高等几何)
高等几何(前言)
平行公设的反面是：
✓ 过已知直线外的已知点，有无穷条直 线平行于已知直线。
✓ 过已知直线外的已知点，没有直线平 行于已知直线。
这两种假设都不能产生矛盾，而 且导致了两种非欧几何：
✓罗巴切夫斯基几何
✓黎曼几何
非欧几何的诞生改变了几何学是什 么的理解。
✓几何学是研究现实物质世界的空间 形式的一门学科。
几何学发展的 4个时期
Ⅰ ➢萌芽时期
（-公元前5世纪）
Ⅱ、Ⅲ ➢欧氏几何时期 （公元前5世纪
-18世纪）
Ⅳ ➢欧氏几何、非欧
几何并存时期
（19世纪-）
❖高等几何是什么？
➢ 我们这里将要学习的高等几何，其主 要内容是射影几何，它是从绘画几何 发展而来的。19世纪末，克莱因发现 可以用射影几何给出欧氏几何和非欧 几何的模型，于是射影几何与几何基 础的研究有了密切的联系。但是我们 不讨论后者，仅仅学习射影几何本身。
❖学习高等几何需要哪些准备知 识？
➢高等代数中矩阵、线性方程组的有 关内容，解析几何的有关内容。
❖我们将学习哪些内容？
➢ 射影几何的基本概念和基本定理。 （第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ章）
➢ 克莱因的几何学观点。（群论观点， 第Ⅳ章）
➢ 在射影平面上讨论二次曲线。（第Ⅴ、 Ⅵ章）
欧氏几何的前4条公设很容易被人们接 受，但第五公设（平行公设）从一开 始就受到人们的怀疑，人们怀疑它可 不列为公设，而作为其他公设的推论。
人们用两种方式做这个努力：
✓一种方式是正面的，试图直接从其 它公设、公理推出第五公设；
✓一种方式是反面的，假设第五公设 不成立，试图找出矛盾。
前一种尝试均以失败告终，后一种 尝试则导致了非欧几何的诞生。
✓ 现在的几何将所有与感性的感觉有关的东 西去掉，只保留它的逻辑骨架。这种抽象 不是凭空的想象，而是实践经验的总结,而 且我们可以用不同的具体材料把 它充实起 来，从而抽象的结果能指导更多的实践。
大学高等几何课件
多面体、旋转体、组合体等。
空间几何体的性质
体积、表面积、重心等。
平面几何与立体几何的关系
平面几何是立体几何的基础
01
立体几何中的许多概念和性质都可以从平面几何中推广而来。
空间几何体的投影
02
通过投影将三维空间中的几何体投影到二维平面上，从而将三
维问题转化为平面问题。
空间几何体的展开
数形结合的思想方法
数形结合
在高等几何中，数和形是密不可分的，通过数形结合可以将几何问 题转化为代数问题，或者将代数问题转化为几何问题。
代数方法
利用代数方法研究几何问题，如线性代数中的矩阵和向量等，可以 更深入地研究几何图形的性质和关系。
几何直观
通过几何直观来理解代数概念和性质，使得代数问题更加直观易懂。
05
CATALOGUE
高等几何中的数学思想与方法
抽象思维与具体表达的结合
1 2
抽象思维
高等几何中，点、线、面等基本元素不再是具体 的实物，而是通过抽象思维来定义和理解。
具体表达
高等几何中，通过几何图形、图像等方式将抽象 的数学概念具体化，便于理解和应用。
3
结合应用
抽象思维与具体表达的结合，使得高等几何能够 更深入地探索和研究几何学中的本质和规律。
差异性
然而，射影几何和仿射几何也存在差异性。例如，在射影空 间中，无穷远点是重要的元素，而在仿射空间中则不重要。 此外，射影变换通常会改变图形的形状和大小，而仿射变换 则不会。
04
CATALOGUE
欧式几何与非欧式几何
欧式几何的基本概念
欧式几何
基于平面的二维空间，研究点 、线、面及其性质和关系。
不同空间结构
高等几何的书
高等几何的书
以下是一些关于高等几何的书籍推荐:
1. 《高等几何》(原书名:Geometry of Algebraic Curves) 作
者是法国数学家 Moi，该书是高等几何领域的经典著作之一。
2. 《解析几何学》(原书名:Analytic Geometry) 作者是德国数学家 Kronecker，该书系统地介绍了解析几何的基本概念和方法。
3. 《空间解析几何》(原书名:Analytic Geometry of Space) 作者是奥地利数学家 Kahn，该书讲述了空间解析几何的基本原理和基
