苏教版数学高一必修2试题 平面的基本性质 (3)
高中数学(苏教版必修2)同步文档第1章 1.2.1 平面的基本性质 Word版含解析
点、线、面之间的位置关系平面的基本性质.借助实例,直观了解平面的概念、画法,会用图形与字母表示平面.(重点).会用符号语言规范地表述空间点、直线、平面之间的位置关系.(易错点).能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理,理解三个公理的地位与作用.(重点、难点)[基础·初探]教材整理平面的概念及表示阅读教材~公理以上部分内容,完成下列问题..概念厚薄平面是从现实世界中抽象出来的几何概念.它没有,是的.无限延展图--.表示()图形表示置平面通常用平行四边形来表示,当平面水平放置的时候,一般用水平放正方形的的直观图作为平面的直观图(如图--).()字母表示α,希腊字母平面通常用β,,表示,也可以用平行四边形的两个相对顶…γ表示,如平面点的字母α、平面等..点、线、面位置关系的符号表示如果直线⊂平面α,直线⊂平面α,∈,∈,且∈,∈,那么下列说法正确的是.(填序号)①⊂α;②⊄α;③∩α=;④∩α=.【解析】∵∈,∈,⊂α,⊂α,∴∈α,∈α.而,确定直线,根据公理可知⊂α.故填①.【答案】①教材整理平面的基本性质阅读教材~,完成下列问题..平面的基本性质()公理:如果一条直线上的在一个平面内,那么这条直线上所有的点两点都在这个平面内.用符号表示为:⇒⊂α. ()公理:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公的集合是经过这个公共点的一条共点直线.用符号表示为:⇒α∩β=且∈.()公理:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.公理也可简单地说成,不共线的三点确定一个平面..平面的基本性质的推论()推论:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.两条相交直线()推论:经过,有且只有一个平面.()推论:经过两条平行直线,有且只有一个平面.。
2021年高中苏教版数学必修二名师导学:第1章 第5课时 平面的基本性质
第5课时平面的基本性质教学过程一、问题情境情境1:安静的水面、平坦的足球场、宽敞的草原、平滑的桌面、黑板的表面.情境2:棱柱的表面,圆柱、圆台的底面.二、数学建构问题1这些事物给我们一种怎样的印象?(像这些桌面、安静的水面、镜面、黑板面等都给我们以平面的印象)问题2平面有什么特征?(总结平面的基本特征:平面没有大小、厚薄和宽窄,平面在空间是无限延展的)问题3我们可以用怎样的语言描述平面?1.平面的表示:(1)图形语言:(图1)(2)符号语言:平面通常用希腊字母α,β,γ,…表示,也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示,如平面α、平面AC.问题3-1直线可以看成是点的集合,那平面能否看成是点的集合?可以用怎样的数学语言描述点、线、面之间的关系?(可以借助集合中的符号表示)数学符号表示文字语言表达图形语言表达A∈l 点A在直线l上A∉l 点A在直线l外A∈α点A在平面α内A∉α点A在平面α外l⊂α直线l在平面α内l⊄α直线l在平面α外l∩m=A直线l,m相交于点Aα∩β=l平面α、β相交于直线l2.平面的基本性质:问题4如何刻画平面的“平”、“没有厚薄”、“无限延展”这些特征?情境3:木工为了检查桌面是否平,常将一把直尺靠放在桌面上,看直尺与桌面之间是否有空隙.问题4-1假如一条直线上有两个点在平面内,那么这条直线与这个平面有怎样的位置关系?公理1:假如一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线上全部的点都在这个平面内.图形:符号表示:(图2)⇒AB⊂α.情境4:(1)演示:将一张矩形硬纸板的一角立在桌面上,试问硬纸板所在平面与桌面有多少个公共点呢?为什么?(2)将教室的门和门所在的墙面看成两个平面,当门开着时,他们的公共点的分布状况如何?公理2:假如两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.图形:符号表示:(图3)⇒α∩β=l且A∈l.。
高中数学平面的基本性质3
求证:P、Q、R共线
A
证明: P AB 平面ABC
B C
P 平面ABC
要证P明 各P点共平线面A,只BCP 要证R 明 Q 它们同所理以是QP、、两RQ也、个为R共平公线共面点 的公共点
练习2、变式探究
例3、如图:在四面体ABCD中,E,F分别
是AB,BC的中点,G,H分别在CD,AD上,且
“共点”、“共线”、 “共面” 1、问理题论依据:
(1)公理1:判断或证明直线是否在平面内 (2)公理2:确定两个平面的交线,判定两平
面相交 (“点共线”,
A, A, a A “线共点”)
(3)公理3, 推论1、2、3: 确定平面
证点、线共面的依据,也是作辅助面的依据 2、反证法
《名师伴你行》P2 考点1
例1、已知四条直线两两相交,且不共点,
求证这四条直线在同一平面内 已知:直线a、b、c、d、两两相交,且不共点 求证:a 、 b 、 c 、 d在同一平面内
练习1、变式探究
《名师伴你行》P2 考点2
例2、已知△ABC在平面α外,它的的三
条边所在直线分别交平面α于P、Q、R
DG:DC=DH:DA=1:m(m>2)
求证:直线EH与FG,BD相交于一点
《名师伴你行》考点3
A
E
H
B
练习3、变式探究 F
D
G
P
C
小结
1、要证“点共面” 、“线共面”可 先由部分点、直线确定一平面,在证 其余点、直线也在此平面即内纳,入法
2、反证法的应用的意识
作业
《名师伴你行》P7 7
苏教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第13章 立体几何初步 平面的基本性质
个公共点,那么它们有且只
实3
有一条过该点的公共直线
图形语言
符号语言
作用
①判定两平面相交
∈ 且
∈ ⇒ ∩ 的依据;
= ,且 ∈ ②判定点在直线上
2.基本事实1的三个推论
推论
推论1
内容
经过一条直线和这条直线外的一点,有且只
有一个平面
推论2
经过两条相交直线,有且只有一个平面
∴ ∈ 1 ,即点1 ,,共线.
图1
(2)证明:,,1 三线共点.
证明如图2,延长,交于点.
∵ ⊂平面1 1 , ∈ ,
∴ ∈平面1 1 ,
∵ ⊂平面1 1 , ∈ ,∴ ∈平面1 1 ,
∵平面1 1 ∩平面1 1 = 1 ,
②这三条直线不共面,如图2.
图2
若三条直线两两相交,且不过同一个点,由例2可知,这三条直线共面.
(2)如果把本例中的“三条直线”改为“四条直线”,那么这四条直线是否共面?试证明你
的结论.
解 共面.
已知:,,,四条直线两两相交,且不共点.
求证:,,,四线共面.
证明:①无三线共点的情况,如图1.
且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言叙述,再用符号语言表示.
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.
跟踪训练1 根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形.
(1) ∈ , ∉ ;
解 点在平面内,点不在平面内,如图所示:
(2) ⊂ , ∩ = , ∉ ;
.
知识点2. 点、直线、平面的位置关系
1.点在直线上,记作 ∈ ;点在直线外,记作 ∉ ;
数学苏教版必修第二册课时素养评价 13.2.1 平面的基本性质 Word版含解析
课时素养评价二十五平面的基本性质(20分钟35分)1.下列命题:①书桌面是平面;②有一个平面的长是50 m,宽是20 m;③平面是绝对的平、无厚度,可以无限延展的抽象数学概念.其中正确命题的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.0个【解析】选A.平面是无大小、无面积、无厚度,向四周无限延展的一个数学概念.【补偿训练】两个平面若有三个公共点,则这两个平面( )A.相交B.重合C.相交或重合D.以上都不对【解析】选C.若三点在同一条直线上,则这两个平面相交或重合,若三点不共线,则这两个平面重合.2.已知平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面可能的交线有( )A.1条或2条B.2条或3条C.1条或3条D.1条或2条或3条【解析】选D.当三个平面两两相交且过同一直线时,它们有1条交线;当平面β和γ平行时,它们的交线有2条;当这三个平面两两相交且不过同一条直线时,它们有3条交线.3.空间四点A,B,C,D共面而不共线,那么这四点中( )A.必有三点共线B.必有三点不共线C.至少有三点共线D.不可能有三点共线【解析】选B.如图①②所示,A,C,D均不正确,只有B正确.4.空间中有五个点,其中有四个点在同一平面内,但没有任何三点共线,这样的五个点确定________个平面.【解析】可以想象四棱锥的5个顶点,它们总共确定7个平面.答案:75.设平面α与平面β相交于l,直线a⊂α,直线b⊂β,a∩b=M,则M________l.【解析】因为a∩b=M,a⊂α,b⊂β,所以M∈α,M∈β.又因为α∩β=l,所以M∈l.答案:∈6.如图,梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线,并说明理由.【解析】很明显,点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点,即点S在交线上,由于AB>CD,则分别延长AC和BD交于点E,如图所示.因为E∈AC,AC⊂平面SAC,所以E∈平面SAC.同理,可证E∈平面SBD.所以点E在平面SBD和平面SAC的交线上,连接SE,直线SE是平面SBD和平面SAC的交线.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则( )A.l⊂αB.l⊄αC.l∩α=MD.l∩α=N【解析】选A.因为M∈a,a⊂α,所以M∈α,同理,N∈α,又M∈l,N∈l,故l⊂α.2.如图,平面α∩平面β=l,A,B∈α,C∈β,C∉l,直线AB∩l=D,过A,B,C三点确定的平面为γ,则平面γ,β的交线必过( )A.点AB.点BC.点C,但不过点DD.点C和点D【解析】选D.根据基本事实判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内,故在β与γ的交线上.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱DD1和BB1上的点,MD=DD1,NB=BB1,那么正方体过点M,N,C1的截面图形是( ) A.三角形 B.四边形C.五边形D.六边形【解析】选C.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱DD1和BB1上的点,MD=DD1, NB=BB1.如图,延长C1M交CD的延长线于点P,延长C1N交CB的延长线于点Q,连接PQ交AD于点E,交AB于点F,连接NF,ME,则正方体过点M,N,C1的截面图形是五边形.4.已知空间中有A,B,C,D,E五个点,如果点A,B,C,D在同一个平面内,点B,C,D,E在同一个平面内,那么这五个点( ) A.共面 B.不一定共面C.不共面D.以上都不对【解析】选B.若B,C,D共线,则这五个点不一定共面;若B,C,D不共线,则这五个点一定共面.【误区警示】做此题容易忽略B,C,D共线的情况致错,所以考虑问题要全面.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.以下四个命题中,不正确的命题是( )A.不共面的四点中,其中任意三点不共线B.若两个平面有三个公共点,则这两个平面重合C.若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面D.依次首尾相接的四条线段必共面【解析】选BCD.A正确,可以用反证法证明,假设任意三点共线,则四个点必共面,与不共面的四点矛盾;若三点共线,则这两个平面相交或重合,B不正确;C不正确,共面不具有传递性,若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c可能异面;D不正确,因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上,空间四边形的四个顶点就不共面.6.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是( )A.C1,M,O三点共线B.C1,M,O,C四点共面C.C1,O,A,M四点共面D.D1,D,O,M四点共面【解析】选ABC.