高中函数图像大全

指数函数

概念:一般地,函数y=a^x(a＞0,且a≠1)叫做指数函数,其中x就是自变量,函数的定义域就是R。

注意:⒈指数函数对外形要求严格,前系数要为1,否则不能为指数函数。

⒉指数函数的定义仅就是形式定义。

指数函数的图像与性

质:规律:1、当两个指数函数中的a互为倒数时,两个函数关于y轴对称,但这两个函数都不具有奇偶

性。

2、当a＞1时,底数越大,图像上升的越快,在y轴的右侧,图像越靠近y轴;

当0＜a＜1时,底数越小,图像下降的越快,在y轴的左侧,图像越靠近y轴。

在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。

3、四字口诀:“大增小减”。即:当a ＞1时,图像在R 上就是增函数;当0＜a ＜1时,图像在R 上就是减函数。

4、 指数函数既不就是奇函数也不就是偶函数。

比较幂式大小的方法:

1. 当底数相同时,则利用指数函数的单调性进行比较;

2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论;

3. 当底数不同,指数也不同时,则需要引入中间量进行比较;

4.

对多个数进行比较,可用0或1作为中间量进行比较

底数的平移:

在指数上加上一个数,图像会向左平移;减去一个数,图像会向右平移。 在f(X)后加上一个数,图像会向上平移;减去一个数,图像会向下平移。

对数函数

1、对数函数的概念

由于指数函数y=a x 在定义域(-∞,+∞)上就是单调函数,所以它存在反函数,

我们把指数函数y=a x (a ＞0,a ≠1)的反函数称为对数函数,并记为y=log a x(a ＞0,a ≠1)、

因为指数函数y=a x 的定义域为(-∞,+∞),值域为(0,+∞),所以对数函数y=log a x 的定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞)、

2、对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数,因此它们的图像对称于直线y=x 、 据此即可以画出对数函数的图像,并推知它的性质、

为了研究对数函数y=log a x(a ＞0,a ≠1)的性质,我们在同一直角坐标系中作出函数

y=log 2x,y=log 10x,y=log 10x,y=log 2

1x,y=log 10

1x 的草图

由草图,再结合指数函数的图像与性质,可以归纳、分析出对数函数y=log a x(a＞0,a≠1)的图像的特征与性质、见下表、

图

象

a＞1 a＜1

性质(1)x＞0

(2)当x=1时,y=0

(3)当x＞1时,y＞0

0＜x＜1时,y＜0

(3)当x＞1时,y＜0

0＜x＜1时,y＞0 (4)在(0,+∞)上就是增函数(4)在(0,+∞)上就是减函数

补充性质设y1=log a x y2=log b x其中a＞1,b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1) 当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y1＞y2

当0＜x＜1时“底大图高”即若a＞b,则y1＞y2

比较对数大小的常用方法有:

(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断、

(2)若底数为同一字母,则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论、

(3)若底数不同、真数相同,则可用换底公式化为同底再进行比较、

(4)若底数、真数都不相同,则常借助1、0、-1等中间量进行比较、

3、指数函数与对数函数对比

幂函数

幂函数的图像与性质

幂函数n

y x =随着n 的不同,定义域、值域都会发生变化,可以采取按性质与图像分类记忆的方法.熟练掌握n

y x =,当11

2,1,,,323

n =±±±

的图像与性质,列表如下. 从中可以归纳出以下结论:

① 它们都过点()1,1,除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函数图像都不过第四象限.

② 11

,,1,2,332a =

时,幂函数图像过原点且在[)0,+∞上就是增函数. ③ 1

,1,22

a =---时,幂函数图像不过原点且在()0,+∞上就是减函数.

④ 何两个幂函数最多有三个公共点.

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n y x =

奇函数

偶函数

非奇非偶函数

1n >

01n <<

幂函数y x α

=(x ∈R,α就是常数)的图像在第一象限的分布规律就是:

①所有幂函数y x α

=(x ∈R,α就是常数)的图像都过点)1,1(;

②当

2

1,

3,2,1=α时函数y x α

=的图像都过原点)0,0(;

③当1=α时,y x α

=的的图像在第一象限就是第一象限的平分线(如2c );

④当3,2=α时,y x α

=的的图像在第一象限就是“凹型”曲线(如1c )

⑤当

21

=

α时,y x α=的的图像在第一象限就是“凸型”曲线(如3c )

⑥当1-=α时,y x α

=的的图像不过原点)0,0(,且在第一象限就是“下滑”曲线(如4c )

当0>α时,幂函数y x α

=有下列性质:

（1）图象都通过点)1,1(),0,0(;

（2）在第一象限内都就是增函数;

（3）在第一象限内,1>α时,图象就是向下凸的;10<<α时,图象就是向上凸的; （4）(在第一象限内,过点)1,1(后,图象向右上方无限伸展。

当0<α时,幂函数y x α

=有下列性质:

1）图象都通过点)1,1(;

2）在第一象限内都就是减函数,图象就是向下凸的;

3）在第一象限内,图象向上与y 轴无限地接近;向右无限地与x 轴无限地接近; 4）在第一象限内,过点)1,1(后,α

越大,图象下落的速度越快。

无论α取任何实数,幂函数y x α

=的图象必然经过第一象限,并且一定不经过第四象限。

对号函数

函数x

b

ax y +

=(a>0,b>0)叫做对号函数,因其在(0,+∞)的图象似符号“√”而得名,利用对号函数的图象

及均值不等式,当x>0时,a b x b ax 2

≥+

(当且仅当x b ax =即a

b

x =时取等号),由此可得函数x

b

ax y +

=(a>0,b>0,x ∈R +)的性质: