直梁的弯曲

注意:当梁的跨度(两支点间的距离)较大时， 剪力相比于弯矩较小，在工程上可不考虑剪 力的作用，只考虑弯矩。
弯矩的符号约定
M
M
+
-
M
M
上压下拉为正
上拉下压为负
▪弯矩的计算法则
梁在外力作用下，其任意指定横截面上的弯 矩等于该截面一侧所有外力对该截面中性轴 取矩的代数和： M=∑ mo(Fi) 凡是向上的外力其矩取正，向下的外力其矩 取负：向上为正
3.依方程画出剪力图和弯矩图
例5、图示简支梁C点受集中力偶作用。
试写出弯矩方程，并画出弯矩图。
a
b
M
A
C
x1
FAY
l
x2 B 解：1．确定约束力
FBY
M A ＝ 0 ， M B ＝ 0
Ma/l
FAy＝M / l FBy＝ -M / l
2．写出弯矩方程
AC
M x 1 ＝ M 1 / l 0 x x 1 a
对于集中力偶：左顺为正
弯矩图
梁横截面上的弯矩，一般随横截面的位置而变 化，以坐标 x 表示横截面位置，则弯矩可表示为x
的函数：M=M（x） 称为梁的弯矩方程
为了形象地表示梁各个横截面上弯矩的大小与正 负，将弯矩方程用图表示，称为弯矩图。
一、弯矩图的作法：先求得梁的支座反力，列 出弯矩方程，然后选择适当的比例，以x为横 坐标，弯矩为纵坐标，按方程作图。正的弯矩 画在x的上方，负弯矩画在下方。
M1=0 (0≤x1 ≤ a)
M
M2=－P1 (x2 －a)
(a ≤ x2 ≤ b)
M3=－P1 (x3 －a) －P2 (x3 －b)
(b ≤ x3 ≤ l)
x
x
－P1 (b －
-
a)
－P1 (l －a) －P2 (l －b)
例题分析
例题4-2：卧式容器可以简化为受均布载荷的外伸梁，如图 所示受均布载荷q作用的筒体总长L，试作出其弯矩图，并 讨论支座放在什么位置使设备的受力情况最好。
xm nl
P
例1、图示一受集中力作用的 悬臂梁，画该梁弯矩图。
M
Q
（-）
Pl 弯矩图
P
弯矩方程：
MP(lx)
xm nl
MQ
（-）
1 ql 2 2
q 例2、图示一受均布载荷的悬 臂梁，画该梁弯矩图。
M q(lx)lx1q(lx)2 22
弯矩图
F
a
b
A
C
FAY
x1 x2
l
例3、图示简支梁 C 点受集中力作用。
例6、一外伸梁受均布载荷 和集中力偶作用，如图。 试作此梁的弯矩图
解：
（1）求支坐反力 取全梁为研究对象，由平衡方程
MA
0,
qa2 2
M0
RB
2a
0
RB
qa 4
M0 2a
201 4
20 21
15k N
Y 0,-qa RA RB 0
RA qa RB 201 15 35k N
ห้องสมุดไป่ตู้
梁的几何形状与名称
l
d
m
ao
c
n zb
y
d1 m1 a1
di
mi
ai
h
c1
ci
x
n1 b1
ni b bi
具有对称平面的 等截面直梁
梁上外力、梁的支座及分类
外力的类型
•集中力 •分布力 •集中力偶
线密度
hq
W
m
梁上外力、梁的支座及分类
梁的分类
•简支梁：吊车梁 •悬臂梁：管道托架，塔设备 •外伸梁：卧式容器
(2)画弯矩图
(i) 分段，初步确定弯矩图形状 仍将全梁分为CA、AD、DB三段。 CA段有向下的均布载荷，弯矩图为凸形的抛物线；AD、DB两段则为傾 斜直线；在A处因有集中力，弯矩图有一折角；在D处弯矩有突变，突 变之值即为该处集中力偶之力偶矩。
(ii)求特殊截面上的弯矩 为画出各段梁弯矩图，需求以下各横截面 上弯矩：
y
q
例4、简支梁受均布载荷作用试写 出弯矩方程，并画出弯矩图。
A
xC
FAY
l
B
x
FBY 解：1．确定约束力
M A ＝ 0 ， M B ＝ 0
ql2 / 8
M 3ql2 / 32
3ql2 / 32
x
FAy＝ FBy＝ ql/2
2．写出弯矩方程
M x ＝ q /2 lq x 2 /2 x 0 x l
Mc 0
MA
qa2 2
201 2
10kN m
MD左 M0 RBa 20151 5kN m
MD右 RBa 151 15kN m
MB 0
(iii) 作图 在CA
段内再适当算出几个弯矩 值，标于坐标上，并与
MC,MA的坐标相连，画出 抛物线；再以直线MA,MD左 和MD右，MB的坐标，可得 全梁的弯矩图图c所示。 由图可见，在D稍右处横
Mb/l
CB
M x 2 ＝ M 2 / l 0 x x 2 b
3. 依方程画出弯矩图
规律：
(1)在梁上没有分布载荷的地方，弯矩图为一直线， 且一般为一倾斜直线。
(2)在有均布载荷的一段梁内，弯矩图为一抛物线。
(3)在集中力作用处，弯矩图在此为一折角。
(4)在集中力偶作用处，弯矩图有突变，突变之值即 为该处集中力偶之力偶矩。
本章重点讨论直梁平面弯曲的 强度和刚度问题，讨论顺序： 外力--内力--应力--强度条件和 刚度条件。
§4.2 梁的内力分析
xm
nl Q M
P 力平衡：Q - P = 0
力矩平衡：M + P(l-x) = 0 P 剪力：Q = P
弯矩：M = - P(l-x)
QM
（按左半边梁，能算出Q、M吗？） 剪力、弯矩正负号的含义
截面上有绝对值最大的弯 矩，其值为
M 1k 5N m max
例题分析
例题4-1：管道托架如图所示，如AB长为l，作用在其上的 管道重P1与P2，单位为kN，a、b、l以m计。托架可简化 为悬臂梁，试画出它的弯矩图。
例题分析
解：共分为三个受力段，取 梁左端A为坐标原点，建立 坐标系，如图：
•分段列弯矩方程，画弯矩图：
解：(1)共分三个受力段， 如图建立坐标系yAx．
B 试写出弯矩方程，并画出弯矩图。 FBY 解：1．确定约束力
Fab/l
M
M A ＝ 0 ， M B ＝ 0
FAy＝Fb/l FBy＝Fa/l
x
2.写出弯矩方程
3.依方程画出弯矩图
AC
M x 1 ＝ F 1 /lb 0 x 1 a
CB
M x 2 ＝ F l x 2 a / l a x 2 l
第四章 直梁的弯曲
§4.1 弯曲概念和梁的分类
梁的弯曲实例与概念
梁的弯曲实例与概念
梁的弯曲实例与概念
➢受力特点 ▪在构件的纵向对称平面内，受到垂直于梁的轴线的力 或力偶作用，使构件的轴线在此平面内弯曲为曲线， 这样的弯曲称为平面弯曲； ▪外力彼此相距较远。
以弯曲变形为主要变形形式的杆件称为梁。