本概念。
4. 《高等代数几何》(原书名:Algebric Geometry) 作者是意大利数学家 Bottazzini，该书介绍了代数几何的基本概念和方法。
5. 《几何学》(原书名:Geometry) 作者是英国数学家 Cambridge，该书系统地介绍了几何学的基本概念和方法，内容包括平面几何、立体几何、向量几何等。
此外，还有一些关于高等几何的在线书籍和教材，例如《线性代数空间解析几何》、《几何学——高观点下的中学数学》等。
高等几何 总复习
a 2 (b c ) d 0,
一维射影变换的分类：
(ad bc 0)
( 2)
相异实根 相异实二重元 双曲型 0 0 (2)有两个相同实根 (1)有两个相同实二重元 称为 抛物型 0 共轭虚根 共轭虚二重元 椭圆型
18
第三章 一维射影几何学
a1 a2
b1 b2
0
( 2 2 ) 1
相应几何学 基本不变性质
射影几何 结合性
仿射几何 平行性
欧氏几何 合同性
基本不变量
基本不变图形
交比
---------
简比
无穷远直线
距离、角度
无穷远直线
29
复习题
1. 无三点共线的______对对应点决定唯一的二维射影变换 2. 当射影变换使无穷远直线不变、两个虚圆点也不变时，射影变换就是 A.正交变换 B.正相似变换 C.反相似变换 D. 运动变换 3.射影坐标系下，坐标三角形A1A2A3 ，单位点E，顶点A3坐标_______ A1A2方程_____, A1E的坐标_____. 判断题 1.二维射影变换有双曲型、抛物型、椭圆型 （ ） 2.简比是射影不变量 （ ）
2.射影对应间的关系： 透视 射影
对合
重叠的一维几何形式 S 2 I ( S S 1 ), S I
3.一维射影几何研究的方法
代数方法：工具是交比：两个一维几何图形成射影对应 的充要条件是：对应四元素交比相等. 几何方法：工具是射影： 将射影分解为有限个透视之积（见§3.5）.
目前已知的射影性质：
射影不变性： 结合性：某点在某直线上；某直线通过某点的事实保持不变 同素性：点 点；直线 直线
14
高等几何
第五章高等几何第一节课程概论1、本课程的起源与发展早自欧洲文艺复兴时期，由于绘图和建筑等的需要，透视画的理论逐步形成，以后便建立了画法几何。
法国数学家蒙日(GaspardMonge，1746-1818)在1768到1799年之间和1809年分别出版了画法几何和微分几何两部经典著作，由于画法几何理论的发展，他的学生彭色列（JeanPoncelet，1788-1867)继承了这两部著作中的综合思想，于1822年写了一本书，它是射影几何方面最早的专者。
继彭色列之后，法国人沙尔(Michel Chasles，1793-1880) 等对射影几何的研究都做出了重要贡献。
出生于德国数学家史坦纳(Jacob Steiner，1796-1863)改进了射影几何的研究工具，并且把它们应用到各种几何领域，因而得到了丰硕结果。
到了19世纪上半叶，几何学的发展经历了它的黄金时代。
在这期间，古典的欧几里得几何学不再是几何学的唯一对象，射影几何学正式成为一门新学科。
英国人凯莱（Cayley，1821-1895）和德国人克莱因（Christian Felix Klein，1849-1925）等人用变换群的方法研究了这个分支，射影几何便成为完整独立的学科。
射影几何的诞生诱发于透视理论，一个射影平面就是由欧几里得平面添加所谓无穷远直线而得到的。
克莱因对于几何学理论的统一性有着执著的追求，他在成功地把几种度量几何统一于射影几何之后，就立即在更深层次上寻求统一各种几何学理论的基础。
在19世纪，人们开始把几何中图形的一些性质看作是一种“变换”运动的结果。
如正方形的“中心对称性”，就是将正方形绕其两条对角线的交点O“旋转”180°后仍重合的结果。
正方形的“轴对称性”，就是将正方形绕过O点的水平轴“反射”（即翻转）180°后仍重合的结果。
这里的“旋转”、“反射”就可以分别被看作是一种“变换”。
