线，∴∠ADC=90°，∴∠ACD=90°−∠BAC=90°−α，∴∠DCE=∠ACE−∠ACD=90°−α+β2−90°+α=α−β2．小提示：本题主要考查角平分线，高线以及角的转换，掌握角平分线，高线的性质是解题的关键．。
部编版高中物理必修三第十一章电路及其应用知识点归纳总结(精华版)
(名师选题)部编版高中物理必修三第十一章电路及其应用知识点归纳总结(精华版)单选题1、电导率σ就是电阻率ρ的倒数，即σ=1ρ。
下列说法中正确的是（）A．材料的电导率越小，其导电性能越强B．材料的电导率与材料的形状有关C．电导率的单位是1Ω·mD．电导率大小与温度无关答案：CA．材料的电导率越小，电阻率越大，则其导电性能越弱，选项A错误；B．材料的电导率与材料的形状无关，选项B错误；C．根据R=ρl S则σ=1ρ=LRS则电导率的单位是mΩ⋅m2=1Ω⋅m，选项C正确；D．电阻率大小与温度有关，则电导率大小与温度有关，选项D错误。
故选C。
2、如图所示为两导体a、b的伏安特性曲线，则由图可知a、b的电阻关系为（）A．R a>R b B．R a<R b C．R a=R b D．无法判断答案：BI−U图线中斜率表示电阻的倒数，则斜率越大，电阻越小，由于可知，a的斜率大，则a的电阻小，即R a<R b故选B。
3、如图所示，电解池内有一价的电解液，t时间内通过溶液内面积为S的截面的正离子数是n1，负离子数是n2，设元电荷为e，以下说法中正确的是（）A．当n1＝n2时电流强度为零B．当n1＜n2时，电流方向从B→A，电流强度为I＝(n2−n1)etC．当n1＞n2时，电流方向从A→B，电流强度为I＝(n1−n2)etD．溶液内电流方向从A→B，电流强度为I＝(n1+n2)et答案：D电流的方向与正离子定向移动方向相同，则溶液内电流方向从A到B，t时间内通过通过溶液截面S的电荷量为q=n1e+n2e 则根据电流的定义式可得I=qt=n1e+n2et=(n1+n2)etABC错误，D正确。
故选D。
4、一根粗细均匀的金属导线，在其两端加上电压U0时，通过导线的电流为I0，导线中自由电子定向移动的平均速度为v，若将导线均匀拉长，使它的横截面半径变为原来的13，再给它两端加上电压3U0，则（）A．通过导线的电流为I09B．通过导线的电流为I027C．导线中自由电子定向移动的平均速率为v4D．导线中自由电子定向移动的平均速率为v答案：BAB．导线拉长前R1=ρL1S1=ρL1πr12导线拉长后R2=ρL2S2=ρL2πr22拉长前后体积不变L1⋅πr12=L2⋅πr22根据欧姆定律有I0=U0 R1I′=3U0 R2解得I′=I0 27故A错误，B正确；CD．根据电流的微观定义式有I0=nevS1=nev⋅πr12I′=nev′S2=nev′⋅πr22解得v′=v 3CD错误。
高中物理11章知识点归纳总结
高中物理11章知识点归纳总结### 高中物理第十一章知识点归纳总结第十一章：电磁场和电磁波1. 电磁场的基本概念- 电场：电荷周围存在的一种特殊物质，能够对电荷施加力。
- 磁场：磁体或运动电荷周围存在的一种特殊物质，对磁体或运动电荷产生力的作用。
- 场强：描述场的强弱和方向的物理量，电场强度和磁感应强度是描述电磁场的基本物理量。
2. 电场和磁场的产生- 静电场：由静止电荷产生的电场。
- 感应电场：由变化的磁场产生的电场。
- 恒定磁场：由永久磁体或电流产生的磁场。
3. 电磁感应- 法拉第电磁感应定律：描述变化磁场产生感应电动势的规律。
- 楞次定律：描述感应电流方向的规律，即感应电流的磁场总是阻碍原磁场的变化。
4. 麦克斯韦方程组- 高斯定律：描述电场和电荷的关系。
- 高斯磁定律：描述磁场和电流的关系。
- 法拉第电磁感应定律：描述变化的磁场产生电场的规律。
- 安培定律：描述电流和磁场的关系，包括位移电流。
5. 电磁波- 电磁波的产生：由变化的电场和磁场相互激发产生。
- 电磁波的性质：包括波长、频率、速度等。
- 电磁波谱：包括无线电波、微波、红外线、可见光、紫外线、X射线和伽马射线。
6. 电磁波的传播- 波的传播：电磁波在介质中传播时，电场和磁场交替变化，形成波形。
- 波的反射、折射和干涉：电磁波在不同介质界面上发生的反射、折射和干涉现象。
