等差数列求和公式

《等差数列前n项和》教案

一、教学目标

1．知识与技能目标：

（1）掌握等差数列前n项和公式，

（2）能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。

2．过程与方法目标：

经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。

3．情感、态度与价值观目标：

获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。二、教学重点、难点

等差数列前n项和公式是重点。

获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。

三、教学方法：启发、讨论、引导式。

四、教具：采用多媒体辅助教学

五、教学过程

（一）复习引入

（二）设置情景

1建筑工地上一堆圆木，从上到下每层的数目分别为1，2，3，……，10 . 问共有多少根圆木？如何用简便的方法

（三）探究发现

变式：

问题1若把问题变成求：1+2+3+4+‥‥ +99=？可以用哪些方法求出来呢？

方法1：原式=（1+2+3+4+‥‥ +99+100）-100

方法2：原式=（1+2+3+4+‥‥ +98）+99

方法3：原式=0+1+2+3+4+‥‥ +98+99

方法4：原式=（1+2+3+4+‥ +49+51+52+‥ 99）+50

方法5：原式=（1+2+3+4+‥‥ +98+99+99+98+‥ +2+1）÷ 2 方法6 令 S=1+2+3+4+‥‥ +99

又 S=99+98+97+‥ +2+1

故 2S=（1+99）+（2+98）+‥‥ +（98+2）+（99+1）从而 S =（100×99）÷ 2 = 4950

问题2：1+2+3+4+‥‥ +（n-1）+n=？在上面6种方法中，哪个能较好地推广应用于这个式子的求和？

令 Sn =1+2+3+4+‥‥ +n，

则 Sn =n+（n-1）+‥‥ +2+1

从而有

2Sn=（n+1) + （n+1) + （n+1) +‥ ‥ +（n+1) =(n+1)n

Sn ()21n n += 上述求解过程带给我们什么启示？

(1)所求的和可以用首项、末项及项数来表示；

(2)等差数列中任意的第k 项与倒数第k 项的和都等于首项与末项的和。 问题 3：现在把问题推广到更一般的情形：

设数列 {an }为等差数列，它的首项为a1 ， 公差为d ， 试求 Sn =a1 +a2 + a3 +‥ ‥ + an-1 +an

(I)

a n =a 1+(n-1)d 代入公式(1)得 Sn=na 1+

2

)

1(-n n d(II) 等差数列{an }的首项为a 1，公差为d ，项数为n ，第n 项为an ，前n 项和为S n ，

说明：两个等差数列的求和公式及通项公式，一共涉及到5个量，通常已知其中3个，可求另外2个。 三、例题讲解

例1如图，一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放120支. 这个V 形架上共放了多少支铅笔？ 解：由题意知，这个V 型架自下而上是个由120层的铅笔构成的等差数列，记为｛an ｝，

答：V 型架上共放着7260支铅笔

例２：等差数列－10，－6，－2，2，······· （1)求其前100项和 (2)前多少项和是54 ？

(3)你能根据本题提供的等差数列自拟几道求和问题吗?

12321n n n n S a a a a a a --=++++++12321

n n n n S a a a a a a --=++++++12()n n S n a a ⇒=+1()

2

n n n a a S +⇒=

.72602

)

1201(120120=+=

∴S

解：设题中的等差数列为{an}

注：1应用公式时，要根据题目的具体条件，灵活选取这两个公式）

2 在等差数列的求和公式中，含有四个量，运用方程的思想，知三可求一.

四、巩固练习

1姚明刚进NBA一周训练罚球的个数：

第一天：600，第二天：650，第三天：700，第四天：750，

第五天：800，第六天：850，第七天：900.

求：他一周训练罚球的总个数？

2求正整数列中前n个偶数的和.

3. 等差数列5,4,3,2, ··· 前多少项和是–30？

五、课堂小结

1等差数列前n项和公式

2公式的推证用的是倒序相加法

3在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.(体现了方程思想)

（六）布置作业

A必做题：课本118页，习题3.3第２题（３、４）

B选做题：在等差数列中

（七）板书设计：略