更为重要的是，数学家们进一步发现，这个正方形上的所有旋转、反射、平移等变换所构成的集合，满足群的条件，因而构成一个“变换群”。
高等几何课程简介
《高等几何》课程简介
本课程是数学与应用数学专业必修课程，与解析几何一起，构成大学数学类专业“前三高”基础课中的高等几何课程。
本课程在学生具备初等几何、解析几何、高等代数、数学分析知识的基础上，系统地学习射影几何的基本知识，使学生能用变换群的观点来看待几何学，加深对几何学的理解，拓展几何空间概念。
通过本课程学习，一方面使得学生拓宽眼界，扩大知识领域，提高抽象思维、理性思维能力，为进一步学习数学打下基础；另一方面使得学生加深对中学几何特别是解析几何的理论与方法的理解，从而获得用高观点来处理中学几何问题的能力，为未来的中学几何教学打下基础；第三，本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形，匪夷所思的处理技巧，通过本课程的学习，可以有效地提高数学审美意识。
本课程包括射影平面、射影变换、变换群与几何学、二次曲线理论四章内容。
射影平面作为学习全课程的基础，主要介绍拓广平面、拓广平面上的齐次坐标、射影平面、平面对偶原则、Desargues定理；射影变换是本课程的中心内容，主要介绍交比、完全四点形与完全四线形的调和性、一维基本形的射影对应、一维射影变换、一维基本形的对合、二维射影变换；变换群与几何学是基于变换群的观点，对几何学的高度抽象概括，给出研究几何学的变换群观点，主要介绍平面上的几个变换群、变换群与几何学；二次曲线理论是以二次曲线为研究对象，主要介绍二次曲线的射影定义、Pascal定理和Brianchon定理、配极变换、二次曲线的射影分类、二次点列上的射影变换、二次曲线的仿射理论、二次曲线的仿射分类。
《高等几何》 教学大纲
《高等几何》教学大纲一、课程名称《高等几何》（Projective Geometry）二、课程性质数学与应用数学专业限选课。
它跟初等几何、解析几何、高等代数等课程有紧密的联系；它对未来中学数学教师在几何方面基础的培养、观点的提高、思维的灵活、方法的多样起着重要作用，从而大有助于中学数学教学质量的提高和科研能力的培养。
本课程的主旨在于拓展读者的几何空间知识，学习了解变换群观点，进而达到训练理性思维的能力，提高数学修养的目的。
本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形。
通过本课程的学习，可以有效地提高数学审美意识。
本大纲要求本课程的内容处理上实行解析法与综合法并用，以解析法为主。
前修课程包括：初等几何、解析几何、数学分析、高等代数、近世代数。
三、课程教学目的通过本课程的学习，使学生掌握射影几何的基本内容和处理几何问题的方法，同时也认识射影几何、仿射几何、欧氏几何的内在联系，以及在初等几何和解析几何中的应用，并为学习数学的其他分支打好基础。
尤其是对无穷远元素的认识和理解，以开拓同学们的思维方式和视野，使同学们能以居高临下的观点来处理初等数学问题。
四、课程教学原则和方法1、理论与实践相结合的原则；2、《高等几何》知识与高等数学中的其它知识相结合原则；3、《高等几何》知识与初等几何知识相结合的原则；4、在课堂教学中使用传统的讲解法，并适当采用教具演示的方法相结合的原则；5、讲解法与自学相结合的原则。
五、课程总学时72学时，习题课占1/5。
六、教学内容要点及建议学时分配课程教学内容要点及建议学时分配第一章仿射坐标与仿射变换（计划学时6）一、本章教学目标：通过本章的学习，掌握透视仿射对应(变换)，仿射对应(变换)以及其代数表达式等。
二、本章主要内容：第一节透视仿射对应1、弄清共线三点的单比和透视仿射对应的基本概念。
2、熟练掌握透视仿射对应的四个性质---保持同素性、结合性、共线三点的单比和平行性。
第二节仿射对应与仿射变换1、掌握平面上的透视链、二直线间和二平面间的仿射对应与仿射变换的概念。
高等几何学
高等几何学
高等几何学是数学中的一个分支，主要研究空间中点、线、面及其相关性质的数学学科。
与初等几何学不同，高等几何学涉及到更深入的数学概念和方法，如向量空间、线性变换、张量等。