7. 电磁波的应用- 通信：无线电波用于无线通信。
- 医疗：X射线用于医学成像。
- 能源传输：太阳能电池板将太阳光转化为电能。
8. 电磁波的防护- 电磁污染：电磁波可能对人体健康和电子设备产生影响。
- 防护措施：包括屏蔽、吸收和距离等方法。
9. 电磁场的能量和动量- 能量守恒：电磁场的能量在传播过程中守恒。
- 动量守恒：电磁波具有动量，可以对物体产生推动作用。
通过以上知识点的归纳总结，我们可以看到电磁场和电磁波在物理学中的重要性，它们不仅在理论研究中占有重要地位，而且在实际应用中也发挥着巨大作用。
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本章优化总结
机械振动
⎩
⎪
⎪⎪⎪
⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧简谐运动
⎩
⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧特点⎩⎪⎨⎪⎧受力特点：F ＝－
kx 运动特点：a ＝－kx
m （变加速运动）
振动位移随时间的变化规律：正弦（或余弦）规律，x ＝A sin （ωt ＋φ0）
描述
⎩
⎪⎨⎪⎧物理量⎩⎪⎨⎪⎧位移x ：以平衡位置为参考点
振幅（A ） ⎭⎬⎫周期（T ）频率（f ）T ＝1
f
相位
振动图象⎩
⎪⎨⎪
⎧正弦（或余弦）曲线
物理意义
图象信息振动能量：动能和势能之和
理想化模型⎩⎨
⎧弹簧振子
单摆：（在摆角很小，θ≤10°时）T ＝2π
l g
外力作用下的振动⎩⎪⎨⎪
⎧阻尼振动⎩⎨
⎧振幅逐渐减小
振动能量逐渐转化为其他形式的能
受迫振动⎩
⎪⎨⎪
⎧周期性驱动力作用下的振动受迫振动的频率等于驱动力的频率共振：当f 驱
＝f 固
时，振幅A 最大的现象
振动图象及其应用
1．图线的物理意义：反映了质点做简谐运动时位移随时间变化的关系，即x －t 关系． 2．振动图线不是质点的运动轨迹． 3．图象的作用
如下图表示一质点做简谐运动的图象．从图象中可以知道：
(1)任一时刻质点的位移．例如，在t ＝0时，x ＝0，在t ＝t 1时，图线上对应点为P ，其纵坐标为7 cm ，则表示t 1时刻质点的位移为x ＝7 cm.
(2)振幅A .最大的位移的值就是振幅A ＝10 cm.
(3)确定振动的周期和频率．振动图象上一个完整的正弦(余弦)图形在时间轴上拉开的
“长度”表示周期．由上图可知，OD、AE、BF的间隔都等于振动周期T＝0.2 s，频率f＝1
T＝5 Hz.
(4)速度方向：由图线随时间的延伸就可以直接看出．譬如，t1时刻质点的位移为7 cm，图线向上延伸，说明质点是向x轴正方向运动的．由此可总结为：顺着时间走，上坡向上，下坡向下．
(5)回复力和加速度：由F＝－kx，a＝F/m知F和a均与位移大小成正比，而方向总与位移方向相反．只要从振动图象中认清位移(大小和方向)随时间变化的规律，加速度随时间变化的情况就迎刃而解了．例如在0到t1的过程中，x为正向，F和a均为负向，x增大，则F和a随之增大．
(6)已知某段时间的振动图象，可画下一段时间的振动图象，只要将原图象按正弦或余弦图象的规律“延伸”即可．如下图所示．
(2015·成都七中高二月考)如图是某弹簧振子在水平面内做简谐运动的位移－时间
图象，则振动系统在()
A．t1和t3时刻具有相同的动能和速度
B．t3和t5时刻具有相同的势能和速度
C．t1和t5时刻具有相同的加速度
D．t2和t5时刻振子所受回复力大小之比为2∶1
[解析]由题图知，t1和t3时刻质点的位置相同，但运动方向不同，所以具有相同的动能，而速度是矢量，方向不同，故A错误；t3和t5时刻的位置相对于平衡位置对称，所以势能是相同的，位移虽然不同，但具有相同的速度，故B正确；t1和t5时刻相差半个周期，处于相
对于平衡位置对称的两个位置，由a＝－kx
m
知加速度大小相同而方向相反，故C错误；由回复力的公式：F＝－kx，知t2和t5时刻位移大小分别是6 cm和3 cm，则振子所受回复力大小之比为2∶1，故D正确．
[答案]BD
[方法总结]在振动图象中以位移这个矢量及位移的变化来分析一系列的物理量，当位。