在题图中,连接A1C1,AC,则AC∩BD=O,A1C∩平面C1BD=M.所以三点C1,M,O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上,即C1,M,O三点共线,所以A,B,C均正确,D不正确.【光速解题】判断点共线或者共面问题时,要看从这些点出发的直线是否相交或者平行.三、填空题(每小题5分,共10分)7.若直线l与平面α相交于点O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,则O,C,D 三点的位置关系是________.【解析】因为AC∥BD,所以AC与BD确定一个平面,记作平面β,则α∩β=直线CD.因为l∩α=O,所以O∈α.又因为O∈AB⊂β,所以O∈直线CD,所以O,C,D三点共线.答案:共线【补偿训练】如图,在四面体A-BCD中作截面PQR,若PQ,CB的延长线交于点M,RQ,DB的延长线交于点N,RP,DC的延长线交于点K.则M,N,K三点的位置关系是________.【解析】因为M∈PQ,直线PQ⊂平面PQR,M∈BC,直线BC⊂平面BCD,所以M是平面PQR与平面BCD的一个公共点,所以M在平面PQR与平面BCD的交线上.同理可证,N,K也在平面PQR与平面BCD的交线上.所以M,N,K三点共线.答案:共线8.空间任意4点,没有任何3点共线,它们最多可以确定________个平面.【解析】可以想象三棱锥的4个顶点,它们总共确定4个平面.答案:4四、解答题(每小题10分,共20分)9.用符号语言表示下列语句,并画出图形.(1)点A在平面α内,点B不在平面α内;(2)直线l在平面α内,直线m不在平面α内.【解析】(1)A∈α,B∉α,图形如图所示.(2)l⊂α,m⊄α,图形如图所示.10.已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:直线a,b,c和l共面.【证明】如图所示,因为a∥b,所以直线a与b确定一个平面,设为α,因为l∩a=A,l∩b=B,所以A∈a,B∈b,则A∈α,B∈α.又因为A∈l,B∈l,所以由基本事实2可知l⊂α.因为b∥c,所以由基本事实1可知直线b与c确定一个平面β,同理可知l⊂β.因为平面α和平面β都包含着直线b与l,且l∩b=B,而由基本事实1的推论2知:经过两条相交直线,有且只有一个平面,所以平面α与平面β重合,所以直线a,b,c和l共面.1.(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G分别为棱BC,CC1,B1C1的中点,O1,O2分别是四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中心,则( )A.A,C,O1,D1四点共面B.D,E,G,F四点共面C.A,E,F,D1四点共面D.G,E,O1,O2四点共面【解析】选ACD.因为正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为棱BC,CC1,B1C1的中点,O1,O2分别为四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中心,所以O1是AD1的中点,所以O1在平面ACD1内,故A正确;因为E,G,F在平面BCC1B1内,D不在平面BCC1B1内,所以D,E,G,F四点不共面,故B错误;由已知可知EF∥AD1,所以A,E,F,D1四点共面,故C正确;连接GO2并延长,交A1D1于H,则H为A1D1的中点,连接HO1,则HO1∥GE,所以G,E,O1,O2四点共面,故D正确.2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为8 cm,M,N,P分别是AB,A1D1,BB1的中点,(1)画出过M,N,P三点的平面与平面A1B1C1D1的交线,以及与平面BB1C1C 的交线;(2)设过M,N,P三点的平面与B1C1交于点Q,求PQ的长.【解析】(1)设M,N,P三点确定的平面为α,则α与平面AA1B1B的交线为直线MP,设MP∩A1B1=R,则RN是α与平面A1B1C1D1的交线,设RN∩B1C1=Q,连接PQ,则PQ是所要画的平面α与平面BB1C1C的交线.(2)正方体棱长为8 cm,B1R=BM=4 cm,又A1N=4 cm,B1Q=A1N,所以B1Q=×4=(cm).在△PB1Q中,B1P=4 cm,B1Q= cm,所以PQ== cm.关闭Word文档返回原板块。
苏教版高中数学必修二同步练测:第1章1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质1.2.2空间两条直线的
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质1.2.2 空间两条直线的位置关系(苏教版必修2)建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题(每小题5分,共60分)1.若P是两条异面直线l、m外的任意一点,则下列说法正确的是.①过点P有且仅有一条直线与l、m都平行;②过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直;③过点P有且仅有一条直线与l、m都相交;④过点P有且仅有一条直线与l、m都异面.2.已知空间中有三条线段AB、BC和CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是.3.和两条平行直线中的一条是异面直线的直线与另一条直线的位置关系是_______.4.三条直线两两相交,可以确定平面的个数是_______.5.下列说法正确的是_______.①一条直线上有一个点在一个平面内,则这条直线上所有的点都在这个平面内;②一条直线上有两点在一个平面内,则这条直线在这个平面内;③若线段AB⊂平面α,则线段AB延长线上的任何一点必在平面α内;④一条射线上有两点在一个平面内,则这条射线上所有的点都在这个平面内.6.已知a、b为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a、b在α上的射影可能是:①两条平行直线;②两条互相在上面的结论中,正确结论的编号是.(写出所有正确结论的编号)7.如图,是一个正方体表面的一种展开图,图中的四条线段AB,CD,EF和GH在原正方体中相互异面的有_______对.8.三条直线两两平行,但不共面,可以确定______个平面;共点的三条直线可以确定______个平面.9.长方体的6个面所在的平面可以将空间分成______部分.10.若P是两条异面直线l,m外的任意一点,则过点P有且只有一条直线与l,m都_______.11.给出的下列命题中,正确的是_______.①梯形的四个顶点在同一平面内;②三条平行直线必共面;③有三个公共点的两个平面必重合;④每两条都相交且交点各不相同的四条直线,一定共面.12.空间有五个点,若五点共线,可确定_______个平面;若其中四点共线,可确定_______个平面;若其中有三点共线,其他任何三点不共线,可确定_______个平面;若任何三点都不共线,可确定_______个平二、解答题(共40分)13.(13分)已知直线b∥c,且直线a与b,c都相交,求证:直线a,b,c共面.14.(13分)如图,已知△ABC在平面α外,它的三边所在直线分别交平面α于点P,Q,R,求证:P,Q,R三点共线. 15.(14分)如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形,∠BAD= ∠FAB=90°,BC平行且等于12AD,BE平行且等于12FA,G,H分别为FA,FD的中点.(1)证明:四边形BCHG是平行四边形.(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质1.2.2空间两条直线的位置关系(苏教版必修2)答题纸得分:一、填空题1. ;2. ;3. ;4. ;5. ;6. ;7. ;8. ;9. ;10. ;11. ;12. .二、解答题13..14.15.1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质1.2.2 空间两条直线的位置关系(苏教版必修2)参考答案一、填空题1.②解析:对于①,若正确,则l∥m,这与已知矛盾,由此排除①;对于②,由于l和m有且只有一条公垂线a,而过P有且只有一条直线与直线a平行,故②正确;过点P有无数条直线l,m都相交,故③不正确;过点P有无数条直线与l,m都异面,故④不正确.2.AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交解析:若三条线段共面,如果AB、BC、CD构成等腰三角形,则直线AB与CD相交,否则直线AB与CD平行;若不共面,则直线AB与CD是异面直线,故AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交.3.相交或异面解析:由公理4可知直线AB与CD不可能平行,只有相交或异面.4.1或3 解析:三条直线两两相交,交于一点时任意两条直线都可以确定一个平面;不交于一点时三条直线共面.5.②③④解析:若一条直线上有两个点在一个平面内,则该直线在这个平面内,所以②③④正确.6.①②④解析:①②④对应的情况如图:③可以用反证法证明错误.7.三解析:把各个侧面还原到正方体中,可知四条线段AB,CD,EF和GH在原正方体中相互异面的有三对.8.3;1或3 解析:三条直线两两平行,但不共面可以确定3个平面;共点的三条直线若共面只能确定1个平面,若不共面可以确定3个平面.9.27解析:本题考查空间想象能力,我们可以先把长方体拆开,然后重新进行“组装”.两个相对的平面可以把空间分为3部分,那么4个侧面将空间划分为9部分,加上一个上底面,则将空间划分为18部分,再加上一个下底面,则将空间划分为27部分,故长方体的6个面所在平面将空间划分为27部分.10.垂直解析:过点P作两条直线分别与l,m平行,则这两条直线确定一个平面,过点P垂直于这个平面的直线一定与l,m都垂直,且它是唯一的,故应填垂直.11.①④解析:梯形中有两边平行,可确定一个平面,各顶点都在这个平面内,①对;三条平行直线不一定共面,当一条直线不在另两条直线确定的平面内时,它们就不共面,②错;三个公共点共线时,这两个平面不一定重合,③错;④对.故应填①④.12.无数;1;1个或5个;1个或7个或10个二、解答题设a∩b=A,a∩c=B,∴A∈a,B∈a.∵ A∈α,B∈α,即a⊂α,∴a,b,c共面.14.证明:设△ABC确定平面ABC,直线AB交平面α于点Q,直线CB交平面α于点P,直线AC交平面α于点R,则P,Q,R三点都在平面α内.又因为P,Q,R三点都在平面ABC内,所以P,Q,R三点都在平面α和平面ABC的交线上.而两平面的交线只有一条,所以P,Q,R三点共线.15.(1)证明:由题设知,FG=GA,FH=HD,所以GH∥12AD.又∥12AD,故∥,所以四边形BCHG是平行四边形. (2)解:C,D,F,E四点共面.理由如下:由BE∥12AF,G是FA的中点知,BE∥GF,所以四边形EFGB是平行四边形,所以EF∥BG. 由(1)知BG∥CH,所以EF∥CH,故EC,FH共面. 又点D在直线FH上,所以C,D,F,E四点共面.。
【精品】高中数学 必修2_平面的基本性质__讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案)提高