高等几何学的主要内容包括仿射几何、射影几何和欧式几何等。
仿射几何学是研究在仿射变换下不变的几何性质和图形变换的学科，射影几何学是研究在射影变换下不变的几何性质和图形变换的学科，而欧式几何学则是基于欧几里得公理体系的研究。
在高等几何学中，重要的数学概念和方法包括空间中的点和向量、向量运算、平面和直线、平面和直线的方程、投影和截面、二次曲面、二次曲线、变换和群论等。
这些概念和方法的应用，使得高等几何学在解决实际问题中具有广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等领域。
此外，高等几何学还涉及到一些重要的定理和公式，如塞瓦定理、梅涅劳斯定理、欧拉公式等。
这些定理和公式在高等几何学中具有重要的地位，是解决实际问题的重要工具。
总的来说，高等几何学是数学中一个重要的分支，它不仅在理论上具有重要意义，而且在解决实际问题中具有广泛的应用价值。
通过学习高等几何学，可以深入理解空间中点、线、面的性质和关系，掌握数学中的重要概念和方法，提高解决实际问题的能力。
同时，高等几何学的学习还可以为进一步学习其他数学学科打下坚实的基础。
高等几何(第一章)
令上式为ｍ，于是 y y1 m( y2 y1)
x x1 m(x2 x1)
Ｑ PM x x1, y y1 m(x2 x1), m( y2 y1)
Ｍ
PQ {x2 x1, y2 y1} PM mPQ
Ｐ
从而Ｐ、Ｑ、Ｍ共线，即点Ｍ在直线ＰＱ上。
3.2 仿射变换的代数表示
b1
A1
A2
b2
B1 C1 a1 B2 C2 a2
an-1
bn-1
An Bn Cn an
➢仿射变换具有哪些不变性和不变量？
1、同素性、结合性 两直线的平行性 2、共线三点的单比不变
下面给出仿射对应的另一种定义:
➢定义2.2 若两个平面间（平面到自 身）的一个点对应（变换）保持同素 性、结合性、共线三点的单比不变， 则这个点对应（变换）称为仿射对应 （变换）。
仿射坐标系
Py Ey
P(x,y)
仿射变换
O Ex Px
OEx OE y
x
OPx OE x
PxO ExO
(Px ExO)
y
OPy OE y
PyO EyO
(Py EyO)
P/y
P/x
E/y
E/x
O/
x'
O' Px ' O' Ex '
(Px
'
Ex
'O')
x
y'
O' Py ' O' Ey '
(Py '
x/ e/1 O/
设在 下，新原点O/及新基本向量e/1,e/2的坐标分别为
O/(a13, a23)，e1/ {a11, a21}，e2/ {a12, a22}，
高等几何课件
§ 1.1 拓广平面
理解约定1.1(1), (2)
1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同 一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行.
2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点. 3、平面上添加的无穷远点个数＝过一个通常点的直线数. 4、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线：
平行
无穷远点
两直线 不平行 交于惟一 有穷远点
平面上任二直线总相交
5、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点. 6、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点.
)
1、无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为无穷 远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上.
2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线 上的无穷远点.
