第2章动力学普遍方程

第2章动力学普遍方程

法国数学家拉格朗日将达朗贝尔原理和虚位移原理相结合，建立了解决动力学问题的动力学普遍方程。

2.1 达朗贝尔（D ’Alembert ）原理

达朗贝尔原理是法国科学家达朗贝尔（J. le Rond D’ Alembert 1717—1783）在其著作 《动力学专论》中提出来的。依据这一原理，非自由质点系的动力学方程可以用静力学平衡方程的形式写出来。这种处理动力学问题的方法，在工程中获得了广泛的应用。此法最大的特点是引入了惯性力的概念。

假设一质点系由n 个质点组成。其任一质点M i 的质量为m i ，作用于它上面的主动力和约束力用F i 和F N i 表示，在任一瞬时，它的加速度为a i 。如果在此质点上假想地加上一惯性力F I i ＝–m i a i ，则在此瞬时，作用于此质点上的主动力F i 、约束力F N i 和虚加的惯性力F I i 在形式上组成一平衡力系，即

F i ＋F N i ＋F I i ＝0

对质点系的n 个质点都作这样的处理，则在运动的任意瞬时，虚加于质点系上各质点的惯性力与作用于该系上的主动力、约束力将组成一平衡力系，即

0I N =∑+∑+∑i i i F F F (2-1)

()()()0I N =∑+∑+∑i O i O i O m m m F F F (2-2)

这就是质点系的达朗贝尔原理。

2.2 动力学普遍方程

动力学普遍方程也称达朗伯—拉格朗日原理，是分析力学中的最基本原理。

设有一具有理想约束的非自由质点系统，其中质点M i 的质量为m i ，加速度为a i ，应用达朗伯原理，每一质点M i 上虚加惯性力i i n i m αF -=，则作用于质点系上的主动力，约束反力与惯性力成平衡。给系统以虚位移，则根据虚位移原理，系统的所有主动力和惯性力在虚位移中的元功之和等于零。这样，动力学普遍方程可以表述为：受理想约束的系统在运动的任意瞬时，主动力与惯性力在虚位移中的元功之和等于零。即

()0I 1

=⋅+∑=i

i i n

i r F F δ

(2-3a)

或

()01

=⋅-∑=i i i i

n

i m r a F

δ

(2-3b)

式中F i 是作用于质点M i 上的主动力，d r i 是质点M i 的虚位移。

写成直角坐标系上的投影式为

()()()[]

01

=-+-+-∑=i i i zi i i i yi i i i xi

n

i z z

m F y y m F x x m F

δδδ (2-4)

动力学普遍方程的适用面广，除理想约束外，没有任何其它限制，既适用于完整系统，也适用于非完整系统。

例2-1 图2-1所示的瓦特调速器绕铅垂轴y 转动，重球A 及B 重为F P 1=F P 2=F P ，重为F G 的套筒C 可沿y 轴滑动，各连杆的长均为l ，重量略去不计；当调速器以匀角速度ω转动时，求重球张开的角度ϕ。

解：以调速器为研究对象，作用于此系统的主动力为F P 1、F P 2、和F G 。当调速器以匀角速度ω转动时，ϕ角保持不变，因而套筒C 的加速度等于零；在此系统中仅重球A 及B 有

法向加速度ϕωsin 221==n n a a ，在重球A 及B 上虚加惯性力F 1I 及F 2I ，其大小为

ϕωsin 2

I 2I 1l g

F F F P ==

在Oxy 平面上选ϕ角为广义坐标，由图有

ϕϕϕcos 2,cos ,

sin l y l y y l x x C B A B A ====-=

因此各点的虚位移为 ϕ

ϕϕϕϕϕδsin 2δ ,δsin δδ

,δcos δδl y l y y l x x c B A B A -=-====

根据动力学普遍方程得 0δδδδδI 1I 121=-+++B A C G B P A P y F y F y F y F y F

即

0δ

cos sin 22δsin 2δsin 2=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+--ϕϕϕωϕϕϕϕl l g F l F l F P G P 因δϕ≠0，故

0cos sin 2

=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+--ϕωϕl g F F F P G P 可得

(1)0sin =ϕ，则

0=ϕ

此解无意义； （2）则,0cos 2

=+--ϕωl g

F F F P

G P

l

g

F F F P

G P 2cos ωϕ+=

为所求的解。上式建立了相对平衡位置ϕ与转动角速度ω 间的关系，可作为选择调速器参数的依据。

例2-2 在图2-2(a)中，均质轮A 重F P ＝30kN ，半径为r ，沿三棱柱D 的斜边滚动而无滑动，略去滚动阻力偶。软绳一端与轮心O 连接，另一端绕过滑轮E ，与重为F Q ＝10kN 的物块B 相连，B 块沿D 的另一斜边滑动。如果B 块与斜面、三棱柱D 与水平面的摩擦、滑轮E 和软绳的质量均不计，试求任一瞬时，物块B 的加速度及突台H 对三棱柱D 的水平约束力。三棱柱边长之比为3 : 4 : 5。

解：此题要用已知的主动力F P 、F Q 求加速度a B ，又要用求出来的加速度求解约束力X H ，因而它包含了动力学的第一、二类问题。

(1)先求a B

设B 块的加速度a B 沿斜面向下，如图(b)示。与此相对应，轮心O 的加速度a O 和轮的角速度ε分别为 a a a r O B B ==,

/ε

物块B 的平移惯性力，圆轮A 平面运动的惯性力主矢、主矩分别为

图2-2