第八章 连续时间信号拉普拉斯变换

t t


f ( t )e st dt
信号f(t)可分解成复指数est的线性组合 s是复数称为复频率，F(s)称复频谱。
1.双边拉普拉斯变换收敛域
拉普拉斯变换扩大了可以进行变换信号的范围。但是正如傅里 叶变换不是对所有的信号都收敛一样，拉普拉斯变换也可能对某些 的值收敛，而对另一些 则不收敛。
u (t ) tu (t )

L L
t u (t )
n

L
1 s 1 s2 n!
Re( s) 0 Re(s) 0
s
n 1
Re(s) 0
te
t
u (t )

L
1 (s ) 2
Re(s) -
e
0t
cos0 t u(t )
L

t


| f (t ) | e dt C
t
对任意信号x(t) ，若满足上式，则 x(t)应满足
lim f ( t )e
t
0
(0)
二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件 单边拉普拉斯变换存在的条件
j 收 左半平面 敛 右半平面 S平面
0
区

0称收敛条件
0称绝对收敛坐标
at
图8- 1和图 8-2中的阴影分别表示了 F1 (s) 和 F2 (s) 的收敛范围。
Im[s ] Im[s ]
1 u( t ) sa
LT
a
a
0
Re[ s ]
a
0
Re[ s ]
图8- 2 图8- 1 可见，拉普拉斯变换相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必须 标出收敛域。
F [ f (t )e
t
]


f (t )e e
t jt
dt 0 e e


at ( j ) t
dt
令s j 0 e
若 a
( s a ) t
dt
e ( s a ) t 0 1 1 0 ( s a) ( s a) s a
s 0 (s 0 )
2 2 0
Re(s) - 0
e
0t
sin 0 tu(t )

L
0
(s 0 )
2
2
2 0
Re(s) - 0
t cos0 tu (t )

L
2 s 0 2 2 (s 2 0 )
Fra Baidu bibliotek
Re(s) 0
t sin 0 tu(t )
有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。 为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t) ，适当 选取的值，使乘积信号f(t) e-t当t∞时信号幅度趋近于 0 ，从而使f(t) e-t的傅里叶变换存在。 f (t)=eatu(t) a>0的傅里叶变换？
不存在!
图1-4
将 f(t) 乘以衰减因子e t

F (s)
0

f (t )e st dt
（8-2- 1）
（8-2-2）
简化符号表示为： 注意：
LT f (t ) F ( s)
1）积分下限定义为零的左极限，目的在于分析 和计算时可以直接利用起始给定的0-状态。
二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件 单边拉普拉斯变换存在的条件
充要条件为：
连续时间信号的复频域分析
从傅里叶变换到拉普拉斯变换
单边拉普拉斯变换及其存在的条件
常用信号的拉普拉斯变换
拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
单边拉普拉斯变换的性质
单边拉普拉斯变换的反变换
8.1、双边拉普拉斯变换
8.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换
频域分析以虚指数信号ejωt为基本信号，任意信号可 分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解 得到简化。物理意义清楚。但也有不足： （1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如eatu(t); （2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。 在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频 域来解决这些问题。 本章引入复频率 s = σ+jω,以复指数函数est为基本信 号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。 这里用于系统分析的独立变量是复频率 s ，故称为s域分 析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。
n L
n! , Re( s ) 0 n 1 s
e
t
u (t )

L
L
L
1 s 1 s
Re( s ) Re( s )
e u (t )
t
e
j0t
u (t )
1 s j0 1 s j0
Re(s) 0
e
j0t
u (t )
8.2 单边拉普拉斯变换
通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标 原点。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为

F ( s) f (t ) e
0
st
dt
称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是 Re[s]>a ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。
8.2.1 单边拉普拉斯变换及其收敛域 单边拉普拉斯变换的定义为
拉普拉斯变换 1 3 s3 1 3 s3 s 0 2 s 4
e 3t u(t ) e 3 t u( t )
cos2t u( t )

2
[ ( 2) ( 2)]
结论：
（1）当收敛域包含轴时，拉普拉斯变换和傅里叶 变换均存在。 F ( j ) F ( s )



f (t ) e t
Re[s]
ROC 来表示
收敛域表示为 收敛域也可以用 【例8-1】 设信号
f1 (t ) eat u(t )
f 2 (t ) eat u(t )
a 0
a 0
F1 ( s ) 和 F2 ( s ) 及它们的收敛域。 求： 解：由拉普拉斯变换的定义式可得：
1 0 2 ( s 9) s
j ( j 4)2
解： 1)收敛域-4包含j 轴
F ( j ) F ( s ) s j
2）收敛域的收敛边界位于j 轴
F ( j ) F ( s) s j K n ( n )
1 1 1 1 11 F ( s) 18 s j 3 18 s j 3 9 s 1 F ( j ) [ ( 3) ( 3)] ( ) 2 j (9 ) 18 9
t

t st


0 0
e e
j0t
u (t ) u (t )
1 s j0 1 s ( 0 j0 )
( 0 j0 )t
正弦信号
e cos0t u (t ) u (t ) 2 1 1 1 s ( ) 2 2 2 s j0 s j0 s 0 e

