第十五章 压杆稳定(H).PPT
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压杆稳定解析课件
160.3
查表13-1,得 0.276， 与 0.289 相差不大
故可选28a工字钢,校核其稳定性
F 45.1MPa [ ] 46.92MPa
A
例6： 图示梁杆结构，材料均为Q235钢。AB梁为14号
工字钢，BC杆为 d＝20mm的圆杆。已知： F=25kN，
l1=1.25m，l2=0.55m，E=206GPa，p=200MPa， s=235MPa，n=1.4，nst=1.8。求校核该结构是否安全。
二﹑欧拉公式应用中的几个问题
（1）Fcr与EI成正比，与l2 成反比，且与杆端约束有 关。 Fcr越大，压杆稳定性越好，越不容易失稳；
（2）杆端约束情况对Fcr的影响，是 通过长度系数μ来实现的。要根据实 际情况选择适当的μ 。
（3）当压杆在两个形心主惯性平面内 的杆端约束情况相同时，则失稳一定 发生在最小刚度平面，即I 最小的纵 向平面。
y z x
轴销
y z
x
轴销
解：xy面内，两端视作铰支，μ = 1，iz = 4.14 cm
z
l
iz
1 2 4.14 102
48.3
y z
x
轴销
xz面内，两端视作固定端，μ = 0.5，查表iy= 1.52cm
y
l
iy
0.5 2 1.52 102
65.8
显然 z y
压杆将在xz平面内失稳 而 p 100，u s 60
lw
x
O
y
M(x) Fcr=F
w
w = Asinkx +Bcoskx （d）
Fcr
k2=Fcr / EI 两个边界条件:
w = Asinkx +Bcoskx
查表13-1,得 0.276， 与 0.289 相差不大
故可选28a工字钢,校核其稳定性
F 45.1MPa [ ] 46.92MPa
A
例6： 图示梁杆结构，材料均为Q235钢。AB梁为14号
工字钢，BC杆为 d＝20mm的圆杆。已知： F=25kN，
l1=1.25m，l2=0.55m，E=206GPa，p=200MPa， s=235MPa，n=1.4，nst=1.8。求校核该结构是否安全。
二﹑欧拉公式应用中的几个问题
（1）Fcr与EI成正比，与l2 成反比，且与杆端约束有 关。 Fcr越大，压杆稳定性越好，越不容易失稳；
（2）杆端约束情况对Fcr的影响，是 通过长度系数μ来实现的。要根据实 际情况选择适当的μ 。
（3）当压杆在两个形心主惯性平面内 的杆端约束情况相同时，则失稳一定 发生在最小刚度平面，即I 最小的纵 向平面。
y z x
轴销
y z
x
轴销
解：xy面内，两端视作铰支，μ = 1，iz = 4.14 cm
z
l
iz
1 2 4.14 102
48.3
y z
x
轴销
xz面内，两端视作固定端，μ = 0.5，查表iy= 1.52cm
y
l
iy
0.5 2 1.52 102
65.8
显然 z y
压杆将在xz平面内失稳 而 p 100，u s 60
lw
x
O
y
M(x) Fcr=F
w
w = Asinkx +Bcoskx （d）
Fcr
k2=Fcr / EI 两个边界条件:
w = Asinkx +Bcoskx
压杆稳定(10年)解析PPT课件
(3)当增大P至某一值 Pcr 时: 小的横向干扰 就会使杆失稳;
Pcr: 临界载荷（critical load)
扰动的种类：小的横向力；杆件表面凹坑； 杆件初始曲率等。
扰动是失稳的外因，杆件在外载作用下处于临界状态是内因。
2020年9月28日
14
P
P
压杆的实验观察
横向扰动
横向扰动
测试二
(1)将杆加粗或变短， 杆不容易失稳。
P Pcr 理想压杆曲线 B
实际压杆实验曲线
O
2020年9月28日
ymax
24
讨论
4. 精确微分方程
y
M
(1
y2
3
)2
EI
P
P Pcr
P Pcr
精确微分方程
P1.01P5cr
B
近似微分方程
实际压杆实验曲线
③稳定性 外力—?—稳定性条件
失去稳定性 后果更严重!
