电动力学考研试题

2000年电子科技大学电动力学考研试题

一、6个小题，每题5分，应届生必作（3）（4）（5）（6）题，在职生可在其中任选4

题做（其中 m E ,0及

p 为常矢量,

r xi yj zk =++,r y z =++χ222

）

（1）求∇r

（2）求∇⨯

r

（3）求⎪⎭⎫ ⎝

⎛⨯⨯∇3r r m

(不等于

0)

（4）求()[]

r k E

⋅⋅∇sin 0

（5）求证:()ϕϕ∇⋅=∇⋅p p

（6）应用高斯定理证明:⎰⎰⎰⎰⎰

⨯=

⨯∇v

s

f

s d dv f

解:

()

1222

2

2

2

2

2

2

∇=

+++

+++

++=++=r x y z i y

x

y

z

j z

x

y

z k

x r i y r j z r k r r

∂

∂χ∂

∂∂

∂

(2)∇⨯=-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-⎛⎝

⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪= r z y y z i y z j y y k ∂∂∂∂∂χ

∂∂∂χ∂∂χ∂χ∂0 ()()()()()()()311333333

33

3

335∇⨯⨯⎛⎝ ⎫⎭⎪

=⋅∇⎛⎝ ⎫⎭⎪+∇⋅⎛⎝ ⎫⎭⎪-⋅∇-∇⋅=∇⋅⎛⎝ ⎫⎭⎪-⋅∇=-⋅∇=-⋅∇-⋅∇=⋅-

m r r r r m r r m m r r m r

r

r r m m r r

m r r r m r r

m r

r m r

r

m r 3

()

[]

()()()()

()sin ()sin()sin()sin cos 400000

∇⋅=∇⋅⋅+⋅∇⋅=⋅⋅⋅∇⋅⎡⎣⎢⎢⎤

⎦⎥⎥=⋅⋅

E k r E k r E k r E d k r d k r k r E k k r

()()(5)

p

p p y p z p x

p y

p z

p p x i y j z k p x p y p z p x y z x

y

z

x

y

z

⋅∇=++⎛⎝ ⎫

⎭⎪=++⋅∇=⋅++⎛⎝ ⎫⎭

⎪

=++=⋅∇ϕ∂∂χ∂∂∂∂ϕ

∂∂ϕ∂∂ϕ∂∂ϕ

ϕ∂∂ϕ∂∂ϕ∂∂ϕ∂

∂ϕ∂

∂ϕα

∂ϕϕ

（6）以任意常矢量

C 点乘右端，得

()()()()()

C ds f ds f C f c ds

f c dv f c dv f c dv

c fdv

⋅⨯=⨯⋅=⨯⋅=∇⋅⨯=∇⨯⋅-⋅∇⨯=⋅∇⨯⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 因

c 是任意常矢量，故有

∇⨯=⨯⎰⎰⎰⎰⎰

fdv ds f

二、两小题每题20分，应届生必做（1），在职生可在其中任选一题做

（1）试证明单位时间内流入闭曲面的电磁能量等于该闭曲面内运动电荷机械能的增量 之和.

（2）试证明同轴传输线通过内导线表面进入导线内的能流，等于导线的损耗功率。 证明：

（1）电磁场对运动电荷所做的功，等于运动电荷机械能的增量，故：

()()dw dt

f v d E v B v d E v d j f Ed E v B d E H E P t m v v

v

v

v

v

=

⋅=+⨯⋅=

⋅=

⋅=

+⨯=

⋅∇⨯-⋅⎡⎣

⎢⎤

⎦⎥

⎰⎰⎰

⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰⎰⎰

⎰⎰⎰

⎰⎰⎰

τ

ρρτρτ

τρρτ∂∂()

因

()()()

∇⨯=∇⨯-∇⨯=-⎛⎝ ⎫⎭⎪-∇⨯

E H H E E H H B t E H ()∂∂

故

()dw dt

H B T E H E D T d t E D H B E H d t E D H B E H d t

W d S d m V

V V V

=--∇⨯-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⋅+⋅-∇⨯=-⋅+⋅-⋅=--

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰⎰⎰

∂∂∂∂τ∂∂∂∂σ

∂∂τσ

(){[()]()}[()]12

12∑∑

∴-=+

⎰⎰⎰

⎰⎰ S d dw dt w t

d m

V

σ∂∂τ

∑

（2）设同轴传输线内导线半径为a ，电导为σ，载有电流

I （设沿J

向）；该导

线内电场为

E ，电流密度为J 则有：

z

e a I J E σπσ2

==

由于电场切向分量连续，故知紧贴导线表面附近亦存在同样电场分量： E E I

a e z z

==

πσ

2

而紧贴导线表面附近的磁场

H I a

e =

2πθ

故能流密度矢量具有垂直指向内导线的分量：

S E H I

a I

a

e al I

a

I

RI

al

l n z r =⨯==-=

=

πσ

πσπσππ2

2

2

3

2

2

2

21

22()

∴⋅=22

πac s RI

l

三、真空中有一接地导体球壳半径为r 0，距球心a 处有一电偶极子 p ql =,且

p 垂

直于球心与电偶极子中心的连线，又a l >>,求空间的电势分布及电场分布。

解：球内ϕ==00,E

因a l >>,故可近似认为电偶极子两电荷到球心距离a ，由电像法可求得对应的两像电荷的电量、位置及两像电荷的距离'l

a r

b q a r q 2

0,=-='

2

20a

r l a b l l ⋅

=⋅

='

故知像电偶极矩