单参数电力系统亚临界Hopf分岔控制
计算电力系统电压分叉点的新方法
计算电力系统电压分叉点的新方法井雨刚;李英秋【摘要】基于电力系统动态模型,应用分叉理论提出了一种求解鞍结分叉、hopf 分叉点的新方法。
该方法的基本原理是,当动态系统参数缓慢变化时,在其平衡点的延拓过程中,首先检测该平衡点流形的局部领域内系统的拓扑性质的改变,确定系统动态稳定性性态,然后应用插值法来确定更高精度要求的参数分叉值,典型电压稳定模型的计算结果表明了此方法的有效性和实用性。
【期刊名称】《山东电力技术》【年(卷),期】2010(000)004【总页数】5页(P1-4,14)【关键词】鞍结分叉;hopf分叉;仿连续法;动态电压稳定【作者】井雨刚;李英秋【作者单位】【正文语种】中文【中图分类】TM712电力系统是一个高度非线性的动态系统，电压稳定性的研究是现代电力系统稳定分析中的一个重要组成部分，必然具有非线性的特征，因此应用非线性方法进行机理分析和防范措施的设计是很自然的。
分叉理论作为分析非线性动力系统稳定性的基本方法，已经在电力系统电压稳定问题中得到了广泛的应用［1~6］。
在电力系统中，所发现的分叉类型主要有鞍结点分叉（saddle-node bifurcation，缩写为SNB）、霍普夫分叉（Hopf bifurcation）等。
目前，鞍结分叉点与系统电压崩溃点的对应关系已经为大多数人所接受，常规电力系统电压静稳定性也正是以运行点与鞍结分叉点之间的距离来衡量。
文献［7］也较早指出鞍结分叉的灾变性后果是电压崩溃的内在原因。
然而以往发生的一些事故经验表明：在系统发生电压崩溃前或崩溃的过程中，常会经历电压振荡现象。
这说明由于一些原因，系统在抵达鞍结分叉点之前会首先遇到动态分叉点。
文献［8］针对文献［7］的模型，指出该系统也将发生Hopf分叉，且随着负荷参数的进一步变化，系统将出现称为blue-sky的灾变现象，因此系统出现Hopf分叉也将是电压失稳的开端。
目前寻找流形上分叉点的方法可以归结为2类：①计算出所有随控制参数变化的系统雅可比矩阵特征值，进而判断是否有特征值穿越特征复平面的虚轴，以确定分叉点；②根据经典Hurwitz行列式符号变化，搜索判断分叉点。
理解-霍普分岔
4.2.1 Hopf 分岔定理当参数变化时，系统的行为在稳定的平衡点和稳定的极限环之间切换，这种动力学演化过程称为Hopf 分岔。
该分岔由Hopf 于1942年进行了严格的理论证明，即Hopf 分岔定理。
Hopf 分岔定理：假定系统为)(x f xμ= ，其中n x R ∈为状态变量，R μ∈为系统参数，当0μμ=时，系统有平衡点()00,μx ，且满足：(1)00()x D f x μ除了有一对共轭的纯虚数特征根外，其余特征根实部均不为0； (2)()()0Re 0dd d μμλμμ==≠ (4-1)则系统在平衡点()00,μx 处发生Hopf 分岔，产生平衡点和极限环之间的状态演化过程。
Hopf 分岔包含2种情况，● 极限环在参数μ大于分岔值μ0的范围内存在，称为超临界(supercritical)Hopf 分岔，如图4.3(a)所示；● 极限环在参数μ小于分岔值μ0的范围内存在，称为亚临界(subcritical)Hopf 分岔，如图4.3(b)所示。
(a) 超临界Hopf 分岔(b) 亚临界Hopf 分岔 图4.3 Hopf 分岔图 Fig.4.3 Hopf bifurcationHopf 分岔的基本概念可以用移相式RC 正弦振荡器来说明，RC 正弦振荡器如图4.4所示，其中放大器转移特性为：3333)(mv kv v g v o +-== (4-2) A R RR CCCv +-v 2+-v 3+-v +-图4.4 RC 正弦振荡器 Fig.4.4 RC sinusoidal oscillator当电路中放大器的线性电压放大倍数k >29时，振荡器中将产生稳定的周期振荡，振荡频率062f RCπ≈。
由于电路含有3个动态元件(电容)，我们可分别以3个电容电压为状态变量列出状态方程为：112021233231(2)1(2)1()dv v v v dt RCdv v v v dt RC dv v v dt RC ⎫=-++⎪⎪⎪=-+⎬⎪⎪=-⎪⎭(4-3)代入放大器的转移特性，并令tRCτ=将时间归一化后，则有非线性状态方程：311233212332322dv v v kv mv d dv v v v d dv v v d τττ⎫=-+-+⎪⎪⎪=-+⎬⎪⎪=-⎪⎭(4-4) 令上式等于0，可得相点(v 1，v 2，v 3)＝(0，0，0)是该电路唯一的平衡点。
基于Hopf分岔理论的电力系统电压稳定研究综述
基于Hopf分岔理论的电力系统电压稳定研究综述谢金良;刘泽宇【摘要】首先简要介绍了Hopf分岔理论的基本概念，然后对该理论在电压稳定研究中的主要应用进行了总结。
其次从计算方法、参数分析、控制实施和实际应用4个方面对其进行了评述。
最后，对分岔理论在电压稳定分析中需进一步深入探讨的领域进行了展望。
%The main application of Hopf bifurcation in voltage stability research is reviewed from four aspects inclu-ding calculation method,parametric analysis,control implementation and practical application. Finally,the further re-search field of bifurcation theory applied in voltage stability analysis is prospected.【期刊名称】《沈阳工程学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)004【总页数】5页(P332-335,344)【关键词】Hopf分岔;电压稳定;计算方法;参数分析;控制实施;实际应用【作者】谢金良;刘泽宇【作者单位】东北电力大学电气工程学院，吉林吉林132012;东北电力大学电气工程学院，吉林吉林132012【正文语种】中文【中图分类】TM712近半个世纪以来，世界各地已发生多起电压失稳事故，其所造成的损失也在不断加深。
如今随着电网规模的不断扩大，电压稳定问题变得尤为重要，并已成为国内外专家学者们关注的焦点［1］。
在众多研究电压稳定性的方法中，分岔理论由于能够揭示电压失稳的本质因而得到了迅速的发展。
静态分岔是指系统的平衡点的数目及稳定性随着参数变化而发生的突然的变化。
典型的静态分岔有鞍结点分岔和极限诱导分岔。
风电系统参数对Hopf分岔影响的仿真