2020年9月28日
12
稳定性: 指平衡状态的稳定性 1.稳定平衡与不稳定平衡
不稳定平衡
2020年9月28日
稳定平衡
13
压杆的实验观察
测试一
P
(1) P=0或为拉时: 小的横向干扰不会使杆
离开起初始平衡位置(或失稳);
横向扰动 (2)增大P: 小的横向干扰仍不会使杆失稳;
2020年9月28日
1
第15章 压杆稳定
15.1 压杆稳定的概念 15.2 两端铰支细长压杆的临界力 15.3 两端约束不同时的临界力 15.4 临界力、经验公式、临界力总图 15.5 压杆的稳定校核 15.6 压杆稳定计算的折减系数法 15.7 提高压杆稳定性的措施
工程力学第十五章
三、其它支承情况下，压杆临界载荷的欧拉公式
用形状比较法
1〕一端固定、一端自由的压杆
挠曲线形状可以看出：长为 l的一端固定、另一端自由的
压杆，与长为 2的l 两端铰支压杆相当；
Fcr
2 EI
( 2l )2
2〕两端固定的压杆
Fcr
2EI
( 0.5l )2
3〕一端固定、一端铰支的压杆
Fcr
2EI
如内燃机的连杆、千斤顶螺杆等
〔一〕中等柔度杆(中长杆)
o p
这类压杆失稳时，横截面上的应力已超过比例极限，故
属于弹塑性稳定问题，用经历公式求。
由合金钢、铝合金、铸铁与松木等制作的非细长压杆，
可采用直线型经历公式 c ra b 1 8 5
式中a、b为与材料性能有关的常数。见教材表15-2
由〔对对式二塑脆〔〕性性1小材5材柔-料8料度〕：：杆求〔得ccr短r：粗杆塑脆sb〕性性时材材料发柔料生度0强为度中00 破 长a坏 杆a， 柔bb其 度sb相 的应 下的 限
w Asinx 半个正弦曲线
l
在
x
处l ，有最大挠度 2
wm。ax A
理想压杆：材料绝对理想；轴线为直线；压力绝对沿轴线 作用。
对实际使用的压杆，轴线的初曲率、压力的偏心、材料的 缺陷和不均匀等因素总是存在的，为非理想受压直杆.
二、此公式的应用条件
1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.两端为铰支座。
这类压杆将发生强度失效，而不是失稳，属于压缩强度破
坏问题。
塑性材料
cr
F A
s
脆性材料
cr
F A
b
临界应力总图
对构造钢与低合金构造钢等材料制作的非细长压杆,可采用 抛物线型经历公式
工程力学15-压杆稳定详解
稳的最小轴向压力（推导临界压力用） 11
§15-3 临界载荷的欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界载荷
1、挠曲线近似微分方程： EIy" M(x) Fy
引用记号：k 2 F y" k 2 y 0 EI
2、该微分方程的通解为
y Asin kx Bcoskx
压 杆
式中A、B为积分常数
在
微
3、杆的边界条件
FN
5 2
F
150kN
2.CD杆的临界压力：
xA A
C
F
B
yA 2m
3m FN
I (D4 d 4 ) (1004 804 ) 1012 2.9 106 m4
64
64
2.9106 mm4
16
Fcr
2
l
EI
2
2
200103 2.9 3.52 106
106
467103 N 467kN
态
FFF===cccr
rr
b) 微
弯 F1
平 衡
F>FF>cFr cr
c)
失 稳
F1
干扰力去除后恢 复直线状态
干扰力去除后 保持微弯
干扰力去除后继续 变形，直至倒塌
1．临界状态： 由稳定平衡向微弯平衡过度的状态。
2．临界载荷Fcr： 保 持 压 杆 稳 定 的 最 大 轴 向 压 力 ， 使 压 杆 失
公式。
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
L
P
P
EIyM (x)PyM
M0
令:k 2 P
EI
x
Px
y k 2 y k 2 M
M0
y
§15-3 临界载荷的欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界载荷
1、挠曲线近似微分方程： EIy" M(x) Fy
引用记号：k 2 F y" k 2 y 0 EI
2、该微分方程的通解为
y Asin kx Bcoskx
压 杆
式中A、B为积分常数
在
微
3、杆的边界条件
FN
5 2
F
150kN
2.CD杆的临界压力：
xA A
C
F
B
yA 2m
3m FN
I (D4 d 4 ) (1004 804 ) 1012 2.9 106 m4
64
64
2.9106 mm4
16
Fcr
2
l
EI
2
2
200103 2.9 3.52 106
106
467103 N 467kN
态
FFF===cccr
rr
b) 微
弯 F1
平 衡
F>FF>cFr cr
c)
失 稳
F1
干扰力去除后恢 复直线状态
干扰力去除后 保持微弯
干扰力去除后继续 变形，直至倒塌
1．临界状态： 由稳定平衡向微弯平衡过度的状态。
2．临界载荷Fcr： 保 持 压 杆 稳 定 的 最 大 轴 向 压 力 ， 使 压 杆 失
公式。
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
L
P
P
EIyM (x)PyM
M0
令:k 2 P
EI
x
Px
y k 2 y k 2 M
M0
y
第15章压杆稳定
小结
• 压杆稳定的概念 在轴向压力作用下由于细长杆轴线不能维持原 有直线形状的平衡状态, 突然产生显著的弯曲, 致使杆件失去工作能力的现象称为失稳。
• 临界力Pcr 临界应力cr
强度问题
n 压杆稳定条件为
n 压杆稳定计算注意事项
¨ 根据约束确定长度系数 ¨ 要考虑不同平面内的弯曲，取大者计算 ¨ 根据长度系数的大小确定计算公式
¨ 柔度的概念，如何确定压杆的柔度
细长杆承受轴向压力的工况是很多见的
因此，有一根细长压杆，当压力P 不大时，干扰力一旦撤去， 杆经过若干次振动后，仍回复到原来的直线形状，如图9-2c,
这种保持原有直线形状的平衡是稳定的平衡。
当压力P 增大到某一数值 Pcr 时，稍受横向力的干
扰，杆即变弯，不再恢复 原有的直线形状，而处于
弯曲平衡状态；如P值再
稍有增加，杆的弯曲变形 显著增大，甚至最后造成 破坏，这种不能保持原有 直线形状的平衡是不稳定
的平衡。如图9-2d.
