苏教版数学高一必修2试题 平面的基本性质 (3)

1.2.1 平面的基本性质

一、填空题

1．已知α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为________．

【解析】∵α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，

∴P∈m，P∈n，P∈α，P∈β，∴P∈l.

【答案】P∈l

2．经过空间任意三点可以作________个平面．

【解析】若三点不共线，只可以作一个平面；若三点共线，则可以作出无数个平面．【答案】一个或无数

3．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是__________．

①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β；

②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN；

③A∈α，A∈β⇒α∩β＝A；

④A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合．

【解析】

图1－2－8

∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β，由公理知α∩β为经过A的一条直线而不是一个点A，故③错误．

【答案】③

4．看图填空：

(1)AC∩BD＝________；

(2)平面AA1B1B∩平面A1B1C1D1＝________；

(3)平面A1C1CA∩平面ABCD＝________；

(4)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝________；

(5)平面A1B1C1D1∩平面AA1B1B∩平面BB1C1C＝________；

(6)A1B1∩B1B∩B1C1＝________.

【答案】(1)O(2)A1B1(3)AC(4)OO1(5)B1(6)B1

5．空间中可以确定一个平面的条件是________．(填序号)

①两条直线；②一点和一直线；③一个三角形；④三个点

【解析】①不正确，由于两条直线的位置关系不明确，故无法判断其能否确定一个平面；②不正确，只有当点在直线外时才满足题意；③正确，由公理3可知其正确；④不正确，只有在三点不共线时，才合题意．

【答案】③

图1－2－9

6．如图1－2－9所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是________．

①A、M、O三点共线；

②A、M、O、A1四点共面；

③A、O、C、M四点共面；

④B、B1、O、M四点共面．

【解析】因为A、M、O三点既在平面AB1D1内，又在平面AA1C内，故A、M、O 三点共线，从而易知①②③均正确．

【答案】④

7．如图所示的正方体中，P、Q、M、N分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________．(把正确图形的序号都填上)

图1－2－10

【解析】图形①中，连结MN，PQ，则由正方体的性质得MN∥PQ.根据推论3可知两条平行直线可以确定一个平面，故图形①正确，分析可知图形②④中这四点均不共面．③中4点恰是正六边形的4点，故③正确．

【答案】①③

8．三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有________条．

【解析】如图所示，利用投影的观点，把平面视作三条线，则它们的交线有3条．【答案】 3

二、解答题

9．证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．

【解】已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.

求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．

证明：∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.

∵l2∩l3＝B，∴B∈l2，又∵l2⊂α，∴B∈α.

同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.

故直线l1，l2，l3在同一平面内．

10．如图1－2－11，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E、F分别是棱AA′、CC′的中点，试画出平面D′EF与平面ABCD的交线．

图1－2－11

【解】依据公理2，应找出平面D′EF和平面ABCD的两个公共点．延长D′E交DA 的延长线于点M，延长D′F交DC的延长线于点N，则M、N就是平面D′EF与平面ABCD 的两个公共点，直线MN就是两个平面的交线．

图1－2－12

11．在正方体AC1中，E，F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，如图1－2－12.

(1)求证：D、B、E、F四点共面；

(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置．

【解】(1)由于CC1和BF在同一个平面内且不平行，故必相交．设交点为O，则OC1＝C1C.同理直线DE与CC1也相交，设交点为O′，则O′C1＝C1C，故O′与O重合．由此可证得DE∩BF＝O，故D、B、F、E四点共面(设为α)．

(2)由于AA1∥CC1，所以A1、A、C、C1四点共面(设为β)．P∈BD，而BD⊂α，故P∈α.

又P∈AC，而AC⊂β，所以P∈β，

所以P∈α∩β，同理可证得Q∈α∩β，从而有α∩β＝PQ.

又因为A1C⊂β，

所以A1C与平面α的交点就是A1C与PQ的交点，连结A1C，则A1C与PQ的交点R 就是所求的交点.