风电系统参数对Hopf分岔影响的仿真李季;周雪松;马幼捷;王海洋【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2012(050)005【摘要】Based on the continuation method, active power and reactive power inputted by wind power and the admittance of wind power generation system were taken as bifurcation parameters, Hopf bifurcation points and two-parameter Hopf bifurcation boundary were calculated to analyze the influences of the system parameters on the voltage stability of wind power generation system. Meanwhile, the control action of static var compensation on Hopf bifurcation was researched. Research result shows that reactive power is a main Hopf bifurcation parameter, and Hopf bifurcation can be effectively delayed by static var compensation.%提出一种应用延拓法求解以风电场注入有功功率、无功功率及传输线路导纳为分岔参数的Hopf分岔点和两参数Hopf分岔边界方法,分析了风电系统参数对电压稳定性的影响及静止无功补偿器对Hopf分岔的控制作用.仿真实验结果表明,无功功率是系统发生Hopf分岔的主要参数,静止无功补偿器可有效延迟Hopf分岔.【总页数】5页(P998-1002)【作者】李季;周雪松;马幼捷;王海洋【作者单位】天津大学电气与自动化工程学院,天津300072;天津理工大学天津市复杂系统控制理论及应用重点实验室,天津300384;天津大学电气与自动化工程学院,天津300072;天津理工大学天津市复杂系统控制理论及应用重点实验室,天津300384;白城师范学院机械工程学院,吉林白城137000【正文语种】中文【中图分类】TP39【相关文献】1.基于延拓法的风电系统电压Hopf分岔研究 [J], 李季;马幼捷;周雪松2.双机三节点风电系统的Hopf分岔分析与控制 [J], 李鹏松;孟永永;刘琦3.基于Hopf分岔理论的风电系统电压稳定性研究 [J], 李季;周雪松;马幼捷4.基于Hopf分岔的风电集群系统电压稳定分析 [J], 史昭娣;张靠社;黄越辉;杨硕;邱成建5.风电系统电压稳定性的Hopf分岔控制仿真 [J], 刘继广;王海洋;钟利军;刘英旋;李季;马幼捷因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
大规模光伏发电并网系统电压稳定分岔研究
大规模光伏发电并网系统电压稳定分岔研究李升;卫志农;孙国强;高鹏;肖佳【摘要】运用数值分岔软件MATCONT对一个接入大规模光伏电站的经典3节点系统进行分岔分析.单参数分岔分析结果显示,系统存在着危害负荷电压稳定性的亚临界Hopf分岔.双参数分岔分析结果显示,当光伏电站以滞后功率因数运行时,系统具有最大电压稳定域光伏有功出力值,可作为光伏电站最大安装容量;而以超前功率因数运行时则会使系统的电压稳定域缩小.当光伏电站以滞后功率因数运行时,光照强度大幅度突降会对负荷电压稳定性造成不利影响,光伏电站有功出力越大,该影响越严重.对系统中的等值发电机角速度施加线性反馈控制后可延迟甚至完全消除亚临界Hopf分岔,从而可使系统以鞍结分岔点作为系统的电压稳定临界点,大幅扩大了电压稳定域;采用线性反馈控制措施还可使光照强度发生大幅度突降时负荷电压能够快速恢复.【期刊名称】《电力自动化设备》【年(卷),期】2016(036)001【总页数】7页(P17-23)【关键词】大规模光伏电站;并网;电压稳定;亚临界Hopf分岔;线性反馈控制;光照强度【作者】李升;卫志农;孙国强;高鹏;肖佳【作者单位】河海大学能源与电气工程学院,江苏南京211100;南京工程学院电力工程学院,江苏南京211167;河海大学能源与电气工程学院,江苏南京211100;河海大学能源与电气工程学院,江苏南京211100;南京工程学院电力工程学院,江苏南京211167;南京工程学院电力工程学院,江苏南京211167【正文语种】中文【中图分类】TM615;TM7120 引言近年来光伏发电在国内外均得到了迅猛的发展［1-3］。
截至2013年底，我国光伏发电总装机容量已达到19.42 GW，全年累计发电量达9 TW·h；2014年新增光伏发电装机容量为1060万千瓦（10.6GW），到2015年6月，已提前完成十二五光伏总装机容量达3500万千瓦（35 GW）的目标。
机翼颤振的 Hopf 分岔分析与控制
机翼颤振的 Hopf 分岔分析与控制李鹏松;盛桂全;孟永永;刘琦【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2015(000)004【摘要】We considered a two-variable nonlinear system,namely,the flutter of airfoil.The type of Hopf bifurcation and the stability of periodic solution were analyzed with the method of multiple scales.The nonlinear time delay controller was designed to restrain the flutter caused by Hopf bifurcation.Thus the nonlinear control gain can be determined to transform subcritical Hopf bifurcation into supercritical one and transform supercritical Hopf bifurcation into steady points.The results of the theory analysis and numerical simulation show that the designed controller is valid.%考虑二元非线性机翼颤振系统，利用多尺度法研究系统的 Hopf 分岔类型和周期解的稳定性。
设计非线性时滞控制器抑制 Hopf 分岔引起的颤振，将原系统的亚临界 Hopf 分岔变为超临界 Hopf 分岔，将原系统的超临界 Hopf 分岔控制为稳定。
理论分析和数值模拟结果验证了所给控制方法的有效性。
【总页数】8页(P647-654)【作者】李鹏松;盛桂全;孟永永;刘琦【作者单位】东北电力大学理学院，吉林吉林 132012;东北电力大学理学院，吉林吉林 132012;东北电力大学理学院，吉林吉林 132012;东北电力大学理学院，吉林吉林 132012【正文语种】中文【中图分类】O193【相关文献】1.低速气流中二元叶片颤振数值模拟与Hopf分岔分析 [J], 孙旭;张家忠;秦国良;雷鹏飞2.再生型颤振系统的 Hopf 分岔分析与控制 [J], 李鹏松;盛桂全;孟永永3.具有立方非线性机翼颤振的局部分岔 [J], 张琪昌;刘海英;任爱娣4.二元机翼极限环颤振复杂分岔 [J], 吴志强;张建伟5.机翼颤振的随机Hopf分岔研究 [J], 王洪礼;许佳;葛根因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
基于Normal Form方法的电机系统分岔控制
基于Normal Form方法的电机系统分岔控制
袁惠群;张中华
【期刊名称】《振动、测试与诊断》
【年(卷),期】2014(034)006
【摘要】研究了无刷直流电机系统等效非线性数学模型,分析了系统的Hopf分岔行为,并设计了washout滤波器,对系统产生的分岔行为进行控制.引入直接Normal Form(规范型)计算方法,求出系统的Hopf分岔规范式.通过规范式系数讨论控制参数的选择原则以及对Hopf分岔类型及极限环幅值的影响.理论和仿真结果表明:在施加控制器之前,系统发生亚临界Hopf分岔,极限环不稳定,系统进入混沌状态;在施加控制器之后,当受控系统规范式系数实部小于零时,系统发生超临界Hopf分岔,原系统不稳定极限环被控制为稳定极限环,从而抑制了混沌的产生,保证了电机运行性能的稳定性.