15-2 细长压杆的临界力
压力 Pcr 称为压杆的临界力或称为临界载荷。
压杆的失稳现象是在纵向力的作用下， 使杆发生突然弯曲，所以称为纵弯曲。 这种丧失稳定的现象也称为屈曲。
令
式中，iy和iz 分别称为截面图形对y轴和z轴的惯性半
径。
令
式中:--称为压杆的柔度或长细比
压杆临界应力的计算公式：
2.欧拉公式的适用范围
压杆的临界应力图 比例极限的柔度值：
当 p时，欧
拉公式才适用。 这类压杆称为 大柔度杆或细 长杆。
欧拉双曲线
3. 中、小柔度杆的临界应力
经验公式：
压杆的临界应力图
如图（b）,截面的惯性矩为
材料力学课件(压杆稳定性)
2 EI
2 a2
改变力F指向，BD成为压杆，临界压力
F2
2 EI
2a 2
Fcr
比较：Fcr Fcr
1 2 EI
2FAB FBD 2 a 2
例9-4.一端固定一端自由压杆，长为 l，弯曲刚度
为EI，设挠曲线方程
w
2l 3
(3lx 2
x3)
，为自由
端挠度。试用能量法去定临界压力的近似值。
思考： P 3169-4，习题9-11，13，14，18
练习： P 319习题9-10，12，15，17
（3）合理稳定性设计
[ ]st
与
L
i
成反比
合理截面：约束性质接近时，iminimax ——组合截面 提高 i ——使截面积远离形心
增强约束：缩短相当长度
思考：含有压杆的超静定问题
温度变化引起的稳定性问题
、[]st与 成反比
值：木杆——式（9 11，12）
钢杆——表 92，3
（2）稳定性条件
F A
[ ]st
[ ]
稳定性r 或 与 或 i 为非线性关系，选择截面
尺寸时需用迭代法
例9-5. Q235钢连杆，工字型截面A＝552mm2，Iz＝ 7.40×104mm4，Iy＝1. 41×104mm4，有效长度l＝ 580mm，两端柱形铰约束，xy平面失稳μz＝1，xz 平面失稳μy＝0.6，属 a 类压杆，轴向压力F＝35kN， [σ]＝206MPa。试求稳定许用应力，并校核稳定性。
思考：比较一根杆的柔度与柔度的界限值
影响大柔度、中柔度和小柔度杆临 界应力因素的异同
3. 压杆的稳定性条件与合理设计
（1）稳定许用应力
实际压杆与理想压杆的差异：初曲率、压力偏心、 材料缺陷等
压杆的稳定ppt
定义
01
边界条件是指压杆在支撑条件下的限制条件，如固定、自由、
简支等。
描述
02
不同的边界条件对压杆的稳定性产生不同的影响。例如，固定
边界条件下的压杆比自由边界条件下的压杆更稳定。
影响因素
03
边界条件对压杆稳定性的影响主要表现在支撑反力的分布和大
小上，从而影响压杆的临界载荷和屈曲载荷。
03
压杆稳定性问题的解决策略
合理选择材料和截面形状
选择高强度材料
如合金钢、不锈钢等，能够提高压杆的屈服强度和抗拉强度 ，增加压杆的稳定性。
选择合适的截面形状
如圆形、方形、工字形等，能够改变压杆的截面面积和惯性 矩，进而改变压杆的稳定性。
对压杆进行合理支撑和固定
增加支撑点
通过在压杆的适当位置增加支撑点，能够提高压杆的稳定性，防止其发生屈 曲变形。
船舶设计
在船舶设计中，压杆被用于船体结构的支撑和固定。特 别是在海洋环境中，压杆的稳定性对于抵御海浪冲击和 保证船舶的安全至关重要。
地下工程
在隧道、地铁等地下工程中，压杆被用于支撑和固定土 石方及结构物。其稳定性对于保障地下工程的稳定性和 安全性至关重要。
06
总结与展望
总结
压杆稳定的定义
压杆稳定的重要性
05
压杆稳定性问Leabharlann 的工程应用建筑结构中的压杆稳定性问题
建筑物的支撑结构
在建筑设计中，压杆常被用于支撑和固定建筑结构，如桥梁、高层建筑等。其稳定性直接 影响到建筑物的安全性和使用寿命。
抗风和抗震设计
在地震或强风天气中，建筑物的压杆稳定性显得尤为重要。压杆能够提供必要的支撑力， 帮助建筑物抵御自然灾害。
定义
《压杆稳定》课件
《压杆稳定》PPT课件
压杆稳定是工程结构中的重要问题，掌握这一原理对于建筑、电力和汽车等 领域都至关重要。
概述
定义
压杆稳定是指结构中的杆件在受压作用下仍能够保持平衡的状态。
原理
受压杆件会发生弯曲和屈曲变形，从而形成侧向支撑力，从而保持杆件的稳定。
应用场景
建筑、桥梁、电力塔和汽车等诸多领域都运用了压杆稳定的原理。
电力工业
电力塔和支架上的压杆稳定设 计，可以防止杆件失去平衡而 导致高压线路的断裂。
总结
1
优缺点
压杆稳定有着较高的稳定性和安全性，但是对材料和结构的要求比较高。
2
发展趋势
随着结构材料和设计技术的不断进步，压杆稳定的设计方法也将日趋完善。
3
应用前景
压杆稳定在建筑、汽车和电力等领域有较广泛的应用前景，是未来工程结构的重 要发展方向。
参考资料
1. 《结构力学》 王兆院 2. 《结构稳定理论》 蔡景达 3. 《Mechanics of Materials》 R.C. Hibbeler
压杆稳定的计算
1
计算模型
压杆稳定的计算通常采用欧拉公式和能量
压力、应力和变形的计算
2
原理来进行分析。
压力、应力和变形是计算压杆稳定所必需
的核心参数。
3
临界负载
临界负载是指杆件失去稳定的负载情况， 其计算方法取决于结构和边界条件。
压杆稳定的优化设计
材料选择
不同材料的强度和刚度各不相同， 选择合适的材料对于杆件的稳定性 至关重要。
结构设计
良好的结构设计可以有效地降低压 杆的压力和应力，从而提高其稳定 性。
优化方法
优化方法可以使得压杆在保证结构 强度的同时，达到最佳的性能和稳 定状态。
压杆稳定是工程结构中的重要问题，掌握这一原理对于建筑、电力和汽车等 领域都至关重要。
概述
定义
压杆稳定是指结构中的杆件在受压作用下仍能够保持平衡的状态。
原理
受压杆件会发生弯曲和屈曲变形，从而形成侧向支撑力，从而保持杆件的稳定。
应用场景
建筑、桥梁、电力塔和汽车等诸多领域都运用了压杆稳定的原理。
电力工业
电力塔和支架上的压杆稳定设 计，可以防止杆件失去平衡而 导致高压线路的断裂。
总结
1
优缺点
压杆稳定有着较高的稳定性和安全性，但是对材料和结构的要求比较高。
2
发展趋势
随着结构材料和设计技术的不断进步，压杆稳定的设计方法也将日趋完善。
3
应用前景
压杆稳定在建筑、汽车和电力等领域有较广泛的应用前景，是未来工程结构的重 要发展方向。
参考资料
1. 《结构力学》 王兆院 2. 《结构稳定理论》 蔡景达 3. 《Mechanics of Materials》 R.C. Hibbeler
压杆稳定的计算
1
计算模型
压杆稳定的计算通常采用欧拉公式和能量
压力、应力和变形的计算
2
原理来进行分析。
压力、应力和变形是计算压杆稳定所必需
的核心参数。
3
临界负载
临界负载是指杆件失去稳定的负载情况， 其计算方法取决于结构和边界条件。
压杆稳定的优化设计
材料选择
不同材料的强度和刚度各不相同， 选择合适的材料对于杆件的稳定性 至关重要。
结构设计
良好的结构设计可以有效地降低压 杆的压力和应力，从而提高其稳定 性。
优化方法
优化方法可以使得压杆在保证结构 强度的同时，达到最佳的性能和稳 定状态。
第15章压杆稳定2PPT课件
•2.确定临界柔度
P
2E P
P 比例极限
s
a s
b
s 屈服极限
•3.根据柔度选择公式，计算临界应力
P (大柔度杆) P s (中柔度杆)
cr
2E 2
crab
欧拉公式 直线公式
s (小柔度杆) cr s
强度问题
•4.计算安全系数，稳定性校核 10
n Fcr F
nst
注意
在压杆计算中，有时会遇到压杆局部有截面被消弱的情况，如 杆上有孔、切槽等。
Fcr
2EI
l2
118kN
n F cr FN
1184.4 26.6
2nst3
AB杆满足稳定性要求
20
例5
正视图 俯视图
已知：b=40 mm, h=60 mm, l=2300 mm,Q235钢, E＝ 205 GPa, FP＝150 kN, nst=1.8, p 8 6 校核: 稳定性是否安全。
C
F 2
45°
B
1
A
0.6m
23
解: １、受力分析
FN1 2F (拉)，FN 2 F (压)
2、由杆AC的强度条件确定 Fmax 。
1
FN 1 A1
s
ns
F s A1 26.7KN
工程力学
第十五章 压杆稳定问题
§15-1 压杆稳定的概念 §15-2 临界载荷的欧拉公式 §15-3 中小柔度杆的临界压力 §15-4 压杆稳定条件与合理条件
2
§15-3 中小柔度杆的临界应力
11-3
3
欧拉公式只适用于大柔度压杆
11-3
4
中小柔度杆临界应力计算
《压杆稳定》PPT课件_OK
因此，压杆的稳定性对各类结构都是非常重要的，要保证 压杆的正常工作，还必须对它进行稳定性计算。
2021/7/27
图7.2 压杆不稳定平衡状态
6
2021/7/27
7
2021/7/27
8
临界荷载和临界应力
表7-1中列出的杆端约束，都是典型的理想约束。但在工程实际中，杆端约束情况复杂，有 时很难简单地归结为哪一种理想约束。这时应根据实际情况具体分析，参考设计规范来确定 值。