L
20 s (s
2 2 2 0 )
Re(s) 0
四、拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
[例] 计算下列信号的拉普拉斯变换与傅里叶变换
e 3t u(t )
解：时域信号
e 3 t u( t )
傅里叶变换 1 j 3 不存在
j 2 ( j ) 4
cos2t u( t )
1 j st f (t ) F ( s)e ds 2j j
拉普拉斯变换符号表示及物理含义 符号表示： F ( s ) L[ f ( t )]
L
f (t ) L1[F ( s)]
f (t ) F ( s)
物理意义： F ( s )



f ( t )e st dt lim
j0t
j0t
0
sin 0t u(t )
e
j0t
e 2j
j0t
u(t )

0 1 1 1 ( ) 2 2 2 j s j0 s j0 s 0
0
(2) 阶跃函数u(t)
1 L[u (t )] lim L[e u (t )] 0或 Re(s) 0 0 s
n
8.3
拉普拉斯变换的性质
拉普拉斯变换建立了信号时域描述和复频域描述之间的关系， 当信号在一个域发生变化的时候，在另外一个域必然有相应的体现， 拉普拉斯变换的性质反映了这些变化的规律。因为拉普拉斯变换是 傅里叶变换在复频域的推广，所以两种变换的性质存在许多的相似 性。
推广到一般情况
F [ f (t )e
t
]


f (t )e e
t
jt
dt




f (t )e ( j )t dt
st
令s= +j
f (t )e dt F (s)
定义： F (s)



f (t )e dt
st
拉普拉斯正变换
对 f(t)e-t求傅里叶反变换可推出 拉普拉斯反变换
1 a 因此 e u( t ) s a 1 at 0 st at st 同理可得 F ( s ) e u( t )e dt e e dt 2 sa 要使它满足绝对可积条件 a 0
at LT
e
F1 ( s) e u (t )e dt e e dt e
at st at st 0 0 ( a ) t j t
e
dt
由绝对可积条件可得
a 0时， e ( a )才是个衰减因子
11 a a ss

(4) t的正幂函数t n,n为正整数
n t n n n st st L[t u (t )] (t )e dt (e ) 0 0 s s n n 1 st n n 1 t e dt L [ t u (t )] 0 s s


0
t n 1e st dt
根据以上推理,可得
n n n 1 n2 n 1 L[t u (t )] L[t u (t )] L[t u (t )] s s s n n 1 n 2 2 1 0 L[t u (t )] s s s s s
n
t u (t )
3
(4)t u(t )
(5)t , e
t t2
0
不存在
分析：求收敛域即找出满足
或 lim x(t )e t 0
t



| x(t ) | e t dt C
的取值范围。
8.2.2常用信号的拉普拉斯变换
（1）指数型函数e t u(t)
1 L[e u (t )] e e dt 0 s 1 t 同理： e u (t ) s
t
(3) (t ), (n) (t )
L[ (t )]
'



0
(t )e dt
st
' st
1
Re(s)
d st (e ) t 0 s L[ (t )] (t )e dt 0 ds n d L[ ( n ) (t )] ( n ) (t )e st dt (1) n n (e st ) s n t 0 0 ds
s j
（2）当收敛域不包含轴时，拉普拉斯变换存在而 傅里叶变换不存在。
（3）当收敛域的收敛边界位于轴时，拉普拉斯变换 和傅里叶变换均存在。
F ( j) F (s) s j Kn ( n )
n
[例] 由F(s)求F(j )
s ( s 4) 2
4
二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件 单边拉普拉斯变换存在的条件
j 收 左半平面 敛 右半平面 S平面
0
区

0称收敛条件
0称绝对收敛坐标
例1 计算下列信号拉普拉斯变换的收敛域。
(1)u(t ) u(t )
收敛域为全s平面
(2)u (t )
(3)e u (t )
3t
n
0

L
Re(s) 0
cos0 t u(t )
L
s 2 s 2 0
Re(s) 0
sin 0 t u(t )

L
L
0 2 2 s 0
1 sn
Re(s) 0
Re(s) - Re(s) -
(t )
( n) (t )
L