平面的基本性质【学习目标】1.利用生活中的实物对平面进行描述;理解平面的概念,掌握平面的画法及表示方法.2.重点掌握平面的基本性质.3.能利用平面的性质解决有关问题.【要点梳理】【高清课堂:空间点线面之间的位置关系知识讲解】要点一、平面的基本概念1.平面的概念:“平面”是一个只描述而不定义的原始概念,常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的形象.几何里的平面就是从这些物体中抽象出来的,但是,几何里的平面是无限延展的.要点诠释:(1)“平面”是平的(这是区别“平面”与“曲面”的依据);(2) “平面”无厚薄之分;(3)“平面”无边界,它可以向四周无限延展,这是区别“平面”与“平面图形”的依据.2.平面的画法:通常画平行四边形表示平面.要点诠释:(1)表示平面的平行四边形,通常把它的锐角画成45o,横边长是其邻边的两倍;(2)两个相交平面的画法:当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,把被遮住的部分的线段画为虚线或者不画;3.平面的表示法:(1)用一个希腊字母表示一个平面,如平面α、平面β、平面γ等;(2)用表示平面的平行四边形的四个字母表示,如平面ABCD ;(3)用表示平面的平行四边形的相对两个顶点的两个字母表示,如平面AC 或者平面BD ;4.点、直线、平面的位置关系:(1)点A 在直线a 上,记作A a ∈;点A 在直线a 外,记作A a ∉;(2)点A 在平面α上,记作A α∈;点A 在平面α外,记作A α∉;(3)直线l 在平面α内,记作l α⊂;直线l 不在平面α内,记作l α⊄.要点二、平面的基本性质平面的基本性质即书中的三个公理,它们是研究立体几何的基本理论基础.1.公理1:(1)文字语言表述:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内;(2)符号语言表述:A l ∈,B l ∈,A α∈,B l αα∈⇒⊂;(3)图形语言表述:要点诠释:公理1是判断直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内,只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内.“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”.2.公理2:(1)文字语言表述:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面;(2)符号语言表述:A 、B 、C 三点不共线⇒有且只有一个平面α,使得A α∈,B α∈,C α∈; (3)图形语言表述:要点诠释:公理2的作用是确定平面,是把空间问题化归成平面问题的重要依据.它还可用来证明“两个平面重合”.特别要注意公理2中“不在一条直线上的三点”这一条件.“有且只有一个”的含义可以分开来理解.“有”是说明“存在”,“只有一个”说明“唯一”,所以“有且只有一个”也可以说成“存在”并且“唯一”,与确定同义.(4)公理2的推论:①过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;②过两条相交直线,有且只有一个平面;③过两条平行直线,有且只有一个平面.(5)作用:确定一个平面的依据.3.公理3:(1)文字语言表述:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线;(2)符号语言表述:P l αβαβ∈⇒=I I 且P l ∈;(3)图形语言表述:要点诠释:公理3的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上的依据.要点三、点线共面的证明所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题.1.证明点线共面的主要依据:(1)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内(公理1);②经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面(公理2及其推论).2.证明点线共面的常用方法:(1)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内;(2)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面a 、β重合;(3)反证法.3.具体操作方法:(1)证明几点共面的问题可先取三点(不共线的三点)确定一个平面,再证明其余各点都在这个平面内;(2)证明空间几条直线共面问题可先取两条(相交或平行)直线确定一个平面,再证明其余直线均在这个平面内.要点四、证明三点共线问题所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同—条直线上.1.证明三点共线的依据是公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们还有其他的公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.也就说一个点若是两个平面的公共点,则这个点在这两个平面的交线上.对于这个公理应进一步理解下面三点:①如果两个相交平面有两个公共点,那么过这两点的直线就是它们的交线;②如果两个相交平面有三个公共点,那么这三点共线;③如果两个平面相交,那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上.2.证明三点共线的常用方法方法1:首先找出两个平面,然后证明这三点都是这两个平面的公共点.根据公理3知,这些点都在交线上.方法2:选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点也在其上.要点五、证明三线共点问题所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点.1.证明三线共点的依据是公理3.2.证明三线共点的思路:先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题转化为证明点在直线上的问题.【经典例题】类型一、平面的概念及其表示例1.平面α内的直线a 、b 相交于点P ,用符号语寄语言概述为“a b P =I ,且P ∈α ”,是否正确?【答案】不正确【解析】不正确.应表示为:a α⊂,b α⊂,且a ∩b=P .相交于点P 的直线a 、b 都在平面α内,也可以说,平面α经过相交于点P 的直线a 、b .题中的符号语言只描述了直线a 、b 交于点P ,点P 在平面α内,而没有描述直线a 、b 也都在平面内,下图也是题中的符号语言所表示的情形.【总结升华】用符号语言来叙述时,必须交代清楚所有元素的位置关系,不能有半点遗漏.立体几何中的三种语言(文字语言、符号语言、图形语言)组成立体几何语言,我们必须准确地把握它们.其中文字语言比较自然、生动,能将问题研究的对象的含义更明确地叙述出来.图形语言给人以清晰的视觉形象,有助于空间想象力的培养;而符号语言更精练、简洁.三种语言的互译有助于我们在更广阔的思维领域里寻找解决问题的途径,有利于对思维广阔性的培养.举一反三:【变式1】 根据下列符号表示的语句,说明点、线面之间的位置关系,并画出相应的图形:(1)A ∈α,B ∉α;(2)l α⊂,m A α=I ,A l ∉;(3)P ∈l ,P ∉α,Q ∈l ,Q ∈α.【解析】(1)点A 在平面α内,点B 不在平面α内;(2)直线l 在平面α内,直线m 与平面α相交于点A ,且点A 不在直线l 上;(3)直线l 经过平面α外一点P 和平面α内一点Q .图形分别如图(1)、(2)、(3)所示.类型二、平面的确定例2.判断下列说法是否正确,并说明理由:(1)一点和一条直线确定一个平面;(2)经过一点的两条直线确定一个平面:(3)两两相交的三条直线确定一个平面;(4)首尾依次相接的4条线段在同一平面内.【答案】不正确正确不正确不正确【解析】(1)不正确.如果点在直线上,可以确定无数个平面;如果点不在直线上,在已知直线上任取两个不同的点,由公理2知,有且只有一个平面,或直接由公理2的推论1知,有且只有一个平面.(2)正确.经过同一点的两条直线是相交直线,由公理2的推论2知,有且只有一个平面.(3)不正确.3条直线可能交于同一点,也可能有三个不同交点,如下图(1)、(2)所示.前者,由公理2的推论2知.可以确定1个或3个平面;后者,由公理2的推论2及公理1知,能确定一个平面.(4)不正确.四边形中三点可确定一个平面,而第4点不一定在此平面内,如上图(3),因此这4条线段不一定在同一平面内.【总结升华】公理2及其3个推论都是确定平面的依据,对涉及这方面的应用问题,务必分清它们的条件.立体几何研究的对象是空间点、线、面的位置关系问题,要有一定的空间想象能力.对于问题中的点、线,要注意它们各种不同的位置关系,以及由此产生的不同结果.举一反三:【变式1】正方体的八个顶点一共可以确定个平面.【答案】20例3.在空间内,可以确定一个平面的是()A.两两相交的三条直线B.三条直线,其中的一条与另外两条直线分别相交C.三个点D.三条直线,它们两两相交,但不交于同一点【答案】D【解析】A中两两相交的三条直线,它们可能交于同一个点,也可能不交于同一个点,若交于同一个点,则三条直线不一定在同一个平面内,故排除A;B中的另外两条直线可能共面,也可能不共面,当另外两条直线不共面时,则三条直线不能确定一个平面,故排除B;对于C来说,三个点的位置可能不在同一直线上,也可能在同一直线上,只有前者才能确定一个平面,因此排除C;只有选项D中的三条直线,它们两两相交且不交于同一点,因而其三个交点不在同一条直线上,由公理2知其确定一个平面.所以应选D.【总结升华】要准确理解“确定”的含义,即为“有且只有”,其包含存在性和唯一性两个方面.解题时结合空间几何体来考虑会更直观、快速.类型三、平面的基本性质的应用例4.已知a、b、c、d是两两相交且不共点的四条直线.求证:直线a、b、c、d共面.【解析】(1)无三线共点的情况.如右图所示,设a∩d=M,b∩d=N,c∩d=P,a∩b=q,a∩c=R,b∩c=S.∵a∩d=M,∴a,d可确定一个平面α,∵N∈d,Q∈a,∴N∈α,Q∈α,∴NQ⊂α,即b⊂α.同理c⊂α.∴直线a、b、c、d共面.(2)有三线共点的情况.如右图所示,设b、c、d三线相交于点K,与a分别交于N、P、M,且K∉a.∵K∉a,∴A和a可确定一个平面,设为β.∵N∈a,a⊂β,∴N∈β,又K∈β,∴NK⊂β,即b⊂β.同理c⊂β,d⊂β,∴直线a、b、c、d共面.由(1)(2)知直线a、b、c、d共面.【总结升华】(1)要证明点线共面,一般是依据公理2及其推论,在这些点、线中取出能确定一个平面的相关元素,再证明其他的点、线也在这个平面内,也就是“纳入法”(或“拉人下水法”),即先确定一个平面,然后将其他元素纳入到这个平面之中.(2)在证明点、线共面时,除了上述纳入法外,也可以用下面方法来证明:①利用公理2及其推论直接证明;②重合法:先说明一些元素在一个平面内,其余元素在另一个平面内,再证明两个平面重合.(3)在证明“线共点”时,一般是依题意,选择其中相交的两条直线,再证明其交点在第三条直线上,在选择时,应注意使第三条直线为其他图形中的某两个平面的交线.从而转化为证明其交点分别在这两个平面内即可.举一反三:【变式1】 如右图,已知直线m 与直线a 、直线b 分别交于A 、B 且a ∥b .求证:过a 、b 、m 有且只有一个平面.证明:∵a ∥b ,∴过a 、b 有一个平面α.又m ∩a=A ,m ∩b=B ,∴A ∈a ,B ∈b ,∴A ∈α,B ∈α.又A ∈m ,B ∈m ,∴m ⊂α,即过a 、b 、m 有一个平面α.假设过a 、b 、m 还有一个平面β异于α,则a α⊂,b α⊂,a β⊂,b β⊂.这与a ∥b ,过a 、b 有且只有一个平面相矛盾.因此,过a 、b 、m 有且只有一个平面.例5.如右图,已知△ABC 在平面α外,它的三边所在直线分别交α于P 、Q 、R ,求证:P 、Q 、R 三点共线.证明:因为A 、B 、C 为平面α外的三点,所以△ABC 所在的平面与平面α不重合.因为AB ∩α=P ,所以P 为平面α与β的公共点.同理可证R 、Q 也是平面α与β的公共点.由公理3知,P 、Q 、R 三点共线.【总结升华】所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上.(1)证明三点共线的依据是公理3,对于这个公理应进一步理解为下面三点:①如果两个相交平面有两个公共点,那么过这两点的直线就是它们的交线;②如果两个相交平面有三个公共点,那么这三点共线;③如果两个平面相交,那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上.(2)证明三点共线的常用方法:方法1:首先找出两个平面,然后证明这三点都是这两个平面的公共点.方法2:选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点也在这条直线上.类似地有:(1)证明三线共点的依据是公理3.(2)证明三线共点的思路是:先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题化归为证明点在直线上的问题.举一反三:【高清课堂:空间点线面之间的位置关系 例3】【变式1】已知E,F,G,H 分别是空间四边形各边AB ,AD ,BC ,CD 上的点,且直线EF与GH 交于点P .求证:B ,D ,P 在同一直线上.【解析】P EF P ABD P EF GH P GH P BCD ∈⇒∈⎧⎫∈⇒⎨⎬∈⇒∈⎩⎭I 平面平面 P ABD BCD BD P BD ⇒∈=⇒∈I 平面平面例6. 如下图,在三棱锥S-ABC 的边SA 、SC 、AB 、BC 上分别取点E 、F 、G 、H ,若EF ∩GH=P ,求证:EF 、GH 、AC 三条直线交于一点.