【总页数】4页(P1084-1087)
【作者】袁惠群;张中华
【作者单位】东北大学理学院沈阳,110819;东北大学理学院沈阳,110819;东北电力大学理学院吉林,132012
【正文语种】中文
【中图分类】TM331;TM271;O231.2
【相关文献】
1.Normal Form理论中矩阵表示论方法的改进 [J], 韩景龙
2.一种基于NORMAL FORM变换的时间序列轨迹预测方法 [J], 谢欢;郝治国
3.一种求解非线性振动系统渐近解的新方法：计算向量场Normal Form系数... [J], 陈予恕;张琪昌
4.基于Normal Form理论的电力系统3阶解析解 [J], 黄琦;王州强;张昌华
5.计算非线性振动系统高阶渐近解的Normal Form方法 [J], 张琪昌;陈予恕因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
理解 霍普分岔
4.2.1 Hopf 分岔定理当参数变化时，系统的行为在稳定的平衡点和稳定的极限环之间切换，这种动力学演化过程称为Hopf 分岔。
该分岔由Hopf 于1942年进行了严格的理论证明，即Hopf 分岔定理。
Hopf 分岔定理：假定系统为)(x f xμ= ，其中n x R ∈为状态变量，R μ∈为系统参数，当0μμ=时，系统有平衡点()00,μx ，且满足：(1)00()x D f x μ除了有一对共轭的纯虚数特征根外，其余特征根实部均不为0； (2)()()0Re 0d d d μμλμμ==≠ (4-1)则系统在平衡点()00,μx 处发生Hopf 分岔，产生平衡点和极限环之间的状态演化过程。
Hopf 分岔包含2种情况，● 极限环在参数μ大于分岔值μ0的范围内存在，称为超临界(supercritical)Hopf 分岔，如图4.3(a)所示；● 极限环在参数μ小于分岔值μ0的范围内存在，称为亚临界(subcritical)Hopf 分岔，如图4.3(b)所示。
(a) 超临界Hopf 分岔(b) 亚临界Hopf 分岔图4.3 Hopf 分岔图Fig.4.3 Hopf bifurcationHopf 分岔的基本概念可以用移相式RC 正弦振荡器来说明，RC 正弦振荡器如图4.4所示，其中放大器转移特性为：3333)(mv kv v g v o +-== (4-2) A R RR C C C v +-v 2+-v 3+-v +-图4.4 RC 正弦振荡器Fig.4.4 RC sinusoidal oscillator当电路中放大器的线性电压放大倍数k >29时，振荡器中将产生稳定的周期振荡，振荡频率06f ≈3个动态元件(电容)，我们可分别以3个电容电压为状态变量列出状态方程为：112021233231(2)1(2)1()dv v v v dt RC dv v v v dt RC dv v v dt RC ⎫=-++⎪⎪⎪=-+⎬⎪⎪=-⎪⎭(4-3)代入放大器的转移特性，并令t RCτ=将时间归一化后，则有非线性状态方程： 311233212332322dv v v kv mv d dv v v v d dv v v d τττ⎫=-+-+⎪⎪⎪=-+⎬⎪⎪=-⎪⎭(4-4) 令上式等于0，可得相点(v 1，v 2，v 3)＝(0，0，0)是该电路唯一的平衡点。
何谓hopf分岔
最近在做有关时滞微分方程的Hopf分岔的一些工作。
对Hopf分岔的认识还是不足，有几个问题还没搞明白，在这向大家请教一下。
1、发生Hopf分岔一定会发生稳定性变化？按Hopf分岔定理，只要实部对参数的导数不为零就满足Hopf分岔，那如果平衡点在参数没有经过分岔点时是稳定的，但实部对参数的导数在分岔点处是小于零的，意思就是说一对特征值到达分岔点后还是往下走，而不会穿过虚轴。
这样也满足Hopf分岔定理，但并没有发生稳定性变化。
2、对于实部对导数在分岔点处的值不等于零。
我觉得说得太含糊，有些文章只讨论大于零的情况，没讨论小于零的情况，按数学的理解，大于零也就是说关于参数是单调增加的，如果本来系统是稳定的，那么这时候随参数变化经过分岔点，那么稳定性是一定会发生变化的。
但如果本来系统是不稳定的，那这时候就不会穿过虚轴也就不会发生稳定性变化。
3、看过一些书有这样描述的：首先系统满足Hopf分岔定理，并且系统是稳定（不稳定）经过分岔点，变成不稳定（稳定），稳定（不稳定）周期解发生在不稳定的一侧。
这样说对不？这时候周期解的稳定性一定能确定吗？你说的第一点中“只要实部对参数的导数不为零就满足Hopf分岔”是不对的，这只是Hopf分岔定理的条件之一，发生Hopf 分岔最重要的条件是要求存在一对纯虚特征值，“实部对参数的导数不为零”成为横截条件，一般的非线性系统大都能满足。
对于非线性系统Hopf分岔的研究，一般需要解决如下三个方面的问题：（a）Hopf 分岔的存在性，即系统是否存在周期解，这是Hopf分岔研究中需要解决的基本问题。
目前，已有多种方法可作为Hopf 分岔存在性的判据；（b）Hopf 分岔的方向，即在参数的什么范围内出现分岔；（c）Hopf 分岔的稳定性，即如果存在周期解，其稳定性如何（超临界或亚临界）。
Hopf 分岔的方向及其稳定性的研究中，需要通过复杂的计算得到系统的横截系数和曲率系数（或称为Floquet指数）。
非线性系统的超临界Hopf分岔控制
非线性系统的超临界Hopf分岔控制
王永成;苏荣兴;马雅琴
【期刊名称】《郑州航空工业管理学院学报》
【年(卷),期】2003(021)001
【摘要】介绍了基于微分几何法和线性二次型最优控制相结合的单输入单输出非线性系统控制器的设计方法以及结合wash-out-filter方法的2-维非线性系统的超临界Hopf分岔控制器的设计方法.利用这两种方法对仅有一个分岔点的非线性系统分别设计了超临界Hopf分岔控制器,并对这两种控制方案的本质进行了总结,同时对控制效果进行了仿真,仿真结果表明这两种控制方法均能保证系统在系统参数值可能的变化范围内渐近稳定.
【总页数】4页(P87-90)
【作者】王永成;苏荣兴;马雅琴
【作者单位】郑州航空工业管理学院,河南,郑州,450015;辽阳市质量技术监督局,辽宁,辽阳,111000;苏州科技学院,江苏,苏州,215011
【正文语种】中文
【中图分类】TP11
【相关文献】
1.一个五维超混沌系统Hopf分岔控制 [J], 张良
2.基于冲失滤波器的蚜虫种群模型的Hopf分岔控制 [J], 王欢; 赵立纯; 刘敬娜
3.DCN椎体神经元的Hopf分岔控制 [J], 王子汉; 伍帅
4.四翼混沌系统及其Hopf分岔控制 [J], 颜闽秀;徐辉
5.一类van der Pol-Duffing系统的Hopf分岔控制 [J], 秦爽;张建刚;杜文举;俞建宁
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
一类电机系统的分岔分析与Hopf分岔控制
Ｂｉ ｆ ｕｒ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ａｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ａ ｎ ｄ Ｈｏ ｐ ｆ Ｂｉ ｆ ｕｒ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｃｏ ｎｔ ｒ ｏ ｌ ｏ ｆ ａ Ｍｏ ｔ ｏ ｒ Ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ
ＺＨ ＡＮＧ Ｚｈ ｏ ｎ ｇ ． ｈ ｕａ 一 ，ＹＵＡＮ Ｈｕ ｉ ． ｑ ｕ ｎ ， ＺＨＡＮＧ Ｙｕ ． ｂ ａ ｉ
，
ｔ ｈ ｅ ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｓ ｏ ｆ ｃ ｏ ｎ ｔ ｒ ｏ ｌ ｐ ａ ｒ ａ ｍｅ ｔ ｅ ｒ ｓ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｐ ｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｂｉ ｆ ｕ ｒ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐｏ ｉ ｎ ｔ ，ｂｉ ｆ ｕ ｒ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｔ ｙ ｐ ｅ ａ ｎｄ ａ ｍｐ ｌ ｉ ｔ ｕｄ ｅ ｏ ｆ ｐ ｅ ． ｒ ｉ ｏ ｄ ｉ ｃ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｒ ｅ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｚ ｅ ｄ．Ｔ ｈｅ ｒ ｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｓ ｈ ｏ ｗ ｔ ｈ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｐ ｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎｓ ｏ ｆ Ｈｏ ｐ ｆ ｂｉ ｆ ｕ ｒ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ｓ ｃ ａ ｎ ｂ ｅ
２ ． Ｃｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ，Ｎｏ ｒ ｔ ｈ ｅ ａ ｓ ｔ Ｄｉ ａ ｎ ｌ ｉ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ，Ｊ ｉ ｌ ｉ ｎ １ ３ ２ ０ １ ２，Ｊ ｉ ｌ ｉ ｎ ，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ；
３ ． Ｃｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ，Ｎ ｏ ｔｈ ｒ ｅ ａ ｓ ｔ ｅ ｒ ｎ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ，Ｓ ｈ ｅ ｎ ｙ ａ ｎ ｇ １ １ ０ ８ １ ９，Ｌ ｉ ａ ｏ ｎ ｉ ｎ ｇ ，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
Volterra系统Hopf分岔控制研究
系统 的亚 临界 Ｈ ｏ ｐ ｆ 分岔控制 为超 临界 Ｈ ｏ ｐ ｆ 分岔， 使系统产生稳定 的极 限环 ， 并讨论 了控制器 增益对极
限环 幅值 的影 响。理论分 析和仿 真结果一致 ， 验证了所设计控制器 的有效性 。
关
键
词： Ｖ ｏ ｈ ｅ ｒ ｒ ａ系统 ； 亚 临界 Ｈ ｏ ｐ ｆ 分岔； 超临界 Ｈ ｏ ｐ ｆ 分岔 ； 非线性控 制
Ｖ ｏ ｌ ｔ ｅ ｒ ｒ ａ系统 Ｈ ｏ ｐ ｆ 分 岔 控 制研 究
李鹏松 ， 吕 雪， 盛桂 全
（ 东北 电力 大学 理学院 ， 吉林 吉林 １ ３ ２ ０ １ ２ ）
摘
要： 研究单参数 Ｖ ｏ ｌ ｔ ｅ ｒ ｒ ａ系统 的 Ｈ ｏ ｐ ｆ 分 岔控 制。根据规范 型理论 ， 利用二次 非线性控制 器 ， 将
ｒ （ ２ ￣ － ， ｓ ）一ｒ （ ０ ， ） ＝一。 （ 一ｂ ｃ—ｃ ｄ一２ ｄ ｇ＋２ ｂ ｅ＋ ＋ ） ＋… ．
由ｒ （ ２ ￣ ｒ ， ）一ｒ （ ０ ， ）＞０ ， 可 以判定 平衡 点 （ ０ ， ０ ） 是 系统 （ ２ ）的不稳定 焦点 。 再 由 Ｈｏ ｐ ｆ 分 岔理论 可 知， 系统 （ １ ）在分 岔点处 发生 亚临 界 Ｈ ｏ ｐ ｆ 分 岔 ］ 。 图１ 和图２为系统 （ １ ） 在分岔点邻域受扰后 的 Ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ 数值仿真结果 。 由图 １ 可 以看出 ， 随着时间 ｔ 的增 加作增幅振荡 ， （ ， ， 随着时间 ｔ 的增加也作增幅振荡） 。 可见原系统在分岔点处发生亚临界 Ｈ ｏ ｐ ｆ 分岔。
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３— ０ ７—１ ０
作者简介 ： 李鹏松（ １ ９ ７ ０ 一） ， 男， 吉林省松原市人 ， 东北 电力大学理学院教授 ， 博士 ， 主要研究方 向 ： 非线性动力系统
Hopf分岔系统的参数化镇定方法
电 子 科 技 大 学 学 报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｏ ｎ ｉ ｃ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ｏ ｆ Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ
、 ， ０ ｌ ＿ ４ ５ ＮＯ ． ６ ＮＯ Ｖ ． ２ ０ １ ６
Ｈｏ ｐ ｆ ￣岔 系统 的参数 子 科技 大 学能源 科 学与工 程 学院 成都 ６ １ １ ７ ３ １ ）
【 摘要 】针对Ｈ ｏ ｐ 盼 岔 系统镇 定 问 题 ，提 出了一种 参数化镇定方法 。应用该方 法设计 的控制 器阶次较低 ，结构 简单 ，不 含有 平衡 点的值 ， 不改变原 系统平衡点 的位置 。 添加控 制器后能够较好 地改善原 系统分岔点附近的特性， 实现对原 系统的Ｈ ｏ ｐ ｆ 分岔甚 至混沌状态的稳 定控 制。根据Ｈ ｕ ｒ ｗ ｉ ｔ ｚ ￣ ， ｌ 据推导 了参数化控制 器的约束条件 ，并用柱形代数 剖分算法求得 了 控 制器的参 数 区间 ，在 区间内任 意一组 参数 都能够镇定 系统 的状 态。ｖ Ｘ Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｚ 系统 为例，展 开说明 了该参数化镇定方法对控制 器的设 计
Ｐａ ｒ ａ ｍｅ ｔ ｒ ｉ ｃ Ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｆ ｏ ｒ ａ Ｃｌ ａ ｓ ｓ ｏ ｆ Ｈｏ ｐ ｆ Ｂｉ ｆ ｕｒ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍｓ
Ｌ Ｕ Ｊ ｉ ｎ — ｂ ｏ ， ＨＯＵ Ｘｉ ａ ｏ － ｒ ｏ ｎ ｇ ， ａ ｎ ｄ ＬＵＯ Ｍｉ ｎ
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｅ ｎ ｅ ｒ ｇ ｙ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ， Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｏ ｎ ｉ ｃ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ｏ ｆ Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ Ｃ ｈ ｅ ｎ ｇ ｄ ｕ ６ １ １ ７ ３ １ ）
基于解析方法电力系统的Hopf分岔类型
基于解析方法电力系统的Hopf分岔类型李鹏松;陈书吉;吕雪【摘要】将中心流形理论分别与直接求周期解法和后继函数法相结合,研究电力系统的Hopf分岔类型.以经典的双机三节点模型为例,说明了理论分析结果与数值模拟结果一致,验证了所给方法的有效性.%We investigated the Hopf bifurcation type of power system by the combining the center manifold theory with the direct periodic solution method and the subsequent function method, respectively. The theoretical analysis result is consistent with the numerical simulation result based on the classical two-machine and three-bus model. Example shows that the proposed methods are valid.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2012(050)004【总页数】4页(P701-704)【关键词】Hopf分岔;电力系统;电压稳定性;解析方法【作者】李鹏松;陈书吉;吕雪【作者单位】东北电力大学理学院,吉林吉林132012;东北电力大学理学院,吉林吉林132012;东北电力大学理学院,吉林吉林132012【正文语种】中文【中图分类】O193目前, 关于电力系统电压稳定性的研究已引起人们广泛关注. 在各种动态分岔中, Hopf分岔是最基本、最具有代表性的分岔形式, 文献[1]研究表明, 电力系统中Hopf分岔可能先于鞍结分岔出现而导致电压失稳或崩溃, 因此, 电力系统Hopf分岔的研究具有重要意义.对于平面非线性动力系统, 张锦炎等[2]分别阐述了直接求周期解法、后继函数判别法等用于判别真假中心的方法; 刘济科等[3-4]应用后继函数判别法对不可压气流中二元机翼系统的分岔点进行了研究和判别; 郑国勇[5]利用直接求解周期解法对不可压缩流中机翼非线性系统分岔点的真假中心及稳定性问题进行了分析; 侯祥林等[6]提出后继函数判别法可用于判别非线性动力系统是否为混沌系统. 目前电力系统的Hopf分岔研究多采用数值模拟方法, 本文将中心流形降维方法分别与直接求周期解法和后继函数判别法相结合对电力系统的Hopf分岔类型进行研究, 为电力系统电压稳定性分析提供了新途径, 进一步拓展了文献[7-8]的结果.1 基本概念电力系统可用如下形式的含参数常微分方程组表示:(1)其中: x是状态变量；μ是参数.Hopf分岔是指方程f(x(μ),μ)=0的Jacobi矩阵J(x(μ),μ)的特征值中有一对共轭复特征值λ1,2(μ), 随着参数μ的变化, 它们的实部由负变为正, 且当μ=μ0时满足下列条件:(2)则式(1)在非双曲平衡点(x0,μ0)处发生Hopf分岔. 在分岔点, 产生一个稳定极限环,而一个稳定平衡点变为不稳定, 具有不断增大的振荡, 最终被稳定极限环所吸引, 这种形式的分岔称为超临界Hopf分岔；一个不稳定的极限环收缩, 在分岔点与一个稳定平衡点结合后消失, 分岔后, 稳定平衡点变为不稳定, 并引起不断增长的振荡, 这种形式的分岔称为亚临界Hopf分岔. 亚临界Hopf分岔对电压稳定性存在较大的危害, 它使电压稳定域的范围减小, 并使系统的载荷能力极大降低[9].2 经典双机三节点系统Hopf分岔类型分析经典双机三节点电力系统为2台发电机向一负荷供电, 负荷模型为异步电动机和恒PQ功率负荷的综合. 描述该系统的方程包含4个状态变量: 发电机功角δm, 发电机角频率ω, 负荷点电压幅值u及相角δ. 该系统的可变参数为负荷点的无功功率Q1. 描述系统动态特性的状态方程[10]如下：(3)其中网络提供给负荷的功率为(4)方程(3)和(4)中各参数如下. 电源部分: Em=1.0, Pm=1.0, Dm=0.05, M=0.3; 网络部分: 负荷部分: Kpω=0.4, Kpu=0.3, Kqω=-0.03, Kqu=-2.8, Kqu2=2.1, T=8.5, P0=0.6, Q0=1.3, P1=0.首先, 根据平衡解流形追踪法和动分岔点搜索法[11]得到系统(3)的两个Hopf分岔点H1和H2, 并在两个分岔点处计算导算子的4个特征值, 结果列于表1.表1 Hopf分岔点及其导算子的特征值Table 1 Hopf bifurcation points and eigenvalues of derivative operators分岔点δmωδuQ1λ1λ2λ3λ4H10.310 0900.120 0031.099 75210.946 779-128.651-15.3673.748i-3.748iH20.343 4400.136 1350.942 56511.406 648-92.659-2.6402.895i-2.895i先分析第一个Hopf分岔点H1, 即当无功功率Q1=10.946 779时, 研究系统(3)的分岔类型. 将分岔点H1做平移变换将分岔点平移到原点. 对系统(3)两端做线性变换可得如下方程组:(5)其中: y=(y1,y2,y3,y4)T; T为分岔点H1处导算子特征值对应特征向量的实部和虚部所组成的变换矩阵; hi(y)(i=1,2,3,4)为包含的非线性部分.根据中心流形定理, 可设系统(5)的中心流形为如下形式：(6)将式(6)两端对t求导, 再将式(5)中和代入, 并与式(5)前两个方程联立, 可解得式(6)中各系数如下: c11=0.000 671, c12=-0.003 999, c13=0.000 042, c14=-0.000 687, c15=0.046 05, c16=0.000 005, c21=0.008 140, c22=-0.029 540,c23=0.002 519, c24=-0.006 023, c25=0.063 300, c26=0.000 257.其次, 在Hopf分岔点H1处利用中心流形理论降维, 可得系统(3)的化简系统如下：(7)其中U(y3,y4)和V(y3,y4)为含y3,y4的高阶项.令u=y3, v=y4, 舍去系统的高阶项(只保留二阶项), 可得如下方程组:(8)其中： a=3.748; b=0.001 8; c=-0.033 4; d=0.275 4; e=0.002 2; f=-0.006 3;g=0.160 6.对于式(8), (0,0)是其唯一有意义的平衡点, 显然, 它是相应线性系统的中心, 利用直接求周期解法和后继函数判别法都可以判定平衡点(0,0)是系统(7)的不稳定焦点. 再由Hopf分岔理论可知, 系统(3)在分岔点H1处发生亚临界Hopf分岔.