正余弦定理的应用举例教案

1.2正弦定理余弦定理的应用举例

教材分析

本课是人教A版数学必修5 第一章解三角形中1.2的应用举例中测量长度问题。因为在本节课前，同学们已经学习了正弦定理、余弦定理的公式及基本应用。本节课的设计，意在复习前面所学两个定理的同时，加深对其的了解，以便能达到在实际问题中熟练应用的效果。同学们在学习时可以考虑，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他条件？要注意的是在某种特殊的实际问题下哪些条件可以测量，哪些不能。这节课我们就跟同学们共同研究这个问题。

(一)重点

1.正弦定理、余弦定理各自的公式记忆。

2.解斜三角形问题的实际应用以及全章知识点的总结归纳。

(二)难点

1.根据已知条件如何找出最简单的解题方法。

2.用应用数学的思想解决实际问题。

(三)关键

让学生灵活运用所学正弦定理、余弦定理。并具备解决一些基本实际问题的能力。

二、学情分析

学生已经学习了高中数学大部分内容，已经有了必要的数学知识储备和一定的数学思维能力；作为高中高年级学生，也已经具有了必要的生活经验。因此，可以通过生活中的例子引入如何用正弦定理、余弦定理解决实际问题。让学生自然而然地接受一些固定解法，这样，学生既学习了知识又培养了能力。

三、学习目标

(一)知识与技能

1.熟练掌握正弦定理、余弦定理的公式

2.掌握应用正弦定理、余弦定理解题的基本分析方法和步骤

(二)过程与方法

1.通过应用举例的教学，培养学生的推理能力，优化学生的思维

品质

2.通过教学中的不断设问，引导学生经历探索、解决问题的过程

(三)情感、态度与价值观

让同学找到学习数学的乐趣，让同学们感受到数学在现实中应用的广泛性。

四、教学手段

计算机，ppt，黑板板书。

五、教学过程（设计）

基础。

（三）新课

讲解（计时为

8分钟）

新课

讲解本环节一共给学生讲解两个例题，由易到难，让同学在

解三角形测量长度这一类问题上有所了解与掌握。

其中例1：

如下图，设A,B两点在河的两岸，要测量两点之间的距

离。测量者在A的同侧。在所在的河岸边选定一点C，

测出AC的距离是55m，∠BAC=51°，∠ACB=75°。求

A，B两点间的距离（精确到0.1m）。

分析：所求的边AB的对角是已知的，又已知角形的的

一边AC，根据三角形内角和定理可计算出边

AC 的对角，根据正弦定理，可以计算出边

AB。

解：根据正弦定理，得

答：A、B两点间的距离为65.7m。

（值得注意的是在解决实际问题中某些角度和长度我们

是可以通过测角仪器和米尺测量的，这些条件

通常默认为是已知条件）

通过

例一

例二

由浅

入深

地

给

同

学讲

述利

用

正、

余弦

定理

测量

距离

的问

题，

中间

有些

问题

需要

师生

之间

的互

认真

思考

求解

的一

般步

骤和

方

法，

找出

其中

的规

律。

交给

同学

解答

一般

解三

角形

实际

问题

中测

量距

离的

求解

方

法。

让同

学们

了解

到解

三角

形在

实际

中的

应用

是很

广泛A

B

C

22

si n()si n()

,

si n[180()]si n()

si n si n

.

si n[180()]si n()

2cos

a a

AC

a a

BC

AB AC BC AC BC

αδγδ

βγδαβδ

γγ

αβγαβγ

α

++

==

-++++

==

-++++

=+-⨯

计算出AC和BC之后，再在ABC中，应用余弦定理，

计算出AB两点的距离。

新课讲解例二：

如图,A.B点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量

A,B两点间距离的方法。

分析：用例一的方法，可以计算出河的这一岸的一点C

到对岸两点的距离。再测出∠BCA的大小，借助余弦定

理可以计算出A.B两点的距离。

解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，

测的得CD=a，并且在C、D两点分别测的

∠BCA=α，∠ACD=β，∠BDA=δ.在△ADC

和△BDC中，应用正弦定理得

22

sin()sin()

,

sin[180()]sin()

sin sin

.

sin[180()]sin()

2cos

a a

AC

a a

BC

AB AC BC AC BC

αδγδ

βγδαβδ

γγ

αβγαβγ

α

++

==

-++++

==

-++++

=+-⨯

计算出AC和BC之后，再在ABC中，应用余弦定理，

计算出AB两点的距离。

在测量上，我们根据测量需要适当确定的线

段叫做基线。如例一的AC例二的CD.基线

选择要适当。一般来说，基线越长，测量精

度越高。

动。

考虑

例二

有没

有别

的求

解方

法？

的。

A B

C

α

D

β

δ