证明:∵E ∈SA ,SA ⊂平面SAC ,F ∈SC ,SC ⊂平面SAC ,∴EF ⊂平面SAC .∵G ∈AB ,AB ⊂平面ABC ,H ∈BC ,BC ⊂平面ABC ,∴GH ⊂平面ABC ,又∵EF ∩GH=P ,∴P ∈平面SAC ,P ∈平面ABC .∵平面SAC ∩平面ABC=AC ,∴P ∈AC .即直线EF 、GH 、AC 共点于P .【总结升华】线共点的证明可利用公理1、公理3作为推理的依据.举一反三: 【变式1】 如右图,已知空间四边形ABCD (即四个点不在同一平面内的四边形)中,E 、H 分别是边AB 、AD 的中点,F 、G 分别是边BC 、CD 上的点,且23CF CG CB CD ==. 求证:直线EF 、GH 、AC 相交于一点.证明:∵E 、H 分别是边AB 、AD 的中点,∴EH∥BD且12EH BD=.∵F、G分别是边BC、CD上的点,且23 CF CGCB CD==,∴FG∥BD且23FG BD=.故知EH∥FG且EH≠FG,即四边形EFGH为梯形,从而EF与GH必相交,设交点为P.∵P∈EF,EF⊂平面ABC,∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∵平面ADC∩平面ABC=AC,∴P∈AC.即EF、GH、AC交于一点P.例7.如下图,E、F分别为正方体.ABCD-A1B1C1D1的棱CC1和AA1的中点,画出平面BED1F与平面ABCD的交线.【解析】设法找出两平面的公共点,两公共点的连线就是两个平面的交线.如上图,在平面AA1D1D内,D1F与DA不平行,分别延长D1F与DA,则D1F与DA必相交,设交点为M.因为M∈FD1,M∈DA,FD1⊂平面BED1F,AD⊂平面ABCD,所以M∈平面BED1F∩平面ABCD,又B∈平面BED1F∩平面ABCD,所以,连接MB,则MB=平面BED1F∩平面ABCD.即直线MB为所求两平面的交线.【总结升华】求两平面的交线的突破口是求两个平面的公共点.本题中两平面已有一个公共点B,由于直线D1F与DA在同一平面内不平行,因此,它们的延长线必相交于一点,进而推出该点也为两平面的公共点,这两点确定的直线即为所求.举一反三:【变式1】已知正方体ABCD=A1B1C1D1中,M、N、P分别是棱AB、A1D1、BB1的中点,试作出过M、N、P三点的截面.作法:(1)设M 、N 、P 三点确定的平面为α,则平面α 与平面AA 1B 1B 的交线为直线MP ,设MP ∩A 1B 1=R ,则RN 是平面α与平面A 1B 1C 1D 1的交线,设RN ∩B 1C 1=Q ,连接PQ ,则PQ 是平面α与平面BB 1C 1C 的交线(如右图).(2)设MP ∩A 1A=F ,则FN 是平面α与平面A 1D 1DA 的交线,设FN ∩AD=H ,连接HM ,则HM 是平面α与平面ABCD 的交线.由(1)(2)知平面PMHNQ 就是过M 、N 、P 三点的截面(如右图中阴影部分).【巩固练习】1.用符号表示“点A 在直线l 上,l 在平面α外”,正确的是( )A .A ∈l ,l ∉αB .A ∈l ,l ⊄αC .A ⊂l ,l ⊄αD .A ⊂l ,l ∈α2.下列命题中正确的是( )A.空间不同的三点确定一个平面B.空间两两相交的三条直线确定一个平面C.空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形D.和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内3.过空间任意一点引三条直线,它们所确定的平面个数是( )A .1B .2C .3D .1或34.1111ABCD A B C D -是正方体,O 是11B D 的中点,直线1A C 交平面11AB D 于点M ,则下列结论中错误的是( )A .,,A M O 三点共线B .1,,,M O A A 四点共面C .,,,A O C M 四点共面D .1,,,B B O M 四点共面5.平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,既与AB 共面又与CC 1共面的棱的条数为( ).A .3B .4C .5D .66.若三个平面把空间分成6个部分,那么这三个平面的位置关系是( )A. 三个平面共线B. 有两个平面平行且都与第三个平面相交C. 三个平面共线,或两个平面平行且都与第三个平面相交D.三个平面两两相交.7.关于以下命题:①空间三点确定一个平面;②各边长相等的四边形是平行四边形;③若一条直线与另两条直线都相交,则这三条直线共面;④一直线与两平行直线都相交,则三者共面;⑤若点A 、B 、C 、D 共面,则直线AC 、BD 一定相交;⑥若AC 、BD 相交,则四点一定共面其中正确的命题为________.8.一个平面把空间分成________部分,两个平面最多把空间分成________部分,三个平面最多把空间分成________部分.9.平面α、β相交,在α、β内各取两点,这四点都不在交线上,则这四点能确定________个平面.10.空间有四条交于一点的直线,过其中每两条作一个平面,这样的平面至多有 个.11.画一个正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,再画出平面AC D 1与平面BD C 1的交线,并且说明理由.12.如图,已知EF αβ=I ,A α∈,,C B β∈,BC 与EF 相交,在图中画出平面ABC 分别与,αβ的交线.13.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 为AB 的中点,N 为BB 1的中点,O 为平面BCC 1B 1的中心,过O 求作一直线与AN 交于P ,与CM 交于Q (只写作法,不必证明).【答案与解析】1.【答案】B【解析】 注意点与直线、点与平面之间的关系是元素与集合的关系,直线与平面之间的关系是集合与集合之间的关系.故选B .2.【答案】D【解析】空间不在同一条直线上的三点确定一个平面,故A 错误;空间两两相交的三条直线确定一个或三个平面,故B 错误;空间有三个直角的四边形不一定是平面图形,可能是空间是四边形,如图所示3.【答案】D4.【答案】D【解析】画出正方体1111ABCD A B C D 后,可知D 正确.5.【答案】C【解析】 如右图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1,中,与AB 和CC 1都相交的棱为BC ;与AB 相交且与CC 1平行的棱有AA 1,BB 1;与AB 平行且与CC 1相交的棱有CD ,C 1D 1.因此,符合题意的棱共有5条.故选C .6.【答案】C【解析】 如下图,三个平面相交的截面图是下面两种情况时,把空间分成6个部分.7.【答案】④⑥【解析】借助实物构建模型,便于分析.8.【答案】2 4 89.【答案】1或4【解析】当四点共面时能确定1个平面,若这四点不共面,则任意三点可确定1个平面,故可确定4个平面.10.【答案】6【解析】每两条可作一个平面,4条直线任意组合有6种不同的分法.11.【解析】如图,EF 为所求.12.【解析】 如图,连接CB 与EF 交于点O ,连接AO ,则平面,ABC AO α=I 平面.ABC BC β=I13.【解析】 AN 和CM 是不在同一平面内的两条直线,过O 作直线要与AN 和CM 都相交,应在平面内来作.因此,可先由点O 、A 、N 和O 、C 、M 各确定一个平面α、β.由ON ∥AD 知,AD 与ON 可确定一个平面α.又O 、C 、M 三点可确定一个平面β,如右图所示.∵三个平面α、β和平面ABCD 两两相交,有三条交线,其中交线DA 与交线CM 不平行且共面,∴DA 和CM 必须相交,记交点为Q .∴OQ 是α与β的交线.连接OQ 与AN 交于P ,故OPQ 即为所求作的直线.。
苏教版数学高一必修二 作业 平面的基本性质
1.已知α∩β=m,a⊂α,b⊂β,a∩b=A,则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________.解析:∵a∩b=A,∴A∈a,又a⊂α.∴A∈α,同理A∈β.∴A∈m.答案:A∈m2.已知点A,直线a,平面α.①A∈a,a⊄α⇒A∉α;②A∈a,a∈α⇒A∈α;③A∉a,a⊂α⇒A∉α;④A∈a,a⊂α⇒A ⊂α.以上命题表达正确的个数为________.解析:①中若a与α相交,且交点为A,则不正确;②中“a∈α”符号不正确;③中A可在α内,也可在α外;④符号“A⊂α”不正确.答案:03.一条直线和直线外两点可确定平面的个数是________个.答案:1或24.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为________.(六个面都是平行四边形的四棱柱为平行六面体)解析:如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1,与AB,CC1都共面的棱为BC,D1C1,DC,AA1,BB1,共5条.答案:55.直线AB,AD⊂平面α,直线CB,CD⊂平面β,点E∈AB,点F∈BC,点G∈CD,点H∈DA,若直线EH∩直线FG=M,则点M在________上.解析:由已知得B,D∈平面α,B,D∈平面β,∴α∩β=BD,而E,H分别在AB,DA上,∴直线EH⊂α,同理FG⊂β.又∵直线EH∩直线FG=M,∴M∈EH,M∈FG,∴M∈α,M∈β,∴M∈BD.答案:BD6.如图所示,在正方体中,请画出过A1、B、D三点的截面.解:如图所示,阴影部分即为过三点A1、B、D的截面.7.已知:如图所示,平面α、β、γ满足α∩β=a,β∩γ=b,α∩γ=c,a∩b=A.求证:a,b,c三线交于一点.证明:∵a∩b=A,∴A∈a,A∈b,又α∩β=a,β∩γ=b,∴a⊂α,b⊂γ,∴A∈α,A∈γ.而α∩γ=c,∴A∈c.∴a,b,c相交于点A.8.已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.证明:直线a,b,c和l共面.证明:∵a∥b,∴a,b确定一个平面α,∴A∈α,B∈α,而A,B∈l,∴l⊂α,b⊂α,a⊂α.又a∥c,则a,c确定一个平面β,∴A∈β,C∈β,∴A,C∈l,∴l⊂β.又a⊂β,∴l,a既在平面α内,又在平面β内,而相交直线l,a只能确定一个平面.由推论2得α与β重合.∴l,a,b,c共面.。
1.2.1平面的基本性质 作业 高中数学 必修二 苏教版 含答案
1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.下面判断中正确的是( )A.任意三点确定一个平面B.两条垂直的直线确定一个平面C.一条直线和任一点确定一个平面有素D.与一条直线都相交的三条平行直线共面思路解析:本题只要紧紧围绕着确定平面的条件来逐一判断即可,并且注意全面地考虑问题,从而得到正确的结论.由确定平面的条件不难得知,选D.答案:D2.若两个不重合的平面有公共点,则公共点的个数是( )A.1个B.2个C.1个或无数个D.无数个且在同一条直线上思路解析:利用公理2可知如果两个平面有一个公共点,则它们就一定有一条交线,而线是由无数个点构成的,所以这两个平面有无数个在同一直线上的交点.答案:D3.如图1-2-1所示,请你用符号表示以下各叙述:图1-2-1(1)点A、B在直线a上_____________;(2)直线a在平面α____________内,点C在平面α内____________;(3)点D不在平面α____________内,直线b不在平面α____________内.思路解析:要熟练掌握集合中的符号在表示空间中点、直线、平面的位置关系时的不同意义. 答案:(1)A∈a,B∈a (2)a⊂α C∈a (3)D∉αbα10分钟训练(强化类训练,可用于课中)1.下列说法正确的是( )A.立体图形中的虚线是辅助线B.一张白纸是一个平面C.一个平面将空间分成两个部分D.三点确定一个平面思路解析:立体图形中的虚线和平面几何中不一样,它表示肉眼看不见的线,因此A是错误的;平面具有无限延展性,所以B是错误的;只有不在同一条直线上的三点才能确定一个平面,如果三点共线则可以确定无数个平面,因此D也是错误的.答案:C2.与“直线l上两点A、B在平面α内”含义不同的是( )A.l⊂αB.平面α过直线lC.直线l上只有这两个点在α内D.直线l上所有点都在α内思路解析:据平面的基本性质,一直线上有两点在一个平面内,则这条直线上所有点都在该面内.故A、B、D均与此等价,只有C违背.答案:C3.若a⊂α,b⊂β,α∩β=c,a∩b=M,则( )A.M∈cB.M∉cC.M⊂cD.M c思路解析:注意点、线、面关系的符号表示,结合公理2可知M⊂c.答案:A4.若空间三个平面两两相交,则它们的交线条数是( )A.1或2B.2或3C.1或3D.1或2或3思路解析:若三个平面经过同一直线,则有1条交线;若三个平面不过同一直线,则有3条交线(共点或互相平行).