下面分析第二个Hopf分岔点H2, 即当无功功率Q1=11.406 648时, 将分岔点H2作平移变换将分岔点平移到原点.在分析分岔点H2的分岔类型时, 需要考虑无功功率Q1由大到小的变化, 即参数由小到大的情况. 采用相同的判别方法可知, 系统(3)在分岔点H2处也发生亚临界Hopf分岔.3 仿真分析图1和图2为系统(3)在第一个Hopf分岔点H1处受扰后的Matlab数值仿真结果. 其初值为(δm,ω,δ,u)=(0.3,0,0.2,1.05), 参数为Q1=11.2. 图3和图4为系统(3)在第二个Hopf分岔点H2处受扰后的Matlab数值仿真结果. 初值为(δm,ω,δ,u)=(0.3,0,0.2,1), 参数为Q1=11.25.图1 H1邻域电压u的仿真曲线Fig.1 Simulation curve of voltage u involving H1图2 H1邻域δm-u平面相轨迹Fig.2 Phase trajectory in δm-u plane involving H1图3 H2邻域电压u的仿真曲线Fig.3 Simulation curve of voltage u involving H2图4 H2邻域δm-u平面相轨迹Fig.4 Phase trajectory in δm-u plane involving H2由图1和图3可见, 电压u随时间t的增加做增幅振荡, 且随着t的增加, 增幅振荡越来越强烈. 经过一段时间后, 电压持续下降, 即系统(3)在Hopf分岔点H1,H2处发生亚临界Hopf分岔. 由图2和图4可见, 系统结构不稳定体现为电压失稳.综上, 本文以经典的双机三节点模型为例, 将中心流形理论分别与直接求周期解法和后继函数法相结合, 研究了电力系统的Hopf分岔类型. 理论分析结果与数值模拟结果一致, 验证了所给方法判定两种Hopf分岔类型的有效性.参考文献【相关文献】[1] JING Zhu-jun, XU Da-shun, CHANG Yu, et al. Bifurcations, Chaos, and System Collapsein a Three Node Power System [J]. International Journal of Electrical Power and Energy System, 2003, 25(6)： 443-461.[2] 张锦炎, 冯贝叶. 常微分方程几何理论与分支问题 [M]. 北京：北京大学出版社, 2000.[3] LIU Ji-ke, ZHANG Xian-min, ZHAO Ling-cheng, et al. On Bifurcation Point of Airfoil Flutter in Incompressible Flow [J]. Acta Mechanica Soida Sinica, 1999, 20(4)： 315-319. (刘济科, 张宪民, 赵令诚, 等. 不可压气流中二元机翼颤振的分岔点研究 [J]. 固体力学学报, 1999, 20(4)：315-319.)[4] LIU Ji-ke. On Bifurcation Points of Airfoil Flutter in Incompressible Flow [J]. Mechanics and Practice, 1998, 20(3)： 38-40. (刘济科. 二元机翼颤振的分叉点类别的判定 [J]. 力学与实践, 1998, 20(3)： 38-40.)[5] ZHENG Guo-yong. Stability Analysis of Airfoil Flutter in Incompressible Flow [J]. Chinese Quarterly of Mechanics, 2010, 31(2)： 207-212. (郑国勇. 不可压缩流中机翼颤振稳定性研究 [J]. 力学季刊, 2010, 31(2)： 207-212.)[6] HOU Xiang-lin, HU Zhen-bin, YU He-ji, et al. Analysis Chaotic Dynamical System on Subsequent Function Method [J]. Journal of Vibration and Shock, 2000, 19(4)： 51-56. (侯祥林, 胡振彬, 虞和济, 等. 混沌动力系统的后继函数分析判别法 [J]. 振动与冲击, 2000, 19(4)： 51-56.)[7] LI Peng-song, SUN Wei-peng. Analytical Approximate Solutions to a Class of Non-linear Jerk Equations [J]. Journal of Jilin University： Science Edition, 2007, 45(2)： 193-196. (李鹏松, 孙维鹏. 一类非线性Jerk方程的解析逼近解 [J]. 吉林大学学报：理学版, 2007, 45(2)：193-196.)[8] LI Peng-song, SUN Wei-peng. Construction of Analytical Approximate Solutions to Buckling of Euler’s Column with Large Deflection [J]. Journal of Jilin University： Science Edition, 2009, 47(1)： 40-43. (李鹏松, 孙维鹏. Euler杆大挠度屈曲解析逼近解的构造 [J]. 吉林大学学报：理学版, 2009, 47(1)： 40-43.)[9] ZHAO Xing-yong, ZHANG Xiu-bin, SU Xiao-lin. Voltage Stability Studies andBifurcation Theory in Power Systems [J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2008, 23(2)： 87-95. (赵兴勇, 张秀彬, 苏小林. 电力系统电压稳定性研究与分岔理论 [J]. 电工技术学报, 2008, 23(2)： 87-95.)[10] 余殆鑫, 王成山. 电力系统稳定性与方法 [M]. 北京：科学出版社, 1999.[11] MA You-jie, LI Xiao-shuang, ZHOU Xue-song, et al. Control of Dynamic Bifurcation in Power System Based on Washout-Filter [J]. Power Syetem Protection and Control, 2011, 39(23)： 54-59. (马幼捷, 李小双, 周雪松, 等. 基于Washout-Filter方法的电力系统动分岔控制 [J]. 电力系统保护与控制, 2011, 39(23)： 54-59.)。
Hopf分岔系统的参数化镇定方法
Hopf分岔系统的参数化镇定方法陆金波;侯晓荣;罗敏【摘要】针对Hopf分岔系统镇定问题，提出了一种参数化镇定方法。
应用该方法设计的控制器阶次较低，结构简单，不含有平衡点的值，不改变原系统平衡点的位置。
添加控制器后能够较好地改善原系统分岔点附近的特性，实现对原系统的Hopf分岔甚至混沌状态的稳定控制。
根据Hurwitz判据推导了参数化控制器的约束条件，并用柱形代数剖分算法求得了控制器的参数区间，在区间内任意一组参数都能够镇定系统的状态。
以Lorenz系统为例，展开说明了该参数化镇定方法对控制器的设计过程，并进行了仿真。
仿真结果验证了该方法的有效性。
