指数性质及运算

高一数学衔接教学一 指数性质及运算

知识要点:

1．指数概念的扩充

当n N 时，43

421Λa

n n

a a a a 个⋅⋅⋅= 当n Q 时，⑴零指数 a 0=1 (a≠0)；⑵负整数指数 a –n

=n 1a

(a≠0)；

⑶分数指数 n m

m n a a = (a>0，m 、n 为正整数)

①根式

如果有x n

=a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n 为大于1的整数．

当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，用符号“n a ”表示．例如3273=，532-= –2． 当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数． 用符号“±n a ”表示．例如416=±2

负数没有偶次方根． 零的任何次方根都是零，用符号n 0=0表示． 式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．

根据n 次方根的意义，可得n n (a)=a ．例如2(5)=5，33(2)-= –2

但要注意，n n a 不一定等于a ．当n 为奇数时，n n a =a ，例如33(2)-= –2．但当n 为偶数时，如果a 是非负数，则n n a =a ，例如44(3)=3，但如果a 是负数，则n n a = –a 例如2(3)-= –(–3)=3．这就是说，

当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时， {

n

n

a (a 0)

a a a (a 0)≥==-<

②分数指数幂

当时根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式也可以同被开方数的指数能被根指数整除一样写成分数指数幂的形式．例如

23

3

2a a =，

54

4

5b b =．

我们规定正数的正分数指数幂的意义是m

n

n m a a = (a>0，m ，n N ，且n>1) 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，就是规定

n m n

m a

a

1=- (a>0，m ，n

N ，且n>1) 注:零的正分数次幂是零，零的负分数次幂没有意义． 规定了分数指数幂的意义以

后，指数从整数推广到了有理数． 分数指数的定义揭示了分数指数幂与根式的关系，因此根式运算可以转化为分数指数幂的运算 2．幂运算法则

⑴a m a n =a m+n

(m ，n Z);

⑵(a m )n =a m n

(m ，n Z);

⑶(ab)n =a n b n

(n Z)．

注:因为a m ÷a n 可以看作a m a –n ，所以a m ÷a n =a m –n

可以归入性质⑴．

例题分析：

例1．求下列各式的值

⑴33(8)-； ⑵2(10)-； ⑶44(3)-π； ⑷2(a b)- (a

解: ⑴33)8(-= –8；

⑵2)10(-=|–10|=10；

⑶44)3(π-=|3–|=–3；

⑷2)(b a -=|a –b |=b –a (a

例2．求下列各式的值：32

8，2

1100

-，4

3

)

81

16(-

解: 422)2(8233323232====⨯

；101)10(110011002

121212===-；8272332)32()8116(3333444343====----．

例3．计算下列各式

⑴)3()6)(2(656131212132b a b a b a -÷-； ⑵8)(8341-q p ． 解: ⑴a ab b a b a b a b a 444)3()6)(2(06

5312

1

6

1

213

2

656131212132===-÷--+-+；

⑵3

23

28

8

8

)()()(834

1

834

1q

p q p q p q p =

==---．

例4．计算下列各式

⑴

107

532a a a a ⋅⋅； ⑵435)1255(÷-；

⑶332)(xy xy ．

解: ⑴

57107

215310

72153

2210753

2a a a a a a a a a a ==⋅⋅=⋅⋅--+； ⑵45

1214

12

3

4

13

1

41233155555)55(5)1255(43-=-=÷-=÷---；

⑶67

65

31

27

25

23

23

21

21

)()()(32332332y x y x y x xy y x xy xy xy ==⋅==．

习题：

1．求下列各式的值: ⑴44100； ⑵55

)1.0(-；

⑶2)4(-π； ⑷66

)(y x - (y>x)．

2．求下列各式的值：⑴2

1121；

⑵21)49

64(-； ⑶4

310000

-；

⑷32)27

125(-．

3．计算

⑴127

43

31

a a a ⋅⋅；

⑵65

4332a a a ÷⋅； ⑶12

)(43

31-y

x ；

⑷)3

2(43

131

3

132----÷b

a b

a ；

⑸2

3

)

2516(462--r

t s ；

⑹)4)(3)(2(32

41

32

21

31

41

y x y x y x ----；