答案:C30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.下列说法正确的是( )A.四边形是平面图形B.有三个公共点的两个平面必重合C.两两相交的三条直线必在同一个平面内D.三角形是平面图形思路解析:空间四边形不是平面图形,故A说法不正确;若三个公共点在一条直线上,则两个平面不一定重合,B也是错误的;C中两两相交的三条直线可能会经过同一点,此时三条直线不一定在同一个平面内,因此选D.答案:D2.正方体ABCD—A1B1C1D1中,P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点,那么,正方体的过P、Q、R的截面图形是( )A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形思路解析:本题主要考查同学们的空间想象能力,作法如下:如上图所示,延长PQ分别交CB、CD的延长线于M、N,连结MR分别交BB1于E,交CC1的延长线于H,连结NH,交D1D、D1C1于F、G,则六边形QPERGF为截面图形.答案:D3.由四条平行直线最多可以确定( )A.两个平面B.四个平面C.五个平面D.六个平面思路解析:本题从确定平面的条件来考虑即可,要使四条平行直线确定平面最多,只有当这四条直线中任意两条所确定的平面互不相同时即为最多,从而得到结果.由确定平面的条件知由四条平行直线最多可以确定六个平面,选D.答案:D4.图1-2-2是一桌子放倒时的示意图,现有足够长的绳子,如何利用它简便地判断桌子的四条腿的底端是否在同一平面内?请将你的判断方法画在图上,并说出判断的重要依据是什么?图1-2-2思路解析:判断四条腿的底端是否在同一平面内,即判断四点共面,可依据确定平面的条件,且要具有可操作性.答案:操作方法:用两根绳子沿四条腿的对角底端拉直,若绳子相交,则说明四点共面,否则不共面.原理是:两相交直线确定一个平面.5.两个平面把空间分成几个部分?三个平面呢?思路解析:两个平面划分空间的情况如下图所示:三个平面划分空间的情况比较复杂,可自己设计模型探索.答案:两个平面将空间分成3或4部分,三个平面可以把空间分成4或6或7或8部分. 6.分别根据下列条件画出相应的图形:(1)P∈α,Q∉α,P∈l,Q∈l;(2)α∩β=l,△ABC顶点A∈l,B∈α,B∉l,C∈β,C∉l.答案:符合条件的图形如下图所示.7.如图1-2-3所示,已知A、B、C是平面α外不共线的三点,并且直线AB、BC、AC分别交α于P、Q、R三点,求证:P、Q、R三点共线.图1-2-3思路解析:欲证P、Q、R三点共线,只需证P、Q、R都在面ABC和平面α的交线上,即只需证P、Q、R为两个平面的公共点.证明点共线问题,一般转化为证明这些点是某两平面的公共点,这样可据公理2证明这些点在两平面的交线上.证明:∵AB∩α=P,AB⊂面ABC,∴P∈面ABC,P∈α.∴P在平面ABC与平面α的交线上.同理,可证Q、R也在平面ABC与α的交线上.∴P、Q、R三点共线.8.如图1-2-4,α∩β=l,梯形ABCD的两底分别为AD、BC,且AB⊂α,CD⊂β,求证:AB 与CD的交点在l上.图1-2-4思路解析:解决点共线和直线共点问题,是平面的性质的应用.直线共点问题的解决步骤:一先说明直线相交,二证明交点也在其他直线上,可以利用公理2进行证明,如本题.证明:因为梯形是平面图形,它的两腰AB与CD不平行,故只能相交,假设交点为M,则M∈AB,又AB⊂α,则M∈α,同理,M∈β,则M∈(α∩β),即M∈l.因此AB与CD的交点在l上.9.求证:若两条平行直线都和同一条直线相交,则这三条直线共面.思路解析:文字命题要注意先书写已知、求证,而后进行证明.本题要求证明三线共面,通常可以先由两条直线确定一个平面,再证其他直线也在这个平面内.答案:如上图,已知直线a、b、l,且a∥b,l∩a=A,l∩b=B,求证:a、b、l共面.证明:∵a∥b,∴直线a、b确定一个平面,设为α.∵l∩a=A,l∩b=B,∴A∈a,B∈b.∴A∈α,B∈α.又∵A∈l,B∈l,∴l⊂α.∴a、b、l共面.。
苏教版数学高一必修2试题 平面的基本性质
1.2.1 平面的基本性质双基达标限时15分钟1.空间首尾相连的四条线段所在直线最多可确定________个平面.解析相邻的两条直线确定一个平面,则可确定4个.答案 42.下列命题中正确的个数是________.①四边相等的四边形是菱形;②若四边形有两个对角都是直角,则这四边形是圆内接四边形;③“平面不经过直线”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”;④若两平面有一条公共直线,则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上.解析①不正确,可用四根火柴摆成空间四边形.②不正确,可用斜边相等的两直角三角板拼一下,或用矩形纸片,沿其对角线折起,看出四点不共面,故不共圆.③正确,公理1l⊂a⇔l上有两点在a内.④正确,公理2.答案 23.有以下3个命题:①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点;②直线l在平面α内,可以用符号“l∈α”表示;③若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交,则α与β相交.其中所有真命题的序号是________.解析若平面外的直线与平面有两个公共点,则这条直线一定在这个平面内,故①正确;直线l在平面α内用符号“⊂”表示,即l⊂α,故②错误;由a与b相交,说明两个平面有公共点,因此一定相交,故①③正确.答案①③4.下列各图是正方体或正四面体,P、Q、R、S分别是所在棱的中点,这四个点共面的图形是________.解析①中,PS∥RQ,②中,PQ∥RS,③中,PQ∥RS,④中的四点不共面.答案 ①②③5.如图所示,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点M ,N ,P ,Q 分别是棱AD ,AB ,B 1C 1,C 1D 1的中点.①直线DB 1在平面MNPQ 上;②平面MNPQ 与平面AA 1D 1D 的交线为MD 1.上述两个命题中,错误的是________.解析 ①显然D ,B 1∉面MNPQ ,∴不正确;②D 1不在面MNPQ 与面AA 1D 1D 的交线上,∴不成立.答案 ①②6.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是B 1C 1和D 1C 1的中点,P 、Q 分别为EF 和BD 的中点,对角线A 1C 与平面EFDB 交于点H ,求证:P 、H 、Q 三点共线.解 ∵EF ∥DB ,∴可确定平面BF ,⎭⎪⎬⎪⎫EF ⊂平面BF P ∈EF ⇒P ∈平面BF. 同理,Q ∈平面BF ,∴P 、H 、Q ∈平面BF.∵A 1C 1∥AC ,∴确定平面A 1C.∵P ∈A 1C 1,Q ∈AC ,H ∈A 1C ,∴P 、H 、Q ∈平面A 1C.∴P 、H 、Q 三点一定在平面BF 与平面A 1C 的交线上, ∴P 、H 、Q 三点共线.综合提高 限时30分钟7.三条直线两两相交,它们可确定平面的个数是________.解析 本题主要考查确定平面问题,关键是想象两两相交的三条直线的状态.三条两两相交的直线可能只有一个交点,也可能有3个交点.若它们只有一个交点,则会有两种情况:(1)共面(如角及其平分线);(2)互不共面(如三棱锥的三条侧棱),则可确定平面的个数是1或3;若它们有3个交点(如三角形的三边),则只能确定一个平面.答案 1或38.平面α∩平面β=l ,点A ∈α,B ∈α,C ∈β,且C ∉l ,AB∩l =R ,过A 、B 、C 三点确定平面γ,则β∩γ=________.解析 ∵AB∩l =R ,∴R ∈l ,R ∈AB.又α∩β=l ,∴l ⊂β,∴R ∈β,R ∈γ,又C ∈β,C ∈γ,∴β∩γ=CR.答案 CR9.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成________部分.解析 三条两两相交的直线把一个平面分成7个部分,如图①,即三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成7部分,如图②.答案 710.一条直线和直线外三个点最多能确定的平面个数是________.解析 考虑空间元素确定平面的问题,关键是怎样保证确定的平面最多.当直线外的三个点能确定平面,且这个平面不经过已知直线时,它们确定的平面最多,此时这条直线和每一个点分别确定一个平面,故共确定4个平面.答案 411.如图,四面体ABCD 中,E 、G 分别为BC 、AB 的中点.点F 在CD 上,点H 在AD 上,且有DF ∶FC =DH ∶HA =3∶2,求证:EF 、GH 、BD 交于一点.证明 ∵DF ∶FC =DH ∶HA =2∶3,∴FH 綉35AC.而EG 綉12AC.∴HF ∥EG ,且EG>HF.EG<HF. ∴E 、F 、G 、H 四点共面,且EF 与GH 一定相交,设交点为P. ∴P 是平面ABD 与平面CBD 的一个公共点,而平面ABD∩平面CBD =BD.∵P ∈BD ,∴EF 、GH 、BD 交于一点.12.已知ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体,点E 在AA 1上,点F 在CC 1上,且AE =FC 1=1,求证:E 、B 、F 、D 1四点共面.证明 如图,在DD 1上取点N ,使DN =1,连结EN 、CN ,则AE =DN =1,CF =ND 1=2.又∵AE ∥DN ,ND 1∥CF ,∴四边形ADNE 、四边形CFD 1N 都为平行四边形.从而EN 綉AD ,FD 1∥CN.又AD 綉BC ,∴EN 綉BC ,故四边形BCNE 是平行四边形.由此推知CN ∥BE ,从而FD 1∥BE.因此,E 、B 、F 、D 1四点共面.13.(创新拓展)在棱长是a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别是AA 1、D 1C 1的中点,过D 、M 、N 三点的平面与平面A 1B 1C 1D 1相交于直线l.(1)画出交线l ;(2)设l∩A 1B 1=P ,求PB 1的长;(3)求点D 1到l 的距离.解 (1)如图,延长DM 交D 1A 1的延长线于点Q ,则点Q 是平面DMN 与平面A 1B 1C 1D 1的一个公共点.连接QN ,则直线QN 就是两平面的交线l.(2)∵M 是AA 1的中点,MA 1∥DD 1,∴A 1是QD 1的中点.又A 1P ∥D 1N ,∴A 1P =12D 1N.∵N 是D 1C 1的中点,∴A 1P =14D 1C 1=a 4, ∴PB 1=A 1B 1-A 1P =34a. (3)过点D 1作D 1H ⊥PN 于点H ,则D 1H 就是点D 1到l 的距离,∵QD 1=2A 1D 1=2a ,D 1N =a 2, ∴D 1H =D 1Q·D 1N QN =2a·a 24a 2+a 24=21717 a. 即点D 1到l 的距离是21717a。
新苏教版高中数学必修二同步练习:1.2.1《平面的基本性质(2)》(含答案)
随堂练习:平面的基本性质
1.空间中,可以确定一个平面的条件是________.(填序号)
①两条直线;②一点和一条直线;③一个三角形;④三个点.
2.已知平面α与平面β、γ都相交,则这三个平面可能的交线有________条.3.空间不共线的四点,可以确定平面的个数是________.
4.下列四个命题:
①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点;
②经过空间任意三点有且只有一个平面;
③过两平行直线有且只有一个平面;
④在空间两两相交的三条直线必共面.
其中正确命题的个数是________.
5.下列命题:
①书桌面是平面;
②有一个平面的长是50 m,宽是20 m;
③平面是绝对的平、无厚度,可以无限延展的抽象数学概念.
其中正确命题的个数为________.
6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC、BD交于点M,E为AB的中点,F为AA1的中点.
求证:(1)C1、O、M三点共线;
(2)E、C、D1、F四点共面.
答案
1.③
2.1或2或3
3.1或4
4.1
5.1
6.证明(1)∵C1、O、M∈平面BDC1,
又C1、O、M∈平面A1ACC1,由公理2知,点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上,∴C1、O、M三点共线.
(2)∵E,F分别是AB,A1A的中点,
∴EF∥A1B.∵A1B∥CD1,∴EF∥CD1.