图7.1 压杆稳定平衡状态
2021/7/27
5
压杆稳定的概念
当力P继续增大到某一特定值Pcr时，在与力P垂直的方向上给一微小干扰力，压杆处于微弯 曲状态(如图7.2(b)所示)，当干扰力撤去后，压杆不再恢复到如图7.2(a)所示的直线平衡状态，而 是处于弯曲的平衡状态(如图7.2(c)所示)，说明在没有施加外干扰力时，压杆所处的直线平衡状态 是不稳定的，即压杆处于不稳定的平衡状态，此时，杆件所受的力Pcr远小于按发生材料强度破 坏计算的承载力Pcu，即Pcr<Pcu，这就是为什么在其他条件相同的情况下，粗短杆的承载力大于 细长杆的原因。
值得注意的是：欧拉公式在推导过程中假定压杆在微弯平衡状态下，横截面上的应力在弹 性范围之内，因此本公式只适用于弹性范围，即只适用于弹性稳定性问题；另外在应用公式时， 公式中的I为截面对其中性轴的惯性矩，且当截面对不同主轴的惯性矩不相等时，应取其中最小 值。
【例7.1】 计算两端铰支情况下的欧拉临界力。 如图7.3所示压杆由14号工字钢制成，其两端铰支。已知钢材的弹性模量E＝210GPa，屈服 点应力σs ＝240MPa，杆长l＝3600mm。 (1) 试求该杆的临界力Pcr；(2) 计算屈服力Ps。 解 (1) 计算临界力，查型钢表得14号工字钢几何特性：
2021/7/27
图7.2 压杆不稳定平衡状态
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临界荷载和临界应力
表7-1中列出的杆端约束，都是典型的理想约束。但在工程实际中，杆端约束情况复杂，有 时很难简单地归结为哪一种理想约束。这时应根据实际情况具体分析，参考设计规范来确定 值。
图7.1 压杆稳定平衡状态
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压杆稳定的概念
当力P继续增大到某一特定值Pcr时，在与力P垂直的方向上给一微小干扰力，压杆处于微弯 曲状态(如图7.2(b)所示)，当干扰力撤去后，压杆不再恢复到如图7.2(a)所示的直线平衡状态，而 是处于弯曲的平衡状态(如图7.2(c)所示)，说明在没有施加外干扰力时，压杆所处的直线平衡状态 是不稳定的，即压杆处于不稳定的平衡状态，此时，杆件所受的力Pcr远小于按发生材料强度破 坏计算的承载力Pcu，即Pcr<Pcu，这就是为什么在其他条件相同的情况下，粗短杆的承载力大于 细长杆的原因。
值得注意的是：欧拉公式在推导过程中假定压杆在微弯平衡状态下，横截面上的应力在弹 性范围之内，因此本公式只适用于弹性范围，即只适用于弹性稳定性问题；另外在应用公式时， 公式中的I为截面对其中性轴的惯性矩，且当截面对不同主轴的惯性矩不相等时，应取其中最小 值。
【例7.1】 计算两端铰支情况下的欧拉临界力。 如图7.3所示压杆由14号工字钢制成，其两端铰支。已知钢材的弹性模量E＝210GPa，屈服 点应力σs ＝240MPa，杆长l＝3600mm。 (1) 试求该杆的临界力Pcr；(2) 计算屈服力Ps。 解 (1) 计算临界力，查型钢表得14号工字钢几何特性：
《压杆稳定教学》课件
增加约束
总结词
通过增加支撑、固定或增加附加约束，可以 提高压杆的稳定性。
详细描述
约束是影响压杆稳定性的重要因素。通过增 加支撑、固定或附加约束，可以限制压杆的 自由度，从而增强其稳定性。例如，在压杆 的适当位置增加支撑或固定点，可以减小压 杆的弯曲变形，提高其稳定性。此外，通过 增加附加约束，如套箍或加强筋等，也可以 提高压杆的稳定性。
实验结果与分析
实验结果
通过实验观察和数据记录，得到不同条件下 压杆的稳定性表现。
结果分析
根据实验数据，分析影响压杆稳定性的因素 ，如压杆的材料、截面形状、长度、直径等 。通过对比不同条件下的实验结果，总结出
压杆稳定性的一般规律和特点。
THANKS
感谢观看
REPORTING
稳定性安全系数
通过比较临界载荷与实际载荷的大小，来判断压杆的 稳定性。
稳定性试验
通过试验的方法，对压杆进行稳定性测试，以验证其 在实际使用中的稳定性。
PART 02
压杆的分类与计算
REPORTING
长细比较小的压杆
弹性失稳
当受到垂直于杆轴的压力时，杆件会 弯曲并丧失承载能力。
临界压力
当压杆达到临界压力时，杆件将发生 屈曲。
PART 05
