第八章-代数特征值问题

λn k λ2 k (2) + ( ) α 2 x + L + ( ) α n x (n) ] λ1 λ1
n λi k λi k (i) lim( ) α i x = θ ⇒ lim ∑ ( ) α i x ( i ) = θ k→∞ λ k→∞ i = 2 λ1 1
故只要k充分大，就有 y
(k )
数值分析
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定理3 定理3
设 A∈Rn×n 为对称矩阵，则：
（1） A 的特征值均为实数； （2） A n 有 个线性无关的特征向量； （3）存在一个正交矩阵 P使
λ 1 P−1 AP =
λ2
, O λn
且 λi (i =1 L, n) A 为 特征值， 而 P = (u , u2 ,L, un ) 的列 , 1 向量 uj 为 A的对应于 λj 的特征向量.
p
P
p
E p,
（1.5）
其中 • 为矩阵 p 的范数， =1 2, ∞. p , p .这时 D − µI非奇异，设 x 证明 只要考虑 µ ∉σ ( A) 是 A+ E对应于 µ的特征向量，由( A+ E − µI )x = 0左乘 P−1 可得
数值分析
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(D − µI )(P−1x) = −(P−1EP)(P−1x), P−1x = −(D − µI )−1(P−1EP)(P−1x),
n
∑
(k )
由 y ( k ) = A y ( k −1) = A k y ( 0 ) = ⇒ y = λ [α 1 x
k 1 (1 )
i=1
α i x ( i )。
∑
n
i =1
A k (α i x ( i ) ) = ∑ α i λ ik x ( i )
i =1
n
设 α 1 ≠ 0, 由 λ1 > λ i ( i = 2, 3, L , n ) 得
A的3个圆盘为 1
E : 1
λ − 4 ≤1E2 : ,
λ≤
19 E , 3: 9
λ + 4 ≤1.8.
数值分析
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这样，3个圆盘都成为了孤立圆盘，每一个圆盘都包 含A 的一个特征值（为实特征值）且有估计
3 ≤ λ ≤ 5, 1
19 19 − ≤ λ2 ≤ , 9 9
−5.8 ≤ λ3 ≤ −2.2.
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第八章 矩阵特征值问题计算
工程实践中有多种振动问题，如桥梁 或建筑物 工程实践中有多种振动问题， 的振动，机械机件、飞机机翼的振动， 的振动，机械机件、飞机机翼的振动，及 一些稳定 性分析和相关分析可转 化为求矩阵特征值与特征向 量的问题。 量的问题。
矩阵A = aij
( )
n ×n
的特征值是A的特征多项式
数值分析
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例1
估计矩阵
4 A = 1 1 1 0 1 0 −1 −4
特征值的范围. 解
D: 1
的3个圆盘为 A
λ − 4 ≤1 D : , 2
λ ≤ 2,D : 3
λ + 4 ≤ 2,
由定理5，可知 A 的3个特征值位于3个圆盘的并集中， 由于 D 是孤立圆盘，所以 D内恰好包含 A 的一个特征值 1 1 （ λ 为实特征值），即 3 ≤ λ ≤ 5 1 1
(4) 若A 非奇异，λ ≠ 0，那么 是A -1的特征值
1
λ
数值分析
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定理2 定理2 （1）设 A∈Rn×n可对角化，即存在非奇异矩阵
P, 使
λ 1 P−1 AP =
λ2
O
λn
的充要条件是 A具有 n 个线性无关的特征向量. （2） 如果 A有 m (m ≤ n) 个 不同的特征值 λ , λ2 ,L, λm , 1 则对应的特征向量 x1, x2 ,L, xm 线性无关.
数值分析
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定理4 定理4
设 A∈Rn×n为对称矩阵（其特征值次序记为
λ ≥ λ2 ≥L≥ λn ),则 1
( Ax, x) 1. λn ≤ ≤λ 1 ( x, x)
( Ax,x) 2. λ =m n ax ; 1 x R ∈ (x, x) x≠0
(∀x ∈Rn , x ≠ 0);
( Ax, x) λn = m n in . x∈ R (x, x) x≠0
数值分析
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证明
只就(1)给出证明.
设 λ 为 A的特征值，即
Ax = λ x,
x = ( x1, x2 ,L, xn )T ≠ 0.