∴E、C、D1、F四点共面.。
苏教版数学高一-2017高中 必修二训练 平面的基本性质
课时训练5平面的基本性质1.图中表示两个相交平面,其中画法正确的是()解析:对于A,图中没有画出平面α与平面β的交线,另外图中的实、虚线也没有按照画法原则去画,因此A的画法不正确.同样的道理,也可知图形B,C的画法均不正确.选项D的画法正确.答案:D2.下列命题中正确的是()A.如果平面α与平面β相交,那么它们只有有限个公共点B.两个平面的交线可能是一条线段C.两两平行的三条直线确定三个平面D.如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个面就重合为一个面解析:由公理2知A,B不正确;两两平行的三条直线也可能确定一个平面,C不正确.答案:D3.已知点A,直线a,平面α.①A∈a,a⊄α⇒A∉α;②A∈a,a∈α⇒A∈α;③A∉a,a⊂α⇒A∉α;④A∈a,a⊂α⇒A⊂α.以上命题表达正确的个数为()A.0B.1C.2D.3解析:①中若a与α相交,且交点为A,则不正确;②中“a∈α”符号不正确;③中A可在α内,也可在α外;④符号“A⊂α”不正确.答案:A4.(2016安徽蚌埠高二期中)三条两两平行的直线可以确定平面的个数为()A.0B.1C.0或1D.1或3解析:若三条直线在同一个平面内,则此时三条直线只能确定一个平面;若三条直线不在同一个平面内,则此时三条直线能确定三个平面.故选D.答案:D5.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为.(六个面都是平行四边形的四棱柱为平行六面体)解析:如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1,与AB,CC1都共面的棱为BC,D1C1,DC,AA1,BB1,共5条.答案:56.(2016四川德阳高二期中)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G分别为棱BC,C1C,B1C1的中点,O1,O2分别为四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中心,则下列各组中的四个点在同一个平面上的是.(导学号51800110)①A,C,O1,D1;②D,E,G,F;③A,E,F,D1;④G,E,O1,O2.解析:①由题意,O1是AD1的中点,所以O1在平面ACD1内;②因为E,G,F在平面BCC1B1内,D不在平面BCC1B1内,所以D,E,G,F不共面;③由已知可得EF∥AD1,所以A,E,F,D1共面;④连结GO2,交A1D1于点H,则H为A1D1的中点,连结HO1,则HO1∥GE,所以G,E,O1,O2四点共面.答案:①③④7.按照给出的要求,完成下面两个相交平面的作图.如图(1),(2),(3),(4),(5),(6)中的线段AB,分别是两个平面的交线.解本题只需过线段的端点画出与交线AB平行且相等的线段,即可得到相关的平行四边形,注意被平面遮住的部分应画成虚线,然后在相关的平面上标上表示平面的字母即可,如图所示.8.已知△ABC在平面α外,其三边所在的直线满足AB∩α=M,BC∩α=N,AC∩α=P,如图所示,求证:M,N,P 三点共线.证明∵直线AB∩α=M,∴M∈AB,M∈α.又∵直线AB⊂平面ABC,∴M∈平面ABC,∴由此可知M是平面ABC与α的公共点,∴点M在平面ABC与α的交线上,同理可证:N,P也在平面ABC与α的交线上,即M,N,P三点都在平面ABC与α的交线上,∴M,N,P三点共线.9.如右图,课本ABCD的一个角A在桌面上,并且课本立于课桌上,问课本所在的平面α与桌面所在的平面β是只有这一个公共点A吗?要不是,如何作出平面α与平面β的交线?(导学号51800111)解不止一个公共点,除点A外还有公共点.延长线段CD交平面β于点P,作直线PA,即是平面α与平面β的交线,∵P∈CD,CD⊂α,∴P∈α.又∵P∈β,∴P是平面α和平面β的公共点.∵A∈β且A∈α,∴直线PA是平面α与平面β的交线.。
苏教版 高中数学必修第二册 平面的基本性质 课件3
位置关系 点P在直线AB上 点C不在直线AB上 点M在平面AC内 点A1不在平面AC内 直线AB与直线BC交于点B 直线AB在平面AC内 直线AA1不在平面AC内
符号表示 P∈AB C∉AB
M∈平面AC A1∉平面AC AB∩BC=B AB⊂平面AC AA1⊄平面AC
平面的基本性质及作用
基事实 (推论)
法二 (同法一、重合法)∵l1∩l2=A, ∴l1,l2确定一个平面α. ∵l2∩l3=B,∴l2,l3确定一个平面β. ∵A∈l2,l2⊂α,∴A∈α. ∵A∈l2,l2⊂β,∴A∈β. 同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β. ∴不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内. ∴平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.
顶点字母表示(如下面的图形)。
a
b
平面a
D
A
E
C B
F 平面BCF
平面b
平面的画法
我们常用矩形的直观图,即平行四边形表示平面。
画 当平面水平放置 当平面竖直放置
法 时,常把平行四 时,常把平行四
边形的一边画成 边形的一边画成
横向。
竖向。
两个相交平面的 画法
图 示
点、线、面之间的位置关系
点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达
D
C
A
B
l1
l2 A
B
l3 C
2.(多选)下列说法正确的是
√A.平面是处处平的面 √B.平面是无限延展的
C.平面的形状是平行四边形 D.一个平面的厚度可以是0.001 cm
解析 平面是无限延展的,但是没有大小、形状、厚薄,AB两种说法 是正确的; CD两种说法是错误的.
3.若一直线a在平面α内,则正确的作图是
苏教版数学高一必修2学案 平面的基本性质
1.2.1平面的基本性质我们在日常生活中常见到一些物体如湖面、黑板面、桌面、玻璃面,都给我们以平面的感觉.那么我们能够将这些面定义为平面吗?测量中的平板仪、望远镜或照相机等都用三条腿的架子支撑在地面上,你知道其中的道理吗?1.我们知道,几何里的平面是无限延展的,通常把水平的平面画成一个平行四边形,常用符号的规定是:①A∈α,读作:“点A在平面α内”;B∉α,读作:“点B在平面α外或点B不在平面α内”.②A∈l,读作:“点A在直线l上”;B∉l,读作:“点B在直线l外或点B不在直线l上”.③l⊂α,读作:“直线l在平面α内”;l⊄α,读作:“直线l在平面α外或直线l不在平面α内”.2.公理1.(1)文字语言:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.(2)符号语言:A∈l,B∈l,A∈α,B∈α⇒l⊂α.3.公理2.(1)文字语言:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.(2)符号语言:P∈α,P∈β⇒α∩β=l,P∈l.4.公理3.(1)文字语言:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.(2)符号语言:A∈l,B∈l,C∉l⇒三点A、B、C确定唯一平面α.5.推论1:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.6.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.7.推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.,一、公理1公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.该公理是判定直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内,即只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内即可.二、公理2公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.该公理主要用于判定或证明两个平面相交及三点在同一条直线上.证明点共线的问题,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点(依据:由点在线上,线在面内,推出点在面内),这样,可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上.证明共点问题,一般是先证明两条直线交于一点,再证明这点在第三条直线上,而这一点是两个平面的公共点,这第三条直线是这两个平面的交线.三、公理3及其三个推论公理3:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.推论1:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.公理3和三个推论是证明点和点、点和线、线和线共面的重要依据,是把空间问题化归成平面问题的重要渠道.基础巩固知识点一平面的概念及符号表示1.下列说法中,正确的有________(填序号).①一个平面长4 m,宽2 m;②2个平面重叠在一起比一个平面厚;③一个平面的面积是25 cm2;④一条直线的长度比一个平面的长度大;⑤圆和平行四边形都可以表示平面.解析:根据平面定义,前4个说法均不正确,⑤正确.答案:⑤2.点M在直线a上,且直线a在平面α内,可记为________.解析:点、线、面的关系采用集合中的符号来记.答案:M∈a⊂α3.根据下列条件,画出图形:平面α∩平面β=AB,直线CD⊂α,CD∥AB,E∈CD,直线EF∩β=F,F∉AB.解析:由题意画图形如下:知识点二平面基本性质三条公理4.平面α、β有公共点A,则α、β有________个公共点.解析:根据公理2.答案:无数5.如图,平面α∩平面β=l,A、B∈α,C∈β,C∉l,直线AB∩l=D ,过A、B、C三点确定的平面为γ,则平面γ、β的交线必过点________.解析:根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内,故在β与γ的交线上.答案:C和D6.空间任意四点可以确定________个平面.解析:若四点共线,可确定无数个平面;若四点共面不共线,可确定一个平面;若四点不共面,可确定四个平面.答案:1个或4个或无数知识点三平面基本性质三条推论7.下列命题说法正确的是________(填序号).①空间中不同三点确定一个平面;②空间中两两相交的三条直线确定一个平面;③一条直线和一个点能确定一个平面;④梯形一定是平面图形.解析:根据三个公理及推论知①②③均不正确.答案:④8.下列各图的正方体中,P、Q、R、S分别是所在棱的中点,则使这四个点共面的图形是________(把正确图形的序号都填上).解析:①中PS∥RQ,③中SR∥PQ,由推论3知四点共面.答案:①③9.点A在直线l上但不在平面α内,则l与α的公共点有__________个.答案:0或1能力升级综合点一点共线的问题10.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,设A1C∩平面ABC1D1=E,则B、E、D1三点的关系是________________________________.解析:连接AC、A1C1、AC1,则E为A1C与AC1的交点,故E为AC1的中点.又ABC1D1为平行四边形,所以B、E、D1三点共线.答案:共线11.如右图,E、F、G、H分别是空间四边形中AB、BC、CD、DA上的点,且EH与FG交于点O.求证:B、D、O三点共线.证明:∵E∈AB,H∈AD,∴E∈平面ABD,H∈平面ABD.∴EH⊂平面ABD.∵EH∩FG=O,∴O∈平面ABD.同理可证O∈平面BCD.∵平面ABD∩平面BCD=BD,∴O∈BD,即B、D、O三点共线.综合点二线共点问题12.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是棱AA1、AB的中点,求证:D1E、CF、DA三线共点.证明:如图,连接EF,A1B,D1C,∵E、F为AA1、AB的中点,∴EF綊12A1B.又∵A1B綊D1C,∴EF綊12D1C.故直线D1E、CF在同一个平面内,且D1E、CF不平行,则D1E、CF必相交于一点,设该点为M.又∵M∈平面ABCD且M∈平面ADD1A1,∴M∈AD,即D1E、CF、DA三线共点.综合点三点、线共面问题13.下列叙述中,正确的是________(填序号).①若点P在直线l上,点P在直线m上,点P在直线n上,则l、m、n共面;②若点P在直线l上,点P在直线m上,则l、m共面;③若点P不在直线l上,点P不在直线m上,点P不在直线n上,则l、m、n不共面;④若点P不在直线l上,点P不在直线m上,则l、m不共面;⑤若点P在直线l上,点P不在直线m上,则l、m不共面.解析:∵P∈l,P∈m,∴l∩m=P.由推论2知,l、m共面.答案:②综合点四同一法证直线共面14.已知:a∥b∥c,直线l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:a、b、c、l四线共面.证明:∵a∥b,∴a、b确定一个平面α.∵A∈a,B∈b,∴A∈α,B∈α.∴AB⊂α,即l⊂α.同理,由b∥c,得b,c确定一个平面β,可证l⊂β.∴l、b⊂α,l、b⊂β.∵l∩b=B,∴l、b只能确定一个平面.∴α与β重合.故c在平面α内.∴a、b、c、l四线共面.。
苏教版数学高一-16-17苏教版数学必修2检测 第1章1.2-平面的基本性质