压杆稳定性的实验研究
REPORTING
实验目的与原理
实验目的
通过实验研究，掌握压杆稳定性的基本概念和原理，了解影响压杆稳定性的因 素。
实验原理
压杆稳定性是指细长杆在受到轴向压力时，抵抗弯曲变形的能力。当轴向压力 超过某一临界值时，压杆会发生弯曲变形，丧失稳定性。本实验通过观察不同 条件下压杆的变形情况，分析影响压杆稳定性的因素。
根据欧拉公式计算临界应力：$sigma_{cr} = frac{EI}{A}$
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dx2 EI
令:
k2 F
EI
满足方程的解为：
A
d2w dx 2
k
2
w
k
2
w Asin kx Bcos kx
F
w
x
B
l
x 0, w 0 边界条件： x 0, dw 0
dx
x l, w
第十五章 压杆稳定
B
Ak 0
Asin kl Bcos kl
cos kl 0
第15章 压杆稳定
※ 压杆稳定的概念 ※ 两端铰支细长压杆的临界压力 ※ 其它支座条件下压杆的临界压力 ※ 欧拉公式的适用范围 经验公式 ※ 压杆的稳定校核 ※ 提高压杆稳定性的措施
第十五章 压杆稳定
§15-1 压杆稳定的概念
问题的提出:
拉压杆的强度条件：
F
FN [ ]
A
F
F
F
F
F
第十五章 压杆稳定
c. FR 离开平衡位置
稳定平衡
临界(随遇)平衡
不稳定平衡
第十五章 压杆稳定
（2）刚杆－弹簧系统受微干扰
a. F k l
稳定平衡
b. F k l
临界(随遇)平衡
c. F k l
不稳定平衡
Fcr kl 临界载荷
第十五章 压杆稳定
F
k l
F 驱动力矩 k l 恢复力矩
（3）受压弹性杆受微干扰
临界状态
临界载荷－ Fcr: 使压杆直线形式的 平衡，开始由稳定转变为不稳定的 轴向压力值。
F Fcr
F Fcr
Fcr
F Fcr 压杆在微弯位置不能平衡,要恢复直线； F Fcr 压杆微弯位置不能平衡,要继续弯曲,导致失稳； F ＝ Fcr 压杆在任意微弯位置均可保持平衡。
第十五章 压杆稳定
第十五章 压杆稳定
§15-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
一、一端固支一端自由细长压杆的临界载荷
F
A
l
B
偏离直线平衡位置后的状态
F
A
l
B
第十五章 压杆稳定
建立梁段平衡方程:
M(x)
F
F
w
x
挠曲轴近似微分方程：
M (x) F( w)
d2w M (x) dx2 EI
第十五章 压杆稳定
d2w F ( w)
其他形式的稳定问题
F Fcr
ห้องสมุดไป่ตู้
风洞颤振试验照片
第十五章 压杆稳定
§15-2 两端铰支细长压杆的临界载荷
一、临界载荷的欧拉公式
F
F
F
M(x)
F
F
w
x
第十五章 压杆稳定
F
M (x) Fw d2w M (x)
dx2 EI
d2w F w
dx2 EI
F k2 EI
d2w k2w 0 dx 2
由位移边界条件确定常系数:
x 0, w 0
x 0, w 0
x l, w 0
第十五章 压杆稳定
FR F
x
(k 2 F ) EI
B
FR EIk 2
0
Ak
FR EIk 2
0
Asin kl Bcos kl 0
方程组的非零解条件：
B
FR EIk 2
0
Ak
FR EIk2
通解可以写成： v Asin kx Bcos kx
F
F
x 0, w 0 位移边界条件： x l, w 0
存在非零解的唯一条件： sin kl 0
第十五章 压杆稳定
B0 Asin kl 0
sin kl 0
kl n
k n
l F k2 EI
F
n2 2EI
l2
(n 1,2)
n=1，得到存在非零解的最小的压力： 临界载荷的欧拉公式(欧拉临界载荷)
FR
Fw
F
lx
列出临界状态的平衡方程: M (x) Fw FR (l x)
挠曲轴近似微分方程：
d2w M (x) dx2 EI
第十五章 压杆稳定
d2w F w FR (l x) dx2 EI EI
d2w
F
w
FR
(l x)
dx2 EI EI
w Asin kx B cos kx FR (l x) EIk 2
2EI
Fcr l 2
v Asin 2 x
l
F
F
第十五章 压杆稳定
➢ 欧拉公式的适用范围：
Q 理想均质材料,细长 Q 线弹性 Q 小挠度(小变形) Q 压力沿杆件轴线
F
d2w M (x)