∞
记 xk = max xi = x
1≤i ≤n
的第 k个方程， ≠ 0, 考虑Ax = λx
即
∑a
j= 1
n
kj
xj = λ xk ,
或
(λ − akk )xk = ∑akj xj ,
λ1 ≈ yi( k +1) / yi( k ) , 相应的特征向量为y ( k＋1)。
数值分析
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不 妨 令 x ( i ) = 1 ( i = 1, 2 , L , n )。 由 于 x ( i ) 可 看 做 基 ， 故 必 存 在 不 全 是 零 的 α i ( i = 1, 2 , L , n ) , 使 得 y (0) =
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定理5 定理5 （格什戈林圆盘定理） （1） 设 A = (aij )n×n， 则A 的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中
n
λ − aii ≤ ri = ∑ aij
j =1 j ≠i
(i =1 2,L n). , ,
（1.4）
或者说， A 的特征值都在复平面上 n个圆盘的并集中. （2） 如果 A有 m 个圆盘组成一个连通的并集 S ， 且 S与余下n − m 个圆盘是分离的，则 S内恰包含 A m 的 个 特征值. 特别地，如果 A 的一个圆盘 D 是与其他圆盘分离的 i (即孤立圆盘)，则 D 中精确地包含 A的一个特征值. i
j ≠k n
于是
λ − akk xk ≤ ∑ akj x≤ xk j
j ≠k
n
∑a
j ≠k
n
kj
,
数值分析
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即
λ − akk ≤∑ akj = rk .
j ≠k
n
这说明， A 的每一个特征值必位于 A的一个圆盘中， 并且相应的特征值 λ一定位于第 k个圆盘中. 其中 k是对应特征向量 x绝对值最大的分量的下标.
yi ( k ) 是 y ( k )的第i 分量。
按 上 面 式 子 计 算 矩 阵 A按 模 最 大 的 特 征 值 与相应的特征向量的方法称为幂法。 法的收 幂
λ2 敛速度依赖于比值 ，比值越小，收敛越快。 λ1
数值分析
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两点说明： 1） 如 果 y ( 0 )的 选 取 恰 恰 使 得 α 1 = 0, 幂 法 计 算 仍 能 进行。因为计算过程中舍入误差的影响，迭代若干 次 后 ， 必 然 会 产 生 一 个 向 量 y ( k ) , 它 在 x (1) 方 向 上 的 分 量不为零，这样，以后的计算就满足所设条件。 2） 因 y ( k ) = λ1k α 1 x (1) , 计 算 过 程 中 可 能 会 出 现 溢 出 ( λ1 > 1)或 成 为 0( λ1 < 1)的 情 形 。 解 决 方 法 ： 每 次 迭 代所求的向量都要归范化。因此，幂法实际使用的 Z (0) = y(0) 计算公式是
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第一节 特征值的估计和数值稳定性
定理1 定理1 则 （1） cλ为 cA的特征值（ c为常数 c ≠ 0); （2）λ − µ 为 A− µI的特征值，即( A− µI ) = (λ − µ)x; （3） λ k为 Ak的特征值； 设 λ 为 A∈Rn×n 的特征值, Ax = λx x ≠ 0, ，
数值分析
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由定理6可知 P−1 P = cond(P) 是特征值扰动的放大系 数，但将 A 对角化的相似变换矩阵 P不是唯一的，所以取
cond( P) 的下确界
ν ( A) = inf{ cond(P) P−1AP = diag (λ1, λ2 ,L, λn )},
称为特征值问题的条件数.
（1.6）
只要 ν ( A) 不很大，矩阵微小扰动只带来特征值的微小 扰动.但是ν ( A)难以计算，有时只对一个 P，用 cond(P) 代替ν ( A).
数值分析
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特征值问题的条件数和解线性方程组的条件数是两个 不同的概念，对于一个矩阵 A ，两者可能一大一小. 关于计算矩阵 A 的特征值问题，当 n = 2, 3时，还可以 按行列式展开的方法求特征方程的根.但当 n较大时，如果 按展开行列式的方法，首先求出 p(λ)的系数，再求 p(λ) 的根，工作量就很大，用这种方法求特征值是不切实际的, 需要研究求 A 的特征值及特征向量的数值方法.
数值分析
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第二节 幂法和反幂法
一、幂法
求矩阵的按模最大的特征值（主特征值） 求矩阵的按模最大的特征值（主特征值）与相应 的特征向量。它是通过迭代产生向量序列， 的特征向量。它是通过迭代产生向量序列，由此计算特 征值和特征向量。 征值和特征向量。 设n × n阶实矩阵A的特征值λi ( i = 1, 2,L , n)
= λ [α 1 x
k 1
(1)
λi k + ∑ ( ) α i x ( i ) ] ≈ λ1k α 1 x (1) i = 2 λ1
n
数值分析
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因此，可把y ( k ) 看作特征值λ1的特征向量的近似。 由 y ( k +1) ≈ λ1k +1α1 x (1) , y ( k ) ≈ λ1kα1 x (1) ⇒ yi( k +1) λ1 ≈ ( k ) ( i = 1, 2,L n) yi