第1章立体几何初步1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质A组基础巩固1.下列有关平面的说法正确的是()A.平行四边形是一个平面B.任何一个平面图形都是一个平面C.平静的太平洋面就是一个平面D.圆和平行四边形都可以表示平面解析:我们用平行四边形表示平面,但不能说平行四边形就是一个平面,故A项不正确;平面图形和平面是两个概念,平面图形是有大小的,而平面无法度量,故B项不正确;太平洋面是有边界的,不是无限延展的,故C项不正确;在需要时,除用平行四边形表示平面外,还可用三角形、梯形、圆等来表示平面.答案:D2.如图所示,用符号语言可表示为()A.α∩β=m,n⊂α,m∩n=AB.α∩β=m,n∈a,m∩n=AC.α∩β=m,n⊂α,A⊂m,A⊂nD.α∩β=m,n∈a,A∈m,A∈n解析:α与β交于m,n在α内,m与n交于A.答案:A3.下列说法正确的是()A.经过三点确定一个平面B.两条直线确定一个平面C.四边形确定一个平面D.不共面的四点可以确定4个平面解析:对于A,若三点共线,则错误;对于B项,若两条直线既不平行,也不相交,则错误;对于C项,空间四边形就不只确定一个平面.答案:D4.一条直线和直线外的三点所确定的平面有()A.1个或3个B.1个或4个C.1个,3个或4个D.1个,2个或4个解析:若三点在同一直线上,且与已知直线平行或相交,或该直线在由该三点确定的平面内,则均确定1个平面;若三点有两点连线和已知直线平行时可确定3个平面;若三点不共线,且该直线在由该三点确定的平面外,则可确定4个平面.答案:C5.如图所示,平面α∩平面β=l,A,B∈α,C∈β,C∉l,直线AB∩l=D,过A,B,C三点确定的平面为γ,则平面γ,β的交线必过点________.解析:根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内,故在β与γ的交线上.答案:C和D6.空间任意四点可以确定________个平面.解析:若四点共线,可确定无数个平面;若四点共面不共线,可确定一个平面;若四点不共面,可确定四个平面.答案:1个或4个或无数7.下列命题说法正确的是________(填序号).①空间中两两相交的三条直线确定一个平面;②一条直线和一个点能确定一个平面;③梯形一定是平面图形.解析:根据三个公理及推论知①②均不正确.答案:③8.下列各图的正方体中,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则使这四个点共面的图形是________(把正确图形的序号都填上).解析:①中PS∥RQ,③中SR∥PQ,由推论3知四点共面.答案:①③9.点A在直线l上但不在平面α内,则l与α的公共点有__________个.答案:0或110.根据下列条件,画出图形:平面α∩平面β=AB,直线CD ⊂α,CD∥AB,E∈CD,直线EF∩β=F,F∉AB.解:由题意画出图形如图所示.B级能力提升11.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设A1C∩平面ABC1D1=E,则B,E,D1三点的关系是________________________.解析:连接AC、A1C1、AC1,(图略)则E为A1C与AC1的交点,故E为AC1的中点.又ABC1D1为平行四边形,所以B,E,D1三点共线.答案:共线12.下列叙述中,正确的是________(填序号).①若点P在直线l上,点P在直线m上,点P在直线n上,则l,m,n共面;②若点P在直线l上,点P在直线m上,则l,m共面;③若点P不在直线l上,点P不在直线m上,点P不在直线n 上,则l,m,n不共面;④若点P不在直线l上,点P不在直线m上,则l,m不共面;⑤若点P在直线l上,点P不在直线m上,则l,m不共面.解析:因为P∈l,P∈m,所以l∩m=P.由推论2知,l,m共面.答案:②13.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N,E,F 分别是棱CD,AB,DD1,AA1上的点,若MN与EF交于点Q,求证:D,A,Q三点共线.证明:因为MN∩EF=Q,所以Q∈直线MN,Q∈直线EF.又因为M∈直线CD,N∈直线AB,CD⊂平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以M,N⊂平面ABCD.所以MN⊂平面ABCD.所以Q∈平面ABCD.同理,可得EF⊂平面ADD1A1.所以Q∈平面ADD1A1.又因为平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,所以Q∈直线AD,即D,A,Q三点共线.14.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1,AB的中点,求证:D1E,CF,DA三线共点.证明:如图所示,连接EF,A1B,D1C,因为E,F为AA1,AB的中点,所以EF綊12A1B.又因为A1B綊D1C,所以EF綊12D1C.故直线D1E,CF在同一个平面内,且D1E,CF不平行,则D1E,CF必相交于一点,设该点为M.又因为M∈平面ABCD且M∈平面ADD1A1,所以M∈AD,即D1E、CF、DA三线共点.15.如图所示,在四面体ABCD中,E,G,H,F分别为BC,AB,AD,CD上的点,EG∥HF,且HF<EG.求证:EF,GH,BD 交于一点.证明:因为EG∥HF,所以E,F,H,G四点共面,又HF<EG,所以四边形EFHG是一个梯形.如图所示,延长GH和EF交于一点O,因为GH在平面ABD内,EF在平面BCD内,所以点O既在平面ABD内,又在平面BCD内.所以点O在这两个平面的交线上,而这两个平面的交线是BD,且交线只有这一条.所以点O在直线BD上.所以GH和EF的交点在BD上,即EF,GH,BD交于一点.16.已知:如图所示,a∥b∥c,直线l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:a,b,c,l四线共面.证明:因为a∥b,所以a,b确定一个平面α.因为A∈a,B∈b,所以A∈α,B∈α.所以AB⊂α,即l⊂α.同理,由b∥c,得b,c确定一个平面β,可证l⊂β.所以l,b⊂α,l,b⊂β.因为l∩b=B,所以l,b只能确定一个平面.所以α与β重合.故c在平面α内.所以a,b,c,l四线共面.。
高中数学 1.2.1平面的基本性质课时作业 苏教版必修2
1.2.1 平面的基本性质【课时目标】 1.了解平面的概念及表示法.2.了解公理1、2、3及推论1、2、3,并能用文字语言、图形语言和符号语言分别表述.1.公理1:如果一条直线上的________在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.用符号表示为:________________.2.公理2:如果________________________________,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的______________.用符号表示为:⎭⎪⎬⎪⎫P∈αP∈β⇒α∩β=l 且P∈l. 3.公理3:经过不在同一条直线上的三点,________________________.公理3也可简单地说成,不共线的三点确定一个平面.(1)推论1 经过________________________________________,有且只有一个平面. (2)推论2 经过____________,有且只有一个平面. (3)推论3 经过____________,有且只有一个平面.一、填空题 1.下列命题:①书桌面是平面;②8个平面重叠起来,要比6个平面重叠起来厚;③有一个平面的长是50 m,宽是20 m;④平面是绝对的平、无厚度,可以无限延展的抽象数学概念.其中正确命题的个数为________.2.若点M在直线b上,b在平面β内,则M、b、β之间的关系用符号可记作____________.3.已知平面α与平面β、γ都相交,则这三个平面可能的交线有________条.4.已知α、β为平面,A、B、M、N为点,a为直线,下列推理错误的是__________(填序号).①A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂β;②M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=MN;③A∈α,A∈β⇒α∩β=A;④A、B、M∈α,A、B、M∈β,且A、B、M不共线⇒α、β重合.5.空间中可以确定一个平面的条件是________.(填序号)①两条直线;②一点和一直线;③一个三角形;④三个点.6.空间有四个点,如果其中任意三个点不共线,则经过其中三个点的平面有__________个.7.把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上.(1)AD/∈α,a⊂α________.(2)α∩β=a,PD/∈α且PD/∈β________.(3)a⊄α,a∩α=A________.(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O________.8.已知α∩β=m,a⊂α,b⊂β,a∩b=A,则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________.9.下列四个命题:①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点;②经过空间任意三点有且只有一个平面;③过两平行直线有且只有一个平面;④在空间两两相交的三条直线必共面.其中正确命题的序号是________.二、解答题10.如图,直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线,并说明理由.11.如图所示,四边形ABCD中,已知AB∥CD,AB,BC,DC,AD(或延长线)分别与平面α相交于E,F,G,H,求证:E,F,G,H必在同一直线上.能力提升12.空间中三个平面两两相交于三条直线,这三条直线两两不平行,证明三条直线必相交于一点.13.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC、BD交于点M,E为AB的中点,F为AA1的中点.求证:(1)C1、O、M三点共线;(2)E、C、D1、F四点共面;(3)CE、D1F、DA三线共点.1.证明几点共线的方法:先考虑两个平面的交线,再证有关的点都是这两个平面的公共点,或先由某两点作一直线,再证明其他点也在这条直线上.2.证明点线共面的方法:先由有关元素确定一个基本平面,再证其他的点(或线)在这个平面内;或先由部分点线确定平面,再由其他点线确定平面,然后证明这些平面重合.注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用.3.证明几线共点的方法:先证两线共点,再证这个点在其他直线上,而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线.§1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质答案知识梳理1.两点⎭⎪⎬⎪⎫A∈αB∈α⇒AB ⊂α 2.两个平面有一个公共点 一条直线 3.有且只有一个平面 (1)一条直线和这条直线外的一点 (2)两条相交直线 (3)两条平行直线作业设计 1.1解析 由平面的概念,它是平滑、无厚度、可无限延展的,可以判断命题④正确,其余的命题都不符合平面的概念,所以命题①、②、③都不正确.2.M∈b ⊂β 3.1,2或3 4.③解析 ∵A∈α,A∈β,∴A∈α∩β.由公理可知α∩β为经过A 的一条直线而不是A . 故α∩β=A 的写法错误. 5.③ 6.1或4解析 四点共面时有1个平面,四点不共面时有4个平面. 7.(1)C (2)D (3)A (4)B 8.A∈m解析 因为α∩β=m ,A∈a ⊂α,所以A∈α, 同理A∈β,故A 在α与β的交线m 上. 9.③10.解 很明显,点S 是平面SBD 和平面SAC 的一个公共点,即点S 在交线上,由于AB>CD ,则分别延长AC 和BD 交于点E ,如图所示.∵E∈AC,AC ⊂平面SAC , ∴E∈平面SAC .同理,可证E∈平面SBD .∴点E 在平面SBD 和平面SAC 的交线上,连结SE , 直线SE 是平面SBD 和平面SAC 的交线. 11.证明 因为AB∥CD,所以AB ,CD 确定平面AC ,AD∩α=H ,因为H∈平面AC ,H∈α,由公理3可知,H 必在平面AC 与平面α的交线上.同理F 、G 、E 都在平面AC 与平面α的交线上,因此E ,F ,G ,H 必在同一直线上.12.证明∵l 1⊂β,l 2⊂β,l 1P l 2,∴l 1∩l 2交于一点,记交点为P . ∵P∈l 1⊂β,P∈l 2⊂γ, ∴P∈β∩γ=l 3,∴l 1,l 2,l 3交于一点.13.证明 (1)∵C 1、O 、M∈平面BDC 1,又C 1、O 、M∈平面A 1ACC 1,由公理3知,点C 1、O 、M 在平面BDC 1与平面A 1ACC 1的交线上,∴C 1、O 、M 三点共线.(2)∵E,F 分别是AB ,A 1A 的中点, ∴EF∥A 1B .∵A 1B∥CD 1,∴EF∥CD 1. ∴E、C 、D 1、F 四点共面.(3)由(2)可知:四点E 、C 、D 1、F 共面.又∵EF=12A 1B .∴D 1F ,CE 为相交直线,记交点为P . 则P∈D 1F ⊂平面ADD 1A 1, P∈CE ⊂平面ADCB .∴P∈平面ADD 1A 1∩平面ADCB =AD . ∴CE 、D 1F 、DA 三线共点.。
数学·必修2(苏教版)练习第1章1.2-1.2.1平面的基本性质 Word版含解析
第章立体几何初步点、线、面之间的位置关系平面的基本性质组基础巩固.下列有关平面的说法正确的是( ).平行四边形是一个平面.任何一个平面图形都是一个平面.平静的太平洋面就是一个平面.圆和平行四边形都可以表示平面解析:我们用平行四边形表示平面,但不能说平行四边形就是一个平面,故项不正确;平面图形和平面是两个概念,平面图形是有大小的,而平面无法度量,故项不正确;太平洋面是有边界的,不是无限延展的,故项不正确;在需要时,除用平行四边形表示平面外,还可用三角形、梯形、圆等来表示平面.答案:.如图所示,用符号语言可表示为( ).α∩β=,⊂α,∩=.α∩β=,∈,∩=.α∩β=,⊂α,⊂,⊂.α∩β=,∈,∈,∈解析:α与β交于,在α内,与交于.答案:.下列说法正确的是( ).经过三点确定一个平面.两条直线确定一个平面.四边形确定一个平面.不共面的四点可以确定个平面解析:对于,若三点共线,则错误;对于项,若两条直线既不平行,也不相交,则错误;对于项,空间四边形就不只确定一个平面.答案:.一条直线和直线外的三点所确定的平面有( ).个或个.个或个.个,个或个.个,个或个解析:若三点在同一直线上,且与已知直线平行或相交,或该直线在由该三点确定的平面内,则均确定个平面;若三点有两点连线和已知直线平行时可确定个平面;若三点不共线,且该直线在由该三点确定的平面外,则可确定个平面.答案:.如图所示,平面α∩平面β=,,∈α,∈β,∉,直线∩=,过,,三点确定的平面为γ,则平面γ,β的交线必过点.解析:根据公理判定点和点既在平面β内又在平面γ内,故在β与γ的交线上.答案:和.空间任意四点可以确定个平面.。