dx2 EI
F
F 如果支座为球形铰支座
F cr
2 EI
l2
( I Imin )
—— I 取压杆横截面的最小惯性矩
F=1.015Fcr, wmax=0.11l
vmax OAC(绿色): 小挠度理论 AB 的起始段平坦，与直线AC 相切
OD(虚线): 实验曲线
例：确定图示压杆的临界载荷(两端为球形铰支)
l
F
F
h
b
z
y
z
a
y y1
Iz
bh3 12
Iy
hb3 12
临界载荷？ 失稳方向？
2EI
Fcr l 2
失稳总是发生在最小刚度平面内，压杆首先在 x-z 平面内失稳
kl (2n 1) (n 1,2)
2 k2 F
EI
(2n 1)2 2EI
F (2l)2
取 n=1, 得：
第十五章 压杆稳定
2EI
Fcr (2l)2
二、一端固支一端铰支细长压杆的临界载荷
l
F
偏离直线平衡位置后的状态
FR F
x
第十五章 压杆稳定
建立x坐标处梁段的平衡方程：
M ( x) FR
钢结构建筑与稳定问题
左图：隋朝建成 的赵州桥
右图： Tacoma 海峡 大桥1940年破坏
Euler(1707-1783)首先从理论上研究了压杆稳定问题(Euler理论）
第十五章 压杆稳定
稳定性的基本概念
（1）刚性面上，刚性球受微干扰
F
F
FR W
a. 合力 FR 指向平衡位置
b. FR 为 0
FR W
Fcr
2EI
l2
——与截面抗弯刚度成正比，与杆长的平方成反比。
第十五章 压杆稳定
➢ 临界载荷作用下压杆的挠曲线：
w Asin kx Bcoskx B 0, k
l
w Asin x
l
两端铰支压杆临界状态时的挠曲轴为一正弦曲线；
最大挠度取决于压杆微弯的程度。
➢ 高阶解的意义：
k n
l
当n=1时，得到： 当n=2时，得到：
外力 F 产生的弯矩（驱动弯矩） M 驱 Fw
杆微段恢复力矩 M 恢 EIw
a. M驱 M恢 b. M驱 M恢 c. M驱 M恢
稳定平衡 临界平衡 不稳定平衡
EIw Fw 临界平衡微分方程
第十五章 压杆稳定
F
v x
压杆失稳临界载荷
F Fcr
稳定平衡
F Fcr
不稳定平衡
F ＝ Fcr
第十五章 压杆稳定
二、大挠度理论与实际压杆
挠曲线控制方程： 1 M (x)
(x) EI
w(x) M (x) (1 [w(x)]2 )3/ 2 EI
F
A
Fcr
OAB(兰色): 大挠度理论
B
F<Fcr ——直线平衡形态稳定
C
D
F>Fcr ——直线平衡形态不稳
曲线平衡形态稳定
O 第十五章 压杆稳定
令:
k2 F
EI
满足方程的解为：
A
d2w dx 2
k
2
w
k
2
w Asin kx Bcos kx
F
w
x
B
l
x 0, w 0 边界条件： x 0, dw 0
dx
x l, w
第十五章 压杆稳定
B
Ak 0
Asin kl Bcos kl
cos kl 0
第15章 压杆稳定
※ 压杆稳定的概念 ※ 两端铰支细长压杆的临界压力 ※ 其它支座条件下压杆的临界压力 ※ 欧拉公式的适用范围 经验公式 ※ 压杆的稳定校核 ※ 提高压杆稳定性的措施
第十五章 压杆稳定
§15-1 压杆稳定的概念
问题的提出:
拉压杆的强度条件：
F
FN [ ]
A
F
F
F
F
F
第十五章 压杆稳定
c. FR 离开平衡位置
稳定平衡
临界(随遇)平衡
不稳定平衡
第十五章 压杆稳定
（2）刚杆－弹簧系统受微干扰
a. F k l
稳定平衡
b. F k l
临界(随遇)平衡
c. F k l
不稳定平衡
Fcr kl 临界载荷
第十五章 压杆稳定
F
k l
F 驱动力矩 k l 恢复力矩
（3）受压弹性杆受微干扰
临界状态
临界载荷－ Fcr: 使压杆直线形式的 平衡，开始由稳定转变为不稳定的 轴向压力值。
F Fcr
F Fcr
Fcr
F Fcr 压杆在微弯位置不能平衡,要恢复直线； F Fcr 压杆微弯位置不能平衡,要继续弯曲,导致失稳； F ＝ Fcr 压杆在任意微弯位置均可保持平衡。
第十五章 压杆稳定
第十五章 压杆稳定
§15-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
一、一端固支一端自由细长压杆的临界载荷
F
A
l
B
偏离直线平衡位置后的状态
F
A
l
B
第十五章 压杆稳定
建立梁段平衡方程:
M(x)
F
F
w
x
挠曲轴近似微分方程：
M (x) F( w)
d2w M (x) dx2 EI