给平行线添加交点！
§ 1.1 射影平面
一、中心射影 二、无穷远元素
目标： 改造空间，使得中心射影成为双射 途径： 给平行直线添加交点 要求： 不破坏下列两个基本关系
两条相异直线确定惟一一个点(交点)
} 点与直线的关联关系
两个相异点确定惟一一条直线(连线)
§ 1.1 拓广平面
二、无穷远元素
约定1.1 (1) 在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直 线上原有的点. 称为无穷远点(理想点)，记作P∞
•训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数 学审美意识，提高数学修养。
•新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何，提高 观点，加深理解，举一反三。
课程概论
一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的 四、计划及注意点
高等几何教案与课后答案
高等几何教案与课后答案教案章节一：绪论教学目标：1. 了解高等几何的研究对象和基本概念。
2. 掌握几何图形的表示方法和性质。
3. 理解几何公理体系和演绎推理方法。
教学内容：1. 高等几何的研究对象和基本概念。
2. 几何图形的表示方法和性质。
3. 几何公理体系和演绎推理方法。
课后答案：1. 高等几何是研究几何图形性质和相互关系的学科。
2. 几何图形可以用点和线段来表示，具有大小、形状和位置等性质。
3. 几何公理体系是用来建立几何证明的基础，演绎推理方法是用来推导几何结论的。
教案章节二：直线与平面教学目标：1. 了解直线的性质和表示方法。
2. 掌握平面的性质和表示方法。
3. 理解直线与平面的位置关系。
教学内容：1. 直线的性质和表示方法。
2. 平面的性质和表示方法。
3. 直线与平面的位置关系。
课后答案：1. 直线是由无数个点组成的，具有无限延伸的性质。
2. 平面是由无数个点组成的，具有无限延伸的性质。
3. 直线与平面可以相交、平行或者包含于平面。
教案章节三：圆与圆锥教学目标：1. 了解圆的性质和表示方法。
2. 掌握圆锥的性质和表示方法。
3. 理解圆与圆锥的位置关系。
教学内容：1. 圆的性质和表示方法。
2. 圆锥的性质和表示方法。
3. 圆与圆锥的位置关系。
课后答案：1. 圆是由无数个点组成的，具有无限延伸的性质。
2. 圆锥是由一个圆和一个顶点组成的，具有旋转对称性。
3. 圆与圆锥可以相交、包含或者平行。
教案章节四：三角形与多边形教学目标：1. 了解三角形的性质和表示方法。
2. 掌握多边形的性质和表示方法。
3. 理解三角形与多边形的位置关系。
教学内容：1. 三角形的性质和表示方法。
2. 多边形的性质和表示方法。
3. 三角形与多边形的位置关系。
课后答案：1. 三角形是由三个顶点和三条边组成的，具有稳定性。
2. 多边形是由多个顶点和多条边组成的，具有闭合性。
3. 三角形与多边形可以相交、包含或者平行。
教案章节五：坐标系与解析几何教学目标：1. 了解坐标系的性质和表示方法。
高等几何
欧氏几何
研究图形的 正交变换不变性的科学
仿射几何
平行射影 透视仿射变换 仿射变换
有限次平行射影的结果 仿射几何 仿射不变性
研究图形的
仿射变换不变性的科学 比如——平行性、两平行 线段的比等等
射影几何
中心射影 透视变换 射影变换
有限次中心射影的结果 射影几何 射影不变性
§ 1.1 拓广平面
理解约定1.1(1), (2) 理解约定
1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同 一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行. 2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点. 3、平面上添加的无穷远点个数＝过一个通常点的直线数. 4、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线： 平 行 无穷远点 两直线 不平行 交于惟一 有穷远点 平面上任二直线总相交
5、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点. 6、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点.