%A parametric stabilization method is proposed for the problem of Hopf bifurcation system control. Compared with the existing methods, the controller designed by this method has a lower controller order and a simpler structure, and it does not contain equilibrium points. The method keeps equilibrium of the origin system unchanged. Under the control, the characteristics of the original system will be improved at equilibrium, and the system states of Hopf bifurcation or chaos can be controlled to stable. Using the Hurwitz criterion, the constraints of the parametric controller are derived. The idea of cylindrical algebraic decomposition (CAD) is employed to compute the constraints to find the parameter ranges of the designed controller, and the controller can be designed to stabilize the system by using any feasible control parameters in the ranges. Taking Lorenz system as an example, the controller design process of the method and numericalsimulations are discussed. The simulation results show the effectiveness of the proposed method.【期刊名称】《电子科技大学学报》【年(卷),期】2016(046)006【总页数】6页(P944-949)【关键词】柱形代数剖分;Hopf分岔控制;Lorenz系统;参数化控制器【作者】陆金波;侯晓荣;罗敏【作者单位】电子科技大学能源科学与工程学院成都611731;电子科技大学能源科学与工程学院成都611731;电子科技大学能源科学与工程学院成都611731【正文语种】中文【中图分类】TP13分岔作为非线性系统的一种常见现象，近年来相关研究大量涌现[1-3]。
一种求解电力系统动态电压稳定Hopf分岔点的新型混合方法
一种求解电力系统动态电压稳定Hopf分岔点的新型混合方
法
吴金龙;张焰
【期刊名称】《东北电力大学学报》
【年(卷),期】2008(028)004
【摘要】求解非线性动力系统Hopf分岔点的方法主要有连续法和直接法两种,提出了一种求解Hopf分岔点的混合方法,并应用到电力系统动态电压稳定分析中.以描述电力系统动态特性的微分方程(ODE)为研究对象,构造了一个相对简单的拓展系统,并利用同伦方法来求解该系统,所得的系统孤立解即为动态电压稳定的Hopf 分岔点,也就是动态电压稳定的临界点.可以有效克服直接法对初值要求比较严格的缺点,同时利用相对简单的拓展系统来求解,在一定程度上减少了计算量.最后利用一个简化的电力系统动态模型进行验证.
【总页数】7页(P18-24)
【作者】吴金龙;张焰
【作者单位】上海交通大学,电气工程系,上海,200030;上海交通大学,电气工程系,上海,200030
【正文语种】中文
【中图分类】TM743
【相关文献】
1.求解电压稳定分歧点的一种实用方法 [J], 王志刚;宋文南;陈浩河;张尧
2.一种计算电力系统电压稳定临界点新模型 [J], 谢武忠;胡刚;刘艳;潘浩
3.一种用于含风电场电力系统电压稳定概率分析的混合方法 [J], 周玮;彭昱;孙辉;吴敬坤;樊飞
4.以简化直接法求解电力系统动态电压稳定Hopf分岔点 [J], 李宏仲;程浩忠;滕乐天;张丽;骆敏
5.一种求解电力系统稳定边界上不稳定平衡点的方法 [J], 闵勇;侯凯元;陈磊
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
其中 Fi(y)(i=1,2,3,4,5)为y1,y2,y3,y4,y5,Q췍1,k1 的非线性函数.
根据 Poincaré规范形理论[14],计算系统(4)的 Hopf分岔稳定性指标
β2
=2Reæèçg20g11
-2
g2 11 2ω0
-
g02
2/3i+g221
ö
÷
ø
,
其 中 (下 列 各 式 求 导 均 在 零 点 ):
λ1=-0.5,λ2=-128.651,λ3,4= ±3.748i,λ5= -15.367.针 对 受 控 系 统,先 将 平 衡 点 H1 平 移 至
原 点 ,即
δm =δm +0.31009,δ=δ+0.120003,u=u+1.099752,ω=ω,Q1=Q췍1+10.946779,v=v+2.1995;
第51卷 第4期 2013 年 7 月
吉 林 大 学 学 报 (理 学 版 ) JournalofJilinUniversity (ScienceEdition)
Vol.51 No.4 July 2013
doi:10.7694/jdxblxb20130415
单参数电力系统亚临界 Hopf分岔控制
李鹏松,陈书吉,吕 雪,盛桂全
SubcriticalHopfBifurcationControlof PowerSystem withSingleParameter
LIPeng-song,CHENShu-ji,LÜ Xue,SHENG Gui-quan
(CollegeofSciences,NortheastDianliUniversity,Jilin132012,JilinProvince,China)
è∂y3∂y1
-∂∂y24F∂y41
+iæèç∂∂y23F∂y41
+∂∂y24F∂y31
ö
÷
ø
ö
÷
ø
;
G2 101
=
1 2
æ
ç
∂2F3
è∂y3∂y2
-∂∂y24F∂y42
+iæèç∂∂y23F∂y42
+∂∂y24F∂y32
ö
÷
ø
ö
÷
ø
;
G3 101
=
1 2
æ
ç
∂2F3
è∂y3∂y5
-∂∂y24F∂y45
Abstract:Weinvestigatedthe Hopfbifurcationcontrolofpowersystem withsingleparameter.The potentialthreatsubcritical Hopfbifurcation wastransformedinto supercriticalone by designing effectivequadraticnonlinearcontroller.Exampleshowsthatthedesignedcontrollerisvalid. Keywords:subcritical Hopfbifurcation;supercritical Hopfbifurcation;nonlinearcontrol;power system
结 合 系 统 的 状 态 方 程 (2),控 制 后 的 系 统 为
ìï̇δm =ω,
ïïṀω=Pm +Emuymsin(δ-δm -θm )+E2mymsinθm -Dmω,
ïKqω̇δ =-Kquu -Kqu2u2 +QL -Q0 -Q1 +U ,
í
ïTKqωKpu̇u =KpωKqu2u2 + (KpωKqu -KqωKpu )u+
g20
=
1 4
æç∂2F3 è ∂y2 3
-∂∂2yF243
+2∂∂y23F∂y44
+iæèç∂∂2yF234
-∂∂2yF244
-2∂∂y23F∂y34
ö
÷
ø
ö
÷
ø
;
g11
=
1 4
æç∂2F3 è ∂y2 3
+∂∂2yF243
+iæèç∂∂2yF234
+∂∂2yF244
ö
÷
ø
ö
÷
ø
;
g02
=
1 4
æç∂2F3 è ∂y2 3
第4期
李鹏松,等:单参数电力系统亚临界 Hopf分岔控制
619
̇x=f(x,μ),
(1)
其中:x 为状态变量;μ 为可变参数.