第十五章 压杆稳定
d2w F ( w)
其他形式的稳定问题
F Fcr
ห้องสมุดไป่ตู้
风洞颤振试验照片
第十五章 压杆稳定
§15-2 两端铰支细长压杆的临界载荷
一、临界载荷的欧拉公式
F
F
F
M(x)
F
F
w
x
第十五章 压杆稳定
F
M (x) Fw d2w M (x)
dx2 EI
d2w F w
dx2 EI
F k2 EI
d2w k2w 0 dx 2
由位移边界条件确定常系数:
x 0, w 0
x 0, w 0
x l, w 0
第十五章 压杆稳定
FR F
x
(k 2 F ) EI
B
FR EIk 2
0
Ak
FR EIk 2
0
Asin kl Bcos kl 0
方程组的非零解条件：
B
FR EIk 2
0
Ak
FR EIk2
通解可以写成： v Asin kx Bcos kx
F
F
x 0, w 0 位移边界条件： x l, w 0
存在非零解的唯一条件： sin kl 0
第十五章 压杆稳定
B0 Asin kl 0
sin kl 0
kl n
k n
l F k2 EI
F
n2 2EI
l2
(n 1,2)
n=1，得到存在非零解的最小的压力： 临界载荷的欧拉公式(欧拉临界载荷)
FR
Fw
F
lx
列出临界状态的平衡方程: M (x) Fw FR (l x)
挠曲轴近似微分方程：
d2w M (x) dx2 EI
第十五章 压杆稳定
d2w F w FR (l x) dx2 EI EI
d2w
F
w
FR
(l x)
dx2 EI EI
w Asin kx B cos kx FR (l x) EIk 2
2EI
Fcr l 2
v Asin 2 x
l
F
F
第十五章 压杆稳定
➢ 欧拉公式的适用范围：
Q 理想均质材料,细长 Q 线弹性 Q 小挠度(小变形) Q 压力沿杆件轴线
F
d2w M (x)
dx2 EI
F
F 如果支座为球形铰支座
F cr
2 EI
l2
( I Imin )
—— I 取压杆横截面的最小惯性矩
F=1.015Fcr, wmax=0.11l
vmax OAC(绿色): 小挠度理论 AB 的起始段平坦，与直线AC 相切
OD(虚线): 实验曲线
例：确定图示压杆的临界载荷(两端为球形铰支)
l
F
F
h
b
z
y
z
a
y y1
Iz
bh3 12
Iy
hb3 12
临界载荷？ 失稳方向？
2EI
Fcr l 2
失稳总是发生在最小刚度平面内，压杆首先在 x-z 平面内失稳
kl (2n 1) (n 1,2)
2 k2 F
EI
(2n 1)2 2EI
F (2l)2
取 n=1, 得：
第十五章 压杆稳定
2EI
Fcr (2l)2
二、一端固支一端铰支细长压杆的临界载荷
l
F
偏离直线平衡位置后的状态
FR F
x
第十五章 压杆稳定
建立x坐标处梁段的平衡方程：
M ( x) FR
钢结构建筑与稳定问题
左图：隋朝建成 的赵州桥
右图： Tacoma 海峡 大桥1940年破坏
Euler(1707-1783)首先从理论上研究了压杆稳定问题(Euler理论）
第十五章 压杆稳定
稳定性的基本概念
（1）刚性面上，刚性球受微干扰
F
F
FR W
a. 合力 FR 指向平衡位置
b. FR 为 0
FR W
Fcr
2EI
l2
——与截面抗弯刚度成正比，与杆长的平方成反比。
第十五章 压杆稳定
➢ 临界载荷作用下压杆的挠曲线：
w Asin kx Bcoskx B 0, k
l
w Asin x
l
两端铰支压杆临界状态时的挠曲轴为一正弦曲线；
最大挠度取决于压杆微弯的程度。
➢ 高阶解的意义：
k n
l
当n=1时，得到： 当n=2时，得到：
外力 F 产生的弯矩（驱动弯矩） M 驱 Fw
杆微段恢复力矩 M 恢 EIw
a. M驱 M恢 b. M驱 M恢 c. M驱 M恢
稳定平衡 临界平衡 不稳定平衡
EIw Fw 临界平衡微分方程
第十五章 压杆稳定
F
v x
压杆失稳临界载荷
F Fcr
稳定平衡
F Fcr
不稳定平衡
F ＝ Fcr
第十五章 压杆稳定
二、大挠度理论与实际压杆
挠曲线控制方程： 1 M (x)
(x) EI
w(x) M (x) (1 [w(x)]2 )3/ 2 EI
F
A
Fcr
OAB(兰色): 大挠度理论
B
F<Fcr ——直线平衡形态稳定
C
D
F>Fcr ——直线平衡形态不稳
曲线平衡形态稳定
O 第十五章 压杆稳定