直线与方程知识点总结
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直线与方程知识点总结-标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
直线与方程知识点总结
1、 直线的斜率与倾斜角 (1)斜率
①两点的斜率公式:1122(,),(,)P x y Q x y ,则21
2121
()PQ y y k x x x x -=≠- ②斜率的范围:k R ∈
(2)直线的倾斜角范围:)0,180⎡⎣
(3)斜率与倾斜角的关系:tan (90)k αα=≠
注:(1)每条直线都有倾斜角,但不是每条直线都有斜率;
(2)特别地,倾斜角为0的直线斜率为0;倾斜角为90的直线斜率不存在。 2、直线方程
(1)点斜式:00()y y k x x -=-;适用于斜率存在的直线 (2)斜截式:y kx b =+;适用于斜率存在的直线
注:b 为直线在y 轴上的截距,截距不是距离,截距可正,可负,可为零 (3)两点式:
11
12122121
(,)x x y y x x y y x x y y --=≠≠--;适用于斜率存在且不为零的直线 (4)截距式:1x y
a b
+=;适用于斜率存在,且不为零且不过原点的直线
(5)一般式:0Ax By C ++=(,A B 不同时为0) (6)特殊直线方程
①斜率不存在的直线(与y 轴垂直):0x x =;特别地,y 轴:0x = ②斜率为0的直线(与x 轴垂直):0y y =;特别地,x 轴:0y = ③在两轴上截距相等的直线:(Ⅰ)y x b =-+;(Ⅱ)y kx = 在两轴上截距相反的直线:(Ⅰ)y x b =+;(Ⅱ)y kx =
在两轴上截距的绝对值相等的直线:(Ⅰ)y x b =-+;(Ⅱ)y x b =+;(Ⅲ)y kx = 3、平面上两直线的位置关系及判断方法 (1)111222:;:l y k x b l y k x b =+=+
①平行:12k k =且12b b ≠(注意验证12b b ≠) ②重合:12k k =且12b b = ③相交:12k k ≠
特别地,垂直:121k k =-
(2)11112222:0;:0l A x B y C l A x B y C ++=++= ①平行:1221A B A B =且1221A C A C ≠(验证) ②重合:1221A B A B =且1221A C A C = ③相交:1221A B A B ≠
特别地,垂直:12120A A B B +=
(3)与直线0Ax By C ++=平行的直线可设为:0Ax By m ++=
与直线0Ax By C ++=垂直的直线可设为:0Bx Ay n -+= 4、其他公式
(1)平面上两点间的距离公式:1122(,),(,)A x y B x y
,则AB =(2)线段中点坐标公式:1122(,),(,)A x y B x y ,则,A B 中点的坐标为1212
(
,)22
x x y y ++ (3)三角形重心坐标公式:112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ,则三角形ABC 的重心坐标公式为:
123123
(
,)33
x x x y y y ++++ (4)点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=
的距离公式:d =
(5)两平行线112212:0;:0()l Ax By C l Ax By C C C ++=++=≠
间的距离:d =(用此公式前
要将两直线中,x y 的系数统一)
(6)点A 关于点P 的对称点B 的求法:点P 为,A B 中点
(7)点A 关于直线l 的对称点B 的求法:利用直线AB 与直线l 垂直以及AB 的中点在直线l 上,列出方程组,求出点B 的坐标。 (二)、圆
1、圆的方程
(1)圆的标准方程:222()()x a y b r -+-=,其中(,)a b 为圆心,r 为半径 (2)圆的一般方程:22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->,其中圆心为(,)22
D E
-
-
,半径为(只有当22,x y 的系数化为1时才能用上述公式) 注意:已知圆上两点求圆方程时,注意运用圆心在这两点的垂直平分线上这个条件可简化计算。 2、直线与圆的位置关系
(1)直线:0l Ax By C ++=,圆222:()()C x a y b r -+-=,记圆心(,)C a b 到直线l
的距离
d =
①直线与圆相交,则0d r ≤<或方程组的0∆> ②直线与圆相切,则d r =或方程组的0∆= ③直线与圆相离,则d r >或方程组的0∆<
(2)直线与圆相交时,半径r ,圆心到弦的距离d ,弦长l
,满足:l =(3)直线与圆相切时, ①切线的求法:
(Ⅰ)已知切点(圆上的点)求切线,有且只有一条切线,切点与圆心的连线与切线垂直;
(Ⅱ)已知切线斜率求切线,有两条互相平行的切线,设切线方程为y kx b =+,利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出b 的值;
(Ⅲ)已知过圆外的点00(,)P x y 求圆222:()()C x a y b r -+-=的切线,有两条切线,若切线的斜率存在,设切线方程为:00()y y k x x -=-,利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求出k 的值;若切线的斜率不存在,则切线方程为0x x =,验证圆心到切线距离是否等于半径。
②由圆外点00(,)P x y 向圆222:()()C x a y b r -+-=引切线,记,P C 两点的距离为d
,则切线长
l =(4)直线与圆相离时,圆心到直线距离记为d ,则圆上点到直线的最近距离为d r -,最远距离为
d r +