Hopf分岔包括超临界 Hopf分岔和亚临界 Hopf分 岔[10],其 中:亚 临 界 Hopf分 岔 对 电 压 稳 定 性
存在较大危害,使电压稳定域的范 围 减 小,并 使 系 统 的 载 荷 能 力 极 大 降 低;超 临 界 Hopf分 岔 使 电 压
-Dmω,
ïTKqωKpu̇u =KpωKqu2u2 + (KpωKqu -KqωKpu )u+
îï
Kqω (PL -P0 -P1)-Kpω (QL -Q0 -Q1),
(2)
其 中 网 络 提 供 给 负 荷 的 功 率 及 各 参 数 取 值 参 见 文 献 [11].
根据改进的直接法 可 [12] 求得系统(2)有两个 Hopf分岔点 H1 和 H2,且均为亚临界 Hopf分岔 : [13]
+iæèç∂∂y23F∂y45
+∂∂y24F∂y35
ö
÷
ø
ö
÷
ø
;
w1 11
= -4λ11
æç∂2F1 è ∂y2 3
+∂∂2yF241
ö
÷
ø
;
w2 11
= -4λ12
æç∂2F2 è ∂y2 3
+∂∂2yF242
ö
÷
ø
;
w3 11
= -4λ15
æç∂2F5 è ∂y2 3
+∂∂2yF245
ö
÷
ø
;
类 动态负荷模型.系统包含4个状态变量:发电机功角δm 、发电机角频率ω、负荷点电压幅值u 和相角
δ.Q1 为负荷点的无功功率,是系统的可变参数.描述系统动态特性的状态方程如下:
ìï̇δm =ω,
íïïïïKMq̇ωω̇δ==P-m +KqEuumu-yKmsqiun2u(δ2 +-δQmL
-θm )+E2mymsinθm -Q0 -Q1,
分岔控制的主 要 任 务 是 设 计 控 制 器 改 变 非 线 性 系 统 的 分 岔 特 性,获 得 所 需 要 的 系 统 动 力 学 行 为[1].典型的分岔控制包括:将原系统固 有 的 分 岔 行 为 延 迟;设 计 参 数 值,使 之 产 生 新 的 分 岔 或 改 变 平衡点的位置;改变原非线 性 系 统 的 拓 扑 结 构,改 变 分 岔 类 型;改 变 原 系 统 极 限 环 的 多 样 性、幅 值、 频率等[2].目前 控 制 方 法 主 要 有 谐 波 平 衡 法、多 尺 度 法、线 性 和 非 线 性 状 态 反 馈 控 制 法、规 范 形 方 法 和 Washout-filter(高通滤波器)方法等[3-6].在电力系统分岔 分 析 中,有 4 种 分 岔 形 式 和 电 压 稳 定 性 密 切相关,分别是鞍结分岔(SNB)、Hopf分岔(HB)、奇 异 诱 导 分 岔(SIB)和 极 限 诱 导 分 岔(LIB).研 究 表明,电力系统中 Hopf分岔可能先于鞍结分岔出现而导致电压失稳或崩溃 . [7-8]
(东北电力大学 理学院,吉林 吉林 132012)
摘要:考虑单参数电力系统的 Hopf分 岔 控 制 问 题.利 用 设 计 的 二 次 非 线 性 控 制 器,将 具 有 潜在威胁的亚临界 Hopf分岔控制 为 超 临 界 Hopf分 岔,并 以 典 型 的 双 机 三 节 点 电 力 系 统 为 例 ,验 证 了 所 设 计 控 制 器 的 有 效 性 . 关键词:亚临界 Hopf分岔;超临界 Hopf分岔;非线性控制;电力系统 中图分类号:O193 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2013)04-0618-05
目前,针对单参数电力系统 Hopf分岔的控 制 研 究 已 取 得 一 些 成 果,主 要 是 利 用 高 通 滤 波 器 方法 和 线 性 反 馈 控 制 法 [1,9].在 电 力 系 统 中 ,无 功 补 偿 器 (SVC)可 以 输 入 节 点 电 压 的 二 次 项 ,考 虑 电 力 系 统 的 实 际 物 理 意 义 ,本 文 针 对 单 参 数 电 力 系 统 设 计 一 个 二 次 非 线 性 控 制 器 ,以 经 典 的 双 机 三 节 点 电 力 系 统为例,在不改变原系统平衡点及 Hopf分岔点的条件下,将亚临界 Hopf分岔控制为超临界 Hopf分 岔 ,并 通 过 实 际 算 例 和 仿 真 分 析 验 证 了 所 设 计 控 制 器 的 实 用 性 和 有 效 性 .
-∂∂2yF243
-2∂∂y23F∂y44
+iæèç∂∂2yF234
-∂∂2yF244
+2∂∂y23F∂y34
ö
÷
ø
ö
÷
ø
;
g21 =G21 +2G1 110w111 +G1101w120 +2G2110w211 +G2101w220 +2G3110w311 +G3101w320;
G21
=
1 8
æç∂3F3 è ∂y3 3
÷
ø
;
G2 110