§ 1.1 拓广平面
理解约定1.1(3) 理解约定
1、无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为无穷 远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上. 2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线 上的无穷远点. 3、每一平面上有且仅有一条无穷远直线. 4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线；过同一 条无穷远直线的平面相互平行. 因而，对于通常平面： 平 行 两平面 交于惟一 不平行 无穷远直线 有穷远直线
(iii) 欧氏平面上过原点的直 线的集合(线束模型 线束模型) 线的集合 线束模型 (iv) 欧氏平面去掉原点后， 欧氏平面去掉原点后， 过原点每一直线的所有点作 为拓广平面的一个点
§ 1.1 拓广平面
高等几何的原理
高等几何的原理高等几何是几何学的一个分支，研究更为抽象和复杂的几何性质和原理。
在高等几何中，我们探讨了更深层次的几何概念，并使用数学分析和代数方法来证明几何定理。
以下将介绍一些高等几何的原理。
1. 向量和矢量空间：高等几何中的一个重要概念是向量和矢量空间的概念。
矢量被用来描述空间中的方向和大小，是一个有方向和大小的量。
在高等几何中，我们通过定义矢量空间的运算和性质，来研究矢量的性质和运算规律。
2. 仿射几何：仿射几何是高等几何中的一个基础概念，它研究了不同维度的几何空间之间的相互关系。
通过引入仿射变换以及仿射空间的概念，我们可以研究点、线、平面以及它们之间的关系。
仿射几何在计算机图形学和计算机视觉领域有广泛的应用。
3. 射影几何：射影几何是高等几何中的另一个重要分支，研究了透视投影和无穷远点等概念。
通过引入射影变换和射影空间的概念，我们可以研究平行线的性质，理解透视投影的原理，并且研究点、线、平面以及它们之间的关系。
射影几何在计算机图形学、计算机视觉和相机校正等领域有广泛的应用。
4. 微分几何：微分几何是高等几何中的一个分支，研究了曲线和曲面以及它们的性质。
通过引入切空间和曲率等概念，我们可以研究曲线和曲面的局部性质，理解其切线、法线和曲率等特征，并且研究它们之间的关系。
微分几何在物理学、天文学和流体力学等领域有广泛的应用。
5. 同伦论：同伦论是高等几何中的一个重要分支，研究了空间中形状的连续变化。
通过引入同伦等概念，我们可以研究形状的不变性质，理解形状的分类和变化，并且研究它们之间的关系。
同伦论在拓扑学、代数学和几何学等领域有广泛的应用。
6. 黎曼几何：黎曼几何是高等几何中的一个重要分支，研究了黎曼流形以及它们的性质。
通过引入度量和联络等概念，我们可以研究曲线的长度、曲面的面积以及流形的曲率等性质，并且研究它们之间的关系。
黎曼几何在物理学、相对论和概率论等领域有广泛的应用。
高等几何的原理是基于数学上的严谨性和抽象性，它通过引入不同的概念和方法，来研究几何中更深层次的性质和关系。
高等几何总结
高等几何总结几何学是数学领域中的重要分支之一，它研究的是空间和形状的性质、变换和测量。
高等几何涵盖了多个主题，包括平面几何、立体几何、向量几何和非欧几何等。
平面几何主要研究二维空间中的图形和性质。
在平面几何中，我们学习了点，线和面的基本概念，以及它们之间的关系。
常见的平面几何问题包括：平行线的性质、三角形的内角和外角之和、相似三角形和正多边形等。
这些概念和性质在解决实际问题和构建几何证明时都起着重要的作用。
立体几何研究三维空间中的物体的性质。
在立体几何中，我们学习了点、线和面的概念的延伸，例如面包括平面和曲面，线包括直线和曲线。
常见的立体几何问题涉及立体的表面积和体积、几何体的相似性和共面性等。
立体几何的应用相当广泛，例如在建筑学、计算机图形学和工程学中都有重要的应用。
向量几何研究向量的性质和运算。
向量是具有大小和方向的量，常用于描述物理和几何问题。
在向量几何中，我们学习了向量的加法、减法、数量积和向量积等运算法则。
这些运算法则在解决平面和空间中的几何问题时起着重要的作用，例如计算线段长度、判断向量的共线性和平面的垂直性等。
非欧几何包括球面几何和双曲几何。
在传统的欧几里得几何中，我们假设存在一条唯一的平行线，但在非欧几何中，这一假设被推翻。
球面几何研究了球体上的几何性质，而双曲几何则研究了双曲面上的几何性质。
这些非欧几何的发展对于理解几何学的基础假设和推理方法具有重要意义，也带来了对现实世界的新的几何理解。
高等几何涉及的知识和应用广泛而深入。
通过几何学的学习，我们可以培养空间思维能力、推理和证明能力，这对于解决问题和发展数学直觉非常重要。
同时，几何学在科学、工程、建筑和艺术等领域都扮演着重要的角色，为各个领域的研究和实践提供了基础与指导。
总结而言，高等几何是数学中一个重要而丰富的分支，包含平面几何、立体几何、向量几何和非欧几何等多个主题。
透过几何学的学习，我们能够培养出空间思维能力并提高解决问题的能力。
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