苏教版数学高一《平面的基本性质》 精品测试
1.下列说法:①公理1可用集合符号叙述为:若A∈l,B∈l且A∈α,B∈α,则必有l∈α;②四边形的两条对角线必相交于一点;③用平行四边形表示的平面以平行四边形的四条边作为平面的边界线;④梯形是平面图形.其中正确的说法个数为________.解析:对于①,直线l在α内应表示为l⊂α;对于②,当四边形的四个顶点不共面时,对角线不交于一点;对于③,平面具有无限延展性,无边界;对于④,由平行的两条边确定平面,再由公理1知,梯形的腰也在这个平面内.故④正确.答案:12.在图中,A________平面ABC;A________平面BCD;BD________平面ABD;BD________平面ABC;平面ABC∩平面ACD=______;________∩________=BC.解析:表示点在平面内或点在直线上用“∈”,表示点在平面外或点在直线外用“∉”,表示直线在平面内用“⊂”,表示直线不在平面内用“⊄”.答案:∈∉⊂⊄AC平面ABC平面BCD3.两个平面的公共点的个数为________.解析:两个平面平行时,无公共点;两个平面相交时,有无数个公共点.答案:0或无数4.空间有四个点,如果其中任意三点都不共线,那么经过其中三个点的平面有________个.解析:当四点共面时,经过三点的平面有1个;四点不共面时,经过其中的三点可画四个平面.答案:一或四一、填空题1.下列说法中正确的个数为________.①过三点至少有一个平面;②过四点不一定有一个平面;③不在同一平面内的四点最多可确定4个平面.解析:①正确,其中三点不共线时,有且仅有一个平面.三点共线时,有无数个平面;②正确,四点不一定共面;③正确.答案:32.①两组对边分别平行的四边形是平行四边形;②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;③两组对边分别相等的四边形是平行四边形;④对角线互相平分的四边形是平行四边形.空间中,上述四个结论一定成立的是________(填上所有你认为正确的命题的序号).解析:空间中,两组对边分别相等的四边形不一定是平行四边形,如图所示.答案:①②④3.设平面α与平面β相交于l,直线a⊂α,直线b⊂β,a∩b=M,则M________l.解析:因为a∩b=M,a⊂α,b⊂β,所以M∈α,M∈β,又因为α∩β=l,所以M∈l.答案:∈4.在四面体ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点,如果EF∩GH =P,则点P一定在直线______上.解析:∵EF∩GH=P,EF⊂平面ABC,∴P∈平面ABC.又GH⊂平面ACD,∴P∈平面ACD.∵平面ABC∩平面ACD=AC,∴P∈AC.答案:AC5.正方体各面所在的平面可将空间分成________个部分.解析:正方体的各个面所在平面将空间分成三层,且每层被分成9部分,故共分成27部分.答案:276.A、B、C、D为不共面的四点,E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上,(1)如果EH∩FG=P,那么点P在________上;(2)如果EF∩GH=Q,那么点Q在________上.解析:(1)如图,由AB、AD确定平面α.∵E、H在AB、DA上,∴E∈α,H∈α,∴直线EH⊂α,又∵EH∩FG=P,∴P∈EH,P∈α.设BC、CD确定平面β,同理可证,P∈β,∴P是平面α,β的公共点,∵α∩β=BD,∴点P在直线BD上.同理可证(2)的结论.答案:(1)BD所在的直线(2)AC所在的直线7.已知平面α、β,直线l,点A、B、C,它们满足:α∩β=l,A∈α,B∈α,C∈β,且C∉α,又直线AB∩l=D,A、B、C三点确定的平面为γ,则平面β与平面γ的交线是________.解析:∵D∈l,l⊂β,∴D∈β,又C∈β,γ由A、B、C三点确定,∴AB⊂γ,C∈γ,又D∈AB,∴D∈γ,∴CD是β与γ的交线.答案:直线CD8.设平面α与平面β交于直线l,A∈α,B∈β,且直线AB∩l=C,则直线AB∩β=________.解析:∵α∩β=l,AB∩l=C,∴C∈β,C∈AB,∴AB∩β=C.答案:C9.在如图所示的正方体中,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则使这四个点共面的图是________(填序号).解析:(1)图中PS∥QR,∴P、Q、R、S四点共面;(3)图中SR∥PQ,∴P、Q、R、S四点共面.答案:(1)(3)二、解答题10.如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.解:题图(1)中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.题图(2)中,α∩β=l,a⊂α,b⊂β,a∩l=P,b∩l=P.11.已知A、B、C是平面α外不共线的三点,且AB、BC、CA分别与α交于点E、F、G,求证:E、F、G三点共线.证明:如图,过A、B、C作一平面β,则AB⊂β,AC⊂β,BC⊂β.∴E∈β,F∈β,G∈β.设α∩β=l,∵AB、BC、CA分别与α相交于点E、F、G,∴E∈α,F∈α,G∈α.∴E、F、G必在α与β的交线上.∴E、F、G三点共线.12.如图,△ABC与△A1B1C1不全等,且A1B1∥AB,B1C1∥BC,C1A1∥CA.求证:AA1、BB1、CC1交于一点.证明:如图所示,∵A1B1∥AB,∴A1B1与AB确定一平面α,同理,B1C1与BC确定一平面β,C1A1与CA确定一平面γ.易知β∩γ=C1C.又△ABC与△A1B1C1不全等,∴AA1与BB1相交,设交点为P,P∈AA1,P∈BB1.而AA1⊂γ,BB1⊂β,∴P∈γ,P∈β,∴P在平面β与平面γ的交线上.又β∩γ=C1C,根据公理2知,P∈C1C,∴AA1、BB1、CC1交于一点.。
高中数学第13章立体几何初步13.2.1平面的基本性质含解析苏教版第二册
课时分层作业(二十八) 平面的基本性质(建议用时:40分钟)1.下面是四个命题的叙述(其中A,B表示点,a表示直线,α表示平面),其中叙述方式和推理都正确的是()A.A⊂α,B⊂α,∴AB⊂αB.∵A∈α,B∈α,∴AB∈αC.∵A∉α,a⊂α,∴A∉aD.∵AB⊄α,∴A∉αC[A错,应写为A∈α,B∈α;B错,应写为AB⊂α;C对.D 错,A有可能在α内.]2.空间四点A,B,C,D共面而不共线,那么这四点中()A.必有三点共线B.必有三点不共线C.至少有三点共线D.不可能有三点共线B[如图(1)(2)所示,A、C、D均不正确,只有B正确,如图(1)中A,B,D不共线.(1)(2)]3.如图所示,ABCD。
A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论错误的是()A.A,M,O三点共线B.A,M,O,A1四点共面C.A,O,C,M四点共面D.B,B1,O,M四点共面D[因为A,M,O三点既在平面AB1D1内,又在平面AA1C内,故A,M,O三点共线,从而易知A、B、C均正确.]4.下列图形均表示两个相交平面,其中画法正确的是()A B C D[答案]D5.如图所示的正方体中,P,Q,M,N分别是所在棱的中点,则这四个点共面的图形是()A B C DA[图形A中,连接MN,PQ(图略),则由正方体的性质得MN∥PQ。
根据推论3可知两条平行直线可以确定一个平面,故图形A正确.分析可知图形B、C、D中这四点均不共面.]二、填空题6.经过空间任意三点可以作________个平面.一个或无数[若三点不共线,只可以作一个平面;若三点共线,则可以作出无数个平面.]7.设平面α与平面β相交于l,直线a⊂α,直线b⊂β,a∩b=M,则M________l。
∈[因为a∩b=M,a⊂α,b⊂β,所以M∈α,M∈β。
又因为α∩β=l,所以M∈l。
]8.若直线l与平面α相交于点O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,则O,C,D三点的位置关系是________.共线[∵AC∥BD,∴AC与BD确定一个平面,记作平面β,则α∩β=CD.∵l∩α=O,∴O∈α.又∵O∈AB⊂β,∴O∈直线CD,∴O,C,D三点共线.]三、解答题9.如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H 分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2。
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1.2.1 平面的基本性质
一、填空题
1.已知α∩β=l,m⊂α,n⊂β,m∩n=P,则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为________.
【解析】∵α∩β=l,m⊂α,n⊂β,m∩n=P,
∴P∈m,P∈n,P∈α,P∈β,∴P∈l.
【答案】P∈l
2.经过空间任意三点可以作________个平面.
【解析】若三点不共线,只可以作一个平面;若三点共线,则可以作出无数个平面.【答案】一个或无数
3.已知α、β为平面,A、B、M、N为点,a为直线,下列推理错误的是__________.
①A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂β;
②M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=MN;
③A∈α,A∈β⇒α∩β=A;
④A、B、M∈α,A、B、M∈β,且A、B、M不共线⇒α、β重合.
【解析】
图1-2-8
∵A∈α,A∈β,∴A∈α∩β,由公理知α∩β为经过A的一条直线而不是一个点A,故③错误.
【答案】③
4.看图填空:
(1)AC∩BD=________;
(2)平面AA1B1B∩平面A1B1C1D1=________;
(3)平面A1C1CA∩平面ABCD=________;
(4)平面A1C1CA∩平面D1B1BD=________;
(5)平面A1B1C1D1∩平面AA1B1B∩平面BB1C1C=________;
(6)A1B1∩B1B∩B1C1=________.
【答案】(1)O(2)A1B1(3)AC(4)OO1(5)B1(6)B1
5.空间中可以确定一个平面的条件是________.(填序号)
①两条直线;②一点和一直线;③一个三角形;④三个点
【解析】①不正确,由于两条直线的位置关系不明确,故无法判断其能否确定一个平面;②不正确,只有当点在直线外时才满足题意;③正确,由公理3可知其正确;④不正确,只有在三点不共线时,才合题意.
【答案】③
图1-2-9
6.如图1-2-9所示,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论错误的是________.
①A、M、O三点共线;
②A、M、O、A1四点共面;
③A、O、C、M四点共面;
④B、B1、O、M四点共面.
【解析】因为A、M、O三点既在平面AB1D1内,又在平面AA1C内,故A、M、O 三点共线,从而易知①②③均正确.
【答案】④
7.如图所示的正方体中,P、Q、M、N分别是所在棱的中点,则这四个点共面的图形是________.(把正确图形的序号都填上)
图1-2-10
【解析】图形①中,连结MN,PQ,则由正方体的性质得MN∥PQ.根据推论3可知两条平行直线可以确定一个平面,故图形①正确,分析可知图形②④中这四点均不共面.③中4点恰是正六边形的4点,故③正确.
【答案】①③
8.三个平面把空间分成7部分时,它们的交线有________条.
【解析】如图所示,利用投影的观点,把平面视作三条线,则它们的交线有3条.【答案】 3
二、解答题
9.证明:两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.
【解】已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.
求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.
证明:∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3=B,∴B∈l2,又∵l2⊂α,∴B∈α.
同理可证C∈α.又∵B∈l3,C∈l3,∴l3⊂α.
故直线l1,l2,l3在同一平面内.
10.如图1-2-11,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,E、F分别是棱AA′、CC′的中点,试画出平面D′EF与平面ABCD的交线.
图1-2-11
【解】依据公理2,应找出平面D′EF和平面ABCD的两个公共点.延长D′E交DA 的延长线于点M,延长D′F交DC的延长线于点N,则M、N就是平面D′EF与平面ABCD 的两个公共点,直线MN就是两个平面的交线.
图1-2-12
11.在正方体AC1中,E,F分别为D1C1、B1C1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,如图1-2-12.
(1)求证:D、B、E、F四点共面;
(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置.
【解】(1)由于CC1和BF在同一个平面内且不平行,故必相交.设交点为O,则OC1=C1C.同理直线DE与CC1也相交,设交点为O′,则O′C1=C1C,故O′与O重合.由此可证得DE∩BF=O,故D、B、F、E四点共面(设为α).
(2)由于AA1∥CC1,所以A1、A、C、C1四点共面(设为β).P∈BD,而BD⊂α,故P∈α.
又P∈AC,而AC⊂β,所以P∈β,
所以P∈α∩β,同理可证得Q∈α∩β,从而有α∩β=PQ.
又因为A1C⊂β,
所以A1C与平面α的交点就是A1C与PQ的交点,连结A1C,则A1C与PQ的交点R 就是所求的交点.。